微分方程建模课堂讨论之一_利用导数的几何及物理意义建模
数学学科教学微积分与数学建模
数学学科教学微积分与数学建模微积分和数学建模是数学学科中的两个重要部分，它们在数学教学中起到了关键的作用。
微积分是研究变化以及极限的数学分支，而数学建模是利用数学方法解决实际问题的过程。
本文将探讨微积分和数学建模在数学学科教学中的应用和意义。
一、微积分在数学学科教学中的应用微积分是数学学科中的重要内容，它包括微分和积分两个部分，通过对函数的研究，能够帮助学生理解数学中的变化和极限概念。
在数学学科教学中，微积分可以应用于以下几个方面。
1.1 函数的导数与变化率函数的导数是微积分的重要概念之一，它表示了函数在某一点的变化率。
通过学习函数的导数，学生可以更好地理解函数的图像和性质，进一步探究函数的最值和变化趋势。
在教学中，可以通过练习和实例，引导学生发现函数的导数与函数图像之间的关系，培养他们的观察力和分析思维。
1.2 积分与面积问题积分是微积分的另一个重要概念，它可以用来求解曲线下面积和曲线长度等问题。
在数学学科教学中，可以通过具体的实例，如计算曲线下方的面积或曲线的弧长，让学生领会积分的几何意义和实际应用，培养他们的数学建模能力。
1.3 微分方程与实际问题微分方程是微积分的一个重要分支，它在解决实际问题中发挥着重要作用。
在数学学科教学中，可以通过引入实际问题，如物理、经济、生物等领域中的问题，让学生学习和掌握微分方程的建模和求解方法，提高他们的应用能力和创新思维。
二、数学建模在数学学科教学中的应用数学建模是指利用数学方法解决实际问题的过程，它将数学与实际问题相结合，培养学生的综合思维能力和解决问题的能力。
在数学学科教学中，数学建模可以应用于以下几个方面。
2.1 实际问题的抽象与模型建立数学建模在解决实际问题中的第一步是将实际问题抽象成数学模型。
在数学学科教学中，可以通过引入实际问题，让学生学习和掌握问题抽象的方法和建立模型的技巧，培养他们的问题分析和数学建模能力。
2.2 模型求解与结果分析数学建模的第二步是对建立的数学模型进行求解，并分析结果的合理性和可行性。
微分方程在物理建模中的实际应用
微分方程在物理建模中的实际应用在物理学的广袤领域中，微分方程宛如一座坚实的桥梁，将理论与实际现象紧密相连。
它不仅是一种数学工具，更是揭示物理世界奥秘的关键钥匙。
通过对物理过程的精确描述和分析，微分方程为我们理解和预测各种自然现象提供了强有力的支持。
让我们首先来了解一下什么是微分方程。
简单来说，微分方程是包含未知函数及其导数的等式。
在物理建模中，这些未知函数通常代表着物理量，如位移、速度、温度等，而导数则反映了这些物理量的变化率。
例如，在研究物体的运动时，我们可以用位置随时间的变化函数来描述其运动轨迹，而这个函数的一阶导数就是速度，二阶导数则是加速度。
一个经典的例子是自由落体运动。
假设一个物体在重力作用下自由下落，我们可以建立这样的微分方程：＄m\frac{d^2x}｛dt^2} ＝mg$，其中$m$是物体的质量，＄g$是重力加速度，＄x$是物体下落的距离，＄t$是时间。
通过求解这个微分方程，我们可以得到物体下落的位置与时间的关系，从而准确地预测物体在任意时刻的位置和速度。
再来看热传导问题。
当热量在一个物体中传递时，温度会随时间和空间发生变化。
我们可以用热传导方程来描述这个过程：＄＼frac{＼partial u}｛＼partial t} ＝＼alpha ＼left(＼frac{＼partial^2 u}｛＼partialx^2} ＋＼frac{＼partial^2 u}｛＼partial y^2} ＋＼frac{＼partial^2 u}｛＼partial z^2}＼right)＄，其中$u$是温度，＄＼alpha$是热扩散系数。
这个方程告诉我们温度的变化率与温度在空间中的二阶导数之间的关系。
通过求解这个方程，我们可以了解物体内部温度的分布情况，这对于设计高效的热交换器、研究地球内部的热传递等都具有重要意义。
在电学领域，微分方程也发挥着重要作用。
例如，在研究电路中的电流和电压变化时，我们可以使用基尔霍夫定律建立微分方程。
微分方程方法建模概述及举例
