平面向量的几何应用
高中数学 第二章 平面向量 2.4 向量的应用 2.4.1 向量在几何中的应用 2.4.2 向量在物
2.4 向量的应用2.4.1 向量在几何中的应用 2.4.2 向量在物理中的应用1．向量在平面几何中的应用(1)证明线段相等，转化为证明向量的长度相等，求线段的长，转化为求向量的长度； (2)证明线段、直线平行，转化为证明向量共线；(3)证明线段、直线垂直，转化为证明向量的数量积为零； (4)平面几何中与角相关的问题，转化为向量的夹角问题；(5)对于与长方形、正方形、直角三角形等平面几何图形有关的问题，通常以相互垂直的两边所在的直线分别为x 轴和y 轴，建立平面直角坐标系，通过代数(坐标)运算解决平面几何问题．【自主测试1－1】在四边形ABCD 中，若AB →＝13CD →，则四边形ABCD 是( )A ．平行四边形B ．梯形C ．菱形D ．矩形解析：由AB →＝13CD →⇒AB ∥CD ，且AB ≠CD ，故四边形ABCD 为梯形，故选B ．答案：B【自主测试1－2】在△ABC 中，已知|AB →|＝|AC →|＝4，且AB →·AC →＝8，则这个三角形的形状是__________．解析：∵AB →·AC →＝|AB →||AC →|cos ∠BAC＝8，∴4×4×cos ∠BAC＝8，∴∠BAC＝60°.又|AB →|＝|AC →|，∴△ABC 为等边三角形． 答案：等边三角形2．向量在解析几何中的应用(1)设直线l 的倾斜角为α，斜率为k ，A (x 1，y 1)∈l ，P (x ，y )∈l ，向量a ＝(m ，n )平行于l ，则k ＝y －y 1x －x 1＝n m ＝tan α；反之，若直线l 的斜率k ＝nm，则向量(m ，n )一定与该直线平行．(2)向量(1，k )与直线l ：y ＝kx ＋b 平行．(3)与a ＝(m ，n )平行且过点P (x 0，y 0)的直线方程为n (x －x 0)－m (y －y 0)＝0. (4)过点P (x 0，y 0)，且与向量a ＝(m ，n )垂直的直线方程为m (x －x 0)＋n (y －y 0)＝0. 【自主测试2－1】已知直线l ：mx ＋2y ＋6＝0，向量(1－m,1)与l 平行，则实数m 的值为( )A ．－1B ．1C ．2D ．－1或2 答案：D【自主测试2－2】过点A (3，－2)且垂直于向量n ＝(5，－3)的直线方程是__________． 答案：5x －3y －21＝0 3．向量在物理中的应用(1)力是具有大小、方向和作用点的向量，它与自由向量有所不同．大小和方向相同的两个力，如果作用点不同，那么它们是不相等的．但是，在不计作用点的情况下，可用向量求和的平行四边形法则求作用于同一点的两个力的合力．(2)速度是具有大小和方向的向量，因而可用三角形法则和平行四边形法则求两个速度的合速度．【自主测试3】已知两个力F 1，F 2的夹角为90°，它们的合力大小为10 N ，合力与F 1的夹角为60°，则F 1的大小为( )A ．5 3 NB ．5 NC ．10 ND ．52N 答案：B1．用向量的方法证明直线平行、直线垂直、线段相等及点共线等问题的基本方法 剖析：(1)要证两线段AB ＝CD ，可转化为证明|AB →|＝|CD →|或AB →2＝CD →2； (2)要证两线段AB ∥CD ，只要证明存在一实数λ≠0，使AB →＝λCD →成立； (3)要证两线段AB ⊥CD ，可转化为证明AB →·CD →＝0；(4)要证A ，B ，C 三点共线，只要证明存在一实数λ≠0，使AB →＝λAC →，或若O 为平面上任一点，则只需要证明存在实数λ，μ(其中λ＋μ＝1)，使OC →＝λOA →＋μOB →.2．对直线Ax ＋By ＋C ＝0的方向向量的理解剖析：(1)设P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)为直线上不重合的两点，则P 1P 2→＝(x 2－x 1，y 2－y 1)及与其共线的向量λP 1P 2→均为直线的方向向量．显然当x 1≠x 2时，向量⎝ ⎛⎭⎪⎫1，y 2－y 1x 2－x 1与P1P 2→共线，因此向量⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－A B ＝1B(B ，－A )为直线l 的方向向量，由共线向量的特征可知(B ，－A )为直线l 的方向向量．(2)结合法向量的定义可知，向量(A ，B )与(B ，－A )垂直，从而向量(A ，B )为直线l 的法向量．3．教材中的“探索与研究”利用向量与向量平行、垂直的条件，再次研究两条直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0平行和垂直的条件，以及如何求出两条直线夹角θ的余弦．结论：l 1∥l 2(或重合)⇔A 1B 2－A 2B 1＝0. l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0.cos θ＝|A 1A 2＋B 1B 2|A 21＋B 21A 22＋B 22.剖析：直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0的方向向量为n 1＝(－B 1，A 1)，直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的方向向量为n 2＝(－B 2，A 2)．若l 1∥l 2，则n 1∥n 2，从而有－B 1A 2＝－A 1B 2，即A 1B 2－A 2B 1＝0. 若l 1⊥l 2，则n 1·n 2＝0，从而有B 1B 2＋A 1A 2＝0. 所以直线l 1∥l 2⇔A 1B 2－A 2B 1＝0， 直线l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0. 由于n 1·n 2＝A 1A 2＋B 1B 2， |n 1|＝A 21＋B 21，|n 2|＝A 22＋B 22， 所以cos 〈n 1，n 2〉＝A 1A 2＋B 1B 2A 21＋B 21A 22＋B 22. 所以直线l 1与l 2夹角θ的余弦值为cos θ＝|cos 〈n 1，n 2〉|＝|A 1A 2＋B 1B 2|A 21＋B 21A 22＋B 22.题型一 向量在平面几何中的应用【例题1】已知正方形ABCD 中，E ，F 分别是CD ，AD 的中点，BE ，CF 交于点P . 求证：(1)BE ⊥CF ；(2)AP ＝AB ．分析：建系→确定点A ，B ，C ，E ，F ，P 的坐标→证BE →·CF →＝0及|AP →|＝|AB →|→还原为几何问题证明：建立如图所示平面直角坐标系，设AB ＝2，则有A (0,0)，B (2,0)，C (2,2)，E (1,2)，F (0,1)．