2003年全国硕士研究生入学统一考试数学三真题及答案

2003年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、填空题（本题共6小题，每题4分，满分24分．把答案填在题中横线上．）（1）设⎪⎩⎪⎨⎧=≠=,0,0,0,1cos )(x x xx x f λ其导函数在0=x 处连续，则λ的取值范围是_________． 【答案】λ>2【考点】分段函数的导数、函数连续的概念、无穷小量的性质 【难易度】★★★【详解】本题涉及到的主要知识点：①分段函数求导时，函数连续部分可直接对函数求导，间断点处的导数需要用导数的定义来求； ②导函数也是函数，函数连续需要满足该处极限值与函数值相等； ③有界函数与无穷小的乘积是无穷小，与无穷大的乘积是无穷大；解析:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==--=--≠+=--+='-→→→---,01cos lim 001cos lim 0)0()(lim ,01sin 1cos )1)(1sin (1cos )(20002121x x x x x x x f x f x x x x x x x x x x x f x x x λλλλλλλλ)(x f ' 在0=x 处连续，∴)(lim 0x f x →与)0(f 都存在且相等，当0→x 时，x1cos 、x1sin均为有界函数， ∴若要)1sin 1cos (lim )(lim 2100xx x x x f x x --→→+='λλλ存在，必有0lim ,0lim 2010==-→-→λλλx x x x ，01>-∴λ且02>-λ，即2>λ，同理，若要xxx 1cos lim 2-→λ存在，必有0lim 20=-→λx x ，即2>λ，此时，0)0()(lim 0==→f x f x综上，λ的取值范围是2>λ．（2）已知曲线b x a x y +-=233与x 轴相切，则2b 可以通过a 表示为2b ＝_________．【答案】4a^6【考点】平面曲线的切线 【难易度】★【详解】本题涉及到的主要知识点： ①曲线在切点的斜率为0，即0='y ； ②切点还应满足曲线方程； 解析:由题设，在切点处有0332200=-='=a x y x x ，所以.22a x = 又在此点y 坐标为0，即b x a x +-=023030,故.44)3(6422202202a a a x a x b =⋅=-=（3）设0>a ，⎩⎨⎧≤≤==,,0,10,)()(其他x a x g x f 而D 表示全平面，则⎰⎰=-=Dy x x y g x f I d d )()(_________．【答案】a^2【考点】二重积分的计算 【难易度】★★★【详解】本题涉及到的主要知识点：①若被积函数只在某区域内不为零，则二重积分的计算只需在积分区域与被积函数不为零的区域的公共部分上积分即可；②直接坐标系下，二重积分的运算，可根据被积区域属于X 型还是Y 型来选择适当的方法进行计算； 解析: 只有当10,10≤-≤≤≤x y x 时，被积函数才不为零，212101210,102])1[()()(a dx x x a dy dx a dxdy a dxdy x y g x f I x xx y x D=-+===-=∴⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+≤-≤≤≤.（4）设n 维向量0,),0,,0,(<=a a a Tα；E 为n 阶单位矩阵，矩阵T TaE B E A αααα1,+=-=, 其中A 的逆矩阵为B ，则=a _________． 【答案】1-【考点】逆矩阵的概念、矩阵的计算 【难易度】★★【详解】解析:)1)((T TaE E AB αααα+-= T T T Ta a E αααααααα⋅-+-=11 TT T T a a E αααααααα)(11-+-=TT T a aE αααααα21-+-=E aa E T=+--+=αα)121(,于是有0121=+--a a ，即0122=-+a a ，解得 .1,21-==a a 已知0a < ,故1a =-.（5）设随机变量X 和Y 的相关系数为9.0，若4.0-=X Z ，则Y 与Z 的相关系数为_________． 【答案】9.0【考点】协方差的性质、相关系数的性质 【难易度】★【详解】本题涉及到的主要知识点：①),cov()4.0,cov(),cov()4.0,cov(),cov(X Y Y X Y X Y Z Y =+=+=； ②相关系数是指随机变量间的线性相关程度； 解析:方法1 9.0),(),(=====XY YX YZ DXDY X Y Cov DZ DY Z Y Cov ρρρ方法2 b aX Z +=，若1=a ，则Z 与X 正线性相关，所以Y 与Z 的相关系数与Y 与X 的 相关系数相等.