微分方程方法建模概述及举例微分方程是数学中的一个重要分支，广泛应用于各个领域，特别是自然科学和工程学科中的建模问题。
本文将概述微分方程方法建模的基本思路，并通过举例说明其在实际问题中的应用。
1.问题抽象化：首先需要将实际问题抽象成一个或一组微分方程。
通过观察问题的物理过程和规律，了解问题中的变量、因果关系以及其演化过程。
将这些信息用数学语言表示出来，通常是通过建立数学模型来描述问题。
2.建立微分方程：基于问题的抽象化模型，我们可以建立相应的微分方程。
根据物理规律和描述问题演化的数学关系，确定方程中的变量、常数和系数。
对于复杂问题，可能需要引入附加的假设和近似，以简化问题求解。
3.求解微分方程：通过求解微分方程，可以得到问题的数学解。
求解方法包括解析解和数值解两种。
解析解通常是通过变量分离、常数变易、积分变换等方法，求得方程的具体解析形式。
数值解则是通过数值计算方法，如欧拉法、龙格-库塔法等，近似计算出微分方程的解。
4.模型验证和分析：将求得的数学解与实际问题进行比较和分析，验证模型的有效性和准确性。
通过对模型进行敏感性分析和参数优化，对模型进行改进和完善。
现在我们来通过两个实际问题的建模例子，进一步说明微分方程方法的应用。
1.指数增长模型问题：假设一个生物种群遵循指数增长规律，种群数量在一段时间内以固定比率增加。
已知在初始时刻，种群数量为100只，经过3个小时后，种群数量增加到了1000只。
求解该问题。
解答：我们可以建立如下的微分方程模型:dy/dt = k * y其中，y表示种群数量，t表示时间，k为增长率。
根据已知条件，当t=0时，y=100；当t=3时，y=1000。
将这些条件代入微分方程，就可以求解得到k的值。
然后再根据k的值，求解出种群数量y随时间t的变化。
2.弹簧振动模型问题：一个弹簧系统在无外力作用下，其振动满足以下微分方程：m* d^2y/dt^2 = -k * y，其中m为弹簧的质量，k为弹簧的劲度系数。
微分方程的建模原理及应用
微分方程的建模原理及应用引言微分方程是数学中重要的一门学科，它是描述自然界和工程领域中许多现象和过程的数学工具之一。
本文将介绍微分方程的建模原理及其应用，并使用Markdown格式进行编写。
微分方程的定义微分方程是描述变量之间关系的方程，其中包含了变量的导数。
一般形式的微分方程可以写作：$$f(x, y, y', y'', \\ldots, y^n) = 0$$其中，x是自变量，y是因变量，$y', y'', \\ldots, y^n$ 是y的导数，n是方程的阶数。
微分方程的建模原理微分方程的建模原理是将现实世界中的问题转化为数学模型，通过建立微分方程来描述问题的变化规律。
建模的过程需要以下几个步骤：1.问题理解：全面理解实际问题的背景、目标和限制条件。
明确要研究的变量和参数。
2.数学模型的建立：根据问题理解，确定数学函数和变量之间的关系，并找到恰当的微分方程。
3.模型求解：利用数学方法求解微分方程，得到问题的解析解或数值解。
4.模型分析：对模型求解结果进行分析和解释，评估模型的适用性和可靠性。
微分方程的应用领域微分方程在各个科学领域和工程技术中都有广泛的应用。
以下是一些常见的应用领域：物理学•力学：描述物体的运动和力学性质。
•电磁学：描述电荷和电磁场的关系。
•光学：描述光的传播和折射。
经济学•经济增长模型：描述经济产出和经济变量之间的关系。
•消费与储蓄模型：描述个体和国家的消费和储蓄行为。
生物学•生物种群动力学：描述物种数量和环境因素之间的关系。
•神经科学：描述神经元的电信号传递和网络行为。
工程学•电路分析：描述电路中电流和电压之间的关系。
•控制系统：描述系统的稳定性和动态响应。
微分方程的求解方法微分方程的求解方法分为解析解和数值解两种。
解析解解析解是指通过数学方法直接求解微分方程得到的精确解。
常见的求解方法包括：•可分离变量法：将微分方程转化为可分离变量的形式，通过积分求解。
微分方程在物理建模中的应用
微分方程在物理建模中的应用微分方程是数学中的一个重要分支，其广泛应用于各个领域。
在物理建模中，微分方程也扮演着重要的角色，它能够描述物理系统的运动规律、变化趋势以及相互关系。
