2020年高二理科数学下学期期末考试
高二理科数学下学期期末考试数 学 试 题（理科）（本试卷分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分．答题时间120分钟， 满分120分．）第Ⅰ卷（选择题，共48分）一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分．每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．复数31iz i-=-等于 （ ） A ．i 21+ B ．i 21- C ．i +2 D ．i -2 2．如果复数)2)(1(i bi ++是纯虚数，则biib ++132的值为 （ ）A ．2B ．5C ．5D ．15 3．已知函数1-=x y ，则它的导函数是 （ ）A ．121/-=x y B ．)1(21/--=x x y C ．112/--=x x y D ．)1(21/---=x x y 4．=+⎰-dx ex x)(cos 0π （ ）A ．1e π-- B ．1e π-+ C ．eπ-- D ．1eππ--5．如图，平行四边形ABCD 中，G 是BC 延长线上一点，AG 与BD 交于点E ，与DC 交于点F ，则图中相似三角形共有（ ）A ．3对B ．4对C ．5对D ．6对6．曲线221x y -=经过伸缩变换T 得到曲线'2'21169x y -=，那么直线210x y -+=经过伸缩变换T 得到的直线方程为 （ ）A ．''2360x y -+=B ．''4610x y -+=C ．''38120x y -+= D ．''3810x y -+=7．圆5cos ρθθ=-的圆心坐标是 （ ）A 4(5,)3π--B (5,)3π-C (5,)3πD 5(5,)3π- 8．在极坐标系中与圆4sin ρθ=相切的一条直线的方程为 （ ）A cos 2ρθ=B sin 2ρθ= C4sin()3πρθ=+ D 4sin()3πρθ=-9．设随即变量ξ服从正态分布)1,0(N ，p P =>)1(ξ，则)01(<<-ξP 等于 （ ）A ．p 21B ．p -1C ．p 21-D ．p -2110．在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A 只能出现在第一步或最后一步，程序C B ,实施时必须相邻，请问实验顺序的编排方法共有 （ ） A ．24种 B ．96种 C ．120种 D ．144种11．某盏吊灯上并联着3个灯泡，如果在某段时间内每个灯泡能正常照明的概率都是7.0 则在这段时间内吊灯能照明的概率是 （ ） A ．343.0 B ．833.0 C ．973.0 D ．029.1 12．已知)(x f 是定义在),0(+∞上的非负可导函数，且满足()0)(/≤+x f x xf ，对任意正数b a ,，若b a <，则必有 （ ） A )()(a bf b af ≤ B )()(b af a bf ≤ C )()(b f a af ≤ D )()(a f b bf ≤第Ⅱ卷（非选择题，共72分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13．函数y =的最大值是 ． 14．由曲线2x y =，x y =，x y 3=所围成的图形面积为 ． 15．二项式10)211(x -的展开式中含51x的项的系数是 ．16．已知函数[]2,2,)(23-∈+++=x c bx ax x x f 表示过原点的曲线，且在1±=x 处的切线的倾斜角均为π43，有以下命题： ①)(x f 的解析式为[]2,2,4)(3-∈-=x x x x f ； ②)(x f 的极值点有且只有一个； ③)(x f 的最大值与最小值之和等于零； 其中正确命题的序号为_ ．三、解答题：本大题共6小题，共56分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分8分）设函数=)(x f lg(|3||7|)x x ++-a -．（1）当1=a 时，解关于x 的不等式0)(>x f ； （2）如果R x ∈∀，0)(>x f ，求a 的取值范围．18．（本小题满分10分）设()n n n f n-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=11，其中n 为正整数．（1）求)1(f ，)2(f ，)3(f 的值；（2）猜想满足不等式0)(<n f 的正整数n 的范围，并用数学归纳法证明你的猜想．19．（本小题满分10分）经过点⎪⎭⎫ ⎝⎛--23,3A ，倾斜角为α的直线l ，与曲线C ：⎩⎨⎧==θθsin 5cos 5y x （θ为参数）相交于C B ,两点． （1）写出直线l 的参数方程，并求当6πα=时弦BC 的长；（2）当A 恰为BC 的中点时，求直线BC 的方程； （3）当8=BC 时，求直线BC 的方程； （4）当α变化时，求弦BC 的中点的轨迹方程．20．（本小题满分9分）设在一个盒子中，放有标号分别为1，2，3的三张卡片，现从这个盒子中，有放回地先后抽得两张卡片，标号分别记为y x ,，设随机变量x y x -+-=2ξ．（1）写出y x ,的可能取值，并求随机变量ξ的最大值； （2）求事件“ξ取得最大值”的概率； （3）求ξ的分布列和数学期望与方差．21．（本小题满分9分）如图，已知⊙1O 与⊙2O 外 切于点P ，AB 是两圆的外公切线，A ，B 为切 点，AB 与21O O 的延长线相交于点C ，延长AP 交⊙2O 于 点D ，点E 在AD 延长线上． （1）求证：ABP ∆是直角三角形；（2）若AE AP AC AB ⋅=⋅，试判断AC 与EC 能否一定垂直？并说明理由． （3）在（2）的条件下，若4=AP ，49=PD ，求ACEC的值．22．（本小题满分10分）已知函数c bx x ax x f -+=44ln )()0(>x 在1=x 处取得极值c --3，其中c b a ,,为常数．（1）求b a ,的值；（2）讨论函数)(x f 的单调区间；（3）若对任意0>x ，不等式02)(2≥+c x f 恒成立，求c 的取值范围．（注意：本页不交，答案写到答题纸上）数学（理科）参考答案及评分标准一、选择题（每小题4分，共48分）1．C 2．B 3．B 4．A 5．D 6．C 7．A 8．A 9．D 10．B 11．C 12．A 二、填空题（每小题4分，共16 分） 13．5 14．313 15．863- 16．①③ 三、解答题（共6小题，共56分）17．解：（1）当1a =时，原不等式可变为|3||7|10x x ++->，可得其解集为{|3,7}.x x x <->或 ………………4分（2）因|3||7|3(7)|10x x x x ++-≥+--=｜对任意x R ∈都成立． ∴lg(|3||7|)lg101x x ++-≥=对任何x R ∈都成立．∵lg(|3||7|)x x a ++->解集为R ．∴1a <…………………………8分18．解：（1）2717)3(,21)2(,1)1(-===f f f ………………3分 （2）猜想：0)11()(,3<-+=≥n n n f n n………………4分证明：①当3=n 时，02717)3(<-=f 成立 ………………5分②假设当k n =),3(*N n n ∈≥时猜想正确，即()011<-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=k k k f k∴k k k<⎪⎭⎫⎝⎛+11 由于)111()11()111()111(1111+++<++++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++k k k k k k k k 11)111(+<++=++<k k kk k k ………………8分 ∴1)111(1+<+++k k k ，即()0)1(11111<+-⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++k k k f k 成立由①②可知，对0)11()(,3<-+=≥n nn f n n成立 ………………10分19．解：（1）l 的参数方程⎪⎩⎪⎨⎧+-=+-=ααsin 23cos 3t y t x （t 为参数）． …………1分曲线C 化为：2522=+y x ，将直线参数方程的y x ,代入，得0455)sin cos 2(32=-+-t t αα ∵055)sin cos 2(92>++=∆αα恒成立， ………………3分 ∴方程必有相异两实根21,t t ，且)sin cos 2(321αα+=+t t ，45521-=t t ． ∴55)sin cos 2(94)(22122121++=--=-=ααt t t t t t BC∴当6πα=时，33633721+=BC ． ………………5分 （2）由A 为BC 中点，可知0)sin cos 2(321=+=+ααt t ，∴2tan -=α，故直线BC 的方程为01524=++y x ． ………………7分 （3）∵8=BC ，得855)sin cos 2(92=++=ααBC∴0cos 3cos sin 42=+ααα, ∴0cos =α或43tan -=α 故直线BC 的方程为3=x 或01543=++y x ………………9分（4）∵BC 中点对应参数221t t t +=)sin cos 2(23αα+= ∴⎪⎩⎪⎨⎧++-=++-=ααααααsin )sin cos 2(2323cos )sin cos 2(233y x （ 参数α[)π,0∈ ），消去α，得弦BC 的中点的轨迹方程为1645)43()23(22=+++y x ；轨迹是以)43,23(--为圆心，453为半径的圆． ………………10分 20．解：（1）y x ,的可能取值都为1，2，3．2,12≤-≤-x y x ，∴3≤ξ，∴当3,1==y x 或1,3==y x 时，ξ取最大值3． ………………3分 （2）有放回地先后抽得两张卡片的所有情况的种数933=⨯=n ，∴92)3(==ξP ……………………………4分 （3）ξ的所有取值为0，1，2，3，当0=ξ时，只有2,2==y x 这1种情况，∴91)0(==ξP ； 当1=ξ时，只有1,1==y x 或1,2==y x 或3,2==y x 或3,3==y x ， 共4种情况，∴94)1(==ξP ； 当2=ξ时，只有2,32,1====y x y x 或这2种情况，∴92)2(==ξP ； 当3=ξ时，92)3(==ξP ； ………………7分 ∴ 随机变量ξ的分布列为：∴ 数学期望993929190=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE方差98)9143(92)9142(94)9141(92)9140(912222=-+-+-+-=ξD ………9分21．解：（1）证明：过点P 作两圆公切线PN 交AB 于N ，由切线长定理得NB NA NP ==，∴PAB ∆为直角三角形 ………………3分（2）EC AC ⊥证明：∵AE AP AC AB ⋅=⋅， ∴ACAEAP AB =，又EAC PAB ∠=∠， ∴PAB ∆∽CAE ∆∴,900=∠=∠APB ECA 即EC AC ⊥． ……………6分 （3）由切割线定理，AD AP AB ⋅=2，∴,3,5==PB AB AC EC PA PB :4:3:==∴43=AC EC ． ………………9分 22．解：（1）)4ln 4()(3/b a x a x x f ++=，0)1(='f ，∴04=+b a ，又c f --=3)1(，∴3,12-==b a ； ………………5分 （2）x x x f ln 48)(3/=（)0>x∴由0)(/=x f 得1=x ，当10<<x 时，0)(/<x f ，)(x f 单调递减； 当1>x 时，0)(/>x f ，)(x f 单调递增；∴)(x f 单调递减区间为)1,0(，单调递增区间为),1(+∞ ……9分 （3）由（2）可知，1=x 时，)(x f 取极小值也是最小值c f --=3)1(， 依题意，只需0232≥+--c c ，解得23≥c 或1-≤c ………………10分。
【人教版】2020学年高二数学下学期期末考试试题 理
2020学年度高二第二学期期末考试数学试题（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设全集U 是实数集R ,集合}{22M x x x =<->或,{}2430N x x x =-+<,则图中阴影部分所表示的集合是 （ ）A ．}12|{<≤-x xB ．}22|{≤≤-x xC ．}21|{≤<x xD ．}2|{<x x2.下面是关于复数iiz ---=131的四个命题：其中的真命题为（ ）①在复平面内，复数z 对应的点位于第二象限 ②复数z 的虚部是-2 ③复数z 是纯虚数 ④5=zA. ①②B. ①③C. ②④D. ③④3．设0.213121log 3,,23⎛⎫=== ⎪⎝⎭a b c ,则（ ）A ．B ．C ．D ．4．已知向量a ＝(1，－cos θ)，b ＝(1，2cos θ)且a ⊥b ，则cos2θ等于( ) A ．－1 B ．0 C. 12 D. 225.在ABC ∆中，角A 、Ｂ、Ｃ所对的边分别是a 、b 、c，若a =，B A 2=，则B cos 等于（ ） A ．33 B ．43 Ｃ．53 Ｄ． 63 6．将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为（ ）A.18B.24C.30D.367. 若下框图所给的程序运行结果为=35S ，那么判断框中应填入的关于k的条件是( )俯视图A.7k =B.6k ≤C.6k <D.6k > 8.若某几何体的三视图(单位：cm )如图所示，则该几何体的 体积等于( )A.310cmB.320cmC.330cmD.340cm 9.下列说法中，正确的是（ ）A ．命题“若22am bm <，则a b <”的逆命题是真命题B ．命题“存在0,2>-∈x x R x ”的否定是：“任意0,2≤-∈x x R x ” C ．命题“p 或q ”为真命题，则命题“p ”和命题“q ”均为真命题 D ．“0b =”是“函数2()f x ax bx c =++是偶函数”的充分不必要条件 10．右图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(00A ω>>，，||2πϕ≤)图像的一部分．为了得到这个函数的图像，只要将y ＝sin x (x ∈R)的图像上所有的点 ( )A .向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变. B .向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变.C .向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变.D .向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变.11.已知定义在R 上的函数()y f x =对任意x 都满足()()1f x f x +=-，且当01x ≤<时，()f x x =，则函数()()ln ||g x f x x =-的零点个数为( )A ．2B ．3 C.4 D ．512.定义在R 上的函数()f x 满足：()()1,(0)4,f x f x f '+>=则不等式()3x xe f x e >+（其中e 为自然对数的底数）的解集为（ ） A.()0,+∞ B.()(),03,-∞+∞ C.()(),00,-∞+∞ D.()3,+∞二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.函数y f x =()的定义域为(]-∞，1，则函数y f x =-[log ()]222的定义域是________14.已知0(sin cos )a t t dt π=+⎰，则61()axx -的展开式中的常数项为 . 15.函数)1,0(log 1)(≠>+=a a x x f a 的图像恒过定点A ，若点A 在直线02=-+ny mx 上，其中,0>mn 则nm 11+得最小值为 . 16．已知函数()ln ,021,0x x f x x x >⎧=⎨+≤⎩若方程()f x ax =有三个不同的实数根，则a 的取值范围是 ．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤.第17~21题为必做题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17. （本小题共12分）设数列10,10,}{11+==+n n n n a a S n a 项和为的前 9，9991+++n S a n n （1）求证：{}1+n a 是等比数列； (2)若数列{}n b 满足()()()*+∈+⋅+=N n a a b n n n 1lg 1lg 11,求数列{}n b 的前n 项和n T ；18.