（6）设总体X 服从参数为2的指数分布，X 1，X 2，…，X n 为来自总体X 的简单随机样本，则当∞→n 时，211i n i n X n Y ∑==依概率收敛于_________．【答案】1/2【考点】常用分布的数字特征、大数定律 【难易度】★★【详解】本题涉及到的主要知识点： ①X 服从参数为λ的指数分布，则21)(,1)(λλ==X D X E ；②一组相互独立且具有有限期望与方差的随机变量n X X X ,,,21 ，当方差一致有界时，其算术平均值依概率收敛于其数学期望的算术平均值；解析:22221,,,nX X X 满足大数定律的条件，则根据大数定律有∑==n i i n X n Y 121依概率收敛于21]41)21[(1])[(11)1()(12121212=+=+===∑∑∑∑====n i n i i i n i i n i i n n DX EX n EX n X n E Y E .二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内．）（1）设)(x f 为不恒等于零的奇函数，且)0('f 存在，则函数xx f x g )()(=（ ） （A ）在0=x 处左极限不存在． （B ）有跳跃间断点0=x ． （C ）在0=x 处右极限不存在． （D ）有可去间断点0=x ．【答案】D【考点】函数间断点的类型、导数的概念 【难易度】★【详解】本题涉及到的主要知识点： ①导数的定义公式000)()(lim)(0x x x f x f x f x x --='→；②可去间断点的定义：左右极限存在且相等，但不等于函数值或函数在该点没有定义； 解析:显然0x =为()g x 的间断点，且由()f x 为不恒等于零的奇函数知，(0)0f =.于是有)0(0)0()(lim )(lim)(lim 00f x f x f x x f xg x x x '=--==→→→存在，故0x =为可去间断点. （2）设可微函数),(y x f 在点),(00y x 取得极小值，则下列结论正确的是（ ） （A ）),(0y x f 在0y y =处的导数等于零． （B ）),(0y x f 在0y y =处的导数大于零． （C ）),(0y x f 在0y y =处的导数小于零． （D ）),(0y x f 在0y y =处的导数不存在． 【答案】A【考点】全微分存在的必要条件 【难易度】★【详解】本题涉及到的主要知识点： ①可微必有偏导数存在；②多元函数取极值的必要条件：0),(,0),(0000='='y x f y x f y x ；解析:可微函数(,)f x y 在点),(00y x 取得极小值，根据取极值的必要条件知0),(00='y x f y ，即),(0y x f 在0y y =处的导数等于零.（3）设2||n n n a a p +=，2||n n n a a q -=，n ＝2,1…，则下列命题正确的是（ ） （A ）若n n a∑∞=1条件收敛，则n n p ∑∞=1与n n q∑∞=1都收敛．（B ）若n n a∑∞=1绝对收敛，则n n p ∑∞=1与n n q∑∞=1都收敛．（C ）若n n a∑∞=1条件收敛，则n n p ∑∞=1与nn q∑∞=1的敛散性都不定．（D ）若n n a∑∞=1绝对收敛，则n n p ∑∞=1与n n q∑∞=1的敛散性都不定．【答案】B【考点】绝对收敛与收敛的关系、收敛级数的基本性质 【难易度】★★【详解】本题涉及到的主要知识点： ①如果级数∑∞=1n nu各项的绝对值所构成的正项级数∑∞=1n nu收敛，则称级数∑∞=1n nu绝对收敛；如果级数∑∞=1n nu收敛，而级数∑∞=1n nu发散，则称级数∑∞=1n nu条件收敛；②如果级数∑∞=1n nu绝对收敛，则级数∑∞=1n nu必定收敛；③如果级数∑∞=1n nu和∑∞=1n nv分别收敛于和s 、δ，则级数∑∞=±1)(n n nv u也收敛，且其和为δ±s ；解析:∑∞=1n n a 绝对收敛，即∑∞=1n n a 收敛，当然也有级数∑∞=1n n a 收敛，再根据2nn n a a p +=，2nn n a a q -=及收敛级数的运算性质知，∑∞=1n np与∑∞=1n nq都收敛.（4）设三阶矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=a b b b a b b b a A ，若A 的伴随矩阵的秩等于1，则必有（ ） （A ）b a =或02=+b a ． （B ）b a =或02≠+b a ． （C ）b a ≠且02=+b a ． （D ）b a ≠且02≠+b a ． 