圆中阴影部分的面积求法
圆中阴影部分面积的计算
圆中阴影部分面积的计算
要计算圆的阴影部分的面积，首先需要了解一些基本的几何概念和公式。
下面将逐步介绍计算过程。
1.圆的面积公式：
2.圆的周长公式：
3.阴影部分的面积计算：
首先，我们假设有一个大圆，其半径为R。
然后，在大圆的中心位置画一个小圆，其半径为r。
阴影部分的面积就是大圆的面积减去小圆的面积。
那么，阴影部分的面积可以用以下公式表示：
Shadow Area = π * R^2 - π * r^2
为了计算具体的值，需要知道大圆和小圆的半径。
假设大圆的半径为10单位，小圆的半径为8单位。
那么，可以将这些值代入上述公式，得到阴影部分的面积：
Shadow Area = π * 10^2 - π * 8^2
=π*100-π*64
≈314.159-201.0624
≈113.0966
所以，在这个假设中，阴影部分的面积约为113.1单位。
如果想要通过给定的半径来计算阴影部分的面积，可以根据需要修改上述公式。
另外，如果阴影部分的形状不是简单的圆形，而是由多个形状组成的复杂曲线，那么计算面积的方法也会有所不同。
在那种情况下，可能需要使用数值积分等更高级的数学方法来计算。
圆求阴影部分面积方法
学生姓名：年级：课时数:辅导科目：数学学科教师:课题求阴影部分面积方法专题授课日期及其时段教学内容一、阴影部分面积的求法(一)、相加法:这种方法是将不规则图形分解转化成几个基本规则图形,分别计算它们的面积,然后相加求出整个图形的面积．例如,右图中,要求整个图形的面积，只要先求出上面半圆的面积,再求出下面正方形的面积，然后把它们相加就可以了。
(二）、相减法:这种方法是将所求的不规则图形的面积看成是若干个基本规则图形的面积之差.例如,右图,若求阴影部分的面积，只需先求出正方形面积再减去里面圆的面积即可。
(三)、直接求法:这种方法是根据已知条件,从整体出发直接求出不规则图形面积.如下页右上图,欲求阴影部分的面积,通过分析发现它是一个底2,高4的三角形,就可以直接求面积了。
(四)、重新组合法：这种方法是将不规则图形拆开,根据具体情况和计算上的需要,重新组合成一个新的图形,设法求出这个新图形面积即可．例如，欲求右图中阴影部分面积,可以把它拆开使阴影部分分布在正方形的４个角处,这时采用相减法就可求出其面积了。
（五）、辅助线法:这种方法是根据具体情况在图形中添一条或若干条辅助线，使不规则图形转化成若干个基本规则图形,然后再采用相加、相减法解决即可。
如右图，右图中大小正方形的边长分别是９厘米和5厘米,求阴影部分的面积.此题虽然可以用相减法解决，但不如添加一条辅助线后用直接法作更简便.（六)、割补法:这种方法是把原图形的一部分切割下来补在图形中的另一部分使之成为基本规则图形,从而使问题得到解决.例如，如右图，欲求阴影部分的面积，只需把右边弓形切割下来补在左边,这样整个阴影部分面积恰是正方形面积的一半.（七)、平移法:这种方法是将图形中某一部分切割下来平行移动到一恰当位置，使之组合成一个新的基本规则图形,便于求出面积.例如,如上页最后一图,欲求阴影部分面积,可先沿中间切开把左边正方形内的阴影部分平行移到右边正方形内,这样整个阴影部分恰是一个正方形。
圆中圆求阴影面积的解题技巧
圆中圆求阴影面积的解题技巧
圆中圆求阴影面积是一道常见的几何题目，需要运用一些解题技巧。
首先，我们需要明确圆中圆的关系，即内圆的圆心在外圆的圆周上。
设外圆半径为R，内圆半径为r，圆心距为d，则有：
d = R - r
接着，我们需要找出阴影部分的面积。
通常情况下，可以先求出整个圆环的面积，再减去内圆的面积。
即：
阴影面积 = 外圆面积 - 内圆面积
外圆面积可以用πR 公式求得，内圆面积可以用πr 公式求得。
将两者代入公式，即可得到阴影面积的解。
另外，有时候题目中给出的是圆环的宽度，而不是内外圆的半径。
此时，我们可以将宽度作为内圆半径的差值，即：
r = R - 宽度
然后再按照上述方法求解即可。
需要注意的是，有些题目中可能会给出圆环的面积或周长等信息，这时需要根据所给信息进行推导。
总之，圆中圆求阴影面积是一道比较简单的几何题目，只要记住以上的解题技巧，就能够轻松解决。
- 1 -。
圆中阴影部分的面积求法
5．如图，在两个半圆中，大圆的弦MN与小圆相切于点 D，MN∥AB，MN＝8cm，ON、CD分别是两圆的半径 ，求阴影部分的面积。
分析：
6. 已知直角扇形AOB，半径OA＝2cm，以OB为直径 在扇形内作半圆⊙M，过M引MP∥AO交 于P，求 与半圆弧及MP围成的阴影部分的面积S阴。 分析：此阴影部分不是一个规则图形，不能用公式直
圆中阴影部分的面积求 法
2020年4月20日星期一
求解这类问题的关键：将要求的阴影部分的 图形转化为可求解的规则的图形的组合.
