辽宁省瓦房店市高级中学2016-2017学年高二下学期期末考试数学(理)试题

2016-2017学年度下学期瓦房店市高级中学期末考试高二数学试题（理科）考试时间：120分钟 试卷满分：150分 命题与校对：虞政华一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. i 是虚数单位，复数1－3i1－i的共轭复数是( )A ．2－iB ． 2＋iC ．－1＋2iD ．－1－2i2. 设全集U ＝R ，已知集合A ＝{x ||x |≤1}，B ＝{x |log 2x ≤1}，则(∁U A )∩B ＝( )A ．(0,1]B ．C ．(1,2]D ．(－∞，－1]∪3. 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝－11，a 3＋a 7＝－6，则当S n 取最小值时，n 等于( )A ．9B ．8C ．7D ．6 4. 若3sin()45πα-=，则=+)2sin(απ ( ) A ．725-B ．725C ．15-D ．155. “x ＜0”是“-1< x ＜0”的 ( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6. 已知,x y 满足线性约束条件：1022010x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-<⎩，则目标函数x y z 3-=的取值范围是（ ）A ． )31,1(-- B ．)1,3(-- C ． ]31,3(- D ． ]31,3[- 7. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了( )A ．192 里B ．96 里C ．48 里D ．24 里8. 把函数y ＝sin x (x ∈R)的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，再把所得图象上所有点向左平移3π个单位长度，得到图象的函数解析式为( ) A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3 B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6 D ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x +π39. 在△ABC 中，若)cos cos (322A b B a b b a +=-，且A ＋Bsin B＝23，则A ＝( ) A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π610. 已知命题p ：∀x ∈R ，x ＋1x ≥2；命题q ：∃x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，使sin x 0＋cos x 0＝2，则下列命题中为真命题的是( )A ．p ∨(⌝q )B ．p ∧(⌝q )C ．(⌝p )∧(⌝q )D ． (⌝p )∧q 11. 已知函数f (x )＝x ＋4x ，g (x )＝2x＋a ，若∀x 1∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，∃x 2∈，使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，1]B ． D ．[2，＋∞) 12. 设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0.则当xy z 取得最大值时，2x ＋1y －2z的最大值为( )A ．0B ．94C. 1 D ．3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13. 函数)62sin()(π+=x x f 的最小正周期为 .14. 函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x， x >1，－x －2，x ≤1，的值域是________．15. 在△ABC 中，若b ＝2，A ＝120°，三角形的面积S ＝3，则三角形ABC外接圆的半径为________．16. 若函数f (x )＝－13x 3＋12x 2＋2ax 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞上存在单调递增区间，则a 的取值范围是________．三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤。

17. （10分）在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程是cos()4πρθ-=，圆C 的极坐标方程是4sin ρθ=．（1）求l 与C 交点的极坐标；（2）设P 为C 的圆心，Q 为l 与C 交点连线的中点，已知直线PQ的参数方程是1x a y ⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），求,a b 的值． 18. （12分）已知函数()2sin sin()6f x x x π=+.（1）求函数()f x 的单调递增区间； （2）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的值域. 19. （12分）已知数列{}n a 满足111,(1)n n a na S n n +=-=++)(*N n ∈，n S 是数列{}n a 的前n 项和. (1)求数列{}n a 的通项公式n a ； (2)令3nn n a b =，求数列{}n b 的前n 项和n T . 20. （12分）为了研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门对100名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在55名男性驾驶员中，平均车速超过100km/h 的有40人，不超过100km/h 的有15人．在45名女性驾驶员中，平均车速超过100km/h 的有20人，不超过100km/h 的有25人．（1）完成下面的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h 的人与性别有关．（2）以上述数据样本来估计总体，现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车中驾驶员为男性且车速超过100km/h 的车辆数为X ，若每次抽取的结果是相互独立的，求X 的分布列和数学期望．参考公式与数据： 22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中d c b a n +++=21. （12分）在直三棱柱ABC A B C '''-中，底面ABC 是边长为2的正三角形，D '是棱A C ''的中点，且AA '=（1）试在棱CC '上确定一点M ，使A M '⊥平面AB D ''； （2）当点M 在棱CC '中点时，求直线AB '与平面A BM '所成角的正弦值.22. （12分）设()21x f x e ax =--． （1）讨论函数()f x 的极值；（2）当0x ≥时，2e 1x ax x ≥++，求a 的取值范围．