昆明理工大学线性代数考试试题集及答案

《线性代数B 》 2010～ 2011 学年第 一 学期课程试卷A一、填空1.1256427825169454321111= 12 .2． 设A 、B 为4阶方阵，且,2||1=-A 813=B ，则=||AB 1/2 .3. 给定矩阵A ，且E A -可逆,满足B A E AB +=+2,则=B E A + .4．设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=210110001A ，则=-1A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--110120001 . 5．已知321,,ααα线性相关,3α不能由21,αα线性表示，则21,αα线性 相关 ．6．设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=120,61,321321αααt ，且1α,32αα,线性相关， 则=t 8 ． 7.设A 是34⨯矩阵,且2)(=A R ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=213010321B 则=)(AB R __2___ 8．设三阶方阵A 的每行元素之和均为零，又2)(=A R ，则齐次线性方程组O Ax =的通解为)(111R k k ∈⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡ .9. 向量组,11011⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=α,02132⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=α,31103⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=α⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=01014α的一个最大线性无关组为 421,,ααα .10. 设A 为n 阶方阵,0=Ax 有非零解,则A 必有一个特征值为 0 .二、单项选择1..若=---+=--121203242,1122013z y x zyx则( A ))A ( 1- ； )B ( 2 ； )C ( 1 ； )D ( 0.2．设C B A ,,均为二阶方阵，AC AB =，则当(C )时，可以推出C B =．.1111)D (;0110)C (;0011)B (;0101)A (⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=A A A A3. 下列结论正确的是( A ) ．)A ( s ααα,,,21Λ线性无关的充要条件是其中任意一个向量都不是其余向量的线性组合; )B ( 若向量321,,ααα线性相关，则21,αα线性相关； )C ( 若n 阶方阵A 与对角阵相似，则A 有n 个不同的特征值;)D ( 若方程组O Ax =有非零解，则b Ax =有无穷多解.4. 已知321,,ηηη是四元方程组b Ax =的三个解，其中,3)(=A R ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=43211η，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=+444432ηη，则以下不是方程组b Ax =的通解为( D ) .)A (;43214202⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--k )B ( ;43212101⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--k )C (;22222101⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--k )D (⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡43210123k .5. 设向量组321,,ααα线性无关，则下列向量组中线性无关的是（ B ）)A (133221,,αααααα--- ; )B (1321,,αααα+ ;)C (212132,,αααα- ; )D (32322,,αααα+.6．若n 阶矩阵B A ,有共同的特征值，且各有n 个线性无关的特征向量，则（A ）)A ( A 与B 相似; )B (B A ≠，但0||=-B A ;)C ( B A =; )D (A 与B 不一定相似，但||||B A =.7. 设,,222111p Ap p Ap λλ==且,21λλ≠则以下结论正确的是（ B ）.)A (21p p +不一定是A 的一个特征向量; )B (21p p +一定不是A 的一个特征向量;)C (21p p +一定是A 的一个特征向量; )D (21p p +为零向量.三、k 为何值时,线性方程组 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-++=-++=-+k x x x x x x x x x x x x x 4243214321421,6,322,1有解，并在有解时求通解.解: ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=k k A 10105010021110110111010611113212111011⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+--→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----→3000501002*********20100501002111011011k k 当3-=k 时，方程组有解，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--→00000501003101040001A ，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+-==443421534x x x x x x ， （12分） 通解为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=10100534k X四、已知矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=000100b b a A 的特征值之和为1，特征值之积为1-． (1) 求)0(,>b b a 的值； (2) 求可逆矩阵P 和对角阵Λ，使得Λ=-AP P 1.