【专升本高数】导数的概念习题课PPT幻灯片

x x0
a，讨论下列函数在 x
x0的可导性：
⑴( x x0 ) ( x)；
⑵| x x0 | ( x)．
解 ⑴设f ( x) ( x x0 ) ( x)，则 f ( x0 ) 0，
lim f ( x) f ( x0 ) lim ( x x0 ) ( x) a，
x x0
x x0
x x0
3) 微分应用 近似计算公式
y f ( x)x ， f ( x0 x) f ( x0 ) f ( x)x ．
二、例题选讲
ln(1 x)，x 0，
例1
设f
(
x)
0，
x 0，求 f ( x)．
Hale Waihona Puke 解sin x， x 0，
当 x 0时，f ( x) ln(1 x)，f ( x)
3) 高阶导数 若函数 y f ( x)是 n阶可导，则递归定义
f
(n) ( x)
[
f
(n1) ( x)]，或
dn y d xn
d dx
dn1 y d xn1
，
其中，记 f (0) ( x) f ( x)．
n阶导数的Leibniz公式 设 u, v为两个 n 阶可导的函数， 则函数 y uv 也 n阶可导，且有
| f (0) | lim f ( x) lim sin x 1，
x0 x
x0 x
即得| a1 2a2 nan | 1．
例5 可导函数 y f ( x)的图形与 y sin x 相切于原
点，试求lim n f 2 ． n n
dy
dy 1 ．
d x ( y) 复合函数的导数 设函数y f (u), u ( x )均为可导 函数，则函数 y f [ ( x)]为可导函数，且
d y d ydu ． dx du dx
对于具有更多中间变量的复合函数，则相应的导数为
d y d ydu dv dw ． dx du dv dw dx
x x0
即 f ( x0 ) a．
⑵ 设f ( x) | x x0 | ( x)，则 f ( x0 ) 0，
lim f ( x) f ( x0 ) lim | x x0 | ( x) a，
x x0
x x0
x x0
x x0
故极限存在的充分必要条件为 a 0，此时
f ( x0 ) 0 ．
数方程
x x(t)，
y
y(t)
确定，则当 x2 (t ) y2 (t ) 0时，可确定 y为 x 的函数(或
x为 y 的函数)，相应的导数为
d y y(t) ． d x x(t)
若令h(t ) y(t )，则 x(t )
d2 y d x2
h(t ) x(t )
．
由此方法，可得到更高阶的导数．
1，
1 x
当 x 0时，f ( x) sin x，f ( x) cos x，
当 x 0时，
f (0)
lim
x0
ln(1 x
x)
1 ，f (0)
lim
x0
sin x x
1，
即 f (0)不存在．因此
f
( x)
1 1
x
，x
0，
cos x， x 0 ．
ln(1 x) b，x 0，
一、本 章 要 点
1．导数的定义 2．求导法则 3．微分与应用
1．导数的定义
1) 导数
f
(
x0
)
lim
x0
f ( x0 x) x
f ( x0 ) lim x x0
f (x) f (x0 ) ． x x0
左导数
f( x0
)
lim
x0
f ( x0 x) x
f (x0 ) ，
右导数
f (
例4 设f ( x) a1 sin x a2 sin 2 x an sin nx
其中ai R，且| f ( x) | sin x，证明 | a1 2a2 nan | 1 ．
证 f ( x) a1 cos x 2a2 cos 2 x nan cos nx，
故f (0) a1 2a2 nan，f (0) 0，因此
x0
)
lim
x0
f ( x0 x) x
f ( x0 ) ，
函数可导 左导数=右导数．
可导与连续的关系：函数在一点可导，则在该点连续．
导数的几何意义：函数在一点的导数为函数曲线在该点
的切线斜率．
曲线的切线方程及法线方程：
切线 y y0 f ( x0 )( x x0 ) ，
法线
y
y0
1 (x
3．微分
1) 微分的定义 若函数 y f ( x)的增量具有表达式 y Ax o(x)，
则函数 y f ( x)可微，相应的微分为 d y Ad x．
2) 可微的条件 函数 y f ( x)在点 x 处可微的充要条件 是 y f ( x)在点 x 可导，且有
d y f ( x)d x ．
n
(uv)(n)
C
k n
u(nk )v (k )
．
k0
4) 隐函数的导数 设函数 y f ( x)由方程F ( x, y) 0 确定，在一定的条件下，可以求出函数 y f (x) 的导数．
注意，一般情况下，其导函数的表达式仍然以隐式方程的 形式给出．
由隐函数求导法，得到对数求导法．
5) 由参数方程确定的函数的导数 设函数y f ( x )由参
f ( x0 )
x0 ) ( f ( x0 ) 0) ．
2) 求导法则 设 u, v为可导函数，则
(u v) u v ，
(uv) uv uv ，
u v
uv uv v2
(v
0)
．
反函数的求导法则 设函数 y f ( x)为x ( y)的反
函数，直接函数 x ( y)在区间 I y 上连续、单调，可导且 其导函数 d x ( y) 0，则
例2 设f ( x)
eax 1，
x
且
0，
f
(0)存在，
求a,b．
解 因 f (0)存在，故 f (x) 在 x 0处连续，所以
f (0 ) lim f ( x) lim [ln(1 x) b] b，
x0
x0
f (0 ) lim f ( x) lim (eax 1) 0，
x0
x0
即得 b 0．
又因 f (0) 存在，而
f (0)
lim
x0
f (x) x
f (0) lim ln(1 x) 1，
x0
x
f (0)
lim
x0
f (x) x
f (0) lim eax 1 a ， x x 0
因此 a 1．
例3 设 ( x)在 x0的某个邻域内有定义，又
lim ( x)