等腰三角形与直角三角形常见题型
八下期末专题之等腰三角形和直角三角形训练题
八下期末专题之等腰三角形和直角三角形训练题（人教版）一．选择题（共6小题）1．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边的中点，下列结论不一定正确的是（）A．AD⊥BC B．∠B＝∠C C．AD平分∠BAC D．AB＝BC2．下列每组数分别表示三根木棒的长度，将它们首尾连接后，能摆成一个等腰三角形的是（）A．4cm，6cm，8cm B．4cm，6cm，6cmC．3cm，6cm，9cm D．3cm，3cm，6cm3．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠B＝36°，∠BAC的平分线交BC于点D，过点D作AC的平行线，交AB于点E．则图中的等腰三角形有（）A．3个B．4个C．5个D．6个4．如图，P是等边△ABC的边AC的中点，E为BC边延长线上一点，PE＝PB，则∠CPE 的度数为（）A．20°B．25°C．30°D．35°5．在△ABC中，若AB＝BC，则△ABC是（）A．不等边三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰三角形6．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝12，BC＝DC，∠A＝60°，点E在AD上，连接BD，CE相交于点F，CE∥AB．若CE＝9，则CF的长为（）A．4B．5C．6D．8二．填空题（共6小题）7．如图，△ABC是等边三角形，点D是BC的中点，连接AD，则∠BAD的大小为．8．如图，在边长为2等边△ABC中，以B为原点建立坐标系，则点A的坐标为．9．一个等腰三角形的两个内角的和为140°，则它的顶角度数为．10．如图，CD是△ABC的高，∠A＝2∠B，∠ACB的平分线CG交AB于点G，则的值为．11．如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，D为线段AC上一点，连接BD．过点A 作AE∥BD，连接DE，当DB平分∠CDE时，延长DC至点F使得DF＝DE，连接BF．若∠BAC＝∠BFD且BF＝3.6，则CD＝．12．如图，线段AB的一个端点B在直线m上，直线m上存在点C，使△ABC为等腰三角形，这样的点C有个．三．解答题（共3小题）13．如图，上午10时，一条船从A处出发以20海里每小时的速度向正北航行，中午12时到达B处，从A、B望灯塔C，测得∠NAC＝40°，∠NBC＝80°．求从B处到灯塔C 的距离．14．如图，△ABC中，∠B＝45°，点D在边AB上，DC＝AC，AE⊥DC，垂足为F，AE 交BC于点E．（1）用等式表示∠BAE与∠ACD的数量关系，并证明；（2）求证：AE＝DC．15．在△ABC中，AB＝BC，D是AC的中点，连接BD．（1）如图1，若∠BAC＝60°，AB＝4，求CD的长．（2）如图2，过点A作AF∥BC交BD的延长线于点F，求证：△ABF是等腰三角形．。
等腰三角形与直角三角形练习题
等腰三角形与直角三角形练习题一、等腰三角形练习题（一）基础练习1、已知等腰三角形的一个内角为 70°，则它的另外两个内角的度数分别是（）A 55°，55°B 70°，40°C 55°，55°或 70°，40°D 以上都不对解析：当 70°的角为顶角时，底角的度数为：（180° 70°）÷ 2 ＝55°；当 70°的角为底角时，另一个底角也是 70°，顶角的度数为 180°70°× 2 ＝ 40°。
所以答案选择 C。
2、等腰三角形的两边长分别为 3 和 6，则这个等腰三角形的周长为（）A 12B 15C 12 或 15D 18解析：当腰长为 3 时，3 ＋ 3 ＝ 6，不能构成三角形；当腰长为 6 时，周长为 6 ＋ 6 ＋ 3 ＝ 15。
所以答案选择 B。
（二）提高练习1、如图，在△ABC 中，AB ＝ AC，AD 是∠BAC 的平分线，点 E 在 AD 上。
求证：△EBC 是等腰三角形。
证明：因为 AB ＝ AC，AD 是∠BAC 的平分线，所以 AD⊥BC，BD ＝ CD。
又因为点 E 在 AD 上，所以 EB ＝ EC，即△EBC 是等腰三角形。
2、已知等腰三角形一腰上的中线将其周长分成 9 和 15 两部分，求这个等腰三角形的腰长和底边长。
设腰长为 2x，底边长为 y，则有两种情况：情况一：＼（＼begin{cases}2x ＋ x ＝ 9 ＼＼ x ＋ y ＝ 15\end{cases}＼），解得\（＼begin{cases}x ＝ 3 ＼＼ y ＝ 12\end{cases}＼），此时腰长为 6，底边长为 12，因为 6 ＋ 6 ＝ 12，不符合三角形三边关系，舍去。
情况二：＼（＼begin{cases}2x ＋ x ＝ 15 ＼＼ x ＋ y ＝ 9\end{cases}＼），解得\（＼begin{cases}x ＝ 5 ＼＼ y ＝ 4\end{cases}＼），此时腰长为 10，底边长为 4，符合三角形三边关系。
等腰三角形与直角三角形练习题
等腰三角形与直角三角形练习题一、等腰三角形练习题（一）基础巩固1、已知等腰三角形的一个内角为 80°，则它的另外两个内角分别是多少度？解：当 80°的角为顶角时，底角的度数为：（180° 80°）÷ 2 ＝ 50°，所以另外两个内角分别是 50°，50°。
当 80°的角为底角时，顶角的度数为：180° 80°× 2 ＝ 20°，所以另外两个内角分别是 80°，20°。
2、等腰三角形的两边长分别为 6 和 8，则其周长是多少？解：当腰长为 6 时，三边长分别为 6，6，8，因为 6 ＋ 6＞8，所以能组成三角形，此时周长为 6 ＋ 6 ＋ 8 ＝ 20。
当腰长为 8 时，三边长分别为 8，8，6，因为 8 ＋ 6＞8，所以能组成三角形，此时周长为 8 ＋ 8 ＋ 6 ＝ 22。
综上，其周长为 20 或 22。
3、一个等腰三角形的周长为 20，其中一边长为 8，求另外两边的长。
解：当 8 为腰长时，底边长为 20 8× 2 ＝ 4，因为 8 ＋ 4＞8，所以能组成三角形，此时另外两边长分别为 8，4。
当 8 为底边时，腰长为(20 8)÷ 2 ＝ 6，因为 6 ＋ 6＞8，所以能组成三角形，此时另外两边长分别为 6，6。
