北师大版九年级数学2017第一章特殊平行四边形
课题第一章特殊平行四边形1.1 菱形的性质与判定主备教师谢娟参与教师侯俊代志军陆勇审核人谢娟课时1授课时间学习目标1.经历从现实生活中抽象出图形的过程，了解菱形的概念及其与平行四边形的关系；2.体会菱形的轴对称性，经历利用折纸等活动探索菱形性质的过程，发展合情推理能力；3.在证明性质和运用性质解决问题的过程中进一步发展学生的逻辑推理能力重点菱形的概念及其与平行四边形的关系难点在证明性质和运用性质解决问题的过程中进一步发展学生的逻辑推理能力方法准备探索、发现法多媒体课件导学过程个性化设计第一环节课前准备1、课前布置学生复习平行四边形的性质，搜集菱形的相关图片。
2、准备菱形纸片，上课前发给学生上课时使用。
第二环节设置情境，提出课题【教学内容】学生：观察衣服、衣帽架和窗户等实物图片。
教师：同学们，在观察图片后，你能从中发现你熟悉的图形吗？你认为它们有什么样的共同特征呢？学生1：图片中有八年级学过的平行四边形。
教师：请同学们观察，彩图中的平行四边形与ABCD相比较，还有不同点吗？学生2：彩图中的平行四边形不仅对边相等，而且任意两条邻边也相等。
教师：同学们观察很仔细，像这样，“一组邻边相等的平行四边形叫菱形”。
通过这个环节，培养了学生的观察和对比分析能力。
上课时让学生观察图形，从直观上把握菱形的特点，从而给出菱形的定义，让学生明确菱形不但是平行四边形，而且有其特点“一组邻边相等”。
同时，要让学生体会数学来源于生活，让学生去发现生活中因为有了数学而变得更精彩，从而提高学生学习数学的兴趣。
第三环节 猜想 、探究与证明 1、想一想①教师：菱形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所有性质。
你能列举一些这样的性质吗？学生：菱形的对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分。
②教师：同学们，你认为菱形还具有哪些特殊的性质？请你与同伴交流。
学生活动：分小组讨论菱形的性质，组长组织组员讨论，让尽可能多的组员发言，并汇总结果。
教师活动：教师巡视，并参与到学生的讨论中，启发同学们类比平行四边形，从图形的边、角和对角线三个方面探讨菱形的性质。
对学生的结论，教师要及时评价，积极引导，激励学生。
2、做一做教师：请同学们用菱形纸片折一折，回答下列问题：（1）菱形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？对称轴之间有什么位置关系？（2）菱形中有哪些相等的线段？学生活动：分小组折纸探索教师的问题答案。
组长组织，并汇总结果。
教师活动：教师巡视并参与学生活动，引导学生分析怎样折纸才能得到正确的结论。
学生研讨完毕，教师要展示汇总学生的折纸方法以及相应的结论，以便于后面的教学。
师生结论：①菱形是周对称图形，有两条对称轴，是菱形对角线所在的直线，两条对角线互相垂直。
②菱形的四条边相等。
3、证明菱形性质教师：通过折纸活动，同学们已经对菱形的性质有了初步的理解，下面我们要对菱形的性质进行严格的逻辑证明。
教师活动：展示题目已知：如图1-1，在菱形ABCD 中，AB=AD,对角线AC 与BD 相交于点O. 求证：（1）AB=BC=CD=AD ；（2）AC ⊥BD.师生共析：①菱形不仅对边相等，而且邻边相等，这样就可以证明菱形的四条ODACB图课题 1.1菱形的性质与判定（二）FEODBCA活动目的：菱形判定定理的证明首先可以让学生对菱形的性质和判定的关系有一定的认识，再对比性质定理的证明进行，同时，通过教师引导和独立思考，培养学生遇到题目时冷静思考，找到解题思路的良好习惯。
在分析思路时，逐步锻炼学生的推理论证能力，最后通过互查的形式让每个学生都能严格的证明，培养严谨的作风。
通过小组合作，在合作中让学生相互帮助共同进步。
第五环节：实际应用，练习巩固 1.教材P 7随堂练习画菱形,使它的两条对角线长分别是4cm 、6cm. 2.教材P 8 知识技能1已知:如图,在□ABCD 中,对角线AC 的垂直平分线分别与AD 、AC 、BC 相较于点E 、O 、F.求证: 四边形AECF 是菱形 第六环节：课堂小结活动内容：学生互相交流菱形的性质与判定定理，何时该选用性质定理，何时选择判定定理，菱形与平行四边形的关系，遇到菱形实际题目时如何分析思路，以及遇到困难时如何克服等。
第六环节：作业布置 1.教材P 8 知识技能2此题要求有能力的同学分别运用本节课学习的菱形的两条判定定理进行证明. 2. 教材P 8 数学理解3 板书设计：教学反思：1.1菱形的性质与判定（三）主备教师 谢娟 参与教师 侯 俊 代志军 陆勇 审 核 人谢娟课 时1授课时间学 习 目 标1.知识与技能目标能灵活运用菱形的性质定理及判定定理解决一些相关问题，并掌握菱形面积的求法。
2.过程与方法目标经历菱形性质定理及判定定理的应用过程，体会数形结合、转化等思想方法。
3.情感与态度目标在学习过程中感受数学与生活的联系，增强学生的数学应用意识；在学习过程中通过小组合作交流，培养学生的合作交流能力与数学表达能力。
重点 能灵活运用菱形的性质定理及判定定理解决一些相关问题，并掌握菱形面积的求法。
难点经历菱形性质定理及判定定理的应用过程，体会数形结合、转化等思想方法。
方 法 准 备合作探究导 学 过 程个性化设计 第一环节：知识回顾内容：同学们通过前两节课的学习我们已经知道了菱形的性质及判定，你能完成下面几个题目吗？1.如图1所示：在菱形ABCD 中，AB=6，请回答下列问题： (1)其余三条边AD 、DC 、BC 的长度分别是多少？ (2)对角线AC 与BD 有什么位置关系？ (3)若∠ADC=120°，求AC 的长。
2. 如图2所示：在□ABCD 中添加一个条件使其成为菱形：添加方式1： .添加方式2： . 目的：通过一些简单题目的设计，帮助学生回顾菱形的相关性质及判定方法，学生从题目入手，不会显得那么古板枯燥，不仅能回顾相关知识而且能激发学生学习兴趣。
第二环节：知识应用 1.典型例题：例3 如图3，四边形ABCD 是边长为13cm 的菱形，其中对角线BD 长为10cm.求：(1)对角线AC 的长度；(2)菱形ABCD 的面积.E DCBA图1EDCB A图2EDCBA解：(1)∵四边形ABCD 是菱形， ∴AC ⊥BD,即∠AED=90°，DE=12BD ×10=5（cm ）∴在Rt △ADE 中，由勾股定理可得：222213512().AE AD DE cm =-=-=∴AC=2AE=2×12=24(cm).（2）S 菱形ABCD = S △ABD + S △CBD =2×S △ABD =2×12×BD ×AE= BD ×AE=10×12=120(cm 2).目的：通过例3让学生对菱形的相关性质进行灵活应用，同时学生对于具体的问题通过自主思考、小组交流、学生展讲、教师点拨后基本能形成比较好的解题思路。
2.变式训练：如上图3，四边形ABCD 是菱形，其中对角线BD 长为12cm ，AC 长为16cm.求：(1)菱形的边长； (2)求菱形一条边上的高。
目的：变式训练的设计，是想让学生更加深入地掌握菱形的相关性质，同时对于第二问，学生必须灵活运用菱形的面积等于对角线乘积的一半，这一结论求出面积进而求出一边上的高。
1：已知菱形的周长为40cm ，一条对角线长为16cm ，则这个菱形的面积是 第三环节：拓展提高1.如图4，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠部分ABCD 是菱形吗？为什么？2.如图5,你能用一张锐角三角形纸片ABC 折出一个菱形，使∠A 成为菱形一个内角吗？目的：很多学生在玩耍的时候经常玩纸条，学生非常熟悉这一背景，但是他们很少发现其中的数学知识，这样也能引起学生的兴趣，同时通过这一题目对于菱形的相关判定方法也进行了巩固。
