(完整版)平面直角坐标系找规律题型分类汇总解析
专题03 平面直角坐标系(专题详解)(解析版)
专题03 平面直角坐标系专题03 平面直角坐标系 (1)7.1 平面直角坐标系 (2)知识框架 (2)一、基础知识点 (2)知识点1 有序数对 (2)知识点2 平面直角坐标系 (2)知识点3 点的坐标特点 (3)二、典型题型 (6)题型1 有序数对 (6)题型2 平面直角坐标系的概念 (6)题型3 点的坐标的特征 (6)一、点的位置与坐标 (7)二、点的坐标与距离 (8)三、点的坐标与平行于坐标轴的直线（数形结合思想） (8)四、点的坐标与图形的面积 (9)（1）知坐标，求面积 (9)（2）知面积，求坐标（方程思想） (10)（3）分类讨论 (12)三、难点题型 (14)题型1 确定点所在的象限 (14)题型2 点到坐标轴的距离 (14)题型3 探究平面直角坐标系坐标的变化规律 (15)7.2 坐标系的简单运用 (17)知识框架 (17)一、基础知识点 (17)知识点1 用坐标表示地理位置 (17)知识点2 用坐标表示平移 (18)二、典型题型 (20)题型1 用坐标表示地理位置 (20)题型2 用坐标表示平移 (21)一、点的平移 (21)（1）已知点和平移方式，求对应点 (21)（2）已知点和对应点，求平移方式 (21)二、图形的平移 (22)三、难点题型 (23)题型1 动点问题 (23)7.1 平面直角坐标系知识框架{基础知识点{有序数对平面直角坐标系点的坐标的特点典型题型{ 有序数对平面直角坐标系的概念点的坐标的特征{ 点的位置与坐标点的坐标与距离点的坐标与平行于坐标轴的直线（数形结合思想）点的坐标与图形的面积{知坐标，求面积知面积，求坐标（方程思想）分类讨论难点题型{确定点所在的象限点到坐标轴的距离探究平面直角坐标系坐标的变化规律 一、基础知识点知识点1 有序数对1）我们把有顺序的两个数a 与b 组成的数对，用于表示平面中某一确定位置的，叫作有序数对，记作（a ，b ）注：①（a ，b ）与（b ，a ）表达的含义不同，注意有序数对的顺序②在表达有序数对时，一般行在前，列在后。
(完整版)平面直角坐标系知识点归纳及例题
X平面直角坐标系知识点归纳1、在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成了平面直角坐标系;2、坐标平面上的任意一点 P 的坐标，都和惟一的一对有序实数对（a,b ）一一对应；其中，a 为横坐标，b 为纵坐标坐标；3、 x 轴上的点，纵坐标等于 0; y 轴上的点，横坐标等于 0； 坐标轴上的点 不属于任何象限;4、 四个象限的点的坐标具有如下特征：小结：（1 ）点P （ x, y ）所在的象限 —►横、纵坐标X 、y 的取值的正负性;（2 ）点P （ X, y ）所在的数轴 —*■横、纵坐标X 、y 中必有一数为零；5、 在平面直角坐标系中，已知点p （a,b ），则（1） 点P 到X 轴的距离为b ；（ 2 ）点P 到y 轴的距离为（3） 点P 到原点o 的距离为PO = .a 2 b 26、 平行直线上的点的坐标特征：a ）在与x 轴平行的直线上，所有点的纵坐标相等;b ）在与y 轴平行的直线上，所有点的横坐标相等;d bJ_____ P(a,b) 1____________ 1-3 -2 -1 0 -1-2 -31a X点A 、B 的纵坐标都等于m ；象限 横坐标X 纵坐标y 第一象限 正 正 第二象限 负 正 第三象限负 负 第四象限正负点C、D的横坐标都等于n ；X7、对称点的坐标特征:8、两条坐标轴夹角平分线上的点的坐标的特征：a) 若点P ( m,n )在第一、三象限的角平分线上，则 b)若点P ( m,n )在第二、四象限的角平分线上，则习题1、在平面直角坐标系中，线段 BC// x 轴，则 A.点B 与C 的横坐标相等 BC •点B 与C 的横坐标与纵坐标分别相等D 2 •若点P (x, y)的坐标满足xy 0则点P 必在A.原点 B . x 轴上 C . y 轴上 D . x 轴或y 轴上 3.点P在x 轴上，且到y 轴的距离为5,则点P 的坐标是 (A. (5,0) B . (0,5) C . (5,0)或(-5,0) D . (0,5)或(0,-5) 4.平面上的点(2,-1)通过上下平移不能与之重合的是 (A . (2,-2)B . (-2,-1)C . (2,0)D . 2,-3)5. 将△ ABC 各顶点的横坐标分别减去3,纵坐标不变，得到的厶ABC 相应顶点的坐标，则 △ A 'B 'C '可以看成厶ABCi 卜y1 y匸y n P--------- —--•P2 • __ n P _ ___ 亠n -------- * P1m ；亠 1 11 ----- T P U f imII V 1 ""O ' XHm O ------------ X 1 1 O mn __ _ ▲1Rb-n关于x 轴对称 关于y 轴对称关于原点对称点P (m,n)关于y 轴的对称点为 b) 点P (m,n)关于原点的对称点为P 3( m, n)，即横、纵坐标都互为相反数; c) XP 2( m,n)，即纵坐标不变，横坐标互为相反数; a)点P (m, n)关于x 轴的对称点为 R(m, n)，即横坐标不变，纵坐标互为相反数;m n ，即横、纵坐标相等；m n ,即横、纵坐标互为相反数;( •点B 与C 的纵坐标相等 •点B 与C 的横坐标、纵坐标都不相等 )) ) )y在第一、三象限的角平分线上在第二、四象限的角平分线上A.向左平移3个单位长度得到B .向右平移三个单位长度得到C•向上平移3个单位长度得到 D •向下平移3个单位长度得到6•线段CD是由线段AB平移得到的，点A(-1,4)的对应点为C(4,7),则点B(-4,-1)的对应点D的坐标是A . (2,9)B . (5,3)C . (1,2)D . (-9,-4)7•在坐标系内，点P (2, -2)和点Q(2,4 )之间的距离等于______________ 单位长度，线段PQ和中点坐标是____________8. 将点M(2,-3)向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的点的坐标为9. 在直角坐标系中，若点P(a 2,b 5)在y轴上，则点P的坐标为___________________10. 已知点P( 2,a)，Q(b,3)，且PQ// x 轴，则a ___________ ，b ____________11. 将点P( 3,y)向下平移3个单位，并向左平移2个单位后得到点Q(x, 1)，则xy = _______12. 则坐标原点0( 0,0 )，A (-2,0 ) ,B(-2,3)三点围成的△ ABO勺面积为_______________13. 点P(a,b)在第四象限，则点Q(b, a)在第_________ 限14. 已知点P在第二象限两坐标轴所成角的平分线上，且到x轴的距离为3,则点P的坐标为 ____________15. 在同一坐标系中，图形a是图形b向上平移3个单位长度得到的，如果在图形a中点A的坐标为(5, 3)，则图形b中与A对应的点A'的坐标为______________16. 在平面直角坐标系中，将坐标为(0,0),(2,0),(3,4),(1,4) 的点用线段依次连接起来形成一个图像，并说明该图像是什么图形。
平面直角坐标系知识归纳与题型突破(单元复习 12类题型清单)(解析版)—24-25学年八年级数学上册
平面直角坐标系知识归纳与题型突破（12类题型清单）一．有序数对有顺序的两个数a 与b 组成的数对叫做有序数对，记作(,)a b ．注意：有序数对是有顺序的，可以准确地表示出平面内一个点的位置，(,)a b 和(,)b a 表示的意义是不同的．二．平面直角坐标系1.两条互相垂直的共原点数轴组成．水平的数轴叫做横轴（x 轴），取向右为正方向；竖直的数轴叫做纵轴（y 轴），取向上为正方向；两轴公共的原点为坐标原点．注意：同一数轴上的单位长度是一样的，一般情况下两轴上的单位长度也相同．2.如下图，由点P 分别向x 轴和y 轴作垂线，垂足A 在x 轴上的坐标是a ，垂足B 在y 轴上的坐标是b ，则点P 的坐标为(,)a b ，其中a 为点P 的横坐标，b 为点P 的纵坐标．3.象限和坐标轴：（1）第一象限内的点(,)x y 的坐标满足：>0x ，0y >；（2）第二象限内的点(,)x y 的坐标满足：<0x ，0y >；（3）第三象限内的点(,)x y 的坐标满足：x ＜0，0y <；01 思维导图02 知识速记（4）第四象限内的点(,)x y 的坐标满足：>0x ，0y <.（5）x 轴上的点(,)x y 的坐标满足：0y =；（6）y 轴上的点(,)x y 的坐标满足：0x =；注意：两条坐标轴上的点不属于任何一个象限．题型一 用有序数对表示位置/路线例题：（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期末）根据下列表述，不能确定一点的具体位置的是（ ）A ．东经122°，北纬43.6°B ．礼堂6排22号C ．重庆市宏帆路D ．港口南偏东60°方向上距港口10海里1.（23-24七年级下·广西南宁·期末）若电影票上“2排4号”记作()2,4，则()5,4表示（ ）A ．“5排4号”B ．“4排5号”C ．“5排5号”D ．“4排4号”【答案】A 【知识点】用有序数对表示位置【分析】此题主要考查了根据坐标确定点的位置，由于将“2排4号”记作()2,4，根据这个规定即可确定()5,4表示的点．【详解】解：∵“2排4号”记作()2,4，∴()5,4表示5排4号．故选：A ．03 题型归纳2.（23-24七年级下·河南驻马店·期末）如图所示，雷达探测器测得六个目标A ，B ，C ，D ，E ，F ，按照规定的目标表示方法，目标C ，F 的位置表示为()()6,120,5,210C F °°，按照此方法在表示目标A ，B ，D ，E 的位置时，其中表示不正确的是（ ）．A ．()2,30A °B ．()1,90B °C ．()4,240D °D ．()3,300E °3.