动态规划中的最长路径问题
动态规划算法难点详解及应用技巧介绍
动态规划算法难点详解及应用技巧介绍动态规划算法（Dynamic Programming）是一种常用的算法思想，主要用于解决具有重叠子问题和最优子结构性质的问题。
在解决一些复杂的问题时，动态规划算法可以将问题分解成若干个子问题，并通过求解子问题的最优解来求解原始问题的最优解。
本文将详细介绍动态规划算法的难点以及应用技巧。
一、动态规划算法的难点1. 难点一：状态的定义在动态规划算法中，首先需要明确问题的状态。
状态是指问题在某一阶段的具体表现形式。
在进行状态定义时，需要考虑到问题的最优子结构性质。
状态的定义直接影响到问题的子问题划分和状态转移方程的建立。
2. 难点二：状态转移方程的建立动态规划算法是基于状态转移的思想，即通过求解子问题的最优解来求解原始问题的最优解。
因此，建立合理的状态转移方程是动态规划算法的关键。
在进行状态转移方程的建立时，需要考虑问题的最优子结构性质和状态之间的关系。
3. 难点三：边界条件的处理在动态规划算法中，边界条件是指问题的最简单情况，用于终止递归过程并给出递归基。
边界条件的处理需要考虑问题的具体要求和实际情况，确保问题能够得到正确的解。
二、动态规划算法的应用技巧1. 应用技巧一：最长递增子序列最长递增子序列是一类经典的动态规划问题。
其求解思路是通过定义状态和建立状态转移方程，找到问题的最优解。
在应用最长递增子序列问题时，可以使用一维数组来存储状态和记录中间结果，通过迭代计算来求解最优解。
2. 应用技巧二：背包问题背包问题是另一类常见的动态规划问题。
其求解思路是通过定义状态和建立状态转移方程，将问题转化为子问题的最优解。
在应用背包问题时，可以使用二维数组来存储状态和记录中间结果，通过迭代计算来求解最优解。
3. 应用技巧三：最短路径问题最短路径问题是动态规划算法的经典应用之一。
其求解思路是通过定义状态和建立状态转移方程，利用动态规划的思想来求解最优解。
在应用最短路径问题时，可以使用二维数组来存储状态和记录中间结果，通过迭代计算来求解最优解。
c++ 最长路算法
c++ 最长路算法全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：长路径问题是图论中一个经典问题，在计算机科学领域中有着广泛的应用。
C++语言是一种高效且强大的编程语言，对于解决这类问题非常适用。
本文将介绍C++中的最长路径算法，包括算法原理、实现步骤以及应用场景等内容。
一、最长路径算法的原理最长路径算法是在图中寻找两个顶点之间的最长路径，即找到一条路径使得路径上的边权值之和最大。
在一个加权有向图中，最长路径算法可以用来解决许多实际问题，比如工程规划、网络路由等。
最长路径算法的原理是基于动态规划的思想。
我们可以使用动态规划来求解从源点到其他各个顶点的最长路径。
具体步骤如下：1. 初始化图中的各个顶点到源点的距离为负无穷大。
2. 从源点开始，按拓扑序进行遍历。
3. 对于每个顶点v，遍历其所有的邻接顶点u，更新u的距离为max(dist[u], dist[v] + weight(u, v))。
4. 重复以上步骤，直到所有顶点的距离不再变化为止。
通过以上步骤，我们可以求解出源点到其他各个顶点之间的最长路径。
下面我们来看一个简单的C++实现，实现一个求解最长路径的函数。
```cpp#include <iostream>#include <vector>#define INF INT_MAXusing namespace std;for (int i = 0; i < V; i++) {for (auto edge : adjList[i]) {int u = edge.first;int weight = edge.second;if (dist[i] + weight > dist[u]) {dist[u] = dist[i] + weight;}}}return dist;}adjList[0].push_back({1, 5});adjList[0].push_back({2, 3});adjList[1].push_back({3, 6});adjList[2].push_back({3, 2});adjList[2].push_back({4, 7});adjList[3].push_back({4, 4});adjList[4].push_back({5, 5});在以上代码中，我们定义了一个函数`longestPath`来计算最长路径，其中传入参数为邻接表、顶点数和源顶点。