第四环节：效果检测1.如图6所示，菱形ABCD 的周长为40cm ，它的一条对角线BD 长10cm ，则 ∠ABC= °，AC= cm.2.如图7，四边形ABCD 是菱形，对角线AC 和BD 相交于点O ，AC=4cm ，BD=8cm ，则这个菱形的面积是 cm 2．图ECDABO CDABH EGF BA DC图ABC3.已知，如图8，在四边形ABCD 中，AD=BC ，点E 、F 、G 、H 分别是AB 、CD 、AC 、BD 的中点，四边形EGFH 是（ ）A.矩形B.菱形C.等腰梯形D.正方形4. 已知：如图9，在菱形ABCD 中，E 、F 分别是AB 和BC 上的点，且BE=BF ， 求证：(1)△ADE ≌CDF ； (2) ∠DEF=∠DFE.已知：如图10，在Rt △ABC=90°，∠BAC=60°，BC 的垂直平分线分别交BC 和AB 于点D 、E ，点F 在DE 延长线上，且AF=CE,求证：四边形ACEF 是菱形.第五环节：课堂小结内容：通过本节课的学习你有哪些收获，你还存在什么疑问？请从以下三个方面进行总结：知识收获、方法收获、关注问题。
总结完成后请小组内进行交流。
最后教师应对本节课方法上，解题思路上进行升华点拨。
第六环节：作业课本p27知识技能第3题，第4题，第8题； 板书设计：教学反思：FADCBE图DFBEAC图课题 2. 1矩形的性质与判定（一）活动目的：从学生的已有的知识出发，通过教具演示，让学生经历了矩形概念的探究过程，自然而然地形成矩形的概念第二环节：分组讨论，探究新知活动内容：1. 既然矩形是平行四边形,那么它具有平行四边形的哪些性质？在同学回答的基础上进行归纳：2.但矩形是特殊的平行四边形，它还具有一些特殊性质。
下面我们来进一步研究矩形的其他性质。
（1）请同学们以小组为单位，测量身边的矩形（如书本，课桌，铅笔盒等）的四条边长度、四个角度数和对角线的长度及夹角度数，并记录测量结果；（2）根据测量的结果，猜想结论。
当矩形的大小不断变化时，发现的结论是否仍然成立？（3）通过测量、观察和讨论，你能得到矩形的特殊性质吗？教师在学生口答的基础上，引导学生得出（板书）：矩形的性质定理1：矩形的四个角都是直角.矩形的性质定理2：矩形的对角线相等.活动目的：让学生分组探索。
教师可引导学生，根据研究平行四边形获得的经验，分别从边、角、对角线三个方面探索矩形的特性，还可提醒学生，这种探索的基础是矩形“有一个角是直角”，学生通过动手测量,动脑思考,动口讨论,自主发现矩形的性质。
第三环节：层层递进，推理论证活动内容：提问：怎样证明你的猜想？（教师写出定理1、2的已知、求证，请同学分析思路写出证明过程）订正完毕后，请同学说出性质的推理形式，教师板书。
已知：如图,四边形ABCD是矩形，∠ABC=90°对角线AC与DB相交于点O。
北师大九年级数学上册《特殊平行四边形》课件
回顾与思考
特殊四边形的关系
平行四边形
矩形
有一个角是直角且邻边相等 zx xk
菱形
正方形
几种特殊四边形的性质：
项目 四边形
矩形
菱形
正方形
对边
角
对角线
对称性
四个角 平行且相等 都是直角
互相平分且相等
平行
zx xk
对角相等 互相垂直平分，且每一
且四边相等 邻角互补 条对角线平分一组对角
平行
四个角 互相垂直平分且相等，每
且四边相等 都是直角 一条对角线平分一组对角
中心对称图形 轴对称图形 中心对称图形 轴对称图形 中心对称图形 轴对称图形
几种特殊四边形的常用判定方法：
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
四边形 矩形
菱形 正方形
条件
1、定义：有一角是直角的平行四边形 2、三个角是直角的四边形 3、对角线相等的平行四边形 1、定义：一组邻边相等的平行四边形 2、四条边都相等的四z边x 形xk 3、对角线互相垂直的平行四边形 1、定义：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形 2、有一组邻边相等的矩形 3、有一个角是直角的菱形
判断题
1、一组对边平行的四边形是梯形。（ ） 2、一组对边平行，另一组对边相等的的四边形 是平行四边形。（ ）
3、两条对角线相等的四边形是矩形。（ ） 4、一组邻边相等的的矩形是正方形。（ ） 5、对角线互相垂直的四边形是菱形。（ ） 6、两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。 （）
抢 答：
要使 ABCD成为矩形，需增加的条件是______ 要使 ABCD成为菱形，需增加的条件是______ 要使矩形ABCD成为正方形，需增加的条件是____ 要使菱形ABCD成为正方形，需增加的条件是____ 要使四边形ABCD成为正方形，需增加的条件是 ______
新北师大九年级数学上册第一章特殊的平行四边形知识点
第一章特殊的平行四边形一、平行四边形1、平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
2、平行四边形的性质（1）平行四边形的对边平行且相等。
(对边）(2）平行四边形相邻的角互补，对角相等（对角）（3）平行四边形的对角线互相平分.（对角线）（4）平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点。
常用点：（1）若一直线过平行四边形两对角线的交点,则这条直线被一组对边截下的线段的中点是对角线的交点，并且这条直线二等分此平行四边形的面积。
（2）推论：夹在两条平行线间的平行线段相等.3、平行四边形的判定（1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
（对边）(2）定理1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形.(对边)（3）定理2：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
（对边)（4）定理3:两组对角分别相等的四边形是平行四边形.（对角）(5）定理4：对角线互相平分的四边形是平行四边形。
（对角线）4、两条平行线的距离两条平行线中,一条直线上的任意一点到另一条直线的距离,叫做这两条平行线的距离。
注意: 平行线间的距离处处相等。
5、平行四边形的面积: S平行四边形=底边长×高=ah 二、菱形1、菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形2、菱形的性质（1）菱形的四条边相等，对边平行。
（边）（2)菱形的相邻的角互补,对角相等.(对角）(3）菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角.（对角线）(4）菱形既是中心对称图形又是轴对称图形；对称中心是对角线的交点(对称中心到菱形四条边的距离相等）；对称轴有两条，是对角线所在的直线。
3、菱形的判定（1）定义:有一组邻边相等的平行四边形是菱形.（2）定理1:四边都相等的四边形是菱形。
（边）(3)定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.(对角线)（4）定理3：对角线垂直且平分的四边形是菱形。
（对角线）4、菱形的面积： S菱形=底边长×高=两条对角线乘积的一半三、矩形1、矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
北师大版 初三数学九年级上册第1章《特殊平行四边形》ppt复习课件
A
A
D
O
O
D
B
C 第3题
B
C
第4题
7.已知：□ABCD,添加适当的条件
（1）使它成为菱形.条件：＿A＿B=＿A＿D (AC⊥BD) ＿. （2）使它成为矩形.条件：＿ AC＿=＿BD＿(∠BAD=90＿°＿) . （3）使它成为正方形.条件：＿A＿C=＿BD＿且AC⊥BD ＿.