（23-24七年级下·吉林·期末）下图是游乐园一角的平面示意图，图中1个单位长度表示100m ．(1)如果用有序数对()32，表示跳跳床的位置，填写下列游乐设施的位置：跷跷板______，摩天轮____，碰碰车_____；(2)秋千的位置是()4,5，请在图中标出来；(3)旋转木马在大门以东500m ，再往北200m 处，请在图中标出来．【答案】(1)()2,4，()6,5，()5,1(2)见解析(3)见解析【知识点】用有序数对表示位置【分析】本题考查了用有序数对表示位置；（1）根据题意找到跷跷板、摩天轮、碰碰车的位置即可；（2）根据位置标出坐标即可；（3）根据位置标出坐标即可求解．【详解】（1）解：根据题意，得跷跷板()2,4，摩天轮()6,5，碰碰车()5,1，故答案为：()2,4，()6,5，()5,1；（2）解：如图所示，秋千的位置是()4,5，（3）解：如图所示，旋转木马的位置是()5,2，题型二 判断点所在的象限例题：（23-24七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）点(4,1)--所在的象限是（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【知识点】判断点所在的象限【分析】本题考查了各象限内点的坐标特征，根据第三象限内的点横坐标和纵坐标均为负数即可判断求解，掌握各象限内点的坐标特征是解题的关键．【详解】解：点(4,1)--所在的象限是第三象限，故选：C ．巩固训练1.（24-25八年级上·广东惠州·开学考试）在平面直角坐标系中，点()2024,2025A -落在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2.（23-24七年级下·贵州黔东南·期中）在平面直角坐标系中，点2(1,1)m -+一定在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【知识点】判断点所在的象限【分析】本题考查了点的坐标．解决本题的关键是记住平面直角坐标系中各个象限内点横、纵坐标的符号，四个象限的点的横、纵坐标的符号特点分别是：第一象限(,)++；第二象限(,)-+；第三象限(,)--；第四象限(,)+-．应先判断出点的横纵坐标的符号，进而判断点所在的象限．【详解】解：因为点2(1,1)m -+，横坐标10-<，纵坐标21m +一定大于0，所以满足点在第二象限的条件．故选：B3.（23-24七年级下·云南昆明·期末）不论m 取何实数，点()21,7P m --一定在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B 【知识点】判断点所在的象限【分析】本题考查的点在坐标系中得位置，根据题意可知20m ³，所以211m --£-，即可得出答案．【详解】解：∵20m ³，∴211m --£-，∴点P 的横坐标一定小于0，所以点P 一定在第二象限．故选：B ．题型三 建立适当的平面直角坐标系并写出点的坐标例题：（23-24七年级下·贵州黔东南·阶段练习）请给下图建立平面直角坐标系，使文化馆的坐标为()3,1-，超市的坐标为()2,3-．(1)画出坐标轴，并写出火车站、体育场、医院的坐标；(2)在（1）的坐标系中，标出小明家()4,4-，小刚家()3,2-，学校()2,1--的位置．【答案】(1)见解析(2)见解析【知识点】坐标系中描点、写出直角坐标系中点的坐标【分析】本题考查了建立平面直角坐标系和点的坐标，熟练掌握知识点是解题的关键．（1）先建立合适的坐标系，再表示出所求点的坐标即可；（2）直接在坐标系中标出各点即可．【详解】（1）解：画坐标轴如图所示，火车站()0,0，体育场()4,3-，医院()2,2--；（2）解：如图所示．巩固训练1.（23-24七年级下·山东临沂·期中）如图所示是一所学校的平面示意图，如果图书馆的坐标为()2,1-；(1)请在方格纸中建立符合题意的平面直角坐标系；(2)分别写出教学楼、校门、旗杆、实验楼的坐标．【答案】(1)建立坐标系见解析(2)教学楼()1,0，校门()2,2--，旗杆()2,2-，实验楼()0,5-【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、坐标与图形【分析】本题考查图形与坐标，涉及由已知点的坐标见平面直角坐标系、由坐标系中点的位置写坐标等，熟记图形与坐标的定义与性质，数形结合是解决问题的关键．（1）根据题中图书馆的坐标为()2,1-即可建立平面直角坐标系；（2）由（1）中建立的平面直角坐标系，结合教学楼、校门、旗杆、实验楼的位置即可得到具体坐标．（2）解：由（1）中所建坐标系，如图所示：2,2--，旗杆()-，实验楼2,2\教学楼(1,0)，校门()2.（23-24八年级上·全国·单元测试）如图为某公园的示意图．(1)以虎山为原点，水平向右为x轴，铅直向上为y轴在图中建立直角坐标系，并写出各景点的坐标；(2)若以猴园为原点，水平向右为x轴，铅直向上为y轴建立直角坐标系，并写出各景点的坐标；(3)比较（1）（2）中各景点的坐标，你发现了什么规律？【答案】(1)直角坐标系见详解，虎山()00，、熊猫馆()32，、鸟岛()13-，、狮子馆()22--，、猴园()31-，(2)直角坐标系见详解，虎山()31-，、熊猫馆()03，、鸟岛()44-，、狮子馆()51--，、猴园()00，(3)（2）中各坐标的横坐标都比（1）中的各坐标的横坐标小3，（2）中各坐标的纵坐标都比（1）中的各坐标的纵坐标大1．【知识点】点坐标规律探索、写出直角坐标系中点的坐标【分析】本题主要考查了建立直角坐标系，写出直角坐标系中点的坐标，以及点坐标规律探索．（1）以虎山为原点建立直角坐标系，根据图形可得出景点的坐标（2）以猴园为原点建立直角坐标系，根据图形可得出景点的坐标（3）根据（1）（2）中各景点的横、纵坐标的关系得出结果．【详解】（1）解：按要求建立直角坐标系如下图所示：由图可得虎山()00，、熊猫馆()32，、鸟岛()13-，、狮子馆()2,2--、猴园()3,1-．（2）解：按要求建立直角坐标系如下图所示：由图可得虎山()31-，、熊猫馆()03，、鸟岛()44-，、狮子馆()5,1--、猴园()00，．（3）解：（1）虎山()00，、熊猫馆()32，、鸟岛()13-，、狮子馆()2,2--、猴园()3,1-（2）虎山()31-，、熊猫馆()03，、鸟岛()44-，、狮子馆()5,1--、猴园()00，．规律：（2）中各坐标的横坐标都比（1）中的各坐标的横坐标小3，（2）中各坐标的纵坐标都比（1）中的各坐标的纵坐标大1．3.（23-24七年级下·贵州黔南·期中）如图是黔南布衣族苗族自治州政区平面示意图，图中小方格都是边长为1个单位长度的正方形．若龙里县的坐标为()3,2-，三都水族自治县的坐标为()2.5,2-．(1)请在图中画出相应的平面直角坐标系，并写出罗甸县和长顺县的坐标；(2)若平塘县的坐标为()2,3--，荔波县的坐标是()2,5-，请在坐标系中标出平塘县和荔波县的位置．由平面直角坐标系可得，罗甸县的坐标为（2）解：∵平塘县的坐标为∴在坐标系中标出平塘县和荔波县的位置如图：题型四 求点到坐标轴的距离例题：（24-25九年级上·湖南岳阳·开学考试）在平面直角坐标系中，点()21P ，到y 轴的距离为 ．【答案】2【知识点】求点到坐标轴的距离【分析】此题考查了点的坐标，根据点到()1.（23-24七年级下·辽宁辽阳·期中）点()64M -，到y 轴的距离为 ，到x 轴的距离为 ．2.（23-24八年级上·四川达州·期末）点()2,3P -到x 轴的距离是 ，到y 轴的距离是，到原点的距离是3.（23-24七年级下·山东德州·期末）在平面直角坐标系第四象限内有一点A ，它到x 轴的距离为3，到y 轴的距离为6，则点A 的坐标为 ．【答案】()6,3-【知识点】已知点所在的象限求参数、求点到坐标轴的距离、写出直角坐标系中点的坐标【分析】本题考查点的坐标特征，掌握各象限内点的坐标特征是解题的关键．根据点A 在第四象限可得点A 的横坐标为正，纵坐标为负，再根据题干中到x 轴和y 轴的距离即可求解．【详解】解：∵点A 在第四象限，∴点A 的横坐标为正，纵坐标为负，∵点A 到x 轴的距离为3，到y 轴的距离为6，∴点A 的坐标为()6,3-，故答案为：()6,3-．题型五 已知含参数的点在坐标轴上求点的坐标例题：（23-24七年级下·云南昆明·期末）若321,2m P m -æö+ç÷在x 轴上，则P 的坐标是 ．1.（23-24八年级上·广东梅州·期末）若点()24,3P m m ++在y 轴上，则点P 的坐标为．【答案】(0,1)【知识点】已知点所在的象限求参数【分析】此题考查了平面直角坐标系的性质，根据平面直角坐标系的性质可得240m +=，求得m ，即可求解．熟练掌握平面直角坐标系的有关性质是解题的关键．【详解】解：由题意可知240m +=，解得2m =-，则3231m +=-+=，故点P 的坐标为(0,1)，故答案为：(0,1)．2.（23-24七年级下·重庆荣昌·阶段练习）在平面直角坐标系中，若点(26,55)P x x ++在x 轴上，则点P 的坐标为 ．【答案】(4,0)【知识点】已知点所在的象限求参数【分析】本题考查根据点的特征，求参数的值，根据x 轴上的点的纵坐标为0，求出x 的值，进而求出点P 的坐标即可．【详解】解：由题意，得：550x +=，解得：1x =-，∴(4,0)P ；故答案为：(4,0)．3.（24-25八年级上·四川绵阳·开学考试）若点231A m -（，）在x 轴上，点213B n +（，）在y 轴上，则代数式64m n+的值是 ．题型六 已知点所在的直线平行于坐标轴求点的坐标例题：（23-24八年级下·河北承德·期中）已知点()13,2P m m +-，试分别根据下列条件求出点P 的坐标．(1)点P 在y 轴上；(2)点P 到x 轴的距离为5，且在第四象限．(3)若点()1,3,Q PQ 与x 轴平行．【答案】(1)()0,7-(2)()1,5-线上点的坐标特点，方程的应用，理解坐标系内点的坐标特点是解本题的关键．巩固训练1.