（二）能力提升1、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 30°，则顶角的度数为多少？解：当等腰三角形为锐角三角形时，腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角为 60°。
当等腰三角形为钝角三角形时，腰上的高与另一腰的夹角为 30°，则顶角的外角为 60°，所以顶角为 120°。
综上，顶角的度数为 60°或 120°。
2、如图，在△ABC 中，AB ＝ AC，D 是 BC 边上的中点，∠B ＝30°，求∠1 和∠ADC 的度数。
中考数学各类计算题型专练 二次函数特殊三角形(等腰_直角)存在性问题
中考数学各类计算题型专练二次函数特殊三角形存在性问题（等腰三角形、直角三角形）【一】如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c 经过A（－1,0）、B（3, 0）、C（0 ,3）三点，直线l是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P 的坐标；（3）在直线L上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形，若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．【二】如图，抛物线y=ax2+bx+c 经过点A（-3，0），B（1.0 ），C（0，-3 ）．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P 为第三象限内抛物线上的一点，设△PAC 的面积为S，求S 的最大值并求出此时点P 的坐标；（3）设抛物线的顶点为D，DE⊥x轴于点E，在y 轴上是否存在点M，使得△ADM是直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【三】在平面直角坐标系中,现将一块等腰直角三角板放在第一象限,斜靠在两坐标轴上,且点A（0,2）,点C （1,0）,如图所示,抛物线y=ax2−ax−2经过点B.（1）求点B的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）在抛物线上是否还存在点P（点B除外），使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形?若存在，求所有点P的坐标；若不存在，请说明理由。
【四】如图，抛物线y=ax 2-5ax+4经过△ABC的三个顶点，已知BC∥x轴，点A在x 轴上，点C 在y 轴上，且AC=BC．（1）求抛物线的对称轴；（2）写出A，B，C 三点的坐标并求抛物线的解析式；（3）探究：若点P 是抛物线对称轴上且在x 轴下方的动点，是否存在△PAB是等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点P 坐标；不存在，请说明理由．【五】如图，已知二次函数y=ax2+bx+3的图象交x轴于点A（1，0），B（3，0），交y轴于点C。
（1）求这个二次函数的表达式；（2）点P是直线BC下方抛物线上的一动点，求△BCP面积的最大值；（3）直线x=m分别交直线BC和抛物线于点M，N，当△BMN是等腰三角形时，直接写出m的值【六】如图，已知A（﹣2，0），B（4，0），抛物线y=ax2+bx﹣1过A、B两点，并与过A点的直线y= -1/2x ﹣1交于点C．（1）求抛物线解析式及对称轴；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使四边形ACPO的周长最小？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；（3）点M为y轴右侧抛物线上一点，过点M作直线AC的垂线，垂足为N．问：是否存在这样的点N，使以点M、N、C为顶点的三角形与△AOC相似，若存在，求出点N的坐标，若不存在，请说明理由．【七】如图，已知抛物线于x轴交于A（－1,0）、B （3,0）两点，与y轴交于点C（0,3）。
动点问题(一)等腰三角形与直角三角形
动点问题（一）等腰三角形与直角三角形 1、已知平行四边形ABCD 中，AB=7，BC=4，∠A=30°若点P 从点A 沿AB 运动，速度是1cm/s 。
当t 为何值时，△PBC 为等腰三角形？
2、抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过A (－1,0)、B (3, 0)、C (0 ,3)三点，直线l 是抛物线的对称轴．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）设点P 是直线l 上的一个动点，当△P AC 的周长最小时，求点P 的坐标；
（3）在直线l 上是否存在点M ，使△MAC 为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
D C B
A 7 4
3、已知：直线121y +=x 与y 轴交于A ，与x 轴交于D ，抛物线c bx x ++=22
1y 与直线交于A 、E 两点，与轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为 （1，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）动点P 在x 轴上移动，当△PAE 是直角三角形时，求点P 的坐标．
（3）在抛物线的对称轴上找一点M ，使的值最大，求出点M 的坐标．
练：如图点A 在x 轴上，OA ＝4，将线段OA 绕点O 顺时针旋转120°至OB 的位置．（1）求点B 的坐标；
（2）求经过A 、O 、B 的抛物线的解析式；
（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P ，使得以点P 、O 、B 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．。