【答案】C 【考点】矩阵的秩 【难易度】★★【详解】本题涉及到的主要知识点：①(2)n n ≥阶矩阵A 与其伴随矩阵A *的秩之间有下列关系：.1)(,1)(,)(,0,1,*)(-<-==⎪⎩⎪⎨⎧=n A r n A r n A r n A r②若n 阶矩阵A 不满秩，则必有0=A ;解析:方法1 根据A 与其伴随矩阵A *秩之间的关系知，秩(A )=2，故有2(2)()0a b bb a b a b a b b b a=+-=，即有02=+b a 或a b =. 但当a b =时，显然秩(A)2≠, 故必有 a b ≠且02=+b a . 方法2 根据A 与其伴随矩阵A *秩之间的关系知，秩(A )=2 将A 作初等行变换00a b b ab b A b a b b a a b b b a b a a b ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦当a b =时，不合题意（排除(A)\(B)） 故a b ≠201100100101001ab b a b b a b b b A b a a b b a a b +⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=--→-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎣⎦故02=+b a ，且a b ≠时，秩(A )=2.（5）设n ααα 21,均为n 维向量，下列结论不正确．．．的是（ ） （A ）若对于任意一组不全为零的数s k k k 21,，都有0221≠+++s s k k k ααα ，则s ααα 21,线性无关．（B ）若s ααα 21,线性相关，则对于任意一组不全为零的数s k k k 21,，有0221=+++s s k k k ααα ．（C ）s ααα 21,线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为s ． （D ）s ααα 21,线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关． 【答案】B【考点】向量组的线性相关与线性无关 【难易度】★★【详解】解析:(A): 若对于任意一组不全为零的数s k k k ,,,21 ,都有02211≠+++s s k k k ααα ，则s ααα,,,21 必线性无关，因为若s ααα,,,21 线性相关，则存在一组不全为零的数s k k k ,,,21 ,使得 02211=+++s s k k k ααα ，矛盾. 成立.(B): 若s ααα,,,21 线性相关，则存在一组，而不是对任意一组不全为零的数s k k k ,,,21 ， 都有.02211=+++s s k k k ααα 不成立.(C) s ααα,,,21 线性无关,则此向量组的秩为s ；反过来，若向量组s ααα,,,21 的秩为s ， 则s ααα,,,21 线性无关，成立.(D) s ααα,,,21 线性无关,则其任一部分组线性无关，当然其中任意两个向量线性无关，成立. （6）将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：A 1＝{掷第一次出现正面}，A 2＝{掷第二次出现正面}，A 3＝{正、反面各出现一次}，A 4＝{正面出现两次}，则事件（ ） （A ）A 1，A 2，A 3相互独立．（B ）A 2，A 3，A 4相互独立．（C ）A 1，A 2，A 3两两独立． （D ）A 2，A 3，A 4两两独立．【答案】C【考点】事件的独立性 【难易度】★★【详解】本题涉及到的主要知识点：①B A ,两事件相互独立的充要条件为：)()()(B P A P AB P = ②,,A B C 三事件相互独立的充要条件为：1）,,A B C 两两相互独立；2）)()()()(C P B P A P ABC P =. 解析:方法1 因为21)(1=A P ，21)(2=A P ，21)(3=A P ，41)(4=A P ，且41)(21=A A P ， 41)(31=A A P ，41)(32=A A P ，41)(42=A A P 0)(321=A A A P ，可见有)()()(2121A P A P A A P =，)()()(3131A P A P A A P =，)()()(3232A P A P A A P =， )()()()(321321A P A P A P A A A P ≠，)()()(4242A P A P A A P ≠.故321,,A A A 两两独立但不相互独立；432,,A A A 不两两独立更不相互独立.方法2 由三事件相互独立的定义可知：相互独立必两两独立；反之，两两独立不一定相互独立. 