（23-24七年级下·江苏南通·期中）已知点A 坐标为(12)，，点B 在第四象限，直线AB y ∥轴．若线段3AB =，则点B 的坐标为2.（23-24七年级下·辽宁大连·期末）已知点()22,36M a a -+，分别满足下列条件，求出点M 的坐标：(1)点M 在x 轴上；(2)点M 在y 轴上；(3)点N 的坐标()2,5，直线MN x ∥轴；(4)点M 到两个坐标轴的距离相等3.（23-24七年级下·四川自贡·阶段练习）已知点()22,5P a a -+，解答下列各题．(1)点P 在y 轴上，求出点P 的坐标；(2)点Q 的坐标为()4,5，直线PQ y ∥轴；求出点P 的坐标；(3)若点P 在第一象限，且它到x 轴、y 轴的距离相等，求a 的立方根题型七 坐标与图形例题：（23-24七年级下·河北保定·期末）已知：()01A ，，()20B ，，()43C ，(1)在坐标系中描出各点，画出ABC V ；(2)求ABC V 的面积；(3)设点P 在y 轴上，且ABP V 与ABC V 的面积相等，直接写出点P 的坐标．【答案】(1)见解析(2)4(3)点P 的坐标为()0,5或()0,3-【知识点】坐标系中描点、坐标与图形（2）解：过点C 向x 、y 轴作垂线，垂足为\四边形DOEC 的面积3412=´=ACE △的面积12442=´´=，V ABC \V 的面积=四边形DOEC 的面积12341=---4=．1.（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，已知点()5,2A -，()4,5B -，(),C m n ．(1)点C 落在y 轴正半轴，且到原点的距离为3，则m =_，n = _；(2)在（1）的条件下，在平面坐标系中画出ABC V ，并求出ABC V 的面积；，111535142222ABC S =´-´´-´´-V 2.在如图所示的平面直角坐标系中表示下面各点：A (0,3)；()1,3B -；()3,5C -；()3,5D --；()3,5E ；()G．5,0F；()5,7(1)A点到原点的距离是________．(2)将点C向x轴的负方向平移6个单位，它与点________重合．(3)连接CE，则直线CE与坐标轴是什么关系？(4)点F分别到x、y轴的距离是多少？Q A (0,3)，\A 点到原点的距离是3，故答案为：3；（2）Q ()3,5C -，\将点C 向x 轴的负方向平移（4）Q ()5,7F ，\点F 到x 轴的距离为7，到3.（23-24七年级下·山东菏泽·期末）如图，平面直角坐标系xOy 中，点()0,1A ，()2,0B ，()1,3C ．(1)点C 到y 轴的距离为______；(2)求ABC V 的面积；(3)若点P 的坐标为(),0m ，①直接写出线段BP 的长为______；（用含m 的式子表示）②当PAB ABC S S =V V 时，求点P 的坐标．∴点P 的坐标为()7,0或()3,0-．题型八 在平面直角坐标系中直接利用面积公式求图形的面积(1)求a ，b 的值；(2)求ABC V 的面积．【答案】(1)2a =-，4b =，(2)9(1)画出所有符合条件的三角形ABC (2)求三角形ABC 的面积．【答案】(1)点()60B ，或()20-，，图见解析；(2)10【分析】（1）根据题意设点(0B x ，（2）解：∵顶点C 的坐标为()2,5-，∴点C 的纵坐标为5c y =，∵4AB =，∴11451022ABC c S AB y =××=´´=V ，即ABC V 的面积为10．【点睛】本题考查了平面直角坐标系内点的坐标特征，数轴上两点之间的距离公式，利用网格求三角形的面积，掌握平面直角坐标系内点的坐标特征是解题的关键．2．（23-24七年级下·全国·期末）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为(0,4)，点B 的坐标为()4,0，过点()3,0C 作直线CD x ^轴，垂足为C ，交线段AB 于点D ，过点A 作AE CD ^，垂足为E ，连接BE ．(1)求ABE V 的面积；(2)点P 为直线CD 上一动点，当PAB AOB S S =V V 时，求点P 的坐标．【答案】(1)6(2)()3,5或()3,3-当点P 在x 轴上方时，则点∴PAB APE PBC OAEC S S S S =++V V V 四边形1122AE PE PC BC OA OC =×+×+×()11341422y y =´-+´´+过点P 作PN y ^轴于N ，∴PAB AOB ANPONPB S S S S =+-V V V 梯形()11822NP OB CP AN =+×+-()(11348422y y =´++-´+22y =+，(1)求三角形ABC 的面积；(2)设点P 是y 轴上一点，若(3)若点P 在线段AB 【答案】(1)272(2)()02P -，或(0-，()05A -Q ，，(B -5OA \=，3OB =12AOB S OA OB \=×V AOB BOP S S S =+V V Q 1135n \´´+´´题型九 关于x 轴、y 轴对称的点的坐标例题：（22-23八年级下·浙江金华·开学考试）点()4,3P -关于x 轴对称的点P ¢的坐标为 ．【答案】()4,3【知识点】坐标与图形变化——轴对称【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，根据关于x 轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数进行求解即可．【详解】解：点()4,3P -关于x 轴对称的点P ¢的坐标为()4,3，故答案为：()4,3．巩固训练1.（23-24七年级下·上海·阶段练习）平面直角坐标系中，与点(M 关于y 轴对称的点的坐标为 ．2.（23-24八年级上·全国·()1,5A x -，()22,B y ，若A ，B 关于x 轴对称，则1x = ，2y =；若A ，B 关于y 轴对称，则1x = ，2y = ．【答案】 2 5 2- 5-【知识点】坐标与图形变化——轴对称【分析】本题考查了坐标与图形变化-旋转，关于x 轴、y 轴对称的点的坐标．（1）关于x 轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，依此即可求解．（2）关于y 轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，依此即可求解．【详解】解：（1）若A 、B 关于x 轴对称，则12x =，25y =；故答案为：2；5；（2）若A 、B 关于y 轴对称，则12x =-，25y =-．故答案为：2-，5-．3.（23-24八年级上·四川达州·期末）若点()1P m m -，在x 轴上，则点()23A m m --，关于x 轴对称的点为 ．【答案】()1,2【知识点】已知点所在的象限求参数、坐标与图形变化——轴对称【分析】本题考查了关于x 轴、y 轴对称点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．根据x 轴上的点的纵坐标为0列式求出m 的值，从而求得点A 的坐标，再根据“关于x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答．【详解】解：∵点(),1P m m -在x 轴上，∴10m -=，解得1m =，∴2211m -=-=，3132m -=-=-，∴点A 的坐标为()1,2-，∴点A 关于x 轴对称的点为()1,2．故答案为：()1,2．题型十 利用x 轴、y 轴对称的点的坐标求参数例题：（23-24八年级下·福建泉州·期中）点P 的坐标是(),1m -，且点P 关于x 轴对称的点的坐标是()3,2n -，则m = ，n = ．1.（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知点(36,415)A x y -+，点(5,)B x x 关于x 轴对称，则x y +的值是2.（2024·湖南娄底·模拟预测）在平面直角坐标系中，若点(),4a -与点()5,b -关于y 轴对称，则a b -= ．【答案】9【知识点】坐标与图形变化——轴对称【分析】本题考查坐标与对称，根据关于y 轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相同，求出,a b 的值，即可．【详解】解：∵点(),4a -与点()5,b -关于y 轴对称，∴5,4a b ==-，∴()549a b -=--=；故答案为：9．3.（23-24八年级下·河北沧州·期末）已知点()11,5P a --和()22,1P b --关于y 轴对称，则()2024a b +的值为 ．【答案】1【知识点】坐标与图形变化——轴对称、已知字母的值 ，求代数式的值【分析】此题考查了关于y 轴对称的点坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标相等，及已知字母的值求代数式的值，正确理解关于y 轴对称的点坐标特点求得3,4a b ==-是解题的关键【详解】解：∵点()11,5P a --和()22,1P b --关于y 轴对称，∴12,15a b -=-=-，∴3,4a b ==-，∴()()20242024341a b +=-=故答案为1题型十一 作图——轴对称变换例题：（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，在网格中建立平面直角坐标系，ABC V 的三个顶点均在格点上．(1)画出与ABC V 关于y 轴对称的图形111A B C △，点A 、B 、C 的对应点分别为111A B C 、、；(2)求（1）中得到的111A B C △的面积．【答案】(1)见解析(2)4.5【知识点】画轴对称图形、坐标与图形、坐标与图形变化——轴对称、利用网格求三角形面积【分析】本题考查了利用轴对称变换在坐标系中作图，利用网格求面积：（1）直接利用关于y 轴对称的性质得出对应点位置，顺次连接各个对应点即可；（2）利用割补法求解即可．