平面直角坐标系中的规律探索类问题

2017年11月14日平面直角坐标系中的规律探索专题训练一．选择题（共39小题）1．我们把1，1，2，3，5，8，13，21，…这组数称为斐波那契数列，为了进一步研究，依次以这列数为半径作90°圆弧，，，…得到斐波那契螺旋线，然后顺次连结P 1P 2，P 2P 3，P 3P 4，…得到螺旋折线（如图），已知点P 1（0，1），P 2（﹣1，0），P 3（0，﹣1），则该折线上的点P 9的坐标为（ ）A ．（﹣6，24）B ．（﹣6，25）C ．（﹣5，24）D ．（﹣5，25）2．如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O 1、O 2、O 3，…组成一条平滑的曲线，点P 从原点O 出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第2017秒时，点P 的坐标是（ ）A ．（2016，0）B ．（2017，1）C ．（2017，﹣1）D ．（2018，0）3．如图，动点P 在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点（1，1），第2次接着运动到点（2，0），第3次接着运动到点（3，2），…，按这样的运动规律，经过第2011次运动后，动点P 的坐标是（ ）A ．（2011，0）B ．（2011，1）C ．（2011，2）D ．（2010，0）4．在平面直角坐标系中，正方形A 1B 1C 1D 1、D 1E 1E 2B 2、A 2B 2C 2D 2、D 2E 3E 4B 3…按如图所示的方式放置，其中点B 1在y 轴上，点C 1、E 1、E 2、C 2、E 3、E 4、C 3…在x 轴上，已知正方形A 1B 1C 1D 1的边长为l ，∠B 1C 1O=60°，B 1C 1∥B 2C 2∥B 3C 3…，则正方形A 2017B 2017C 2017D 2017的边长是（ ）A ．（）2016B ．（）2017C ．（）2016D ．（）20175．如图，正方形ABCD的四个顶点在坐标轴上，A点坐标为（3，0），假设有甲、乙两个物体分别由点A同时出发，沿正方形ABCD的边作环绕运动，物体甲按逆时针方向匀速运动，物体乙按顺时针方向匀速运动，如果甲物体12秒钟可环绕一周回到A点，乙物体24秒钟可环绕一周回到A点，则两个物体运动后的第2017次相遇地点的坐标是（）A．（3，0）B．（﹣1，2）C．（﹣3，0）D．（﹣1，﹣2）6．正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…按如图所示放置，点A1，A2，A3，和点C 1，C2，C3，…，分别在直线y=kx+b（k＞0）和x轴上，已知点B1，B2，B3，B4的坐标分别为（1，1）（3，2），（7，4），（15，8），则Bn的坐标是（）A．（2n﹣1，2n﹣1）B．（2n，2n﹣1）C．（2n﹣1，2n）D．（2n﹣1﹣1，2n﹣1）7．在平面直角坐标系中，若干个半径为1的单位长度，圆心角为60°的扇形组成一条连续的曲线，点P从原点O出发，向右沿这条曲线做上下起伏运动（如图），点P在直线上运动的速度为每秒1个单位长度，点P在弧线上运动的速度为每秒个单位长度，则2017秒时，点P的坐标是（）A．（，）B．（，﹣）C．（2017，）D．（2017，﹣）8．如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形OA1B1C1的两边在坐标轴上，以它的对角线OB1为边作正方形OB1B2C2，再以正方形OB1B2C2的对角线OB2为边作正方形OB2B3C3，以此类推…则正方形OB2016B2017C2017的顶点B2017的坐标是（）A．（21008，0）B．（21008，21008）C．（0，21008）D．（21007，21007）9．如图，半径为2的正六边形ABCDEF的中心在坐标原点O，点P从点B出发，沿正六边形的边按顺时针方向以每秒2个单位长度的速度运动，则第2017秒时，点P的坐标是（）A．（1，）B．（﹣1，﹣） C．（1，﹣）D．（﹣1，）10．如图，△A1A2A3，△A4A5A6，△A7A8A9…，△A3n﹣2A3n﹣1A3n（n为正整数）均为等边三角形，它们的边长依次为2，4，6，…，2n，顶点A3，A6，A9…A3n均在y轴上，点O是所有等边三角形的中心，则点 A2016的坐标为（）A．（0，448）B．（﹣672，）C．（0，）D．（0，）11．如图，点A（0，1），点B（﹣，0），作OA1⊥AB，垂足为A1，以OA1为边作Rt△A1OB1，使∠A1OB1=90°，∠B1=30°，作OA2⊥A1B1，垂足为A2，再以OA2为边作Rt△A2OB2，使∠A2OB2=90°，∠B2=30°，…，以同样的作法可得到Rt△AnOBn，则当n=2017时，点A2017的纵坐标为（）A．（）2017B．﹣（）2017C．（）2018D．﹣（）201812．