（本小题满分12分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥平面ABC ，ABC ∆为等腰直角三角形，90BAC ∠=，且1,,AB AA E F =分别是1,CC BC 的中点.（Ⅰ）求证：1B F ⊥平面AEF ； （Ⅱ）求锐二面角1B AE F --的余弦值.19.某高校在2017年的自主招生考试成绩中随机抽取n 名学生的笔试成绩（被抽取学生的 成绩均不低于160分,且不高于185分），按成绩分组，得到的频率分布表如下左图所示. （1） 请先求出n 、a 、b 、c 的值，再在答题纸上补全频率分布直方图；（2）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？（3）在（2）的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生接受A 考官进行面试， 第4组中有ξ名学生被考官A 面试，求ξ的分布列和数学期望.FE C 1B 1A 1CBA20.（本小题共12分）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个焦点F 与抛物线24y x =的焦点重合，且截抛物线，倾斜角为45的直线l 过点F . （Ⅰ）求该椭圆的方程；（Ⅱ）设椭圆的另一个焦点为1F ，问抛物线24y x =上是否存在一点M ，使得M 与1F 关于直线l 对称，若存在，求出点M 的坐标，若不存在，说明理由. 21. （本小题共12分）已知函数()1xf x e x =-- （Ⅰ）求()y f x =在点()1,(1)f 处的切线方程；（Ⅱ）若存在041,ln 3x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，满足10xa e x -++<成立，求a 的取值范围；（Ⅲ）当0x ≥时，2()f x tx ≥恒成立，求t 的取值范围.选考题：请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，按所做的第一题计分.作答时请写清题号． 22．(本小题满分10分)选修4—4：极坐标系与参数方程．在直角坐标系xoy 中，曲线C 1的参数方程为325425x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩(t 为参数)．曲线C 2: 2240x y y +-=，以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，若点P 的极坐标为(4π)．(I)求曲线C 2的极坐标方程； (Ⅱ)若C 1与C 2相交于M 、N 两点，求11PM PN+的值. 23．(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲已知()()2f x x m m R =+∈．(I)当m =0时，求不等式()25f x x +-<的解集；(Ⅱ)对于任意实数x ，不等式()222x f x m --<成立，求m 的取值范围．2017-2018学年度高二第二学期期末考试数学试题（理科）答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.CCABB CDBBA BA二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.2⎤⎡⋃--⎦⎣， 14. 25- 15. 2 16.1,（0）e三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤.第17~21题为必做题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. 17.（本小题共12分）解：（1）依题意，992=a ，故101112=++a a ， 当n S a n n n 9921+=≥-时， ①又9991++=+n S a n n ②②－①整理得：1011n 1n =+++a a ，故{}1+n a 是等比数列，（2）由（1）知，且()n n n qa a 101111=+=+-，()n a n =+∴1lg ，()11lg 1+=++n a n ()())1(11lg 1lg 11+=+⋅+=∴+n n a a b n n n()11431321211+++⨯+⨯+⨯=∴n n T n 11141313121211+-++-+-+-=n n ()*∈+=N n n n118. （本小题满分12分）（Ⅰ）连结AF ，∵F 是等腰直角三角形ABC ∆斜边BC 的中点，∴AF BC ⊥. 又 三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱， ∴面ABC ⊥面11BB C C ，∴AF ⊥面11BB C C ，1AF B F ⊥.FE C 1B 1A 1CBA设11AB AA ==，则1132B F EF B E ===. ∴22211B F EF B E +=，∴1B F EF ⊥.又AFEF F =，∴ 1B F ⊥平面AEF .（Ⅱ）以F 为坐标原点，,FA FB 分别为,x y 轴建立直角坐标系如图，设11AB AA ==，则11(0,0,0),((0,(0,)2222F A B E -，1()222AE =--，1(22AB =-. 由（Ⅰ）知，1B F ⊥平面AEF ，∴可取平面AEF的法向量1(0,2m FB ==. 设平面1B AE 的法向量为(,,)n x y z=，由110,0,0,222020,0x y z n AE z n AB z x z ⎧--+=⎪⎧=-=⎪⎪⇒⇒⎨⎨=-=⎪⎪⎩++=⎪⎩∴可取(3,1,n =-.设锐二面角1B AE F --的大小为θ，则03(1)1cos |cos ,|||||mnm n m n θ⨯+-+⨯=<>===. ∴所求锐二面角1B AE F --的余弦值为619. （本小题共12分）【解】：（1）由第1组的数据可得100050.05==n ，第2组的频率b =350.0507.0=⨯，第2组的频数为a =35507.0100=⨯⨯人,第3组的频率为c =300.300100=,CC频率分布直方图如右:（2）因为第3、4、5组共有60名学生,所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生,每组分别为:第3组:306360⨯=人,… 6分 第4组:206260⨯=人, …7分 第5组:106160⨯=人, …8分所以第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人. （3）由题意知变量ξ的可能取值是0，1，2 该变量符合超几何分布，∴∴分布列是∴20. （本小题共12分）解：（Ⅰ）抛物线x y 42=的焦点为)0,1(F ，准线方程为1-=x ，∴ 122=-b a ①又椭圆截抛物线的准线1-=x，∴ 得上交点为)22,1(-，∴ 121122=+ba ② 由①代入②得01224=--b b ，解得12=b 或212-=b （舍去）， 从而2122=+=b a∴ 该椭圆的方程为该椭圆的方程为22121x y += （Ⅱ）∵ 倾斜角为45的直线l 过点F ，∴ 直线l 的方程为)1(45tan -=x y，即1-=x y ，由（Ⅰ）知椭圆的另一个焦点为)0,1(1-F ，设),(00y x M 与1F 关于直线l 对称，则得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--+=+-=⨯+-12)1(2011100000x y x y ，解得⎩⎨⎧-==2100y x ，即)2,1(-M ， 又)2,1(-M 满足x y 42=，故点M 在抛物线上.所以抛物线x y 42=上存在一点)2,1(-M ，使得M 与1F 关于直线l 对称.21. （本小题共12分）解：(Ⅰ) ()1xf x e '=- ()12f e =-()f x ∴在()()1,1f 处的切线方程为： ()()211y e e x -+=--即()11y e x =--(Ⅱ) 1x a e x <-- 即()a f x < 令()10xf x e '=-=0x =0x >时， ()0f x '>，0x <时， ()0f x '<()f x ∴在(),0-∞上减，在()0,+∞上增又041,ln 3x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时， ()f x ∴的最大值在区间端点处取到.()11111f e e --=-+=444ln 1ln333f ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭()41441141ln 1ln ln 033333f f e e ⎛⎫--=-++=-+> ⎪⎝⎭()41ln 3f f ⎛⎫∴-> ⎪⎝⎭ ()f x ∴在41,ln 3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上最大值为1e ，故a 的取值范围是：a <1e .（Ⅲ）由已知得0,x ≥时210xe x tx ---≥恒成立，设()21.x g x e x tx =--- ()'12.xg x e tx ∴=--由(Ⅱ)知1xe x ≥+，当且仅当0x =时等号成立， 故()()'212,g x x tx t x ≥-=-从而当120,t -≥即12t ≤时，()()'00g x x ≥≥，()g x ∴为增函数，又()00,g = 于是当0x ≥时，()0,g x ≥ 即2(),f x tx ≥12t ∴≤时符合题意。
2020年高二下学期期末数学试卷(理科)
2020年高二下学期期末数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）已知全集，集合，则为（）A .B .C .D .2. （2分）已知是虚数单位，若，则的共轭复数为（）A .B .C .D .3. （2分） (2018高一下·南阳期中) 学校举行“好声音”歌曲演唱比赛，五位评委为学生甲打出的演唱分数茎叶图如图所示，已知这组数据的中位数为，则这组数据的平均数不可能为（）．A .B .C .D .4. （2分）设集合A={x∈R|x﹣2＞0}，B={x∈R|x＜0}，C={x∈R|x（x﹣2）＞0}，则“x∈A∪B”是“x∈C”的（）A . 充分而不必要条件B . 必要而不充分条件C . 充分必要条件D . 即不充分也不必要条件5. （2分）下面有5个命题：①单位向量的模都相等．②长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量．③若与满足| |＞| |且与同向，则＞．④两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同．⑤对任意非零向量，必有| + |≤| |+| |．其中正确的命题序号是（）A . ①③⑤B . ④⑤C . ①④⑤D . ②④6. （2分） (2018高二上·西安月考) 设等差数列{an}的公差为d ，若数列{2a1an}为递减数列，则（）A . d<0B . d>0C . a1d<0D . a1d>07. （2分）(2016·海南模拟) 执行如图所示的程序框图，若输出的n=6，则输入整数p的最小值是．（）A . 17B . 16C . 18D . 198. （2分）设函数f（x）=cos2x﹣2sinxcosx﹣sin2x，g（x）=2cos2x+2sinxcosx﹣1，把f（x）的图象向右平移m个单位后，图象恰好为函数g（x）的图象，则m的值可以是（）A .B .C .D .9. （2分）定义域为R的偶函数f（x）满足对∀x∈R，有f（x+2）=f（x）﹣f（1），且当x∈[2，3]时，f （x）=﹣2x2+12x﹣18，若函数y=f（x）﹣loga（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，则a的取值范围是（）A . (0,)B . (0,)C . (0,)D . (0,)10. （2分） (2018高一下·伊春期末) 空间某几何体的三视图如右图所示，该几何体的体积为，则正视图与侧视图中x的值为（）A . 5B . 4C . 3D . 211. （2分） (2017高三上·赣州期中) 若变量x，y满足|x|﹣ln =0，则y关于x的函数图象大致是（）A .B .C .D .12. （2分）双曲线的渐进线方程为，且焦距为10，则双曲线方程为（）A .B . 或C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2017高一下·淮安期末) 已知实数x，y满足，则目标函数z=x﹣y的最小值为________．14. （1分）二项式（x﹣）6的展开式的常数项是________．（用数字作答）15. （1分） (2018高一下·南阳期中) 从区间随机抽取个数，，，，，，，，，构成个数对，，，，其中两数的平方和小于的数对共有个，则用随机模拟的方法得到的圆周率的近似值为________．16. （1分）已知函数f（x）是以2为周期的偶函数，且当x∈（0，1）时，f（x）=2x﹣1，则f（log210）的值为________．三、解答题 (共6题；共42分)17. （10分） (2016高二下·昆明期末) 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2csinBcosA ﹣bsinC=0．（1）求角A；（2）若△ABC的面积为，b+c=5，求a．18. （10分） (2016高一下·唐山期末) 已知正项数列{an}，其前n项和Sn满足6Sn=an2+3an+2，且a1 ， a2 ，a6是等比数列{bn}的前三项．（1）求数列{an}与{bn}的通项公式；（2）记Tn=a1b1+a2b2+…+anbn，n∈N*，求Tn．19. （5分） (2017高二上·廊坊期末) 如图，平面ABEF⊥平面ABC，四边形ABEF为矩形，AC=BC．O为AB 的中点，OF⊥EC．（Ⅰ）求证：OE⊥FC：（Ⅱ）若 = 时，求二面角F﹣CE﹣B的余弦值．20. （10分） (2018高二上·武邑月考) 为了解市民对某项政策的态度，随机抽取了男性市民25人，女性市民75人进行调查，得到以下的列联表：支持不支持合计男性20525女性403575合计6040100附： .0.150.1000.0500.0250.010K0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635（1）根据以上数据，能否有97.5%的把握认为市民“支持政策”与“性别”有关？（2）将上述调查所得的频率视为概率，现在从所有市民中，采用随机抽样的方法抽取4位市民进行长期跟踪调查，记被抽取的4位市民中持“支持”态度的人数为X,求X的分布列及数学期望。
2019-2020年高二下学期期末考试数学(理)试题 含答案