（2）111A B C △的面积15322=´-´´巩固训练1.（22-23八年级上·河南信阳·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，()()()1,23,12,1A B C --、、．(1)在图中作出ABC V 关于y 轴对称的111A B C △；(2)写出111A B C 、、的坐标；(3)求111A B C △的面积．【答案】(1)作图见详解(2)()()()1111,2,3,1,2,1A B C ---(3)111A B C △的面积为4.5【知识点】画轴对称图形、坐标与图形变化——轴对称、利用网格求三角形面积【分析】本题主要考查坐标与图形，轴对称图形的作法，掌握平面直角坐标系的特点，轴对称图形的作法，“割补法”求图形面积是解题的关键．（1）根据轴对称图形的作法即可求解；∴111A B C △即为所求图形；（2）解：根据（1）中的图示可得，（3）解：11115312A B C S =´-´△∴111A B C △的面积为4.5．2.（23-24八年级下·辽宁盘锦·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，ABC V 的三个顶点都边长为1的正方形网格的格点上．(1)写出A ，B ，C 的坐标_______；(2)画出ABC V 关于x 轴对称的111A B C △；(3)111A B C △的面积为_______．【答案】(1)()()()1,3,2,0,3,1A B C ---(2)图见解析(3)9（3）由图可知：111A B C △的面积为：故答案为：9．3.（23-24八年级上·河南许昌·期中）ABC V 在平面直角坐标系中的位置如图所示．(1)作出ABC V 关于y 轴对称的111A B C △，并写出111A B C △各顶点的坐标；(2)将ABC V 向右平移6个单位，作出平移后的222A B C △；(3)观察111A B C △和222A B C △，它们是否关于某条直线对称？若是，请画出这条对称轴．【答案】(1)见解析，()10,4A ，()12,2B ，()11,1C (2)见解析(3)是，对称轴见解析【知识点】平移(作图)、画对称轴、画轴对称图形、坐标与图形变化——轴对称【分析】本题考查了坐标平面内的图形变换，解题关键是熟练掌握轴对称和平移的特征及坐标变化规律，如何根据点的位置确定对称轴．（1）根据轴对称的性质画图并写出坐标即可；（2）根据平移的性质画图即可；（3）根据对称轴的性质画出图形即可．【详解】（1）解：如图所示，111A B C △即为所求；∴()10,4A ，()12,2B ，()11,1C ；（2）解：如图所示，222A B C △即为所求；（3）解：如图所示，题型十二 利用轴对称求平面直角坐标系中线段和最小值问题例题：（23-24八年级上·江西吉安·期末）在平面直角坐标系中，ABC V 的顶点坐标()()()1,5,3,1,4,3A B C ---．(1)在图中作出ABC V 关于y 轴对称的图形111A B C △；(2)在y 轴上找一点P ，使PA PB +最短，在图中标出P 点的位置并写出P 点坐标．【答案】(1)见解析(2)见解析，P 点坐标为()0,4【知识点】画轴对称图形、坐标与图形变化——轴对称【分析】本题主要考查了坐标与图形变化-轴对称，轴对称最短路径问题，（1）根据关于y 轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同找到A 、B 、C 对应点111A B C 、、的位置，然后顺次连接111A B C 、、即可；（2）根据轴对称的性质，连接1A B ，交y 轴于点P ，点P 即为所求．（2）解：如图所示，点P 即为所求；∴P 点坐标为(0,4)．巩固训练1.（23-24八年级下·云南昭通·期末）如图，在平面直角坐标系中，()1,3A ，()3,1B 是直线4y x =-+上的两点，点P 是x 轴上的一个动点，则PA PB +的最小值为 ．由对称得：PA PA ¢=，()1,3A ¢-，此时PA PB +取得最小值，PA PB+PA PB¢=+A B ¢=，2.（23-24八年级上·广东深圳·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，ABC V 的三个顶点的坐标分别为()3,4A -，()4,1B -，()1,2C -．(1)在图中作出ABC V 关于x 轴的对称图形111A B C △；(2)请直接写出点C 关于y 轴的对称点C ¢的坐标： ；(3)在y 轴上找一点P ，使得PAC V 周长最小，并求出P 点坐标．（保留作图痕迹）【答案】(1)见解析(2)()1,2(3)点P 即为所求【知识点】坐标与图形变化——轴对称、写出直角坐标系中点的坐标、根据成轴对称图形的特征进行求解、画轴对称图形【分析】本题考查了作图—轴对称变换，轴对称—最短路线问题，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．（1）根据轴对称的性质即可作出ABC V 关于x 轴的对称图形111A B C △．（2）根据轴对称的性质即可写出点C 关于关于y 轴的对称点C ¢的坐标．（3）连接AC ¢交y 轴于点P ，根据两点之间线段最短即可使得PAC V 周长最小．【详解】（1）如图所示，111A B C △即为所求．（2）点C 关于关于y 轴的对称点C ¢的坐标()1,2．（3）如图，点P 即为所求．3.（23-24九年级下·浙江台州·开学考试）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点三角形ABC V （即三角形的顶点都在格点上）．(1)在图中作出ABC V 关于直线MN 的对称图形111A B C △；(2)在MN 上找一点P ，使得PB PC +的距离最短，在图中作出P 点的位置；（保留作图痕迹）(3)若点B 坐标为()1,3-，点1B 坐标为()5,3，则ABC V 上一点(),P a b 的对应点1P 坐标表示为 ．【答案】(1)图见解析(2)图见解析(3)()4,a b -【知识点】最短路径问题、坐标与图形变化——轴对称、根据成轴对称图形的特征进行求解、画轴对称图形【分析】本题考查了画对称轴图形，最短路线问题，轴对称的性质．（1）先找出点A 、B 、C 关于直线MN 的对称点1A 、1B 、1C ，再顺次连接11A B 、11B C 、11A C 即可；（2）根据对称的性质可得1PC PC =，故1PB PC PB PC +=+，当点B ，点C ，点P 三点共线时，PB PC+（2）解：连接1BC ，与MN 的交点即为所求点（3）解：∵点B 坐标为()1,3-，点∴点B 、1B 关于直线2x =对称，故ABC V 上一点(),P a b 的对应点故点1P 的坐标为()4,a b -．故答案为：()4,a b -．。
部编数学七年级下册专题11平面直角坐标系中利用点的坐标变化规律探究问题(解析版)含答案
专题11 平面直角坐标系中利用点的坐标变化规律探究问题（解析版）第一部分典例精析类型一点的运动规律探究（1）沿坐标轴运动的点的坐标规律探究1．（2022•丛台区开学）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（3，1），（3，0），（3，﹣1）…，根据这个规律探索可得，第10个点的坐标为 ，第55个点的坐标为 ．思路引领：从图中可以看出横坐标为1的有一个点，横坐标为2的有2个点，横坐标为3的有3个点，…依此类推横坐标为n的有n个点．题目要求写出第10个点和第55个点的坐标，我们可以通过加法计算算出第10个点和第50个点分别位于第几列第几行，然后对应得出坐标规律，将行列数代入规律式．解：在横坐标上，第一列有一个点，第二列有2个点…第n列有n个点，并且奇数列点数对称而偶数列点数y轴上方比下方多一个，∵1+2+3+4＝10，1+2+3+…+10＝55，∴第10个点在第4列自下而上第4行，所以奇数列的坐标为（n，n−12）（n，n−12−1）…（n，1−n2）；偶数列的坐标为（n，n2）（n，n2−1）…（n，1−n2），由加法推算可得到第55个点位于第10列自下而上第10行．代入上式得第10个点的坐标为（4，2），第55个点的坐标为（10，5），故答案为：（4，2），（10，5）．总结提升：本题是对点的变化规律的考查，观察得到横坐标相等的点的个数与横坐标相同是解题的关键，还要注意横坐标为奇数和偶数时的排列顺序不同．2．（2022•麻城市校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O1，O2，O3，…组成一条平滑的曲线，点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒π2个单位长度，则第2022秒时，点P的坐标是 ．思路引领：计算P点运动过程中走一个半圆所用的时间，根据规律即可求得第2022秒P点位置．解：由题意可知，点P运动一个半圆所用的时间为：π÷π2=2（秒），∵2022＝1011×2，∴2022秒时，P在第1011个半圆的最末尾处，∴点P的坐标为（2022，0）．故答案为：（2022，0）．总结提升：本题主要考查的是坐标系中的规律探究问题，找出运动规律的同时也要考虑坐标系位置是解题的关键．3．（2021春•洛龙区期中）在平面直角坐标系中，一只蚂蚁从原点O出发，按“向上→向右→向下→向右”的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其移动路线如图所示，第一次移动到点A1，第二次移动到点A2，…，第n次移动到点A n，则点A2021的坐标是（ ）A．（1010，0）B．（1010，1）C．（1009，0）D．（1009，1）思路引领：观察图形可知，A4，A8，…都在x轴上，求出OA4，OA8，…OA4n的长度，然后写出坐标即可；根据以上规律写出点A4n的坐标即可求出点A2020的坐标，则A2021点的坐标即可求出．