例1． 如图，在矩形ABCD中，AB=1，AD= ，以BC的中点E为圆心的弧与AD相切于点P ，则图中阴影部分的面积为（D）
A
B
C
D
一、直接法
当遇见熟悉的图形可以有公式可以套的我 们直接使用公式来求面积——直接法
•说出来,与同学们分享.
回顾与思考
反思自我
驶向胜利 的彼挑战 自我岸
• （1）学会了求不规则图形的面积的一般方法
• （2）深入的理解了化归的数学思想
• (3) 体会到数学的灵活性.多变性,以不变应万 变
结束寄语
下课了!
* 数学使人聪明,数学使 人陶醉,数学的美陶冶着 你,我，他.
如图，扇形AOB的圆心角为直角，若OA＝4，以AB 为直径作半圆，求阴影部分的面积。
接求解。所以考虑将它分割为可求图形的面积求解。
7.如图，A是半径为2的⊙O外一点，OA＝4， AB是⊙O的切线，点B是切点，弦BC∥OA，连 结AC，求图中阴影部分的面积。
8. 有六个等圆按如图甲、乙、丙三种形状摆放，使邻圆互相外
切，且圆心线分别构成正六边形、平行四边形、正三角形，将 圆心连线外侧的六个扇形（阴影部分）的面积之和依次记为S
圆中阴影部分面积求法
圆中阴影部分面积求法(2010-06-02 16:03:03)转载标签：扇形a2oa半圆分类：初中数学免费资源圆心洛阳数学辅导洛阳家教杂谈求阴影部分的面积，在近几年中考题中形成一个新的热点，在计算由圆、扇形、三角形、四边形等组成的图形面积时，要注意观察和分析图形，学会分解和组合图形，明确要计算图形的面积，可以通过哪些图形的和或差得到，切勿盲目计算。
现举例谈谈主要方法：1．重叠法可考虑成若干已知图形面积的和再减去它们彼此重叠部分的图形面积。
例1．如图，AOB是直角扇形，以OA、OB为直径在扇形内作半圆，n和N分别表示两个阴影部分的面积。
则( )(A)N＝n(B)n＞N(C)N＞n(D)n、N大小关系无法确定解：研究面积为N的部分，可以看作是从整个图形中去掉两个半圆，但要考虑面积为n的图形在两个半圆中的重叠。
故N=■·OA2-·（■OA）2+n=n，故应选A。
2．组合法例2．如图，在边长为２cm的正方形ABCD中，分别以Ｂ、Ｄ为圆心，２cm长为半径作弧，得到图中的组合图形。
求阴影部分的面积。
分析1：这个如叶片，又如橄榄形状的组合图形其实就是两个形状大小完全相同的弓形。
明确了这一点后求这个组合图形的面积就轻而易举了。
解：S阴=２S弓＝２（S扇-S△）=2（-2）cm2分析2：重叠法，阴影面积等于弓形所对应的半圆面积和正方形面积之差。
简记为：２S弓＝S半圆-S正方形=■22-22=(2-4)cm23．全部减其余例3.如图所示，正方形ABCD的边长为a，以A为圆心作■，以AB为直径作■，M是AD上一点，以DM为直径，作■与■相外切，则图中阴影部分面积为_____解：■a2点拨：设以DM为直径的半圆的圆心为O1，半径为r，以AB为直径的半圆的圆心为O2，连结O1O2，则有（a-r）2+(■)2=（r+■）2，解得：r=■a所以S阴影=S扇形DAB-■S圆O1-■S圆O2=■a2-■·（■a）2-■·（■）2=■a24．等积变形法例4.如上图，A是半径为1的⊙O外的一点，OA=2，AB是⊙O的切线，B是切点，弦BC∥OA，连结AC，则阴影部分的面积等于_____。
五年级《圆》求阴影部分面积的十大方法
求与圆相关的阴影部分面积的十大方法（一）、相加法（分割法）：将不规则图形分割成成几个基础规则图形，分别计算它们的面积，然后相加求出整个图形的面积。