2019-2020年高二下学期期末考试数学(理)试题 含答案命题教师：张金荣一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．已知集合A ＝{x |y ＝lg(2x －x 2)}，B ＝{y |y ＝2x ，x >0}，R 是实数集，则(∁R B )∩A 等于( )A ．[0,1]B ．(0,1]C ．(－∞，0]D ．以上都不对2．函数f(x)=ln(x-2)-的零点所在的大致区间是（ ）A ．（1,2） B.(2,3) C.(3,4) D.(4,5)3．函数f(x)=的定义域为（ ）A ． B. C. D.4．设a ＝60.7，b ＝0.76，c ＝log 0.76，则a ，b ，c 的大小关系为 ( )A ．c ＜b ＜aB ．c ＜a ＜bC ．b ＜a ＜cD ．a ＜c ＜b5．以下说法错误的是( )A ．命题“若x 2-3x+2=0,则x=1”的逆否命题为“若x≠1,则x 2-3x+2≠0”B ．“x=1”是“x 2-3x+2=0”的充分不必要条件C ．若p ∧q 为假命题,则p,q 均为假命题D ．若命题p:∃x 0∈R,使得+x 0+1<0,则﹁p:∀x ∈R,则x 2+x+1≥06．函数y=lg|x |x 的图象在致是（ ）7．偶函数y=f （x ）在x ∈时，f （x ）=x-1，则f(x －1)＜0的解集是( )A ．{x|-1＜x ＜0B ．{x|x ＜0或1＜x ＜2C ．{x|0＜x ＜2D ．{x|1＜x ＜28．函数f(x)= 满足对任意成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．9．若不等式x 2+ax+1≥0对于一切x(0,)恒成立，则a 的取值范围是（ ）A ．a≥0B ．a≥-2C ．a≥-D ．a≥-310．已知函数f (x )＝的值域为[0，＋∞)，则它的定义域可以是（ ）A ．(0,1]B ．(0,1)C ．(－∞，1]D ．(－∞，0]11．已知定义在R 上的奇函数f (x )，满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，() A ．f (－25)<f (11)<f (80) B ．f (80)<f (11)<f (－25)C ．f (11)<f (80)<f (－25)D ．f (－25)<f (80)<f (11)12．已知a >0且a ≠1，f (x )＝x 2－a x ，当x ∈(－1,1)时，均有f (x )<12，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(0，12]∪[2，＋∞) B ．[14，1)∪(1,4] C ．[12，1)∪(1,2] D ．(0，14]∪[4，＋∞) 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知函数f(x)=ax 2+bx+3a+b 是偶函数,定义域为[a-1,2a],则a+b= .14．已知函数f(x)是定义在区间上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f(2x-1)<f()的x 的取值范围为__________15．定义：区间[x 1，x 2](x 1<x 2)的长度为x 2－x 1.已知函数y ＝|log 0.5x |的定义域为[a ，b ]，值域为[0,2]，则区间[a ，b ]的长度的最大值为________．16．设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R 恒有f (x ＋1)＝f (x －1)，已知当x ∈[0,1]时f (x )＝(12)1－x ，则 ①2是函数f (x )的周期；②函数f (x )在(1,2)上是减函数，在(2,3)上是增函数；③函数f (x )的最大值是1，最小值是0；④当x ∈(3,4)时，f (x )＝(12)x －3. 其中所有正确命题的序号是________．三、解答题(共70分)17．(12分)给定两个命题：：对任意实数都有恒成立；：关于的方程有实数根；如果P ∨q 为真，P ∧q 为假，求实数的取值范围．18．（12分）对定义在实数集上的函数f (x )，若存在实数x 0，使得f (x 0)＝x 0，那么称x 0为函数f (x )的一个不动点．(1)已知函数f (x )＝ax 2＋bx －b (a ≠0)有不动点(1,1)、(－3，－3)，求a 、b ；(2)若对于任意实数b ，函数f (x )＝ax 2＋bx －b (a ≠0)总有两个相异的不动点，求实数a 的取值范围．19．(12分)已知f (x )为定义在[－1,1]上的奇函数，当x ∈[－1,0]时，函数解析式f (x )＝14x －a 2x (a ∈R)． (1)写出f (x )在[0,1]上的解析式；(2)求f (x )在[0,1]上的最大值．20．(12分)C D E AB P 经市场调查，某城市的一种小商品在过去的近20天内的销售量(件)与价格(元)均为时间t (天)的函数，且销售量近似满足g (t )＝80－2t (件)，价格近似满足f (t )＝20－12|t －10|(元)． (1)试写出该种商品的日销售额y 与时间t (0≤t ≤20)的函数表达式；(2)求该种商品的日销售额y 的最大值与最小值．21．(12分)已知函数f (x )的图象与函数h (x )＝x ＋1x ＋2的图象关于点A (0,1)对称．(1)求函数f (x )的解析式；(2)若g (x )＝f (x )＋a x ，g (x )在区间(0,2]上的值不小于6，求实数a 的取值范围．请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.22.（本小题满分10分）选修4—1: 几何证明选讲．如图，在正ΔABC 中，点D 、E 分别在边BC, AC 上,且,，AD ，BE 相交于点P.求证：(I) 四点P 、D 、C 、E 共 圆；(II) AP ⊥CP 。
2020年高二下学期期末数学试卷(理科)
2020年高二下学期期末数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）设为实数，若复数，则（）A .B .C .D .2. （2分）已知f1（x）=cosx，f2（x）=f1′（x），f3（x）=f2′（x），…，fn+1（x）=fn′（x），则f2016（x）=（）A . sinxB . ﹣sinxC . cosxD . ﹣cosx3. （2分）下列选项叙述错误的是（）A . 命题“若x≠l，则x2－3x十2≠0”的逆否命题是“若x2－3x十2＝0，则x＝1”B . 若命题p：x R，x2＋x十1≠0，则p：R，x2＋x十1＝0C . 若p q为真命题，则p，q均为真命题D . “x＞2”是“x2一3x＋2＞0”的充分不必要条件4. （2分）已知x与y之间的几组数据如下表，根据表中数据所得线性回归直线方程为＝ x＋，某同学根据表中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为y＝b′x＋a′，则以下结论正确的是（）x123456y021334A . ＞b′，＞a′B . ＞b′，＜a′C . ＜b′，＞a′D . ＜b′，＜a′5. （2分） (2016高二下·通榆期中) 对标有不同编号的16件正品和4件次品的产品进行检测，不放回地依次摸出2件．在第一次摸出次品的条件下，第二次也摸到次品的概率是（）A .B .C .D .6. （2分） (2015高二下·福州期中) 若曲线f（x）=ax3+lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围（）A . （1，+∞）B . （﹣∞，1）C . （0，+∞）D . （﹣∞，0）7. （2分） (2018高二上·寿光月考) 已知定义在上的可导函数的导函数为，若对于任意实数有，且，则不等式的解集为（）A .B .C .D .8. （2分） (2016高三上·安徽期中) 用6种颜色给右图四面体A﹣BCD的每条棱染色，要求每条棱只染一种颜色且共顶点的棱染不同的颜色，则不同的染色方法共有（）种．A . 4080B . 3360C . 1920D . 7209. （2分） (2016高二下·丰城期中) 用数学归纳法证明不等式1+ + +…+ ＜2﹣（n≥2，n∈N+）时，第一步应验证不等式（）A . 1+ ＜2﹣B . 1+ + ＜2﹣C . 1+ ＜2﹣D . 1+ + ＜2﹣10. （2分） F1 ， F2是双曲线的左、右焦点，过左焦点F1的直线l与双曲线C的左、右两支分别交于A，B两点，若，则双曲线的离心率是（）A .B .C . 2D .11. （2分） (2018高二上·成都月考) 设椭圆的左、右焦点分别为、，是上的点，，，则的离心率为（）．A .B .C .D .12. （2分）下列函数中，最小值为4的函数是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）命题p：∃x∈N，x2≥x，则该命题的否定是________．14. （1分） (2017高二下·咸阳期末) 二项式（ax﹣）3的展开式的第二项系数为﹣，则a2的值为________．15. （1分）(2017·山东) 在平面直角坐标系xOy中，双曲线 =1（a＞0，b＞0）的右支与焦点为F 的抛物线x2=2py（p＞0）交于A，B两点，若|AF|+|BF|=4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为________．16. （1分）若函数f(x) 的导函数 f'(x)=x2-4x+3 ，则 f(x+1) 的单调递减区间是________.三、解答题 (共8题；共50分)17. （5分）已知命题p：关于x的不等式x2+（a﹣1）+a2＜0有实数解，命题q：“y=（2a2﹣a）x为增函数．若“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．18. （5分）某校开设8门校本课程，其中4门课程为人文科学，4门为自然科学，学校要求学生在高中三年内从中选修3门课程，假设学生选修每门课程的机会均等．（1）求某同学至少选修1门自然科学课程的概率；（2）已知某同学所选修的3门课程中有1门人文科学，2门自然科学，若该同学通过人文科学课程的概率都是，自然科学课程的概率都是，且各门课程通过与否相互独立．用ξ表示该同学所选的3门课程通过的门数，求随机变量ξ的概率分布列和数学期望．19. （10分）(2016·桂林模拟) 如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面为菱形，∠BCD=120°，AB=PC=2，AP=BP=．（1）求证：AB⊥PC；（2）求侧面BPC与侧面DPC所成的锐二面角的余弦值．20. （5分）已知椭圆G的中心是原点O，对称轴是坐标轴，抛物线的焦点是G的一个焦点，且离心率．（Ⅰ）求椭圆G的方程；（Ⅱ）已知圆M的方程是x2+y2=R2（1＜R＜2），设直线l与圆M和椭圆G都相切，且切点分别为A，B．求当R 为何值时，|AB|取得最大值？并求出最大值．21. （5分）(2017·山西模拟) 已知函数f（x）=ax+x2﹣xlna（a＞0，a≠1）．（Ⅰ）当a＞1时，求证：函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；（Ⅱ）若函数y=|f（x）﹣t|﹣1有三个零点，求t的值；（Ⅲ）若存在x1 ，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1，试求a的取值范围．22. （5分）在平面直角坐标系xOy中，以动圆经过点（1，0）且与直线x=﹣1相切，若该动圆圆心的轨迹为曲线E．求曲线E的方程；23. （10分） (2019高三上·洛阳期中) 在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）求曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；（2）若直线与曲线交于、两点，设，求的值．24. （5分） (2017高三上·苏州开学考) 已知：a≥2，x∈R．求证：|x﹣1+a|+|x﹣a|≥3．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共8题；共50分) 17-1、18-1、19-1、19-2、20-1、第11 页共12 页21-1、22-1、23-1、23-2、24-1、第12 页共12 页。
2020高二数学(理)下学期期末学业质量监测试题(含解析)
高二下学期期末学业质量监测数学理试题试卷满分为150分，考试用时120分钟．考试内容：选修2-2、选修2-3．一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上.）1.已知z C ∈，()2zi bi b R =-∈，z 的实部与虚部相等，则b =（） A. 2 B.12C. 2D. 12-【答案】C 【解析】 【分析】利用待定系数法设复数z ，再运用复数的相等求得b .【详解】设z a ai =+ （R a ∈），则()2,a ai i bi +=- 即2a ai bi -+=-22,2a a a b b -==-⎧⎧∴∴⎨⎨=-=⎩⎩.故选C.【点睛】本题考查用待定系数法，借助复数相等建立等量关系，是基础题.2.函数121x y x -=+在()1,0处的切线与直线l :y ax =垂直，则a =（） A. 3 B. 3 C. 13D. 13-【答案】A 【解析】 【分析】先利用求导运算得切线的斜率，再由互相垂直的两直线的关系，求得a 的值。
【详解】''213()21(21)x y x x -==++Q 11,3x y =∴='∴ 函数在（1，0）处的切线的斜率是13，所以，与此切线垂直的直线的斜率是3,-3.a ∴=- 故选A.【点睛】本题考查了求导的运算法则和互相垂直的直线的关系，属于基础题．3.若随机变量X 满足(),X B n p ~，且3EX =，94DX =，则p=（） A.14B.34C.12D.23【答案】A 【解析】 【分析】根据二项分布的数学期望和方差求解.【详解】由题意得：39(1)4np np p =⎧⎪⎨-=⎪⎩ 解得：1214n p =⎧⎪⎨=⎪⎩，故选A.【点睛】本题考查二项分布的数学期望和方差求解，属于基础题.4.若函数()y f x =的图像如下图所示，则函数()'y f x =的图像有可能是（）A. B. C. D.【答案】A 【解析】 【分析】根据函数图象的增减性与其导函数的正负之间的关系求解。
河南省许昌市2020-2021学年高二下学期期末质量检测数学(理)试题 含答案
许昌市2020—2021学年第二学期高中期末考试高二理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上．将条形码粘贴在“条形码粘贴处”．2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效． 4．考生必须保证答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合}{2560A x x x =-+>，}{2log 1B x x =>，则A B ⋂=（ ） A ．)(,3-∞-B ．)(3,+∞C ．)(2,6D ．)(1,+∞2．已知复数z 满足)(12i 43i z +=+，则z =（ ） A ．2i -B ．2i --C ．2i +D ．2i -+3．已知tan 2α=，则3sin cos αα=（ ） A ．57B ．310C ．65D ．854．下表是某产品1~4月份销量（单位：百件）的一组数据，分析后可知，销量y 与月份)(17x x <<之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是ˆˆ0.6yx a =-+，则预测5月份的销量是（ ）A ．2B ．1.5C ．2.5D ．1.65．函数)(f x 在4x =处的切线方程为35y x =+，则)()(44f f '+=（ ） A ．10B ．20C ．30D ．406．若01a b <<<，bx a =，ay b =，log b z a =，则x ，y ，z 大小关系正确的是（ ） A ．x y z <<B ．y x z <<C ．z y x <<D ．z x y <<7．执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为（ ）A ．4B ．2C ．1D ．128．已知双曲线)(2224:1015x y C a a -=>，1F ，2F 为双曲线C 的左右焦点，2P ⎛ ⎭⎝在双曲线C 上，若120PF PF ⋅=，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．53B C D9．若0x >，0y >，则“2x y += ） A ．x y =B ．2x y =C ．2x =且1y =D ．x y =或1y =10．在区间]0,1⎡⎣上任取两个数，则这两个数之和小于65的概率是（ ） A ．1225B ．1625C ．1725D ．182511．已知函数)()(sinf x x ωϕ=+（其中0ω>，22ππφ-≤≤）满足08f π⎛⎫-=⎪ ⎭⎝，直线8x π=为)(y f x =的一条对称轴，且函数)(f x 在,168ππ⎛⎫⎪ ⎭⎝上单调，则实数ω的最大值为（ ） A ．6B ．10C ．14D ．1812．数列}{n a 的首项12a =，且)(146n n a a n *+=+∈N ，令)(2log 2n n b a =+，则1220212021b b b ++⋅⋅⋅+=（ ）A ．2020B ．2021C ．2022D ．2023二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．)(6312x x⎛⎫+-⎪⎭的展开式的常数项是______． 14．“华东五市游”作为中国一条精品旅游路线一直受到广大旅游爱好者的推崇．现有5名高三学生准备2021年高考后到“华东五市”中的上海市、南京市、苏州市、杭州市四地方旅游，假设每名同学均从这四个地方中任意选取一个去旅游，则恰有一个地方未被选中的概率为______．15．已知抛物线2:4C y x =．如图，过焦点F 作斜率为k 直线交抛物线C 于A ，B 两点，交抛物线C 的准线于点P ，若2AB PF =，则2k =（ ）AB ．