A
B
O
D
C
• 9、春去春又回，新桃换旧符。在那桃花盛开的地方，在这醉人芬芳的季节，愿你生活像春天一样阳光，心情像桃花一样美丽，日子像桃子一样甜蜜。 2021/3/152021/3/15Monday, March 15, 2021
•
THE END 17、一个人如果不到最高峰，他就没有片刻的安宁，他也就不会感到生命的恬静和光荣。2021/3/152021/3/152021/3/152021/3/15
谢谢观看
• 10、人的志向通常和他们的能力成正比例。2021/3/152021/3/152021/3/153/15/2021 2:54:38 PM • 11、夫学须志也，才须学也，非学无以广才，非志无以成学。2021/3/152021/3/152021/3/15Mar-2115-Mar-21 • 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。2021/3/152021/3/152021/3/15Monday, March 15, 2021 • 13、志不立，天下无可成之事。2021/3/152021/3/152021/3/152021/3/153/15/2021
B 60°
O
C
例4： （1）如果想得到一个正方形，该怎么剪？
（1）
（2）
（3）
（4）
北师大版九年级上册数学课件(第1章 特殊平行四边形)
∴菱形的周长＝4AB 4 3 5 12 5(cm).
知3－讲
总 结
菱形的对角线将菱形分成四个全等的直角三角
形，我们通常将菱形问题中求相关线段的长转化为 求直角三角形中相关线段的长，再利用勾股定理来 计算．
知3－练
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 如图，四边形ABCD是菱形，BE⊥AD，BF⊥CD， 垂足分别为E，F.
归 纳
定理
菱形的对角线互相垂直．
知3－导
问 题
菱形的面积如何计算呢？
菱形的面积有两种计算方法：
一种是底乘以高的积；
另一种是对角线乘积的一半.所以在求菱形的面积 时，要灵活运用使计算简单.
知3－讲
例2 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于 点O，BD＝12 cm，AC＝6 cm.求菱形的周长． 由于菱形的四条边都相等， 导引： 所以要求其周长就要先求
知2－练
1 边长为3 cm的菱形的周长是( C ) A．6 cm B．9 cm C．12 cm D．15 cm
知2－练
2 如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠B＝60°， 3 4 AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，连接 EF，则△AEF的面积是 ( B )
5
6 7 8
A． 4 3
3 B． 3
4 3 C．
D．3
在菱形ABCD中，因为∠B＝60°，连接AC，则 分析：
△ABC是等边三角形，又因为E分别是BC的中点， 所以AE垂直于BC，因此AE＝ 22 1 3 ，所以 △AEF的周长为 3 3，故选B.
知2－讲
总 结
在菱形中作辅助线经常连接对角线，构造 三角形来做题，能够迎刃而解.
北师大版九年级数学第一章特殊平行四边形菱形的性质与判定
菱形【学习目标】1. 理解菱形的概念.2. 掌握菱形的性质定理及判定定理．【要点梳理】要点一、菱形的定义有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.要点进阶：菱形的定义的两个要素：①是平行四边形.②有一组邻边相等.即菱形是一个平行四边形，然后增加一对邻边相等这个特殊条件.要点二、菱形的性质菱形除了具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质：1.菱形的四条边都相等；2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.3.菱形也是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线），对称轴的交点就是对称中心.要点进阶：（1）菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将菱形分成完全全等的两部分.（2）菱形的面积由两种计算方法：一种是平行四边形的面积公式：底×高；另一种是两条对角线乘积的一半（即四个小直角三角形面积之和）.实际上，任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘积的一半.（3）菱形可以用来证明线段相等，角相等，直线平行，垂直及有关计算问题.要点三、菱形的判定菱形的判定方法有三种：1.定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.3.四条边相等的四边形是菱形.要点进阶：前两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形，后一种方法是在四边形的基础上加上四条边相等.【典型例题】类型一、菱形的性质例1、如图所示，菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，∠B＝∠EAF＝60°，∠BAE＝18°．求∠CEF的度数．例2、如图，在周长为12的菱形ABCD中，AE=1，AF=2，若P为对角线BD上一动点，则EP+FP的最小值为（）A．1 B．2 C．3 D．4举一反三：【变式】如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E是AB的中点，如果EO=2，求四边形ABCD的周长．类型二、菱形的判定例3、如图，在等边三角形ABC中，BC=6cm，射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以lcm/s的速度运动，同时点F从点B出发沿线射BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为t（s）．（1）连接EF，当EF经过AC边的中点D时，求证：△ADE≌△CDF；（2）当t为多少时，四边形ACFE是菱形．举一反三：【变式】已知，在△ABC中，AB＝AC＝a，M为底边BC上任意一点，过点M分别作AB、AC的平行线交AC于P，交AB于Q.⑴求四边形AQMP的周长；⑵M位于BC的什么位置时，四边形AQMP为菱形？说明你的理由.类型三、菱形的综合应用例4、如图所示，菱形ABCD中，AB＝4，∠ABC＝60°，∠EAF＝60°，∠EAF的两边分别交BC、CD于E、F．(1)当点E、F分别在边BC、CD上时，求CE＋CF的值．(2)当点E、F分别在CB、DC的延长线时，CE、CF又存在怎样的关系，并证明你的结论．【巩固练习】一.选择题1.下列命题中，正确的是( )A.两邻边相等的四边形是菱形B.一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形C.对角线垂直且一组邻边相等的四边形是菱形D.对角线垂直的四边形是菱形2. 菱形的周长为高的8倍，则它的一组邻角是（）A.30°和150°B.45°和135°C.60°和120°D.80°和100°3．已知菱形的周长为40cm，两条对角线的长度比为3：4，那么两条对角线的长分别为（）A．6cm，8cm B. 3cm，4cm C. 12cm，16cm D. 24cm，32cm4.如图，在菱形ABCD中，∠ADC=72°，AD的垂直平分线交对角线BD于点P，垂足为E，连接CP，则∠CPB的度数是（）A.108°B.72°C.90°D.100°5. 如图，四边形ABCD是菱形，AC=8，DB=6，DH⊥AB于H，则DH等于（）A．B．C．5 D．46. 