大学物理电磁感应2
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大学物理电磁感应(PPT课件)
B Ek dl (v B) dl
(2) 只有一段导体在磁场中运 动，没有闭合回路
× ×
×B
++
× (3) 若 v // B ，则 v B 0 i 0 （导体没有切割磁力线） ×
此时AB是一开路电源
× × ×A
fe eE
dΦ 1. i只与 成正比，而不是与Φ或dΦ成正比。 dt 2 .设回路中电阻为R，则
1 dΦ Ii R R dt 1 dq dΦ dq R Ii dt 设在t1和 t2 时刻，通过回路的磁通量分别为1和 2， 则在t1 t2时间内，通过回路任一截面的感应电量为：
B
i的指向是从B到A，即A点的电势比B点的高。
例17.4 在磁感应强度为B的均匀磁场中一根长为L 的导体棒OA在垂直于磁场的平面上以角速度 绕固 定轴O旋转，求导体棒上的动生电动势。 × × × 解：磁场均匀但导体棒上各处v不 × v A 相同。在距O端为l 处取一线元dl， × × l× × A dl i (v B) dl （dl 方向为O A） O
i 0
0
d 0 dt
感应电动势的方向与绕行方向相同
n
i
B
S N
i 0
d 0 dt
感应电动势的方向与绕行方向相同
n
i
B
S N
0 i 0
d 0 dt
感应电动势的方向与绕行方向相反
2. 用楞次定律判断感应电流方向
B
B
I
S
v
S
I
N
N
说 明
动生电动势方向：A O O端电势高
大学物理电磁感应的基本原理与法拉第定律剖析
大学物理电磁感应的基本原理与法拉第定律剖析在探索电磁感应之前，我们首先要了解电磁感应的基本原理以及法拉第定律。
电磁感应是指当导体中的磁场发生变化时，会在导体中产生电动势，从而产生电流。
法拉第定律则规定了电动势和磁通量变化之间的定量关系。
本文将深入探索电磁感应的基本原理以及法拉第定律的内涵。
第一部分：电磁感应的基本原理电磁感应的基本原理是基于磁场对导体中的自由电荷的作用。
当导体与磁场相对运动或者磁场发生变化时，导体中的自由电荷会受到磁力的作用，产生电动势。
这一原理被总结为法拉第电磁感应定律，即电动势的大小与导体中磁场变化的速率成正比。
第二部分：法拉第定律的表达式与意义法拉第定律以数学方式描述了电动势与磁通量变化之间的关系。
根据法拉第第一定律，电动势的大小与磁通量的变化速率成正比，并与导体的回路方向有关。
具体而言，法拉第第一定律可以用以下公式表示：ε = -dΦ/dt其中，ε表示电动势，dΦ/dt表示磁通量与时间的变化率。
法拉第第二定律则说明了导体中产生的感应电流与磁场变化之间的关系。
根据法拉第第二定律，感应电流的大小与电动势以及导体的电阻有关。
具体而言，法拉第第二定律可以用以下公式表示：I = ε/R其中，I表示感应电流，ε表示电动势，R表示导体的电阻。
通过法拉第定律，我们可以定量地计算感应电流的大小，并理解磁场变化对电动势和感应电流的影响。
这对于理解电磁感应的作用以及应用有重要意义。
第三部分：电磁感应的应用电磁感应的原理和法拉第定律在许多领域中得到了应用。
其中最重要的应用之一是发电机的工作原理。
发电机通过旋转线圈在磁场中产生变化的磁通量，从而产生电动势，最终转化为电流输出。
这种基于电磁感应原理的发电机已广泛应用于发电站、汽车发电机等各种领域。
除了发电机，电磁感应的原理也在电感和变压器中得到了应用。
电感是一种元件，通过将线圈绕在导体上来储存磁场能量。
当导体中的电流改变时，磁场也发生变化，从而引起感应电动势。
【大学物理bjtu】磁习题课2(磁感应)
∫∫ D ⋅ dS = ∫∫∫ ρdV
S V
通量
∫∫ B ⋅ dS = 0
dΦ ∂B ∫LE ⋅ dl = − dt = −∫∫S ∂t ⋅ dS ∂D ∫LH ⋅ dl = ∫∫S jC ⋅ dS + ∫∫S ∂t ⋅ dS
S
环流
要求: 要求:公式的精确表达以及 每个公式的物理意义. 每个公式的物理意义.