(1)BE →＝(－1,2)，CF →＝(－2，－1)． ∵BE →·CF →＝(－1)×(－2)＋2×(－1)＝0， ∴BE →⊥CF →，即BE ⊥CF . (2)设点P 的坐标为(x ，y )， 则FP →＝(x ，y －1)，CF →＝(－2，－1)， ∵FP →∥CF →，∴－x ＝－2(y －1)，即x ＝2y －2， 同理，由BP →∥BE →得y ＝－2x ＋4，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y －2，y ＝－2x ＋4，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝65，y ＝85.∴点P 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫65，85.则|AP →|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫652＋⎝ ⎛⎭⎪⎫852＝2＝|AB →|，即AP ＝AB ． 反思由于向量集数形于一身，用它来研究问题时可以实现形象思维与抽象思维的有机结合，因而向量法是研究几何问题的一个有效的工具，解题时一定注意用数形结合的思想．〖互动探究〗正方形OABC 的边长为1，点D ，E 分别为AB ，BC 的中点，求cos ∠DOE . 解：建立平面直角坐标系如图，则向量OE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，OD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，∴OD →·OE →＝12×1＋1×12＝1.又|OD →|＝|OE →|＝52，∴cos ∠DOE ＝OD →·OE →|OD →||OE →|＝152×52＝45.题型二 向量在解析几何中的应用 【例题2】过点A (－2,1)，求： (1)与向量a ＝(3,1)平行的直线方程； (2)与向量b ＝(－1,2)垂直的直线方程．分析：在直线上任取一点P (x ，y )，则AP →＝(x ＋2，y －1)．根据AP →∥a 和AP →⊥b 解题即可．解：设所求直线上任意一点P 的坐标为(x ，y )． ∵A (－2,1)，∴AP →＝(x ＋2，y －1)．(1)由题意，知AP →∥a ，则(x ＋2)×1－3(y －1)＝0， 即x －3y ＋5＝0.故所求直线方程为x －3y ＋5＝0.(2)由题意，知AP →⊥b ，则(x ＋2)×(－1)＋(y －1)×2＝0， 即x －2y ＋4＝0，故所求直线方程为x－2y＋4＝0.反思已知直线l的方程Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，则向量(A，B)与直线l垂直，即向量(A，B)为直线l的法向量；向量(－B，A)与l平行，故过点P(x0，y0)与直线l平行的直线方程为A(x－x0)＋B(y－y0)＝0.【例题3】已知△ABC的三个顶点A(0，－4)，B(4,0)，C(－6,2)，点D，E，F分别为边BC，CA，AB的中点．(1)求直线DE，EF，FD的方程；(2)求AB边上的高线CH所在的直线方程．分析：(1)利用向量共线的坐标表示求解；(2)利用向量垂直的坐标表示求解．解：(1)由已知，得点D(－1,1)，E(－3，－1)，F(2，－2)．设M(x，y)是直线DE上任意一点，则DM∥DE.又DM＝(x＋1，y－1)，DE＝(－2，－2)，所以(－2)×(x＋1)－(－2)(y－1)＝0，即x－y＋2＝0为直线DE的方程．同理可求，直线EF，FD的方程分别为x＋5y＋8＝0，x＋y＝0.(2)设点N(x，y)是CH所在直线上的任意一点，则CN⊥AB.所以CN·AB＝0.又CN＝(x＋6，y－2)，AB＝(4,4)，所以4(x＋6)＋4(y－2)＝0，即x＋y＋4＝0为所求直线CH的方程．反思(1)利用向量法来解决解析几何问题，首先要将线段看成向量，再把坐标利用向量法则进行运算．(2)要掌握向量的常用知识：①共线；②垂直；③模；④夹角；⑤向量相等，则对应坐标相等．题型三向量在物理中的应用【例题4】一条河的两岸互相平行，河的宽度为d＝500 m，一艘船从A处出发航行到河正对岸的B处，船的航行速度为|ν1|＝10 km/h，水流速度为|ν2|＝4 km/h.(1)试求ν1与ν2的夹角(精确到1°)及船垂直到达对岸所用的时间(精确到0.1 min)； (2)要使船到达对岸所用时间最少，ν1与ν2的夹角应为多少？分析：船(相对于河岸)的航行路线不能与河岸垂直．原因是船的实际航行速度是船本身(相对于河水)的速度与水流速度的合速度．解：(1)依题意，要使船垂直到达对岸，就要使ν1与ν2的合速度的方向正好垂直于对岸，所以|ν|＝ν21－ν22＝100－16≈9.2(km/h)，ν1与ν的夹角α满足sin α＝0.4，α≈24°，故ν1与ν2的夹角θ＝114°；船垂直到达对岸所用的时间t ＝d |ν|＝0.59.2≈0.054 3(h)≈3.3 min. (2)设ν1与ν2的夹角为θ(如下图)．ν1与ν2在竖直方向上的分速度的和为|ν1|·sin θ，而船到达对岸时，在竖直方向上行驶的路程为d ＝0.5 km ，从而所用的时间t ＝0.510sin θ.显然，当θ＝90°时，t 最小，即船头始终向着对岸时，所用的时间最少，为t ＝0.510＝0.05(h)．反思注意“速度”是一个向量，既有大小又有方向．结合具体问题，在理解向量知识和应用两方面下功夫．将物理量之间的关系抽象成数学模型，然后通过对这个数学模型的研究解释相关物理现象．题型四 易错辨析【例题5】在直角坐标系中，O 为坐标原点，A ，B ，C 三点满足OC →＝13OA →＋23OB →.(1)求证：A ，B ，C 三点共线；(2)已知A (1，cos x )，B (1＋sin x ，cos x )，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f (x )＝OA →·OC →－⎝ ⎛⎭⎪⎫2m 2＋23|AB→|的最小值为12，求实数m 的值．错解：(1)∵AB →＝OB →－OA →，AC →＝OC →－OA →＝13OA →＋23OB →－OA →＝23OB →－23OA →＝23AB →，∴AC →∥AB →，∴A ，B ，C 三点共线．