解：由图可知，A4，A8，…都在x轴上，蚂蚁每次移动1个单位，∴OA4＝2，OA8＝4，…OA4n＝2n，∴点A4n的坐标为（2n，0），∴点A2020的坐标为（1010，0），∴A2021（1010，1），故选：B．总结提升：本题主要考查了点的变化规律，仔细观察图形，确定出点A 4n 都在x 轴上是解题的关键．（2）绕定点呈“回”字形运动的点的坐标变化规律4．如图是一回形图，其回形通道的宽和OB 的长均为1， 回形线与射线OA 交于A 1，A 2，A 3，…．若从O点到A 1点的回形线为第1圈（长为7），从A 1点到A 2点的回形线为第2圈，…，依此类推．则第10圈的长为 ．思路引领：如图，以点O 为原心，建立平面直角坐标系，则A 1，A 2，A 3，…的坐标分别为（－1，0），（－2，0），（－3，0），…，A 10的坐标为（－10，0），然后大致描出第10圈的形状，很轻松求出第10圈的长．解：观察图形发现：第一圈的长是2（1+2）+1=7；第二圈的长是2（3+4）+1=15；第三圈的长是2（5+6）+1=23；则第n 圈的长是2（2n-1+2n ）+1=8n-1．当n=10时，原式=80-1=79．故答案为79．题眼直击：坐标表示图形，规律探究．总结提升：依次计算第一圈长，第二圈长，……，探究这几个数的一般规律性，然后应用规律求出第10圈．5．（2022•金凤区校级二模）如图，在平面直角坐标系中，从点P 1（﹣1，0），P 2（﹣1，﹣1），P 3（1，﹣1），P 4（1，1），P 5（﹣2，1），P 6（﹣2，﹣2），…依次扩展下去，则P 2022的坐标为 ．思路引领：根据题意可得到规律，P4n（n，n），P4n+1（﹣n﹣1，n），P4n+2（﹣n﹣1，﹣n﹣1），P4n+3（n+1，﹣n﹣1），再根据规律求解即可．解：根据题意可得到规律，P1（﹣1，0），P2（﹣1，﹣1），P3（1，﹣1），P4（1，1），P5（﹣2，1），P6（﹣2，﹣2），P7（2，﹣2），P8（2，2），P12（3，3），P16（4，4），...，P4n（n，n），P4n+1（﹣n﹣1，n），P4n+2（﹣n﹣1，﹣n﹣1），P4n+3（n+1，﹣n﹣1），∵2022＝4×505+2，∴P2022（﹣506，﹣506），故答案为：（﹣506，﹣506）．总结提升：本题主要考查规律型：点的坐标，读懂题意，找出点的坐标规律是解答此题的关键．类型二图形变换的点的坐标规律探究6．（2018春•兴城市期末）如图，在平面直角坐标系中，第一次将三角形OAB变换成三角形OA1B1，第二次将三角形OA1B1换成三角形OA2B2，第三次将三角形OA2B2换成三角形OA3B3，……，若A（﹣3，1），A1（﹣3，2），A2（﹣3，4），A3（﹣3，8），点B（0，2），B1（0，4），B2（0，6），B3（0，8），按这样的规律，将三角形OAB进行2018次变换，得到三角形OA2018B2018，则A2018的坐标是 ．思路引领：探究规律后利用规律即可解决问题；解：∵A 1（﹣3，2），A 2 （﹣3，4），A 3（﹣3，8）；∴A 点横坐标为﹣3，纵坐标依次为：2，22，23，…得出：A n （﹣3，2n ），∴n ＝2018时，A 2018（﹣3，22018），故答案为（﹣3，22018）总结提升：此题主要考查了规律型：点的坐标，根据题意得出A ，B 点横纵坐标变化规律是解题关键．7．12．如图，在直角坐标系中，第一次将三角形OAB 变换成三角形OA 1B 1第二次将OA 1B 1变换成三角形OA 2B 2，第三次将三角形OA 2B 2变换成三角形OA 3B 3，已知A(1，3)，A 1(2，3)，A 2(4，3)，A 3(8，3)，B(2，0)，B 1(4，0)，B 2(8，0)，B 3(16，0)．(1)求三角形OAB 的面积；(2)写出三角形OA 4B 4的各个顶点的坐标；(3)按此图形变化规律，你能写出三角形OA n B n 的面积与三角形OAB 的面积的大小关系吗？解：(1)S 三角形OAB ＝12×2×3＝3；(2)根据图示知O 的坐标是(0，0)；已知A(1，3)，A 1(2，3)，A 2(4，3)，A 3(8，3)，对于A 1，A 2…A n 坐标找规律比较从而发现A n 的横坐标为2n ，而纵坐标都是3；同理B 1，B 2…B n 也一样找规律，规律为B n 的横坐标为2n ＋1，纵坐标为0．由上规律可知：A 4的坐标是(16，3)，B 4的坐标是(32，0)；综上所述，O(0，0)，A 4(16，3)，B 4(32，0)；(3)根据规律，后一个三角形的底边是前一个三角形底边的2倍，高相等都是4，所以OB n ＝2n ＋1，S 三角形OA n B n ＝12×2n ＋1×3＝3×2n ＝2n S 三角形OAB ，即S 三角形A n B n ＝2n S 三角形OAB 。
2019年平面直角坐标系找规律题型分类汇总解析范文
2019 年平面直角坐标系找规律题型分类汇总解析范文篇一：平面直角坐标系找规律题型分类汇总解析平面直角坐标系找规律题型解析1、如图，正方形ABCD 的顶点分别为A(1,1)B(1，-1)C(-1，-1)D(-1，1)，y 轴上有一点P(0，2)。
作点P 关于点A 的对称点p1，作p1 关于点B 的对称点p2，作点 p2 关于点 C 的对称点p3，作p3 关于点D 的对称点p4，作点 p4 关于点 A 的对称点p5，作p5 关于点B 的对称点p6┅，按如此操作下去，则点p2011 的坐标是多少？解法 1：对称点 P1、P2、P3、P4 每4 个点，图形为一个循环周期。
设每个周期均由点P1，P2，P3，P4 组成。
第1 周期点的坐标为：P1(2,0)，P2(0,-2)，P3(-2,0)，P4(0,2)第2 周期点的坐标为：P1(2,0)，P2(0,-2)，P3(-2,0)，P4(0,2)第3 周期点的坐标为：P1(2,0)，P2(0,-2)，P3(-2,0)，P4(0,2)第n 周期点的坐标为：P1(2,0)，P2(0,-2)，P3(-2,0)，P4(0,2)2011÷4=502?3，所以点P2011 的坐标与P3 坐标相同，为（－2，0）解法 2：根据题意，P1（2，0）P2（0，－2）P3（－2，0）P4（0，2）。
根据p1-pn 每四个一循环的规律，可以得出：P4n（0，2），P4n+1（2，0），P4n+2（0，－2），P4n+3（－2，0）。
2011÷4=502?3，所以点P2011 的坐标与P3 坐标相同，为（－2，0）总结：此题是循环问题，关键是找出每几个一循环，及循环的起始点。
此题是每四个点一循环，起始点是p 点。
2、在平面直角坐标系中，一蚂蚁从原点O 出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动 1 个单位．其行走路线如下图所示．yA121012x（1）填写下列各点的坐标：A4（，），A8（，），A10（，），A12（）；（2）写出点A4n 的坐标（n 是正整数）；（3）按此移动规律，若点Am 在x 轴上，请用含n 的代数式表示m（n 是正整数）（4）指出蚂蚁从点A2011 到点A2012 的移动方向．（5）指出蚂蚁从点 A100 到点A101 的移动方向．（6）指出 A106，A201 的的坐标及方向。
好平面直角坐标系找规律解析
平面直角坐系找律型分析1、如，正方形 ABCD的点分 A(1,1) B(1 ， -1) C(-1 ，-1) D(-1 ， 1) ，y 上有一点 P(0，2) 。
作点 P 对于点 A 的称点 p1，作 p1 对于点 B的称点 p2，作点 p2 对于点 C 的称点 p3，作 p3 对于点D的称点 p4，作点 p4 对于点 A 的称点 p5，作 p5 对于点 B 的称点 p6┅，按这样操作下去，点p2011 的坐是多少？解法 1：称点 P1、P2、 P3、P4 每 4 个点，形一个循周期。
每个周期均由点P1， P2，P3，P4 成。
第1 周期点的坐： P1(2,0) ，P2(0,-2) ，P3(-2,0) ，P4(0,2)第2 周期点的坐： P1(2,0) ，P2(0,-2) ，P3(-2,0) ，P4(0,2)第3 周期点的坐： P1(2,0) ，P2(0,-2) ，P3(-2,0) ，P4(0,2)第n 周期点的坐： P1(2,0) ，P2(0,-2) ，P3(-2,0) ，P4(0,2)2011÷4=502⋯3，因此点 P2011的坐与 P3坐同样，（－ 2，0）解法 2：依据意， P1（2，0） P2 （0，－ 2） P3（－ 2，0） P4 （0，2）。
依据 p1-pn 每四个一循的律，能够得出：P4n（ 0，2）， P4n+1（ 2，0）， P4n+2（0，－ 2）， P4n+3（－ 2， 0）。
2011÷4=502⋯3，因此点 P2011的坐与 P3坐同样，（－ 2，0）：此是循，关是找出每几个一循，及循的开端点。
此是每四个点一循，开端点是p 点。
2、在平面直角坐系中，一从原点O出，按向上、向右、向下、向右的方向挨次不停移，每次移 1 个位．其行走路以下所示．y1A2 A5 A6 A9 A101 AO A3A4A8 11 12x A7 AA（1）填写以下各点的坐： A4（，），A8（，），A10（，），A12（）；（2）写出点 A4n的坐（ n 是正整数）；（3 ）按此移律，若点Am在 x 上，用含 n 的代数式表示 m（ n 是正整数）（4）指出从点A2011 到点 A2012的移方向．（5）指出从点A100到点 A101 的移方向．（ 6）指出 A106，A201 的的坐及方向。
平面直角坐标系找规律解析
平面直角坐标系找规律题型解析1、如图，正方形 ABCD 勺顶点分别为 A(1,1) B(1, -1) C(-1 , -1) D(-1 , 1), y 轴上有一点 P(0, 2)。
作点P 关于点A 的对称点p1,作p1关于点B 的对称点p2,作点p2关于点C 的对称点p3,作p3关于点D 的对称点p4,作点p4关于点A 的对称点p5,作p5关于点B 的对称点p6…，按如此操作下去，则点p2011 的坐标是多少？解法1:对称点P1、P2、P3、P4每4个点，图形为一个循环周期。