2C ．13D ．12+ 16．已知函数)()(2ln 12a f x x x x a x =-+-，在1x =处取得极小值，则实数a 的取值范围是______． 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：60分．17．（12分）在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知1cos 2B =-． （1）若sin 3sin sin b B a A c C -=，求ac的值； （2）若ABC ∠的平分线交AC 于D ，且1BD =，求4a c +的最小值．18．（12分）某机器生产商，对一次性购买两台机器的客户推出两种超过质保期后两年内的延保维修方案： 方案一：交纳延保金600元，在延保的两年内可免费维修2次，超过2次每次收取维修费1500元； 案二：交纳延保金7845元，在延保的两年内可免费维修4次，超过4次每次收取维费a 元．某工厂准备一次性购买两台这种机器，现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案，为此搜集并整理了100台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数，统计得如表：以这100台机器维修次数的频率代替一台机器维修次数发生的概率．记X 表示这两台机器超过质保期后延保的两年内共需维修的次数． （1）求X 的分布列；（2）以所需延保金与维修费用之和的期望值为决策依据，该工厂选择哪种延保方案更合算．19．（12分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PAB △为等边三角形，平面PAB ⊥底面ABCD ，E 为AD 的中点．（1）求证：CE PD ⊥；（2）在线段BD （不包括端点）上是否存在点F ，使直线AP 与平面PEF ，若存在，确定点F 的位置；若不存在，请说明理由．20．（12分）已知椭圆2222:1x y E a b +=，双曲线22:162x y F -=，设椭圆E 与双曲线F 有相同的焦点，点122A ⎛⎫ ⎪⎪ ⎭⎝，1,22B ⎛⎫- ⎪⎪ ⎭⎝分别为椭圆E 与双曲线F 在第一、二象限的交点． （1）求椭圆E 的标准方程；（2）设直线AB 与y 轴相交于点M ，过点M 作直线交椭圆E 于P ，Q 两点（不同于A ，B ），求证：直线AP 与直线BQ 的交点N 在一定直线上运动，并求出该直线的方程．21．（12分）已知函数)(1xf x e ax =--，其中0x >，a R ∈．（1）若)(22x f x >恒成立，求a 的取值范围；（2）当1a =时，求证)()(1ln 1f x xx x -<+．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．【选修4-4：坐标系与参数方程】（10分）在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若极坐标方程为cos 4ρθ=的曲线1C 与曲线223x C y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）相交于A ，B 两点，曲线3C 是以AB 为直径的圆． （1）求曲线3C 的极坐标方程． （2）若过点)(04,3M 斜率为12的直线l 与曲线3C 相交于P 、Q 两点，求线段PQ 中点M 的坐标和线段0M M 的长度．23．【选修4-5：不等式选讲】（10分） 已知关于实数x 的不等式32332x x t +++<+无解． （1）求实数t 的取值组成的集合M ．（2）已知,,,R a b c d M ∈且1a b +=，2cd =，求)()(ac bd bc ad ++的最小值．许昌市2020—2021学年第二学期高中期末考试高二理科数学参考答案1．B 2．A3．C4．A5．B6．A7．D8．D9．C10．C11．C 【解析】∵函数)(f x 在区间,168ππ⎛⎫⎪ ⎭⎝上单调，∴816162T πππ-=≤，即28T ππω=≥，解得：16ω≤，∵8x π=-是)(y f x =的零点，直线8x π=为)(y f x =图象的一条对称轴，∴)(21,44n T n N π+⋅=∈，即242n Tπω==+，)(n N ∈ 当14ω=时，1482k ππϕπ+=+，k Z ∈，取4πϕ=-， 此时)(sin 144f x x π⎛⎫=-⎪ ⎭⎝在,168ππ⎛⎫⎪⎭⎝上单调递减，满足题意；故选C ． 12．2022解：因为)(146n n a a n *+=+∈N ，所以)(124624+2n n n aa a ++=++=，所以1242n n a a ++=+且12a =，所以数列}{2n a +是以4为首项，公比为4的等比数列，所以24n n a +=，即42n n a =-，代入)(2log 2n n b a =+得2log 42n n b n ==，设数列}{n b 的前n 项和为n S ，则)()(2021212320202021202112021S =+++⋅⋅⋅++=+，则)(122021202112021202220212021b b b +++⋅⋅⋅+==．13．61 14．7512815 16．)(,1-∞函数的定义域为)(0,+∞，且)(ln f x x ax a '=-+， 令)(ln h x x ax a =-+，则)(10h =，且)(11ax h x a x x-'=-=． （1）当0a ≤时，)(0h x '>，函数)(h x 在)(0,+∞上单调递增，所以当)(0,1x ∈时，)()()(10f x h x h '=<=，当)(1,x ∈+∞时，)()()(10f x h x h '=>=， 所以)(f x 在1x =处取得最小值，满足题意． （2）当01a <<时，即11a >，当10,x a ⎛⎫∈⎪ ⎭⎝时，)(0h x '>，函数)(h x 在10,a ⎛⎫⎪ ⎭⎝上单调递增， 所以当)(0,1x ∈时，)()()(10f x h x h '=<=，当11,x a ⎛⎫∈⎪ ⎭⎝时，)()()(10f x h x h '=>=， 所以)(f x 在1x =处取得最小值，满足题意．（3）当1a =时，当)(0,1x ∈时，)(0h x '>，)()(f x h x '=单调递增，当)(1,x ∈+∞时，)(0h x '<，)()(f x h x '=单调递减， 又)(10f '=，所以当)(0,x ∈+∞时，)(0f x '≤，)(f x 单调递减，不符合题意．（4）当1a >时，即101a <<，且当1,1x a ⎛⎫∈⎪ ⎭⎝时，)(0h x '<，)()(f x h x '=单调递减，)(0f x '>， 当)(1,x ∈+∞时，)(0h x '<，)()(f x h x '=单调递减，)(0f x '<，所以)(f x 在1x =处取得极大值，不符合题意． 综上可知，实数a 的取值范围是)(,1-∞．17．解析：（1）由正弦定理，得2223b a c -=，即2223b a c =+； 由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，又1cos 2B =-，所以22a ac =；所以12a c =． （2）由题意得ABCABD DBC S S S =+△△△，即111sin120sin 60sin 60222ac a c ︒=︒+︒，所以ac a c =+，即111a c +=；则)(11444559c a a c a c a c a c ⎛⎫+=++=++≥+=⎪ ⎭⎝， 当且仅当2c a =，即3c =，32a =时取等号；所以4a c +的最小值为9． 解：（1）根据题意，随机变量X 的所有取值为0，1，2，3，4，5，6，因为以这100台机器维修次数的频率代替一台机器维修次数发生的概率．所以，)(00.10.10.01P X ==⨯=，)(120.20.10.04P X C =⨯⨯=，)(1220.20.20.10.40.12P X C ==⨯+⨯⨯=，)(112230.10.10.20.40.22P X C C ==⨯⨯+⨯⨯=， )(1240.40.40.20.30.28P X C ==⨯+⨯⨯=，)(1250.40.30.24P X C ==⨯⨯=，)(60.30.30.09P X ==⨯=．所以随机变量X 的分布列为：（2）设所需延保金与维修费用之和为1,2n Y n =，若采用方案1，则随机变量1Y 分布列为：则随机变量1的期望为：)(160000.1775000.2290000.28105000.24120000.098790E Y =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=元．若采用方案2，则随机变量2Y 的分布列为：所以随机变量2的期望为：)()()(20.6777400.2477400.092774078450.42E Y a a a =⨯+⨯++⨯+=+元．令78450.428790a +=，得2250a =元，①若2250a <，则方案1的费用高，应选择方案2．②若2250a =，则两种方案费用一样多，可以任选一个方案． ③若2250a >，则方案2的费用高，应选择方案1．19．解：（1）取AB 的中点O 连PO ，DO ，∵PA PB =，∴PO AB ⊥，又面PAB ⊥面ABCD ，面PAB ⋂面ABCD AB =，PO ⊂面PAB ，∴PO ⊥面ABCD ， 法一：EC ⊂面ABCD ，则PO EC ⊥，在正方形ABCD 内，O ，E 分别为AB ，AD 的中点， ∴DAO CDE △△≌，则有ODE ECD ∠=∠， 又90ECD DEC ∠+∠=︒，∴90DEC ODE ∠+∠=︒，∴EC OD ⊥，OD PO O ⋂=，∴CE ⊥平面POD ，又PD ⊂平面POD ， ∴CE PD ⊥．法二：取CD 的中点G ，连OG ，则OB ，OP ，OG 两两垂直，∴分别以OB ，OG ，OP 所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图空间直角坐标系．设2AB =，则)(1,2,0C，(P ，)(1,1,0E -，)(1,2,0D -，∴)(2,1,0CE =--，(1,2,PD =-，则有220CE PD ⋅=-=，∴CE PD ⊥．（2）由（1）中法二，所得空间直角坐标系，易知(1,1,PE =-，(AP =，)(2,2,0BD =-，)(2,1,0BE =-，设)(01BF BD λλ=<<，则)(2,2,0BF λλ=-，)(22,21,0EF BF BE λλ=-=-+-．设面PEF 的法向量为)(,,n x y z =，则00n PE n EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即)()(022210x y x y λλ⎧-+-=⎪⎨-++-=⎪⎩，令1y =，则2122n λλ⎛⎫- = -⎝． 设直线AP 与平面PEF 所成的角为θ，sin cos ,5AP n AP n AP nθ⋅====， ∴整理得：29610λλ-+=，即13λ=． ∴在BD 上存在点F ，使得直线AP 与平面PEF F为靠近点B 的三等份点， 即13BF BD =． 20．解：（1）因为椭圆E 与双曲线F 有相同的焦点，所以22628a b -=+=，……①将点12A ⎫⎪⎪⎭⎝代入椭圆方程得22271144a b +=，……② 联立①②解得，29a =，21b =，所以椭圆E 的标准方程为：2219x y +=． （2）由条件知直线PQ 与直线AB 不重合，故直线PQ 的斜率不为0，且10,2M ⎛⎫⎪ ⎭⎝，设直线PQ 的方程为12x m y ⎛⎫=-⎪ ⎭⎝，联立221912x y x m y ⎧+=⎪⎪⎨⎛⎫⎪=-⎪ ⎪⎭⎝⎩可得)(22229904m m y m y +-+-=， 设)(11,P x y ，)(22,Q x y ，)(00,N x y ，则21229m y y m +=+，)(21223649m y y m -⋅=+，由A ，P ，N 共线得：10110111222111222m yx x m y y y ⎛⎫--⎪-- ⎭⎝===---，即：10212x m y =- 同理，由B ，Q ，N 共线得：02021212x m y y =+--，……④由④﹣③消去0x 并整理得，)()(121212022114212y y y y y y y +-=-++-，所以222202222129136231299m m m m y m m -+==---+++，解得02y =，综上所述，直线AP 与直线BQ 的交点N 在定直线2y =上运动．21．解（1）设)(212xx g x e ax =---，则)(xg x e x a '=--，当1a ≤时，)(10xg x e ''=->，所以)(g x '单调递增，所以)()(010g x g a ''>=-≥，所以)(g x 单调递增，此时)()(00g x g >=，即)(22x f x >，满足题意．②当1a >时，在)(0,+∞内必然存在一个0x ，使得)(00g x '=．即)(g x 在)(00,x 上单调递减，在)(0,x +∞上单调递增，此时)()(000g x g <=，不满足题意． 所以实数a 的取值范围为](,1-∞． （2）当1a =时，)(11x f x e xx-+=，所以要证)()(1ln 1f x xx x -<+， 只需证)(1ln 1x e xx x ->+． 由（1）可知1a =时，)(212xx f x e x =-->，即122x e x x -+>，所以要证)(1ln 1x e x x x ->+，只需证)(22ln 1x xx +>+，即证)(2ln 102x x x +->+． 设)()()(2ln 102xh x x x x =+->+，则)()()()(2221401212x h x x x x x '=-=>++++． 所以)(h x 在)(0,+∞上单调递增，所以)()(00h x h >=，即)(2ln 102xx x +->+，所以)(1ln 1x e x x x ->+． 所以当1a =时)()(1ln 1f x xx x -<+．22．解：（1）cos 4ρθ=化为直角坐标方程为4x =①，23x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩化为普通方程为23y x =②， ①②联立得)(4,8A ，)(4,8B -，所以曲线3C 的普通方程为)(22464x y -+=③．故3C 的极坐标方程为28cos 480ρρθ--=．11 （2）依已知设直线l的参数方程为43x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t260t +-=，由于0∆>，所以12t t +=，1255t t =-，所以122t t +=1445M x ⎛==，1235M y ⎛=+=， 故M 的坐标为1412,55⎛⎫⎪⎭⎝，由t的几何意义知0M M =． 23．解：（1）设)(233f x x x =+++，由于)()(33333333233322222222f x x x x x x x x x x =+++=+++++≥+++-+=++≥（当且仅当32x =-时等号成立），所以函数)(f x 的最小值为32，故只需3322t +≤，所以0t ≤，}{0M t t =≤． （2）由（1）知}{0R M t t =>， 所以)()()()()()(2222222222ac bd bc ad ab c d cd a b abcd cd a b cd a ab b +⋅+=+++≥+⋅+=++ )(22cd a b=+=（当且仅当c d =时取等号）．。
2020-2021学年河南省郑州市高二(下)期末数学试卷(理科)