可见（A ）（B ）必不正确，因为如果（A ）（B ）正确，则（C ）（D ）必也正确，但正确答案不 能有两个因此只要检查（C ）和（D ）{}{}{}{}{}2342341110244P A A A P P A P A P A φ==≠=,432,,A A A 不两两独立.三、（本题满分8分）设)1(π1πsin 1π1)(x x x x f --+=，)1,21[∈x 试补充定义f （1）使得f （x ）在]1,21[上连续． 【考点】函数连续的概念、函数左极限与右极限的概念 【难易度】★★★【详解】解析:])1(π1πsin 1π1[lim )(lim 11x x x x f x x --+=--→→π1)π()π(61lim π1πtsin ππt sin πlim π1]π1πt sin 1[lim π1]π1πt)πsin(1[lim π11])1(π1πsin 1[lim π12300001=+=-+=-+=--+-=--+=++++-→→→→→t t t t t t x t x x t t t t x 由于()f x 在)1,21[上连续，因此定义 π1)1(=f ，使()f x 在]1,21[上连续.四、（本题满分8分）设),(v u f 具有二阶连续偏导数，且满足12222=∂∂+∂∂v f u f ，又2(21,[),(x xy f y x g =)]2y -，求 2222y gx g ∂∂+∂∂.【考点】多元复合函数的求导法 【难易度】★★★ 【详解】解析:vfx u f y x v v f x u u f x g ∂∂+∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂，vf y u f x y v v f y u u f yg ∂∂-∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂， vf v f x v u f xy u f y xg ∂∂+∂∂+∂∂∂+∂∂=∂∂∴2222222222， vf v f y u v f xy u f x yg ∂∂-∂∂+∂∂∂-∂∂=∂∂2222222222， 12222=∂∂+∂∂vfu f ， 222222222222)()(vf y x u f y x yg x g ∂∂++∂∂+=∂∂+∂∂∴=.22y x + 五、（本题满分8分）计算二重积分y x y x I y x Dd d )sin(e22)π(22+=-+-⎰⎰，其中积分区域}π|),{(22≤+=y x y x D ．【考点】二重积分的计算 【难易度】★★★ 【详解】 解析:y x y x I y x Dd d )sin(e22)π(22+=-+-⎰⎰dxdy y x e e Dy x)sin(22)(22+=⎰⎰+-π=.sin 2022dr r re d er ⎰⎰-πππθ令2r t =，则dt t e d e I t ⎰⎰-=πππθ200sin 21.记tdt e A t sin 0⎰-=π，则0sin t t A e tde π--=-⎰=]cos sin [0⎰----ππtdt e t e t t=⎰--πcos ttde =]sin cos [0tdt e te t t⎰--+-ππ=.1A e -+-π因此 )1(21π-+=e A ， ⎰+=+=+=--ππππππππθ20).1(2)1(2)1(2121e e e d e e I).1(2)1(2πππππe e e I +=+=-六、（本题满分9分）求幂级数)1|(|2)1(121<-+∑∞=x n x nnn 的和函数)(x f 及其极值．【考点】幂级数的和函数、函数的极值 【难易度】★★★★【详解】本题涉及到的主要知识点：求和函数一般都是先通过逐项求导、逐项积分等转化为可直接求和的几何级数情形，然后再通过逐项积分、逐项求导等逆运算最终确定和函数.解析: 等式21()1(1)(1)2nnn x f x x n ∞==+-<∑两边求导得212212211()(1)(1)(1).1nn nn n n n n n xf x xx xx x x∞∞∞--+==='=-=-=-=-+∑∑∑ 上式两边从0到x 积分，得).1ln(211)0()(202x dt t t f x f x+-=+-=-⎰由(0)1f =, 得).1(),1ln(211)(2<+-=x x x f令0)(='x f ，求得唯一驻点0x =. 由于2221()10,(1)x f x x -''=-=-<+01)0(<-=''f ，所以()f x 在0x =处取得极大值，且极大值为(0)1f = 七、（本题满分9分）设)()()(x g x f x F =，其中函数)(),(x g x f 在),(+∞-∞内满足以下条件：)()(x g x f ='，)()(x f x g ='且0)0(=f x e x g x f 2)()(=+．