如图，菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为2和3，∠A＝120°，则图中阴影部分的面积是（）A.3B.2C.3D.27. 将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF．若AB=3，则BC的长为．8．如图，已知菱形ABCD，其顶点A、B在数轴上对应的数分别为－4和1，则BC＝_____.cm. 9．如图，菱形ABCD的边长是2cm，E是AB中点，且DE⊥AB，则菱形ABCD的面积为______210．已知菱形ABCD的周长为20cm，且相邻两内角之比是1∶2，则菱形的两条对角线的长和面积分别是．11. 如图,菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC＝8，BD＝6，过点O作OH⊥AB，垂足为H，则点O到边AB的距离OH＝．12.如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC＝12，BD＝16，E为AD中点，点P在x轴上移动，小明同学写出了两个使△POE为等腰三角形的P点坐标（－5，0）和（5，0）．请你写出其余所有符合这个条件的P点坐标__________________.13. 如图，△ABC中，∠ACB=60°，分别以△ABC的两边向形外作等边△BCE、等边△ACF，过A作AM∥FC交BC于点M，连接EM．求证：（1）四边形AMCF是菱形；（2）△ACB≌△MCE．14.如图，在▱ABCD中，BC=2AB=4，点E、F分别是BC、AD的中点．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）当四边形AECF为菱形时，求出该菱形的面积．15．如图，菱形ABCD的边长为2，BD＝2，E、F分别是边AD，CD上的两个动点（不与端点重合），且满足AE＋CF＝2．(1)求证：△BDE≌△BCF；(2)判断△BEF的形状，并说明理由；(3)设△BEF的面积为S，求S的取值范围．。
北师大版九年级数学上册第一章特殊平行四边形
为什么？
A
D
证明:矩形ABCD中
∵AB∥CD
O
∴∠OAB=∠OCD,
B
C
∠OBA=∠ODC △ABO与△DCO中
∵ ∠OAB=∠OCD,AB=CD,∠OBA=∠ODC
∴ △ABO ≌△DCO, ∴AO=OD,BO=CO
∴AO+OC=BO+OD,即:AC=BD
如图：矩形的对角线 A
D
相交于点E，你可以找
3、进一步体会证明的必要性以及计算与证明在 解决问题中的作用。
4、体会证明过程中所运用的归纳、概括以及转 化等数学思想方法。
5、培养学生实事求是的辩证唯物主义思想及积 极探究的思想意识。
三、教学指导：
本节课共分为三课时内容，教 学过程中可分为三大步完成，即： 理论、方法积累、思路梳理——合 作交流，互助探索学习——自主探 索，拓展延伸，归纳新知。这充分 体现了螺旋上升的原则。
首先，我们应培养学生很好地掌握已熟悉 的逻辑方法，包括证明的思路和证明过程的 准确表达。
其次，对不同证明方法的探索可以提高学 生的逻辑思维水平。因此，在证明了一个命 题以后，同学们还应该思考是否还有其他的 证明方法，如辅助线的添加方法唯一吗？还 可以从什么角度解决问题……。
五、评价建议：
1、关注学生探索结论、分析思路和方法的 过程。
形
角形斜边上的 中线等于斜边 的一半。
B
D
具有平行四边形 所有边的性质
矩形 四个角都是直角 性质：
对角线相等且 互相平分
证明：过程
解答过程 ：
特殊平行四边形（二）
在认真学习第一课时的基础上，本节课的教学 可按以下环节逐步展开：
1.知识回顾——回想知识，加强记忆、理解。 2.新课引入——动手实践，发现新知。 3.新课讲解——互助合作，探索性质，判别。 4.训练应用——强化训练，加深应用。 5.拓展延伸——类比菱形，探索正方形。 6.小 结——综合思想，归纳思路。 7.作 业——综合知识，强化训练。 下面就每个环节，逐层分析。
第一章 特殊平行四边形 小结与复习课件(24张PPT) 北师大版九年级数学上册
第一章 特殊的平行四边形
小结与复习
要点梳理 一、菱形、矩形、正方形的性质
对边
角
平行
对角相等
且四边相等 邻角互补
平行且相等
四个角 都是直角
平行
四个角
且四边相等 都是直角
对角线
互相垂直且平分， 每一条对角线平分
一组对角
互相平分且 相等
互相垂直平分且相 等，每一条对角线
平分一组对角
∴四边形 CEBO 是矩形.
针对训练
3. 如图，在□ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，
△ABO 是等边三角形，AB = 4，求□ABCD 的面积.
解：∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， A
D
∴ OA = OC，OB = OD.
O
又∵△ABO 是等边三角形，
∴ OA = OB = AB = 4，∠BAC = 60°. B
解：四边形 ABCD 是菱形. 理由如下：
过点 C 作 CE⊥AB 于点 E，CF⊥AD 于点 F.
由 AB∥CD，AD∥BC 知四边形 ABCD 是平
行四边形.
则 S□ABCD = AD ·CF = AB ·CE. 由题意知 CF = CE，∴ AD = AB.
A FD E
BC
∴ 四边形 ABCD 是菱形.
于点 O，过点 A 作 AE∥BD，过点 D 作 ED∥AC，两
线相交于点 E．
求证：四边形 AODE 是菱形.
证明：∵ AE∥BD，ED∥AC，
∴四边形 AODE 是平行四边形.
∵四边形 ABCD 是矩形，
∴ AC = BD，OA = OC = 1 AC，OB = OD = 1 BD.
第一章 特殊平行四边形(章末复习)九年级数学上册(北师大版)
2．如图，四边形ABCD是边长为 5cm的菱形，其中对角线BD的长为2cm，则
cm2．
菱形ABCD的面积为
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，∴BO＝DO，AC⊥DB，AO＝CO，
∵BD＝2cm，∴BO＝1cm，
∵AB＝ 5cm，∴AO＝ 2 − 2 ＝ 5 − 1＝2（cm），
∴阴影部分的面积最后转化为了 AOB 的面积，
Rt ADB 中， = ，
∴ 平分，
∴阴影部分的面积： S AOB
故答案为：10．
1
1 1
S ADB AD AB 10cm 2 ，
2
2 2
cm2．
典型例题
例7．如图，将矩形纸片ABCD沿CE折叠，使点B落在边AD上的点F处．若点E
∴∠C＝180°﹣80°＝100°．故答案是：100．
例3．菱形的边长为5，则它的周长为
【详解】∵菱形的四条边相等．∴周长： 5 × 4 = 20 ，
故答案为：20．
．
针对训练
1．如图，菱形ABCD中，已知∠ABD = 20°，则∠C的大小是
．
【详解】解：∵菱形中，∠ = 20°，
∴∠ = 2∠ = 40°
∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∠D=90°，
∴∠DCA=∠EAC=90°-70°=20°，
∴∠DCE=∠DCA+∠ECA=20°+20°=40°，
故答案为：40．
典型例题
例6．如图，在矩形中，对角线，相交于点，点是边的中点，点在对角线
1
上，且 = 4 ，连接．若 = 10，则 =
【详解】∵AB=12，BC=5，∴AD=5，∴ = 122 + 52 = 13，
北师大版数学九年级上：第1章《特殊平行四边形》全章教案