2020-2021学年河南省郑州市高二（下）期末数学试卷（理科）试题数：22，总分：1501.（单选题，5分）若复数z=2-i，则|z|=（）A. $\sqrt{3}$B.3C. $\sqrt{5}$D.52.（单选题，5分）已知函数f（x）的导函数是f'（x），且满足f（x）=2lnx+x2f'（1），则f'（1）=（）A.-2B.0C.1D.23.（单选题，5分）已知随机变量X的分布列如表．则实数a的值为（）B. $\frac{1}{4}$C. $\frac{1}{3}$D. $\frac{1}{2}$4.（单选题，5分）下列四个命题：（1）两个变量相关性越强则相关系数r就越接近于1；（2）两个模型中，残差平方和越小的模型拟合的效果越好；（3）在回归模型中，相关指数R2表示解释变量x对于预报变量y的贡献率，R2越接近于1，表示回归效果越好；（4）在独立性检验中，随机变量K2的观测值k越小，判断“X与Y有关系”的把握程度越大．其中正确命题的个数是（）A.1B.2C.3D.45.（单选题，5分）校园歌手大赛共有5名同学成功进人决赛，其中2名男同学，3名女同学．现在他们站成一排合影留念，要求2名男同学站在两端，则有（）种不同的站法．A.2B.6C.12D.246.（单选题，5分）用反证法证明命题：若|x-1|+（y-1）2=0，则x=y=1，应提出的假设为（）A.x，y至少有一个不等于1B.x，y至多有一个不等于1C.x，y都不等于1D.x，y只有一个不等于17.（单选题，5分）“关注夕阳，爱老敬老”，某商会从2016年开始向晚晴山庄养老院捐赠物资和现金．如表记录了第x年（2016年为第一年）捐赠现金y（万元）的数据情况．由表中数据得到了y关于x的线性回归方程为 $\hat{y}=\hat{b}x+2.95$ ，预测2021年该商会捐赠现金______万元（）B.5.25C.5.65D.4.758.（单选题，5分）2021年5月11日和12日进行了郑州市第三次质量检测．对全市的理科数学成绩进行统计分析，发现数学成绩近似地服从正态分布N（96，52）．据此估计：在全市抽取6名高三学生的数学成绩，恰有2名同学的成绩超过96分的概率为（）A. $\frac{1}{32}$B. $\frac{15}{32}$C. $\frac{1}{64}$D. $\frac{15}{64}$9.（单选题，5分）九月是某集团校的学习交流活动月，来自兄弟学校的4名同学（甲校2名，乙校、丙校各1名）到总校交流学习．现在学校决定把他们分到1，2，3三个班，每个班至少分配1名同学．为了让他们能更好的融入新的班级，规定来自同一学校的同学不能分到同一个班，则不同的分配方案种数为（）A.12B.18C.24D.3010.（单选题，5分）如图，第1个图形是由正三边形“扩展”而来，第2个图形是由正四边形“扩展”而来．以此类推，第n个图形是由正（n+2）边形“扩展”而来，其中n∈N*，那么第8个图形共有（）个顶点A.72B.90C.110D.13211.（单选题，5分）若函数f（x）=x3-3x在区间（2a，3-a2）上有最大值，则实数a的取值范围是（）A.（-3，1）B.（-2，1）C. $({-3，-\frac{1}{2}})$D.（-2，-1]12.（单选题，5分）已知函数f（x）= $\left\{\begin{array}{l}{8x-m，x≤\frac{1}{2}}\\{x{e}^{x}-2mx+m，x＞\frac{1}{2}}\end{array}\right.$ （e是自然对数）在定义域R上有三个零点，则实数m的取值范围是（）A.（e，+∞）B.（e，4）C.（e，4]D.[e，4]13.（填空题，5分）平面内一点P（x0，y0）到直线l：Ax+By+C=0的距离为：$d=\frac{|{A{x_0}+B{y_0}+C}|}{\sqrt{{A^2}+{B^2}}}$ ．由此类比，空间中一点M（1，1，1）到平面a：x+y+z+3=0的距离为 ___ ．14.（填空题，5分）已知m，n是不相等的两个实数，且m，n∈{-1，1，5，8}．在方程mx2+ny2=1所表示的曲线中任取一个，此曲线是焦点在x轴上的双曲线的概率为 ___ ．15.（填空题，5分）2021年7月1日是中国共产党成立100周年纪念日，2021年也是“十四五”开局之年，必将在中国历史上留下浓墨重彩的标注．作为当代中学生，需要发奋图强，争做四有新人，首先需要学好文化课．现将标有数字2，0，2，1，7，1的六张卡片排成一排，组成一个六位数，则共可组成 ___ 个不同的六位数．16.（填空题，5分）已知关于x的方程${e^x}-\frac{2lnx+a}{x^2}=\frac{1}{x}$ 在（0，+∞）上有解，则实数a的取值范围是 ___ ．17.（问答题，10分）已知复数 $z=3+i+\frac{6m}{1-i}$ （m∈R）．（Ⅰ）当实数m取什么值时，复数z是纯虚数；（Ⅱ）当实数m取什么值时，复平面内表示复数z的点位于第一、三象限．18.（问答题，12分）在二项式 ${({{x^2}+\frac{2}{\sqrt{x}}})^m}$ （m∈N*）的展开式中，第三项系数是倒数第三项系数的 $\frac{1}{8}$ ．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）求展开式中所有的有理项．19.（问答题，12分）已知数列{a n}满足${a_1}=\frac{2}{5}$ ，a n+1a n+2a n+1=2a n，（n∈N*）．（Ⅰ）计算a2，a3，a4的值；（Ⅱ）猜想数列{a n}的通项公式，并用数学归纳法证明．20.（问答题，12分）已知函数f（x）=x2-（a+4）x+2alnx．（Ⅰ）当a=1时，求函数y=f（x）的极值；（Ⅱ）讨论函数y=f（x）的单调性．21.（问答题，12分）2021年5月14日，郑州国际会展中心举办了关于“服务教育共筑梦想暨中小学书香校园发展论坛”的活动．某中学为进一步推进书香校园系列活动，增加学生对古典文学的学习兴趣，随机抽取160名学生做统计调查．统计显示，被调查的学生中，喜欢阅读古典文学的男生有40人，占男生调查人数的一半，不喜欢阅读古典文学的女生有20人．（Ⅰ）完成下面列联表，并判断能否在犯错误概率不超过0.005的情况下认为学生喜欢阅读古典文学与性别有关？项（每个人只获一项奖项每项只有一个人获奖，每个人等可能获奖）现从这160名同学中选出4名男生，6名女生参加活动，记ξ为参加活动的同学中获奖的女生人数，求ξ的分布列及数学期望E（ξ）．附：22.（问答题，12分）已知函数f（x）=2x2+xlna，g（x）=ae2x lnx，其中a＞0．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在x=1处的切线斜率为0，求a的值；（Ⅱ）若对任意的x∈（0，1），不等式g（x）-f（x）＜0恒成立，求实数a的取值范围．2020-2021学年河南省郑州市高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析试题数：22，总分：1501.（单选题，5分）若复数z=2-i，则|z|=（）A. $\sqrt{3}$B.3C. $\sqrt{5}$D.5【正确答案】：C【解析】：由复数模公式可解决此题．【解答】：解：由复数z=2-i，得|z|= $\sqrt{{2}^{2}+(-1)^{2}}$ = $\sqrt{5}$ ．故选：C．【点评】：本题考查复数模的运算，考查数学运算能力，属于基础题．2.（单选题，5分）已知函数f（x）的导函数是f'（x），且满足f（x）=2lnx+x2f'（1），则f'（1）=（）A.-2B.0C.1D.2【正确答案】：A【解析】：利用导数的公式求导即可．【解答】：解：$f'(x)=\frac{2}{x}+2x\bullet f'(1)$ ，所以f'（1）=2+2f'（1），解得f'（1）=-2．故选：A．【点评】：本题考查常见函数的导数公式，属于基础题．3.（单选题，5分）已知随机变量X的分布列如表．则实数a的值为（）B. $\frac{1}{4}$C. $\frac{1}{3}$D. $\frac{1}{2}$【正确答案】：B【解析】：利用分布列的性质，列出方程求解即可．【解答】：解：由题意可知 $\frac{1}{6}+\frac{1}{3}+a+a$ =1，解得a= $\frac{1}{4}$ ．故选：B．【点评】：本题考查离散型随机变量的分布列的性质的应用，是基础题．4.（单选题，5分）下列四个命题：（1）两个变量相关性越强则相关系数r就越接近于1；（2）两个模型中，残差平方和越小的模型拟合的效果越好；（3）在回归模型中，相关指数R2表示解释变量x对于预报变量y的贡献率，R2越接近于1，表示回归效果越好；（4）在独立性检验中，随机变量K2的观测值k越小，判断“X与Y有关系”的把握程度越大．其中正确命题的个数是（）A.1B.2C.3D.4【正确答案】：B【解析】：直接利用相关系数的定义，残差平方和的定义，独立性检测的定义判断（1）（2）（3）（4）的结论．【解答】：解：对于（1），两个变量相关性越强则相关系数r就越接近于±1，故（1）错误；对于（2），两个模型中，残差平方和越小的模型拟合的效果越好，故（2）正确；对于（3），在回归模型中，相关指数R2表示解释变量x对于预报变量y的贡献率，R2越接近于1，表示回归效果越好，故（3）正确；对于（4），在独立性检验中，随机变量K2的观测值k越小，判断“X与Y有关系”的把握程度越小，故（4）错误．故选：B．【点评】：本题考查的知识要点：相关系数的定义，残差平方和的定义，独立性检测的定义，主要考查学生对基础知识的理解，属于基础题．5.（单选题，5分）校园歌手大赛共有5名同学成功进人决赛，其中2名男同学，3名女同学．现在他们站成一排合影留念，要求2名男同学站在两端，则有（）种不同的站法．A.2B.6C.12D.24【正确答案】：C【解析】：根据题意，依次分析男生、女生的排法，由分步计数原理计算可得答案．【解答】：解：根据题意，分2步进行分析：① 将2名男生安排在两端，有A22=2种排法，② 将3名女生安排在中间三个位置，有A33=6种排法，则有2×6=12种排法；故选：C．【点评】：本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．6.（单选题，5分）用反证法证明命题：若|x-1|+（y-1）2=0，则x=y=1，应提出的假设为（）A.x，y至少有一个不等于1B.x，y至多有一个不等于1C.x，y都不等于1D.x，y只有一个不等于1【正确答案】：A【解析】：反设是一种对立性假设，即想证明一个命题成立时，可以证明其否定不成立，由此得出此命题是成立的．【解答】：解：由于反证法是命题的否定的一个运用，故用反证法证明命题时，可以设其否定成立进行推证．命题“x，y∈R，若|x-1|+|y-1|=0，则x=y=1”，用反证法证明时应假设x≠1或y≠1，即x，y至少有一个不等于1．故选：A．【点评】：本题考查了反证法，反证法是命题的否定的一个重要运用，用反证法证明问题大大拓展了解决证明问题的技巧．7.（单选题，5分）“关注夕阳，爱老敬老”，某商会从2016年开始向晚晴山庄养老院捐赠物资和现金．如表记录了第x年（2016年为第一年）捐赠现金y（万元）的数据情况．由表中数据得到了y关于x的线性回归方程为 $\hat{y}=\hat{b}x+2.95$ ，预测2021年该商会捐赠现金______万元（）B.5.25C.5.65D.4.75【正确答案】：D【解析】：利用回归直线过样本中心点求出回归方程的斜率，再进行预测．【解答】：解： $\overline{x}=\frac{2+3+4+5}{4}=3.5，\overline{y}=\frac{3.5+4+4+4.5}{4}=4$ ，因为 $\overline{y}=\hat{b}\overline{x}+2.95，\;\\;即4=3.5\hat{b}+2.95$ 即：$4=3.5\hat{b}+2.95$ ，解得 $\hat{b}=0.3$ ，所以回归方程为 $\hat{y}=0.3x+2.95$ ，2021年为第6年，所以当x=6时， $\hat{y}=0.3×6+2.95=4.75$ ．故选：D．【点评】：本题考查线性回归方程的求解及其预测功能，属于基础题．8.（单选题，5分）2021年5月11日和12日进行了郑州市第三次质量检测．对全市的理科数学成绩进行统计分析，发现数学成绩近似地服从正态分布N（96，52）．据此估计：在全市抽取6名高三学生的数学成绩，恰有2名同学的成绩超过96分的概率为（）A. $\frac{1}{32}$B. $\frac{15}{32}$C. $\frac{1}{64}$D. $\frac{15}{64}$【正确答案】：D【解析】：先利用正态分布对称性，求出抽取1名高三学生，数学成绩超过96分的概率为$\frac{1}{2}$ ，然后在利用二项分布的概率公式求解即可．【解答】：解：由题意可知，数学成绩近似地服从正态分布N（96，52），所以抽取1名高三学生，数学成绩超过96分的概率为 $\frac{1}{2}$ ，故所求概率为 ${C}_{6}^{2}×(\frac{1}{2})^{2}×(1-\frac{1}{2})^{4}=\frac{15}{64}$ ．故选：D．【点评】：本题考查了正态分布的性质以及二次分布概率公式的应用，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于基础题．9.（单选题，5分）九月是某集团校的学习交流活动月，来自兄弟学校的4名同学（甲校2名，乙校、丙校各1名）到总校交流学习．现在学校决定把他们分到1，2，3三个班，每个班至少分配1名同学．为了让他们能更好的融入新的班级，规定来自同一学校的同学不能分到同一个班，则不同的分配方案种数为（）A.12B.18C.24D.30【正确答案】：D【解析】：根据题意，分2步进行分析：① 将4名同学分为3组，要求甲校2名不在同一组，② 将分好的3组安排到3个班级，由分步计数原理计算可得答案．【解答】：解：根据题意，分2步进行分析：① 将4名同学分为3组，要求甲校2名不在同一组，有C42-1=5种分组方法，② 将分好的3组安排到3个班级，有A33=6种安排方法，则有5×6=30种分配方法，故选：D．【点评】：本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．10.（单选题，5分）如图，第1个图形是由正三边形“扩展”而来，第2个图形是由正四边形“扩展”而来．以此类推，第n个图形是由正（n+2）边形“扩展”而来，其中n∈N*，那么第8个图形共有（）个顶点A.72B.90C.110D.132【正确答案】：C【解析】：列出顶点数与多边形边数，分析归纳出变化规律，从而解得．【解答】：解：由题意可得第n个图形顶点数1 3+3×3=122 4+4×4=203 5+5×5=304 6+6×6=425 ……6 ……7 ……8 10+10×10=110【点评】：本题考查了数据的分析能力及归纳推理能力，属于中档题．11.（单选题，5分）若函数f（x）=x3-3x在区间（2a，3-a2）上有最大值，则实数a的取值范围是（）A.（-3，1）B.（-2，1）C. $({-3，-\frac{1}{2}})$D.（-2，-1]【正确答案】：D【解析】：对f（x）求导得f′（x）=3x2-3，求得其最大值点，再根据f（x）在区间（2a，3-a2）上有最大值，求出a的取值范围．【解答】：解：因为函数f（x）=x3-3x，所以f′（x）=3x2-3，当x＜-1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当-1＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x＞1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，所以当x=-1时，f（x）取得最大值，又f（-1）=f（2）=2，且f（x）在区间（2a，3-a2）上有最大值，所以2a＜-1＜3-a2≤2，解得-2＜a≤-1，所以实数a的取值范围是（-2，-1]．故选：D．【点评】：本题考查导数的综合应用，考查了转化思想，属于中档题．12.（单选题，5分）已知函数f（x）= $\left\{\begin{array}{l}{8x-m，x≤\frac{1}{2}}\\{x{e}^{x}-2mx+m，x＞\frac{1}{2}}\end{array}\right.$ （e是自然对数）在定义域R上有三个零点，则实数m的取值范围是（）A.（e，+∞）B.（e，4）C.（e，4]D.[e，4]【正确答案】：C【解析】：利用分段函数的解析式，当$x≤\frac{1}{2}$ 时， $x=\frac{m}{8}$ ，当 $x＞\frac{1}{2}$ 时，令h（x）= $\frac{x{e}^{x}}{2x-1}$ （ $x＞\frac{1}{2}$ ），由导数研究h （x）的性质，得到当m＞e时，f（x）在区间 $(\frac{1}{2}，+∞)$上有两个零点，结合题意可知， $\frac{m}{8}≤\frac{1}{2}$ ，求解即可得到m的取值范围．【解答】：解：函数f（x）= $\left\{\begin{array}{l}{8x-m，x≤\frac{1}{2}}\\{x{e}^{x}-2mx+m，x＞\frac{1}{2}}\end{array}\right.$ ，当$x≤\frac{1}{2}$ 时，由8x-m=0，解得 $x=\frac{m}{8}$ ，当 $x＞\frac{1}{2}$ 时，由xe x-2mx+m=0，解得 $m=\frac{x{e}^{x}}{2x-1}$ ，令h（x）= $\frac{x{e}^{x}}{2x-1}$ （ $x＞\frac{1}{2}$ ），则 $h'(x)=\frac{(2x+1)(x-1)}{(2x-1)^{2}}\bullet {e}^{x}$ ，当 $\frac{1}{2}＜x＜1$ 时，h'（x）＜0，则h（x）单调递减，当x＞1时，h'（x）＞0，则h（x）单调递增，又h（1）=e，所以当m＞e时，f（x）在区间 $(\frac{1}{2}，+∞)$上有两个零点，由于f（x）在R上有三个零点，所以 $\frac{m}{8}≤\frac{1}{2}$ ，解得m≤4，综上所述，m的取值范围为（e，4]．