如图，在平面直角坐标系中xOy中，已知点A（0，1），以OA为边在右侧作等边三角形OAA1，再过点A1作x轴的垂线，垂足为点O1，以O1A1为边在右侧作等边三角形O1A1A2；…按此规律继续作下去，得到等边三角形O2016A2016A2017，则点A2017的纵坐标为（）A．（）2017B．（）2016C．（）2015D．（）201413．如图，动点P从（0，3）出发，沿所示方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第2017次碰到矩形的边时，此时点P的坐标为（）A．（0，3）B．（3，0）C．（1，4）D．（7，2）14．在平面直角坐标系中，正方形A1B1C1D1、D1E1E2B2、A2B2C2D2、D2E3E4B3…按如图所示的方式放置，其中点B1在y轴上，点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3…在x轴上，已知正方形A 1B 1C 1D 1的边长为1，∠B 1C 1O=60°，B 1C 1∥B 2C 2∥B 3C 3…则正方形A 2017B 2017C 2017D 2017的边长是（ ）A ．（）2016B ．（）2017C ．（）2016D ．（）201715．如图，在一个单位为1的方格纸上，△A 1A 2A 3，△A 3A 4A 5，△A 5A 6A 7，…，是斜边在x 轴上、斜边长分别为2，4，6，…的等腰直角三角形．若△A 1A 2A 3的顶点坐标分别为A 1（2，0），A 2（1，﹣1），A 3（0，0），则依图中所示规律，A 2017的横坐标为（ ）A ．1010B ．2C ．1D ．﹣100616．如图，点A （2，0），B （0，2），将扇形AOB 沿x 轴正方向做无滑动的滚动，在滚动过程中点O 的对应点依次记为点O 1，点O 2，点O 3…，则O 10的坐标是（ ）A ．（16+4π，0）B ．（14+4π，2）C ．（14+3π，2）D ．（12+3π，0） 17．如图，在平面直角坐标系中，∠AOB=30°，点A 的坐标为（2，0），过点A 作AA 1⊥OB ，垂足为点A 1，过A 1作A 1A 2⊥x 轴，垂足为点A 2；再过点A 2作A 2A 3⊥OB ，垂足为点A 3；再过点A 3作A 3A 4⊥x 轴，垂足为点A 4…；这样一直作下去，则A 2017的横坐标为（ ）A ．•（）2015B ．•（）2016C ．•（）2017D ．•（）201818．如图，点O （0，0），A （0，1）是正方形OAA 1B 的两个顶点，以OA 1对角线为边作正方形OA 1A 2B 1，再以正方形的对角线OA 2作正方形OA 1A 2B 1，…，依此规律，则点A 8的坐标是（ ）A．（﹣8，0）B．（0，8）C．（0，8）D．（0，16）19．在平面直角坐标系中，把△ABC先沿x轴翻折，再向右平移3个单位得到△A 1B1C1现把这两步操作规定为一种变换．如图，已知等边三角形ABC的顶点B、C的坐标分别是（1，1）、（3，1），把三角形经过连续5次这种变换得到三角形△A 5B5C5，则点A的对应点A5的坐标是（）A．（5，﹣）B．（14，1+）C．（17，﹣1﹣）D．（20，1+）20．如图，正方形ABCD的边长为1，电子蚂蚁P从点A分别以1个单位/秒的速度顺时针绕正方形运动，电子蚂蚁Q从点A以3个单位/秒的速度逆时针绕正方形运动，则第2017次相遇在（）A．点 A B．点B C．点C D．点D21．如图，矩形BCDE的各边分别平行于x轴与y轴，物体甲和物体乙由点A（2，0）同时出发，沿矩形BCDE的边作环绕运动，物体甲按逆时针方向以1个单位/秒匀速运动，物体乙按顺时针方向以2个单位/秒匀速运动，则两个物体运动后的第2018次相遇地点的坐标是（）A．（1，﹣1）B．（2，0）C．（﹣1，1）D．（﹣1，﹣1）22．如图，在平面直角坐标系xOy中，点P（1，0）．点P第1次向上跳动1个单位至点P1（1，1），紧接着第2次向左跳动2个单位至点P2（﹣1，1），第3次向上跳动1个单位至点P3，第4次向右跳动3个单位至点P4，第5次又向上跳动1个单位至点P5，第6次向左跳动4个单位至点P6，…．照此规律，点P第100次跳动至点P100的坐标是（）A．（﹣26，50）B．（﹣25，50）C．（26，50）D．（25，50）23．在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y），我们把点P′（﹣y+1，x+1）叫做点P伴随点，已知点A1的伴随点为A2，点A2的伴随点为A3，点A3的伴随点为A4，…，这样依次得到点A1，A2，A3，…，An，…．若点A1的坐标为（3，1），则点A2017的坐标为（）A ．（0，4）B ．（﹣3，1）C ．（0，﹣2）D ．（3，1）24．如图，在平面直角坐标系中，以原点O 为圆心的同心圆的半径由向外依次为1，2，3，4，…，同心圆与直线y=x 和y=﹣x 分别交于A 1，A 2，A 3，A 4，…，则A 30的坐标是（ ）A ．（4，﹣4）B ．（﹣4，4）C ．（﹣8，8）D ．（30，30）25．