0011算法笔记——【动态规划】最长公共子序列问题(LCS)
问题描述：一个给定序列的子序列是在该序列中删去若干元素后得到的序列。
确切地说，若给定序列X= { x1, x2,…, x m}，则另一序列Z= {z1, z2,…, z k}是X的子序列是指存在一个严格递增的下标序列{i1, i2,…, i k}，使得对于所有j=1,2,…,k有X ij=Z j。
例如，序列Z={B,C,D,B}是序列X={A,B,C,B,D,A,B}的子序列，相应的递增下标序列为{2,3,5,7}。
给定两个序列X和Y，当另一序列Z既是X的子序列又是Y的子序列时，称Z是序列X和Y的公共子序列。
例如，若X= { A, B, C, B, D, A, B}和Y= {B, D, C, A, B, A}，则序列{B,C,A}是X和Y的一个公共子序列，序列{B,C,B,A}也是X和Y的一个公共子序列。
而且，后者是X和Y的一个最长公共子序列，因为X和Y没有长度大于4的公共子序列。
给定两个序列X= {x1, x2, …, x m}和Y= {y1, y2, … , y n}，要求找出X和Y的一个最长公共子序列。
问题解析：设X= { A, B, C, B, D, A, B},Y= {B, D, C, A, B, A}。
求X，Y的最长公共子序列最容易想到的方法是穷举法。
对X的多有子序列，检查它是否也是Y的子序列，从而确定它是否为X和Y的公共子序列。
由集合的性质知，元素为m的集合共有2^m个不同子序列，因此，穷举法需要指数级别的运算时间。
进一步分解问题特性，最长公共子序列问题实际上具有最优子结构性质。
设序列X={x1,x2,……x m}和Y={y1,y2,……y n}的最长公共子序列为Z={z1,z2,……z k}。
则有：(1)若x m=y n,则z k=x m=y n,且z k-1是X m-1和Y n-1的最长公共子序列。
(2)若x m!=y n且z k!=x m，则Z是X m-1和Y的最长公共子序列。
DP入门（2）——DAG上的动态规划
DP⼊门（2）——DAG上的动态规划有向⽆环图（DAG,Directed Acyclic Graph）上的动态规划是学习动态规划的基础。
很多问题都可以转化为DAG上的最长路、最短路或路径计数问题。
⼀、DAG模型【嵌套矩形问题】问题：有n个矩形，每个矩形可以⽤两个整数a、b描述，表⽰它的长和宽。
矩形X(a , b)可以嵌套在矩形Y(c , d)中当且仅当a<c,b<d,或者b<c,a<d(相当于把矩形X旋转90°)。
例如(1,5)可以嵌套在(6, 2)内，但不能嵌套在(3, 4)内。
你的任务是选出尽可能多的矩形排成⼀⾏，使得除了最后⼀个之外，每个矩形都可以嵌套在下⼀个矩形内。
如果有多解，矩形编号的字典序应尽量⼩。
分析：矩形之间的“可嵌套”关系是⼀个典型的⼆元关系（我的理解是两个矩形之间存在关系），⼆元关系可以⽤图来建模。
如果矩形X可以嵌套在矩形Y⾥，就从X到Y连⼀条有向边。
这个有向图必然是⽆环的，因为⼀个矩形⽆法直接或间接地嵌套在⾃⼰内部。
换句话说，它是⼀个DAG。
这样，所要求的便是DAG上的最长路径。
【硬币问题】问题：有n种硬币，⾯值分别为V1, V2, ..., V n，每种都有⽆限多。
给定⾮负整数S，可以选⽤多少个硬币，使得⾯值之和恰好为S？输出硬币数⽬的最⼩值和最⼤值。
1 <= n <= 100, 0 <= S <= 10000, 1 <= V i <= S。
分析：此问题尽管看上去和嵌套矩形问题很不⼀样，但本题的本质也是DAG上的路径问题。
将每种⾯值看作⼀个点，表⽰“还需要凑⾜的⾯值”，则初始状态为S，⽬标状态为0。
若当前在状态 i，每使⽤⼀个硬币 j，状态便转移到i - V j。
补充：这个模型和上⼀题类似，但也有⼀些明显地不同之处：上题并没有确定路径的起点和终点（可以把任意矩形放在第⼀个和最后⼀个），⽽本题的起点必须为S，终点必须为0。
python最长路径算法
python最长路径算法Python最长路径算法Python是一种高级编程语言，它具有简单易学、代码简洁、可读性强等特点，因此在算法领域中得到了广泛的应用。
