高中数学第一章立体几何1.1.7柱、锥、台和球的体积课件新人教B版必修2
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高中数学人教B版必修2课件：1.1.7 柱、锥、台和球的体积
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
解:设圆柱的底面半径为r,高为h,如图,
ℎ = ������sin������, 2π������ = ������cos������, ������cos������ 所以 h=msin α,r= 2π , 则由题意可知: 所以 V 圆柱 =πr2h=π
������cos������ 2 · msin 2π
答案: 3 3
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
题型二
有关锥体体积的问题
【例2】 (1)若圆锥的轴截面是面积为9的等腰直角三角形,则其 体积等于 . (2)若正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为6 cm,在棱AB,AD,AA1上分 别取点P,Q,R,使得AP=2 cm,AQ=3 cm,AR=4 cm,则三棱锥A-PQR的 体积为 .
α=
������3 sin������cos2 ������ . 4π
反思 对于几何体的侧面展开图问题,要注意展开前后的“变”与“不 变”.对此题而言,为了求体积要抓住关键元素,即圆柱的底面半径、 高.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
【变式训练1】 如图①是一个水平放置的正三棱柱ABCA1B1C1,D是棱BC的中点.正三棱柱的主视图如图②.则该正三棱柱 ABC-A1B1C1的体积为 .
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
【变式训练3】 若某几何体的三视图(单位:cm)如图,则此几何体 的体积是 .
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
解析:此几何体为正四棱台与正四棱柱的组合体,而 V 正四棱台 =
2017年高中数学 第一章 立体几何初步 1.1 空间几何体 1.1.7 柱、锥、台和球的体积 新人教B版必修2
12
于是有 x=
������'ℎ ������- ������'
,
代入体积表达式,得
V
台体
=
1 3
ℎ
������ + (������-������')
������'
=
1 3
ℎ(������
+
������������'+ ������′).
������- ������'
归纳总结 棱锥、圆锥的截面(平行于底面的截面)有如下性质:
=
1 3
ℎ(������
+
������������'+
������′)
=
1 3
×
4
6 × (16π +
16π
×
36π
+
36π)
=
304 3
6π
(cm3).
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
反思 在多面体和旋转体中的有关计算通常转化到平面图形(三角 形或特殊的四边形)中来计算.对于棱锥中的计算问题往往要构造 直角三角形,即棱锥的高、斜高以及斜高在底面上的投影构成的直 角三角形,或者由棱锥的高、侧棱以及侧棱在底面上的投影构成的 直角三角形;对于棱台往往要构造直角梯形和直角三角形;在旋转 体中通常要过旋转轴作截面得到直角三角形、矩形或等腰梯形.
【例2】 (1)若圆锥的轴截面是面积为9的等腰直角三角形,则其
体积等于
.
(2)若正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为6 cm,在棱AB,AD,AA1上分 别取点P,Q,R,使得AP=2 cm,AQ=3 cm,AR=4 cm,则三棱锥A-PQR的
人B版数学必修2课件：第1章 1.1.7 柱、锥、台和球的体积
阅读教材 P28～P29“中间”以上内容，完成下列问题. 1.“幂势既同，则积不容异”，即“ 夹在两个平行平面间的两个几何体，
被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等， 那么这两个几何体的体积相等 ”.
2.作用：等底面积、等高的两个柱体或锥体的体积相等.
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判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的某个平面所 截，如果截得的两个截面面积相等，则这两个几何体的体积相等.( (2)锥体的体积只与底面积和高度有关，与其具体形状无关.( 1 (3)由 V 锥体＝3S· h，可知三棱锥的任何一个面都可以作为底面.( ) ) )
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1 由 S 侧＝4×2(10＋20)· E1E＝780，得 EE1＝13， 1 在直角梯形 EOO1E1 中，O1E1＝2A1B1＝5， 1 OE＝2AB＝10， ∴O1O＝ E1E2－OE－O1E12＝12， 1 V 正四棱台＝3×12×(102＋202＋10×20)＝2 800 (cm3). 故正四棱台的体积为 2 800 cm3.
图 11102
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【精彩点拨】
AB∶A1B1＝1∶2 ―→ S△ABC∶S△A B C ―→
1 1 1
计算VA －ABC ―→ 计算VC－A B C ―→ 计算VB－A B C
1 1 1 1 1 1
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【自主解答】
设棱台的高为h，S△ABC＝S，则S△A1B1C1＝4S.
2
)
B.30 D.36π
2
1 【解析】 圆锥的高 h＝ 5 －3 ＝4，故 V＝3π×32×4＝12π.