（1）求)(x F 所满足的一阶微分方程； （2）求出)(x F 的表达式． 【考点】一阶线性微分方程 【难易度】★★★【详解】本题涉及到的主要知识点：一阶线性微分方程)()(x Q y x P y =+'的解为⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰⎰=⎰-C dx e x Q Ce y dx x p dx x p )()()( 解析:（1）由)()()()()(x g x f x g x f x F '+'='=)()(22x f x g +2[()()]2()()f x g x f x g x =+-=2(2)2()x e F x -可见()F x 所满足的一阶微分方程为.4)(2)(2xe x F x F =+' 相应的初始条件为(0)(0)(0)0Ffg ==.（2）]4[)(222C dx e e e x F dx x dx +⎰⋅⎰=⎰- =]4[42C dx e e x x +⎰- =.22xx Ce e -+将(0)0F =代入上式，得1C =- 所以.)(22x xe ex F --=八、（本题满分8分）设函数)(x f 在]3,0[上连续，在)3,0(内可导，且3)2()1()0(=++f f f ，1)3(=f ． 试证必存在)3,0(∈ξ，使0)(='ξf ． 【考点】罗尔定理、介值定理 【难易度】★★★【详解】本题涉及到的主要知识点：①介值定理推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M 与最小值m 之间的任何值； ②罗尔定理 如果函数)(x f 满足 （1）在闭区间],[b a 上连续 （2）在开区间),(b a 内可导（3）在区间端点处得函数值相等，即)()(b f a f = 那么在),(b a 内至少有一点ξ，使得0)(='ξf .解析: ()f x 在]3,0[上连续，所以()f x 在]2,0[上连续，且在]2,0[上必有最大值M 和最小值m ，∴M f m ≤≤)0(，M f m ≤≤)1(，M f m ≤≤)2(. ∴.3)2()1()0(M f f f m ≤++≤由介值定理知，至少存在一点]2,0[∈c ，使.13)2()1()0()(=++=f f f c f因为)3(1)(f c f ==, 且()f x 在[,3]c 上连续，在(,3)c 内可导，所以由罗尔定理知，必存在)3,0()3,(⊂∈c ξ，使.0)(='ξf九、（本题满分13分）已知齐次线性方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+++++=+++++=+++++=+++++,0)(,0)(,0)(,0)(332211332211332211332211nn n n n n n n x b a x a x a x a x a x b a x a x a x a x a x b a x a x a x a x a x b a 其中01=/∑=ini a试讨论n a a a ,,,21 和b 满足何种关系时，（1）方程组仅有零解；（2）方程组有非零解．在有非零解时，求此方程组的一个基础解系． 【考点】齐次线性方程组解的判定 【难易度】★★★ 【详解】解析:方程组的系数行列式b a a a a a b a a a a a b a a a a a b a n n nn++++= 321321321321||A bbb b b b a a a b a n 000000321---+=bb b a a a b an i 0000000032∑+=).(11b a b ni i n +=∑=-（1）当0≠b 且01=/+∑=b aini 时，0≠A ，方程组仅有零解．（2）当0=b 时，原方程组的同解方程组为02211=+++n n x a x a x a ． 由01≠∑=ni ia可知，),,2,1(n i a i =不全为零. 不妨设01≠a ，得原方程组的一个基础解系为T a a )0,,0,1,(121 -=α，T a a )0,,1,0,(132 -=α，.)1,,0,0,(,1T n n a a -=α当i n i a b ∑=-=1时，由01=/∑=ini a知b ≠0，系数矩阵可化为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----∑∑∑∑====n i i n nni inni in ni ia a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 1321132131213211（将第1行的-1倍加到其余各行，再从第2行到第n 行同乘以∑=-ni ia11倍）→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----∑=1001010100113211 n ni ia a a a a（ 将第n 行n a -倍到第2行的2a -倍加到第1行，再将第1行移到最后一行）→.0000100101010011⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---由于秩1)(-=n A r ，则0=Ax 的基础解系是T)1,,1,1( =α．