故选：C．【点评】：本题考查了分段函数的理解与应用，函数与方程的应用，解题的关键是对分段函数分类讨论，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．13.（填空题，5分）平面内一点P（x0，y0）到直线l：Ax+By+C=0的距离为：$d=\frac{|{A{x_0}+B{y_0}+C}|}{\sqrt{{A^2}+{B^2}}}$ ．由此类比，空间中一点M（1，1，1）到平面a：x+y+z+3=0的距离为 ___ ．【正确答案】：[1]2 $\sqrt{3}$【解析】：类比点P（x0，y0）到直线l：Ax+By+C=0的距离为：$d=\frac{|{A{x_0}+B{y_0}+C}|}{\sqrt{{A^2}+{B^2}}}$ ，可计算空间中一点M（1，1，1）到平面a：x+y+z+3=0的距离为．【解答】：解：类比点P（x0，y0）到直线l：Ax+By+C=0的距离为：$d=\frac{|{A{x_0}+B{y_0}+C}|}{\sqrt{{A^2}+{B^2}}}$ ，可计算空间中一点M（1，1，1）到平面a：x+y+z+3=0的距离为$\frac{|1+1+1+3|}{\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}+{1}^{2}}}$ =2 $\sqrt{3}$ ．故答案为：2 $\sqrt{3}$ ．【点评】：本题考查类比推理，考查数学运算能力，属于基础题．14.（填空题，5分）已知m，n是不相等的两个实数，且m，n∈{-1，1，5，8}．在方程mx2+ny2=1所表示的曲线中任取一个，此曲线是焦点在x轴上的双曲线的概率为 ___ ．【正确答案】：[1] $\frac{1}{4}$【解析】：由题意m，n在所给的数值取的方法及满足条件的求法分别求出，进而求出其概率．【解答】：解：由题意，任取m，n的方法有A ${}_{4}^{2}$ =4×3=12，双曲线的焦点在x轴上的取法有：C ${}_{3}^{1}$ ×1=3，所以曲线是焦点在x轴上的双曲线的概率为： $\frac{3}{12}$ = $\frac{1}{4}$ ；故答案为： $\frac{1}{4}$ ．【点评】：本题考查双曲线的性质及古典概率的求法，属于基础题．15.（填空题，5分）2021年7月1日是中国共产党成立100周年纪念日，2021年也是“十四五”开局之年，必将在中国历史上留下浓墨重彩的标注．作为当代中学生，需要发奋图强，争做四有新人，首先需要学好文化课．现将标有数字2，0，2，1，7，1的六张卡片排成一排，组成一个六位数，则共可组成 ___ 个不同的六位数．【正确答案】：[1]150【解析】：根据题意，用间接法分析：先计算“不考虑0不能在首位的限制”的六位数数目，再排除其中“0在首位”的六位数数目，分析可得答案．【解答】：解：根据题意，先不考虑0不能在首位的限制，用数字2，0，2，1，7，1组成六位数，有C62C42A22=180个六位数，其中0在首位的六位数，有C52C32=30个六位数，则有180-30=150个不同的六位数；故答案为：150．【点评】：本题考查排列、组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题．16.（填空题，5分）已知关于x的方程${e^x}-\frac{2lnx+a}{x^2}=\frac{1}{x}$ 在（0，+∞）上有解，则实数a的取值范围是 ___ ．【正确答案】：[1][1，+∞）【解析】：将关于x的方程 ${e^x}-\frac{2lnx+a}{x^2}=\frac{1}{x}$ 在（0，+∞）上有解，转化为a=x2e x-2lnx-x（x＞0）有解，构造函数f（x）=x2e x-2lnx-x（x＞0），利用导数研究f （x）的取值范围，即可得到答案．【解答】：解：令f（x）=x2e x-2lnx-x（x＞0），则f'（x）= $\frac{(x+2)({x}^{2}{e}^{x}-1)}{x}$ ，又y=x2e x在（0，+∞）上单调递增，设x0为方程x2e x-1=0的根，即x0满足 ${{x}_{0}}^{2}{e}^{{x}_{0}}=1$ ，所以 ${e}^{{x}_{0}}={{x}_{0}}^{-2}$ ，两边同时取对数，可得x0=-2lnx0，因为x＞0，x+2＞0，故当x∈（0，x0）时，f'（x）＜0，则f（x）单调递减，当x∈（x0，+∞）时，f'（x）＞0，则f（x）单调递增，且当x→0时，f（x）→+∞，又 $f({x}_{0})={{x}_{0}}^{2}{e}^{{x}_{0}}-2ln{x}_{0}-{x}_{0}=1-2ln{x}_{0}-{x}_{0}$ =1+x0-x0=1，所以当a≥1时，a=x2e x-2lnx-x（x＞0）有解，即关于x的方程 ${e^x}-\frac{2lnx+a}{x^2}=\frac{1}{x}$ 在（0，+∞）上有解，故实数a的取值范围是[1，+∞）．故答案为：[1，+∞）．【点评】：本题考查了函数的零点与方程的根的综合应用，解决函数零点或方程根的问题，常用的方法有：（1）方程法（直接解方程得到函数的零点）；（2）图象法（直接画出函数的图象分析得解）；（3）方程+图象法（令函数为零，再重新构造两个函数，数形结合分析得解）．属于中档题．17.（问答题，10分）已知复数 $z=3+i+\frac{6m}{1-i}$ （m∈R）．（Ⅰ）当实数m取什么值时，复数z是纯虚数；（Ⅱ）当实数m取什么值时，复平面内表示复数z的点位于第一、三象限．【正确答案】：【解析】：首先把z化成a+bi的形式（Ⅰ）由a=0且b≠0可解决此问题；（Ⅱ）由ab＞0可解决此问题．【解答】：解： $z=3+i+\frac{6m}{1-i}=3+i+\frac{6m(1+i)}{(1-i)(1+i)}=(3+3m)+(1+3m)i$（Ⅰ）当复数z是纯虚数时，有 $\left\{\begin{array}{l}3+3m=0\\1+3m≠0\end{array}\right.$ ，解得m=-1．所以当实数m=-1时，复数z是纯虚数．（Ⅱ）当表示复数z的点位于第一、三象限时，有（3+3m）（1+3m）＞0，解得m＜-1或$m＞-\frac{1}{3}$ ，所以当实数$m∈({-∞，-1})∪({-\frac{1}{3}，+∞})$时，表示复数z的点位于第一、三象限．【点评】：本题考查复数的代数表示方法及几何意义，考查数学运算能力，属于中档题．18.（问答题，12分）在二项式 ${({{x^2}+\frac{2}{\sqrt{x}}})^m}$ （m∈N*）的展开式中，第三项系数是倒数第三项系数的 $\frac{1}{8}$ ．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）求展开式中所有的有理项．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）写出二项式的通项公式，根据题意可得关于m的方程，求解即可；（Ⅱ）根据二项式展开式的通项公式，求出展开式中所有的有理项．【解答】：解：（Ⅰ）展开式的通项为： ${T_{r+1}}=C_m^r{({x^2})^{m-r}}{({2{x^{-\frac{1}{2}}}})^r}=C_m^r⋅{2^r}⋅{x^{2m-\frac{5}{2}r}}$ ，依题可得：$C_m^2⋅{2^2}=C_m^{m-2}⋅{2^{m-2}}⋅\frac{1}{8}$ ，解得m=7．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，展开式的通项为${T_{r+1}}=C_7^r⋅{2^r}⋅{x^{14-\frac{5}{2}r}}$ ，当r=0，2，4，6时，对应项是有理项，所以展开式中所有的有理项为：${T_1}=C_7^0⋅{2^0}⋅{x^{14}}={x^{14}}$，${T_3}=C_7^2⋅{2^2}⋅{x^{14-5}}=84{x^9}$ ，${T_5}=C_7^4⋅{2^4}⋅{x^{14-10}}=560{x^4}$ ，${T_7}=C_7^6⋅{2^6}⋅{x^{14-15}}=448{x^{-1}}$ ．【点评】：本题考查了二项式定理，二项展开式的通项公式，也考查了利用通项公式求特定项的应用问题，属于中档题．19.（问答题，12分）已知数列{a n}满足${a_1}=\frac{2}{5}$ ，a n+1a n+2a n+1=2a n，（n∈N*）．（Ⅰ）计算a2，a3，a4的值；（Ⅱ）猜想数列{a n}的通项公式，并用数学归纳法证明．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）利用数列的递推关系式，通过n的取值，求解数列的前几项即可．（Ⅱ）猜想数列的通项公式，然后利用数学归纳法的证明步骤，证明即可．【解答】：解：（Ⅰ）数列{a n}满足 ${a_1}=\frac{2}{5}$ ，a n+1a n+2a n+1=2a n，（n∈N*）．n=1时， ${a_2}=\frac{1}{3}$ ，n=2时，解得 ${a_3}=\frac{2}{7}$ ，n=3时，解得${a_4}=\frac{1}{4}$ ．（Ⅱ）猜想： ${a_n}=\frac{2}{n+4}$ ．证明：① 当n=1时， ${a_1}=\frac{2}{5}=\frac{2}{1+4}$ ，猜想成立；② 假设当n=k（k∈N*）时猜想成立，即 ${a_k}=\frac{2}{k+4}$ ．那么，依题可得${a_{k+1}}=\frac{2{a_k}}{{a_k}+2}=\frac{2⋅\frac{2}{k+4}}{\frac{2}{k+4}+2}=\frac{2}{k+5} =\frac{2}{(k+1)+4}$ ．所以，当n=k+1时猜想成立．根① 和② ，可知猜想对任何n∈N*都成立．【点评】：本题考查数列的递推关系式的应用，数学归纳法的应用，是中档题．20.（问答题，12分）已知函数f（x）=x2-（a+4）x+2alnx．（Ⅰ）当a=1时，求函数y=f（x）的极值；（Ⅱ）讨论函数y=f（x）的单调性．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）代入a的值，求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出函数的单调区间，求出函数的极值即可；（Ⅱ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可．【解答】：解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=x2-5x+2lnx，定义域为（0，+∞），$f'(x)=2x-5+\frac{2}{x}=\frac{2{x^2}-5x+2}{x}=\frac{(2x-1)(x-2)}{x}$ ，令f'（x）=0，解得 $x=\frac{1}{2}$ ，或x=2，当x变化时，f（x），f'（x）的变化情况如下表：当x=2时，f（x）有极小值，且极小值为f（2）=-6+2ln2．（Ⅱ）函数f（x）定义域为（0，+∞），$f'(x)=2x-(a+4)+\frac{2a}{x}=\frac{2{x^2}-(a+4)x+2a}{x}=\frac{(2x-a)(x-2)}{x}$ ，令f'（x）=0得 $x=\frac{a}{2}$ 或x=2，① 若a≤0，则当x∈（0，2）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（2，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增．② 若0＜a＜4，即 $0＜\frac{a}{2}＜2$ ，则当$x∈({0，\frac{a}{2}})$ 时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；当$x∈({\frac{a}{2}，2})$ 时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（2，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，③ 若a=4，即 $\frac{a}{2}=2$ ，则当x∈（0，+∞）时，f'（x）≥0，f（x）单调递增，④ 若a＞4，即 $\frac{a}{2}＞2$ ，则当x∈（0，2）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；当$x∈({2，\frac{a}{2}})$ 时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；当$x∈({\frac{a}{2}，+∞})$时，f'（x）＞0，f（x）单调递增．综上：当a≤0时，f（x）的单调递增区间是（2，+∞），单调递减区间是（0，2）；当0＜a＜4时，f（x）的单调递增区间是 $({0，\frac{a}{2}})$ ，（2，+∞），递减区间是$({\frac{a}{2}，2})$ ；当a=4时，f（x）的单调递增区间是（0，+∞），无单调递减区间；当a＞4时，f（x）的单调递增区间是（0，2）， $({\frac{a}{2}，+∞})$，单调递减区间是$({2，\frac{a}{2}})$ ．【点评】：本题考查了函数的单调性，极值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是难题．21.（问答题，12分）2021年5月14日，郑州国际会展中心举办了关于“服务教育共筑梦想暨中小学书香校园发展论坛”的活动．某中学为进一步推进书香校园系列活动，增加学生对古典文学的学习兴趣，随机抽取160名学生做统计调查．统计显示，被调查的学生中，喜欢阅读古典文学的男生有40人，占男生调查人数的一半，不喜欢阅读古典文学的女生有20人．（Ⅰ）完成下面列联表，并判断能否在犯错误概率不超过0.005的情况下认为学生喜欢阅读古典文学与性别有关？项（每个人只获一项奖项每项只有一个人获奖，每个人等可能获奖）现从这160名同学中选出4名男生，6名女生参加活动，记ξ为参加活动的同学中获奖的女生人数，求ξ的分布列及数学期望E（ξ）．附：【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）利用已知条件完成列联表，求出K2，即可判断能在犯错误概率不超过0.005的情况下认为学生喜欢阅读古典文学与性别有关．（Ⅱ）ξ为参加活动的同学中获奖的女生人数：2，3，4，5，6，求出概率，得到分布列，然后求解期望．【解答】：解：（Ⅰ）由已知可得调查中男生共有80人，女生有80人，其中喜欢阅读古典文学的有60人故列联表为：40×60)}^2}}{100×60×80×80}=\frac{32}{3}=10.667＞7.879$ ．故能在犯错误概率不超过0.005的情况下认为学生喜欢阅读古典文学与性别有关．（Ⅱ）ξ为参加活动的同学中获奖的女生人数：2，3，4，5，6，$P(ξ=2)=\frac{C_6^2⋅C_4^4}{C_{10}^6}=\frac{15}{210}=\frac{1}{14}$ ，$P(ξ=3)=\frac{C_6^3⋅C_4^3}{C_{10}^6}=\frac{80}{210}=\frac{8}{21}$ ，$P(ξ=4)=\frac{C_6^4⋅C_4^2}{C_{10}^6}=\frac{90}{210}=\frac{3}{7}$ ，$P(ξ=5)=\frac{C_6^5⋅C_4^1}{C_{10}^6}=\frac{24}{210}=\frac{4}{35}$ ，$P(ξ=6)=\frac{C_6^6⋅C_4^0}{C_{10}^6}=\frac{1}{210}$ ．∴ξ的分布列为$E(ξ)=2×\frac{1}{14}+3×\frac{8}{21}+4×\frac{3}{7}+5×\frac{8}{70}+6×\frac{1}{210}=3. 6$ ．【点评】：本题考查独立检验思想的应用，离散型随机变量的分布列以及期望的求法，是中档题．22.（问答题，12分）已知函数f（x）=2x2+xlna，g（x）=ae2x lnx，其中a＞0．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在x=1处的切线斜率为0，求a的值；（Ⅱ）若对任意的x∈（0，1），不等式g（x）-f（x）＜0恒成立，求实数a的取值范围．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）求导得f'（x）=4x+lna，由导数的几何意义可得k切=f'（1）=0，解得a即可．（Ⅱ）g（x）-f（x）＜0恒成立，可转化为 $\frac{lnx}{x}＜\frac{2x+lna}{a⋅{e^{2x}}}=\frac{ln{e^{2x}}+lna}{a⋅{e^{2x}}}=\frac{ln({a⋅{e^{2x}}})}{a⋅{e^{2 x}}}$ ，设 $h(x)=\frac{lnx}{x}$ ，则上式即为h（x）＜h（ae2x），判断h（x）的单调性，进而求出a的取值范围．【解答】：解：（Ⅰ）依题可得f'（x）=4x+lna且f'（1）=0，∵曲线y=f（x）在x=1处的切线斜率为0，∴4+lna=0，∴ $a=\frac{1}{e^4}$ ．（Ⅱ）由g（x）-f（x）＜0，可得ae2x lnx-（2x2+xlna）＜0，整理，得 $\frac{lnx}{x}＜\frac{2x+lna}{a⋅{e^{2x}}}=\frac{ln{e^{2x}}+lna}{a⋅{e^{2x}}}=\frac{ln({a⋅{e^{2x}}})}{a⋅{e^{2 x}}}$ ，设 $h(x)=\frac{lnx}{x}$ ，则上式即为h（x）＜h（ae2x），∵ $h'(x)=\frac{1-lnx}{x^2}$ ，令 $h'(x)=\frac{1-lnx}{x^2}=0$ ，得x=e，∴当x∈（0，e）时，h'（x）＞0，函数h（x）单调递增；当x∈（e，+∞）时，h'（x）＜0，函数h（x）单调递减．又当x∈（0，1）时， $h(x)=\frac{lnx}{x}＜0$ ，∴h（x）＜h（ae2x），∴只需x＜ae2x，即 $a＞\frac{x}{e^{2x}}$ ，设 $H(x)=\frac{x}{e^{2x}}$ ，则 $H'(x)=\frac{1-2x}{e^{2x}}$ ，令 $H'(x)=\frac{1-2x}{e^{2x}}=0$ ，得 $x=\frac{1}{2}$ ，∴当$x∈({0，\frac{1}{2}})$ 时，H'（x）＞0，H（x）单调递增，当$x∈({\frac{1}{2}，1})$ 时，H'（x）＜0，H（x）单调递减．∴ $H(x)=\frac{x}{e^{2x}}≤\frac{1}{2e}$ ，∴ $a＞\frac{1}{2e}$ ，∴a的取值范围为（ $\frac{1}{2e}$ ，+∞）．【点评】：本题考查导数的综合应用，不等式恒成立问题，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．。
