平面向量生活实际应用
平面向量的应用
平面向量的应用平面向量是解决空间内几何问题的重要工具之一，具有广泛的应用。
它们可以用来描述物体的位移、速度、加速度等物理量，帮助我们解决各种实际问题。
本文将介绍平面向量的应用，包括力的作用、力的分解、面积计算以及平衡条件等方面。
1. 力的作用平面向量可以用来描述力的作用。
在物体上施加力可以使其发生位移。
假设有两个力F1和F2作用在物体上，它们的大小和方向可以用平面向量表示。
若这两个力的向量分别为A和B，它们的合力可以表示为A + B。
通过求解合力向量的大小和方向，可以确定物体所受的合力。
2. 力的分解平面向量还可以用来对力进行分解。
在力的分析中，我们常常需要将一个力分解为两个或多个分力，以便更好地理解和研究物体受力情况。
将一个力F进行分解，可以得到两个力F1和F2，它们的合力等于F。
通过适当地选择分解方向和大小，可以使得问题的处理更加简单。
3. 面积计算平面向量可以用来计算平面上的面积。
设有三个非共线的向量A、B和C，它们的起点相同，可以构成一个三角形。
这个三角形的面积可以用向量的叉乘来计算，即：面积 = 1/2 * |A × B|其中，|A × B|表示叉乘的模。
通过面积计算公式，我们可以快速准确地计算出平面上各种形状的面积，如矩形、梯形、圆等。
4. 平衡条件平面向量还可以应用于力系统的平衡条件。
对于一个物体受到多个力的作用，若物体保持平衡，则所有作用力的合力必须为零。
可以将每个力表示为一个平面向量，然后将它们相加得到合力向量。
若合力向量为零，则说明物体处于平衡状态。
在实际问题中，通过平面向量的分析和计算，可以解决许多与平面运动、平衡、受力分析等相关的问题。
例如，在建筑物的结构设计中，我们可以利用平面向量对各个支点受力进行分析，保证建筑物结构的稳定性。
总结平面向量的应用广泛且重要，它们可以用于描述力的作用、力的分解、面积计算以及平衡条件的分析等方面。
通过适当地选择和计算向量，可以解决各种实际问题，并提高问题处理的准确性和效率。
高考数学平面向量与应用举例
高考数学平面向量与应用举例数学作为一门基础学科，一直是各级教育的重中之重。
在高考数学中，平面向量是一个重要的知识点。
掌握好平面向量，可以帮助我们更好地理解解析几何和向量的应用。
在本文中，我将详细介绍平面向量及其应用，并提供一些实用的例子来帮助大家更好地理解和掌握平面向量的应用。
一、平面向量的定义和性质平面向量是由大小和方向组成的量，在平面直角坐标系中用有向线段表示。
举个例子，如果有两个有向线段$\vec{v}$和$\vec{w}$，分别表示由点A到点B和点C的位移向量，那么我们可以定义这两个向量的加法、减法和数乘如下：加法：$\vec{v}+\vec{w}$，表示由点A到点B再到点C的位移向量。
减法：$\vec{v}-\vec{w}$，表示从点B到点A和点C之间的向量。
数乘：$k\vec{v}$，表示由点A到点B的位移向量的$k$倍。
此外，平面向量还具有以下性质：交换律：$\vec{v}+\vec{w}=\vec{w}+\vec{v}$结合律：$(\vec{v}+\vec{w})+\vec{u}=\vec{v}+(\vec{w}+\vec{u})$数乘结合律：$k(l\vec{v})=(kl)\vec{v}$数乘分配律：$(k+l)\vec{v}=k\vec{v}+l\vec{v}$二、平面向量的应用以上是平面向量的基本概念和性质，实际上平面向量在数学和物理中的应用非常广泛。
以下是几个常见的例子：1. 向量投影向量投影是指从一点向另一点的有向线段所对应的向量开始，在某一方向上的分量，也就是将向量“分解”在某一个方向上。
具体地，假设有一个向量$\vec{v}$和方向向量$\vec{u}$，向量$\vec{v}$在方向$\vec{u}$上的投影为：$$\text{proj}_{\vec{u}}\vec{v}=\frac{\vec{v}\cdot\vec{u}}{\|u\|^ 2}\vec{u}$$其中，“$\cdot$”表示向量的数量积。
平面向量应用
平面向量应用平面向量是解决几何问题的强大工具之一。
它广泛应用于各个领域，如物理、工程学、计算机图形学等。
本文将介绍平面向量的定义、运算以及它在实际问题中的应用。
一、定义平面向量是由有序数对(a, b)表示的几何对象。
其中，a和b分别表示向量在x和y轴上的分量。
平面向量通常记作a=i+bj，其中i和j是单位向量，分别表示x和y轴的方向。
例如，向量a=(2, 3)可以表示为a=2i+3j。
二、运算平面向量的运算主要包括加法、减法和数量乘法。
1. 加法：向量的加法满足交换律和结合律。
例如，向量a=(2, 3)和向量b=(1, 2)的和为a+b=(3, 5)。
2. 减法：向量的减法可以通过加法和数量乘法得到。
例如，向量a=(2, 3)减去向量b=(1, 2)可以表示为a-b=a+(-1)b=(2, 3)+(-1)(1, 2)=(2,3)+(-1, -2)=(1, 1)。