解法 2:根据题意，P1 (2, 0) P2 (0, —2) P3 (—2, 0) P4 (0, 2) 根据p1-pn 每四个一循环的规律，可以得出：P4n (0, 2) , P4n+1 (2, 0) , P4n+2 (0, —2) , P4n+3 (—2, 0)。
2011 +4=502…3,所以点 P2011的坐标与P3坐标相同，为(一2, 0)总结：此题是循环问题，关键是找出每几个一循环，及循环的起始点。
此题是每四个点一循环，起始 点是p 点。
2、在平面直角坐标系中，一蚂蚁从原点 O 出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动,每次移动1个单位.其行走路线如下图所示.1 A 1 JAA5 -A6A9 -A 10I j : --- *1£ ------ *| £ ----- *|£------ >O A 3 A4 A7 么8A H入21rX(1)填写下列各点的坐标： A4 ( , ) , A8 ( , ) , A10 ( , ) , A12 ();(2)写出点A 4n 的坐标(n 是正整数)； (3)按此移动规律，若点 Am 在x 轴上，请用含n 的代数式表示 m (n 是正整数) (4)指出蚂蚁从点 A 2011到点A 2012的移动方向.(5)指出蚂蚁从点 A 。
到点A01的移动方向.(6)指出Ag A201的的坐标及方向。
中考数学专题11 规律探究之直角坐标系【考点精讲】(解析版)
题型一：滚动型【例1】如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形①沿x 轴正半轴滚动并且按一定规律变换，每次变换后得到的图形仍是等腰直角三角形．第一次滚动后点A 1（0，2）变换到点A 2（6，0），得到等腰直角三角形②；第二次滚动后点A 2变换到点A 3（6，0），得到等腰直角三角形③；第三次滚动后点A 3变换到点A 4（10，24），得到等腰直角三角形④；第四次滚动后点A 4变换到点A 5（10+212，0），得到等腰直角三角形⑤；依此规律…，则第2020个等腰直角三角形的面积是 ．【分析】根据A 1（0，2）确定第1个等腰直角三角形（即等腰直角三角形①）的面积，根据A 2（6，0）确定第1个等腰直角三角形（即等腰直角三角形②）的面积，…，同理，确定规律可得结论． 【解析】∵点A 1（0，2），∴第1个等腰直角三角形的面积=12×2×2=2， ∵A 2（6，0），∴第2个等腰直角三角形的边长为6−22=22，∴第2个等腰直角三角形的面积=12×22×22=4＝22，∵A 4（10，42），∴第3个等腰直角三角形的边长为10﹣6＝4， ∴第3个等腰直角三角形的面积=12×4×4=8＝23， …则第2020个等腰直角三角形的面积是22020； 故答案为：22020（形式可以不同，正确即得分）．题型二：翻折型专题11 规律探究之直角坐标系【例2】（2020•荆门）在平面直角坐标系xOy 中，Rt △AOB 的直角顶点B 在y 轴上，点A 的坐标为（1，3），将Rt △AOB 沿直线y ＝﹣x 翻折，得到Rt △A 'OB '，过A '作A 'C 垂直于OA '交y 轴于点C ，则点C 的坐标为（ ）A ．（0，﹣23）B ．（0，﹣3）C ．（0，﹣4）D ．（0，﹣43）【分析】依据轴对称的性质可得OB '＝OB =3，A ′B ′＝AB ＝1，OA ′＝OA ＝2，进而通过证得△A ′OB ′∽△COA ′，求得OC ＝4，即可证得C 的坐标为（0，﹣4）． 【解析】∵点A 的坐标为（1，3）， ∴AB ＝1，OB =3，∴OA =AB 2+OB 2=12+(3)2=2，∵将Rt △AOB 沿直线y ＝﹣x 翻折，得到Rt △A 'OB '， ∴OB '＝OB =3，A ′B ′＝AB ＝1，OA ′＝OA ＝2， ∴A '（−3，﹣1），∵过A '作A 'C 垂直于OA '交y 轴于点C ， ∴∠A ′OC +∠A ′CO ＝90°， ∵∠A ′OB ′+∠A ′OC ＝90°， ∴∠A ′CO ＝∠A ′OB ′， ∵∠A ′B ′O ＝∠OA ′C ＝90°， ∴△A ′OB ′∽△COA ′， ∴OCOA′=OA′A′B′，即OC2=21， ∴OC ＝4， ∴C （0，﹣4）， 故选：C ．题型三：渐变型【例3】（2021·山东泰安市）如图，点1B 在直线1:2l y x上，点1B 的横坐标为2，过点1B作1B l ⊥，交x 轴于点1A ，以11A B 为边，向右作正方形1121A B B C ，延长21B C 交x 轴于点2A ；以22A B 为边，向右作正方形2232A B B C ，延长32B C 交x 轴于点3A ；以33A B 为边，向右作正方形3343A B B C ，延长的43B C 交x 轴于点4A ；…；按照这个规律进行下去，则第n 个正方形1n n n n A B B C +的边长为________（结果用含正整数n 的代数式表示）．132n -⎛⎫⎪⎝⎭【分析】根据题中条件，证明所有的直角三角形都相似且确定相似比，再具体算出前几个正方形的边长，然后再找规律得出第n 个正方形的边长． 【详解】解： 点1B 在直线1:2l y x =上，点1B 的横坐标为2，∴点1B 纵坐标为1．1OB ∴==分别过1B ，14,,C C ⋅⋅⋅作x 轴的垂线，分别交于14,,,D D D ⋅⋅⋅，下图只显示一条；111111190,B DA C DB B OD A B D ∠=∠=︒∠=∠ ,∴111Rt B DO Rt A DB ∽类似证明可得，图上所有直角三角形都相似，有11111211112n n n nC A BD B A C A OD OB C A C A +====⋅⋅⋅=， 不妨设第1个至第n 个正方形的边长分别用：12,,,n l l l ⋅⋅⋅来表示，通过计算得：112OB l ==121123322l l l C A =+==，2232233322l l l C A ⎛⎫=+== ⎪⎝⎭⋅⋅⋅11113322n n n n n n l l l C A ----⎛⎫=+== ⎪⎝⎭按照这个规律进行下去，则第n 个正方形1n n n n A B B C +132n -⎛⎫⎪⎝⎭，132n -⎛⎫⎪⎝⎭．【例4】（2021·湖北）如图，在平面直角坐标系中，动点P 从原点O 出发，水平向左平移1个单位长度，再竖直向下平移1个单位长度得到点()11,1P --；接着水平向右平移2个单位长度，再竖直向上平移2个单位长度得到点2P ；接着水平向左平移3个单位长度，再竖直向下平移3个单位长度得到点3P ；接着水平向右平移4个单位长度，再竖直向上平移4个单位长度得到点4P ，…，按此作法进行下去，则点2021P 的坐标为___________．【答案】(1011,1011)-- 【分析】先根据点坐标的平移变换规律求出点2345,,,P P P P 的坐标，再归纳类推出一般规律即可得． 【详解】解：由题意得：2(12,12)P -+-+，即2(1,1)P ，3(13,13)P --，即3(2,2)P --， 4(24,24)P -+-+，即4(2,2)P ， 5(25,25)P --，即5(3,3)P --，观察可知，点1P 的坐标为(1,1)--，其中1211=⨯-， 点3P 的坐标为(2,2)--，其中3221=⨯-， 点5P 的坐标为(3,3)--，其中5231=⨯-，归纳类推得：点21n P -的坐标为(,)n n --，其中n 为正整数，2021210111=⨯- ，∴点2021P 的坐标为(1011,1011)--，故答案为：(1011,1011)--．【例5】（2020•鄂州）如图，点A 1，A 2，A 3…在反比例函数y =xk（x ＞0）的图象上，点B 1，B 2，B 3，…B n 在y 轴上，且∠B 1OA 1＝∠B 2B 1A 2＝∠B 3B 2A 3＝…，直线y ＝x 与双曲线y=xk交于点A 1，B 1A 1⊥OA 1，B 2A 2⊥B 1A 2，B 3A 3⊥B 2A 3…，则B n （n 为正整数）的坐标是（ ）A ．（2n ，0）B ．（0，12+n ）C ．（0，)1(2-n n ）D ．（0，2n ）【分析】由题意，△OA 1B 1，△B 1A 2B 2，△B 2A 3B 3，…，都是等腰直角三角形，想办法求出OB 1，OB 2，OB 3，OB 4，…，探究规律，利用规律解决问题即可得出结论． 【解析】由题意，△OA 1B 1，△B 1A 2B 2，△B 2A 3B 3，…，都是等腰直角三角形， ∵A 1（1，1），∴OB 1＝2，设A 2（m ，2+m ）， 则有m （2+m ）＝1， 解得m =2−1， ∴OB 2＝22，设A 3（a ，22+n ），则有n ＝a （22+a ）＝1， 解得a =3−2， ∴OB 3＝23，同法可得，OB 4＝24， ∴OB n ＝2n ， ∴B n （0，2n ）． 故选：D ．限交于B 、C 两点，且AB •AC ＝16．下列等边三角形△OD 1E 1，△E 1D 2E 2，△E 2D 3E 3，…的边OE 1，E 1E 2，E 2E 3，…在x 轴上，顶点D 1，D 2，D 3，…在该双曲线第一象限的分支上，则k ＝ ，前25个等边三角形的周长之和为 ．【分析】设直线y =−3x +b 与x 轴交于点D ，作BE ⊥y 轴于E ，CF ⊥y 轴于F ．首先证明∠ADO ＝60°，可得AB ＝2BE ，AC ＝2CF ，由直线y =−3x +b 与双曲线y =kx 在第一象限交于点B 、C 两点，可得−3x +b =kx ，整理得，−3x 2+bx ﹣k ＝0，由韦达定理得：x 1x 2=33k ，即EB •FC =33k ，由此构建方程求出k 即可，第二个问题分别求出第一个，第二个，第三个，第四个三角形的周长，探究规律后解决问题．【解析】设直线y =−3x +b 与x 轴交于点D ，作BE ⊥y 轴于E ，CF ⊥y 轴于F ． ∵y =−3x +b ， ∴当y ＝0时，x =33b ，即点D 的坐标为（33b ，0），当x ＝0时，y ＝b ，即A 点坐标为（0，b ）， ∴OA ＝﹣b ，OD =−33b ．