概率统计建模讲义(重要分布举例卡方检验).

数理统计例举王晓谦wxqmath@南京师范大学主要内容随机变量及其分布经验分布函数和频率直方图参数估计假设检验相关分析与回归分析简介MATLAB例题例1能量供应问题（二项分布）例2 放射性（泊松）例3正态分布例4指数分布例5 多元随机变量例6经验分布函数例7超市问题（指数分布）例8区间估计例9 拟合检验1例10拟合检验2 例11概率纸检验法例12道德（独立性检验）例13肠癌例14J 效应随机变量及其分布例1、能量供应问题（二项分布）n 个工人间歇性地使用电力，估计所需要的假定有10总负荷。

首先我们要知道，或者是假定，每个工人彼此独立工作，而每一时刻每个工人都以相同的概率p 需要一个单位的电力。

那么，同时使用电力的人数就是一个随机变量，它服从所谓的二项分布。

用X 表示这个随机变量，记做(,)X B n p ，且有()(1),k k n k n P X k C p p -==-0,1,,k n =这是非常重要的一类概率分布。

其中E(X)＝np ， D(X)=np(1-p)。

其次，要根据经验来估计出，p 值是多少？例如，一个工人在一个小时里有12分钟在使用电力，那么应该有120.260p ==。

最后，利用公式我们求出随机变量X 的概率分布表如下：为直观计，我们给出如下概率分布图：目录 Back Next可以看出，{6}1{6}0.000864P X P X >=-≤=，也就是说，如果供应6个单位的电力，则超负荷工作的概率只有0.000864，即每11147200.000864≈≈分钟小时中，才可能有一分钟电力不够用。

还可以算出，八个或八个以上工人同时使用电力的概率就更小了，比上面概率的111还要小。

问题：二项分布是一个重要的用来计数的分布。

什么样的随机变量会服从二项分布？进行n 次独立观测，在每次观测中所关心的事件出现的概率都是p ，那么在这n 次观测中事件A 出现的总次数是一个服从二项分布B （n ，p ）。

作业：用MATLAB 计算本题。

binopdf(x,n,p) 计算x 中每个值对应的二项分布概率binocdf(x,n,p) 计算x 中每个值对应的分布函数值binoinv(y,n,p) 计算使得分布函数值大于等于y 的最小整数x ： P （X<=x ）>=ybinornd(n,p, mm, nn) 产生二项分布随机数，mm 行nn 列。

再如，产生两行五列的随机数用binornd(10,0.2,[2,5])例如binopdf(0:10,10,0.2), binoinv(0.9,10,0.2)=4,binoinv((0:10)/10,10,0.2)binornd(10,0.2,1,5)ans =2 2 1 1 4例2、Rutherford 对裂变物质的观测（Poisson分布）英国著名物理学家 Rutherford（1871－1937）在其放射性物质试验中，观测在时间间隔ΔT内放射性物质放射出的α粒子数。

实际试验时，取时间间隔为ΔT=7.5秒，观测了N＝2608次，将每次观测到的粒子数记录下来，列在下表中第1，2行：我们用X表示ΔT=7.5秒内观测到的α粒子数，它是一个随机变量，服从什么分布呢？在2608次观测中，共观测到10094个α粒子数，平均每次观测到λ=M÷N＝10094÷2608≈3.87个α粒子数，用参数为λ=3.87的Poisson 分布P 计算一下：,{},0,1,2,!kP X k e k k λλ- ===将计算结果列在上表中最后一行，与列在第3行的实际频率比较，比较的图示在下图中。

（Excel ）可以看出，认为X 服从参数为3.87的Poisson 分布还是非常合理的。

在后面统计部分,我们会用Pearson －2χ拟合检验法来证明这种合理性。

作业：用MATLAB 计算本题。

poisspdf （x ，λ），计算poisson 概率， poisscdf, poissinv, poissrnd 例如，poisspdf(0:9,3.87)问题：Poisson 分布是又一类非常重要的用来计数的离散型分布，它依赖于一个参数λ。

什么样的随机变量会服从Poisson 分布呢？在给定的观测范围内（例如给定时间内，给定区域内，等等），事件会发生多少次？把观测范围分成n 个小范围： 1、 给定事件在每个小范围内可能发生，也可能不发生，发生多少次取决于小范围的大小；2、 在不同的小范围内发生多少事件相互独立；3、 在小范围里发生的事件数多于一个的概率，和小范围的大小相比可以忽略不计，用n p 表示在小范围内事件发生一次的概率。

那么在给定范围内发生的总事件数X 近似服从(,)n B n p ，n np 为给定范围内事件发生次数的近似平均值。

令n →∞，则n np λ→为给定范围内事件发生次数的准确平均值，这时,!()(1)kk k n n k n k n e k k P X k C p p λλ--→=0,1,2, =≈-这正是Poisson 分布，其中参数()E X λ＝。

例3、正态分布随机变量X 如果有密度函数22()21(),x p x ex μσ--=, -∞<<+∞则称此随机变量服从参数为2(,)μσ的正态分布，记做2(,)XN μσ，其中,0,R μσ∈ >都是给定的参数，2(),()E X D X μσ= = 。