解 .1,011012==⇒⎩⎨⎧-=-=++b a b a ,001010100⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=A)1()1(0101102+-=---=-λλλλλλA E .1,1321-===∴λλλ当121==λλ时，,000000101101000101⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=-A E ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=∴101,01021p p当13-=λ时，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=∴⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=--101,0000101011010201013p A E ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=110001110P 取 有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-1111AP P五、计算 111222111---=n nnn a a a a a a a a a D ΛM MM ΛΛ.11111)122211---++∑=n nnni i n a a a a a a a r r D ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ（解101001)121112-----∑=ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛnni i n a a a c c c c （11)1)(1-=--=∑n ni i a （六、设A 为3阶矩阵，12,αα为A 的分别属于特征值1,1-特征向量，向量3α满足323A ααα=+，证明（1）123,,ααα线性无关；（2）令123,,P ααα=⎡⎤⎣⎦，求1P AP -. 证明 O k k k =++332211ααα (1)， O k k k A =++)(332211ααα 即O k k k =+++-)(3232211αααα(2) (2)-(1) O k k =+-⇒23112αα 因为21,αα线性无关，,031==∴k k 代入（1），得0,,2222=∴≠=k O O k ααΘ123,,ααα∴线性无关（2）1100011001P AP --⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦《线性代数B 》2010～ 2011 学年第 一 学期课程试卷B一、填空1.设 8143701222226321|)(|||44-==⨯ij a A ,又ij A 是ij a 的代数余子式,则44434241A A A A +++=02 设A 、B 为3阶方阵，且,2||=A 8131=-B，则=-||1B A 1/6 .3. 设A 为方阵,满足022=--E A A ,则=-1A2E A - .4．设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=200031011A ，则=-1A⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--10001101321 . 5．向量组1321,,,αααα线性 相 关．6．设A 是n m ⨯矩阵,r A R =)(,则齐次线性方程组O Ax =有非零解的充分必要条件是 nr <7.设A 是34⨯矩阵,且2)(=A R ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=213010321B 则=)(AB R __2___ 8．设三阶方阵A 的每行元素之和均为3，则A 有特征值 3 .9. 向量组⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=7931,1813,1511321ααα的一个最大线性无关组为21,αα.10．属于方阵A 的不同特征值的特征向量一定 线性无关 . 二、单项选择1..若=---=322212332313323122211211333231232221131211,1a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 则( A ).)A ( 1- ； )B ( 2 ； )C ( 1 ； )D ( 0.2．设A 为n m ⨯矩阵，且n m <，则一定有( D )．()();)B (;)A (n A R m A R ==()().)D (;)C (m A R n A R m ≤≤≤3. 下列结论错误的是( D ) ．)A ( s ααα,,,21Λ线性无关的充要条件是其中任意一个向量都不是其余向量的线性组合;)B ( 若向量321,,ααα线性无关，则21,αα线性无关；)C ( n 阶方阵A 与对角阵相似是A 有n 个不同的特征值的必要条件;)D ( 若方程组O Ax =有非零解，则b Ax =有无穷多解.4. 设矩阵n m A ⨯的秩n m A R <=)(，下述结论中正确的是 D .)(A A 的任意m 个列向量必线性无关； )(B A 的任意一个m 阶子式不等于零；)(C 齐次线性方程组0=Ax 只有零解； )(D 非齐次线性方程组b Ax =必有无穷多解.5. n 阶矩阵C B A ,,满足,E ABC =则下列各式中成立的是 D .)(A E BCA D E BAC C E CBA B E ACB ====)(;)(;)(;6．设矩阵142242A ab a ⎡⎤⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥+⎣⎦2 12 的秩为2，则 C（A ）0,0==b a ； （B ）0,0≠=b a ； （C ）0,0=≠b a ； （D ）0,0≠≠b a . 7. B A ,均为n 阶方阵，则下列结论中 B 成立．（A ）,0=AB 则,O A =或O B =； （B ） ,0=AB 则,0=A 或0=B ； （C ）,O AB =则,O A =或O B =； （D ）,O AB ≠则,0≠A 或0≠B ． 三、k 为何值时，线性方程组有解．并在有解时求通解．⎪⎩⎪⎨⎧=+++=-+++=++++.622,0323,154325432154321k x x x x x x x x x x x x x x 解 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=k A M M M 62210031123111111 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----→k M M M 62210362210111111⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------→300000362210111111k M M M当,52)()(3<===B R A R k 时，所以有依赖于3个独立参数的无穷多解．⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----→300000362210251101k M M M得 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===+--+-=-++=55443354325431362225x x x x x x x x x x x x x x).,,(00032000650102100121321321R c c c c c c x ∈⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=∴四、已知矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=101010101A , 求可逆矩阵P 与对角阵Λ,使得Λ=-AP P 1. 解 ),2)(1(11010101--=---=-λλλλλλλA E 2,1,0321===∴λλλ，进一步可求得相应的特征向量为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=101,010,101321p p p 。