十、（本题满分13分）设二次型),0(222),,(31232221321>+-+==b x bx x x ax AX X x x x f T其中二次型的矩阵A 的特征值之和为1，特征值之积为－12． （1）求b a ,的值；（2）利用正交变换将二次型f 化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵． 【考点】矩阵的特征值的性质、用正交变换化二次型为标准形 【难易度】★★★★ 【详解】解析:（1）二次型f 的矩阵为.200200⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=b b a A 设A 的特征值为).3,2,1(=i i λ 由题设，有1)2(2321=-++=++a λλλ，.12242002002321-=--=-=b a b ba λλλ解得1,2a b ==-. (2) 由矩阵A 的特征多项式)3()2(22202012+-=+----=-λλλλλλA E ，得A 的特征值.3,2321-===λλλ对于,221==λλ解齐次线性方程组0)2(=-x A E ，得其基础解系 T )1,0,2(1=ξ，.)0,1,0(2T=ξ对于33-=λ，解齐次线性方程组0)3(=--x A E ，得基础解系.)2,0,1(3T-=ξ由于321,,ξξξ已是正交向量组，为了得到规范正交向量组，只需将321,,ξξξ单位化，由此得T )51,0,52(1=η，T )0,1,0(2=η，.)52,0,51(3T -=η令矩阵[]12300100Q ηηη⎤⎥⎥==⎢⎥⎢⎥，则Q 为正交矩阵. 在正交变换X QY =下，有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=300020002AQ Q T ，且二次型的标准形为.322232221y y y f -+=十一、（本题满分13分）设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧∈=;,0],8,1[,31)(32其他x x x f)(x F 是X 的分布函数，求随机变量)(x F Y =的分布函数．【考点】连续型随机变量分布函数的计算 【难易度】★★★ 【详解】解析:当1x <时，()0F x =; 当8x > 时，()1F x =.对于]8,1[∈x ，有.131)(3132-==⎰x dt t x F x设()G y 是随机变量()Y F x =的分布函数. 显然，当0<y 时，()G y =0；当1≥y 时，()G y =1. 对于)1,0[∈y ，有})({}{)(y X F P y Y P y G ≤=≤==})1({}1{33+≤=≤-y X P y X P=.])1[(3y y F =+于是，()Y F x =的分布函数为0,0,(),01,1, 1.y G y y y y <⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩若若若 十二、（本题满分13分）设随机变量X 与Y 独立，其中X 的概率分布为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛7.03.021~X ， 而Y 的概率密度为)(y f ，求随机变量Y X U +=的概率密度)(u g ．【考点】多个相互独立随机变量简单分布函数的计算 【难易度】★★★【详解】本题涉及到的主要知识点：①求二维随机变量函数的分布，一般用分布函数法转化为求相应的概率.②两个随机变量和的分布，其中一个是连续型一个是离散型，要求用全概率公式进行计算 解析:设()F Y 是Y 的分布函数，则由全概率公式，知U X Y =+的分布函数为}{}{)(u Y X P u U P u G ≤+=≤==}2{7.0}1{3.0=≤++=≤+X u Y X P X u Y X P =}22{7.0}11{3.0=-≤+=-≤X u Y P X u Y P . 由于X 和Y 独立，可见()0.3{1}0.7{2}G u P Y u P Y u =≤-+≤-=).2(7.0)1(3.0-+-u F u F由此,得U 的概率密度)2(7.0)1(3.0)()(-'+-'='=u F u F u G u g=).2(7.0)1(3.0-+-u f u f。