3. 数量乘法：向量的数量乘法即将向量的每个分量都乘以一个实数。
例如，向量a=(2, 3)乘以实数k的结果为ka=(2k, 3k)。
三、应用1. 位移和平移：平面向量可以描述物体的位移和平移。
例如，向量a=(3, 4)表示一个物体向右移动3个单位，向上移动4个单位。
如果一个图形绕（0，0）顺时针旋转90度，后者获得反方向的位移（4，-3），这是向量数量乘法的应用。
2. 力的合成：在物理学中，力可以表示为平面向量。
如果有两个力F1=(2, 3)和F2=(-1, 2)，求合力F=F1+F2。
通过向量的加法可得，F=(2, 3)+(-1, 2)=(1, 5)。
合力F的大小可以通过向量的模来计算，即√(1^2+5^2)=√26。
3. 图形相似性：平面向量在计算机图形学中有广泛应用。
例如，两个多边形之间的相似性可以通过向量来判断。
如果两个多边形的对应边平行且长度成比例，那么它们是相似的。
通过向量运算可以计算多边形的平移、旋转、缩放等操作。
4. 线性方程组的解：线性方程组的解可以通过向量计算得到。
2.5平面向量应用举例【很好】
思考：能否用向量 坐标形式证明？
即 AC CB 0，得 ∠ACB=90°
r2 r2 0
2.5.2向量在物理中的应用
例1：同一平面内，互成120ْ 的三个大小相等的共点 力的合力为零。
证：如图，用a，b，c表示这3个共点力， 且a，b，c互成120°，模相等，按照向 量的加法运算法则，有： a A
由于 AR 与AC 共线，故设r n(a b ), n R
又因为 ER与 EB
共线，
D E R F T B C
1 所以设ER mEB m(a b ) 2
因为 AR AE ER
0
1 1 1 所以 AR AC ,同理TC AC , 于是 RT AC 3 3 3
1 解得：n= m = 3
故AT=RT=TC
用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：
（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问 题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量 问题；常设基底向量或建立向量坐标。 （2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系， 如距离、夹角等问题； （3）把运算结果“翻译”成几何元素。
=3
2.5平面向量应用举例
1. 向量在几何中的应用
解决的问题：
比如：距离、平行、三点共线、垂直、 夹角等几何问题
2. 向量在物理中的应用
解决的问题：
比如：力、速度等物理问题
2.5.1平面几何的向量方法
例1：平行四边形是表示向量加法与减法的几 何模型。如图，你能发现平行四边形两条对角 线的长度与两条邻边的长度之间的关系吗？
F2
G
解：不妨设 F1 = F2 ，由向量的 平行四 边形法则，力的平衡以及直角三角形的知识， 可以知道： G F1 = （ *） θ 2cos 2 F 通过上面的式子，有：当θ由0º 到180º 逐渐变 θ θ cos 大时， 由0º 到90º 逐渐变大， 2 的值由大逐 2 渐变小，因此 ： F1 由小逐渐变大，即F1 ，F2之间 的夹角越大越费力，夹角越小越省力！ 探究：
初中数学知识归纳平面向量的应用
初中数学知识归纳平面向量的应用初中数学知识归纳:平面向量的应用平面向量是初中数学中重要的概念之一，其应用领域非常广泛。
在本文中，我们将归纳总结平面向量的应用，并且探讨其在几何、物理和经济等领域中的具体应用。
一、平面向量在几何中的应用1. 平移变换：平面向量的加法运算可以用于描述平移变换。
假设有一个向量a表示某个点的位置，通过向量b可以将该点平移至另一个位置，新的位置可以表示为a+b。
平移变换在几何图形的移动和构造中有着重要的应用，例如平行四边形的构造、图形的镜像等。
2. 向量共线与线性组合：通过向量的共线性来判断线段的相似性和平面的共面性。
如果两个向量a和b共线，则可以表示为a=kb，其中k 为一个实数。
此外，通过向量的线性组合可以方便地表示平面内的任意一点。
这种方法在平面几何证明和计算中经常被使用。
3. 矢量运算：平面向量的乘法运算包括数量积和向量积。
数量积可以用于计算两个向量的夹角，通过计算a·b=|a||b|cosθ来得到。
而向量积则用于计算两个向量的面积，通过计算a×b=|a||b|sinθ来得到。
这些矢量运算在几何中常常用于求解角度、判断垂直、计算面积等问题。
二、平面向量在物理中的应用1. 力的合成与分解：平面向量可以用于描述物体所受到的力的合成与分解。
当一个物体受到多个力的作用时，可以将这些力的大小和方向表示为向量，并利用向量的运算求得它们的合力。
相反地，可以将一个力向量分解为多个力向量的和，以便更好地分析物体所受到的力的效果。
2. 平衡力与力的平衡：平面向量的概念在力的平衡问题中有着重要的应用。
当物体所受到的合力为零时，物体处于平衡状态。