其中，最长路径算法是一种常见的算法，它可以用来求解图中两个节点之间的最长路径。
最长路径算法的基本思路是：首先，对图进行拓扑排序，然后按照拓扑排序的顺序依次计算每个节点的最长路径。
具体实现过程如下：1. 对图进行拓扑排序，得到节点的拓扑序列。
2. 初始化每个节点的最长路径为0。
3. 按照拓扑序列的顺序依次计算每个节点的最长路径。
对于每个节点，遍历其所有的前驱节点，计算出前驱节点的最长路径加上前驱节点到当前节点的边的权值，然后取所有前驱节点的最长路径加上边权值的最大值作为当前节点的最长路径。
4. 最终，得到起点到终点的最长路径。
下面是Python实现最长路径算法的代码：```pythonfrom collections import defaultdictclass Graph:def __init__(self, vertices):self.graph = defaultdict(list)self.vertices = verticesdef add_edge(self, u, v, w):self.graph[u].append((v, w))def topological_sort(self):in_degree = [0] * self.verticesfor u in self.graph:for v, w in self.graph[u]:in_degree[v] += 1queue = []for i in range(self.vertices):if in_degree[i] == 0:queue.append(i)topo_order = []while queue:u = queue.pop(0)topo_order.append(u)for v, w in self.graph[u]:in_degree[v] -= 1if in_degree[v] == 0:queue.append(v)return topo_orderdef longest_path(self, start, end):topo_order = self.topological_sort()dist = [float('-inf')] * self.verticesdist[start] = 0for u in topo_order:if u == end:breakfor v, w in self.graph[u]:if dist[u] != float('-inf') and dist[v] < dist[u] + w: dist[v] = dist[u] + wreturn dist[end]g = Graph(6)g.add_edge(0, 1, 5)g.add_edge(0, 2, 3)g.add_edge(1, 3, 6)g.add_edge(1, 2, 2)g.add_edge(2, 4, 4)g.add_edge(2, 5, 2)g.add_edge(2, 3, 7)g.add_edge(3, 5, 1)g.add_edge(3, 4, -1)g.add_edge(4, 5, -2)print(g.longest_path(1, 5)) # 输出：4```在上面的代码中，我们首先定义了一个Graph类，其中包含了图的邻接表表示和顶点数。
二叉树最长路径算法
二叉树最长路径算法引言二叉树是一种常见的数据结构，在计算机科学中有着广泛的应用。
二叉树的每个节点最多只能有两个子节点，分别称为左子节点和右子节点。
最长路径是指二叉树中任意两个节点之间的最长距离。
计算二叉树最长路径的算法是一项重要的任务，对于许多实际问题都有着重要意义。
基本概念在开始讨论二叉树最长路径算法之前，我们需要了解一些基本的概念。
以下是与二叉树相关的一些术语：1.节点：二叉树中的一个元素，包含一个数据项和指向左右子节点的指针。
2.根节点：二叉树的顶部节点，没有父节点。
3.叶节点：没有子节点的节点。
4.内部节点：有子节点的节点。
5.子树：由一个节点及其所有后代节点组成的树。
6.深度：节点到根节点的距离。
7.高度：根节点到最远叶节点的距离。
二叉树最长路径的定义二叉树的最长路径是指任意两个节点之间的最长距离。
最长路径可以通过计算树的高度来获得。
树的高度是从根节点到最远叶节点的距离。
因为最长路径必然经过某个节点，所以可以将二叉树的最长路径分解为以每个节点为根节点的两个子树的最长路径之和。