人教B版高中数学必修二课件第一章1.1.7柱、锥、台和球的体积.pptx
高中数学课件
（鼎尚图文*****整理制作）
第
一 章
1.1
立 体 几 何 初
空 间 几 何 体
步
1.1.7
柱、 锥、 台和 球的 体积
课前预习·巧设计 名师课堂·一点通 创新演练·大冲关
读教材·填要点
小问题·大思维 考点一 考点二 考点三 考点四 解题高手 NO.1课堂强化
No.2课下检测
[读教材·填要点]
[悟一法] 求柱体的体积，关键是确定底面积和高，而求圆柱的体积 则需要确定底面半径和高．
[通一类] 1．一个正方体的底面积和一个圆柱的底面积相等，且 侧面积也相等，求正方体和圆柱的体积之比．
解：设正方体棱长为 a，圆柱高为 h，底面半径为 r，
则有a22π＝rhπ＝r24a2
①
②
，
由①得 r＝ ππa； 由②得 πrh＝2a2，
1．长方体的体积
(1)若长方体的长、宽、高分别为a，b，c，那么它的体积为
V长方体＝.
abc
(2)若长方体的底面积和高分别为S、h，那么它的体积V长方体
＝. Sh
2．祖暅原理：幂势既同，则积不容异 这就是说：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这 两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相 等，那么这两个几何体的体积相等．应用祖暅原理可说明： 的两个等柱底体面或积锥、体等的高体积相等．
3．由 V 锥体＝13S·h，可知三棱锥的任何一个面都可以作为 底面吗？
提示：可以． 4．如果一个球的表面积变为原来的2倍，那么它的半 径变为原来的______倍，体积变为原来的________ 倍．
提示：根据表面积和体积公式容易知道，当表面积变为原 来的 2 倍时，球的半径变为原来的 2倍，体积变为原来的 2 2倍．
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第
一 章
1.1
立 体 几 何 初
空 间 几 何 体
步
1.1.7
柱、 锥、 台和 球的 体积
课前预习·巧设计 名师课堂·一点通 创新演练·大冲关
读教材·填要点
小问题·大思维 考点一 考点二 考点三 考点四 解题高手 NO.1课堂强化
No.2课下检测
[读教材·填要点]
[悟一法] 求柱体的体积，关键是确定底面积和高，而求圆柱的体积 则需要确定底面半径和高．
[通一类] 1．一个正方体的底面积和一个圆柱的底面积相等，且 侧面积也相等，求正方体和圆柱的体积之比．
解：设正方体棱长为 a，圆柱高为 h，底面半径为 r，
则有a22π＝rhπ＝r24a2
①
②
，
由①得 r＝ ππa； 由②得 πrh＝2a2，
1．长方体的体积
(1)若长方体的长、宽、高分别为a，b，c，那么它的体积为
V长方体＝.
abc
(2)若长方体的底面积和高分别为S、h，那么它的体积V长方体
＝. Sh
2．祖暅原理：幂势既同，则积不容异 这就是说：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这 两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相 等，那么这两个几何体的体积相等．应用祖暅原理可说明： 的两个等柱底体面或积锥、体等的高体积相等．
3．由 V 锥体＝13S·h，可知三棱锥的任何一个面都可以作为 底面吗？
提示：可以． 4．如果一个球的表面积变为原来的2倍，那么它的半 径变为原来的______倍，体积变为原来的________ 倍．
提示：根据表面积和体积公式容易知道，当表面积变为原 来的 2 倍时，球的半径变为原来的 2倍，体积变为原来的 2 2倍．
人教B版高中数学必修二1.1.7 柱、锥台和球的体积教学课件
高为 3 ，求这个正四棱锥的体积.
牛刀小试
5.等边三角形的边长为a,它绕其一边所在的直线 旋转一周，求所得旋转体的体积.
小结:
记住常见几何体的体积公式.
V柱体= Sh
V锥体=
1 Sh 3
V台体=
1 h(s 3
+
ss' + s')
V球
=
4 3
R
3
牛刀小试
1. 已知长方体的铜块长、宽、高分别是2,4,8， 将它熔化后转成一个正方体形的铜块（不计损 耗），求铸成的铜块的棱长_____
2. 火星的直径约是地球的一半，地球的体积是火 星体积的__________倍
3. 已知圆锥的母线长为5cm,高为4cm,求这个圆锥 的体积
牛刀小试
4.已知正四棱锥的侧面都是等边三角形，它的斜
s 和高 h 的积. 圆柱的底面半径为r，高为h，体积为
_.
例1 一个正方体和一个圆柱等高，并且侧面 积相等，求这个正方体和圆柱的体积之比.