本文将探讨微分方程在物理建模中的应用，并通过几个案例进行说明。
一、牛顿第二定律的微分方程形式牛顿第二定律是经典力学中的基本定律，它描述了物体的运动规律。
在物理建模中，我们可以使用微分方程来表达牛顿第二定律。
假设一个物体质量为m，在力F的作用下，其加速度为a，则可以写出如下的微分方程：F = m * a这个微分方程描述了力和加速度之间的关系，通过求解这个微分方程，我们可以确定物体的运动轨迹和速度变化。
二、振动系统的微分方程振动是物理系统中常见的现象，而振动系统的建模常常使用微分方程。
以简谐振动为例，假设一个弹簧振子的质量为m，弹簧的劲度系数为k，位置为x，则振动系统的微分方程可以写为：m * d^2x/dt^2 + k * x = 0通过求解这个微分方程，我们可以获得振动系统的位置随时间的变化规律，从而了解其振动频率、振幅等特征。
三、扩散方程的微分方程形式在物理建模中，扩散现象是常见的，而扩散方程的建模同样可以用微分方程来描述。
以热传导为例，假设一个物体的温度为T，时间t，位置x，则其热传导的微分方程可以写为：∂T/∂t = α * ∂^2T/∂x^2其中α为热传导系数。
通过求解这个微分方程，我们可以获得物体的温度随时间和空间位置的变化规律，从而了解热的传导方式和速率等信息。
四、流体力学中的微分方程流体力学研究了流体运动的规律，而流体力学方程同样可以通过微分方程来表示。
例如，欧拉方程是流体力学中的基本方程之一，描述了流体的运动规律。
假设在坐标x处的流体体积密度为ρ，在流体内部的速度为v，则欧拉方程可以写为：∂v/∂t + v·∇v = -1/ρ · ∇p其中∇表示梯度运算符，p为压力。
通过求解这个微分方程，我们可以获得流体的速度场随时间和空间位置的变化规律，从而了解流体的运动方式、压力分布等信息。
微分方程与数学建模
微分方程与数学建模微分方程是研究函数的变化规律以及函数与其导数之间的关系的数学工具。
它在数学领域中具有广泛的应用，尤其在数学建模中发挥着重要的作用。
本文将介绍微分方程在数学建模中的应用以及解决实际问题的过程。
一、微分方程在数学建模中的应用微分方程是数学建模的重要工具之一，它能够描述变化的量与其变化率之间的关系。
在实际问题中，很多情况下我们需要确定某个物理量随时间的变化规律，而微分方程正是可以用来解决这类问题的数学工具。
数学建模是将实际问题抽象为数学模型，并利用数学方法进行求解和分析的过程。
在数学建模中，常常需要通过建立微分方程来描述问题的动力学行为。
例如，一个机械摆的摆动规律可以用二阶线性微分方程来描述；生物学中的人口变化可以用常微分方程来描述；在物理学中，众多的物理规律也可以转化为微分方程。
二、解决实际问题的过程数学建模是一个系统工程，它通常包括问题的提出、问题的分析、建立数学模型、求解模型、验证和应用等步骤。
其中，微分方程的建立和求解是数学建模中的关键环节。
在问题的提出和分析阶段，需要明确问题背景、目标和限制条件，并对问题进行全面的分析。
在确定采用微分方程进行建模时，需要对问题进行适当的简化和假设，以便将实际问题转化为可求解的数学模型。
建立微分方程模型是实现数学建模的核心步骤。
在建立模型时，需要根据问题的特点选择合适的微分方程类型，并确定方程中的参数和初值条件。
建立模型后，可以利用数学、物理和统计学等知识对模型进行分析，以了解问题的本质和特征。
对于求解微分方程模型，通常可以采用数值方法、解析方法或数学软件进行求解。
数值方法可以通过近似计算来得到问题的数值解，而解析方法则通过解析求解微分方程得到问题的解析解。
在求解过程中，需要根据具体情况选择适当的方法，并利用数学工具进行计算和分析。
验证是数学建模的重要环节，通过与实际数据进行对比验证模型的准确性和可行性。
如果模型与实际情况相符，就可以进一步进行应用和推广，为实际问题的解决提供有力支持。
数学建模微分方程模型
我国是世界第一人口大国，地球上每九 个人中就有二个中国人，在20世纪的一段 时间内我国人口的增长速度过快，如下表：
年 1908 1933 4.7 1953 6.0 1964 7.2 1982 10.3 1990 11.3 2000 12.95
