第一章 机械振动学基础

当系统受到约束时，其自由度数为系统无约束时 的自由度数与约束数之差。对于n个质点组成的质 点系，各质点的位移可用3n个直角坐标 来描述。当有r个约束条件，约束方程为：
( x1, y1, z1 ,...,xn , yn , zn )
f k ( x1 , y1 , z1 ,..., xn , yn , zn ) 0 k 1,2,...,r
为了确定各质点的位置，可选取N＝3n-r个独立 的坐标： q j q j ( x1 , y1 , z1 ,...,xn , yn , zn )
j 1,2,3,...,N
来代替3n个直角坐标。这种坐标叫做广义坐标。 在广义坐标之间不存在约束条件，它们是独立的 坐标。广义坐标必须能完整地描述系统的运动， 其因次不一是长度。因为选取了个数为自由度数 N的广义坐标，运动方程就能写成不包含约束条 件的形式。
有两个不同频率的简谐振动
x1 A1 sin 1t x2 A2 sin 2t
若
1 2
x x1 x2 A1 sin 1t A2 sin 2t
则合成运动为：
对于 A2 A1 ，这时有
x1 A1 sin 1t x2 A2 sin(1 )t
从能量角度看，惯性是保持动能的元素，恢复性 是贮存势能的元素，阻尼是使能量散逸的元素。 当物体沿x轴作直线运动时，惯性的大小可用质 量来表示。根据牛顿第二定律，有：
d x F m 2 dt
质量的单位是KG。物体的质量是反映其惯性的基 本元件，质量的大小是反映物体惯性的基本物理 参数。
2
典型的恢复性元件是弹簧，该恢复性元件所产 生的恢复力Fs是该元件位移x的函数，即： Fs＝ Fs(x) 其作用方向与位移x的方向相反。当Fs(x)为 线性函数时，即 Fs＝－kx
z Ae
j (t )
A cos(t ) jAsin(t )
（1-3）
这时，简谐振动的位移x可表示为：
x Im[Ae
j (t )
]
（1-4）
简谐运动的速度和加速度表示为：
Im[ jAe j (t ) ] Im[Ae vx Im[ Ae a x
合成运动可表示为：
x A sin 1t
式中：A
A A 2 A1 A2 cost
2 1 2 2
A2 2 2 A2 A1 1 ( ) cost A1 A1
1.2 构成机械振动系统的基本元素
构成机械振动系统的基本元素有惯性、恢 复性和阻尼。 惯性就是能使物体当前运动持续下去的 性质。 恢复性就是能使物体位置恢复到平衡状 态的性质。 阻尼就是阴碍物体运动的性质。
（1）函数在一个周期内连续或只有有限个间 断点，且间断点上函数左右极限存在； （2）在一个周期内，只有有限个极大小值； 则可展开为Fourier级数的形式。
此时： a0 x(t ) a1 cost a2 cos 2t ... 2 b1 sin t b2 sin 2t ... （1-7) 其中：
比例常数K称为弹簧常数或刚度系数，单位为 N/m。
Fd cx
阻尼力Fd反应阻尼的强弱，通常是速度的函数。 当阻尼力Fd与速度成正比时，有：
这种阻尼称为粘性阻尼或线性阻尼，比例常 数c称为粘性阻尼系数，单位为N.s/m
质量，弹簧和阻尼器是构成机械振 动系统物理模型的三个基本元件。 质量大小、弹簧常数和阻尼系数是 表示振动系统动特性的基本物理参 数。
1.1 机械振动的运动学基本概念
1.简谐振动 位移和时间可以用时间表示：
2 2 x A cos( t ) A sin( t ) 1-1 T T 角速度 称为简谐运动的角频率或圆频率，单位 为rad/s，可表示为 2 T
它与频率f有关系式：
2f
简谐振动的速度和加速度是位移表达式关于 时间t的一阶和二阶导数： A cos(t ) A sin(t ) vx 2 （1-2） A 2 sin(t ) A 2 sin(t ) a x 在振动分析中。有时我们用旋转矢量来表示简谐 振动，旋转矢量的模为振幅A，角速度为角频 率 。若用复数来表示，则有：
它们的合成运动为：
x A sin(t )
式中：
A ( A1 cos 1 A2 cos 2 ) 2 ( A1 sin 1 A2 sin 2 ) 2 A1 sin 1 A2 sin 2 tan A1 cos 1 A2 cos 2
两个不同频率振动的全成
1.3 自由度和广义坐标
为了建立振动系统的数学模型，列出描述其运 动的微分方程，必须确定系统的自由度数和描 述系统运动的坐标。 物体运动时，受到各种条件的限制。这些限制 条件称为约束条件。物体在这些约束条件下支 边动时，用于确定其位置所需的独立坐标数就 是该系统的自由度数。
一个质点在空间作自由运动，决定其位置 需要三个独立的坐标，自由度数为3。而由 n个相对位置可变的质点组成的质点系，其 自由度数为3n。刚体运动可以分解为随质 心的平动和绕质心的转动，需要确定其沿 直角坐标x,y,z的三个平动位移和绕x, y, z的 三个转角，所以其自由度数为6。弹性体、 塑性体和流体等变形连续体，由于由无限 个质点所组成，其自由度数有无限多个。
b tan n
2 n
an
bn
(1-8)
于是，方程（1-7）又可表示为：
a0 x(t ) An sin(nt n ) 2 n 1
3.简谐振动的合成
两个同频率振动的合成 有两个同频率的简谐振动
x1 A1 sin(t 1 ) x2 A2 sin(t 2 )
1.1 机械振动的运动学概念
机械振动是一种特殊形式的运动。在这种 运动过程中，机械振动系统将围绕其平衡 位置作往复运动。从运动学的观点看，机 械振动是研究机械系统的某些物理量在某 一数值附近随时间t变化的规律。可用函数 表示为x=x(t); 对于周期运动，表示为x(t)=x(t+nT) 其中T为振动的周期，其倒数即为f=1/T
2 j (t )
j ( t ) 2
] ]
] Im[Ae
j ( t )
（1-5）
z Ae e
式中：
式（1－3）还Hale Waihona Puke 改为：j jt Ae
jt
（1－6）
A Ae
j
是一复数，称为复振幅。它包含振动的振幅两 个信息。
2.周期振动
任何周期函数，只要满足条件
2 T a0 x(t )dt T 0 2 T b0 x(t ) cos ntdt T 0 2 T bn x(t ) sin ntdt T 0
an cos nt bn sin nt An sin(nt n )
式中：
对于特定的n，我们可得
An a
2
n