如图，在平面直角坐标系中，每个最小方格的边长均为1个单位长度，P 1，P 2，P 3，…均在格点上，其顺序按图中“→”方向排列，如：P 1（0，0），P 2（0，1），P 3（1，1），P 4（1，﹣1），P 5（﹣1，﹣1），P 6（﹣1，2）…根据这个规律，点P 2017的坐标为（ ）A ．（﹣504，﹣504）B ．（﹣505，﹣504）C ．（504，﹣504）D ．（﹣504，505）26．对有序数对（x ，y ）的一次操作变换记为P 1（x ，y ），定义其变换法则如下：P 1（x ，y ）=（x+y ，x ﹣y ），且规定P m （x ，y ）=P 1（P m ﹣1（x ﹣y ））（n 为大于1的整数）．如P 1（1，2）=（3，﹣1），P 2（1，2）=P 1（P 1（1，2））=P 1（3，﹣1）=（2，4），P 3（1，2）=P 1（P 2（1，2））=P 1（2，4）=（6，﹣2）．则P 2010（1，﹣1）=（ ）A ．（0，21007）B ．（21007，﹣21007）C ．（21005，﹣21005）D ．（0，21008）27．如图，点A 1的坐标为（1，0），A 2在y 轴的正半轴上，且∠A 1A 2O=30°，过点A 2作A 2A 3⊥A 1A 2，垂足为A 2，交x 轴于点A 3；过点A 3作A 3A 4⊥A 2A 3，垂足为A 3，交y 轴于点A 4；过点A 4作A 4A 5⊥A 3A 4，垂足为A 4，交x 轴于点A 5；过点A 5作A 5A 6⊥A 4A 5，垂足为A 5，交y 轴于点A 6；…按此规律进行下去，则点A 2017的横坐标是（ ）A ．（）2015B ．﹣（）2015C ．﹣（）2016D ．（）201628．如图，在平面直角坐标系中，从点P 1（﹣1，0），P 2（﹣1，﹣1），P 3（1，﹣1），P 4（1，1），P 5（﹣2，1），P 6（﹣2，﹣2），…依次扩展下去，则P 2017的坐标为（ ）A．（504，﹣504）B．（﹣504，504）C．（﹣504，503）D．（﹣505，504）29．如图，矩形ABCD的两边BC、CD分别在x轴、y轴上，点C与原点重合，点A（﹣1，2），将矩形ABCD沿x轴向右翻滚，经过一次翻滚点A对应点记为A1，经过第二次翻滚点A对应点记为A2…依此类推，经过5次翻滚后点A对应点A5的坐标为（）A．（5，2）B．（6，0）C．（8，0）D．（8，1）30．如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（3，2），（3，1），（3，0），（4，0）．根据这个规律探索可得，第50个点的坐标为（）A．（10，5）B．（9，3）C．（10，4）D．（50，0）31．正方形的边长依次为2，4，6，8，…，它们在直角坐标系中的位置如图所示，其中A1（1，1），A2（﹣1，1），A3（﹣1，﹣1），A4（1，﹣1），A5（2，2），A 6（﹣2，2），A7（﹣2，﹣2），A8（2，﹣2），A9（3，3），A10（﹣3，3），…，按此规律排下去，则A2016的坐标为（）A．（﹣504，﹣504）B．（504，﹣504）C．（﹣504，504）D．（504，504）32．如图，一个粒子在第一象限及x、y轴上运动，在第一分钟它从原点O运动到（1，0），而后它接着按图所示在与x轴、y轴平行的方向上来回运动，且每分钟移动1个长度单位，那么2017分钟后这个粒子所处的位置是（）A．（7，45）B．（8，44）C．（44，7）D．（45，8）33．观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，可知，数2016应标在（ ）A ．第504个正方形的左下角B ．第504个正方形的右下角C ．第505个正方形的左上角D ．第505个正方形的右下角34．如图，在平面直角坐标系xOy 中，Rt △OA 1C 1，Rt △OA 2C 2，Rt △OA 3C 3，Rt △OA 4C 4…的斜边都在坐标轴上，∠A 1OC 1=∠A 2OC 2=∠A 3OC 3=∠A 4OC 4…=30°．若点A 1的坐标为（3，0），OA 1=OC 2，OA 2=OC 3，OA 3=OC 4…，则依次规律，点A 2016的纵坐标为（ ）A ．0B ．﹣3×（）2015C ．（2）2016D ．3×（）201535．如图，点A （1，0）第一次跳动至点A 1（﹣1，1），第二次跳动至点A 2（2，1），第三次跳动至点A 3（﹣2，2），第四次跳动至点A 4（3，2），…，依此规律跳动下去，点A 第102次跳动至点A 102的坐标是（ ）A ．（﹣50，50）B ．（﹣51，51）C ．（52，51）D ．（51，50）36．如图，在平面直角坐标系中，有若干个横纵坐标分别为整数的点，其顺序为（1，0）、（2，0）、（2，1）、（1，1）、（1，2）、（2，2）、…根据这个规律，第2016个点的坐标为（ ）A ．（45，13）B ．（45，9）C ．（45，22）D ．（45，0）37．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A （1，0），B （2，0），正六边形ABCDEF 沿x 轴正方向无滑动滚动，保持上述运动过程，经过的正六边形的顶点是（ ）A．