我们可以通过递归的方式计算每个节点的最长路径，然后取最大值即可得到整个二叉树的最长路径。
递归算法下面让我们来具体讨论下如何通过递归算法计算二叉树的最长路径。
基本思路1.如果二叉树为空，最长路径为0。
2.否则，将二叉树的最长路径分解为以下三部分中的最大值：–左子树的最长路径–右子树的最长路径–通过根节点的最长路径伪代码int maxPath(TreeNode *root) {if (root == NULL) {return 0;}int leftPath = maxPath(root->left);int rightPath = maxPath(root->right);int rootPath = findMax(root->left) + findMax(root->right);return max(leftPath, max(rightPath, rootPath));}时间复杂度上述递归算法的时间复杂度为O(n)，其中n是二叉树中节点的个数。
动态规划经典——最长公共子序列问题（LCS）和最长公共子串问题
动态规划经典——最长公共⼦序列问题（LCS）和最长公共⼦串问题⼀.最长公共⼦序列问题(LCS问题)给定两个字符串A和B，长度分别为m和n，要求找出它们最长的公共⼦序列，并返回其长度。
例如： A = "Hel lo W o rld" B = "loo p"则A与B的最长公共⼦序列为 "loo",返回的长度为3。
此处只给出动态规划的解法：定义⼦问题dp[i][j]为字符串A的第⼀个字符到第 i 个字符串和字符串B 的第⼀个字符到第 j 个字符的最长公共⼦序列，如A为“app”,B为“apple”，dp[2][3]表⽰ “ap” 和 “app” 的最长公共字串。
注意到代码中 dp 的⼤⼩为 (n + 1) x (m + 1) ，这多出来的⼀⾏和⼀列是第 0 ⾏和第 0 列，初始化为 0，表⽰空字符串和另⼀字符串的⼦串的最长公共⼦序列，例如dp[0][3]表⽰ "" 和“app” 的最长公共⼦串。
当我们要求dp[i][j]，我们要先判断A的第i个元素B的第j个元素是否相同即判断A[i - 1]和 B[j -1]是否相同，如果相同它就是dp[i-1][j-1]+ 1，相当于在两个字符串都去掉⼀个字符时的最长公共⼦序列再加 1；否则最长公共⼦序列取dp[i][j - 1] 和dp[i - 1][j]中⼤者。
所以整个问题的初始状态为：dp[i][0]=0,dp[0][j]=0相应的状态转移⽅程为：dp[i][j]=max{dp[i−1][j],dp[i][j−1]},A[i−1]!=B[j−1] dp[i−1][j−1]+1,A[i−1]==B[j−1]代码的实现如下：class LCS{public:int findLCS(string A, int n, string B, int m){if(n == 0 || m == 0)//特殊输⼊return 0;int dp[n + 1][m + 1];//定义状态数组for(int i = 0 ; i <= n; i++)//初始状态dp[i][0] = 0;for(int i = 0; i <= m; i++)dp[0][i] = 0;for(int i = 1; i <= n; i++)for(int j = 1; j<= m; j++){if(A[i - 1] == B[j - 1])//判断A的第i个字符和B的第j个字符是否相同dp[i][j] = dp[i -1][j - 1] + 1;elsedp[i][j] = max(dp[i - 1][j],dp[i][j - 1]);}return dp[n][m];//最终的返回结果就是dp[n][m]}};该算法的时间复杂度为O(n*m)，空间复杂度为O(n*m)。
动态规划问题常见解法
动态规划问题常见解法
动态规划是一种高效解决优化问题的方法。
它通常用于涉及最
优化问题和最短路径的计算中。
下面是一些常见的动态规划问题解法：
1. 背包问题
背包问题是动态规划中的经典问题之一。
其目标是在给定的背
包容量下，选择一些物品放入背包中，使得物品总价值最大。
解决
这个问题的常见方法是使用动态规划的思想，定义一个二维数组来
记录每个物品放入背包时的最大价值，然后逐步计算出最终的结果。
2. 最长公共子序列问题
最长公共子序列问题是寻找两个字符串中最长的公共子序列的
问题。
