能带和态密度图的绘制及初步分析

能带结构和态密度图的绘制及初步分析前几天在QQ的群中和大家聊天的时候，发现大家对能带结构和态密度比较感兴趣，我做计算已经有一年半了，有一些经验，这里写出来供大家参考参考，希望能够对初学者有所帮助，另外写的这些内容也不可能全都正确，只希望通过表达出来和大家进行交流，共同提高。

MS这个软件的功能确实是比较强，但是也有一些地方不尽如人意的地方。

（也可能是我对一些结果不会分析所致，有些暂时不能解决的问题在最后一部分提出，希望大家来研究研究，看看有没有实现的可能性）。

能带结构、态密度和布居分析是很重要的内容，在分析能带结构和态密度的时候，往往是先作图，然后分析。

软件本身提供的作图功能并不是很强，比如说能带结构（只能带只能做point图和line图），不美观不说，对于每一个能带的走势也不好观察，感觉无从下手。

所以我一般用origin作图（右图是用origin做的能带图）。

能带结构和态密度的作图过程请参考我给大家提供的动画。

接下来我们先开看看能带结构的分析和制作！第一部分：能带结构这个部分打算先简单的介绍一下能带的基础知识，希望能对大家有所帮助，如果对能带了解比较深入的朋友，可以跳过这个部分内容，之中不当之处请勿见笑。

^_^第一个问题是：1、能带是怎样形成——轨道和一维体系的能带。

能带是一种近似的结果（可以看成一种近似），是周期边界条件（bloch函数）下的一种近似。

先来看看一个最简单的问题，非周期体系有没有能带结构？答案是没有的，大家可以试试：①建一个周期的晶胞②选择build菜单下的symmetry子菜单下的none periodic superstructure去掉周期边界条件性③看看还能够运行吗？运行（run）按钮变灰了，不能提交作业了。

这说明什么问题？这说明这个CASTEP这个模块不能计算非周期的体系，另外可以参考MS中的DMOL模块，它可以计算非周期系统，虽然可以计算周期系统，但是仍不能计算能带，大家可以试试，看看property中的band structure能不能选上，一定不能！！^_^从这里，我们可以得到一个结论，对于单个原子（分子、单胞）如果不加上周期边界条件，是无法获得能带结构的。

所以计算小分子体系，或者采用团簇模型的朋友，这部分内容非周期体系的态密度能够计算吗？这应该是能够计算的，曾经开到过文献采用团簇模型，计算出态密度的（phys. Rev. 上的文章）。

那么非周期体系为什么没有能带结构呢？看一个例子：一个H2分子有能带吗？没有，因为它没有周期边界条件，也就是说在x，y，z方向上没有重复，所以它没有能带结构。

那H2分子有什么东西呢？有两个轨道，两个1s原子轨道，或者说两个轨道能级，它们成键参考右图。

再看另外一个例子：一维无限H原子链H H H H H H在一维无限H原子链体系中，产生了能带。

为什么在一维无限H原子链体系中能够产生能带呢？因为，每一个H 原子有一个1s 轨道，由于在X 轴方向（H 原子周期排列的方向）引入周期边界条件，所以这个体系有无数（阿佛加得罗）个H1s 的轨道能级，这些具有相同能量的能级轨道处于简并的状态。

如果两个相邻的H 原子之间距离较大，不能够成键，那么这条直线很长，无法画下来，那么我们只有压缩它，将他压缩到一个区间（[0,a π]），这样每一个能级用一个点表示，由于点较多，看起来好像形成了一条线，这样能带就形成了。

bloch 函数表示，我们解这些函数，就得结构中的横坐标，另外这个矢量也可以指向-X 方向，所以在[-a π,0]这个区间能带的图像和[0,a π]对称。

当H 原子之间的距离逐渐接近，它们的原子轨道要进行组合，形成一个成键分子轨道和一个反键分子轨道，那么原来能带是一条水平的直线，现在就要开始发生弯曲了（两个分子轨道能量不一样，导致能带发生弯曲），所以[0,a π]这个区间，能带开始有带宽（散度），随着H 原子的距离逐渐接近，可以预料，成键分子轨道和反键分子轨道的分裂越大，能带的带宽（最高能级－最低能级）越大。