(2)∵A (1，cos x )，B (1＋sin x ，cos x )， ∴OC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋23sin x ，cos x ，AB →＝(sin x,0)，从而|AB →|＝|sin x |.故f (x )＝－(sin x ＋m 2)2＋m 4＋2.又sin x ∈[－1,1]，∴当sin x ＝1时，f (x )有最小值， 即－(1＋m 2)2＋m 4＋2＝12，解得m ＝±12.错因分析：错解中忽略了题目中x 的取值范围，造成正弦值的范围扩大． 正解：(1)∵AB →＝OB →－OA →，AC →＝OC →－OA →＝13OA →＋23OB →－OA →＝23OB →－23OA →＝23AB →，∴AC →∥AB →，∴A ，B ，C 三点共线．(2)∵A (1，cos x )，B (1＋sin x ，cos x )， ∴OC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋23sin x ，cos x ，AB →＝(sin x,0)，故|AB →|＝sin x ，从而f (x )＝－(sin x ＋m 2)2＋m 4＋2.又当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，sin x ∈[0,1]，∴当sin x ＝1时，f (x )有最小值， 即－(1＋m 2)2＋m 4＋2＝12，化简得m 2＝14，解得m ＝±12.1．若向量n 与直线l 垂直，则称向量n 为直线l 的法向量，则直线x ＋2y ＋3＝0的一个法向量为( )A ．(1,2)B ．(1，－2)C ．(2,1)D ．(2，－1)解析：可以确定已知直线l 的斜率k ＝－12，所以直线的方向向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－12.由a ·n ＝0，可知应选A ．答案：A2．已知A (2,1)，B (3,2)，C (－1,4)，则△ABC 是( ) A ．等边三角形 B ．锐角三角形 C ．直角三角形 D ．钝角三角形 答案：C3．过点A (2,3)且垂直于向量a ＝(2,1)的直线方程是( ) A ．2x ＋y －7＝0 B ．2x ＋y ＋7＝0 C ．x －2y ＋4＝0 D ．x －2y －4＝0 答案：A4．在重600 N 的物体上系两根绳子，与铅垂线的夹角分别为30°，60°，重物平衡时，两根绳子拉力的大小分别为( )A ．3003N,3003NB ．150 N,150 NC ．3003N,300 ND ．300 N,3003N解析：如图，作矩形OACB ，使∠AOC ＝30°，∠BOC ＝60°. 在△OAC 中，∠ACO ＝∠BOC ＝60°，∠OAC ＝90°，所以|OA |＝|OC |cos 30°＝3003N ， |AC |＝|OC |sin 30°＝300 N ， |OB |＝|AC |＝300 N. 答案：C5．通过点A (3,2)且与直线l ：4x －3y ＋9＝0平行的直线方程为__________． 答案：4x －3y －6＝06．已知两个粒子a ，b 从同一点发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为v a ＝(4,3)，v b ＝(3,4)，则v a 在v b 上的正射影为__________．解析：由题知v a 与v b 的夹角θ的余弦值为 cos θ＝12＋125×5＝2425.所以v a 在v b 上的正射影为|v a |cos θ＝5×2425＝245.答案：2457．平面上不共线的三点A ，B ，C 使得AB ＋BC 所在的直线和AB －BC 所在的直线恰好互相垂直，则△ABC 必为__________三角形．解析：如图所示，作ABCD ，易知AB ＋BC ＝AC ，AB －BC ＝AB －AD ＝DB .依题意，知BD 与AC 互相垂直，故ABCD 为菱形，从而△ABC 为等腰三角形，且∠ABC 为顶角．答案：等腰 8．如图所示，已知ABCD 是菱形，AC 和BD 是它的两条对角线，求证：AC ⊥BD ．证明：证法一：∵AC ＝AB ＋AD ，BD ＝AD －AB ，∴AC ·BD ＝(AB ＋AD )·(AD －AB )＝|AD |2－|AB |2＝0.∴AC ⊥BD . ∴AC ⊥BD ．证法二：以BC所在的直线为x轴，点B为原点建立平面直角坐标系．设B(0,0)，A(a，b)，C(c,0)，则由|AB|＝|BC|，得a2＋b2＝c2.∵AC＝BC－BA＝(c－a，－b)，BD＝BA＋BC＝(a＋c，b)，∴AC·BD＝c2－a2－b2＝0.∴AC⊥BD，∴AC⊥BD．。
平面向量的应用
平面向量的应用平面向量是解决空间内几何问题的重要工具之一，具有广泛的应用。
它们可以用来描述物体的位移、速度、加速度等物理量，帮助我们解决各种实际问题。
本文将介绍平面向量的应用，包括力的作用、力的分解、面积计算以及平衡条件等方面。
1. 力的作用平面向量可以用来描述力的作用。
在物体上施加力可以使其发生位移。
假设有两个力F1和F2作用在物体上，它们的大小和方向可以用平面向量表示。
若这两个力的向量分别为A和B，它们的合力可以表示为A + B。
通过求解合力向量的大小和方向，可以确定物体所受的合力。
2. 力的分解平面向量还可以用来对力进行分解。
在力的分析中，我们常常需要将一个力分解为两个或多个分力，以便更好地理解和研究物体受力情况。
将一个力F进行分解，可以得到两个力F1和F2，它们的合力等于F。
通过适当地选择分解方向和大小，可以使得问题的处理更加简单。
3. 面积计算平面向量可以用来计算平面上的面积。
设有三个非共线的向量A、B和C，它们的起点相同，可以构成一个三角形。
这个三角形的面积可以用向量的叉乘来计算，即：面积 = 1/2 * |A × B|其中，|A × B|表示叉乘的模。
通过面积计算公式，我们可以快速准确地计算出平面上各种形状的面积，如矩形、梯形、圆等。
4. 平衡条件平面向量还可以应用于力系统的平衡条件。
对于一个物体受到多个力的作用，若物体保持平衡，则所有作用力的合力必须为零。
可以将每个力表示为一个平面向量，然后将它们相加得到合力向量。
若合力向量为零，则说明物体处于平衡状态。
在实际问题中，通过平面向量的分析和计算，可以解决许多与平面运动、平衡、受力分析等相关的问题。
例如，在建筑物的结构设计中，我们可以利用平面向量对各个支点受力进行分析，保证建筑物结构的稳定性。
总结平面向量的应用广泛且重要，它们可以用于描述力的作用、力的分解、面积计算以及平衡条件的分析等方面。
通过适当地选择和计算向量，可以解决各种实际问题，并提高问题处理的准确性和效率。
5.5平面向量应用
= .