八年级数学 等腰三角形与直角三角形专项习题(含答案)
1.已知等腰三角形的两边长是4cm 和9cm ,则此三角形的周长是（）A ．17cm B ．13cmC ．22cmD ．17cm 或22cm 2.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60°，则等腰三角形的底角度数为（）A ．15°B ．30°C ．15°或75°D ．30°或150°3.如图，在Rt △ABC中，∠C =90°，AB =10，BC =6．点F 是边BC 上一动点，过点F 作FD∥AB 交AC 于点D ，E 为线段DF 的中点，当BE 平分∠ABC 时，AD 的长度为.4.如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，点D 、E 、F 分别是AB 、BC 、CA 的中点．若CD =2，则线段EF 的长是．八年级数学等腰三角形与直角三角形专项习题（含答案）5.(有难度)在Rt△ABC中，∠C=90°，有一个锐角为60°，AB=6，若点P在直线AB上（不与点A，B重合），且∠PCB=30°，则AP的长为．6.如图所示，△ABC中，AB=BC，DF⊥BC于点D，交AC于F，DE⊥AB于点E．⑴若∠AFD=155°，求∠EDF的度数；⑵若点F是AC的中点，求证：∠CFD=1∠B．1.解：①4cm 是腰长时，三角形的三边分别为4cm 、4cm 、9cm ,∵4+4=8＜9，∴不能组成三角形；②4cm 是底边时，三角形的三边分别为4cm 、9cm 、9cm ,能够组成三角形，周长=4+9+9=22cm ,综上所述，三角形的周长22cm .故选：C ．2.解：在等腰△ABC 中，AB =AC ，BD 为腰AC 上的高，∠ABD =60°，当BD 在△ABC 内部时，如图1，∵BD 为高，∴∠ADB =90°，∴∠BAD =90°-60°=30°，∵AB =AC ，∴∠ABC =∠ACB =12（180°-30°）=75°；当BD 在△ABC 外部时，如图2，∵BD 为高，∴∠ADB =90°，∴∠BAD =90°-60°=30°，∵AB =AC ，∴∠ABC =∠ACB ，而∠BAD =∠ABC +∠ACB ，∴∠ACB =12∠BAD =15°，综上所述，这个等腰三角形底角的度数为75°或15°．故选：C ．3.解：设AD =x ,∵∠C =90°，AB =10，BC =6，∴AC ==8，∴CD =8-x ,∵DF ∥AB ，∴AD ：AC =BF ：BC ，∴x ：8=BF ：6，∴BF =34x ,∵BF 平分∠ABC ，∴∠FBE =∠ABE ，∵FD ∥AB ，∴∠FEB =∠ABE，∴∠FBE =∠FEB，∴FE =BF，∵E 是FD 中点，∴DF =2EF ，答案解析4.解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，即CD是直角三角形斜边上的中线，∴AB=2CD=2×2=4，又∵E、F分别是BC、CA的中点，即EF是△ABC的中位线，∴EF=12AB=12×2=2，故答案为：2．5.解：当∠A=30°时，∵∠C=90°，∠A=30°，∴∠CBA=60°，BC=AB=×6=3，由勾股定理得，AC=3，①点P在线段AB上，∵∠PCB=30°，∠CBA=60°∴∠CPB=90°，∴∠CPA=90°，在Rt△ACP中，∠A=30°，∴PC=AC=×3=．∴在Rt△APC中，由勾股定理得AP=．②点P在线段AB的延长线上，∵∠PCB=30°，∴∠APC=90°+30°=120°，∵∠A=30°，∴∠CPA=30°．∵∠PCB=30°，∴∠PCB=∠CPA，∴BP=BC=3，∴AP=AB+BP=6+3=9．当∠ABC=30°时，∵∠C=90°，∠ABC=30°，∴∠A=60°，AC=AB=×6=3，由勾股定理得，BC=3，①点P在线段AB上，∵∠PCB=30°，∴∠ACP=60°，∴△ACP是等边三角形，∴AP=AC=3．②点P在线段AB的延长线上，∵∠PCB=30°，∠ABC=30°，∴CP∥AP这与CP与AP交于点P矛盾，舍去．综上所得，AP的长为，9或3．故答案为：，9或3．6.解：⑴∵∠AFD=155°，∴∠DFC=25°，∵DF⊥BC，DE⊥AB，∴∠FDC=∠AED=90°，在Rt△FDC中，∴∠C=90°-25°=65°，∵AB=BC，∴∠C=∠A=65°，∴∠EDF=360°-65°-155°-90°=50°．⑵连接BF，∵AB=BC，且点F是AC的中点，∴BF⊥AC，∠ABF=∠CBF=12∠ABC，∴∠CFD+∠BFD=90°，∠CBF+∠BFD=90°，∴∠CFD=∠CBF，∴∠CFD=12∠ABC．。
专题17 等腰三角形与直角三角形(解析版)
专题17等腰三角形与直角三角形命题点1 一般等腰三角形的判定与计算1. 已知△ABC的周长是l，BC＝l－2AB，则下列直线一定为△ABC的对称轴的是( )A. △ABC的边AB的垂直平分线B. ∠ACB的角平分线所在的直线C. △ABC的边BC上的中线所在的直线D. △ABC的边AC上的高所在的直线【答案】 C【解析】∵△ABC的周长是l，BC＝l－2AB，∴AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形，它的对称轴为底边BC上的中线所在直线，故选C.2. 如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E两点分别在AC、BC上，BD是∠ABC的平分线，DE∥AB，若BE＝5 cm，CE＝3 cm，则△CDE的周长是( )第2题图A. 15 cmB. 13 cmC. 11 cmD．9 cm【答案】B【解析】∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∵DE∥AB，∴∠DEC＝∠ABC＝∠C，∠ABD＝∠BDE，∴DE＝DC，∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD＝∠DBE，∴∠DBE＝∠BDE，∴BE＝DE＝DC＝5 cm，∴△CDE的周长为DE＋DC＋EC＝5＋5＋3＝13 cm.3. 