所以，相邻轨道之间的重叠越大，成键程度越大，带宽就越大。

另外值得一提的是，k 矢量还可以表示节点的数目。

当k ＝0的时候表示什么呢？表示节点数为0，没有节点，所以k ＝0表示的H1s 轨道组合（组成分子轨道的原子轨道都带＋号）具有最大的成键，能量最低。

随着k 值的增大，节点数逐渐增多，体系的能量上升，最后k ＝a π时，H1s 轨道组合成的分子轨道能量最高（原子轨道为＋－＋－……交替）。

所以H 原子链的能带结构是一条向上弯曲的曲线（能带），k ＝0能量最低，k ＝a π时能量最高。

这里要特别注意，并不是k ＝0的时候节点数都为0，比如（＋－，＋－，＋－，……）这样的p 轨道，如果它们沿着X 轴周期排列，那么k ＝0的时候将具有最大的节点数，这时候形成的分子轨道将是能量最大的，随着k 的逐渐增加，节点数逐渐减小，所以这时候能带将向下伸展，这与H 原子链的情况刚好相反。

大家都知道，这样的H 原子链是不可能稳定的，最后都要变成H2分子，能带要消失，这是一个什么样的过程呢？在这个一维周期体系中轨道能级的数目假设为N （无限大），那么这个体系的电子数是多少呢？答案是N ，那么这些电子在这个能带上是如何分布的呢？当然是按照能量从低到高的顺序来填充的了，这样由于每一个轨道能够容纳2个电子，而这个能带只有较低能量的部分被填充（能带半充满），所以这时候要产生畸变（Peierls 畸变，即固体物理中的姜－泰勒效应），H 原子之间要产生相对振动（虚模，能量不稳定），以降低体系的能量，这样，H2分子就形成了，而能带也由于H2原子的形成破坏了周期条件，当这些H2分子不再沿着X 轴方向形成周期排列的时候，能带也就消失了（变成非周期体系）。

结论：一个原子的一个原子轨道在一维周期条件下将产生一条能带，能带的带宽取决于这些原子轨道的在周期方向上的成键强度，强度越大，带宽越大，成键越弱，带宽越小，如果周期方向上没有成键，能带将是一条直线。

另外能带是向上伸展还是向下伸展取决于原子轨道的特性，或者说是体系的拓补性质。

接下来我们看看，布里渊区里面的高对称点(G ，X ，F ，M 等)是怎么来的。

2、 布里渊区的高对称点前面讲了一维周期条件下的布里渊区的能带是一条线，如果加上二维（X ，Y ）的周期边界条件，这些能带又会变成什么样呢？答案是一个面，由原来的线组成一个面。

因为在一维情况下我们用一条能带来表示k 矢量（对称操作）和能级的关系，可以用E （k ）来表示，这构成第一布里渊区（即k 的取值范围[0,a π]）。

对于二维周期体系，我们需要两个平移矢量k x 和k y ，所以能带可以用E （k x ，k y ）来表示，当k x ＝0时，变成E （0，k y ），得到一条能带（线，y 方向上与一维周期情况的能带类似）；当k y ＝0时，变成E （k x ，0），得到一条能带（线）。

由于k x 和k y 是矢量，它们可以组合成另外一个矢量，这个矢量不是沿着X 轴，也不是沿着Y 轴，实际上沿着该矢量仍是能够得到一个能带（线）的，这样的矢量有很多，所有的这些能带（线）将构成一个面。