C或E B．B或D C．A或C D．B或F38．如图，在直角坐标系中，已知点A（﹣3，0）、B（0，4），对△OAB连续作旋转变换，依次得到△1、△2、△3、△4、…，△16的直角顶点的坐标为（）A．（60，0）B．（72，0）C．（67，）D．（79，）39．如图，将边长为1的正方形OAPB沿x轴正方向边连续翻转2006次，点P依次落在点P1，P2，P3…P2006的位置，则P2006的横坐标x2006为（）A．2005 B．2006 C．2007 D．不能确定2017年11月14日平面直角坐标系中的规律探索专题训练参考答案与试题解析一．选择题（共39小题）1．我们把1，1，2，3，5，8，13，21，…这组数称为斐波那契数列，为了进一步研究，依次以这列数为半径作90°圆弧，，，…得到斐波那契螺旋线，然后顺次连结P1P2，P2P3，P3P4，…得到螺旋折线（如图），已知点P1（0，1），P2（﹣1，0），P3（0，﹣1），则该折线上的点P9的坐标为（）A．（﹣6，24） B．（﹣6，25） C．（﹣5，24） D．（﹣5，25）【分析】观察图象，推出P9的位置，即可解决问题．【解答】解：由题意，P5在P2的正上方，推出P9在P6的正上方，且到P6的距离=21+5=26，所以P9的坐标为（﹣6，25），故选B．【点评】本题考查规律型：点的坐标等知识，解题的关键是理解题意，确定P9的位置．2．如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O1、O2、O3，…组成一条平滑的曲线，点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第2017秒时，点P的坐标是（）A．（2016，0） B．（2017，1） C．（2017，﹣1）D．（2018，0）【分析】以时间为点P的下标，根据半圆的半径以及部分点P的坐标可找出规律“P4n （n，0），P4n+1（4n+1，1），P4n+2（4n+2，0），P4n+3（4n+3，﹣1）”，依此规律即可得出第2017秒时，点P的坐标．【解答】解：以时间为点P的下标．观察，发现规律：P 0（0，0），P 1（1，1），P 2（2，0），P 3（3，﹣1），P 4（4，0），P 5（5，1），…，∴P 4n （n ，0），P 4n+1（4n+1，1），P 4n+2（4n+2，0），P 4n+3（4n+3，﹣1）． ∵2017=504×4+1，∴第2017秒时，点P 的坐标为（2017，1）． 故选B【点评】本题考查了规律型中点的坐标，解题的关键是找出点P 的变化规律“P 4n （n ，0），P 4n+1（4n+1，1），P 4n+2（4n+2，0），P 4n+3（4n+3，﹣1）”．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据圆的半径及时间罗列出部分点P 的坐标，根据坐标发现规律是关键．3．如图，动点P 在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点（1，1），第2次接着运动到点（2，0），第3次接着运动到点（3，2），…，按这样的运动规律，经过第2011次运动后，动点P 的坐标是（ ）A ．（2011，0）B ．（2011，1）C ．（2011，2）D ．（2010，0）【分析】观察不难发现，点的横坐标等于运动的次数，纵坐标每4次为一个循环组循环，用2011除以4，余数是几则与第几次的纵坐标相同，然后求解即可． 【解答】解：∵第1次运动到点（1，1），第2次运动到点（2，0），第3次接着运动到点（3，2），第4次运动到点（4，0），第5次运动到点（5，1）…， ∴运动后点的横坐标等于运动的次数， 第2011次运动后点P 的横坐标为2011，纵坐标以1、0、2、0每4次为一个循环组循环， ∵2011÷4=502…3，∴第2011次运动后动点P 的纵坐标是第503个循环组的第3次运动，与第3次运动的点的纵坐标相同，为2， ∴点P （2011，2）． 故选C ．【点评】本题是对点的坐标的规律的考查，根据图形观察出点的横坐标与纵坐标的变化规律是解题的关键．4．在平面直角坐标系中，正方形A 1B 1C 1D 1、D 1E 1E 2B 2、A 2B 2C 2D 2、D 2E 3E 4B 3…按如图所示的方式放置，其中点B 1在y 轴上，点C 1、E 1、E 2、C 2、E 3、E 4、C 3…在x 轴上，已知正方形A 1B 1C 1D 1的边长为l ，∠B 1C 1O=60°，B 1C 1∥B 2C 2∥B 3C 3…，则正方形A 2017B 2017C 2017D 2017的边长是（ ）A ．（）2016B ．（）2017C ．（）2016D ．（）2017【分析】利用正方形的性质结合锐角三角函数关系得出正方形的边长，进而得出变化规律即可得出答案．