位移电流密度
∂D jd = ∂t
Id =
dt
=∫
s
∂t
⋅ dS
引入位移电流概念的思想是:变化着的电场 引入位移电流概念的思想是 变化着的电场 也如同传导电流一样,可以激发磁场. 可以激发磁场 也如同传导电流一样 可以激发磁场
8.麦克斯韦方程组的积分形式 麦克斯韦方程组的积分形式: 麦克斯韦方程组的积分形式
ε2 = ∫ E ⋅ dl = ∫ E1 ⋅ dl +∫ E2 ⋅ dl
0 0 R
O
R R
ε ∆OAC = ε OA + ε AC + ε CO ε2 = εAC = ε∆OAC = dB ( S
做辅助线OA、 做辅助线 、 OC， ，
=0
A
v
D
F R C
R2 π dB + S扇形ODF )= ( 3+ ) ∆AOC dt 4 3 dt 2 R π dB 方向: 方向: ε = ( 3 + ) − vBR 方向:左→右 方向:左→右 4 3 dt
ε 21 = − M
是通过回路1(2)的由回路 的由回路2(1)中电流 式中Ψ12 (Ψ21) 是通过回路 的由回路 中电流 I2(I1) 所产生的全磁通。 所产生的全磁通。 dI 1 互感电动势
大学物理 电磁感应 课件 PPT
解：设DE中点为坐标原点，在DE上距原点为x处取线元dx,两长 直导线在dx处的磁场为
B
B1
B2
0I 2
[ r
1 l
x
r
1 l
] x
2
2
d i
vBdx
0 Iv [ 2 r
dx l
x
r
dx l
] x
l
2
2
i
2
d i
l
0 Iv ln
r l r
2
Example 1
设空间有磁场存在的圆柱形区域的半径为R=5cm，磁感应强度 对时间的变化率为dB/dt=0.2T/s，试计算离开轴线的距离r等于2cm、 5cm及10cm处的涡旋电场。
B dl 0 I
i
L
cP d
b
c
d
a
B dl a B dl b B dl c B dl d B dl
b
2a B dl 2BL
又：
0
I 0iL, 所以
B 0i
2
例题：一无限大平行板电容器极板间的电场强度为E，一 均匀磁场B与E垂直，现有一电子(-e,m)从负极出来，初 速度为零。求：电子刚好不能到达正极板的距离d。
求棒AC两端的电势差。
O
D
C
Ｂ A
复习
一、法拉第电磁感应定律 d
dt
二、动生电动势
闭合回路
i
v
B
dl
l
不闭合回路
b
i a v B dl
三、感生电动势
L
Ek
dl
d dt
四、感生电场与静电场
例行3放．置一一长矩直形导线线圈中，通线有圈正平弦面交与流长电直i导线I在m 同si一n w平,t面在内长，直求导任线一旁瞬平
B
B1
B2
0I 2
[ r
1 l
x
r
1 l
] x
2
2
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0 Iv [ 2 r
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dx l
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2
i
2
d i
l
0 Iv ln
r l r
2
Example 1
设空间有磁场存在的圆柱形区域的半径为R=5cm，磁感应强度 对时间的变化率为dB/dt=0.2T/s，试计算离开轴线的距离r等于2cm、 5cm及10cm处的涡旋电场。
B dl 0 I
i
L
cP d
b
c
d
a
B dl a B dl b B dl c B dl d B dl
b
2a B dl 2BL
又：
0
I 0iL, 所以
B 0i
2
例题：一无限大平行板电容器极板间的电场强度为E，一 均匀磁场B与E垂直，现有一电子(-e,m)从负极出来，初 速度为零。求：电子刚好不能到达正极板的距离d。
求棒AC两端的电势差。
O
D
C
Ｂ A
复习
一、法拉第电磁感应定律 d
dt
二、动生电动势
闭合回路
i
v
B
dl
l
不闭合回路
b
i a v B dl
三、感生电动势
L
Ek
dl
d dt
四、感生电场与静电场
例行3放．置一一长矩直形导线线圈中，通线有圈正平弦面交与流长电直i导线I在m 同si一n w平,t面在内长，直求导任线一旁瞬平
大学物理电磁学电磁感应
有电流产生必有电动势存在
二、 法拉第电磁感应定律
通过回路面积内的磁通量发生变化时，回路中产生 的感应电动势与磁通量对时间的变化率成正比。
1、数学表述
i
k
dΦm dt