A
B
解： = ∙ = ( + ) ∙ ( + ) = ∙ + ∙ + ∙ + ∙ =
同理：
=
− ∙ + （）
（1）+（2）得：
+
= （
涉及长度问题常常考虑向量的数量积，对 与 进行计算.
（1） ， 分别对质点所做的功；
（2） ， 的合力F对质点所做的功。
17.在风速为（ − ）/的西风中，飞机以150km/h的航速向西北方向飞行，求没有风时飞机的航速和航向。
作
业
答
案
(3)基底向量的夹角最好是明确的(直角最合适);
(4)尽量使基底向量和所涉及的向量共线或构成三角形或构成平行四边形.
3.用向量的坐标处理问题时，建立平面直角坐标系的基本原则：
选择坐标轴和原点不当会增加解题的运算量，也会带来不必要的麻烦.具有公共原点的两
条互相垂直的数轴构成了平面直角坐标系，因此在已知图形中，只要选择互相垂直的两条直
A
Q
B
P
C
课后作业：
4.在△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，用向量方法证明 ⊥ .
5.如下图，在正方形ABCD中，E,F分别为AB,BC的中点。求证： ⊥ （利用向量证明）.
D
C
F
A
E
B
6.如下图，在▱ABCD中，AB=3，AD=1，∠ = ，求对角线AC和BD的长.
又因为 = − = − ； 与共线，所以我们设： = = ( − )
平面向量的应用(教师版)
平面向量的应用1 平面几何中的向量方法① 由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何图形的许多性质，如全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来，因此平面几何中的许多问题都可用向量运算的方法加以解决.② 用向量方法解决平面几何问题的“三部曲”(1) 建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；(2) 通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；(3) 把运算结果“翻译”成几何关系.Eg 点A 、B 、C 、D 不在同一直线上(1)证明直线平行或共线：AB//CD ⇔AB⃗⃗⃗⃗⃗ //CD ⃗⃗⃗⃗⃗ (2)证明直线垂直：AB ⊥CD ⟺AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0 (3)求线段比值：AB CD =|λ|且AB//CD ⇔ AB⃗⃗⃗⃗⃗ =λCD ⃗⃗⃗⃗⃗ (4)证明线段相等： AB⃗⃗⃗⃗⃗ 2=CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 2⇔AB =CD 2 向量在物理中的应用① 速度、力是向量，都可以转化为向量问题；② 力的合成与分解符合平行四边形法则.【题型一】平面向量在几何中的应用【典题1】证明:对角线互相平分的四边形是平行四边形.【证明】 设四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，且AO =OC ,BO =OD∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =DC⃗⃗⃗⃗⃗ ，即AB =DC 且AB//DC 所以四边形ABCD 是平行四边形即对角线互相平分的四边形是平行四边形.【点拨】① 证明四边形是平行四边形⇔AB =DC 且AB//DC ⇔AB⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ . ② 证明几何中的平行和长度关系可以转化为向量的倍数关系.【典题2】 已知平行四边形ABCD 的对角线为AC 、BD ，求证AC 2+BD 2=2(AB 2+AD 2) (即对角线的平方和等于邻边平方和的2倍).【证明】由 |AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )2=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗|DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )2=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |2−2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 两式相加得|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=2(|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |2) 即AC 2+BD 2=2(AB 2+AD 2)【点拨】利用|AB⃗⃗⃗⃗⃗ |2=|AB |2可证明线段长度关系.【典题3】 用向量方法证明：三角形三条高线交于一点.【证明】(分析 设H 是高线BE 、CF 的交点，再证明AH ⊥BC ，则三条高线就交于一点.)设H 是高线BE 、CF 的交点，则有BH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CH ⃗⃗⃗⃗⃗ =AH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BC⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∵BH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CH ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB⃗⃗⃗⃗⃗ ∴(AH⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0 化简得AH⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0C∴AH⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0 则AH ⊥BC (向量中证明AB ⊥CD ，只需要证明AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0) 所以三角形三条高线交于一点.