腰长为10，一条中线长为6的等腰三角形的底边长为( )A. 16B. 8C. 8或22D. 16或22【答案】D【解析】当中线是底边中线时，底边＝2×102－62＝2×8＝16；当中线是腰上的中线时，如解图所示，设AB ＝AC ＝10，中线CD ＝6，过点C 作CE ⊥AB 于点E ，BE ＝x ，则：DE ＝5－x ，AE ＝10－x ，由勾股定理得：AC 2－AE 2＝CE 2＝CD 2－DE 2，∴102－(10－x )2＝62－(5－x )2，解得：x ＝1110，∴CE 2＝CD 2－DE 2＝2321100，∴BC ＝BE 2＋CE 2＝22.4. 如图，在△ABC 中，∠A ＝36°，AB ＝AC ，BD 是△ABC 的角平分线．若在边AB 上截取BE ＝BC ，连接DE ，则图中等腰三角形共有( )A . 2个B . 3个C . 4个D . 5个第4题图第5题图【答案】 D【解析】本题考查等腰三角形的性质及判定．∵∠A ＝36°，AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠C ＝12(180°－36°)＝72°，△ABC 是等腰三角形．∵BD 是∠ABC 的角平分线，∴∠ABD ＝∠DBC ＝12∠ABC ＝36°，∴∠BDC ＝180°－∠C －∠DBC ＝72°，∴∠C ＝∠BDC ＝72°，∴△BCD 是等腰三角形．∴BC ＝BD .∵BE ＝BC ，∴BE ＝BD ，∴△BED 是等腰三角形．∵∠EBD ＝36°，∴∠A ＝∠ABD ＝36°，∴△ABD 是等腰三角形．∵∠BED ＝12(180°－36°)＝72°，∴∠AED ＝180°－∠BED ＝108°，∵∠A ＝36°，∴∠ADE ＝180°－∠A －∠AED ＝180°－36°－108°＝36°，∴△AED 是等腰三角形．∴等腰三角形有△ABC 、△BCD 、△ABD 、△BED 、△AED 共5个．5.如图，在△ABC 中，AB ＝BC ，∠ABC ＝110°.AB 的垂直平分线DE 交AC 于点D ，连接BD ，则∠ABD ＝________度．【答案】35【解析】∵AB ＝BC ，∠ABC ＝110° ，∴∠A ＝∠C ＝35° ， ∵DE 垂直平分AB ，∴DA ＝DB ，∴∠A ＝∠ABD ＝35°. 6. 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝1，BC ＝5－12，在AC 边上截取AD ＝BC ，连接BD. (1)通过计算，判断AD 2与AC ·CD 的大小关系； (2)求∠ABD 的度数．第6题图【答案】解：(1)∵AD ＝BC ＝5－12， ∴AD 2＝(5－12)2＝3－52， ∵AC ＝1， ∴CD ＝1－5－12＝3－52， ∴AD 2＝AC ·CD ； (2) ∵AD 2＝AC ·CD ， ∴BC 2＝AC ·CD ，即BC AC ＝CDBC， 又∠C ＝∠C ， ∴△ABC ∽△BDC ， ∴AB BD ＝AC BC， 又AB ＝AC ， ∴BD ＝BC ＝AD ，∴∠A ＝∠ABD ，∠ABC ＝∠C ＝∠BDC ，设∠A ＝∠ABD ＝x ，则∠BDC ＝∠A ＋∠ABD ＝2x ， ∴∠ABC ＝∠C ＝∠BDC ＝2x ，∵∠A ＋∠ABC ＋∠C ＝x ＋2x ＋2x ＝180°， 解得x ＝36°. ∴∠ABD ＝36°.命题点2 等边三角形的判定与计算7. 如图，∠AOB＝120°，OP平分∠AOB，且OP＝2.若点M，N分别在OA，OB上，且△PMN为等边三角形，则满足上述条件的△PMN有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 3个以上第7题图第8题图【答案】D【解析】如解图，当OM1＝2，点N1与点O重合时，△PM1N1是等边三角形；当ON2＝2，点M2与点O重合时，△PM2N2是等边三角形；当点M3，N3分别是OM1，ON2的中点时，△PM3N3是等边三角形；当取∠M1PM4＝∠OPN4时，易证△M1PM4≌△OPN4，∴PM4＝PN4，又∵∠M4PN4＝60°，∴△PM4N4是等边三角形，∴此时点M，N有无数个，综上所述，故选D.8. 如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E是△ABC内的两点，AD平分∠BAC，∠EBC＝∠E ＝60°，若BE＝6 cm，DE＝2 cm，则BC的长为( )A. 4 cmB. 6 cmC. 8 cmD. 12 cm【答案】C【解析】如解图所示，延长ED交BC于点M，延长AD交BC于点N，作DF∥BC于交BEF，∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴AN⊥BC，BN＝CN，∵∠EBC＝∠E＝60°，∴△BEM为等边三角形，∴△EFD为等边三角形，∵BE＝6 cm，DE＝2 cm，∴DM＝4 cm，∵△BEM为等边三角形，∴∠EMB＝60°，∵AN⊥BC，∴∠DNM＝90°，∴∠NDM＝30°，∴NM＝2 cm，∴BN＝4 cm，∴BC＝2BN＝8 cm.9. 已知等边三角形的边长为3，点P为等边三角形内任意一点，则点P到三边的距离之和为( )A .32 B . 332 C . 32D . 不能确定 【答案】B【解析】 如解图，△ABC 是等边三角形，AB ＝3，点P 是三角形内任意一点，过点P 分别向三边AB ，BC ，CA 作垂线，垂足依次为D ，E ，F ，过点A 作AH ⊥BC 于点H .则BH ＝32，AH＝AB 2－BH 2＝332.连接PA ，PB ，PC ，则S △PAB ＋S △PBC ＋S △PCA ＝S △ABC ，∴12AB ·PD ＋12BC ·PE ＋12CA ·PF ＝12BC ·AH .∵AB ＝BC ＝CA ，∴PD ＋PE ＋PF ＝AH ＝332. 10. 如图，△ABC 是等边三角形，P 是∠ABC 的角平分线BD 上一点，PE ⊥AB 于点E ，线段BP 的垂直平分线交BC 于点F ，垂足为点Q ，若BF ＝2，则PE 的长为________．第10题图第11题图【答案】 3【解析】∵△ABC 是等边三角形，点P 是∠ABC 的角平分线BD 上一点，∴∠FBQ ＝∠EBP ＝30°，∴在Rt △BFQ 中，BQ ＝BF ·cos ∠FBQ ＝2×32＝3，又∵QF 是BP 的垂直平分线，∴BP ＝2BQ ＝2 3.