人口（亿）3.0
有效地控制人口的增长，不仅是使我国全面进 入小康社会、到21世纪中叶建成富强民主文明的社 会主义国家的需要，而且对于全人类社会的美好理 想来说，也是我们义不容辞的责任。
1.人口模型
问题的提出 假设和定义 模型的建立 分析和求解 结论和讨论
1 问题的提出
人口问题是当今世界上最令人关注的问题之一， 一些发展中国家的人口出生率过高，越来越威胁着 人类的正常生活，有些发达国家的自然增长率趋于 零，甚至变为负数，造成劳动力紧缺，也是不容忽 视的问题。另外，在科学技术和生产力飞速发展的 推动下，世界人口以空前的规模增长，统计数据显 示：
模型的缺点
缺点：当t→∞时，I(t) → n，这表示所有的人最
终都将成为病人，这一点与实际情况不 符合
原因：这是由假设〔1)所导致，没有考虑病人可
以治愈及病人病发身亡的情况。 思考题：考虑有病人病发身亡的情况，再对模型 进行修改。
模型三 有些传染病（如痢疾)愈后免疫力很低，还有可能再
次被传染而成为病人。 模型假设： （1）健康者和病人在总人数中所占的比例分别为s(t)、i(t)， 则： s(t)+i(t)＝1 （2）一个病人在单位时间内传染的人数与当时健康人数成 正比，比例系数为k （3）病人每天治愈的人数与病人总数成正比，比例系数为 μ(称日治愈率)，病人治愈后成为仍可被感染的健康者， 称1/ μ为传染病的平均传染期(如病人数保持10人，每 天治愈2人， μ ＝1/5，则每位病人平均生病时间为 1/ μ ＝5天)。
微分方程建模的若干问题讲稿.ppt
完所需的时间。
A
B
提示：开始时，牛奶可分成两部分，上部近似于一 个斜椭圆柱，其底面积近似于一个面积为 S0 的椭圆； 下部近似于一个底面积为椭圆 S0 的斜椭圆 锥 。
参考答案 T ≈ 27.7 秒 。
• 导弹拦截轨道模型
一枚战略导弹从原点以速度 a 沿 y 轴方向直线射出，（1）与此同 时， 另一枚拦截导弹 从（c , 0）点以速度 b（b > a）追踪射出。 求出拦截导弹的拦截轨道和击落战略导弹所需时间。 (2) 如果拦截导弹滞后于战略导弹时刻 T0 发出 ，建立这时的轨线 模型, 再求出这种情况下拦截导弹击落战略导弹所需时间。
乘以该小段长度 ∆x
因为根据假设，在单位时间内单位长度废物排出量与 薄膜两侧的废物浓度成正比 ，
故在单位时间内单位长度废物排出量 = λ[ u ( x ) – v ( x ) ] ( g / s cm )
于是有：
ku ∙ [ u ( x ) - u ( x + ∆x ) ] = λ[ u ( x ) – v ( x ) ] ∙ ∆x 对人工膜一侧有类似的结论 : 在单位时间内 血管中废物增加量 = 血管中废物进入量 ( g / s ) 等式左端 = kv • [ v ( x ) - v ( x + ∆x ) ] 等式右端 = λ[ u ( x ) – v ( x ) ] ∙ ∆x kv ∙ [ v ( x ) - v ( x + ∆x ) ] = λ[ u ( x ) – v ( x ) ] ∙ ∆x
t x l1
q( x, t ),
l1 x l
在 x = μt 处 ，点燃的烟草在单位时间内放出的毒物量
记为 H(t) , 则有
q(t,t) a H(t) a w(t,t)
微分方程建模理论概要课件
04
CATALOGUE
微分方程稳定性分析
稳定性定义与分类
稳定性定义
01
对于一个微分方程的解，如果其导数在所有时间上都为非正，
则该解被称为稳定。
局部稳定性
02
如果存在一个有限的初始时间，当时间超过此初始时间时，解
的导数恒为非正，则该解被称为局部稳定。
全局稳定性
03
如果对于所有时间，解的导数都恒为非正，则该解被称为全局
电磁学中的微分方程
电场和磁场
描述电荷在电场和磁场中的运动和相互作用， 可以通过微分方程求解电场和磁场的变化规 律。
电磁波
电磁波的传播和反射等现象可以通过微分方 程描述，进而研究电磁波的特性和应用。
热力学中的微分方程
要点一
热传导
描述热量在物体中的传播和变化，可以通过微分方程求解 温度随时间和空间的变化规律。
有广泛的应用。