例：下图只要先求出上面半圆的面积，再求出下面正方形的面积，然后相加即可。
（二）、相减法：将所求的不规则图形的面积看成是若干个基本规则图形的面积之差。
例：下图只需先求出正方形面积再减去里面圆的面积即可。
（三）、直接求法：根据已知条件，从整体出发直接求出不规则图形面积。
例：下图阴影部分的面积，分析发现它是一个底为2，高为4的三角形，就可以直接求面积了。
（四）、重新组合法：将不规则图形拆开，根据具体情况和计算上的需要，重新组合成一个新的图形，设法求出这个新图形面积即可。
S 阴影=S 半圆+S 正方形S 阴影=S 正方形-S 圆S 阴影=S 三角形例：下图可以把它拆开使阴影部分分布在正方形的4个角处，这时采用相减法就可求出其面积了。
（五）、辅助线法：根据具体情况在图形中添一条或若干条辅助线，使不规则图形转化成若干个基本规则图形，然后再采用相加、相减法解决即可。
例：下图虽然可以用相减法解决，但不如添加一条辅助线后用直接法计算2个三角形面积之和更简便。
（六）、割补法：把原图形的一部分切割下来，补在图形中的另一部分，使之成为规则图形，从而使问题得到解决。
例：下图只需把右边弓形切割下来补在左边，这样整个阴影部分面积恰是正方形面积的一半。
（七）、平移法：将图形中某一部分切割下来，平行移动到一恰当位置，使之组合成一个新的基本规则图形，便于求出面积。
S 阴影=S 正方形-S 圆S 阴影=S 正方形÷2S 阴影=S 三角形①+S 三角形②例：下图可先沿中间切开，把左边正方形内的阴影部分平行移到右边正方形内，这样整个阴影部分恰是一个正方形。
（八）、旋转法：将图形中某一部分切割下来之后，使之沿某一点或某一轴旋转一定角度，贴补在另一图形的一侧，从而组合成一个新的基本规则的图形，便于求出面积。
圆求阴影部分面积方法
学生姓名：（一）年级：课时数：辅导科目：数学学科教师：课题求阴影部分面积方法专题授课日期及其时段教学内容一、阴影部分面积的求法（一）、相加法：这种方法是将不规则图形分解转化成几个基本规则图形，分别计算它们的面积，然后相加求出整个图形的面积.例如，右图中，要求整个图形的面积，只要先求出上面半圆的面积，再求出下面正方形的面积，然后把它们相加就可以了。
（二）、相减法：这种方法是将所求的不规则图形的面积看成是若干个基本规则图形的面积之差.例如，右图，若求阴影部分的面积，只需先求出正方形面积再减去里面圆的面积即可。
（三）、直接求法：这种方法是根据已知条件，从整体出发直接求出不规则图形面积.如下页右上图，欲求阴影部分的面积，通过分析发现它是一个底2，高4的三角形，就可以直接求面积了。
（四）、重新组合法：这种方法是将不规则图形拆开，根据具体情况和计算上的需要，重新组合成一个新的图形，设法求出这个新图形面积即可.例如，欲求右图中阴影部分面积，可以把它拆开使阴影部分分布在正方形的4个角处，这时采用相减法就可求出其面积了。
（五）、辅助线法：这种方法是根据具体情况在图形中添一条或若干条辅助线，使不规则图形转化成若干个基本规则图形，然后再采用相加、相减法解决即可.如右图，右图中大小正方形的边长分别是9厘米和5厘米，求阴影部分的面积.此题虽然可以用相减法解决，但不如添加一条辅助线后用直接法作更简便。