利用平面向量，我们可以方便地求解力的平衡条件，并解决各种力的平衡问题。
3. 速度与加速度：平面向量可以用于描述物体的速度和加速度。
速度可以表示为物体位置矢量随时间的变化率，即v=d/dt[r(t)]，其中r(t)为位置矢量。
利用平面向量的运算可以方便地计算物体的速度和加速度，并解决相关的运动学问题。
平面向量的应用
平面向量的应用一、引言平面向量是高中数学中的重要概念，其应用广泛。
本文将从几何、物理和工程等多个方面介绍平面向量的应用。
二、几何应用1. 向量的加减法向量的加减法在几何中有着广泛的应用。
例如，在平面内，两个向量相加可以表示从一个点出发分别沿着两个方向走到达另一个点；两个向量相减可以表示从一个点出发先沿着一个方向走再沿着另一个方向回到原点。
2. 向量的数量积在几何中，向量的数量积可以用来计算两个向量之间的夹角。
例如，在平面内，如果有两条非零向量a和b，则它们之间的夹角θ满足cosθ=(a·b)/(|a||b|)，其中|a|和|b|分别表示a和b的模长。
3. 向量共线与垂直在几何中，如果两个非零向量共线，则它们可以表示同一条直线上不同位置处的两个位移向量；如果两个非零向量垂直，则它们所在直线互相垂直。
这些性质在解决平面内直线、三角形等问题时经常被用到。
三、物理应用1. 力的合成与分解在物理中，力的合成与分解是基本概念。
如果有多个力作用于同一物体，则它们可以合成为一个等效的力；如果一个力可以被分解为多个方向上的力，则每个方向上的力可以分别计算。
2. 速度和加速度在物理中，速度和加速度都可以表示为向量。
例如，在平面内，一个物体的速度可以表示为v=(x,y)，其中x和y分别表示它在x轴和y轴上的速度分量；一个物体的加速度可以表示为a=(ax,ay)，其中ax和ay分别表示它在x轴和y轴上的加速度分量。
3. 力与位移在物理中，如果一个恒定大小、方向不变的力作用于一个物体，则这个力可以表示为一条位移向量。
例如，在平面内，如果有一个恒定大小、方向不变的力F作用于一个质点P，则质点P所受到的位移d可以表示为d=(F·r)/|F|，其中r表示从P点出发指向作用点O处的位移向量。
四、工程应用1. 向量运算在工程中，向量运算经常被用来进行计算。
例如，在机械设计中，需要对各种受力情况进行分析，需要进行向量的加减法、数量积等运算。
平面向量应用举例2(常丽娜)
（1）问题的转化，把物理问题转化为数学问题
（2）模型的建立，建立以向量为主体的数学模型
（3）参数的获取，求出数学模型的相关解
（4）问题的答案，回到物理现象中，用已获取的数值去解释一些物理现象
二、小结
三、作业：P113 A组3、4 B组2
§2.5平面向量应用举例2
教学目标：1.经历用向量方法解决某些简单的物理问题的过程
2.体会向量是一种处理实际问题的工具，发展运算能力和解决实际问题的能力
3掌握向量方法解决实际问பைடு நூலகம்的基本方法
教学重点：用向量方法解决实际问题的基本方法
教学难点：实际问题转化为向量问题
教学方法：教学时间：
教学过程：
一、例题讲解
例1.在日常生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一个旅行包，夹角越大越费力；在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力。你能从数学的角度解释这种现象吗？
分析：上面的问题可以抽象为如图2.5-3所示的数学模型。只要分析清楚F、G、 三者之间的关系（其中F为F1、F2的合力），就得到了问题的数学解释。
思考：（1） 为何值时，|F1|最小，最小值是多少？
（2）|F1|能等于|G|吗？为什么？
例2.如图2.5-4，一条河的两岸平行，河的宽度d=500m，一艘船从A处出发到河对岸，已知船的速度|v|=2km/h，问行驶航程最短时，所用时间最少（精确地0.1min）？
变式：今有一小船位于宽d=60m的河边P处，在下游距离l=80m的L处河流变成“飞流直下三千尺”的瀑布。若河水流速方向由上游指向下游即与河岸平行，水速大小为5m/s，如图所示，为了使小船能安全渡河，船的划速不能小于多少？当划速最小时，划速方向如何？
平面向量应用举例
平面向量应用举例英国科学家赫胥黎应邀到都柏林演讲，由于时间紧迫，他一跳上出租车，就急着说：“快！快！来不及了！”司机遵照指示，猛开了好几分钟，赫胥黎才发现不太对劲，问道：“我没有说要去哪里吗？”司机回答：“没有啊！你只叫我快开啊！”赫胥黎于是说：“对不起，请掉头，我要去都柏林．”由此可见，速度不仅有大小，而且有方向．在我们的生活中，有太多的事物不仅与表示它的量的大小有关，而且也与方向有关．1．向量在平面几何中的应用向量在平面几何中的应用主要有以下方面：(1)证明线段相等、平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时也用到向量减法的意义．(2)证明线段平行、三角形相似，判断两直线(或线段)是否平行，常运用向量平行(共线)的条件： a ∥b ⇔a ＝λb (或x 1y 2－x 2y 1＝0) ．