设正方体棱长为a,圆柱底面圆半径为r,高为h
锥体的体积
如图：三棱柱ABC-A'B'C' ,底面积为S,高为h.
问A 从A点出发棱柱能分C 割成A几个三棱锥？
C B
例2 如图所示在长方体 ABCD ABCD
用截面截下一个棱锥 C ADD，求
棱锥 C ADD的体积与剩余部分的
体积比.
D
C
A
B
D A
C B
台体的体积
上下底面积分别是s/,s,高是h，则
V台体=
1 h(s + 3
ss' + s')
x
牛刀小试
5.等边三角形的边长为a,它绕其一边所在的直线 旋转一周，求所得旋转体的体积.
小结:
记住常见几何体的体积公式.
V柱体= Sh
V锥体=
1 Sh 3
V台体=
1 h(s 3
+
ss' + s')
V球
=
4 3
R
3
牛刀小试
1. 已知长方体的铜块长、宽、高分别是2,4,8， 将它熔化后转成一个正方体形的铜块（不计损 耗），求铸成的铜块的棱长_____
2. 火星的直径约是地球的一半，地球的体积是火 星体积的__________倍
3. 已知圆锥的母线长为5cm,高为4cm,求这个圆锥 的体积
牛刀小试
4.已知正四棱锥的侧面都是等边三角形，它的斜
s 和高 h 的积. 圆柱的底面半径为r，高为h，体积为
_.
例1 一个正方体和一个圆柱等高，并且侧面 积相等，求这个正方体和圆柱的体积之比.
设正方体棱长为a,圆柱底面圆半径为r,高为h
锥体的体积
如图：三棱柱ABC-A'B'C' ,底面积为S,高为h.
问A 从A点出发棱柱能分C 割成A几个三棱锥？
C B
例2 如图所示在长方体 ABCD ABCD
用截面截下一个棱锥 C ADD，求
棱锥 C ADD的体积与剩余部分的
体积比.
D
C
A
B
D A
C B
台体的体积
上下底面积分别是s/,s,高是h，则
V台体=
1 h(s + 3
ss' + s')
x
高二数学(人教B版)必修2课件：1.1.7柱、锥、台和球的体积(共21张PPT)教学课件
二、提出问题
普
思考：如何求其它几何体的体积？
通
高 祖暅原理：幂势既同，则积不容异
中
课
程
标
准
Liangxiangzhongxue
问题：两个底面积相等、高也相等的棱柱（圆柱）的 体积如何？
三、概念形成
普 概念1.柱体（棱柱和圆柱）的体积
通 高 中 课 程
棱柱（圆柱）可由多边形（圆）沿某一方向得到，因此，
程 标 准
V锥体
1 3
Sh
h
h
Liangxiangzhongxue
S
S
S
三、概念形成
普 概念3.台体（棱台、圆台）的体积
通
棱台和圆台分别是棱锥和圆锥用平行于底面的平面截去
高 中 课
一个锥体得到的。因此台体的体积可以用两个锥体体积的 差来计算。体积公式如下：
程 标 准
V台 体1 3hS SS'S'
四、应用举例
普 通
例2．如图，长方体 A B C D A ' 中B ' ，C 用' D 截' 面截下一个棱
锥
C ， 求A 棱'锥D D ' 的体积C 与 剩A 余'D 部D 分'的体积之比。
高
中
课
程
D'
C'
标 准
A'
B'
Liangxiangzhongxue
D
A
C B
四、应用举例
普 通 高
例3．有一堆规格相同的铁制（铁的密度是7.8g/c)m六3角螺帽 共重5.8kg，已知底面是正六边形，边长为12mm,内孔直 径为10mm，高为10mm，问这堆螺帽大约有多少个 （ 取
高中数学人教新课标B版必修2《1.1.7柱、锥、台和球的体积》课件
锥体的体积
E
G
A
C
B
锥体的体积
EE
G
A
CC
B
锥体的体积
EE
G
A
CC
B
锥体的体积
EE
GALeabharlann CCB锥体的体积
EE
G
A
CC
B
EE
锥体的体积 G
A
CC
B
EE
锥体的体积 G
A
CC
B
EE
锥体的体积 G
A
CC
B
EE
锥体的体积 G
A
CC
B
EE
锥体的体积 G
A
CC
B
E
E
锥体的体积 G
A
C
C
B
锥体的体积
S为底面积,h为高.