如果我们在做能带结构图的时候，将能带结构按照二维的面画出来是很困难的，而三维的情况更加困难，因为对称操作有很多，k 矢量的取值有很多，所以一个可行的办法就是让k 的取值沿着一定的路径走，最后回到起点。

如右图（二维情况）。

这样，我们只要选择一些较高的对称点，就可以确定这个路径。

比如二维的布里渊区是一个面，这个面上每一点与原点（G 点或Γ点）的连线都构成一个k 矢量，有一个k 矢量就有一个能级对应（E （k ））。

所以，二维的能带结构是这个布里渊区上的一个平面（面积），如上图，按照Γ——>X ——>M ——>Γ这个路径走，就可以得到一个可以大致反映布里渊区上的能带平面的一个近似图，这就是二维的能带结构。

具体的能带图的展开见下图。

三维的能带展开见下图：前面讲了一维H 原子链的能带结构，提到这个体系具有一个能带，并且是向上弯曲的一个能带。

这个能带是这样来的，H 原子链里面的基本单位（单体，单胞）是一个H 原子，每一个原子有一个原子轨道，即每一个基本单位有一个能级轨道，加上周期条件以后，这一系列轨道能就变为一个能带了。

假如，现在以两个H 原子作为一个基本单位呢？能带结构又是如何的呢？这就是能带重叠的问题3、 能带的折叠如上图，将2个氢原子作为一个基本单位，这时候能带结构是什么样子的呢？很容易理解，根据前面的知识，单胞的原子轨道的数目决定了能带的数目，所以这样划分体系将有将有两个能带。

但是这个体系与前面1个H 原子周期链是一样的，只不过人为地进行了划分，能带结构就变了吗？是的，能带确实变了，那么能带将怎样变化呢？下图分别是1个H 原子为单胞和2个H 原子为单胞的能带结构。

第一个图可以清楚的看到，能带底部是成键的，能带的顶部是反键的，中间是非键的（成键与反键相当），能带向上伸展（弯曲）。

在第二个图，原来的中部的非键轨道分别变成了两个能带的反键和成键轨道（相同颜色表示可以重叠成键，不同颜色表示中间有一个节点）。

实际上，这两个图是有关系的，能够反映相同的内容，首先，布里渊区从原来的[0,a π]变为[0,a 2π]，这也是可以理解的，原来的能带长度要变成原来的一半（因为周期方向上的单胞数减少一半，原来有N 个单胞，以2个H 原子为一个单胞后，单胞数变为一半，所以布里渊区要减半）。

其次，原来的能带在[0,a π]展开，现在由于布里渊区减半，能带不能在[0,a 2π]这个小区间画出来，所以能带结构将产生折叠，由原来的一个能带变为2个能带，并且是以k ＝a 2π为对称轴，将原来[a 2π，a π]区间的能带折叠过去，所以就得到了2H 原子为单胞的能带结构。

如果我们将单胞取3个原子，或者取4个原子，体系的能带将如何变化？体系的能带分别变为3条和4条能带，并且是2次或3次折叠原来的能带。

另外，上面的例子我们也可以从另外一个角度考虑问题，即2个H 原子组成一个H2分子，形成成键分子轨道和反键分子轨道，把这两个分子轨道看成一个“原子”的两个“原子轨道”，给这个“原子”加上周期条件以形成能带，这样也得到2个能带。

这种想法可以进行适当的扩充，比如我们研究一个晶体，首先我们可以把单胞找出来，然后将单胞的轨道能级画出来，考虑它们之间的成键，最后得到一组分子轨道，以这组分子轨道为基础，给它们加上周期条件，形成能带。

这样的想法什么时候有用呢?在组合成分子轨道以后，这些分子轨道并不是不变的，有可能和相邻晶胞的分子轨道再次组合，这种情况在过渡金属氧化物中非常普遍，所以在考虑成键的时候除了单胞内成键情况以外，还需要考虑晶胞间分子轨道的组合。