(3)证明线段的垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线(线段)是否垂直等，常运用向量垂直的条件： a ⊥b ⇔a ·b ＝0(或x 1x 2＋y 1y 2＝0) ．(4)求与夹角相关的问题，往往利用向量的夹角公式 cos θ＝a ·b |a ||b |．(5)向量的坐标法，对于有些平面几何问题，如长方形、正方形、直角三角形等，建立直角坐标系，把向量用坐标表示，通过代数运算解决几何问题．2．向量在物理中的应用数学中对物理背景问题主要研究下面两类： (1)力向量力向量是具有大小、方向和作用点的向量，它与前面学习的自由向量不同，但力是具有大小和方向的量，在不计作用点的情况下，__可用向量求和的平行四边形法则，求两个力的合力__．(2)速度向量速度向量是具有大小和方向的向量，因而__可用求向量和的平行四边形法则，求两个速度的合速度__．[知识点拨]向量方法在平面几何中应用的几点说明：(1)要证明两线段平行，如AB ∥CD ，则只要证明存在实数λ≠0，使AB →＝λCD →成立，且AB 与CD 无公共点．(2)要证明A 、B 、C 三点共线，只要证明存在一实数λ≠0，使AB →＝λAC →． (3)要求一个角，如∠ABC ，只要求向量BA →与向量BC →的夹角即可．1．四边形ABCD 中，若AB →＝12DC →，则四边形ABCD 是( D )A ．平行四边形B ．矩形C ．菱形D ．梯形[解析] ∵AB →＝12DC →，∴AB ∥DC 且AB ≠DC ， 应为梯形．2．下列直线与a ＝(2,1)垂直的是( A ) A ．2x ＋y ＋1＝0 B ．x ＋2y ＋1＝0 C ．x －2y ＋4＝0D ．2x －y ＋4＝0 [解析] 由于向量(A ，B )与直线Ax ＋By ＋c ＝0垂直，故应选A ．3．已知两个力F 1，F 2的夹角为90°，它们合力大小等于10N ，合力与F 1的夹角为60°，则F 1的大小为__N( D )A ．5 3B ．10C ．5 2D ．5[解析] |F 1|＝|F |cos60°＝10×12＝5．4．若直线l ：mx ＋2y ＋6＝0与向量(1－m,1)平行，则实数m 的值为__－1或2__． [解析] 因为直线与向量平行，所以11－m ＝－m2，故有：m 2－m －2＝0，∴m ＝－1或2．命题方向1 ⇨向量在平面几何中的应用典例1 如图，平行四边形ABCD 中，已知AD ＝1，AB ＝2，对角线BD ＝2.求对角线AC 的长．[思路分析] 本题是求线段长度的问题，它可以转化为求向量的模来解决． [解析] 设AD →＝a ，AB →＝b ，则BD →＝a －b ，AC →＝a ＋b ，而|BD →|＝|a －b |＝a 2－2a·b ＋b 2＝1＋4－2a·b ＝5－2a·b ＝2，① ∴|AC →|2＝|a ＋b |2＝a 2＋2a·b ＋b 2＝|a |2＋2a·b ＋|b |2＝1＋4＋2a·b ． ∵由①得2a·b ＝1．∴|AC →|2＝6，∴|AC →|＝6，即AC ＝6．『规律总结』 在解决求长度的问题时，可利用向量的数量积及模的知识，解题过程中用到的整体代入使问题得到简捷、明了的解决．〔跟踪练习1〕如图所示，四边形ABCD 是菱形，AC 和BD 是它的两条对角线，试用向量证明：AC ⊥BD ．[证明] ∵AC →＝AB →＋AD →，BD →＝AD →－AB →， ∴AC →·BD →＝(AB →＋AD →)·(AD →－AB →)＝|AD →|2－|AB →|2＝0． ∴AC →⊥BD →.∴AC ⊥BD ．命题方向2 ⇨向量在物理中的应用典例2 如图，在细绳O 处用水平力F 2缓慢拉起所受重力为G 的物体，绳子与铅垂方向的夹角为θ，绳子所受到的拉力为F 1．(1)求|F 1|、|F 2|随角θ的变化而变化的情况； (2)当|F 1|≤2|G |时，求角θ的取值范围. [思路分析] 分析条件→转化为向量加法问题→求解[解析] (1)如图由力的平衡及向量加法的平行四边形法则，得|F 1|＝|G |cos θ，|F 2|＝|G |tan θ．当θ从0°趋向于90°时，|F 1|，|F 2|都逐渐变大．(2)由(1)，得|F 1|＝|G |cos θ． 由|F 1|≤2|G |，得cos θ≥12．又因为0°≤θ<90°，所以0°≤θ≤60°．『规律总结』 1.求几个力的合力，可以用几何法，通过解三角形求解，也可用向量法求解．2．如果一个物体在力G 的作用下产生位移为s ，那么力F 所做的功W ＝|F ||s |cos θ，其中θ是F 与s 的夹角．由于力和位移都是向量，所以力所做的功就是力与位移的数量积．〔跟踪练习2〕两个力F 1＝i ＋j ，F 2＝4i －5j 作用于同一质点，使该质点从点A (20,15)移动到点B (7,0)(其中i 、j 分别是与x 轴、y 轴同方向的单位向量)．