（六）、割补法：这种方法是把原图形的一部分切割下来补在图形中的另一部分使之成为基本规则图形，从而使问题得到解决.例如，如右图，欲求阴影部分的面积，只需把右边弓形切割下来补在左边，这样整个阴影部分面积恰是正方形面积的一半.（七）、平移法：这种方法是将图形中某一部分切割下来平行移动到一恰当位置，使之组合成一个新的基本规则图形，便于求出面积.例如，如上页最后一图，欲求阴影部分面积，可先沿中间切开把左边正方形内的阴影部分平行移到右边正方形内，这样整个阴影部分恰是一个正方形。
圆求阴影部分面积方法
学生姓名：年级：课时数：辅导科目：数学学科教师：课题求阴影部分面积方法专题授课日期及其时段教学内容一、阴影部分面积的求法（一）、相加法：这种方法是将不规则图形分解转化成几个基本规则图形，分别计算它们的面积，然后相加求出整个图形的面积.例如，右图中，要求整个图形的面积，只要先求出上面半圆的面积，再求出下面正方形的面积，然后把它们相加就可以了。
（二）、相减法：这种方法是将所求的不规则图形的面积看成是若干个基本规则图形的面积之差.例如，右图，若求阴影部分的面积，只需先求出正方形面积再减去里面圆的面积即可。
（三）、直接求法：这种方法是根据已知条件，从整体出发直接求出不规则图形面积.如下页右上图，欲求阴影部分的面积，通过分析发现它是一个底2，高4的三角形，就可以直接求面积了。
（四）、重新组合法：这种方法是将不规则图形拆开，根据具体情况和计算上的需要，重新组合成一个新的图形，设法求出这个新图形面积即可.例如，欲求右图中阴影部分面积，可以把它拆开使阴影部分分布在正方形的4个角处，这时采用相减法就可求出其面积了。
（五）、辅助线法：这种方法是根据具体情况在图形中添一条或若干条辅助线，使不规则图形转化成若干个基本规则图形，然后再采用相加、相减法解决即可.如右图，右图中大小正方形的边长分别是9厘米和5厘米，求阴影部分的面积.此题虽然可以用相减法解决，但不如添加一条辅助线后用直接法作更简便。
（六）、割补法：这种方法是把原图形的一部分切割下来补在图形中的另一部分使之成为基本规则图形，从而使问题得到解决.例如，如右图，欲求阴影部分的面积，只需把右边弓形切割下来补在左边，这样整个阴影部分面积恰是正方形面积的一半.（七）、平移法：这种方法是将图形中某一部分切割下来平行移动到一恰当位置，使之组合成一个新的基本规则图形，便于求出面积.例如，如上页最后一图，欲求阴影部分面积，可先沿中间切开把左边正方形内的阴影部分平行移到右边正方形内，这样整个阴影部分恰是一个正方形。
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二. 等积变换法 如图， 是半径为 是半径为2的 外一点， 例2.如图，A是半径为 的⊙O外一点，OA＝4，AB是 如图 外一点 ＝ ， 是 的切线， 是切点， ⊙O的切线，点B是切点，弦BC∥OA，连结 ，求图 的切线 是切点 ∥ ，连结AC， 中阴影部分的面积。 中阴影部分的面积。 分析：图中阴影部分可看作弓形BC面积与 面积与△ 分析：图中阴影部分可看作弓形 面积与△ ABC面积 面积 的和， 不是Rt△ 所以考虑借OA∥BC将 的和，而△ABC不是 △，所以考虑借 不是 ∥ 将 平移， △ABC平移，连接 平移 连接OC、OB，则S△OCB＝S△ACB。则阴 、 ， 影部分面积为扇形BOC面积。 面积。 影部分面积为扇形 面积 那么本题的重点便是表示 扇形BOC面积，需知圆心角 扇形 面积，需知圆心角 面积 与半径． 与半径．