h
s
h
s
3、棱台和圆台的体积 台体的体积可以用两个锥体的体积的差来计算。
若台体的上下底面积分别是s/,s,高是h，则
x
s/
s/
h
s
s
柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系呢？
V柱体=sh
s/
S=S’ s
V台体=
1 h(s 3
+
ss' + s')
s/
S/=0
s
V锥体=
s
4、球的体积
祖暅原理：幂势既同，则积不容异。
夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面 的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那 么这两个几何体的体积相等。
等底面积、等高的两个柱体或锥体的体积相等。
祖暅是我国古代南北朝时期（5世纪）的 数学家，他在总结前人研究的基础上，总 结出这个原理，在欧洲直到17世纪，才 由意大利的卡瓦列里提出这个事实。
高中数学第一章立体几何初步1.1.7柱、锥、台和球的体
设O1、O分别是上、下底面的中心，
则四边形EOO1E1是直角梯形， 由 S 侧＝4×12(10＋20)·E1E＝780，得 EE1＝13. 在直角梯形 EOO1E1 中，O1E1＝12A1B1＝5， OE＝21AB＝10，
∴O1O＝ E1E2－OE－O1E12＝12， V 正四棱台＝13×12×(102＋202＋10×20)＝2 800(cm3). 故正四棱台的体积为2 800 cm3.
跟踪演练1 一个几何体的三视图如 图所示(单位：m)，则该几何体的体 积为_4_m3. 解析 此几何体是两个长方体的组合， 故V＝2×1×1＋1×1×2＝4.
要点二 锥体的体积 例2 如图三棱台ABC－A1B1C1中，AB∶A1B1＝1∶2，求 三棱锥A1－ABC，三棱锥B－A1B1C，三棱锥C－A1B1C1的 体积之比.
∴体积比为1∶2∶4.
规律方法 三棱柱、三棱台可以分割成三个三棱锥，分割 后可求锥体的体积和柱体或台体的体积关系，割补法在立 体几何中是一种重要的方法.
跟踪演练2 如图，在棱长为a的正方体 ABCD－A1B1C1D1中，求A到平面A1BD的 距离d. 解 在三棱锥A1－ABD中， 由题意知AA1为三棱锥的高，AB＝AD＝AA1＝a， A1B＝BD＝A1D＝ 2a，
第一章——
1.1.7 柱、锥、台和球的体积
[学习目标] 1.了解柱、锥、台和球的体积计算公式. 2.能够运用柱、锥、台、球的体积公式求简单几何体的体积. 3.会解决球的组合体及三视图中球的有关问题.
1 预习导学 2 课堂讲义 3 当堂检测
挑战自我，点点落实 重点难点，个个击破 当堂训练，体验成功
[预习导引] 1.祖暅原理 (1)“幂势既同，则积不容异”，即“_夹__在__两__个__平__行__平__面__间__的_ _两__个__几__何__体__，__被__平__行__于__这__两__个__平__面__的__任__意__平__面__所__截__，__如__果__截_ _得__的__两__个__截__面__的__面__积__总__相__等__，__那__么__这__两__个__几__何__体__的__体__积__相__等_.”
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一
二
三
二、柱、锥、台的体积 【问题思考】 1.填空:柱体、锥体、台体的体积公式如下表,其中S',S分别表示 上、下底面的面积,h表示高,r'和r分别表示上、下底面圆的半径.
名称 柱体 锥体 棱柱 圆柱 棱锥 圆锥 棱台 圆台 体积 (V) Sh πr2h
1 3 1 3 1 3 1 3
Sh πr2h h(S+ S· S'+S') πh(r2+rr'+r' 2)
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
变式训练1如图,某几何体的主视图是平行四边形,左视图和俯视 图都是矩形,则该几何体的体积为 ( )
1 3
1 3
1 3
������������'+S' ).
一
二
三
4.做一做:一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积 为 .
(1+2)×2 解析:该几何体为底面是直角梯形的四棱柱,V= ×1=3. 2
答案:3
一
二
三
5.做一做:圆锥底面半径为3,母线长为5,则这个圆锥的体积为 ( ) A.36π B.18π C.45π D.12π
长. ( ) (4)在三棱柱 A1B 1C1-ABC 中有 ������������-������1 ������������ = ������������1 -������1 ������1 ������ = ������������1 -������1 ������������ 成立. ( )
答案:(1) (2)× (3)× (4)
台体
一
二
三
2.求三棱锥的体积时有什么技巧? 提示:因为三棱锥的任何一个面都可以作为它的底面,因此求三 棱锥的体积时可以更换三棱锥的顶点和底面,寻求底面积与高易求 的三棱锥. 3.台体可以还原为锥体,那么台体的体积可以怎样求? 提示:台体是由锥体用平行于底面的平面截得的几何体,所以它 的体积也可以转化为两个锥体的体积之差.求解过程如下: 如图所示,设台体(棱台或圆台)上、下底面面积分别是S',S,高是h, 设截得台体时去掉的锥体的高是x,则截得这个台体的锥体的高是 h+x,
1.1.7 柱、锥、台和球的体积
课 标 阐 释 思 维 1.理解 棱柱、棱锥和棱台体积公 式的推导,利用 “祖暅原理”将空 间问题转化为平面问题. 2.了解 球的体积公式,会计算 球 的体积. 3.熟练运用 体积公式求多面体和 简单旋转体的体积. 4.掌握 柱体、锥体、台体体积公 式之间的关系,了解 求几何体体 积的几种技巧.