求：(1)F 1、F 2分别对该质点所做的功； (2)F 1、F 2的合力F 对该质点所做的功． [解析] AB →＝(7－20)i ＋(0－15)j ＝－13i －15j ， (1)F 1所做的功W 1＝F 1·s ＝F 1·AB →＝(i ＋j )·(－13i －15j )＝－28； F 2所做的功W 2＝F 2·s ＝F 2·AB → ＝(4i －5j )·(－13i －15j )＝23． (2)因为F ＝F 1＋F 2＝5i －4j ， 所以F 所做的功W ＝F ·s ＝F ·AB → ＝(5i －4j )·(－13i －15j )＝－5． 用向量方法探究存在性问题做题时，我们会遇到一些存在性问题、比较复杂的综合问题等等，解决此类问题常常运用坐标法，坐标法就是把向量的几何属性代数化，把对向量问题的处理程序化，从而降低了解决问题的难度．另外，坐标法又是实现把向量问题转化为代数问题的桥梁．因此我们要善于运用坐标法把几何问题、代数问题、向量问题进行相互转化．典例3 在△ABC 中，已知AB ＝AC ＝5，BC ＝6，M 是边AC 上靠近点A 的一个三等分点，试问：在线段BM (端点除外)上是否存在点P ，使得PC ⊥BM?[思路分析] 本题是存在性问题，解题时利用共线向量，把向量BP →的坐标设出，从而得到CP →的坐标，然后根据垂直关系，利用数量积为零得到问题的答案．[解析] 以B 为原点，BC 所在直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系． ∵AB ＝AC ＝5，BC ＝6， ∴B (0,0)，A (3,4)，C (6,0)， 则AC →＝(3，－4)．∵点M 是边AC 上靠近点A 的一个三等分点，∴AM →＝13AC →＝(1，－43)，∴M (4，83)，∴BM →＝(4，83)．假设在BM 上存在点P 使得PC ⊥BM ， 设BP →＝λBM →，且0<λ<1， 即BP →＝λBM →＝λ(4，83)＝(4λ，83λ)，∴CP →＝CB →＋BP →＝(－6,0)＋(4λ，83λ)＝(4λ－6，83λ)．∵PC ⊥BM ，∴CP →·BM →＝0， 得4(4λ－6)＋83×83λ＝0，解得λ＝2726．∵λ＝2726∈/(0,1)，∴线段BM 上不存在点P 使得PC ⊥BM ．『规律总结』 本题若用平面几何知识解非常复杂，利用共线向量则能巧妙解决，在今后解题中注意体会和应用．〔跟踪练习3〕△ABC 是等腰直角三角形，∠B ＝90°，D 是边BC 的中点，BE ⊥AD ，垂足为E ，延长BE 交AC 于F ，连接DF ，求证：∠ADB ＝∠FDC ．[解析] 如图，B 为原点，BC 所在直线为x 轴建立直角坐标系，设A (0,2)，C (2,0)，则D (1,0)，AC →＝(2，－2)．设AF →＝λAC →，则BF →＝BA →＋AF →＝(0,2)＋(2λ，－2λ)＝(2λ，2－2λ)． 又DA →＝(－1,2)，BF →⊥DA →，∴BF →·DA →＝0， ∴－2λ＋2(2－2λ)＝0，∴λ＝23．∴BF →＝(43，23)，DF →＝BF →－BD →＝(13，23)．又DC →＝(1,0)，∴cos ∠ADB ＝DA →·DB →|DA →|·|DB →|＝55，cos ∠FDC ＝DF →·DC →|DF →|·|DC →|＝55，又∠ADB ，∠FDC ∈(0，π)，∴∠ADB ＝∠FDC ． 对向量相等的定义理解不清楚典例4 已知在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相互平分，且AC ⊥BD ，求证：四边形ABCD 是菱形．[错解] 设对角线AC 、BD 交于点O ，则有 AO →＝OC →，BO →＝OD →，AO →⊥OD →， ∴|AO →|2＋|OD →|2＝|AD →|2， |OC →|2＋|OD →|2＝|CD →|2， ∴AD →＝CD →，同理AB →＝BC →． 故四边形ABCD 是菱形．[错因分析] 误认为|AD →|＝|CD →|，就有AD →＝CD →． [思路分析] 先证平行四边形，再证其邻边相等即获证． [正解] 设对角线AC 、BD 交于点O ，则有AO →＝OC →，BO →＝OD →， ∴AO →＋OD →＝OC →＋BO →，∴AD →＝BC →． 故四边形ABCD 是平行四边形． 又∵|AO →|2＋|OD →|2＝|AD →|2， |OC →|2＋|OD →|2＝|CD →|2，∴|AD →|＝|CD →|.故四边形ABCD 是菱形．[点评] 两向量相等不仅要大小相等，还要方向相同，即相等向量的模一定相等，但模相等的向量不一定是相等向量．〔跟踪练习4〕如右图所示，在正方形ABCD 中，P 为对角线AC 上任一点，PE ⊥AB ，PF ⊥BC ，垂足分别为E 、F ，连接DP 、EF ，求证：DP ⊥EF ．