三、整体思想 如图， 相外离， 例3. 如图，⊙A、⊙B、⊙C、⊙D、⊙E相外离，它们 、 、 、 、 相外离 的半径都是1，顺次连接五个圆心得到五边形ABCDE， 的半径都是 ，顺次连接五个圆心得到五边形 ， 则图中五个扇形（阴影部分）的面积之和是多少？ 则图中五个扇形（阴影部分）的面积之和是多少？ 分析：由于不知道每个块阴影部分的圆心角的度数， 分析：由于不知道每个块阴影部分的圆心角的度数，所 以部分求和无法实现，而五个阴影部分他们半径相同， 以部分求和无法实现，而五个阴影部分他们半径相同， 圆心角的和是540º，将五个拼在一起用整体的方法求就 圆心角的和是 很容易了。 五个扇形的圆心角分别为 很容易了。 而
反思： 反思：整体代换
已知直角扇形AOB，半径 ２. 已知直角扇形 ，半径OA＝2cm，以OB为直径 ＝ ， 为直径 ∩ 于P，求 ∩ 在扇形内作半圆⊙ ， 在扇形内作半圆⊙M，过M引MP∥AO交 AB 引 ∥ 交 ， AB 与半圆弧及MP围成的阴影部分的面积 阴。 围成的阴影部分的面积S 与半圆弧及 围成的阴影部分的面积 分析：此阴影部分不是一个规则图形， 分析：此阴影部分不是一个规则图形，不能用公式直 接求解。所以考虑将它分割为可求图形的面积求解。 接求解。所以考虑将它分割为可求图形的面积求解。
1 a 2 2 S阴影＝4 ⋅ π （ ） − a ⋅ 2 2 1 2 2 = πa − a 。 2
3.如图所示，半径OA=2cm，圆心角为 °的扇形 如图所示，半径 如图所示 ，圆心角为90° AOB中，C为AB 的中点，D为OB的中点，求阴影部 的中点， 中 为 的中点， 为 的中点 分的面积。 分的面积。 分析： 分析：割补法
n1 °，n2 °，n3 °，n4 °，n5 °
n1 + n2 + n3 + n4 + n5 = 540°
巩固练习
１．如图，在两个半圆中，大圆的弦MN与小圆相切于 如图，在两个半圆中，大圆的弦 与小圆相切于 点D，MN∥AB，MN＝8cm，ON、CD分别是两圆的半 ， ∥ ， ＝ ， 、 分别是两圆的半 求阴影部分的面积。 径，求阴影部分的面积。 分析： 分析：S = S 阴 半圆⊙O − S 半圆⊙C
温馨提示： 温馨提示：
请大家调整好自己的鼠标与键盘， 1、请大家调整好自己的鼠标与键盘， 随时准备文字互动！ 随时准备文字互动！ 请准备好视频作业学案： 2、请准备好视频作业学案： 《圆中阴影部分的面积求法 》 3、请准备必要的书写用笔 —— 特别是红笔（针对讲解，请 特别是红笔 针对讲解， 红笔（ 重点及错点标注 及时将重点及错点标注）。
S阴＝S扇形BOC − S三角形COD
如图所示，半径 如图所示，半径OA=2cm，圆心角为 °的扇形 ，圆心角为90°的扇形AOB 的中点， 中，C为 AB 的中点，D为OB的中点，求阴影部分的面积。 为 的中点， 为 的中点 求阴影部分的面积。
反思：不要将图形 当作扇形计算， 反思：不要将图形CBD当作扇形计算，再次强化不规则图形的面 当作扇形计算 积一般转化为规则图形的和差。 积一般转化为规则图形的和差。
1 2 1 2 = πR − πr 2 2 1 2 2 = π (R − r ) 2
如图，在两个半圆中，大圆的弦 与小圆相切于点D， 如图，在两个半圆中，大圆的弦MN与小圆相切于点 ， 与小圆相切于点 MN∥AB，MN＝8cm，ON、CD分别是两圆的半径， 分别是两圆的半径， ∥ ， ＝ ， 、 分别是两圆的半径 求阴影部分的面积。 求阴影部分的面积。
S 阴 = S 扇形AOB − S 扇形AOP − S △POM − S 扇形BMQ