∵在Rt △BPE 中，∠EBP ＝30°，∴PE ＝12BP ＝ 3.11.如图，在△ABC 中，AB ＝10，∠B ＝60°，点D 、E 分别在AB 、BC 上，且BD ＝BE ＝4.将△BDE 沿DE 所在直线折叠得到△B ′DE(点B ′在四边形ADEC 内)，连接AB ′，则AB ′的长为________．【答案】27【解析】如解图，过点B ′作B ′O ⊥AD 交AD 于点O . 将等边△BDE 沿DE 折叠后得等边△B ′DE ，那么四边形BDB ′E 是菱形；在Rt △ODB ′中，由折叠知∠BDE ＝∠B ′DE ＝∠ODB ′＝60°，B ′D ＝4，可求得OD ＝2，OB ′＝23；在Rt △AOB ′中，AO ＝AB －OD －BD ＝10－2－4＝4，AB ′＝AO 2＋OB ′2＝42＋（23）2＝27 .命题点3 直角三角形的判定与计算12.如图，在△ABC 中，BF 平分∠ABC ，AF ⊥BF 于点F ，D 为AB 的中点，连接DF 并延长交AC 于点E.若AB ＝10，BC ＝16，则线段EF 的长为( )A . 2B . 3C . 4D . 5第12题图第13题图【答案】B【解析】∵AF ⊥BF ，点D 是AB 边上的中点，∴DF ＝BD ＝12AB ＝5，∴∠DBF ＝∠DFB ，∵BF 平分∠ABC ，∴∠DBF ＝∠CBF ＝∠BFD ，∴DE ∥BC ，故DE 是△ABC 的中位线，∴DE ＝12BC＝8，∴EF ＝DE －DF ＝8－5＝3.13. 如图，已知△ABC 中，AB ＝10，AC ＝8，BC ＝6，DE 是AC 的垂直平分线，DE 交AB 于点D ，连接CD ，则CD ＝( )A . 3B . 4C . 4.8D . 5【答案】D【解析】∵AB ＝10，BC ＝6，AC ＝8，∴AB 2＝AC 2＋BC 2，∴∠ACB ＝90°，∵DE 垂直平分AC ，∴∠AED ＝90°，AE ＝CE ＝4，∴DE ∥BC ，∴DE 是△ABC 的中位线，∴DE ＝12BC ＝3.在Rt△CED 中，CD ＝CE 2＋DE 2＝5 .14.如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝2，P 是AB 边上一动点，PD ⊥AC 于点D ，点E 在P 的右侧，且PE ＝1，连接CE.P 从点A 出发，沿AB 方向运动，当E 到达点B 时，P 停止运动．在整个运动过程中，图中阴影部分面积S 1＋S 2的大小变化情况是( )A . 一直减小B . 一直不变C . 先减小后增大D . 先增大后减小第14题图第15题图【答案】C【解析】如解图，过点D 作DN ⊥AB 于点N ，过点C 作CM ⊥AB 于点M .在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝2，根据勾股定理，得AB ＝AC 2＋BC 2＝42＋22＝2 5 ，利用等面积法，即S △ABC ＝12AC ·CB ＝12AB ·CM ，可求CM ＝AC ·BC AB ＝45 5.设AP ＝x ，易证△ADP ∽△ACB ，∴S 1S △ACB＝(AP AB )2 ，∴S 1＝(x 25)2×12×4×2＝15x 2 ，S 2＝12×(AB －AP －PE )·CM ＝12×(25－x －1)×455＝－255x ＋4－255，∴S 1＋S 2＝15x 2－255x ＋4－255，此函数为二次函数，a ＝15>0，∵对称轴为x ＝－b2a ＝5，AB ＝25>5，∴图象开口向上，故先减小，后变大，故选C.15. 如图，在四边形ABCD 中，∠ABC ＝∠ADC ＝90°，对角线AC 、BD 交于点P ，且AB ＝BD ，AP ＝4PC ＝4，则cos ∠ACB 的值是________．【答案】33【解析】如解图所示，作BE ⊥AD 于E ，则BE ∥CD ，由AB ＝BD 得E 是AD 的中点，因此OE 是△ACD 的一条中位线，从而O 是AC 的中点，以O 为圆心，OA 为半径作圆．则由∠ABC＝∠ADC ＝90°可知该圆经过A 、B 、C 、D 四点，易知AP ＝4，PC ＝1，AC ＝AP ＋PC ＝5，因此，OA ＝OC ＝52，OP ＝OC －PC ＝32，由BE ∥CD 得，BP ∶PD ＝OP ∶PC ＝32，因此BP ＝32DP ，从而AB＝BD ＝BP ＋PD ＝52PD ，由相交弦定理得BP ·PD ＝AP ·PC ＝4，即32PD 2＝4，因此PD 2＝83，从而AB 2＝(52PD )2＝254PD 2＝503，由勾股定理得BC 2＝AC 2－AB 2＝52－503＝253，因此BC ＝533，∴cos ∠ACB ＝BC ∶AC ＝33. 16. 如图，在四边形ABCD 中，∠ABC ＝90°，AC ＝AD, M 、N 分别为AC 、CD 的中点，连接BM, MN, BN.(1)求证：BM ＝MN;(2)若∠BAD ＝60°，AC 平分∠BAD ，AC ＝2，求BN 的长．第16题图【答案】解：(1)证明：在△CAD 中，∵M 、N 分别是AC 、CD 的中点， ∴MN ∥AD 且MN ＝12AD ，在Rt △ABC 中， ∵点M 是AC 的中点， ∴BM ＝12AC ，又∵AC ＝AD ， ∴BM ＝12AC ＝12AD ＝MN ，∴MN ＝BM ；(2)∵∠BAD ＝60°，且AC 平分∠BAD ， ∴∠BAC ＝∠DAC ＝12∠BAD ＝30°，由(1)知，BM ＝12AC ＝AM ＝MC ，∴∠BMC ＝60° ∵MN ∥AD ，∴∠NMC ＝∠DAC ＝30°， ∴∠BMN ＝∠BMC ＋∠NMC ＝90°， ∴BN 2＝BM 2＋MN 2，而由(1)知，MN ＝BM ＝12AC ＝12×2＝1，∴BN ＝ 2.命题点4 等腰直角三角形的判定与计算17.如图，在等腰直角△ABC 中，∠C ＝90°，点O 是AB 的中点，且AB ＝6，将一块直角三角板的直角顶点放在点O 处，始终保持该直角三角板的两直角边分别与AC 、BC 相交，交点分别为D 、E ，则CD ＋CE 等于( )A . 2B . 3C . 2D . 