【解答】解：∵正方形A 1B 1C 1D 1的边长为1，∠B 1C 1O=60°，B 1C 1∥B 2C 2∥B 3C 3， ∴D 1E 1=B 2E 2，D 2E 3=B 3E 4，∠D 1C 1E 1=∠C 2B 2E 2=∠C 3B 3E 4=30°， ∴D 1E 1=C 1D 1sin30°=， 则B 2C 2===（）1， 同理可得：B 3C 3==（）2，故正方形A n B n C n D n 的边长是：（）n ﹣1， 则正方形A 2017B 2017C 2017D 2017的边长为：（）2016， 故选：C ．【点评】此题主要考查了正方形的性质以及锐角三角函数关系，得出正方形的边长变化规律是解题关键．5．如图，正方形ABCD 的四个顶点在坐标轴上，A 点坐标为（3，0），假设有甲、乙两个物体分别由点A 同时出发，沿正方形ABCD 的边作环绕运动，物体甲按逆时针方向匀速运动，物体乙按顺时针方向匀速运动，如果甲物体12秒钟可环绕一周回到A点，乙物体24秒钟可环绕一周回到A点，则两个物体运动后的第2017次相遇地点的坐标是（）A．（3，0）B．（﹣1，2）C．（﹣3，0）D．（﹣1，﹣2）【分析】由甲、乙两物体单独环绕一周的时间即可算出两物体每两次相遇间的间隔时间，根据2017×8=24×672+8即可得出两个物体运动后的第2017次相遇地点为乙物体第8秒运动到的位置，结合图形找出乙物体第8秒运动到点的坐标即可得出结论．【解答】解：甲、乙两物体两次相遇间隔为1÷（+）=8（秒），∵2017×8=24×672+8，∴两个物体运动后的第2017次相遇地点为乙物体第8秒运动到的位置．∵乙物体第2秒运动到点（2，﹣1），乙物体第4秒运动到点（1，﹣2），乙物体第6秒运动到点（0，﹣3），乙物体第8秒运动到点（﹣1，﹣2），∴两个物体运动后的第2017次相遇地点的坐标是（﹣1，﹣2）．故选D．【点评】本题考查了规律型中点的坐标，根据两物体的运动找出两物体第2017次相遇地点为乙物体第8秒运动到的位置是解题的关键．6．正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…按如图所示放置，点A1，A2，A3，和点C 1，C2，C3，…，分别在直线y=kx+b（k＞0）和x轴上，已知点B1，B2，B3，B4的坐标分别为（1，1）（3，2），（7，4），（15，8），则Bn的坐标是（）A．（2n﹣1，2n﹣1）B．（2n，2n﹣1）C．（2n﹣1，2n）D．（2n﹣1﹣1，2n﹣1）【分析】设B n 的坐标为（x n ，y n ），根据点B 1，B 2，B 3，B 4坐标的变化找出变化规律“B n 的坐标为（2n ﹣1，2n ﹣1）”，此题得解． 【解答】解：设B n 的坐标为（x n ，y n ）， ∵y 1=1，y 2=2，y 3=4，y 4=8， ∴y n =2n ﹣1；∵1=2×1﹣1，3=2×2﹣1，7=2×4﹣1，15=2×8﹣1， ∴x n =2y n ﹣1=2n ﹣1．∴B n 的坐标为（2n ﹣1，2n ﹣1）． 故选A ．【点评】本题考查了规律型中点的坐标的变化，根据点的坐标的变化找出变化规律是解题的关键．7．在平面直角坐标系中，若干个半径为1的单位长度，圆心角为60°的扇形组成一条连续的曲线，点P 从原点O 出发，向右沿这条曲线做上下起伏运动（如图），点P 在直线上运动的速度为每秒1个单位长度，点P 在弧线上运动的速度为每秒个单位长度，则2017秒时，点P 的坐标是（ ）A ．（，）B ．（，﹣）C ．（2017，）D ．（2017，﹣）【分析】设第n 秒运动到P n （n 为自然数）点，根据点P 的运动规律找出部分P n 点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律“P 4n+1（，），P 4n+2（2n+1，0），P 4n+3（，﹣），P 4n+4（2n+2，0）”，依此规律即可得出结论． 【解答】解：设第n 秒运动到P n （n 为自然数）点，观察，发现规律：P 1（，），P 2（1，0），P 3（，﹣），P 4（2，0），P 5（，），…， ∴P 4n+1（，），P 4n+2（n+1，0），P 4n+3（，﹣），P 4n+4（2n+2，0）． ∵2017=4×504+1， ∴P 2017为（，）． 故选A ．【点评】本题考查了规律型中的点的坐标，解题的关键是找出变化规律，本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据运动的规律找出点的坐标，根据坐标的变化找出坐标变化的规律是关键．8．如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形OA1B1C1的两边在坐标轴上，以它的对角线OB1为边作正方形OB1B2C2，再以正方形OB1B2C2的对角线OB2为边作正方形OB2B3C3，以此类推…则正方形OB2016B2017C2017的顶点B2017的坐标是（）A．（21008，0）B．（21008，21008）C．（0，21008）D．（21007，21007）【分析】根据给定图形结合正方形的性质可得出，点B1、B2、B3、B4、B5、…、的坐标，观察点的坐标可得知，下标为奇数的点的坐标的横纵坐标的绝对值依此为前一个点的横纵坐标绝对值的2倍，且4次一循环，由此即可得出B8n+1（24n，24n）（n为自然数），依此规律即可得出结论．