称(0,1)N 为标准正态分布，用()x Φ表示其分布函数，其密度函数为22().x x ex ϕ-=, -∞<<+∞2(,)XN μσ时，我们有{}()()b ba ab a P a X b p x dx x dx μσμσμμϕσσ--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭--<≤===Φ-Φ⎰⎰大量连续型随机变量服从正态分布，所以正态分布在处理数据时是非常有用处的。

我们在统计部分会大量用到它。

Matlab 中用norm 表示正态分布，参数是数学期望和标准差。

下面是正态分布的密度函数图像：（正态密度图像）例4、指数分布称随机变量X 服从参数为1的指数分布或标准指数分布，若它有密度函数,0;()0,x e x p x -⎧⎪⎨⎪⎩>= 其他.它的分布函数为0,0;()1x x F x e x -⎧⎪⎨⎪⎩≤=-, >0.设,XY b λ=+0,b R λ> ∈是给定常数，则Y 的分布函数为()(){}{()}(())0,;1.Y x b F x P Y x P X x b F x b x b e x b λλλ--⎧⎪⎨⎪⎩=≤=≤-=- ≤ =- , >其密度函数为()0,;().Y x b p x b x e x b λλ--⎧⎪⎨⎪⎩≤= , >这是一般的指数分布。

211(),()E Y b D Y λλ=+ =。

b ＝0的指数分布的密度函数图像如下所示（指数密度）：可见，随着λ的减小，随机变量取到较大值的概率增加。

事实上，1b λ+是随机变量的数学期望。

指数随机变量经常用来刻画寿命。

例5、 多元随机变量我们经常需要考虑量与量之间的关系，如果这些量是随机变量，那么就需要把多个随机变量放在一起，考虑多元随机变量。

设12(,)n X X X ,,是n 元随机变量，它的分布函数是一个n 元函数：121122(,,,){,,,}n n n F x x x P X x X x X x =≤≤≤利用这个分布函数就可以讨论这n 个随机变量之间各种各样的关系。

1、 边际分布与独立性(,,,,),1,2,,.(){}iX i i i i F x i n F x P X x +∞+∞ ==≤=12,n X X X ,,相互独立当且仅当121(,,,).()i nn X i i F x x x F x ==∏2、 相关系数两个随机变量X Y ,之间的相关系数定义为(,)X Y ρ=其中[]cov(,)(())(()).X Y E X E X Y E Y =--相关系数刻画了随机变量之间的线性相关程度，越接近于0，线性相关关系越弱。

3、 条件分布在已知其中某些随机变量的取值的情况下，可以进一步 确定其他随机变量的条件分布。

例如，,,(,)(,){|}.()()i j i j j j X X i j X X i j i i j j j X j X j F x x x F x x P X x x X x x F x x F x +∆-≤<≤+∆=+∆-在有密度函数的情况下，我们还可以求条件密度函数，甚至利用Bayes定理，解决许多重要问题。

综上所述，我们知道在概率论里学过许多分布，当然，还有许多分布我们没有学过。

但是，在实践中我们可能会遇到各种各样的分布，甚至还有没被发现的分布。

在处理数据的时候，我们要搞清楚：1、数据是哪个或哪些指标的取值？2、这个或这些指标是不是随机变量或随机向量？3、如果是，那么它服从什么分布？4、用统计方法确定分布；5、分布确定后，用概率方法求出问题的解。

下面我们就讨论用统计方法确定分布的问题。

经验分布函数和频率直方图当我们确定讨论的指标的确是随机变量后，剩下的关键任务就是确定它的分布。

那么它的观测数据就是我们赖以解决问题的基本资料，叫做样本，而这个随机变量就叫做总体。

这些数据反映了该随机变量分布的基本特征。

我们可以利用这些数据构造一个分布函数，理论上可以证明它很接近于那个未知分布。

这个分布函数就叫做经验分布函数。

例6、例2续(经验分布函数)在例2，我们确定所讨论的指标—在时间间隔ΔT 秒内放射出的α粒子数X ，是一个随机变量。

且有该随机变量的n ＝2608个观测值，这就是一个容量为2608的样本。

在没有其他信息的情况下，首先应该给出该样本的经验分布函数：().n x F x x R n= ∀∈样本中不超过的观测值的个数，在这里我们可求出这个经验分布函数如下：26080, 0;0.021855828, 01;0.099693252, 12;0.24654908 , 23;0.447852761, 34;0.651840491, 45;()0.808282209, 56;0.91296012x x x x x x F x x <≤<≤<≤<≤<≤<=≤<3, 67;0.966257669, 78;0.98351227, 89;0.993865031, 910;1, 10.x x x x x ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪≤<⎪≤<⎪⎪≤<⎪≤<⎪⎪≥⎩这个函数的图像如下（Poisson2）：如果熟悉Poisson 分布的分布函数图像的话，就可以从这个图像判断出，X 可能服从参数为3.87的Poisson 分布。