2019-2020年高二下学期期末数学试卷(理科) 含解析
2019-2020年高二下学期期末数学试卷（理科）含解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，在每小题中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A={x∈R||x|≤2}，B={x∈R|x≤1}，则A∩B=（）A．（﹣∞，2]B．[1，2]C．[﹣2，2] D．[﹣2，1]2．已知复数=i，则实数a=（）A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．23．将点M的极坐标（4，）化成直角坐标为（）A．（2，2）B．C．D．（﹣2，2）4．在同一平面的直角坐标系中，直线x﹣2y=2经过伸缩变换后，得到的直线方程为（）A．2x′+y′=4 B．2x′﹣y′=4 C．x′+2y′=4 D．x′﹣2y′=45．如图，曲线f（x）=x2和g（x）=2x围成几何图形的面积是（）A．B．C．D．46．10件产品中有3件次品，不放回的抽取2件，每次抽1件，在已知第1次抽出的是次品的条件下，第2次抽到仍为次品的概率为（）A．B．C．D．7．下列说法中，正确说法的个数是（）①命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”；②“x＞1”是“|x|＞1”的充分不必要条件；③集合A={1}，B={x|ax﹣1=0}，若B⊆A，则实数a的所有可能取值构成的集合为{1}．A．0 B．1 C．2 D．38．设某批产品合格率为，不合格率为，现对该产品进行测试，设第ε次首次取到正品，则P（ε=3）等于（）A．C32（）2×（）B．C32（）2×（）C．（）2×（）D．（）2×（）9．在10件产品中，有3件一等品，7件二等品，从这10件产品中任取3件，则取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率（）A． B．C．D．10．函数f（x）=e﹣x+ax存在与直线2x﹣y=0平行的切线，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，2]B．（﹣∞，2）C．（2，+∞）D．[2，+∞）11．函数y=e sinx（﹣π≤x≤π）的大致图象为（）A．B． C． D．12．已知曲线C1：y=e x上一点A（x1，y1），曲线C2：y=1+ln（x﹣m）（m＞0）上一点B（x2，y2），当y1=y2时，对于任意x1，x2，都有|AB|≥e恒成立，则m的最小值为（）A．1 B．C．e﹣1 D．e+1二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．已知随机变量X服从正态分布X～N（2，σ2），P（X＞4）=0.3，则P（X＜0）的值为．14．若函数f（x）=x2﹣alnx在x=1处取极值，则a=．15．如图的三角形数阵中，满足：（1）第1行的数为1；（2）第n（n≥2）行首尾两数均为n，其余的数都等于它肩上的两个数相加．则第10行中第2个数是．16．在平面直角坐标系xOy中，直线1与曲线y=x2（x＞0）和y=x3（x＞0）均相切，切点分别为A（x1，y1）和B（x2，y2），则的值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤）17．在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（φ为参数），直线l过点（0，2）且倾斜角为．（Ⅰ）求圆C的普通方程及直线l的参数方程；（Ⅱ）设直线l与圆C交于A，B两点，求弦|AB|的长．18．在直角坐标系xOy中，已知直线l：（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C：ρ2（1+sin2θ）=2．（Ⅰ）写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）设点M的直角坐标为（1，2），直线l与曲线C 的交点为A、B，求|MA|•|MB|的值．19．生产甲乙两种元件，其质量按检测指标划分为：指标大于或者等于82为正品，小于82为次品，现随机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计如表：测试指标[70，76）[76，82）[82，88）[88，94）[94，100）元件甲8 12 40 32 8元件乙7 18 40 29 6（Ⅰ）试分别估计元件甲，乙为正品的概率；（Ⅱ）在（Ⅰ）的前提下，记X为生产1件甲和1件乙所得的正品数，求随机变量X的分布列和数学期望．20．设函数f（x）=x3﹣+6x．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若对∀x∈[1，4]都有f（x）＞0成立，求a的取值范围．21．为了研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门对100名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在55名男性驾驶员中，平均车速超过100km/h的有40人，不超过100km/h的有15人．在45名女性驾驶员中，平均车速超过100km/h 的有20人，不超过100km/h的有25人．（Ⅰ）完成下面的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h的人与性别有关．平均车速超过100km/h人数平均车速不超过100km/h人数合计男性驾驶员人数女性驾驶员人数合计（Ⅱ）以上述数据样本来估计总体，现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车中驾驶员为男性且车速超过100km/h的车辆数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列和数学期望．参考公式与数据：Χ2=，其中n=a+b+c+dP（Χ2≥k0）0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.82822．已知函数f（x）=﹣alnx+1（a∈R）．（1）若函数f（x）在[1，2]上是单调递增函数，求实数a的取值范围；（2）若﹣2≤a＜0，对任意x1，x2∈[1，2]，不等式|f（x1）﹣f（x2）|≤m||恒成立，求m的最小值．2015-2016学年吉林省东北师大附中净月校区高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，在每小题中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A={x∈R||x|≤2}，B={x∈R|x≤1}，则A∩B=（）A．（﹣∞，2]B．[1，2]C．[﹣2，2] D．[﹣2，1]【考点】交集及其运算．【分析】先化简集合A，解绝对值不等式可求出集合A，然后根据交集的定义求出A∩B即可．【解答】解：∵A={x||x|≤2}={x|﹣2≤x≤2}∴A∩B={x|﹣2≤x≤2}∩{x|x≤1，x∈R}={x|﹣2≤x≤1}故选D．2．已知复数=i，则实数a=（）A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数，再根据复数相等的充要条件列出方程组，求解即可得答案．【解答】解：===i，则，解得：a=1．故选：C．3．将点M的极坐标（4，）化成直角坐标为（）A．（2，2）B．C．D．（﹣2，2）【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】利用x=ρcosθ，y=ρsinθ即可得出直角坐标．【解答】解：点M的极坐标（4，）化成直角坐标为，即．故选：B．4．在同一平面的直角坐标系中，直线x﹣2y=2经过伸缩变换后，得到的直线方程为（）A．2x′+y′=4 B．2x′﹣y′=4 C．x′+2y′=4 D．x′﹣2y′=4【考点】伸缩变换．【分析】把伸缩变换的式子变为用x′，y′表示x，y，再代入原方程即可求出．【解答】解：由得，代入直线x﹣2y=2得，即2x′﹣y′=4．故选B．5．如图，曲线f（x）=x2和g（x）=2x围成几何图形的面积是（）A．B．C．D．4【考点】定积分在求面积中的应用．【分析】利用积分的几何意义即可得到结论．【解答】解：由题意，S===4﹣=，故选：C．6．10件产品中有3件次品，不放回的抽取2件，每次抽1件，在已知第1次抽出的是次品的条件下，第2次抽到仍为次品的概率为（）A．B．C．D．【考点】条件概率与独立事件．【分析】根据题意，易得在第一次抽到次品后，有2件次品，7件正品，由概率计算公式，计算可得答案．【解答】解：根据题意，在第一次抽到次品后，有2件次品，7件正品；则第二次抽到次品的概率为故选：C．7．下列说法中，正确说法的个数是（）①命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”；②“x＞1”是“|x|＞1”的充分不必要条件；③集合A={1}，B={x|ax﹣1=0}，若B⊆A，则实数a的所有可能取值构成的集合为{1}．A．0 B．1 C．2 D．3【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①根据逆否命题的定义进行判断②根据充分条件和必要条件的定义进行判断，③根据集合关系进行判断．【解答】解：①命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”正确，故①正确，②由|x|＞1得x＞1或x＜﹣1，则“x＞1”是“|x|＞1”的充分不必要条件；故②正确，③集合A={1}，B={x|ax﹣1=0}，若B⊆A，当a=0时，B=∅，也满足B⊆A，当a≠0时，B={}，由=1，得a=1，则实数a的所有可能取值构成的集合为{0，1}．故③错误，故正确的是①②，故选：C8．设某批产品合格率为，不合格率为，现对该产品进行测试，设第ε次首次取到正品，则P（ε=3）等于（）A．C32（）2×（）B．C32（）2×（）C．（）2×（）D．（）2×（）【考点】n次独立重复试验中恰好发生k次的概率．【分析】根据题意，P（ε=3）即第3次首次取到正品的概率，若第3次首次取到正品，即前两次取到的都是次品，第3次取到正品，由相互独立事件的概率计算可得答案．【解答】解：根据题意，P（ε=3）即第3次首次取到正品的概率；若第3次首次取到正品，即前两次取到的都是次品，第3次取到正品，则P（ε=3）=（）2×（）；故选C．9．在10件产品中，有3件一等品，7件二等品，从这10件产品中任取3件，则取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率（）A． B．C．D．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】先求出基本事件总数，再求出取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数包含的基本事件个数，由此能求出取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率．【解答】解：∵在10件产品中，有3件一等品，7件二等品，从这10件产品中任取3件，基本事件总数n==120，取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数包含的基本事件个数m==22，∴取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率p===．故选：C．10．函数f（x）=e﹣x+ax存在与直线2x﹣y=0平行的切线，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，2]B．（﹣∞，2）C．（2，+∞）D．[2，+∞）【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】利用在切点处的导数值是切线的斜率，令f′（x）=2有解；利用有解问题即求函数的值域问题，求出值域即a的范围．【解答】解：f′（x）=﹣e﹣x+a据题意知﹣e﹣x+a=2有解即a=e﹣x+2有解∵e﹣x+2＞2∴a＞2故选C11．函数y=e sinx（﹣π≤x≤π）的大致图象为（）A．B． C． D．【考点】抽象函数及其应用．【分析】先研究函数的奇偶性知它是非奇非偶函数，从而排除A、D两个选项，再看此函数的最值情况，即可作出正确的判断．【解答】解：由于f（x）=e sinx，∴f（﹣x）=e sin（﹣x）=e﹣sinx∴f（﹣x）≠f（x），且f（﹣x）≠﹣f（x），故此函数是非奇非偶函数，排除A，D；又当x=时，y=e sinx取得最大值，排除B；故选：C．12．已知曲线C1：y=e x上一点A（x1，y1），曲线C2：y=1+ln（x﹣m）（m＞0）上一点B（x2，y2），当y1=y2时，对于任意x1，x2，都有|AB|≥e恒成立，则m的最小值为（）A．1 B．C．e﹣1 D．e+1【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】当y1=y2时，对于任意x1，x2，都有|AB|≥e恒成立，可得：=1+ln（x2﹣m），x2﹣x1≥e，一方面0＜1+ln（x2﹣m）≤，．利用lnx≤x﹣1（x≥1），考虑x2﹣m≥1时．可得1+ln（x2﹣m）≤x2﹣m，令x2﹣m≤，可得m≥x﹣e x﹣e，利用导数求其最大值即可得出．【解答】解：当y1=y2时，对于任意x1，x2，都有|AB|≥e恒成立，可得：=1+ln（x2﹣m），x2﹣x1≥e，∴0＜1+ln（x2﹣m）≤，∴．∵lnx≤x﹣1（x≥1），考虑x2﹣m≥1时．∴1+ln（x2﹣m）≤x2﹣m，令x2﹣m≤，化为m≥x﹣e x﹣e，x＞m+．令f（x）=x﹣e x﹣e，则f′（x）=1﹣e x﹣e，可得x=e时，f（x）取得最大值．∴m≥e﹣1．故选：C．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．已知随机变量X服从正态分布X～N（2，σ2），P（X＞4）=0.3，则P（X＜0）的值为0.3．