【典题4】证明三角形三条中线交于一点.【证明】(分析 设BE 、AF 交于O ，证明C 、O 、D 三点共线便可)AF 、CD 、BE 是三角形ABC 的三条中线设BE 、AF 交于点O ，∵点D 是中点，∴CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ) 连接EF ，易证明∆AOB~∆FOE,且相似比是2：1，∴BO =23BE,∴CO ⃗⃗⃗⃗⃗ =CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BO ⃗⃗⃗⃗⃗ =CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=13(CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ) ∴CO ⃗⃗⃗⃗⃗ =23CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 即C 、O 、D 三点共线， (向量中证明三点A 、B 、C 共线，只需证明AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) ∴AF 、CD 、BE 交于一点，即三角形三条中线交于一点.巩固练习1(★★) 如图，E ，F 分别是四边形ABCD 的边AD ，BC 的中点，AB =1，CD =2，∠ABC =75°，∠BCD =45°，则线段EF 的长是 ．【答案】√72【解析】 由图象，得EF →=EA →+AB →+BF →，EF →=ED →+DC →+CF →．∵E ，F 分别是四边形ABCD 的边AD ，BC 的中点，∴2EF →=(EA →+ED →)+(AB →+DC →)+(BF →+CF →)=AB →+DC →．∵∠ABC =75°，∠BCD =45°，∴＜AB →，DC →＞=60°，∴|EF|→=12√(AB →+DC →)2=12√AB →2+DC →2+2|AB|→⋅|DC|→cos ＜AB →，DC →＞=12√12+22+2×1×2×12=√72． ∴EF 的长为√72． 故答案为 √72． 2(★★) 证明勾股定理，在Rt∆ABC 中，AC ⊥BC ，AC =b ，BC =a ,AB =c ，则c 2=a 2+b 2.【证明】 由AB⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )2=AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2 即|AB⃗⃗⃗⃗⃗ |2=|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2 故c 2=a 2+b 2.3(★★) 用向量方法证明 对角线互相垂直的平行四边形是菱形.【证明】如图平行四边形ABCD 对角线AC 、BD 交于点O ，∵AB⃗⃗⃗⃗⃗ =AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =BO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∴|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=(AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ )2=|AO ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+2AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +|OB⃗⃗⃗⃗⃗ |2=|AO ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2|BC⃗⃗⃗⃗⃗ |2=(BO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )2=|BO ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+2BO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=|BO ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2 ∴|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ | A BC∴四边形ABCD 是菱形.4(★★)用向量方法证明 设平面上A ，B ，C ，D 四点满足条件AD ⊥BC ，BD ⊥AC ，则AB ⊥CD ．【证明】 因AD ⊥BC ，所以AD →⋅BC →=AD →⋅(AC →−AB →)=0，因BD ⊥AC ，所以AC →⋅BD →=AC →⋅(AD →−AB →)=0，于是AD →⋅AC →=AD →⋅AB →，AC →⋅AD →=AC →⋅AB →，所以AD →⋅AB →=AC →⋅AB →，(AD →−AC →)⋅AB →=0，即CD →⋅AB →=0，所以CD →⊥AB →，即AB ⊥CD ．5(★★)用向量方法证明 对角线相等的平行四边形是矩形.【证明】如图，平行四边形ABCD 对角线AC 、BD 交于点O,设OA =a ，∵对角线相等 ∴OB =OD =a∵AB⃗⃗⃗⃗⃗ =AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ )(AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=AO ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a 2+AO ⃗⃗⃗⃗⃗ (OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ )−a 2=0 ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 即AB ⊥AD∴四边形ABCD 是矩形.6(★★★) 已知向量OP 1→、OP 2→、OP 3→满足OP 1→+OP 2→+OP 3→=0，|OP 1→|=|OP 2→|=|OP 3→|=1．求证 △P 1P 2P 3是正三角形．【证明】法一 ∵OP 1→+OP 2→+OP 3→=0，∴OP 1→+OP 2→=−OP 3→．