在SI制中比例系数为1
i
dΦm dt
§12-1 电磁感应定律
对
N
匝线圈 i
N
dΦm dt
d (NΦm ) dt
令 Ψ NΦm 全磁通 磁通链数
洛仑兹力不提供能量， 他只起到了一个传递能量的 作用。
至此详谬得以解释
f0
v
v0 V f
§12-2 动生电动势
例1有力一线半运圆动形。金已属知导：线v在, B匀,强R磁. 场中作切割磁
求：动生电动势。
b
解：方法一
作辅助线 a b，形成闭合回路。
i i
0
a (v
b
半圆
B) dl
ab
2RBv
② 求电量
i dq 0 sin t
dt R
q
idt
0 sin tdt
0R
BS sin td (t) 2BS
0R
R
§12-2 动生电动势
求解动生电动势的步骤
1. 选择 dl 方向；
2. 确定 dl 所在处的 B 及 v 3. 确定 v × B 的方向； 4. 确定 dl 与 v × B 的夹角
B A
vC
§12-2 动生电动势
例3 一直导线CD在一无限长直电流磁场中作
切割磁力线运动。求：动生电动势。
解： 方法一
d (v B) dl
v
0I
sin
900 dl
I
cos1800
二、 法拉第电磁感应定律
通过回路面积内的磁通量发生变化时，回路中产生 的感应电动势与磁通量对时间的变化率成正比。
1、数学表述
i
k
dΦm dt
在SI制中比例系数为1
i
dΦm dt
§12-1 电磁感应定律
对
N
匝线圈 i
N
dΦm dt
d (NΦm ) dt
令 Ψ NΦm 全磁通 磁通链数
洛仑兹力不提供能量， 他只起到了一个传递能量的 作用。
至此详谬得以解释
f0
v
v0 V f
§12-2 动生电动势
例1有力一线半运圆动形。金已属知导：线v在, B匀,强R磁. 场中作切割磁
求：动生电动势。
b
解：方法一
作辅助线 a b，形成闭合回路。
i i
0
a (v
b
半圆
B) dl
ab
2RBv
② 求电量
i dq 0 sin t
dt R
q
idt
0 sin tdt
0R
BS sin td (t) 2BS
0R
R
§12-2 动生电动势
求解动生电动势的步骤
1. 选择 dl 方向；
2. 确定 dl 所在处的 B 及 v 3. 确定 v × B 的方向； 4. 确定 dl 与 v × B 的夹角
B A
vC
§12-2 动生电动势
例3 一直导线CD在一无限长直电流磁场中作
切割磁力线运动。求：动生电动势。
解： 方法一
d (v B) dl
v
0I
sin
900 dl
I
cos1800
大学物理电磁感应现象与法拉第定律阐述
大学物理电磁感应现象与法拉第定律阐述电磁感应是电磁学中的重要概念，由迈克尔·法拉第在19世纪初提出的法拉第定律描述。
这一现象指出，当一个导体处于磁场中运动或者磁场的强度发生变化时，导体内会产生感应电流。
本文将详细介绍电磁感应现象以及法拉第定律的原理和应用。
一、电磁感应的基本原理电磁感应现象是指当导体运动于磁场中或磁场的强度发生变化时，在导体中就会产生感应电流。
这一现象是由磁场的磁力作用于运动中的导体电子所产生的。
电磁感应的基本原理可以归结为法拉第定律。
二、法拉第定律的阐述法拉第定律是描述电磁感应的基本定律，由迈克尔·法拉第于1831年提出。
根据法拉第定律，当一个闭合导路与磁场相连且磁场的磁通量发生变化时，导路中就会产生感应电流。
该感应电流的方向遵循楞次定律，即感应电流的方向使得它所产生的磁场与原磁场产生作用的磁场方向相反。
三、法拉第定律的数学表达法拉第定律可以用数学公式来表示。
根据法拉第定律，感应电动势的大小等于磁场的磁通量变化率。
数学上，法拉第定律可以表示为：ε = - dΦ/dt其中，ε代表感应电动势，Φ代表磁通量，t代表时间，dΦ/dt代表磁通量的变化率。
四、电磁感应现象的实际应用电磁感应现象在我们日常生活中有许多实际应用。
以下介绍几个常见的应用场景：1.发电机发电机是利用电磁感应现象产生电能的装置之一。
通过将导体绕在旋转的磁场中，可以产生感应电动势，从而驱动电流流动，进而产生电能。
这种原理广泛应用于发电厂、风力发电机等发电设备中。
2.变压器变压器是利用电磁感应现象改变电压的设备。
通过将交流电流通过一个线圈，产生变化的磁场，再经过另一个线圈，就能产生感应电动势。
这样，可以在输入输出线圈之间实现电压的转换，从而达到变压的效果。
3.感应加热感应加热是利用电磁感应原理进行加热的技术。