6第17题图第18题图【答案】B【解析】如解图，连接OC ，证明△AOD ≌△COE ，得AD ＝CE ，进而得CD ＋CE ＝AC ，∵△ABC 是等腰直角三角形，∴AC 2＋BC 2＝AB 2＝2AC 2＝6，∴AC ＝3，∴CD ＋CE ＝3，故选B.18. △ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，直角∠EPF 的顶点点P 是BC 的中点，两边PE 、PF 分别交AB 、AC 于点E 、F ，给出以下四个结论：①AE ＝CF ；②△EPF 是等腰三角形；③EF ＝AP ；④S四边形AEPF＝12S △ABC ；当∠EPF 在△ABC 内绕P 旋转时(点E 不与A 、B 重合)，则上述结论始终正确的有( )A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个【答案】C【解析】∵∠APE 、∠CPF 都是∠APF 的余角，∴∠APE ＝∠CPF ，∵AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，点P 是BC 中点，∴AP ＝CP ，∴∠PAF ＝∠FCP ，又由题意知∠EAP ＝∠PAF ，∴∠EAP ＝∠FCP ，在△APE 与△CPF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠EPA ＝∠FPC ∠EAP ＝∠FCP AP ＝CP ，∴△APE ≌△CPF (ASA)，∴AE ＝CF 同理可证△APF ≌△BPE ，PE ＝PF ，△EPF 是等腰直角三角形，∴S △AEP ＝S △CFP ，∴S四边形AEPF＝S △APC ＝12S △ABC ，①②④正确；∵AP ＝12BC ，若EF ＝AP ＝12BC ，则EF 是△ABC 的中位线，不能保证结论始终正确，故③错误．故选C.19.在等腰直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3，点P 为边BC 的三等分点，连接AP ，则AP 的长为________．【答案】13或10【解析】由题知，点P 为直角边BC 的三等分点，显然分两种情况讨论：(ⅰ)如解图①，当点P 靠近点B 时，∵AC ＝BC ＝3，∴CP ＝2，在Rt △ACP 中，由勾股定理得AP ＝AC 2＋CP2＝13；(ⅱ)如解图②，当点P 靠近点C 时，∵AC ＝BC ＝3，∴CP ＝1，在Rt △ACP 中，由勾股定理得AP ＝AC 2＋CP 2＝10. 综上可得：AP ＝13或10.第19题解图20. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝3，点D 在边AC 上，且AD ＝2CD ，DE ⊥AB ，垂足为点E ，连接CE.求：(1)线段BE 的长； (2)∠ECB 的余切值．第20题图【答案】解：(1)∵AD ＝2CD ，AC ＝3， ∴AD ＝2，在Rt △ABC 中， ∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝3， ∴∠A ＝45°，AB ＝AC 2＋BC 2＝32， ∵DE ⊥AB ，∴∠AED ＝90°，∠ADE ＝∠A ＝45°， ∴AE ＝AD ·cos45°＝2，∴BE ＝AB －AE ＝22，即线段BE 的长是2 2.第20题解图(2)如解图，过点E作EH⊥BC于点H，在Rt△BEH中，∠EHB＝90°，∠B＝45°，∴EH＝BH＝EB·cos45°＝2，又∵BC＝3，∴CH＝1，在Rt△ECH中，cot∠ECB＝CHEH ＝12，即∠ECB的余切值是12.。
等腰三角形和直角三角形专项练习题
等腰三角形和直角三角形专项练习题一、选择题1.等腰三角形一底角为30°,底边上的高为9cm,则腰长为（ ）cm ．A.3B.18C.9D.392.已知直角三角形的周长为14，斜边上的中线长为3．则直角三角形的面积为（ ）A.5B.6C.7D.83.如图，△ABC 中，AC=BC ，∠ACB=90°，AE 平分∠BAC 交BC 于E ，BD ⊥AE 于D ，DM ⊥AC 于M ，连接CD ．下列结论：①AC+CE=AB ；②CD ＝21 AE ；③∠CDA=45°；④AMAB AC =定值．其中正确的有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个4.等腰三角形的一个角等于20°, 则它的另外两个角等于:（ ）A.20°、140°B.20°、140°或80°、80°C.80°、80°D.20°、80°5.如图，BE 和AD 是△ABC 的高，F 是AB 的中点，则图中的三角形一定是等腰三角形的有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个6.下列命题正确的是（ ）A.等腰三角形只有一条对称轴B.直线不是轴对称图形C.直角三角形都不是轴对称图形D.任何一角都是轴对称图形7.等腰三角形两边分别为35厘米和22厘米,则它的第三边长为( )A.35cmB.22cmC.35cm 或22cmD.15cm8.下列条件不可以判定两个直角三角形全等的是（ )A.两条直角边对应相等B.有两条边对应相等C.一条边和一锐角对应相等D.一条边和一个角对应相等9.等腰三角形中,AB 长是BC 长2倍,三角形的周长是40,则AB 的长为( )A.20B.16C.20或16D.1810.如图已知:AB ＝AC ＝BD,那么∠1与∠2之间的关系满足( )A.∠1＝2∠2B.2∠1＋∠2＝180°C.∠1＋3∠2＝180°D.3∠1－∠2＝180°二、填空题1. 等腰三角形的腰长是底边的43，底边等于12cm ，则三角形的周长为______ cm. 2. 等腰三角形的底角是65°,顶角为________.3. 等腰三角形的一个内角为100°,则它的其余各角的度数分别为_______.4. 等腰三角形的顶角等于一个底角的4倍时, 则顶角为_________度．5. 已知如图，A 、D 、C 在一条直线上AB ＝BD ＝CD, ∠C ＝40°,则∠ABD ＝_______6. 如图, ∠P ＝25°, 又PA ＝AB ＝BC ＝CD, 则∠DCM ＝_______度.