∵在Rt △AOD 中，tan ∠ADO =OAOD =3，∴∠ADO ＝60°．∵直线y =−3x +b 与双曲线y =kx 在第三象限交于B 、C 两点， ∴−3x +b =kx ，整理得，−3x 2+bx ﹣k ＝0， 由韦达定理得：x 1x 2=33k ，即EB •FC =33k ， ∵EBAB =cos60°=12， ∴AB ＝2EB ，同理可得：AC ＝2FC ，∴AB •AC ＝（2EB ）（2FC ）＝4EB •FC =433k ＝16， 解得：k ＝43．由题意可以假设D 1（m ，m 3）， ∴m 2•3=43， ∴m ＝2∴OE 1＝4，即第一个三角形的周长为12， 设D 2（4+n ，3n ）， ∵（4+n ）•3n ＝43， 解得n ＝22−2，∴E 1E 2＝42−4，即第二个三角形的周长为122−12， 设D 3（42+a ，3a ）， 由题意（42+a ）•3a ＝43，解得a ＝23−22，即第三个三角形的周长为123−122， …，∴第四个三角形的周长为124−123， ∴前25个等边三角形的周长之和12+122−12+123−122+124−123+⋯+1225−1224=1225=60， 故答案为43，60．2．（2020•怀化）如图，△OB 1A 1，△A 1B 2A 2，△A 2B 3A 3，…，△A n ﹣1B n A n ，都是一边在x 轴上的等边三角形，点B 1，B 2，B 3，…，B n 都在反比例函数xy 3（x ＞0）的图象上，点A 1，A 2，A 3，…，A n ，都在x 轴上，则A n 的坐标为 ．【分析】如图，过点B 1作B 1C ⊥x 轴于点C ，过点B 2作B 2D ⊥x 轴于点D ，过点B 3作B 3E ⊥x 轴于点E ，先在△OCB 1中，表示出OC 和B 1C 的长度，表示出B 1的坐标，代入反比例函数解析式，求出OC 的长度和OA 的长度，表示出A 1的坐标，同理可求得A 2、A 3的坐标，即可发现一般规律．【解析】如图，过点B 1作B 1C ⊥x 轴于点C ，过点B 2作B 2D ⊥x 轴于点D ，过点B 3作B 3E ⊥x 轴于点E ，∵△OA 1B 1为等边三角形， ∴∠B 1OC ＝60°，OC ＝A 1C ， ∴B 1C =3OC ，设OC 的长度为t ，则B 1的坐标为（t ，3t ）， 把B 1（t ，3t ）代入y =3x得t •3t =3，解得t ＝1或t ＝﹣1（舍去），∴OA 1＝2OC ＝2， ∴A 1（2，0），设A 1D 的长度为m ，同理得到B 2D =3m ，则B 2的坐标表示为（2+m ，3m ）， 把B 2（2+m ，3m ）代入y =3x 得（2+m ）×3m =3，解得m =2−1或m =−2−1（舍去），∴A 1D =2−1，A 1A 2=22−2，OA 2=2+22−2=22， ∴A 2（22，0）设A 2E 的长度为n ，同理，B 3E 为3n ，B 3的坐标表示为（22+n ，3n ）， 把B 3（22+n ，3n ）代入y =3x得（22+n ）•3n =3，∴A 2E =3−2，A 2A 3=23−22，OA 3=22+23−22=23， ∴A 3（23，0），综上可得：A n （2n ，0）， 故答案为：(2n ，0)．1．（2020•内江）如图，在平面直角坐标系中，点A （﹣2，0），直线l ：y =33x +33与x轴交于点B ，以AB 为边作等边△ABA 1，过点A 1作A 1B 1∥x 轴，交直线l 于点B 1，以A 1B 1为边作等边△A 1B 1A 2，过点A 2作A 2B 2∥x 轴，交直线l 于点B 2，以A 2B 2为边作等边△A 2B 2A 3，以此类推……，则点A 2020的纵坐标是 ．【分析】先根据解析式求得B 的坐标，即可求得AB ＝1，根据等边三角形的性质以及含30°角的直角三角形的性质，分别求得A 1的纵坐标为32，A 2的纵坐标为332，A 3的纵坐标为732，进而得到A n 的纵坐标为2n −123，据此可得点A 2020的纵坐标．【解析】∵直线l ：y =33x +33与x 轴交于点B ，∴B （﹣1，0），提分训练∴OB ＝1， ∵A （﹣2，0）， ∴OA ＝2， ∴AB ＝1，∵△ABA 1是等边三角形， ∴A 1（−32，32）， 把y =32代入y =33x +33，求得x =12，∴B 1（12，32）， ∴A 1B 1＝2， ∴A 2（−12，32+32×2），即A 2（−12，332），把y =332代入y =33x +33，求得x =72，∴B 2（72，332）， ∴A 2B 2＝4， ∴A 3（3，332+32×4），即A 3（3，732），……， A n 的纵坐标为2n −123，∴点A 2020的纵坐标是22020−123，故答案为22020−123．2．（2021·四川广安市）如图，在平面直角坐标系中，AB y ⊥轴，垂足为B ，将ABO 绕点A 逆时针旋转到11AB O V 的位置，使点B 的对应点1B 落在直线34y x =-上，再将11AB O V 绕点1B 逆时针旋转到112A B O 的位置，使点1O 的对应点2O 也落在直线34y x=-上，以此进行下去……若点B 的坐标为()0,3，则点21B 的纵坐标为______．【答案】3875【分析】计算出△AOB 的各边，根据旋转的性质，求出OB 1，B 1B 3，...，得出规律，求出OB 21，再根据一次函数图像上的点求出点B 21的纵坐标即可．【详解】解：∵AB ⊥y 轴，点B （0，3），∴OB =3，则点A 的纵坐标为3，代入34y x =-， 得：334x =-，得：x =-4，即A （-4，3），∴OB =3，AB =4，OA ，由旋转可知：OB =O 1B 1=O 2B 1=O 2B 2=…=3，OA =O 1A =O 2A 1=…=5，AB =AB 1=A 1B 1=A 2B 2=…=4， ∴OB 1=OA +AB 1=4+5=9，B 1B 3=3+4+5=12，∴OB 21=OB 1+B 1B 21=9+（21-1）÷2×12=129，设B 21（a ，34a -），则OB 21129=， 解得：5165a =-或5165（舍）， 则335163874455a ⎛⎫-=-⨯-= ⎪⎝⎭，即点B 21的纵坐标为3875， 故答案为：3875． 3．（2021·贵州毕节市）如图，在平面直角坐标系中，点()11,1N 在直线:l y x =上，过点1N 作11N M l ⊥，交x 轴于点1M ；过点1M 作12M N x ⊥轴，交直线l 于点2N ；过点2N 作22N M l ⊥，交x 轴于点2M ；过点2M 作23M N x ⊥轴，交直线l 于点3N ；…；按此作法进行下去，则点2021M 的坐标为_____________．【答案】（20212，0）.【分析】根据题目所给的解析式，求出对应的1M 坐标，然后根据规律求出n M 的坐标，最后根据题目要求求出最后答案即可.【详解】解：如图，过点N 作NM ⊥x 轴于M将1x =代入直线解析式y x =中得1y = ∴1OM MN ==，MON ∠=∵1ONM =∠90°∴1ON NM =∵1ON NM ⊥∴11OM MM ==∴1M 的坐标为（2，0）同理可以求出2M 的坐标为（4，0）同理可以求出3M 的坐标为（8，0）同理可以求出n M 的坐标为（2n ，0）∴2021M 的坐标为（20212，0）故答案为：（20212，0）.4．（2021·内蒙古呼伦贝尔）如图，点1B 在直线1:2l y x =上，点1B 的横坐标为2，过点1B 作11B A x ⊥轴，垂足为1A ，以11A B 为边向右作正方形1112A B C A ，延长21A C 交直线l 于点2B ；以22A B 为边向右作正方形2223A B C A ，延长32A C 交直线l 于点3B ；……；按照这个规律进行下去，点2021B 的坐标为___________．【答案】202020202019202033(,)22【分析】由题意分别求出A 1、A 2、A 3、A 4……A n 、B 1、B 2、B 3、B 4……B n 、的坐标，根据规律进而可求解．【详解】解：∵点1B 在直线1:2l y x =上，点1B 的横坐标为2，过点1B 作11B A x ⊥轴，垂足为1A ， ∴1(2,0)A ，1(2,1)B ，∴A 1B 1=1，根据题意，OA 2=2+1=3，∴2(3,0)A ，23(3,)2B ，同理，39 (,0) 2A，399 (,) 24B，427 (,0) 4A，42727 (, 48B ……由此规律，可得：123(,0)2nn nA--，112133(,)22n nn n nB----，∴20211202112021202122021133(,)22B----即2020202020212019202033(,)22B，故答案为：2020202020192020 33 (,) 22。
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平面直角坐标系找规律题型解析1、如图，正方形ABCD 的顶点分别为A(1,1) B(1，-1) C(-1，-1) D(-1，1)，y 轴上有一点P(0，2)。
作点P 关于点A 的对称点p1，作p1关于点B 的对称点p2，作点p2关于点C 的对称点p3，作p3关于点D 的对称点p4，作点p4关于点A 的对称点p5，作p5关于点B 的对称点p6┅，按如此操作下去，则点p2011的坐标是多少？解法1：对称点P1、P2、P3、P4每4个点，图形为一个循环周期。
设每个周期均由点P1，P2，P3，P4组成。
第1周期点的坐标为：P1(2,0)，P2(0,-2)，P3(-2,0)，P4(0,2)第2周期点的坐标为：P1(2,0)，P2(0,-2)，P3(-2,0)，P4(0,2)第3周期点的坐标为：P1(2,0)，P2(0,-2)，P3(-2,0)，P4(0,2)第n 周期点的坐标为：P1(2,0)，P2(0,-2)，P3(-2,0)，P4(0,2)2011÷4=502…3，所以点P2011的坐标与P3坐标相同，为（－2，0）解法2：根据题意，P1（2，0） P2（0，－2） P3（－2，0） P4（0，2）。