[证明] 设正方形ABCD 的边长为1，AE ＝a (0<a <1)， 则EP ＝AE ＝a ，PF ＝EB ＝1－a ，AP ＝2a ，∴DP →·EF →＝(DA →＋AP →)·(EP →＋PF →) ＝DA →·EP →＋DA →·PF →＋AP →·EP →＋AP →·PF →＝1×a ×cos180°＋1×(1－a )×cos90°＋2a ×a ×cos45°＋2a ×(1－a )×cos45° ＝－a ＋a 2＋a (1－a )＝0． ∴DP →⊥EF →，即DP ⊥EF ． 课堂检测1．已知作用在点A (1,1)的三个力F 1＝(3,4)，F 2＝(2，－5)，F 3＝(3,1)，则合力F ＝F 1＋F 2＋F 3的终点坐标是( B )A ．(8,0)B ．(9,1)C ．(－1,9)D ．(3,1)[解析] ∵F ＝(8,0)，∴终点坐标为(8,0)＋(1,1)＝(9,1)，故选B ． 2．在四边形ABCD 中，若AB →＋CD →＝0，AC →·BD →＝0，则四边形为( D ) A ．平行四边形 B ．矩形 C ．等腰梯形D ．菱形[解析] 由AB →＋CD →＝0，得AB →＝－CD →＝DC →，∴四边形ABCD 为平行四边形．又AC →·BD →＝0知，对角线互相垂直，故四边形为菱形，故选D ．3．过点A (2,3)，且垂直于向量a ＝(2,1)的直线方程为( A ) A ．2x ＋y －7＝0 B ．2x ＋y ＋7＝0 C ．x －2y ＋4＝0D ．x －2y －4＝0[解析] 设P (x ，y )为直线上一点，则AP →⊥a ，即(x －2)×2＋(y －3)×1＝0，即2x ＋y －7＝0．4．已知△ABC 的重心是G ，CA 的中点为M ，且A 、M 、G 三点的坐标分别是(6,6)，(7,4)，(163，83)，则|BC |为( D ) A ．410 B ．10 C ．102D ．210[解析] 设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)， 由条件可知⎩⎨⎧6＋x 22＝76＋y22＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝8y 2＝2，∴C (8,2)，⎩⎨⎧6＋8＋x 13＝1636＋2＋y 13＝83即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2y 1＝0，∴B (2,0) ∴|BC |＝(8－2)2＋(2－0)2＝36＋4＝210．A 级 基础巩固一、选择题1．若向量OF 1→＝(1,1)，OF 2→＝(－3，－2)分别表示两个力F 1→、F 2→，则|F 1→＋F 2→|为( C ) A ．(5,0) B ．(－5,0) C ． 5D ．－ 5[解析] ∵OF 1→＝(1,1)，OF 2→＝(－3，－2)， ∴|F 1→＋F 2→|＝(1－3)2＋(1－2)2＝5，故选C ．2．(2018·四川绵阳期末)△ABC 中，设AB →＝c ，BC →＝a ，CA →＝b ，若c ·(c ＋a －b )<0，则△ABC 是( C )A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．无法确定其形状[解析] 由已知，AB →·(AB →＋BC →－CA →)＝AB →·2AC →<0， ∴角A 为钝角，故选C ．3．已知点A (－2,0)，B (0,0)，动点P (x ，y )满足P A →·PB →＝x 2，则点P 的轨迹是( D ) A ．x 2＋y 2＝1 B ．x 2－y 2＝1 C ．y 2＝2xD ．y 2＝－2x[解析] P A →＝(－2－x ，－y )，PB →＝(－x ，－y ) 则P A →·PB →＝(－2－x )(－x )＋y 2＝x 2， ∴y 2＝－2x ．4．在△ABC 中，∠C ＝90°，AB →＝(k,1)，AC →＝(2,3)，则k 的值是( A ) A ．5 B ．－5 C ．32D ．－32[解析] 由题意，得BC →＝AC →－AB →＝(2,3)－(k,1)＝(2－k,2)． ∵∠C ＝90°，∴AC →⊥BC →.∴AC →·BC →＝0． ∴2(2－k )＋3×2＝0.∴k ＝5．5．点O 是△ABC 所在平面内的一点，满足OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →，则点O 是△ABC 的( D )A ．三个内角的角平分线的交点B ．三条边的垂直平分线的交点C ．三条中线的交点D ．三条高线的交点[解析] 由OA →·OB →＝OB →·OC →， 得OA →·OB →－OB →·OC →＝0，∴OB →·(OA →－OC →)＝0，即OB →·CA →＝0． ∴OB →⊥CA →.同理可证OA →⊥CB →，OC →⊥AB →．∴OB ⊥CA ，OA ⊥CB ，OC ⊥AB ，即点O 是△ABC 的三条高线的交点．6．两个大小相等的共点力F 1、F 2，当它们的夹角为90°时，合力大小为20 N ，当它们的夹角为120°时，合力大小为( B )A ．