∴|OP 1→+OP 2→|=|−OP 3→|．∴|OP 1→|2+|OP 2→|2+2OP1→•OP 2→=|OP 3→|2． 又∵|OP 1→|=|OP 2→|=|OP 3→|=1，∴OP 1→•OP 2→=−12．∴|OP 1→||OP 2→|cos∠P 1OP 2=−12，即∠P 1OP 2=120°．B C同理∠P 1OP 3=∠P 2OP 3=120°．∴△P 1P 2P 3为等边三角形．法二 以O 点为坐标原点建立直角坐标系，设P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，P 3(x 3，y 3)，则OP 1→=(x 1，y 1)，OP 2→=(x 2，y 2)，OP 3→=(x 3，y 3)．由OP 1→+OP 2→+OP 3→=0，得{x 1+x 2+x 3=0y 1+y 2+y 3=0.∴{x 1+x 2=−x 3y 1+y 2=−y 3.， 由|OP 1→|=|OP 2→|=|OP 3→|=1，得x 12+y 12=x 22+y 22=x 32+y 32=1∴2+2(x 1x 2+y 1y 2)=1∴|P 1P 2→|=√(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2=√x 12+x 22+y 12+y 22−2x 1x 2−2y 1y 2=√2(1−x 1x 2−y 1y 2)=√3同理|P 1P 3→|=√3，|P 2P 3→|=√3∴△P 1P 2P 3为正三角形【题型二】平面向量在物理中的应用【典题1】 如图，已知河水自西向东流速为|v 0|=1m/s ，设某人在静水中游泳的速度为v 1，在流水中实际速度为v 2．(1)若此人朝正南方向游去，且|v 1|=√3m/s ，求他实际前进方向与水流方向的夹角α和v 2的大小；(2)若此人实际前进方向与水流垂直，且|v 2|=√3m/s ，求他游泳的方向与水流方向的夹角β和v 1的大小．【解析】如图，设OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =v 0⃗⃗⃗⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =v 1⃗⃗⃗⃗ ，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =v 2⃗⃗⃗⃗ ，则由题意知v 2⃗⃗⃗⃗ =v 0⃗⃗⃗⃗ +v 1⃗⃗⃗⃗ ，|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，根据向量加法的平行四边形法则得四边形OACB 为平行四边形．(1)由此人朝正南方向游去得四边形OACB 为矩形，且|OB⃗⃗⃗⃗⃗ |=AC =√3，如下图所示，则在直角△OAC中，|v2⃗⃗⃗⃗ |=OC=√OA2+AC2=2，tan∠AOC=√31=√3，又α=∠AOC∈(0 ,π2)，所以α=π3；(2)由题意知α=∠OCB=π2，且|v2⃗⃗⃗⃗ |=|OC|=√3，BC=1，如下图所示，则在直角△OBC中，|v1⃗⃗⃗⃗ |=OB=√OC2+BC2=2，tan∠BOC=√3=√33，又∠AOC∈(0 ,π2)，所以∠BOC=π6，则β=π2+π6=2π3，答(1)他实际前进方向与水流方向的夹角α为π3，v2的大小为2m/s；(2)他游泳的方向与水流方向的夹角β为2π3，v1的大小为2m/s．【点拨】注意平行四边形法则的使用！【典题2】在日常生活中，我们会看到如图所示的情境，两个人共提一个行李包．假设行李包所受重力为G，作用在行李包上的两个拉力分别为F1⃗⃗⃗ ，F2⃗⃗⃗⃗ ，且|F1⃗⃗⃗ |=|F2⃗⃗⃗⃗ |，F1⃗⃗⃗ 与F2⃗⃗⃗⃗ 的夹角为θ．给出以下结论①θ越大越费力，θ越小越省力；②θ的范围为[0 ,π]；③当θ=π2时，|F1⃗⃗⃗ |=|G|；④当θ=2π3时，|F1⃗⃗⃗ |=|G|．其中正确结论的序号是．【解析】对于①，由|G|=|F1⃗⃗⃗ +F2⃗⃗⃗⃗ |为定值，所以G2=|F1⃗⃗⃗ |2+|F2⃗⃗⃗⃗ |2+2|F1⃗⃗⃗ |×|F2⃗⃗⃗⃗ |×cosθ=2|F1⃗⃗⃗ |2(1+cosθ)，解得|F1⃗⃗⃗ |2=|G|22(1+cosθ)；由题意知θ∈(0 ,π)时，y=cosθ单调递减，所以|F1⃗⃗⃗ |2单调递增，即θ越大越费力，θ越小越省力；①正确．对于②，由题意知，θ的取值范围是(0 ,π)，所以②错误．对于③，当θ=π2时，|F1⃗⃗⃗ |2=G22，所以|F1⃗⃗⃗ |=√22|G|，③错误．对于④，当θ=2π3时，|F1⃗⃗⃗ |2=|G|2，所以|F1⃗⃗⃗ |=|G|，④正确．综上知，正确结论的序号是①④．故答案为①④．【典题3】如图，重为10N的匀质球，半径R为6cm，放在墙与均匀的AB木板之间，A端锁定并能转动，B端用水平绳索BC拉住，板长AB=20cm，与墙夹角为α，如果不计木板的重量，则α为何值时，绳子拉力最小？最小值是多少？【解析】如图，设木板对球的支持力为N⃗，则N⃗=10sinα，设绳子的拉力为f．又AC=20cosα，AD=6tanα2，由动力矩等于阻力矩得|f|×20cosα=|N⃗|×6tanα2=60sinα⋅tanα2，∴|f|=6020cosα⋅sinα⋅tanα2=3cosα(1−cosα)≥3(cosα+1−cosα2)2=314=12，∴当且仅当 cosα=1−cosα 即cosα=12，亦即α=60°时，|f|有最小值12N．巩固练习1(★★) 一条渔船以6km/ℎ的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为2km/ℎ，则这条渔船实际航行的速度大小为 ．【答案】2√10km/ℎ【解析】如图所示，渔船实际航行的速度为v AC →=v 船→+v 水→；大小为|v AC →|=|v 船→+v 水→|=√62+22 =2√10km/ℎ．2(★★) 如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态，已知两条绳上的拉力分别是F 1 ,F 2，且F 1 ,F 2与水平夹角均为45°，|F 1⃗⃗⃗ |=|F 2⃗⃗⃗⃗ |=10√2N ，则物体的重力大小为 ．【答案】20【解析】如图，∵|F 1→|=|F 2→|=10√2N ，∴|F 1→+F 2→|=10√2×√2N =20N ，∴物体的重力大小为20．故答案为 20．