第一章特殊(tèshū)平行四边形1.掌握菱形(línɡ xínɡ)、矩形、正方形的概念,以及(yǐjí)它们之间的关系.2.理解(lǐjiě)菱形、矩形、正方形的性质定理与判定定理,并能证明其他(qítā)相关结论.3.掌握直角三角形的性质定理:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.1.经历探索菱形、矩形、正方形的概念、性质与判定的猜想与证明的过程,丰富数学活动经验,进一步发展合情推理和演绎推理的能力.2.理解菱形、矩形、正方形的概念,了解它们与平行四边形之间的关系,进一步体会从一般到特殊的思考问题的方法,提高发现问题和解决问题的能力.3.在参与观察、试验、猜想、证明等数学活动中,有意识地渗透试验论证、逆向思维的思想,提高学生的能力.1.积极参与数学(shùxué)学习活动,对数学(shùxué)有好奇心和求知欲.2.经历图形(túxíng)的分类、性质探讨的过程,掌握图形(túxíng)与几何的基础知识和基本技能.通过(tōngguò)“猜想——总结——证明——应用”的数学活动提升科学素养.3.提高自主探究的能力和增强与他人合作交流的意识、方法.四边形是人们日常生活中应用较为广泛的一种几何图形,尤其是平行四边形、菱形、矩形、正方形等特殊四边形的用处更多.因此,四边形既是几何中的基本图形,也是“空间与图形”领域中主要研究对象之一.本章是在已经学过的多边形、平行线、三角形、平行四边形的基础上对菱形、矩形、正方形的有关性质与常用的判定方法的证明与扩充.它们的探索方法也都与平行四边形的性质和判定的探索方法一脉相承.本章的学习有助于深化对平行四边形的理解,以及对识图、画图等操作技能的掌握,丰富学生的数学活动经验和体验,促进其良好数学观的形成.本章主要渗透(shèntòu)归纳、类比、转化等数学思想,注重通过引导(yǐndǎo)探索过程来渗透与展现证明的思路.此外(cǐwài)还要注意引导学生探索证明的不同思路与方法,并进行(jìnxíng)适当的比较和讨论,提高分析、寻求证明思路(sīlù)的能力.【重点】菱形、矩形、正方形的定义、性质与判定.【难点】平行四边形与菱形、矩形、正方形之间的联系与区别.1.本章对菱形、矩形的性质与判定的研究,都需要先探索、猜想得到结论后再证明.教学中,可以利用教科书上的素材,也可以根据实际情况构建更现实、更贴近学生的问题情境,引导学生进行相关的探索、猜想活动.充分调动学生的积极性与主动性,引导学生探索、发现结论、体会探索结论的各种方法,理解猜想后还应该给予证明的意义,感受合情推理与演绎推理的关系.2.在学习本章之前,学生已经掌握几何证明的基本要求、基本步骤和基本方法.本章中的大部分结论都是先通过合情推理探索,再利用演绎推理加以证明.在教学中应把证明作为探索活动的自然延续与必要发展,让学生对发现的结论进行分析说明,然后按照几何证明的要求进行表达,实现合情推理和演绎推理的有机结合.注意通过一定的练习进一步培养学生的几何证明能力,避免过分追求证明题的数量和证明技巧,把握证明的难度.3.探索图形(túxíng)有关性质的过程,往往可以启发(qǐfā)证明的思路,在教学(jiāo xué)过程中,应充分考虑探索与证明(zhèngmíng)的关系,为学生(xué sheng)的积极思考创设条件.同时,要鼓励学生大胆探寻新颖独特的证明思路和证明方法,引导学生与同学在交流中比较证明方法的异同,提高演绎推理的能力.4.在菱形、矩形、正方形的性质与判定方法的探索与证明的过程中蕴含着一些数学思想方法,教学中有目的地让学生感悟、领会这些思想方法,并应用于解决相关问题的过程中.本章教学时间约需8课时,具体分配如下:1菱形的性质与判定3课时2矩形的性质与判定3课时3正方形的性质与判定2课时1菱形的性质与判定理解菱形(línɡ xínɡ)的概念,了解(liǎojiě)它与平行四边形之间的关系.1.经历菱形的性质定理(dìnglǐ)与判定定理的探索过程,进一步发展(fāzhǎn)合情推理能力.2.能够用综合法证明菱形的性质(xìngzhì)定理与判定定理,进一步发展演绎推理能力.体会探索(tàn suǒ)与证明过程中所蕴含的抽象、推理等数学现象.【重点(zhòngdiǎn)】1.菱形(línɡ xínɡ)的概念和性质.2.探索(tàn suǒ)菱形的判定方法【难点(nádiǎn)】菱形的概念和性质在生活中的应用.第课时探索并掌握菱形的概念和菱形所具有的特殊性质,会进行简单的推理和运算.在观察、操作、推理、归纳等探索过程中,发展学生合情推理的能力,进一步让学生养成用数学知识说理的习惯,并要求学生能熟练地按规范的推理格式书写.从学生(xué sheng)已有的知识出发,通过欣赏、观察(guānchá)、动手操作等活动让学生感受身边的数学图形的和谐美与对称美,激发(jīfā)他们学习数学的兴趣,树立学好(xué hǎo)数学的信心,体会学习数学(shùxué)的快乐.培养学生主动探究、自主学习和合作交流的意识.【重点】菱形的概念和性质.【难点】菱形性质的灵活应用.【教师准备】1.教师在课前布置学生复习平行四边形的性质,搜集菱形的相关图片.2.多媒体课件.3.教师准备菱形纸片,上课前发给学生上课时使用.【学生准备】复习平行四边形的性质导入一:请同学们观察(guānchá)投影图片中的四边形并回答下列问题:(1)投影(tóuyǐng)图片中有平行四边形吗?(2)这些平行四边形具有哪些(nǎxiē)特征?其中(qízhōng)哪个特征不是平行四边形的性质?【师生(shī shēnɡ)活动】复习平行四边形的定义及性质.【学生活动】自主观察,小组合作交流,探究投影图片中平行四边形的新特征.导入二:1.提问:什么是平行四边形?学生回顾交流.2.平行四边形的相邻两边可能相等吗?请同学们讨论一下在我们生活中是否有相邻两边相等的平行四边形形状的图案?[设计(shèjì)意图]通过这个(zhè ge)环节,培养了学生的观察和对比分析(f ēnxī)能力.提高学生发现(fāxiàn)数学、应用数学的意识和学习兴趣.一、情景(qíngjǐng)交流[过渡语]今天我们来学习一种特殊的平行四边形,让我们一起观察、猜想、探究、归纳、论证吧!结合上面的观察,你能举出和上述图形具有相同特征的实物图形吗?具有这一特征的平行四边形是什么四边形?【学生活动】通过讨论,以小组为单位分别说出生活中具有邻边相等特征的平行四边形形状的实物.【教师活动】投影图片展示一些生活中的具有邻边相等特征的平行四边形形状的实物.二、学生(xué sheng)活动,归纳(guīnà)概念思路(sīlù)一请口答下列(xiàliè)问题.(1)上述(shàngshù)图形都是平行四边形吗?(2)上述图形都有一组邻边相等吗?(3)如果平行四边形有一组邻边相等,那么另一组邻边也相等吗?小组合作交流,类比平行四边形的定义尝试给出菱形的定义.【老师点评】(1)是平行四边形;(2)都有一组邻边相等.【课件展示】像这样,有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.思路二【师】同学们,在观察上面图片之后,你能从中发现熟悉的图形吗?你能找出它们的共同特征吗?请同学们观察,图中的平行四边形与黑板上所画的▱ABCD 相比较,还有不同点吗?【生】投影(tóuyǐng)图片中的平行四边形不仅对边相等,而且任意(rènyì)两条邻边也相等.【师】同学(tóng xué)们观察得很仔细,像这样(zhèyàng),有一组邻边相等(xiāngděng)的平行四边形叫做菱形.[设计意图]通过这个环节,培养了学生的观察和对比分析能力.让学生观察图形,从直观上把握菱形的特点,从而给出菱形的定义,让学生明确菱形不但是平行四边形,而且有其特点“一组邻边相等”.同时,让学生去发现生活中因为有了数学而变得更精彩,从而提高学生学习数学的兴趣.三、共同探究【想一想】(1)菱形(línɡ xínɡ)是特殊的平行四边形,它具有(jùyǒu)一般平行四边形的所有性质.你能列举一些(yīxiē)这样的性质吗?【生】菱形的对边平行(píngxíng)且相等,对角(duì jiǎo)相等,对角线互相平分.(2)同学们,你认为菱形还具有哪些特殊的性质?请你与同伴交流.【学生活动】分小组讨论菱形的性质,组长组织组员讨论,让尽可能多的组员发言,并汇总结果.【教师活动】教师巡视,并参与到学生的讨论中,启发学生类比平行四边形从图形的边、角和对角线三个方面探讨菱形的性质.