对数函数及其性质

对数函数及其性质
一．教学目标 1.知识技能
1）对数函数的概念，熟悉对数函数的图像与性质规律。

2）掌握对数函数的性质，能初步运用性质解决问题。

2.过程与方法
让学生通过观察对数函数的图像，发现并归纳对数函数的性质。

3.情感、态度与价值观
1）培养学生数形结合的思想以及分析推理的能力。

2)培养学生严谨的科学态度。

二、学法与教学用具
1、学法：通过让学生观察、思考、交流、讨论、发现函数的性质
2、教学用具：三角板、小黑板 三、教学重点、难点
1、重点：理解对函数的定义，掌握对数函数的图像和性质
2、难点：底数a 对图像的影响及对数函数性质的作用 四、教学过程
1、设置情景
在我们研究指数函数的时候曾经涉及到过这样一个问题，一个生物体内C 14的含量P 以5730年为一个半衰期进行衰减，那么C 14的含量P 和年代t 就存在这样一个表达式： P=（2
1
）
5730
t ，由对数式与指数式之间的关系，我们可以将它化成
，这个式子所表达的实际意义是:随着生物体内C 14含量的减少，年代t 是不断向前推移的，这就说明，对于每一个C 14的含量P 都有唯一确定的时间t 与之对应，根据我们第一章所学习的函数的概念，我们就可以得到t 是P 的函数。

其中P 是自变量，t 是函数值。

现在，我们将这个式子一般化，一般我们的自变量用x 表示，函数值用y 表示，这里的这个常数用字母a 表示，我们就可以得到 x y a
log =。

这就是我们今天所要研究的对数
函数。

2.对数函数的定义
下面我们给出对数函数的严格定义：
一般地，我们把函数x y a
log =（a>0且a ≠1）叫做对数函数，其中x 是自变量，函数
的定义域为（0，∞+）。

在这个定义里面大家要注意两点：1）底数a 的取值范围为a>0且a ≠1；
2)函数的定义域及函数的真数部分是大于0的。

这是为什么呢？
大家回过头来看着这个式子：x y a
log
=，同样由对数式与指数式之间的关系，我们可
以将它化成x=a y 。

根据指数函数的概念，要使x=a y 有意义，我们对a 有什么样的规定?
同学们一起回答："大于0且不等于11"。

1
57302
log t P =
对！我们规定a>0且a ≠1。

再次，我们再来讨论一下为什么它的定义域为（0，∞+）。

由于指数函数的图像都在x 轴的上方，所以无论我们这里的y 取何值，a y
都应该怎么样？ 同学们一起回答：“大于0”。

所以，x 就应该大于0，大家知道定义域为什么为（0，∞+）吧？ 同学们一起回答：“知道了”。

结合我们刚刚学习的对数函数的例子大家一起来看两个例子。

例1：求下列函数的定义域。

（1）2
log
x y a
=； （2）)4(log
x y a
-=
分析：（1）由题目上说它们是函数，挖出隐含条件a>0且a ≠1： （2）求函数的定义域实际上是求让函数式成立的x 的取值范围： （3）函数的真数部分大于0。

解：（1）由2x >0 解得0≠x ∴函数2
log
x y a
=的定义域是{}0|≠x x 。

（2）由04>-x 解得4<x
∴函数)4(log x y a -=的定义域是{}4|<x x 。

3.x y 2
log
=与x y 2
1log
=的图象(关于x 轴对称)
让同学们自己先拿出草稿本画出x y 2
log =与x y 2
1log
=的图象，我在黑板上先列表和
画出坐标轴，并描出x y 2
log
=的五个点。

（在教室里巡视一圈，等到同学们的图像画得差不多了，然后和同学们一起完成表格，并画出x y 2
log =，再通过观察证明，利用对称画出x y 2
1log
=的图像。

）
表格：
x
0.5
1 2 4 8 x y 2
log
=
-1 0 1 2 3
x y 2
1log
=
1
-1
-2
-3
图像
:
利用换底公式证明x y 2
log
=与x y 2
1log
=关于x 轴对称：
（注意：将底数复杂的换成底数简单的）
x x x
x 222222
1l o g 2l o g l o g 21l o g l o g l o g -=-==
推广：当 a>0且a ≠1是，以a 和a 1
为底的对数函数图像是关于x 轴对称。

观察x y 2
log
=与x y 2
1log
=的图像（类比指数函数）：
1） 与x 轴的交点
2） 在定义域内的点调性（从第几象限穿到第几象限） 3） 图像在y 轴的左侧
再拿出小黑板和同学们一起观察事先画好的x 3log 、x 5log 、
x
3
1log
、
x
5
1log
4、对数函数的图像及其性质
通过观察总结出对数函数的图像及其性质
0<a<1
a>1
图像
定义域 （0，∞+）
（0，∞+）
值域 R
R
性质
1）恒过（1,0）点;即x=1,y=0 2）在R 上为减函数 3）当x ∈(0,1),y>0; 当x ∈(1,∞+),y<0
1）恒过（1,0）点;即x=1,y=0 2）在R 上为增函数 3) 当x ∈(0,1),y<0; 当x ∈(1,∞+),y>0
5、例2：比较下列各组数中两个值的大小：
⑴5.8log ,4.3log 22； ⑵7.2log
,8.1log 3
.03
.0； ⑶)
1,0(9.5log
,1.5log
≠>a a a
a
．
解：⑴考查对数函数x y 2
log =，因为它的底数2>1，所以它在（0，+∞）上是增函数，
于是5.8log 4.3log 22<． ⑵考查对数函数x y 3
.0log =，因为它的底数0<0.3<1，所以它在（0，+∞）上是减函
数，于是7.2log
8.1log
3
.03.0>．
⑶当1>a 时，x y a
log
=在（0，+∞）上是增函数，于是9.5log
1.5log
a
a
<；
当10<<a 时，x y a
log =在（0，+∞）上是减函数，于是9.5log
1.5log
a
a
>．
小结：两个同底数的对数比较大小的一般步骤： ①确定所要考查的对数函数；
②根据对数底数判断对数函数增减性；
③比较真数大小，然后利用对数函数的增减性判断两对数值的大小．。