解决这个问题的常见方法是使用动态规划的思想，定义一个
二维数组来记录两个字符串中每个位置的最长公共子序列的长度。
然后通过递推关系来计算出最终的结果。
3. 矩阵链乘法问题
矩阵链乘法问题是计算一系列矩阵相乘的最佳顺序的问题。
解
决这个问题的常见方法是使用动态规划的思想，定义一个二维数组
来记录每个矩阵相乘时的最小乘法次数，然后逐步计算出最终的结果。
4. 最长递增子序列问题
最长递增子序列问题是寻找一个序列中最长的递增子序列的问题。
解决这个问题的常见方法是使用动态规划的思想，定义一个一
维数组来记录每个位置处的最长递增子序列的长度，然后通过递推
关系来计算出最终的结果。
以上是一些常见的动态规划问题解法。
通过灵活运用这些方法，我们可以更高效地解决优化问题和最短路径计算等相关任务。
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动态规划中的最长路径问题
题目：设图G=(V, E)是一个带权有向连通图，如果把顶点集合V 划分成k个互不相交的子集Vi（2≤k≤n, 1≤i≤k），使得E中的任何一条边(u, v)，必有u∈Vi，v∈Vi+m（1≤i＜k,1＜i+m≤k），则称图G为多段图，称s∈V1为源点，t∈Vk为终点。
多段图的最长路径问题是求从源点到终点的最大代价路径
由于多段图将顶点划分为k个互不相交的子集，所以，多段图划分为k段，每一段包含顶点的一个子集。
不失一般性，将多段图的顶点按照段的顺序进行编号，同一段内顶点的相互顺序无关紧要。
假设图中的顶点个数为n，则源点s的编号为0，终点t的编号为n-1，并且，对图中的任何一条边(u, v)，顶点u的编号小于顶点v的编号。
一个多段图
用c（u，v）表示边上的权值，将从源点s到终点t的最长路径记
为d(s, t)，则从源点0到终点9的最长路径d(0, 9)由下式确定：d(0, 9)=max{c01+d(1, 9), c02+d(2, 9), c03+d(3, 9)}这是最后一个阶段的决策，它依赖于d(1, 9)、d(2, 9)和d(3, 9)
d(1, 9)=max{c14+d(4, 9), c15+d(5, 9) }
d(2, 9) =max{c24+d(4, 9), c25+d(5, 9) , c26+d(6, 9) }
d(3, 9) =max{c35+d(5, 9), c26+d(6, 9) }
这是倒数第二阶段的式子它分别依赖于d(4, 9)，d(5, 9)，d(6, 9) d(4, 9)= max{c47+d(7, 9), c48+d(8, 9) }
d(5, 9)= max{c57+d(7, 9), c58+d(8, 9) }
d(6, 9)= max{c67+d(7, 9), c68+d(8, 9) }
这是倒数第三阶段的式子它们依赖于d(7, 9)，d(8, 9)
d(7, 9)= c79=7
d(8, 9)= c89=3
再往前推
d(6, 9)=max{c67+d(7, 9), c68+d(8, 9)}
= max {6+7, 5+3}=13(6→8)
d(5, 9)= max {c57+d(7, 9), c58+d(8, 9)}
= max {8+7, 6+3}=15(5→8)
d(4, 9)= max {c47+d(7, 9), c48+d(8, 9)}
= max {5+7, 6+3}=12(4→7)
d(3, 9)= max {c35+d(5, 9), c36+d(6, 9)}
= max {4+15, 7+13}=20(3→6)
d(2,9)= max {c24+d(4,9), c25+d(5,9), c26+d(6, 9)}
= max {6+12, 7+15, 8+13}=22(2→5)
d(1, 9)= max {c14+d(4, 9), c15+d(5, 9)}
=min{9+12, 8+15}=23(1→5)
d(0, 9)= max {c01+d(1, 9), c02+d(2, 9), c03+d(3, 9)}
= max {4+23, 2+22, 3+20}=27(0→3)
最后，得到最长路径为0→1→5→7→9，长度为27。
下面考虑多段图的最长路径问题的填表形式。
用一个数组cost[n]作为存储子问题解的表格，cost[i]表示从顶点i到终点n-1的最长路径，数组path[n]存储状态，path[i]表示从顶点i到终点n-1的路径上顶点i的下一个顶点。