3(★★) 已知一艘船以5km/ℎ的速度向垂直于对岸方向行驶，航船实际航行方向与水流方向成30°角，求水流速度和船实际速度．【答案】5√3km/ℎ【解析】如图，设AD →表示船垂直于对岸的速度，AB →表示水流的速度，以AD ，AB 为邻边作平行四边形ABCD ，则AC →就是船实际航行的速度．在Rt△ABC 中，∠CAB =30°，|AD →|=|BC →|=5，∴|AC →|=|BC →|sin30°=10，|AB →|=|BC →|tan30°=5√3．故船实际航行速度的大小为10km/ℎ，水流速度5√3km/ℎ．4 (★★)一个物体受到同一平面内三个力F 1、F 2、F 3的作用，沿北偏东45°的方向移动了8m ．已知|F 1|=2N ，方向为北偏东30°；|F 2|=4N ，方向为东偏北30°；|F 3|=6N ，方向为西偏北60°，求这三个力的合力F 所做的功．【答案】24√6 J【解析】 以三个力的作用点为原点，正东方向为x 轴正半轴，建立直角坐标系． 则由已知可得OF 1→=(1，√3)，OF 2→=(2√3，2)，OF 3→=(﹣3，3√3)．∴OF →=OF 1→+OF 2→+OF 3→=(2√3−2，4√3+2)．又位移OS →=(4√2，4√2)．∴OF →•OS →=(2√3−2)×4√2+(4√3+2)×4√2=24√6(J)．。
平面向量与立体几何体
平面向量与立体几何体一、平面向量的概念及基本性质平面向量是指在平面上有大小和方向的量，可以用有向线段来表示。
平面向量具有以下基本性质：1. 向量的模：向量的模表示向量的大小，记作|AB|，其中A和B分别表示向量的起点和终点。
向量的模可以通过平行四边形法则计算得到。
2. 向量的方向角：指向量与某个基准方向之间的夹角，通常用α表示。
方向角的取值范围是0°到360°。
3. 向量的方向余弦：是指向量与x轴正方向夹角的余弦值，记作cosα。
4. 向量的加法和减法：向量的加法满足平行四边形法则，即将两个向量的起点相接，然后将两个向量的终点相接，新得到的向量即为两个向量的和。
向量的减法表示将减去的向量反向后与被减向量相加。
5. 向量的数量积：向量的数量积又称为内积或点积，表示两个向量之间的乘积，结果是一个标量。
向量的数量积计算公式为：A·B =|A|·|B|·cosθ，其中θ表示A与B之间的夹角。
二、平面向量在立体几何体中的应用平面向量在立体几何体中有着广泛的应用，可以用于描述平面上的图形、计算面积和体积等。
1. 平面上的图形：利用平面向量可以方便地描述平面上的图形。
以三角形为例，设三角形的三个顶点分别为A、B、C，利用向量表示法可以得到向量AB、BC、CA。
根据向量的性质，若三个向量满足向量AB+BC+CA=0，则表示这三个向量所对应的三角形是一个闭合图形。
2. 平面图形的面积：平面上的图形的面积可以利用向量的数量积来计算。
以平行四边形为例，设平行四边形的两个边向量为A、B，夹角为θ，则平行四边形的面积可以表示为S = |A|·|B|·sinθ。
3. 立体几何体的体积：平面向量在计算立体几何体的体积时也扮演重要角色。
以长方体为例，设长方体的三个相邻边分别为a、b、c，可以得到长方体的体积V = |a·(b×c)|，其中×表示向量的叉积。
《平面向量在几何、物理中的应用举例》知识拓展
《平面向量在几何、物理中的应用举例》知识拓展 知识要点1.余弦定理三角形中任何一边的平方,等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.即2222222222cos ,2cos ,2cos .a b c bc A b c a ca B c a b ab C ⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩余弦定理的推论222222222cos ,2cos ,2cos .2b c a A bc c a b B ca a b c C ab ⎧+=⎪⎪⎪+-=⎨⎪⎪+-=⎩-⎪ 余弦定理对任意三角形都成立.2.余弦定理常见应用(1)已知三角形两边及其夹角,求其他元素;(2)已知三角形三边,求其他元素.问题探究问题1用向量法解答物理问题的过程中,在给出答案时除了要考虑向量本身的意义，还要考虑什么?提示 在给出答案时,还要考虑所给出的结果是否满足实际意义.问题2如何理解余弦定理?提示 (1)三角形中任何一边的平方,等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.即2222222222cos ,2cos ,2cos a b c bc A b c a ca B c a b ab C =+-=+-=+-.(2)余弦定理反映了三角形各元素间的动态结构,揭示了三角形的边角关系,它是勾股定理的进一步推广,其主要作用是将已知条件中边的关系转化为角的关系或者将角的关系转化为边的关系.同时大家要熟练掌握余弦定理的推论222222cos ,cos ,cos 22b c a c a b A B C bc ca +-+-===2222a b c ab+-(已知三边求三角). 问题3怎样证明余弦定理?方法一:作高法(以角A 为标准分锐角、直角、钝角三角形)如图,在ABC ∆中,过点A 作AD BC ⊥,垂足为D .设,,AB c AC b BC a ===,则sin ,cos .cos AD b C CD b C BD BC CD a b C ==∴=-=-.在直角三角形ABD 中,由勾股定理得222(sin )(cos )c b C a b C =+-,整理得2222cos c a b ab C =+-.同理可得,2222222cos ,2cos a b c bc A b a c ac B =+-=+-.方法二:坐标法设,,AB c BC a AC b === .如图,以点C 为坐标原点,BC 所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系,则(cos ,sin ),(,0)A b C b C B a ,||c AB ∴===2222cos c a b ab C =∴=+-.同理可得,2222222cos ,2cos a b c bc A b a c ac B =+-=+-.方法三:利用向量法证明余弦定理设,,,CB CA AB ===∴=-a b c c a b ,222||()()22||||cos ,C ∴=⋅=-⋅-=⋅+⋅-⋅=+-c c c a b a b a a b b a b a b a b 2222||||cos C ∴=+-⋅c a b a b .同理可得2222222||||cos ,2||||cos A B =+-⋅=+-⋅a b c b c b a c a c .。