根据p1-pn 每四个一循环的规律，可以得出：P4n （0，2），P4n+1（2，0），P4n+2（0，－2），P4n+3（－2，0）。
2011÷4=502…3，所以点P2011的坐标与P3坐标相同，为（－2，0）总结：此题是循环问题，关键是找出每几个一循环，及循环的起始点。
此题是每四个点一循环，起始点是p 点。
2、在平面直角坐标系中，一蚂蚁从原点O 出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位．其行走路线如下图所示．（1）填写下列各点的坐标：A4（ ， ），A8（ ， ），A10（ ， ），A12（ ）；（2）写出点A4n 的坐标（n 是正整数）；（3）按此移动规律，若点Am 在x 轴上，请用含n 的代数式表示m （n 是正整数）（4）指出蚂蚁从点A2011到点A2012的移动方向．（5）指出蚂蚁从点A100到点A101的移动方向．（6）指出A106，A201的的坐标及方向。
解法：（1）由图可知，A4，A12，A8都在x 轴上，∵小蚂蚁每次移动1个单位， ∴OA4=2，OA8=4，OA12=6，∴A4（2，0），A8（4，0），A12（6，0）；同理可得出：A10（5，1）（2）根据（1）OA4n=4n÷2=2n，∴点A4n 的坐标（2n ，0）；（3）∵只有下标为4的倍数或比4n 小1的数在x 轴上，∴点Am 在x 轴上，用含n 的代数式表示为：m=4n 或m=4n-1；（4）∵2011÷4=502…3，O 1 A 1 A 2 A 3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A 10 A 11 A 12 xy∴从点A2011到点A2012的移动方向与从点A3到A4的方向一致，为向右．（5）点A100中的n正好是4的倍数，所以点A100和A101的坐标分别是A100（50，0）和A101（50，1），所以蚂蚁从点A100到A101的移动方向是从下向上。
（6）方法1：点A1、A2、A3、A4每4个点，图形为一个循环周期。
设每个周期均由点A1，A2，A3，A4组成。
第1周期点的坐标为：A1(0,1)， A2(1,1)， A3(1,0)， A4(2,0)第2周期点的坐标为：A1(2,1)， A2(3,1)， A3(3,0)， A4(4,0)第3周期点的坐标为：A1(4,1)， A2(5,1)， A3(5,0)， A4(6,0)第n周期点的坐标为：A1(2n-2,1)，A2(2n-1,1)，A3(2n-1,0)，A4(2n,0)106÷4=26…2，所以点A106坐标与第27周期点A2坐标相同,(2×27-1,1)，即(53,1)方向朝下。
201÷4=50…1，所以点A201坐标与第51周期点A1坐标相同,(2×51-2,1)，即(100,1)方向朝右。
方法2：由图示可知，在x轴上的点A的下标为奇数时，箭头朝下，下标为偶数时，箭头朝上。
106=104+2，即点A104再移动两个单位后到达点A106，A104的坐标为（52，0）且移动的方向朝上，所以A106的坐标为（53，1），方向朝下。
同理：201=200+1，即点A200再移动一个单位后到达点A201，A200的坐标为（100，0）且移动的方向朝上，所以A201的坐标为（100，1），方向朝右。
3、一只跳蚤在第一象限及x轴、y轴上跳动，在第一秒钟，它从原点跳动到(0，1)，然后接着按图中箭头所示方向跳动[即(0，0)→(0，1) →(1，1) →（1，0）→…]，且每秒跳动一个单位，那么第35秒时跳蚤所在位置的坐标是多少？第42、49、2011秒所在点的坐标及方向？解法1：到达（1，1）点需要2秒到达（2，2）点需要2+4秒到达（3，3）点需要2+4+6秒到达（n，n）点需要2+4+6+...+2n秒＝n(n+1)秒当横坐标为奇数时，箭头朝下，再指向右，当横坐标为偶数时，箭头朝上，再指向左。
35=5×6+5，所以第5*6=30秒在（5，5）处，此后要指向下方，再过5秒正好到（5,0）即第35秒在（5，0）处，方向向右。
42=6×7，所以第6×7=42秒在（6，6）处，方向向左49=6×7+7，所以第6×7=42秒在（6，6）处，再向左移动6秒，向上移动一秒到（0，7）即第49秒在（0，7）处，方向向右解法2：根据图形可以找到如下规律，当n为奇数是n2秒处在（0，n）处，且方向指向右；当n为偶数时n2秒处在（n，0）处，且方向指向上。
35=62-1，即点（6，0）倒退一秒到达所得点的坐标为（5，0），即第35秒处的坐标为（5，0）方向向右。
用同样的方法可以得到第42、49、2011处的坐标及方向。
4、如图，所有正方形的中心均在坐标原点，且各边与x轴或y轴平行．从内到外，它们的边长依次为2，4，6，8，…，顶点依次用A1，A2，A3，A4，…表示，顶点A55的坐标是（）解法1：观察图象，每四个点一圈进行循环，根据点的脚标与坐标寻找规律。
观察图象，点A1、A2、A3、A4每4个点，图形为一个循环周期。
设每个周期均由点A1，A2，A3，A4组成。
第1周期点的坐标为：A1(-1,-1)， A2(-1,1)， A3(1,1)， A4(1,-1)第2周期点的坐标为：A1(-2,-2)， A2(-2,2)， A3(2,2)， A4(2,-2)第3周期点的坐标为：A1(-3,-3)， A2(-3,3)， A3(3,3)， A4(3,-3)第n周期点的坐标为：A1(-n,-n)， A2(-n,n)， A3(n,n)， A4(n,-n)∵55÷4=13…3，∴A55坐标与第14周期点A3坐标相同,(14,14)，在同一象限解法2：∵55=4×13+3，∴A55与A3在同一象限，即都在第一象限，根据题中图形中的规律可得：3=4×1-1，A3的坐标为（1，1），7=4×2-1，A7的坐标为（2，2），11=4×3-1，A11的坐标为（3，3）；55=4×14-1，A55（14，14）5、在平面直角坐标系中，对于平面内任一点（m，n），规定以下两种变换：（1）f（m，n）=（m，﹣n），如f（2，1）=（2，﹣1）；（2）g（m，n）=（﹣m，﹣n），如g（2，1）=（﹣2，﹣1）．按照以上变换有：f[g（3，4）]=f(﹣3,﹣4)=（﹣3，4），那么g[f（﹣3，2）]等于（）解：∵f（﹣3，2）=（﹣3，﹣2），∴g[f（﹣3，2）]=g（﹣3，﹣2）=（3，2），6、在平面直角坐标系中，对于平面内任一点（a，b），若规定以下三种变换：1、f（a，b）=（﹣a，b）．如：f（1，3）=（﹣1，3）；2、g（a，b）=（b，a）．如：g（1，3）=（3，1）；3、h（a，b）=（﹣a，﹣b）．如：h（1，3）=（﹣1，﹣3）．按照以上变换有：f(g(2,﹣3))=f(-3，2）=(3,2)，那么f(h(5,-3))等于（）（5，3）7、一质点P从距原点1个单位的M点处向原点方向跳动，第一次跳动到OM的中点M3处，第二次从M3跳到OM3的中点M2处，第三次从点M2跳到OM2的中点M1处，如此不断跳动下去，则第n次跳动后，该质点到原点O的距离为（）解：由于OM=1，所有第一次跳动到OM的中点M3处时，OM3=OM=，同理第二次从M3点跳动到M2处，即在离原点的2处，同理跳动n次后，即跳到了离原点的处8、如图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标分别为整数的点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（1，1），（1，2），（2，2）…根据这个规律，第2012个点的横坐标为（）45 ．解：根据图形，以最外边的矩形边长上的点为准，点的总个数等于x轴上横坐标的平方，例如：右下角的点的横坐标为1，共有1个，1=12，右下角的点的横坐标为2时，共有4个，4=22，右下角的点的横坐标为3时，共有9个，9=32，右下角的点的横坐标为4时，共有16个，16=42，右下角的点的横坐标为n时，共有n2个，∵452=2025，45是奇数，∴第2025个点是（45，0），第2012个点是（45，13），9、（2007•遂宁）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（3，2），（3，1），（3，0）…根据这个规律探究可得，第88个点的坐标为（）．解：由图形可知：点的横坐标是偶数时，箭头朝上，点的横坐标是奇数时，箭头朝下。
坐标系中的点有规律的按列排列，第1列有1个点，第2列有2个点，第3列有3个点…第n列有n个点。
∵1+2+3+4+…+12=78，∴第78个点在第12列上，箭头常上。
∵88=78+10，∴从第78个点开始再经过10个点，就是第88个点的坐标在第13列上，坐标为（13，13-10），即第88个点的坐标是（13，3）10、如图，已知Al（1，0），A2（1，1），A3（﹣1，1），A4（﹣1，﹣1），A5（2，﹣1），…．则点A2007的坐标为（）．解法1：观察图象，点A1、A2、A3、A4每4个点，图形为一个循环周期。
设每个周期均由点A1，A2，A3，A4组成。
第1周期点的坐标为：A1(1,0)， A2(1,1)， A3(-1,1)， A4(-1,-1)第2周期点的坐标为：A1(2,-1)， A2(2,2)， A3(-2,2)， A4(-2,-2)第3周期点的坐标为：A1(3,-2)， A2(3,3)， A3(-3,3)， A4(-3,-3)第n周期点的坐标为：A1(n,-(n-1))， A2(n,n)， A3(-n,n)， A4(-n,-n)因为2007÷4=501…3，所以A2007的坐标与第502周期的点A3的坐标相同，即(-502,502) 解法2：由图形以可知各个点（除A1点和第四象限内的点外）都位于象限的角平分线上，位于第一象限点的坐标依次为A2（1，1） A6（2，2） A10（3，3）…A4n﹣2（n，n）。