【解答】解：观察，发现：B1（1，1），B2（0，2），B3（﹣2，2），B4（﹣4，0），B 5（﹣4，﹣4），B6（0，﹣8），B7（8，﹣8），B8（16，0），B9（16，16），…，∴B8n+1（24n，24n）（n为自然数）．∵2017=8×252+1，∴点B2017的坐标为（21008，21008）．故选：B．【点评】本题考查了规律型中点的坐标以及正方形的性质，根据点的坐标的变化找出变化规律“B8n+1（24n，24n）（n为自然数）”是解题的关键．9．如图，半径为2的正六边形ABCDEF的中心在坐标原点O，点P从点B出发，沿正六边形的边按顺时针方向以每秒2个单位长度的速度运动，则第2017秒时，点P的坐标是（）A．（1，）B．（﹣1，﹣） C．（1，﹣）D．（﹣1，）【分析】由于2017=6×336+1，则可判断第2017秒时，点P运动到点C，作CH ⊥x轴于H，如图，根据正六边形的性质得到OB=BC=1，∠BCD=120°，所以∠BCH=30°，再通过解直角三角形求出CH和BH，然后写出C点坐标即可．【解答】解：∵2017=6×336+1，∴第2017秒时，点P运动到点C，作CH⊥x轴于H，如图，∵六边形ABCDEF是半径为1的正六边形，∴OB=BC=2，∠BCD=120°，∴∠BCH=30°，在Rt△BCH中，BH=BC=1，CH=BH=，∴OH=OB﹣BH=1，∴C点坐标为（1，﹣），∴第2017秒时，点P的坐标是（1，﹣）．故选C．【点评】本题考查了规律型：点的坐标：利用正多边形的性质确定动点的运动规律，熟记正多边形以及解直角三角形的有关知识是解题的关键．10．如图，△A1A2A3，△A4A5A6，△A7A8A9…，△A3n﹣2A3n﹣1A3n（n为正整数）均为等边三角形，它们的边长依次为2，4，6，…，2n，顶点A3，A6，A9…A3n均在y轴上，点O是所有等边三角形的中心，则点 A2016的坐标为（）A．（0，448）B．（﹣672，）C．（0，）D．（0，）【分析】先关键等边三角形的性质和已知条件得出A3的坐标，根据每一个三角形有三个顶点确定出A2016所在的三角形，再求出相应的三角形的边长以及A2016的纵坐标的长度，即可得解．【解答】解：∵△A1A2A3为等边三角形，边长为2，点A3，A6，A9，…，A3n均在y轴上，点O是所有等边三角形的中心，∴A3的坐标为（0，），∵2016÷3=672，∴A2016是第672个等边三角形的第3个顶点，∴点A2016的坐标为（0，×），即点A2016的坐标为（0，448）；故选：C．【点评】本题是点的变化规律的考查，主要利用了等边三角形的性质，确定出点A 3和A2016所在三角形是解题的关键．11．如图，点A（0，1），点B（﹣，0），作OA1⊥AB，垂足为A1，以OA1为边作Rt△A1OB1，使∠A1OB1=90°，∠B1=30°，作OA2⊥A1B1，垂足为A2，再以OA2为边作Rt△A2OB2，使∠A2OB2=90°，∠B2=30°，…，以同样的作法可得到Rt△AnOBn，则当n=2017时，点A2017的纵坐标为（）A．（）2017B．﹣（）2017C．（）2018D．﹣（）2018【分析】由每次旋转30°可知，点所在的射线以12为周期循环，所以A2017在射线OA1上，故排除B、D，再找到三角形的变化规律即可解题．【解答】解：在Rt△AOB中，OA=1，OB=，∴∠ABO=30°，∵OA1⊥AB，∴A1O=OB=，∠AOA1=30°，可知每次逆时针旋转30°，点所在的射线以12为周期循环，∵且每次旋转后，原三角形的高变新的直角边，∴三角形依次减小，且相似比为，2017÷12=168…余1，所以当n=2017时，点A2017的纵坐标与A1的纵坐标在同一条射线上，且OA2017=，过点A1作A1E⊥OB于E，∴∠EA1O=30°，∴OE=A1O=，A1的纵坐标=A1E=（）2=OA1，点A2017的纵坐标为OA2017=，故选C．【点评】本题考查了含30°直角三角形的性质，考查了相似三角形规律的发现，本题中根据相似比求OA2017的长是解题的关键．12．如图，在平面直角坐标系中xOy中，已知点A（0，1），以OA为边在右侧作等边三角形OAA1，再过点A1作x轴的垂线，垂足为点O1，以O1A1为边在右侧作等边三角形O1A1A2；…按此规律继续作下去，得到等边三角形O2016A2016A2017，则点A2017的纵坐标为（）A．（）2017B．（）2016C．（）2015D．（）2014【分析】根据30°角所对的直角边等于斜边的一半得出O1A1=OA1=，O2A2=O1A2=（）2，O3A3=O2A3=（）3，即点A1的纵坐标为；点A2的纵坐标为（）2，点A3的纵坐标为（）3，以此类推，从中得出规律，即可求出答案．【解答】解：∵三角形OAA1是等边三角形，∴OA1=OA=1，∠AOA1=60°，∴∠O1OA1=30°．在直角△O1OA1中，∵∠OO1A1=90°，∠O1OA1=30°，∴O1A1=OA1=，即点A1的纵坐标为；同理，O2A2=O1A2=（）2，O3A3=O2A3=（）3，即点A2的纵坐标为（）2，点A3的纵坐标为（）3，…∴点A2017的纵坐标为（）2017．