通过通过交流电源产生高频电磁场，当导体材料放在此电磁场中时，导体会产生感应电流，进而产生热量。
《大学物理学》(第二版)吴王杰 13 13-4自感和互感
C
电磁学电磁感应第4节
2、计算两线圈间的互感系数
假设线圈1中通过电流I1，求该电流在线圈2中激发 的磁场B
根据电流I1在线圈2中激发的磁场B，计算该磁场 通过线圈2的磁链数ψ
根据互感系数的定义
M 21
I1
电磁学电磁感应第4节
例题3 天线形状各种各样，若距离比较近，开机 时可能在天线之间造成信号的互扰，即产生互感现 象。如题图所示，鞭形天线可看作长直导线，矩形 环天线可看作长为l、宽为b的矩形导线框，其左边 到长直导线的距离为a。试计算这两种天线间的互 感系数。
电磁学电磁感应第4节
镇流器是自感系数很大的带铁心的线圈，启 动时，产生高电压，使日光灯管成为电流的通路 而发光。
正常工作时的线圈起降压限制电流作用，保 护灯管。
电磁学电磁感应第4节
(2)自感现象的危害和防止 大型的电动机、发电机和变压器的绕组线圈都
具有很大的自感，在电闸断开时，强大的自感电动 势可能使电介质击穿 ✓ 在工业上常采用逐步增加电阻的方法，逐步减小电 流，最后断开电流
•设两极板分别带电±Q •设线圈中通过电流I
•求两极板间的电场强度E •求线圈中的磁感应强度B
•求两极板间的电势差U • 根据定义计算 C Q
U
•求通过线圈的磁链数ψ
• 根据定义计算 L I
电磁学电磁感应第4节
例题1 已知真空中一长直密绕螺线管的长度l， 总匝数N和截面积S，求该螺线管的自感系数
该面积的磁链数
电磁学电磁感应第4节
R2 orIldr
R1 2πr
Il ln R2
2π R 1
电缆单位长度的自感 L ln R2
l I 2π R1
R2 R1
r
电磁学电磁感应第4节
2、计算两线圈间的互感系数
假设线圈1中通过电流I1，求该电流在线圈2中激发 的磁场B
根据电流I1在线圈2中激发的磁场B，计算该磁场 通过线圈2的磁链数ψ
根据互感系数的定义
M 21
I1
电磁学电磁感应第4节
例题3 天线形状各种各样，若距离比较近，开机 时可能在天线之间造成信号的互扰，即产生互感现 象。如题图所示，鞭形天线可看作长直导线，矩形 环天线可看作长为l、宽为b的矩形导线框，其左边 到长直导线的距离为a。试计算这两种天线间的互 感系数。
电磁学电磁感应第4节
镇流器是自感系数很大的带铁心的线圈，启 动时，产生高电压，使日光灯管成为电流的通路 而发光。
正常工作时的线圈起降压限制电流作用，保 护灯管。
电磁学电磁感应第4节
(2)自感现象的危害和防止 大型的电动机、发电机和变压器的绕组线圈都
具有很大的自感，在电闸断开时，强大的自感电动 势可能使电介质击穿 ✓ 在工业上常采用逐步增加电阻的方法，逐步减小电 流，最后断开电流
•设两极板分别带电±Q •设线圈中通过电流I
•求两极板间的电场强度E •求线圈中的磁感应强度B
•求两极板间的电势差U • 根据定义计算 C Q
U
•求通过线圈的磁链数ψ
• 根据定义计算 L I
电磁学电磁感应第4节
例题1 已知真空中一长直密绕螺线管的长度l， 总匝数N和截面积S，求该螺线管的自感系数
该面积的磁链数
电磁学电磁感应第4节
R2 orIldr
R1 2πr
Il ln R2
2π R 1
电缆单位长度的自感 L ln R2
l I 2π R1
R2 R1
r
大学物理电磁感应知识小结
总之，磁通量
二、电动势
定义电动势ε：
m BdS 发生变化
把单位正电荷从负极板通过电 源内部移到正极板，
产生电磁感应现象
I
F ne
q
非静电场所作的功
A n e Fne d l
R
q
q
定义非静电场强：
E ne
Fne q
E dl (电源内) ne
电动势 方向：电源内部负极指向正极
普遍表达式 Ene dl
VS2r
Wm
1 2
L
I
2
1 2
r
0n2I
2V
12r0nInIV
1 2
BHV
以w通m电流WIV的mN匝12螺B绕H环为例12 B H
两W m 个线圈w m d 情V 况1 2 下B H d V
I1 I 2 H1, H2 HH1H2
B1, B2 BB1B2
W m 1 2 B H d V 1 2 B 1 B 2 H 1 H 2 d V
1 2
r 0 (H 1 2 H 2 2 2 H 1H 2 )d V
互感磁能
例1.两个形状相同的环，磁铁以相同的速率插入
问：哪一个
i 大？ 哪一个 I 大？
解： i
相同
I i
R
铜环I 大
当 R 0 I ？
若超导体 R0 I ?