【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】根据随机变量X服从正态分布，可知正态曲线的对称轴，利用对称性，即可求得P （X＜0）．【解答】解：∵随机变量X服从正态分布N（2，o2），∴正态曲线的对称轴是x=2∵P（X＞4）=0.3，∴P（X＜0）=P（X＞4）=0.3．故答案为：0.3．14．若函数f（x）=x2﹣alnx在x=1处取极值，则a=2．【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】求出函数的导数，得到f′（1）=0，得到关于a的方程，解出即可．【解答】解：∵f（x）=x2﹣alnx，x＞0，∴f′（x）=2x﹣=，若函数f（x）在x=1处取极值，则f′（1）=2﹣a=0，解得：a=2，经检验，a=2符合题意，故答案为：2．15．如图的三角形数阵中，满足：（1）第1行的数为1；（2）第n（n≥2）行首尾两数均为n，其余的数都等于它肩上的两个数相加．则第10行中第2个数是46．【考点】归纳推理．【分析】由三角形阵可知，上一行第二个数与下一行第二个数满足等式a n +1=a n +n ，利用累加法可求．【解答】解：设第一行的第二个数为a 1=1，由此可得上一行第二个数与下一行第二个数满足等式a n +1=a n +n ，即a 2﹣a 1=1，a 3﹣a 2=2，a 4﹣a 3=3，…a n ﹣1﹣a n ﹣2=n ﹣2，a n ﹣a n ﹣1=n ﹣1， ∴a n =（a n ﹣a n ﹣1）+（a n ﹣1﹣a n ﹣2）+…+（a 4﹣a 3）+（a 3﹣a 2）+（a 2﹣a 1）+a 1 =（n ﹣1）+（n ﹣2）+…+3+2+1+1 =+1=，∴a 10==46．故答案为：46．16．在平面直角坐标系xOy 中，直线1与曲线y=x 2（x ＞0）和y=x 3（x ＞0）均相切，切点分别为A （x 1，y 1）和B （x 2，y 2），则的值为．【考点】抛物线的简单性质．【分析】求出导数得出切线方程，即可得出结论．【解答】解：由y=x 2，得y ′=2x ，切线方程为y ﹣x 12=2x 1（x ﹣x 1），即y=2x 1x ﹣x 12， 由y=x 3，得y ′=3x 2，切线方程为y ﹣x 23=3x 22（x ﹣x 2），即y=3x 22x ﹣2x 23， ∴2x 1=3x 22，x 12=2x 23， 两式相除，可得=．故答案为：．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤） 17．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为（φ为参数），直线l 过点（0，2）且倾斜角为．（Ⅰ）求圆C 的普通方程及直线l 的参数方程；（Ⅱ）设直线l 与圆C 交于A ，B 两点，求弦|AB |的长． 【考点】参数方程化成普通方程． 【分析】（Ⅰ）圆C 的参数方程为（φ为参数），利用cos 2φ+sin 2φ=1消去参数可得圆C 的普通方程．由题意可得：直线l 的参数方程为．（Ⅱ）依题意，直线l的直角坐标方程为，圆心C到直线l的距离d，利用|AB|=2即可得出．【解答】解：（Ⅰ）圆C的参数方程为（φ为参数），消去参数可得：圆C的普通方程为x2+y2=4．由题意可得：直线l的参数方程为．（Ⅱ）依题意，直线l的直角坐标方程为，圆心C到直线l的距离，∴|AB|=2=2．18．在直角坐标系xOy中，已知直线l：（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C：ρ2（1+sin2θ）=2．（Ⅰ）写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）设点M的直角坐标为（1，2），直线l与曲线C 的交点为A、B，求|MA|•|MB|的值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）直线l：（t为参数），消去参数t可得普通方程．曲线C：ρ2（1+sin2θ）=2，可得ρ2+（ρsinθ）2=2，把ρ2=x2+y2，y=ρsinθ代入可得直角坐标方程．（Ⅱ）把代入椭圆方程中，整理得，设A，B对应的参数分别为t1，t2，由t得几何意义可知|MA||MB|=|t1t2|．【解答】解：（Ⅰ）直线l：（t为参数），消去参数t可得普通方程：l：x﹣y+1=0．曲线C：ρ2（1+sin2θ）=2，可得ρ2+（ρsinθ）2=2，可得直角坐标方程：x2+y2+y2=2，即．（Ⅱ）把代入中，整理得，设A，B对应的参数分别为t1，t2，∴，由t得几何意义可知，．19．生产甲乙两种元件，其质量按检测指标划分为：指标大于或者等于82为正品，小于82为次品，现随机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计如表：测试指标[70，76）[76，82）[82，88）[88，94）[94，100）元件甲8 12 40 32 8元件乙7 18 40 29 6（Ⅰ）试分别估计元件甲，乙为正品的概率；（Ⅱ）在（Ⅰ）的前提下，记X为生产1件甲和1件乙所得的正品数，求随机变量X的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）利用等可能事件概率计算公式能求出元件甲，乙为正品的概率．（Ⅱ）随机变量X的所有取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列和数学期望．【解答】解：（Ⅰ）元件甲为正品的概率约为：，元件乙为正品的概率约为：．（Ⅱ）随机变量X的所有取值为0，1，2，，，，所以随机变量X的分布列为：X 0 1 2P所以：．20．设函数f（x）=x3﹣+6x．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若对∀x∈[1，4]都有f（x）＞0成立，求a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）问题转化为在区间[1，4]上恒成立，令，根据函数的单调性求出a的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）函数的定义域为R，当a=1时，f（x）=x3﹣x2+6x，f′（x）=3（x﹣1）（x﹣2），当x＜1时，f′（x）＞0；当1＜x＜2时，f′（x）＜0；当x＞2时，f′（x）＞0，∴f（x）的单调增区间为（﹣∞，1），（2，+∞），单调减区间为（1，2）．（Ⅱ）即在区间[1，4]上恒成立，令，故当时，g（x）单调递减，当时，g（x）单调递增，时，∴，即．21．为了研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门对100名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在55名男性驾驶员中，平均车速超过100km/h的有40人，不超过100km/h的有15人．在45名女性驾驶员中，平均车速超过100km/h 的有20人，不超过100km/h的有25人．（Ⅰ）完成下面的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h的人与性别有关．平均车速超过100km/h人数平均车速不超过100km/h人数合计男性驾驶员人数401555女性驾驶员人数202545合计6040100（Ⅱ）以上述数据样本来估计总体，现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车中驾驶员为男性且车速超过100km/h的车辆数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列和数学期望．参考公式与数据：Χ2=，其中n=a+b+c+dP（Χ2≥k0）0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828【考点】离散型随机变量的期望与方差；独立性检验；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）完成下面的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h的人与性别有关．求出Χ2，即可判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h的人与性别有关．（Ⅱ）根据样本估计总体的思想，从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取1辆，驾驶员为男性且车速超过100km/h的车辆的概率，X可取值是0，1，2，3，，求出概率得到分布列，然后求解期望即可．【解答】解：（Ⅰ）平均车速超过100km/h人数平均车速不超过100km/h人数合计男性驾驶员人数40 15 55女性驾驶员人数20 25 45合计60 40 100因为，所以有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h与性别有关．…（Ⅱ）根据样本估计总体的思想，从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取1辆，驾驶员为男性且车速超过100km/h的车辆的概率为．X可取值是0，1，2，3，，有：，，，，分布列为X 0 1 2 3P．…22．已知函数f（x）=﹣alnx+1（a∈R）．（1）若函数f（x）在[1，2]上是单调递增函数，求实数a的取值范围；（2）若﹣2≤a＜0，对任意x1，x2∈[1，2]，不等式|f（x1）﹣f（x2）|≤m||恒成立，求m的最小值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导数，问题转化为a≤x2，求出a的范围即可；（2）问题可化为，设，求出函数的导数，问题等价于m≥x3﹣ax在[1，2]上恒成立，求出m的最小值即可．【解答】解：（1）∵在[1，2]上是增函数，∴恒成立，…所以a≤x2…只需a≤（x2）min=1…（2）因为﹣2≤a＜0，由（1）知，函数f（x）在[1，2]上单调递增，…不妨设1≤x1≤x2≤2，则，可化为，设，则h（x1）≥h（x2）．所以h（x）为[1，2]上的减函数，即在[1，2]上恒成立，等价于m≥x3﹣ax在[1，2]上恒成立，…设g（x）=x3﹣ax，所以m≥g（x）max，因﹣2≤a＜0，所以g'（x）=3x2﹣a＞0，所以函数g（x）在[1，2]上是增函数，所以g（x）max=g（2）=8﹣2a≤12（当且仅当a=﹣2时等号成立）．所以m≥12．即m的最小值为12．…2016年10月17日。
陕西省2020年高二下学期数学(理)期末试卷(附答案)
陕西省高二下学期数学（理）期末试卷本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。
全卷满分150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷（选择题 共50分）一．选择题：(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.若集合A=｛-1，1｝，B=｛0，2｝，则集合｛z ︱z =x +y ,x ∈A,y ∈B｝中的元素的个数为（ ） A ．5 B.4 C.3 D.22．复数131iZ i-=+的实部是 （ ） A ． 2 B ． 1 C ．1- D ．4-3.在等差数列{}n a 中，1315310a a a ++=，则5a 的值为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 4．4．一个棱锥的三视图如右图所示，则它的体积为 ( )A ．12 B ．32C ．1D ．135.条件:12p x +>，条件:2q x ≥，则p ⌝是q ⌝的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要的条件6. 运行右图所示框图的相应程序,若输入,a b 的值分别为2log 3和3log 2,则输出M 的值是（ ）A.0B.1C. 2D. －17．已知双曲线2222:1(,0)x y C a b a b-=>的左、右焦点分别为1F ，2F ,过2F 作双曲线C 的一条渐近线的垂线,垂足为H ,若2F H 的中点M 在双曲线C 上,则双曲线C 的离心率为（ ） A ．2 B ． 3 C ．2 D ．3。
8. △ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a A b B A a 2cos sin sin 2=+，则=ab（ ） A ．2 B ．22 C ．3 D ．23 9.设第一象限内的点(,)x y 满足约束条件26020x y x y --≤⎧⎨-+≥⎩，若目标函数(0,z ax by a =+>0)b >的最大值为40，则51a b+的最小值为（ ） （A ）256（B ）94（C ）1 （D ）4 10．已知)(x f 是R 上的偶函数，若将)(x f 的图象向右平移一个单位，则得到一个奇函数的图像，若(),12-=f 则(1)(2)(3)...(2014)f f f f ++++=（A ）0(B)1 （C ）－1 ( D)－1004.5第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题（每小题5分，共25分）：11. 已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0，－1)，c ＝(k ，3)．若(a －2b )与c 共线，则k ＝________. 12．观察下列式子：2222221311511171,1,1222332344+<++<+++<,…,根据以上 式子可以猜想：2222111112342011+++<L L _________;13．函数2221()431x x f x x x x -⎧=⎨-+>⎩， ≤， 的图象和函数()()ln 1g x x =-的图象的交点个数是 。
2020年高二下学期 期末考试 数学(理数)试卷(含答案)
2020年高二下学期期末考试数学试题（理科）一、选择题：（本题共10个小题，每小题5分，共60分） 1．设zz i i z 2),(12+-=则为虚数单位= （ ）（A ）i --1（B ）i +-1 （C ）i -1（D ）i +12．下列等于1的积分是（ ）A ．dx x ⎰10 B ．dx x ⎰+10)1( C ．dx ⎰101 D ．dx ⎰10213.用数学归纳法证明：1+21+31+)1,(,121>∈<-+*n N n n n Λ时，在第二步证明从n =k 到n =k +1成立时，左边增加的项数是（ ） A.k 2 B.12-k C.12-k D.12+k4. 若()sin cos f x x α=-，则'()f α等于（ ）（A ）sin α （B ）cos α （C ） sin cos αα+ （D ）2sin α5. 函数xy 1=在点4=x 处的导数是 （ ）(A)81 (B) 81- (C) 161 ( D) 161- 6. 已知随机变量ξ服从正态分布84.0)4(),,2(2=≤ξσP N ,则=≤)0(ξP ( ) (A) 0.16 (B) 0.32 (C) 0.68 (D) 0.847. 某校共有7个车位，现要停放3辆不同的汽车，若要求4个空位必须都相邻，则不同（ ）的停放方法共有（A ） 16种 （B ）18种 （C ）24种（D ）32种8. 若幂函数)(x f 的图象经过点)21,41(A ，则它在A 点处的切线方程为（ ）（A ） 0144=++y x （B ）0144=+-y x （C ）02=-y x （ D ）02=+y x9. 若函数2()f x x bx c =++的图象的顶点在第四象限，则函数'()f x 的图象可能是（ ）10. 设)(x f 是定义在R 上的奇函数，2)2(=f ,当0>x 时，有)()(x f x x f '>恒成立， 则不等式x x f >)(的解集是（ ）（A ）（2-，0）∪（2，∞+） （B ） （2-，0）∪（0，2） （C ）（∞-，2-）∪（2，∞+）（D ） （∞-，2-）∪（0，2）11.某小区有7个连在一起的车位，现有3辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的4个车位连在一起， 那么不同的停放方法的种数为（ ）A ．16种B ．18种C ．24种D ．32种12. 设函数()f x 是R 上以5为周期的可导偶函数，则曲线()y f x =在5x =处的切线的斜率为（ ） Ａ．15-Ｂ．0Ｃ．15Ｄ．5二、填空题：（本题共4个小题，每小题4分，共16分）13. 若(2)a i i b i -=-，其中a 、b R ∈，i 是虚数单位，则22a b +=_________。