线性常微分方程
定义
线性常微分方程是指导数与变量之间为线性关系的常 微分方程。
解法
线性常微分方程的解法通常采用分离变量法、积分因 子法等。
应用
线性常微分方程在描述物理、工程和社会科学等领域 的问题时具有广泛的应用。
03
CATALOGUE
偏微分方程模型
一阶偏微分方程
01
定义
一阶偏微分方程是一阶微分方程或常微分方程的统称，它 的一般形式为F(x,y,y',…,y^(n)) = 0，其中F为给定的函数， x,y,y',…,y^(n)为未知函数及其各阶导数。
稳定。
线性稳定性分析
线性化
通过将非线性微分方程线性化来分析稳定性，即将非线性微分方程的解的线性 部分视为新的微分方程。
微分方程在物理建模中的应用
微分方程在物理建模中的应用在物理学的广袤领域中，微分方程犹如一把神奇的钥匙，帮助我们解锁众多复杂现象背后的奥秘。
从天体的运行到微观粒子的运动，从热传递的过程到电磁波的传播，微分方程都发挥着至关重要的作用。
首先，让我们来谈谈什么是微分方程。
简单地说，微分方程就是包含未知函数及其导数的方程。
它描述了某个物理量随时间或空间的变化规律。
通过求解微分方程，我们能够得到这个物理量的具体表达式，从而对物理现象进行深入的理解和预测。
在力学领域，牛顿第二定律是一个经典的例子。
当我们考虑一个物体在力的作用下的运动时，可以根据牛顿第二定律建立微分方程。
假设一个质量为 m 的物体受到一个随时间变化的力 F(t) 的作用，根据牛顿第二定律 F ＝ ma（其中 a 是加速度），加速度 a 是速度 v 对时间的导数，速度 v 又是位移 x 对时间的二阶导数。
这样就可以得到一个关于位移 x 的二阶微分方程：m d²x/dt²＝ F(t) 。
通过求解这个微分方程，我们可以得到物体在任意时刻的位置、速度和加速度，从而完整地描述物体的运动轨迹。
再来看天体力学中的行星运动。
开普勒定律描述了行星绕太阳运动的轨道特征，但要深入理解行星运动的动力学机制，就需要用到微分方程。
以两个天体之间的引力相互作用为例，根据万有引力定律和牛顿运动定律，可以建立一个关于两个天体位置的微分方程组。
通过求解这个方程组，我们不仅能够解释行星的椭圆轨道，还能预测天体在未来任意时刻的位置和速度。
在热学中，热传导方程是一个重要的微分方程。
当研究物体内部的热传递过程时，假设物体内某点的温度为 T(x, y, z, t) ，热传导方程可以表示为：∂T/∂t ＝α （∂²T/∂x² ＋∂²T/∂y² ＋∂²T/∂z²) ，其中α 是热扩散系数。
这个方程描述了温度随时间和空间的变化规律。
通过求解热传导方程，我们可以了解物体在加热或冷却过程中温度的分布情况，对于设计热交换器、优化隔热材料等实际问题具有重要的指导意义。
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微分方程建模课堂讨论之一利用导数的几何以及物理意义建模1．将一个手表系在一条链子上，当沿直线拉此链的一端，在平面上，此手表所描述的轨迹是什么？【注】：微积分的发明人莱布尼兹讨论过此问题。
【模型】：()'=-y x x【求解】：方法？换元法。
【结果】：y (x )a *arctan a=，此为解析解。
【预备知识】：（1）积分方法；（2）双曲函数。
2．【小孩和玩具问题】：一个小孩在平面上沿一曲线行走，设次曲线由两个世纪的函数X(t)和Y(t)确定。
假设此小孩借助长度为a 的硬棒，拉或推某玩具，设x(t)和y(t)是玩具的位置，试确定玩具的轨迹。
【建模分析】：（1）．(X(t)，Y(t))与(x(t)，y(t))之间的距离总是硬棒的长度，于是222()()X x Y y a-+-= （1）（2）．玩具总是在硬棒的方向上运动，因此，两个位置的差向量是玩具的速度方向的倍数，TTv(x ,y )''=：,0λλ'-⎛⎫⎛⎫=> ⎪ ⎪'-⎝⎭⎝⎭X x x Y y y （2）（3）玩具的速度依赖于小孩的速度向量Vc 的方向。
小孩的速度V c 在硬棒上的投影是玩具的速度T V 的模。
【特例】：假设小孩在半径为a （硬棒的长）的圆上行走。
在此特殊情况下，玩具停留在此圆的圆心，根本不运动。