40 NB ．102NC ．202ND ．402N[解析] 如图，以F 1、F 2为邻边作平行四边形，F 为这两个力的合力．由题意，易知|F |＝2|F 1|， |F |＝20 N ，∴|F 1|＝|F 2|＝102N ．当它们的夹角为120°时，以F 1、F 2为邻边作平行四边形， 此平行四边形为菱形， 此时|F 合|＝|F 1|＝102N ． 二、填空题7．力F ＝(－1，－2)作用于质点P ，使P 产生的位移为s ＝(3,4)，则力F 对质点P 做功的是__－11__．[解析] ∵W ＝F ·s ＝(－1，－2)·(3,4)＝－11，则力F 对质点P 做的功是－11． 8．若平面向量α、β满足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α、β为邻边的平行四边形的面积为12，则α与β的夹角θ的取值范围是 [π6，56π] ．[解析] 以α，β为邻边的平行四边形的面积为：S ＝|α||β|sin θ＝|β|sin θ＝12，所以sin θ＝12|β|，又因为|β|≤1，所以12|β|≥12，即sin θ≥12且θ∈[0，π]，所以θ∈[π6，56π]．三、解答题9．在△ABC 中，∠C ＝90°，D 是AB 的中点，用向量法证明CD ＝12AB ．[证明] 如图，设CA →＝a ，CB →＝b ， 则a 与b 的夹角为90°， ∴a ·b ＝0．又AB →＝b －a ，CD →＝12(a ＋b )，∴|CD →|＝12|a ＋b |＝12(a ＋b )2＝12|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝12|a |2＋|b |2， |AB →|＝|b －a |＝(b －a )2＝|b |2－2a ·b ＋|a |2＝|a |2＋|b |2． ∴|CD →|＝12|AB →|.∴CD ＝12AB ．10．某人骑车以a km /h 的速度向东行驶，感到风从正北方向吹来，而当速度为2a km/h 时，感到风从东北方向吹来，试求实际风速和方向．[解析] 设此人行驶速度为a ，则|a |＝a ，无风时此人感觉到风速为－a ，又设实际风速为v ，由题意知，此人所感到的从正北方向吹来的风速为v －a ，如图所示，令OA →＝－a ，OB →＝－2a ， 由于PO →＋OA →＝P A →，故P A →＝v －a ．又PO →＋OB →＝PB →，故PB →＝v －2a ，即此人的速度是原来的2倍时所感到的风速，由题意得∠PBO ＝45°，P A ⊥BO ，BA ＝AO ，从而△BPO 为等腰三角形，∴PB ＝PO ，∠POA ＝∠APO ＝45°， ∴PO ＝2a ，|v |＝2a km/h ．故实际吹来的风是风速为2a km/h 的西北风．B 级 素养提升一、选择题1．点P 在平面上做匀速直线运动，速度v ＝(4，－3)，设开始时点P 的坐标为(－10,10)，则5秒后点P 的坐标为(速度单位：m/s ，长度单位：m)( C )A ．(－2,4)B ．(－30,25)C ．(10，－5)D ．(5，－10)[解析] 5秒后点P 的坐标为(－10,10)＋5(4，－3)＝(10，－5)．2．在四边形ABCD 中，AC →＝(1,2)，BD →＝(－4,2)，则该四边形的面积为( C ) A ． 5 B ．2 5 C ．5D ．10[解析] 本题考查向量的坐标运算，数量积、模等． 由题意知AC ，BD 为四边形对角线， 而AC →·BD →＝1×(－4)＋2×2＝0 ∴AC ⊥BD ．∴S 四边形ABCD ＝12×|AC →|×|BD →|＝12×12＋22×(－4)2＋22 ＝12×5×20＝5． 3．已知点O 、N 、P 在△ABC 所在的平面内，且|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，NA →＋NB →＋NC →＝0，P A →·PB →＝PB →·PC →＝PC →·P A →，则点O 、N 、P 依次是△ABC 的( C )A ．重心 外心 垂心B ．重心 外心 内心C ．外心 重心 垂心D ．外心 重心 内心[解析] 由|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，已知点O 为△ABC 的外心，由NA →＋NB →＋NC →＝0，知点N 为△ABC 的重心；由P A →·PB →＝PB →·PC →，得(P A →－PC →)·PB →＝0，即CA →·PB →＝0，故CA →⊥PB →.同理，AP ⊥BC ，故P 为△ABC 的垂心，选C ．4．在直角三角形ABC 中，点D 是斜边AB 的中点，点P 为线段CD 的中点，则|P A |2＋|PB |2|PC |2＝( D )A ．2B ．4C ．5D ．