反思： １．不规则图形的面积 不规则图形的面积 转化为扇形与三角形面积 转化为扇形与三角形面积 的和差。 的和差。 ２．边角转化
当堂检测
1.在等边△ ABC中，BC=16cm,点Ｄ、Ｅ、 分 在等边△ 在等边 中 点Ｄ、Ｅ、F分 别是各边中点，求阴影部分的面积。 别是各边中点，求阴影部分的面积。 分析： 分析：整体思想
如图， 是半径为 是半径为2的 外一点， ＝ ， 是 如图，A是半径为 的⊙O外一点，OA＝4，AB是⊙O 外一点 的切线， 是切点， 的切线，点B是切点，弦BC∥OA，连结 ，求图中 是切点 ∥ ，连结AC， 阴影部分的面积。 阴影部分的面积。
反思： 反思： １．观察三角形之间 的关系。 的关系。 ２．平行线间的距离 相等． 相等． 边角转化。 ３．边角转化。
A
S阴＝S三角形ABC－S半圆 1 1 2 ＝ ×16 × 8 3 − π • 8 2 2 = 64 3 − 32π
B D E
F
C
2.如下图，正方形的边长为a，以各边为直径在正方 如下图，正方形的边长为 ， 如下图 形内画半圆，所以围成的图形（阴影部分） 形内画半圆，所以围成的图形（阴影部分）的面积为 ______________。 。 分析： 分析：整体思想 下图中阴影部分面积可以看作是4个半圆的面积之 下图中阴影部分面积可以看作是 个半圆的面积之 和与正方形面积之差（重叠部分）。 ）。所以 和与正方形面积之差（重叠部分）。所以
圆中阴影部分的面积求法
讲课人： 讲课人：仇广学
求阴影部分的面积，在近几年中考题中， 求阴影部分的面积，在近几年中考题中，形成一个新 的热点。在求阴影部分的面积试题中， 的热点。在求阴影部分的面积试题中，图形一般都是一 些不规则的图形或没有公式可以直接套用的.在计算由圆 在计算由圆、 些不规则的图形或没有公式可以直接套用的 在计算由圆、 扇形、三角形、四边形等组成的图形面积时， 扇形、三角形、四边形等组成的图形面积时，要注意观 察和分析图形，学会分解和组合图形， 察和分析图形，学会分解和组合图形，明确要计算图形 的面积，可以通过哪些图形的和或差得到， 和或差得到 的面积，可以通过哪些图形的和或差得到，切勿盲目计 求解这类问题的关键： 算。求解这类问题的关键：将要求的阴影部分的图形转 通过本节课的学习， 化为可求解的规则的图形的组合.通过本节课的学习 化为可求解的规则的图形的组合 通过本节课的学习，希 望能帮助同学们突破难点，对您有所帮助！ 望能帮助同学们突破难点，对您有所帮助！
一. 割补法 如图，扇形AOB的圆心角为直角，若OA＝4， 的圆心角为直角， 例1. 如图，扇形 的圆心角为直角 ＝ ， 为直径作半圆， 以AB为直径作半圆，求阴影部分的面积。 为直径作半圆 求阴影部分的面积。 分析：图中阴影部分面积为： 分析：图中阴影部分面积为： 为直径的半圆面积减去弓形AMB面积； 面积； 以AB为直径的半圆面积减去弓形 为直径的半圆面积减去弓形 面积 而弓形面积等于扇形AOB面积减去△AOB面积。 面积减去△ 面积。 而弓形面积等于扇形 面积减去 面积
如图，扇形 的圆心角为直角， 如图，扇形AOB的圆心角为直角，若OA＝4，以AB 的圆心角为直角 ＝ ， 为直径作半圆，求阴影部分的面积。 为直径作半圆，求阴影部分的面积。
反思：不规则图形的面积一般转化为扇形与三角形面积的和差。 反思：不规则图形的面积一般转化为扇形与三角形面积的和差。 扇形与三角形面积的和差