第7题 第5题 第6题7. 如图已知∠ACB＝90°,BD＝BC,AE＝AC,则∠DCE＝__________度8. △ABC中,∠C＝90°，AB＝10，∠A＝30°，则BC=______,AC=_________9. 已知Rt△ABC中，斜边AB=10cm，则斜边上的中线的长为______10.如图，在△ABC和△ABD中，∠C=∠D=90°，若利用“AAS”证明△ABC≌△ABD，则需要加条件____________或_______________；若利用“HL”证明△ABC≌△ABD，则需要加条件___________或_______________．三、几何题1.如图，在△ABC中，已知AB=10，BD=6，AD=8，AC=17.（1）求DC的长.（2）判断△ABC是否是直角三角形？2.如图，△ABC是等边三角形，BD是AC边上的高，延长BC至E，使得CE=CD.连接DE（1）∠E等于多少度？（2）△DBE是什么三角形？3.如图，早上10点小东测得某树的影长为2m，到了下午5时又测得该树的影长为8m，若两次日照的光线互相垂直，求树的高度4.如图，在等腰三角形ABC中，已知AB=AC=13cm，BC=10cm，AD⊥BC于点D.（1）求BC边上的高AD的长（2）求AC边上的高的长5.如图，△ABC中，AB=AC，点D、E分别在AB、AC的延长线上，且BD=CE，DE与BC相交于点F.求证：DF=EF.6.如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=23，求AB的长．900907. 如图，已知△ABC 为等边三角形，点D 、E 分别在BC 、AC 边上，且AE=CD ，AD 与BE 相交于点F.（1）线段AD 与BE 有什么关系？试证明你的结论（2）求∠BFD 的度数8. 如图，在△ABC 中，AB=BC ，∠ABC= ，OA=OB,在△EOF 中，∠EOF= ,OE=OF,连接AE 、BF.问线段AE 与BF 之间的关系？请说明理由9.如图,在△ABC 中,AB=AC,E 为CA 延长线上一点,ED ⊥BC 于D 交AB 于F.求证:△AEF 为等腰三角形.10.如图，一艘渔船以30海里/h 的速度由西向东追赶鱼群.在A 处测得小岛C 在船的北偏东60°方向；40min 后，渔船行至B 处，此时测得小岛C 在船的北偏东30°方向.已知以小岛C 为中心，周围10海里以内有暗礁，问这艘渔船继续向东追赶鱼群是否有触礁的危险？Welcome !!! 欢迎您的下载，资料仅供参考！。
直角三角形分类题型(全)
直角三角形分类题型(全)直角三角形是指其中一个角为直角的三角形。
在几何学中，直角三角形是一个重要的概念，对于学生来说，了解和分类直角三角形的题型是十分必要的。
本文将介绍几种常见的直角三角形分类题型。
1. 根据边长判断根据直角三角形的边长可以将题型分为三类：- 等腰直角三角形：即两条直角边的边长相等。
在解题过程中，可以利用等腰三角形的性质来简化计算。
- 正直角三角形：即除了直角边外的第三边也是整数长度。
这种题型在应用中相对较为少见，但在数学理论研究中有一定的重要性。
- 普通直角三角形：即除了直角边外的第三边可能是无理数长度。
这是最常见的直角三角形分类。
2. 根据角度判断根据直角三角形中的其他两个角的大小关系，可以将题型分为两类：- 锐角直角三角形：即直角三角形中的另外两个角都是锐角。
这种题型要求在解题过程中对角度进行合理的估计和计算。
- 钝角直角三角形：即直角三角形中的另外两个角其中至少有一个是钝角。
对于这种题型，需要根据给定的条件进行角度计算。
3. 根据特殊线段判断根据直角三角形中的特殊线段，可以将题型分为四类：- 中线问题：即寻找直角三角形的中线并计算其长度。
通过运用中线的性质，可以简化解题过程。
- 垂线问题：即寻找直角三角形的垂线并计算其长度。
垂线的长度可以通过几何关系和比例等方法进行计算。
- 角平分线问题：即寻找直角三角形的角平分线并计算其长度。
通过角平分线的性质，可以找到解题的关键。
- 外接圆问题：即寻找直角三角形的外接圆并计算其半径或直径。
利用外接圆的性质，可以解决与直角三角形有关的难题。
综上所述，了解和掌握直角三角形的分类题型对于解题和几何学的研究都具有重要意义。
通过分析边长、角度和特殊线段等要素，可以更加灵活地应用几何知识解决问题，提高解题效率和准确性。
等腰三角形与直角三角形复习
等腰三角形与直角三角形复习三角形是初中数学中非常重要的一个部分，而等腰三角形和直角三角形又是其中比较特殊且重要的类型。
在这篇文章中，咱们一起来好好复习一下这两种三角形的相关知识。
一、等腰三角形1、定义等腰三角形是指至少有两边相等的三角形。
相等的两条边称为这个三角形的腰，另一边叫做底边。
两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。
2、性质（1）等腰三角形的两腰相等。
（2）等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。
（3）等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）。
3、判定（1）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）。
（2）有两条边相等的三角形是等腰三角形。
4、等腰三角形中的重要线段（1）等腰三角形顶角的平分线：不仅平分顶角，还垂直于底边。
（2）底边上的中线：平分底边，并且垂直于底边。
（3）底边上的高：平分底边，同时平分顶角。
5、等腰三角形的周长和面积（1）周长：等腰三角形的周长等于底边长度加上两条腰的长度。
（2）面积：可以使用底乘以高除以 2 来计算。
6、等腰三角形的常见题型（1）求角度：根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理来计算角度。
（2）证明线段相等：利用“等边对等角”和“等角对等边”进行证明。
（3）求周长和面积：通过已知条件求出各边长度，进而计算周长和面积。
二、直角三角形1、定义有一个角为 90 度的三角形，叫做直角三角形。
2、性质（1）直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）。