将式（2）代入式（1）可得，λ=（3）于是x X xy Y y'-⎫⎛⎫=⎪ ⎪'-⎭⎝⎭（4）（4）如何利用||||cosT CV Vα=？●标准化差向量(,)TX x Y y--，可得单位向量w；●确定(,)TCV X Y''=在w生成的子空间上的投影：T C V w；●(,)()T TT CV x y V w w''==（5）数值解法（6）数值解Matlab程序：程序1：小孩的运动：function [X,Xs,Y,Ys]=child(t)%小孩的运动轨迹X=5*cos(t);Y=5*sin(t);Xs=-5*sin(t);Ys=5*cos(t);程序2：微分方程模型：function zs=toolandchild(t,z)[X,Xs,Y,Ys]=child(t);v=[Xs;Ys];w=[X-z(1);Y-z(2)];w=w/norm(w);zs=(v'*w)*w;程序3：主程序%main1.my0=[10,0]';[t,y]=ode45('toolandchild',[0 100],y0);clf;hold on;axis([-6 10 -6 10]);axis('square');plot(y(:,1),y(:,2));t=0:0.05:6.3;[X,Xs,Y,Ys]=child(t);plot(X,Y,':');hold off;-50510-5510[X(t),Y(t)]=[5cost,5sint];a=5; t=0, [X,Y]=[5,0],[x,y]=[10,0]05101520[X(t),Y(t)]=[t,5sint];a=10 t=0, [X,Y]=[0,0],[x,y]=[0,10]-20-1001020-20-1001020[X(t),Y(t)]=[5cost,5sint];a=;t=0, [X,Y]=[5,0],[x,y]=[0,10]动态演示：%main 3.m y0=[0 20]';options=odeset('RelTol',1e-10);[t,y]=ode45('toolandchild',[0 40],y0,options); [X,Xs,Y,Ys]=child(t); xmin=min(min(X),min(y(:,1))); xmax=max(max(X),max(y(:,1))); ymin=min(min(Y),min(y(:,2)));ymax=max(max(Y),max(y(:,2))); clf; hold on ;axis([xmin xmax ymin ymax]); % axis('equal');title('The Child and the Toy.');stickhandle=line('Color','red','EraseMode','xor','LineStyle','-','XData',[],'YData ',[]);for k=1:length(t)-1plot([X(k),X(k+1)],[Y(k),Y(k+1)],'-','Color','red','EraseMode','none');plot([y(k,1),y(k+1,1)],[y(k,2),y(k+1,2)],'-','Color','green','EraseMode','none'); set(stickhandle,'XData',[X(k+1),y(k+1,1)],'YData',[Y(k+1),y(k+1,2)]); drawnow; end ; hold off ;3．【慢跑者与狗】：为了每天锻炼，一个慢跑者在平面上沿着他喜欢的路径跑步，突然一只狗攻击他，这只狗以恒定速率w 跑向慢跑者，计算狗的轨迹。
【建模分析】：狗的轨迹具有如下性质：在任意时刻，狗的速度向量都指向它的目标慢跑者。
假设1：慢跑者在某路径上跑步，他的运动由两个函数X(t)和Y(t)描述；假设2：假设当t=0时，狗是在点（x0，y0）处，在时刻t 时，它的位置是（x(t)，y(t)）。