对学生的结论,教师要及时作出评价,积极引导,激励学生.【做一做】请同学们用菱形纸片折一折,回答下列问题:(1)菱形是轴对称图形吗?如果是,它有几条对称轴?对称轴之间有什么位置关系?(2)菱形中有哪些相等的线段?【学生(xué sheng)活动】分小组折纸(zhézhǐ)探索答案.组长组织(zǔzhī),并汇总(huìzǒng)结果.【教师(jiàoshī)活动】教师巡视并参与学生活动,引导学生怎样折纸才能得到正确的结论.学生研讨完毕,教师要展示汇总学生的折纸方法以及相应的结论,以便于后面的教学.【师生结论】(1)菱形是轴对称图形,有两条对称轴,且是菱形的两条对角线所在的直线,两条对称轴互相垂直.(2)菱形的四条边相等.[设计意图]通过学生自己操作剪、折菱形纸片,探索菱形的对称性,不仅增加学生学习的兴趣,并为新课归纳菱形的性质做铺垫.【验证提升】证明菱形性质【师】通过折纸活动,同学们已经对菱形的性质有了初步的理解,下面我们要对菱形的性质进行严谨的逻辑证明.【教师(jiàoshī)活动】如图所示,在菱形(línɡ xínɡ)ABCD中,已知AB＝AD,对角线AC与BD相交(xiāngjiāo)于点O.求证(qiúzhèng):(1)AB＝BC＝CD＝AD;(2)AC⊥BD.【师生(shī shēnɡ)共析】(1)菱形不仅对边相等,而且邻边相等,这样就可以证明菱形的四条边都相等了.(2)因为菱形是平行四边形,所以点O是对角线AC与BD的中点.又因为在图形中可以得到相关的等腰三角形,所以就可以利用“三线合一”来证明结论了.【学生活动】写出证明过程,进行组内交流对比,优化证明方法,掌握相关定理.指名学生在黑板上演示证明过程.证明:(1)∵菱形ABCD是平行四边形,∴AB＝CD,AD＝BC(平行四边形的对边相等).∵AB＝AD,∴AB＝BC＝CD＝AD.(2)∵AB＝AD,∴ΔABD是等腰三角形.∵四边形ABCD是菱形(línɡ xínɡ),∴OB＝OD(菱形(línɡ xínɡ)的对角线互相平分).在等腰三角形ABD中,∵OB＝OD,∴AO⊥BD,即AC⊥BD.【教师(jiàoshī)活动】展示(zhǎnshì)学生的证明过程,进行(jìnxíng)恰当的点评和鼓励,优化学生的证明方法,规范学生的书写格式,提高学生的逻辑证明能力.【教师活动】请你根据上面的证明,归纳出菱形的性质.【学生活动】小组交流,共同总结.【教师活动】多媒体课件展示定理(dìnglǐ):菱形(línɡ xínɡ)的四条边相等.定理(dìnglǐ):菱形(línɡ xínɡ)的对角线互相垂直.最后(zuìhòu)强调“菱形的四条边相等”“菱形的对角线互相垂直”,让学生形成牢固记忆,留下深刻印象.[设计意图]学生通过折纸可以猜想到菱形的相关性质,教师在参与学生活动的过程中,应该关注学生的口述论证过程,并根据学生的认知水平加以引导,尽量减少学生推理论证过程中的困难.四、展示交流【教师活动】例题讲解.(教材例1)如图所示,在菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,∠BAD ＝60°,BD＝6,求菱形的边长AB和对角线AC的长.〔解析(jiě xī)〕因为菱形(línɡ xínɡ)的邻边相等,一个(yīɡè)内角是60°,这样(zhèyàng)就可以得到等边三角形ABD,由BD＝6知菱形(línɡ xínɡ)的边长也是6.菱形的对角线互相垂直,可以得到直角三角形AOB.菱形的对角线互相平分,可以得到OB＝3,根据勾股定理就可以求出OA的长度,再一次根据菱形的对角线互相平分,即AC＝2OA,求出AC.解:∵四边形ABCD是菱形,∴AB＝AD(菱形的四条边相等),AC⊥BD(菱形的对角线互相垂直),OB＝OD＝BD＝×6＝3(菱形的对角线互相平分).在等腰三角形ABD中,∵∠BAD＝60°,∴ΔABD是等边三角形.∴AB＝BD＝6.在RtΔAOB中,由勾股定理,得:OA2＋OB2＝AB2,∴OA＝＝3,∴AC＝2OA＝6.[知识(zhī shi)拓展](1)菱形(línɡ xínɡ)是特殊的平行四边形,它具有(jùyǒu)平行四边形的所有性质;(2)菱形的定义既可以看做(kàn zuò)菱形的性质,也可以(kěyǐ)看做菱形的判定方法.1.菱形的定义:有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.2.菱形的性质:(1)菱形是轴对称图形,对称轴是两条对角线所在的直线;(2)菱形的四条边都相等;(3)菱形的对角线互相垂直平分.3.菱形具有平行四边形的所有性质,应用菱形的性质可以进行计算和推理.1.如图所示,在菱形(línɡ xínɡ)ABCD中,AB＝5,∠BCD＝120°,则对角线AC 的长是()A.20B.15C.10D.5解析(jiě xī):因为(yīn wèi)四边形ABCD是菱形(línɡ xínɡ),所以(suǒyǐ)AB＝CB,CD∥BA,所以∠ABC＝180°-∠BCD＝180°-120°＝60°,所以ΔABC是等边三角形,所以AC＝AB＝5.故选D.2.如图所示,菱形ABCD的周长为8 cm.∠BAD＝60°,则AC＝cm.解析(jiě xī):因为(yīn wèi)菱形ABCD的周长(zhōu chánɡ)为8 cm,所以(suǒyǐ)AB＝AD＝2 cm.又因为(yīn wèi)∠BAD＝60°,所以ΔABD是等边三角形,所以BD＝AB＝2 cm,所以OB＝BD＝1 cm,所以OA＝(cm),所以AC＝2 cm.故填2.3.如图所示,在四边形ABCD中,AB∥CD,AB＝CD＝BC,则四边形ABCD是菱形吗?为什么?解:四边形ABCD是菱形.理由:∵AB∥CD,AB＝CD,∴四边形ABCD是平行四边形.又∵CD＝BC,∴平行四边形ABCD是菱形.4.如图所示,四边形ABCD是菱形(línɡ xínɡ),F是AB上一点(yī diǎn),DF交AC于点E.求证(qiúzhèng)∠AFD＝∠CBE.证明(zhèngmíng):∵四边形ABCD是菱形(línɡ xínɡ),∴CB＝CD,CA平分∠BCD.∴∠BCE＝∠DCE.又∵CE＝CE,∴ΔBCE≌ΔDCE(SAS).∴∠CBE＝∠CDE.在菱形ABCD中,∵AB∥CD,∴∠AFD＝∠CDE.∴∠AFD＝∠CBE.第1课时菱形的定义:有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形菱形(línɡ xínɡ)的性质:菱形(línɡ xínɡ)的四条边相等菱形(línɡ xínɡ)的对角线互相垂直例1一、教材(jiàocái)作业【必做题】教材(jiàocái)第4页随堂练习.【选做题】教材第4页习题1.1的1,2题.二、课后作业【基础巩固】1.在菱形ABCD中,AB＝5 cm,则此菱形的周长为()A.5 cmB.15 cmC.20 cmD.25 cm2.菱形的周长为8 cm,高为1 cm,则菱形两邻角的度数比为()A.3∶1B.4∶1C.5∶1D.6∶13.如图所示,在菱形(línɡ xínɡ)ABCD中,两条对角线的长分别(fēnbié)为AC＝6,BD＝8,则此菱形(línɡ xínɡ)的边长为()A.5B.6C.8D.104.如图所示,在菱形(línɡ xínɡ)ABCD中,对角线AC交BD于点O,AB＝8,E是CD 的中点(zhōnɡ diǎn),则OE的长等于.5.如图所示,已知菱形ABCD,其顶点A,B在数轴上对应的数分别为-4和1,则BC ＝.6.如图所示,在菱形(línɡ xínɡ)ABCD中,E,F分别(fēnbié)是CB,CD上的点,且BE ＝DF.求证(qiúzhèng)∠AEF＝∠AFE.【能力(nénglì)提升】7.如图所示,两个(liǎnɡɡè)全等菱形的边长均为1 cm,一只蚂蚁由A点开始按ABCDEFCGA的顺序沿菱形的边循环运动,行走2021 cm后停下,则这只蚂蚁停在点.8.已知菱形ABCD的边长为6,且∠A＝60°,如果点P是菱形内一点,且PB＝PD ＝2,那么AP的长为.9.