则：
cost[i]=max{cij+cost[j]}
(i≤j≤n且顶点j是顶点i的邻接点) （式6.7）path[i]=使cij+cost[j]最大的j （式6.8）
程序算法
多段图算法：
Procedure FGRAPH（E,k,n,P）
//输入是按段的顺序给结点编号的，有n个结点的k段图。
E是边集，c（i，j）是边<i，j>的成本。
P（1：k）是最大成本路径。
// real COST(n),integer(n-1),P(k),r,j,k,n COST(n)<-0
for j<-n-1 to 1 by -1 do //计算COST（j）//
设r是一个这样的结点，（j，r E且使c（j，r）+COST（r）取最大值COST（j）<- c（j，r）+COST（r）;D(j)<-r;Repeat //向前对j-1进行决策// P（1）<-1; P（k）<-n;
for j<-2 to k-1 do // 找路径上的第j个节点// P（j）<-D(P(j-1));repeat; end FGRAPH
四.程序关键代码
void fgraph(int cost[],int path[],int d[]) //使用向前递推算法求多段图的最长路径{ int r,j,temp,min; for(j=0;j<=n;j++) cost[j]=0; for(j=n-1;j>=1;j--) { temp=0;
min=c[j][temp]+cost[temp]; //初始化大值for(r=0;r<=n;r++) {
if(c[j][r]!=MIN) {
if((c[j][r]+cost[r])<max) //找到最大的r { min=c[j][r]+cost[r]; temp=r;
}
}
}
cost[j]=c[j][temp]+cost[temp];
d[j]=temp; }
path[1]=1; path[k]=n;
for(j=2;j<k;j++)
path[j]=d[path[j-1]];
}
void bgraph(int bcost[],int path1[],int d[])//使用向后递推算法求多段图的最短路径{ int r,j,temp,min; for(j=0;j<=n;j++) bcost[j]=0; for(j=2;j<=n;j++) { temp=12;
min=c[temp][j]+bcost[temp]; //初始化最大值for(r=0;r<=n;r++) {
if(c[r][j]!=MIN) { if((c[r][j]+bcost[r])<max) //找到最大的r {
min=c[r][j]+bcost[r];
temp=r;
} } }
bcost[j]=c[temp][j]+bcost[temp]; d[j]=temp;
}
path1[1]=1; path1[k]=n;
for(int i=4;i>=2;i--) { path1[i]=d[path1[i+1]];
}
void main()
{
int cur=-1; int cost[13],d[12],bcost[13]; int path[k]; int path1[k];
cout<<"\t\t\t动态规划解多段图问题"<<endl; cout<<"\n\n"; init(cost);
fgraph(cost,path,d);
cout<<"输出使用向前递推算法后的最长路径:\n\n"; for(int i=1;i<=5;i++) { cout<<path[i]<<" ";
}
cout<<"\n";
cout<<endl<<"最长路径为长度:"<<cost[1]<<endl;
cout<<"\n";
cout<<"\n输出使用向后递推算法后的最长路径:\n\n"; bgraph(bcost,path1,d); for(i=1;i<=5;i++) { cout<<path1[i]<<" ";
}
cout<<"\n"; cout<<endl<<"最长路径为长度:"<<bcost[12]<<endl;
cout<<"\n";
实验小结
动态规划最长路径问题和动态规划的最短路径很相似，我们用递归的的方法，递推最优化的最长路径长度，让时间复杂度更为简单，我们再设计算法时，也要注意怎样实现这个过程，如何找到它的前驱结点和后继结点，我们通过连接矩阵或你连接表的方式查找。