故选A．【点评】此题考查了规律型：点的坐标，等边三角形的性质，解答此题的关键是通过认真分析，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，从中发现规律．13．如图，动点P从（0，3）出发，沿所示方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第2017次碰到矩形的边时，此时点P的坐标为（）A ．（0，3）B ．（3，0）C ．（1，4）D ．（7，2）【分析】动点的反弹与光的反射入射是一个道理，根据反射角与入射角的定义可以在格点中作出图形，可以发现，在经过6次反射后，动点回到起始的位置，将2017除以6得到336，且余数为1，说明点P 第2017次碰到矩形的边时为第337个循环组的第1次反弹，因此点P 的坐标为（3，0）． 【解答】解：如图，根据反射角与入射角的定义作出图形，根据图形可以得到：每6次反弹为一个循环组依次循环，经过6次反弹后动点回到出发点（0，3）， ∵2017÷6=336…1，当点P 第2017次碰到矩形的边时为第337个循环组的第1次反弹，点P 的坐标为（3，0）． 故选B ．【点评】此题主要考查了点的坐标的规律，作出图形，观察出每6次反弹为一个循环组依次循环是解题的关键．14．在平面直角坐标系中，正方形A 1B 1C 1D 1、D 1E 1E 2B 2、A 2B 2C 2D 2、D 2E 3E 4B 3…按如图所示的方式放置，其中点B 1在y 轴上，点C 1、E 1、E 2、C 2、E 3、E 4、C 3…在x 轴上，已知正方形A 1B 1C 1D 1的边长为1，∠B 1C 1O=60°，B 1C 1∥B 2C 2∥B 3C 3…则正方形A 2017B 2017C 2017D 2017的边长是（ ）A ．（）2016B ．（）2017C ．（）2016D ．（）2017【分析】利用正方形的性质结合锐角三角函数关系得出正方形的边长，进而得出变化规律即可得出答案．【解答】解：∵正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O=60°，B1C1∥B2C2∥B3C3，∴D1E1=B2E2，D2E3=B3E4，∠D1C1E1=∠C2B2E2=∠C3B3E4=30°，∴D1E1=C1D1sin30°=，则B2C2===（）1，同理可得：B3C3==（）2，故正方形An BnCnDn的边长是：（）n﹣1，则正方形A2017B2017C2017D2017的边长为：（）2016，故选：A．【点评】此题主要考查了正方形的性质以及锐角三角函数关系，得出正方形的边长变化规律是解题关键．15．如图，在一个单位为1的方格纸上，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7，…，是斜边在x轴上、斜边长分别为2，4，6，…的等腰直角三角形．若△A1A2A3的顶点坐标分别为A1（2，0），A2（1，﹣1），A3（0，0），则依图中所示规律，A2017的横坐标为（）A．1010 B．2 C．1 D．﹣1006【分析】根据图形先确定出A2017是第1008个与第1009个等腰直角三角形的公共点，再写出前几个三角形的相应的点的横坐标，从而得到点的横坐标的变化规律，然后写出即可．【解答】解：∵A3是第一与第二个等腰直角三角形的公共点，A5是第二与第三个等腰直角三角形的公共点，A7是第三与第四个等腰直角三角形的公共点，A9是第四与第五个等腰直角三角形的公共点，…，∵2017=1008×2+1，∴A2017是第1008个与第1009个等腰直角三角形的公共点，∴A2017在x轴正半轴，∵OA5=4，OA9=6，OA13=8，…，∴OA2017=（2017+3）÷2=1010，∴点A2017的坐标为（1010，0）．故选：A．【点评】本题考查了点的坐标规律的变化，仔细观察图形，先确定点A2017是第1008个与第1009个等腰直角三角形的公共点并确定出在x轴正半轴是解题的关键．16．如图，点A（2，0），B（0，2），将扇形AOB沿x轴正方向做无滑动的滚动，在滚动过程中点O的对应点依次记为点O1，点O2，点O3…，则O10的坐标是（）A．（16+4π，0）B．（14+4π，2）C．（14+3π，2）D．（12+3π，0）【分析】由点A（2，0），B（0，2），得到OA=2，OB=2，∠AOB=90°，根据弧长的计算公式得到的长度==π，得到O1O2=的长度=π，于是得到结论．【解答】解：∵点A（2，0），B（0，2），∴OA=2，OB=2，∠AOB=90°，∴的长度==π，∵将扇形AOB沿x轴正方向做无滑动的滚动，∴O1O2=的长度=π，∴点O1（2，2），点O2（2+π，2），点O3（4+π，0），点O4（6+π，2），…，∵10÷3=3…1，∴O10的（14+3π，2）．故选C．【点评】本题考查了规律型：点的坐标，主要考查了从滚动中找出规律，根据规律确定坐标对应点是解本题的关键．17．