平面向量及其应用向量的几何表示
平面向量及其应用：向量的几何表示在数学和物理学中，向量是一个有着大小和方向的量。
平面向量是其中一种特殊的向量，它只存在于二维平面上。
本文将介绍平面向量的几何表示及其在实际应用中的重要性。
平面向量的定义平面向量通常用箭头符号（→）表示，表示从一个点到另一个点的有向线段。
一个平面向量可以由其起点和终点坐标表示。
例如，向量V可以表示为V = (V, V)，其中V和V分别是起点和终点的坐标。
向量的几何表示平面向量可以使用几何方法表示，其中最常用的方法之一是使用位移向量。
位移向量是由一个点到另一个点的有向线段。
位移向量的起点被称为原点，终点是通过坐标表示的。
位移向量经常用于描述物体在二维平面上的运动。
向量的长度也被称为向量的模或大小。
用数学符号表示向量V的模为∥V∥，即两点之间的欧几里德距离。
在几何表示中，向量的模可以通过勾股定理计算。
另一个向量的重要几何属性是向量的方向。
向量的方向通常使用角度来表示，具体来说是与坐标轴之间的夹角。
在几何表示中，向量的角度可以通过三角函数计算。
向量的应用平面向量在许多实际应用中扮演着重要的角色。
以下是一些常见应用：1. 平面几何平面向量在平面几何中经常用于描述图形的位置和变换。
例如，可以使用向量描述线段的位移、直线的斜率和角的方向。
2. 物理学在物理学中，平面向量可以表示力、速度和加速度等物理量。
例如，质点的位移可以使用向量来描述，速度可以定义为单位时间内位移的变化率。
3. 工程学在工程学中，平面向量广泛应用于力学、电路分析和结构设计等领域。
例如，可以使用向量描述结构物的受力情况，计算力的合成和分解。
4. 计算机图形学在计算机图形学中，平面向量用于描述物体的位置、旋转和缩放。
例如，可以使用向量表示三维模型的顶点坐标，通过变换矩阵来进行视图变换。
平面向量作为一个有大小和方向的量，可以用几何方法进行表示。
其在物理学、工程学和计算机图形学等领域有着广泛的应用。
通过理解平面向量的几何表示以及其应用，我们可以更好地理解和解决实际问题。
平面向量在立体几何中的应用
平面向量在立体几何中的应用立体几何是几何学中的一个重要方向，它是研究空间中的物体的形态、大小和位置关系的学科。
而平面向量是空间几何学中的一个基本概念，它在立体几何中也有很重要的应用。
下面我将从距离、角度、点和面积四个方面介绍平面向量在立体几何中的应用。
一、距离平面向量在立体几何中最常见的应用之一就是计算空间中两点之间的距离。
对于空间中的两个点P(x1,y1,z1)和Q(x2,y2,z2)，它们之间的距离可以用如下公式来计算：|PQ| = sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2+(z2-z1)^2)其中|PQ|表示P和Q之间的距离。
如果我们用向量来表示P和Q，则可以将公式改写成如下形式：|PQ| = |→PQ| = sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2+(z2-z1)^2)此处的|→PQ|表示从P指向Q的向量。
二、角度除了距离，平面向量还可以用来计算空间中向量之间的夹角。
设两个非零向量→a和→b，它们之间的夹角θ用下面的公式来计算：θ = arccos((→a·→b)/(∥→a∥∥→b∥))其中，'·'表示向量的点积，'∥→a∥'表示向量→a的模长（即向量的长度）三、点空间中的点可以用向量表示。
例如，对于点P(x,y,z)，我们可以用向量→OP=<x,y,z>来表示它。
对于空间中给定的三个点A、B、C和一个普通点P，我们可以使用向量来判断P是否在ABC三角形内部。
具体方法是：将A、B、C三点看作向量，再将P点看作三条边组成的三角形的顶点向量，通过向量的叉积计算出向量→AP和→AB，→AP和→AC，→AP和→BC的方向，如果三个向量的方向都一致，那么P就在ABC三角形内部。
四、面积平面向量在立体几何中还可以用来计算三角形的面积。
设三角形ABC的顶点坐标分别为A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，C(x3,y3,z3)。
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平面向量的几何应用
平面向量是研究几何的重要工具，它们不仅可以描述物体的位置和方向，还可以用于求解几何问题。
本文将详细介绍平面向量在几何中的应用，包括向量的平移、旋转、投影以及共线、垂直等概念。
一、向量的平移
向量的平移是指将一个向量沿着指定方向移动一定距离的操作。
平移后的向量与原向量具有相同的大小和方向。
使用平移向量可以方便地描述物体的位移以及多边形的平移。
例如，有一向量AB表示物体的位移，向量M表示平移向量，平移后的向量为AM=M+AB。
通过平移向量，我们可以方便地计算出物体的新位置。
二、向量的旋转
向量的旋转是指将一个向量绕某个点或轴旋转一定角度的操作。
向量在旋转后具有相同的大小，但方向发生改变。
向量的旋转常用于描述物体的旋转以及多边形的旋转。
例如，有一向量OA表示物体的位置，向量θ表示旋转向量，旋转后的向量为OA'=OA*cosθ+OB*sinθ，OB为垂直于OA的单位向量。
通过向量的旋转，可以方便地计算出物体旋转后的新位置。
三、向量的投影
向量的投影是指将一个向量在指定方向上的投影长度。
设有向量a
和向量b，向量a在向量b上的投影长度为a•cosθ，其中θ为a与b之
间的夹角。
向量的投影可用于计算物体在某个方向上的分量。
例如，有一向量AB表示物体的位移，向量n表示指定方向，物体
在指定方向上的分量为AB•cosθ。
通过向量的投影，我们可以方便地计算出向量在指定方向上的分量大小。
四、向量的共线和垂直
两个向量共线意味着它们的方向相同或相反，可以表示为a=k*b，
其中k为常数。
共线的向量在几何中常用于求解相似三角形或线段的
比例关系。
两个向量垂直意味着它们的夹角为90度，可以表示为a•b=0。
垂直
的向量在几何中常用于求解垂直平分线、垂直平面等概念。
总结：
平面向量具有广泛的几何应用，包括向量的平移、旋转、投影以及
共线、垂直等概念。
通过运用向量的几何性质，我们可以更加便捷地
解决各类几何问题。
掌握平面向量的几何应用，有助于提高解题效率，深入理解几何学中的相关概念和原理。
通过以上介绍，希望读者能够对平面向量的几何应用有一个较为全
面的了解，并能灵活运用平面向量来解决几何问题。