如图所示,在菱形ABCD中,∠A＝60°,AB＝4,O为对角线BD的中点,过O点作OE⊥AB,垂足为E.(1)求∠ABD的度数;(2)求线段(xiànduàn)BE的长.【拓展(tuò zhǎn)探究】10.如图所示,在菱形(línɡ xínɡ)ABCD中,对角线AC＝6,BD＝8,点E,F分别(fēnbié)是边AB,BC的中点(zhōnɡ diǎn),点P在AC上运动,在运动过程中,存在PE＋PF 的最小值,则这个最小值是()A.3B.4C.5D.611.如图所示,在菱形ABCD中,F是BC上任意一点,连接AF交对角线BD于点E,连接EC.(1)求证AE＝EC;(2)当∠ABC＝60°,∠CEF＝60°时,点F在线段(xiànduàn)BC上的什么(shén me)位置?说明(shuōmíng)理由.【答案(dáàn)与解析】1.C(解析(jiě xī):因为菱形ABCD的四条边相等,所以菱形的周长为5×4＝20(cm).故选C.)2.C(解析:如图所示,因为菱形的周长为8 cm,所以AD＝2 cm.因为高DE＝1 cm,所以DE＝AD,所以∠A＝30°,所以∠ADC＝180°-30°＝150°,所以菱形两邻角的度数比为5∶1.故选C.)3.A (解析:因为四边形ABCD是菱形,所以OA＝AC＝3,OB＝BD＝4,∠AOB＝90°,所以AB＝＝5.故选A.)4.4(解析:因为四边形ABCD是菱形,所以O是AC的中点,且AD＝AB＝8.又因为E是CD的中点,所以OE是ΔACD的中位线,所以OE＝AD＝AB＝4.故填4.)5.5 (解析(jiě xī):因为(yīn wèi)点A,B在数轴(shùzhóu)上对应的数为-4和1,所以(suǒyǐ)AB＝1-(-4)＝5.因为(yīn wèi)四边形ABCD是菱形,所以BC＝AB＝5.故填5.)6.证明:在菱形ABCD中,有AB＝AD,∠B＝∠D.在ΔABE和ΔADF中,,∴ΔABE≌ΔADF.∴AE＝AF.∴∠AEF＝∠AFE.7.G(解析:因为两个全等菱形的边长均为1 cm,所以蚂蚁由A点开始按ABCDEFCGA的顺序走一圈的路程为8×1＝8(cm),2021÷8＝251(cm)……7(cm),所以当蚂蚁走完第251圈后再走7 cm正好到达G点.)8.2或49.解:(1)在菱形ABCD中,AB＝AD,∠A＝60°,∴ΔABD为等边三角形.∴∠ABD ＝60°.(2)由(1)可知BD＝AB＝4.又∵O为BD的中点,∴OB＝2.又∵OE⊥AB,∠ABD＝60°,∴∠BOE＝30°.∴BE＝1.10.C11.证明:(1)如图所示,连接AC,∵BD是菱形ABCD的对角线,∴BD垂直平分AC,∴AE＝EC.(2)点F是线段BC的中点.理由如下.∵四边形ABCD是菱形,∴AB＝CB.又∵∠ABC＝60°,∴ΔABC是等边三角形,∴∠BAC＝60°.∵AE＝EC,∴∠EAC＝∠ACE.∵∠CEF＝60°,∴∠EAC＝30°.∴AF是ΔABC中∠BAC的平分线,∴BF＝CF,∴点F是线段BC的中点.本课时的主要教学内容为菱形(línɡ xínɡ)的定义和性质.学生已经(yǐ jing)学习了平行四边形的性质,这是本课时(kèshí)知识的基础.关于(guānyú)菱形的定义和性质,就是(jiùshì)在平行四边形的基础上,进一步强化条件得到的.本课时授课思路为“创设情境——猜想归纳——逻辑证明——知识运用”.课堂上的折纸活动,可以让学生直观感知图形的特点,还可以激发学生学习的兴趣和积极性.教师应该(yīnggāi)留给学生充分的独立思考时间,不要让一些思维活跃的学生的回答代替(dàitì)了其他学生的思考,掩盖了其他学生(xué sheng)的疑问.教师要引导(yǐndǎo)学生积极思考,抓住表面现象中的本质(běnzhì).在性质的证明和应用过程中,教师要鼓励学生大胆探索新颖独特的证明思路和证明方法,提倡证明方法的多样性,并引导学生在与其他同学的交流中进行证明方法的比较,优化证明方法,有利于提高学生的逻辑思维水平.随堂练习(教材第4页)解:根据菱形的对角线互相垂直,可知ΔAOB是直角三角形,由勾股定理可求出OB＝3 cm,再根据菱形的对角线互相平分可得BD＝2OB＝6 cm.习题1.1(教材第4页)1.证明:在菱形ABCD中,AB＝BC,BC∥AD,∴∠B＋∠BAD＝180°,∵∠BAD＝2∠B,∴∠B＝60°,又∵BA＝BC,∴ΔABC是等边三角形.2.解:∵四边形ABCD是菱形(línɡ xínɡ),∴AD＝DC＝CB＝BA,AC⊥BD,AO＝AC＝×8＝4,DO＝BD＝×6＝3,在RtΔAOD中,由勾股定理(ɡōu ɡǔ dìnɡ lǐ),得AD＝＝5.∴菱形(línɡ xínɡ)ABCD的周长(zhōu chánɡ)为4AD＝4×5＝20.3.证明(zhèngmíng):在菱形ABCD中,AD＝AB,AC⊥BD,∴AC平分∠DAB,同理,CA平分∠DCB,BD平分∠ABC和∠ADC.4.解:共有4个等腰三角形,分别为ΔBAD,ΔBCD,ΔADC,ΔABC.共有4个直角三角形,分别为ΔAOB,ΔAOD,ΔCOD,ΔBOC.(1)在折纸过程中,教师要与学生探讨折纸的方法,明确折叠过程中的对应点及相应的对称轴,便于学生正确迅速地找出菱形中的对称关系.掌握数学知识离不开“实践——认识——再实践——认识”这个重要的学习方法,通过说理论证可以使学生充分理解菱形的性质,在这个过程中,教师要充分关注学生使用几何语言的规范性和严谨性.(2)类比方法(fāngfǎ)是数学中重要的方法,所以本课时类比(lèibǐ)以前学过的平行四边形的有关概念、性质,让学生通过自主(zìzhǔ)学习,共同(gòngtóng)探究,很自然(zìrán)地突破了重难点.(3)本课时重难点、易错点的掌握要通过不同形式的练习加以巩固,让学生积极参与,培养合作意识,激发学习兴趣,同时教师随时注意学生们出现的问题,及时引导和反馈,使学生在快乐中掌握知识.(2021·莆田中考)如图所示,菱形ABCD的边长为4,∠BAD＝120°.点E是AB的中点,点F是AC上的一动点,则EF＋BF的最小值是.〔解析(jiě xī)〕如图所示,连接(liánjiē)DE,EC,DF,则BF＝DF.∵四边形ABCD为菱形(línɡ xínɡ),∠BAD＝120°,∴∠ABC＝60°.∴ΔABC为等边三角形.∵E是AB的中点(zhōnɡ diǎn),∴CE⊥AB,∴CE⊥CD.在RtΔBEC中,∠ABC＝60°,BC＝4,∴BE＝BC＝2,CE＝＝2.在RtΔECD 中,CE＝2,DC＝4,∴ED＝2.根据(gēnjù)两点之间线段最短,可知EF＋DF的最小值为2.∴EF＋BF的最小值为2.故填2.第课时1.理解菱形的定义,掌握菱形的判定方法;会用这些判定方法进行有关的论证和计算.2.在菱形的判定方法的探索与综合应用中,培养学生的观察能力、动手能力及逻辑思维能力.尝试从不同(bù tónɡ)角度寻求菱形的判定方法,并能有效(yǒuxiào)地解决问题,尝试比较不同(bù tónɡ)判定方法之间的差异,并获得判定(pàndìng)四边形是菱形的经验.启发引导学生理解探索(tàn suǒ)结论和证明结论的过程,掌握合情推理与演绎推理的相互依赖和相互补充的辩证关系,培养学生合作交流的能力,以及独立思考的良好习惯.【重点】探索证明菱形的两个判定方法,掌握证明的基本要求和方法.【难点】明确推理证明的条件和结论能用数学语言正确表达.【教师准备】木条和橡皮筋【学生准备】复习上课时的相关知识.导入一:人们戴的帽子的形状(xíngzhuàn)千奇百怪,有一段时间,电视(diànshì)上经常看到大学生戴的菱形帽,它是受到外国(wàiguó)博士帽的启发.在日本(rì běn),到第二次世界大战为止(wéizhǐ),戴菱形帽一直是年轻人的梦想,戴上它显得有知识有学问.这是由于菱形的特殊因素能给人一种舒服的感觉.那么,我们怎样判断一个四边形是否是菱形呢?导入二:什么样的四边形是平行四边形?它有哪些判定方法?