如图，在平面直角坐标系中，∠AOB=30°，点A的坐标为（2，0），过点A作AA1⊥OB，垂足为点A1，过A1作A1A2⊥x轴，垂足为点A2；再过点A2作A2A3⊥OB，垂足为点A3；再过点A3作A3A4⊥x轴，垂足为点A4…；这样一直作下去，则A2017的横坐标为（）A．•（）2015B．•（）2016C．•（）2017D．•（）2018【分析】根据含30°的直角三角形的性质结合图形即可得到规律“OAn=（）n OA=2（）n，依此规律即可解决问题．【解答】解：∵∠AOB=30°，点A坐标为（2，0），∴OA=2，∴OA1=OA=，OA2=OA1═，OA3=OA2═，OA4=OA3═，…，∴OAn=（）n OA=2（）n．∴OA2018=2×（）2018=•（）2016故选B．【点评】本题考查了规律型中点的坐标以及含30度角的直角三角形，利用“在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”结合图形找出变化规律OAn=（）n OA=2（）n是解题的关键．18．如图，点O（0，0），A（0，1）是正方形OAA1B的两个顶点，以OA1对角线为边作正方形OA1A2B1，再以正方形的对角线OA2作正方形OA1A2B1，…，依此规律，则点A8的坐标是（）A．（﹣8，0）B．（0，8）C．（0，8）D．（0，16）【分析】根据题意和图形可看出每经过一次变化，都顺时针旋转45°，边长都乘以，所以可求出从A到A3的后变化的坐标，再求出A1、A2、A3、A4、A5，得出A8即可．【解答】解：根据题意和图形可看出每经过一次变化，都顺时针旋转45°，边长都乘以，∵从A到A3经过了3次变化，∵45°×3=135°，1×（）3=2．∴点A3所在的正方形的边长为2，点A3位置在第四象限．∴点A3的坐标是（2，﹣2）；可得出：A1点坐标为（1，1），A2点坐标为（2，0），A3点坐标为（2，﹣2），A 4点坐标为（0，﹣4），A5点坐标为（﹣4，﹣4），A 6（﹣8，0），A7（﹣8，8），A8（0，16），故选：D．【点评】本题主要考查正方形的性质和坐标与图形的性质的知识点，解答本题的关键是由点坐标的规律发现每经过8次作图后，点的坐标符号与第一次坐标符号相同，每次正方形的边长变为原来的倍，此题难度较大．19．在平面直角坐标系中，把△ABC先沿x轴翻折，再向右平移3个单位得到△A 1B1C1现把这两步操作规定为一种变换．如图，已知等边三角形ABC的顶点B、C的坐标分别是（1，1）、（3，1），把三角形经过连续5次这种变换得到三角形△A 5B5C5，则点A的对应点A5的坐标是（）A．（5，﹣）B．（14，1+）C．（17，﹣1﹣）D．（20，1+）【分析】首先把△ABC先沿x轴翻折，再向右平移3个单位得到△A1B1C1得到点A 1的坐标为（2+3，﹣1﹣），同样得出A2的坐标为（2+3+3，1+），…由此得出A5的坐标为（2+3×5，﹣1﹣），进一步选择答案即可．【解答】解：∵把△ABC先沿x轴翻折，再向右平移3个单位得到△A1B1C1得到点A1的坐标为（2+3，﹣1﹣），同样得出A2的坐标为（2+3+3，1+），…A5的坐标为（2+3×5，﹣1﹣），即（17，﹣1﹣）．故选：C．【点评】此题考查点的坐标变化，解答本题的关键是读懂题意，知道一次变化的定义利用对称和平邑的特点，找出规律解决问题．20．如图，正方形ABCD的边长为1，电子蚂蚁P从点A分别以1个单位/秒的速度顺时针绕正方形运动，电子蚂蚁Q从点A以3个单位/秒的速度逆时针绕正方形运动，则第2017次相遇在（）A．点 A B．点B C．点C D．点D【分析】因为点P的速度是1个单位/秒，点Q的速度是3个单位/秒，正方形ABCD的边长为1，所以第1次相遇，P走了正方形周长的；从第2次相遇起，每次P走了正方形周长的相遇一次，从第2次相遇起，5次一个循环，从而不难求得它们第2017次相遇位置．【解答】解：根据题意分析可得：点P的速度是1个单位/秒，点Q的速度是3个单位/秒，正方形ABCD的边长为1，所以第1次相遇，P走了正方形周长的；从第2次相遇起，每次P走了正方形周长的相遇一次，从第1次相遇起，4次一个循环，因此可得：从第1次相遇起，每次相遇的位置依次是：D，C，B，A依次循环．故它们第2017次相遇位置与第一次相同，在点D上．故答案为：D．【点评】此题考查了正方形的性质以及规律型中点的坐标，找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的是解题的关键．21．如图，矩形BCDE的各边分别平行于x轴与y轴，物体甲和物体乙由点A（2，0）同时出发，沿矩形BCDE的边作环绕运动，物体甲按逆时针方向以1个单位/秒匀速运动，物体乙按顺时针方向以2个单位/秒匀速运动，则两个物体运动后的第2018次相遇地点的坐标是（）A．（1，﹣1）B．（2，0）C．（﹣1，1）D．（﹣1，﹣1）【分析】利用行程问题中的相遇问题，由于矩形的边长为4和2，物体乙是物体甲的速度的2倍，求得每一次相遇的地点，找出规律即可解答．【解答】解：矩形的边长为4和2，因为物体乙是物体甲的速度的2倍，时间相同，物体甲与物体乙的路程比为1：2，由题意知：。