下列约束方程成立： （1）．狗以恒定速率跑：222x y w''+=；（2）．狗的速度向量平行于慢跑者与狗的位置的差向量：,0x X x y Y y λλ'-⎛⎫⎛⎫=> ⎪ ⎪'-⎝⎭⎝⎭将上述方程代入等式22222X x w x y Y y λ-⎛⎫''=+= ⎪-⎝⎭，求解此方程，可得λ：0wX x Y y λ=>-⎛⎫⎪-⎝⎭将此代入第二个方程，可得狗的轨迹的微分方程：x X x wy Y y X x Y y '-⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪'--⎛⎫⎝⎭⎝⎭ ⎪-⎝⎭【求解分析】：我们可以利用Matlab 的命令ode23或者ode45求解该微分方程系统。
【注意】：当狗到达慢跑者时，系统有一个奇点。
此时差向量的范数变为0，我们必须停止积分。
上面提到的求积微分方程的Matlab 函数，要求输入独立变量的一个区间。
现在，Matlab 也可以定义另一个求积终止准则，它不同于给定独立变量的一个上界，而是通过检查函数的零交点，来终止积分。
【结果演示】静态轨迹：在本例中，当狗到达慢跑者，即X x Y y -⎛⎫⎪-⎝⎭变成很小时，将终止积分。
为此在M 函数dog.m 中，我们必须增加第三个输入参数和两个新的输出参数。
积分器ode23或ode45，以两种方法调用此函数：● 第一种方法是取消第三个参数，函数只返回参数zs ：狗的速率；● 第二种方法是将关键字‘events ’赋值给参数flag ，此关键字告诉函数，在第一个输出zs 中返回零交点函数；第二个输出isterminal 是一个逻辑向量，它告诉积分器，当第一个输出的分量变成0时，它们迫使过程终止。
具有这种性质的每一个分量，在isterminal 中，用非零标记；第三个输出参数direction 也是一个向量，它表示：对zs 的每个分量，零交点是否仅视为增加值（direction=1），下降值（direction=-1）或两者（direction=0）。
零交点的条件将在积分器里检查。
dog 和主程序中，必须声明狗的速率w 是全局变量。
M 函数jogger.m 给出慢跑者的轨迹。
狗的初始点均为 【60，70】406080100204060图1 慢跑者沿x 轴跑步（[8t;0]）304050600204060图2 慢跑者转向的位置并跑回家（[8t;0],[8*(12-t);0]）-200204060-20204060图 3 慢跑者沿椭圆跑，w=19，追上。
-200204060-200204060图 4 慢跑者沿椭圆跑，w=10，闭合轨迹上跑。
动画演示：%main4.mglobal w;y0=[60;70];w=10;options=odeset('RelTol',1e-5,'Events','on');[t,Y]=ode23('dog',[0,20],y0,options);J=[];for h=1:length(t)w=jogger(t(h));J=[J;w'];end;xmin=min(min(Y(:,1)),min(J(:,1)));xmax=max(max(Y(:,1)),max(J(:,1)));ymin=min(min(Y(:,2)),min(J(:,2)));ymax=max(max(Y(:,2)),max(J(:,2)));clf;hold on;axis([xmin xmax ymin ymax]);% axis('equal');title('The Jogger and the Dog.');for h=1:length(t)-1plot([Y(h,1),Y(h+1,1)],[Y(h,2),Y(h+1,2)],'-','Color','red','EraseMode','none');plot([J(h,1),J(h+1,1)],[J(h,2),J(h+1,2)],'-','Color','green','EraseMode','none'); drawnow;pause(0.2);end;hold off;4．【追踪问题】我缉私船雷达发现，距离d处有一走私船正以匀速a 沿直线行驶，缉私船立即以最大速度（匀速v）追赶。
若用雷达进行跟踪，保持船的瞬时速度方向始终指向走私船，则缉私船的运动轨迹是怎样的？是否能够追上走私船？如果能够追上，需用多少时间？试用数值方法进行模拟。