教师提示:判定方法应该从三个方面分析:边:两组对边分别平行的四边形是平行四边形;两组对边分别相等的四边形是平行四边形;一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.角:两组对角分别相等的四边形是平行四边形.对角线:对角线互相平分的四边形是平行四边形.那么,菱形的判定有什么方法呢?[设计意图]通过类比的方法引导学生发现判定菱形的方法.一、由菱形(línɡ xínɡ)的定义判定[过渡(guòdù)语]接下来我们(wǒ men)研究怎样判断一个四边形是菱形.【学生(xué sheng)活动】明确(míngquè)菱形的定义既是菱形的性质,又可作为菱形的第一种判定方法,即有一组邻边相等的平行四边形是菱形.【思考】除了运用菱形的定义,类比平行四边形的性质定理和判定定理,你能找出判定菱形的其他方法吗?二、菱形的判定(1)思路一已知:在▱ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,AC⊥BD.求证▱ABCD是菱形.证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA＝OC.∵AC⊥BD,∴BD所在(suǒzài)的直线是线段AC的垂直平分线.∴BA＝BC.∴▱ABCD是菱形(línɡ xínɡ)(菱形(línɡ xínɡ)的定义).【思考(sīkǎo)】从上述(shàngshù)证明过程中,你得出什么结论?定理:对角线互相垂直的平行四边形是菱形.思路二【学生活动】用一长一短两根细木条,在它们的中点处固定一个小钉,做成一个可动的十字,四周围上一根橡皮筋,做成一个四边形.(1)转动木条,这个四边形总有什么特征?你能证明你发现的结论吗?猜想:四边形的对角线互相平分.(2)继续(jìxù)转动木条,观察(guānchá)什么时候橡皮筋围成的四边形变成菱形?猜想(cāixiǎng):当木条互相(hù xiāng)垂直时,平行四边形的一组邻边相等(xi āngděng),此时四边形为菱形.(3)你能证明你的猜想吗?猜想:如果一个平行四边形的两条对角线互相垂直,那么这个平行四边形是菱形.已知:在▱ABCD中,对角线AC,BD互相垂直.求证▱ABCD是菱形.证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA＝OC(平行四边形的对角线互相平分).又∵AC⊥BD,∴BD所在的直线是线段AC的垂直平分线,∴AB＝BC,∴▱ABCD是菱形(有一组邻边相等的平行四边形是菱形).定理(dìnglǐ):对角线互相垂直(chuízhí)的平行四边形是菱形.三、菱形(línɡ xínɡ)的判定(2)[过渡(guòdù)语]菱形的判定(pàndìng)还有其他的方法吗?思路一学生先画两条等长的线段AB,AD,然后分别以B,D为圆心,AB长为半径画弧,得到两弧的交点C,连接BC,CD,就得到了一个四边形,猜一猜,这是什么四边形?请你画一画.通过探究,容易得到:四条边相等的四边形是菱形.证明上述结论.[设计意图]采用观察、操作、交流、演绎的手法来突破难点,通过严谨的推理和证明培养学生的几何思维.思路二问题我们如何(rúhé)画一个菱形呢?通常(tōngcháng)先画两条等长的线段AB,AD,然后(ránhòu)分别以B,D为圆心(yuánxīn),AB长为半径(bànjìng)画弧,得到两弧交点C,连接BC,CD即可.。
初中数学(北师大版)九年级-特殊平行四边形_教学设计_教案(课件免费下载)
教学准备1. 教学目标知道几种特殊平行四边形的性质概念2. 教学重点/难点性质的判定3. 教学用具4. 标签教学过程矩形菱形正方形的性质和判定总表矩形定义: 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形(通常也叫长方形或正方形).矩形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，矩形也是轴对称图形，对称轴是通过对边中点的直线，有两条对称轴；矩形的性质:(具有平行四边形的一切特征)矩形性质1:矩形的四个角都是直角．矩形性质2:矩形的对角线相等且互相平分．如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，由性质2有AO=BO=CO=DO=AC= BD．因此可以得到直角三角形的一个性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．矩形的判定方法．矩形判定方法1：对角钱相等的平行四边形是矩形．矩形判定方法2：有三个角是直角的四边形是矩形．矩形判定方法3：有一个角是直角的平行四边形是矩形．矩形判定方法4： (4)对角线相等且互相平分的四边形是矩形．例1已知：如图，矩形 ABCD，AB长8 cm ，对角线比AD边长4 cm．求AD的长及点A到BD的距离AE的长例2已知：如图，矩形ABCD中，E是BC上一点，DF⊥AE于F，若AE=BC．求证：CE＝EF．例3．如图，已知矩形ABCD中，E是AD上的一点，F是AB上的一点，EF⊥EC，且EF=EC，DE=4cm，矩形ABCD的周长为32cm，求AE的长．理由二．菱形菱形定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．【强调】菱形（1）是平行四边形；（2）一组邻边相等．菱形的性质性质1 菱形的四条边都相等；性质2 菱形的对角线互相平分，并且每条对角线平分一组对角；菱形的判定菱形判定方法1:对角线互相垂直的平行四边形是菱形．注意此方法包括两个条件：（1）是一个平行四边形；（2）两条对角线互相垂直．菱形判定方法2:四边都相等的四边形是菱形．例1 已知：如图，四边形ABCD是菱形，F是AB上一点，DF交AC于E．求证：∠AFD=∠CBE．例2已知：如图ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F．求证：四边形AFCE是菱形．三．正方形正方形是在平行四边形的前提下定义的，它包含两层意思：①有一组邻边相等的平行四边形（菱形）②有一个角是直角的平行四边形（矩形）正方形不仅是特殊的平行四边形，并且是特殊的矩形，又是特殊的菱形．正方形定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．正方形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，正方形又是轴对称图形，对称轴是对边中点的连线和对角线所在直线，共有四条对称轴；因为正方形是平行四边形、矩形，又是菱形，所以它的性质是它们性质的综合，正方形的性质总结如下：边：对边平行，四边相等；角：四个角都是直角；对角线：对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角．注意：正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45°；正方形的两条对角线把它分成四个全等的等腰直角三角形，这是正方形的特殊性质．正方形具有矩形的性质，同时又具有菱形的性质．正方形的判定方法：• (1)有一个角是直角的菱形是正方形；•(2)有一组邻边相等的矩形是正方形．•注意：1、正方形概念的三个要点：（1）是平行四边形；•（2）有一个角是直角；•（3）有一组邻边相等．2、要确定一个四边形是正方形，应先确定它是菱形或是矩形，然后再加上相应的条件，确定是正方形.例1 已知：如图，正方形ABCD中，对角线的交点为O，E是OB上的一点，DG⊥AE于G，DG交OA于F．求证：OE=OF．例2 已知：如图，四边形ABCD是正方形，分别过点A、C两点作l1∥l2，作BM⊥l1于M，DN⊥l1于N，直线MB、DN分别交l2于Q、P点．求证：四边形PQMN是正方形．7．特殊的平行四边形（1）平行四边形+一个直角=矩形（2）平行四边形+一组邻边相等=菱形（3）平行四边形+一个直角+一组邻边相等=正方形梯形知识点定义：一组对边平行且不相等的四边形。