10[解析] 将△ABC 各边及P A ，PB ，PC 均用向量表示，则 |P A |2＋|PB |2|PC |2＝P A →2＋PB →2PC →2＝(PC →＋CA →)2＋(PC →＋CB →)2PC →2＝2|PC →|2＋2PC →·(CA →＋CB →)＋AB →2|PC →|2＝|AB →|2|PC →|2－6＝42－6＝10． 二、填空题5．某人从点O 向正东走30 m 到达点A ，再向正北走303m 到达点B ，则此人的位移的大小是__60__m ，方向是东偏北__60°__．[解析] 如图所示，此人的位移是OB →＝OA →＋AB →，且OA →⊥AB →，则|OB →|＝|OA ―→|2＋|AB ―→|2＝60(m)，tan ∠BOA ＝|AB →||OA →|＝ 3.∴∠BOA ＝60°．6．作用于同一点的两个力F 1、F 2的夹角为2π3，且|F 1|＝3，|F 2|＝5，则F 1＋F 2的大小为19 ．[解析] |F 1＋F 2|2＝(F 1＋F 2)2＝F 21＋2F 1·F 2＋F 22＝32＋2×3×5×cos 2π3＋52＝19， 所以|F 1＋F 2|＝19．7．已知：▱ABCD 中，AC ＝BD ，求证：四边形ABCD 是矩形． [证明] 设AB →＝a ，AD →＝b ， 由于四边形ABCD 是平行四边形， ∴AC →＝AB →＋AD →＝a ＋b ， BD →＝AD →－AB →＝b －a ．∵AC ＝BD ，∴|a ＋b |＝|b －a |.∴|a ＋b |2＝|b －a |2． ∴|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝|b |2－2a ·b ＋|a |2． ∴a ·b ＝0.∴a ⊥b ，即AB →⊥AD →.∴AB ⊥AD ． ∴四边形ABCD 是矩形．8．如图所示，已知▱ABCD 中，AB ＝3，AD ＝1，∠DAB ＝π3，求对角线AC 和BD 的长．[解析] 设AB →＝a ，AD →＝b ，a 与b 的夹角为θ， 则|a |＝3，|b |＝1，θ＝π3．∴a ·b ＝|a ||b |cos θ＝32．又∵AC →＝a ＋b ，DB →＝a －b ， ∴|AC →|＝AC ―→2＝(a ＋b )2 ＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝13， |DB →|＝DB ―→2＝(a －b )2 ＝a 2－2a ·b ＋b 2＝7． ∴AC ＝13，DB ＝7．C 级 能力拔高△ABC 中，A (4,1)，B (7,5)，C (－4,7)，求∠A 的平分线所在的直线的方程．[解析] 向量AB →＝(7,5)－(4,1)＝(3,4)，AC →＝(－4,7)－(4,1)＝(－8,6)，从而∠A 的平分线的一个方向向量为AB →|AB →|＋AC →|AC →|＝(35，45)＋(－45，35)＝(－15，75)，则∠A 的平分线方程可设为75x＋15y ＋m ＝0，将点(4,1)的坐标代入，得m ＝－295，整理得7x ＋y －29＝0，即∠A 的平分线所在直线的方程为7x ＋y －29＝0．。
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平面向量生活实际应用
平面向量生活实际应用
一、研究背景
我们曾在数学课上与老师激烈探讨了平面向量的相关生活应用。
从老师口中得知平面向量不仅在数学中有许多应用，更在生活中起到重要作用，所以我们对它产生了极大兴趣。
我们曾猜想，在这个几何生活中，平面向量与几何会有着密切联系，同时群众的生活也离不开二者。
可到底有什么联系呢？至此，我们希望通过拍摄观察及实验探讨来解开我们心中的疑惑。
因为我们发现许多人认为平面向量比几何在生活中更没有多少用处，所以我们便打算在研究的同时，并证明我们的生活需要平面向量。
对于此次的研究，我们会争取得出令人信服的结论，为群众在这方面的知识短缺提供帮助，并希望能亲自为广大群众解答部分疑问，为大家提出自己的意见。
二、研究目的和意义
通过实验研究和细致的拍摄观察，我们在实验中直观地发现平面向量和几何在生活中起到重要应用，平面向量在我们的生活中无处不在。
由此真正了解到平面向量是否正如网友所说一样，平面向量的学习只是为了应付考试，而且也在生活中无法起到多大的作用。
为了证明平面向量在生活中的应用也不容忽视，我们可以把生活中的平常事件转化为了向量问题,运用向量的原理和相关概念就可以解决实际中的相关问题，这样可以使我们能够更加直观地通过向量视角观察生活，用它和几何架起的沟通的桥梁来让平面向量与几何更好地为我们服务，解决更多的实际生活问题。
三、研究内容
假设①：平面向量可能可以应用到生活中。
假设②：平面向量可能难以运用到生活中。
四、研究方法和步骤
（一）研究方法
方法一：文献研读法
方法二：实验法
（二）研究步骤
(1)文献研读法:
1、文献调查对象：百度网、搜狐网
2、文献研读内容
a.怎样用支架更好固定物体
b.用向量来解析用支架固定的适合角度
实验法：
选用材料：照相机、各种物体支架固定图片、软件解析的图片构图
六、结果分析
七、结论和建议。