AB CB 'A 'C 'D 'M2016-2017学年度下学期瓦房店市高级中学期末考试 高二数学（理科）参考答案一、选择题二、填空题13、 π 14、 [－3，＋∞) 15、2 16、⎝ ⎛⎭⎪⎫－19，＋∞ 三、解答题17、解：（1）4sin ρθ=代入cos()4πρθ-=，得2sin cos cos θθθ=．所以cos 0θ=或tan 1θ=，取2πθ=，4πθ=．再由4sin ρθ=得4ρ=，或ρ=l 与C 交点的极坐标是(4,)2π，或)4π． …………5分（2）参数方程化为普通方程得()12by x a =-+．由（1）得P ，Q 的直角坐标分别是(0,2)，(1,3)，代入解得1,2a b =-=．…………10分18、解：（I）11()2sin cos )sin 222f x x x x x =+= …………2分sin(2)3x π=-. …………4分 函数()f x 的最小正周期为T =π. …………6分因为222,232k x k πππππ-+≤-≤+解得51212k x k ππππ-+≤≤+，Z ∈k ， 所以函数()f x 的单调递增区间是5[,],1212k k k ππππ-++∈Z . …………8分2()0,,2II ,,sin(2)23333x x x πππππ⎡⎤⎡⎤⎡⎤∈-∈--∈⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦， …………10分()0,1f x ⎡∈+⎢⎣⎦. …………12分19、解：（1）)1(1++=+n n S na n n ....................... ① 2≥∴n 时，n n S a n n n )1()1(1-+=-- ………………. ② ①-②得n na na n n 21=-+，从而)2(21≥=-+n a a n n …………………… 3分 又1=n 时，212=-a a …………………… 4分 因此，数列}{n a 是以1-为首项，2为公差的等差数列.322)1(1-=⨯-+-=∴n n a n …………………… 6分（2）nn n b 332-= n n n n n T 31)32(31)52(313311311132⨯-+⨯-++⨯+⨯+⨯-=- ……………. ③143231)32(31)52(31331131131+⨯-+⨯-++⨯+⨯+⨯-=n n n n n T ……… ④③-④得13231)32()313131(23132+⨯--++++-=n n n n T …………………… 9分整理得 n n nT 3-=…………………… 12分20、解： （1）合计因为22100(40251520)8.2497.87960405545χ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，所以有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h 与性别有关． …………（6分）（2）根据样本估计总体的思想，从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取1辆，驾驶员为男性且车速超过100km/h 的车辆的概率为402=1005． X 可取值是0,1,2,3，2~(3,)5X B ，有：00332327(0)()()55125P X C ===， 11232354(1)()()55125P X C ===， 22132336(2)()()55125P X C ===， 3303238(3)()()53125P X C ===， 分布列为()01231251251251255E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．…………（12分）21、解：（1)取AC 边中点为O∵底面ABC 是边长为2的正三角形，∴AC OB ⊥ 连接D O '，∵D '是边C A ''的中点 ∴AC D O ⊥'，OB D O ⊥'所以可以建立以O 为坐标原点，OB 为x 轴，OC 为y 轴， D O '为z 轴如图所示的坐标系 ……………………2分则有 )0,0,0(O ，)0,1,0(-A ，)0,0,3(B ，)0,1,0(C ，)22,0,3(B '，)22,1,0(-'A ，)22,0,0(D '，)22,1,0(C ' 设),1,0(t M ，则(0,2,'=-A M t ，(0,1'=AD ，'(3,1'=AB ……4分若D ''⊥'B A M A 平面，则有D '⊥'A M A ，B '⊥'A MA∴02(002(0⎧''⋅=++-⋅=⎪⎨''⋅=++-⋅=⎪⎩A M AD t A M AB t 可得 223=t即当223=CM 时，D ''⊥'B A M A 平面. …………6分 （2) 当点M 在棱C C '中点时：)2,1,0(M ∴)2,1,3(-=BM ，)2,2,0(-='M A ， 设平面BM A '的一个法向量),,(z y x n =∴30020⎧⋅=-++=⎪⎨'⋅=+=⎪⎩BM n x y A M n y 令2=z ，得 1=y ，3=x ∴)2,1,3(=n…………………9分设直线B A '与平面BM A '所成角为θ，则sin |cos ,|θ'=<>n AB 322=…………12分 22、解：（1）()2x f x e a '=-，若0a ≤，则()0f x '>，()f x 在R 上单调递增，没有极值． …………（2分） 若0a >，令()0f x '=，ln 2x a =，列表所以当ln 2x a =时，()f x 有极小值(2)22ln 21f a a a a =--，没有极大值．…………（6分）（2）方法1设2()1xg x e ax x =---，则'()21()x g x e ax f x =--=．从而当21a ≤，即12a ≤时，()0f x '>(0)x ≥， '()(0)0g x g '≥=，()g x 在[0,)+∞单调递增，于是当0x ≥时，()(0)0g x g ≥=．…………（8分）当12a >时，若(0,ln 2)x a ∈，则()0f x '<，()(0)0g x g ''<=，()g x 在(0,ln 2)a 单调递减，于是当(0,ln 2)x a ∈时，()(0)0g x g <=．综合得a 的取值范围为1(,]2-∞． …………（12分）（2）方法2 由（1）当12a =时，()(2)0f x f ≥=，得1xe x ≥+． （2）设2()1x g x e ax x =---，则'()21x g x e ax =--(12)x a ≥-．从而当21a ≤，即12a ≤时，'()0g x ≥(0)x ≥，而'(0)0g =，于是当0x ≥时，()0g x ≥．…………（8分）由1xe x >+(0)x ≠可得，1xex ->-，即1x x e ->-(0)x ≠，从而当12a >时，'()2(1)1(1)(2)x x x x x g x e a e e e e a -<---=--．故当(0,ln 2)x a ∈时，'()0g x <，而(0)0g =，于是当(0,ln 2)x a ∈时，()(0)0g x g <=．综合得a 的取值范围为1(,]2-∞． …………（12分）。