解析:V 圆锥 = πr2· h, 由 r=3,l=5 得 h=4(其轴截面如图), 所以 V= ×π×9×4=12π.
答案:D
1 3
1 3
一
二
三
三、球的体积 【问题思考】
1.填空:V 球= R3,其中 R 为球的半径.
2.将球的表面积公式S球=4πR2和球的体积公式V球= 3 πR3从公式 结构上进行比较,你能发现S球和V球的关系吗? 1 提示:半径为R的球,其体积V球和表面积S球有以下关系:V球= 3 S R. 球· 3.做一做:已知球的表面积变为原来的4倍,则它的体积变为原来 的 倍. 答案:8
一
二
三
则 V 台体 =V 大锥体-V 小锥体 = S(h+x)- S'x= [Sh+(S-S')x],
������' ������2 ������' ������ 而 = ,所以 = , ������ ������ ℎ+������ (ℎ+������)2 ������'ℎ 于是有 x= ,代入体积表达式 , ������- ������' 1 ������' 1 得 V 台体 = ℎ ������ + (������-������') = h(S+ 3 3 ������- ������'
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
柱体的体积 【例1】 用一块长4 m,宽2 m的矩形铁皮卷成一个圆柱形铁筒,如 何制作可使铁筒的体积最大? 解:①若以矩形的长为圆柱的母线l, 则l=4 m, 此时圆柱底面周长为2 m,
即圆柱底面半径为 R= m, 所以圆柱的体积为 V=πR · l=π
2
1 π
1 2 4 · 4= (m3). π π
4
4π 3
一
二
三
思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“ ”,错误的画 “×”. (1)等底等高的两个柱体的体积相同. ( ) (2)等底等高的圆柱体的体积是圆锥体积的9倍. ( )
1 (3)在公式 V 台体= h(S 上+ 3
������上 · ������下 +S 下)中 h 为该台体的侧棱或母线
②若以矩形的宽为圆柱的母线 ,同理可得 V=π(m3),
所以第二种方法可使铁筒体积最大 .8Fra bibliotek探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
反思感悟1.柱体(棱柱、圆柱)的体积等于它的底面积S和高h的积, 即V柱体=Sh.底面半径是r,高是h的圆柱体的体积的计算公式是V圆柱 =πr2h. 2.平行六面体的体积求解是比较常见的,因为平行六面体的六个 面都是平行四边形,故可以用任意一组平行的面作为底面,其余面 作为侧面.解题时,我们以解直棱柱的体积居多,故在平行六面体中 选底面时,以构成直棱柱为首选因素.
3 π
一
二
三
2.填空:(1)“幂势既同,则积不容异”,即“夹在两个平行平面间的两 个几何体,被平行于这两个平面的任意平面所截,如果截得的两个 截面的面积总相等,那么这两个几何体的体积相等”. (2)作用:等底面积、等高的两个柱体或锥体的体积相等. (3)说明:祖暅原理充分体现了空间与平面问题的相互转化思想, 是推导柱、锥、台体积公式的理论依据. 3.运用祖暅原理来证明两个几何体的体积相等,需要几个条件?分 别是什么? 提示:需要三个条件,分别是: (1)这两个几何体夹在两个平行平面之间. (2)平行于两个平行平面的每一个平面可截得两个截面. (3)两个截面的面积总相等.
脉
络
一
二
三
一、祖暅原理 【问题思考】 1.请计算一下长、宽、高分别是4 cm,3 cm,2 cm的长方体的体积 和底面半径为2 cm,高为2 cm的圆柱的体积.通过分析,你能发现 什么结论? 提示:根据V体=S底· h得这两个几何体的体积相等,均为24 cm3.由 此可知等底面积,且等高的圆柱和长方体的体积相等,不仅如此,在 此基础上还有下面的一般规律——祖暅原理.