（2）在直角三角形中，两个锐角互余。
（3）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
3、判定（1）如果一个三角形的三边满足勾股定理，那么这个三角形是直角三角形。
（2）如果一个三角形的两个角互余，那么这个三角形是直角三角形。
4、直角三角形中的特殊角度（1）30 度所对的直角边等于斜边的一半。
（2）如果一个直角三角形的一个锐角是 45 度，那么这个直角三角形是等腰直角三角形，两条直角边相等。
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等腰三角形与直角三角形
一、选择题
1、直角三角形的两个锐角的平分线所交成的角的度数是（ ） A 、45°B 、135°C 、45°或135°D 、以上答案都不对
2、已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1∶4，则这个等腰三角形顶角的度数为（ ） （A ）200 （B ）1200 （C ）200或1200 （D ）360
3、P 为ABC ∆内一点，且PC PB PA ==，则P 点是（ ）
A. 三条中线的交点
B. 三条高的交点
C. 三个角的平分线的交点
D.三边垂直平分线的交点 4、（2007四川资阳）如图，已知△ABC 为直角三角形，∠C=90°，若沿图中虚线剪去∠C ，则∠1+∠2等于( )C
A. 90°
B. 135°
C. 270°
D. 315°
值
5
、（
2006日照市）
如图，
在△ABC 中，AB=AC ，D 为AC 边上一点，且BD=BC=AD ．•则∠A 等于（
） A ．30° B ．36° C ．45° D ．72° 6、（05年吉林省）如图，在Rt △ADB 中，∠D=90°，C 为AD 上一点，则x 可能是（ ） A ．10° B ．20° C ．30° D ．40°
7、2006年烟台市）如图10，CD 是Rt △ABC 斜边上的高，将△BCD 沿CD 折叠，B •点恰好落在AB 的中点E 处，则∠A 等于（ ）
A ．25°
B ．30°
C ．45°
D ．60°
8、2002年8月在北京召开的国际数学大会会标取材于我国古代数学家赵爽的 《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正 方形（如图），如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的 较短直角边长为a ，较长直角边长为b ，那么2
()a b +的值为（ ） A ．13 B ．19 C ．25 D ．169
9、（2006包头市）如图，将等腰直角三角形ABC 绕点A 逆时针旋转15°后得到△AB ′C ′，若AC=1，则图中阴影部分的面积为（ ） A B C D ．
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10、 如图，△DAC 和△EBC 均是等边三角形，AE 、BD 分别与CD 、CE 交于点M 、N ，有如下结论： ① △ACE ≌△DCB ； ② CM ＝CN ；③ AC ＝DN 。
其中，正确结论的个数是（ ） (A) 3个 （B ）2个 (C) 1个 （D ）0个
二、填空题
11、如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠A=50°，BD 为∠ABC 的平分线，则∠BDC=_____°． 12、一幅三角板，如图所示叠放在一起。
则图中∠α的度数是
13、如图，ABC ∆中，∠C=90°，∠ABC=60°，BD 平分∠ABC ，若AD=6，则CD= . 14、（2006江阴市）如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠BAD=20•°，且AE=•AD ，则∠CDE=________． 15、等腰直角三角形中，若斜边和斜边上的高的和是6cm ，则斜边长是 cm 。
16．等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则这个等腰三角形的顶角的度数为
17．等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分为12 cm 和21 cm 两部分，则这个等腰三角形底边的长为
18．如图，P 、Q 是△ABC 的边BC 上的两点，且BP=PQ=QC=AP=AQ ，则∠BAC=
20．如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，AC=AE ，BC=BF ，则∠ECF=
三、解答题
21．如图，在ABC △中，AB AC D =，是BC 上任意一点，过D 分别向 AB AC ，引垂线，垂足分别为E F CG ，，是AB 边上的高．
（1）DE DF CG ，，的长之间存在着怎样的等量关系？并加以证明． （3）若D 在底边的延长线上，（1）中的结论还成立吗？若不成立， 又存在怎样的关系？请说明理由．
A
G E B
D F
C
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22．（1）如图（1），已知：在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=90°，直线MN 过A 点，分别过B 、C 向
直线MN 作垂线，垂足为E 、F 。
求证： EF=BE+CF 。
（2）若将（1）中的直线MN 绕着A 点旋转，使直线MN 与BC 相交，如图（2），而其他条件不变时，（1）中的结论是否成立？若成立，请你证明；若不成立，你能得到什么结论？请给出证明。
23．如图，在等腰Rt ABC △中，P 是斜边BC 的中点，以P 为顶点的直角的两边分别与边AB ，AC 交于点E ，F ，连接EF ．当EPF ∠绕顶点P 旋转时（点E 不与A ，B 重合），PEF △也始终是等腰直角三角形，请你说明理由．
A
B
C
E
F
图（1） M N
A B
C
E
F
图（2）
M
N
A
F E
B
P
C。