i L IR 0 i L
d L d I dt dt
2 dL
i ?
dri
i
M
di dt
M m I
I
m设 M
I
m BdS
ab 0求I：c直d导r线中的电动势 a 2 r
0Ic
2
ab d r 例03I.电c流ln为ab
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S V
有磁介质存在时
B 0 r H
d e ( I ) B d l 0 c 0 L dt E 0 I c 0 0 dS S t
D d D I d S H d l I c c L S t dt
l 0 nSN l
L 0n V
2
例. 长直螺线管由两个密绕的线圈C1、C2组成，两线 圈分别绕N1、N2匝。 求: (1)两线圈的互感系数 (2)两线圈的自感系数与互感系数的关系 l (1) M 0 n1n2V S (2) 由
L1 0 n1 V
2
c1
c2
L2 0 n2 V
例：计算同轴螺线管的互感 两个共轴螺线管长为 L，匝数 分别为N1 、N2，截面积相同均 为S,管内真空。 解：给螺线管1通以电流I1 B1 n1 0 I 1
N1
N2
I1
l
线圈1产生的磁场通 21 B1S N2 0 n1I1SN2 过线圈2的磁通链数
21 L 0 n1 SN 2 0 n1 n2V 由互感定义 M I1 L
静电场的 高斯定理 环路定理 稳恒电流磁场 的高斯定理 稳恒电流磁场的 安培环路定理
（1） E dS
q
0
内
L
(1) E dl 0 (1) B dS 0
有 源 、 无 旋 无 源 、 有 旋
L
(1) B dl 0
I
内
D I c dS S t
例．反映电磁场基本性质和规律的积分形式的 麦克斯韦方程组为
S
1 E dS
0
q
内
（１） （２） （３）
d m L E dl dt
S B dS 0 d e （４） 0 (I 0 0 ) B d l
M 就叫做这两个线圈的互感系数，简称为互感。
1）单位：亨利（H），毫亨（mH），微亨（μ H）
2） 互感系数为线圈本身的性质，与两线圈中 是否通有电流无关，仅与两线圈的几何因 素、相对位置和周围介质有关。
12 21 M i1 i2
为算M，给线圈1或2通电均可 到底给谁通电? 当然是选择最方便的。
( 2) E B d l I d S 0 d 0 0 t
空间总磁场
(1) ( 2 ) BB B
3.位移电流的磁场
( 2) 感生磁场 B
E B d l ( I I ) ( I d S ) 0 c d 0 c 0 t
( 2) 感生电场 Ei ( E )
B dS t
L
L
E dS
S
( 1) E dS
S
Ei dS
q
0
内
电磁学的对称性与完整性：
电场
静电场 静止电荷 稳恒磁场 恒定电流
起因
磁场
感生电场 dB dt 感生磁场？
I 0 0 h b i ln cos t 2 a
习题指导P101 典型例题5
课本20.17（P200）
例题一：计算同轴电缆单位长度的自感 根据对称性和安培环路定理， 在内圆筒和外圆筒外的空间 磁场为零。两圆筒间磁场为
§4 互感和自感
一、互感现象和互感电动势:
当线圈 1中的电流变化时,所激发的磁场会在它邻近的另 一个线圈 2 中产生感应电动势，这种现象称为互感现象。 该电动势叫互感电动势。 1 2
i1
21
21 B1 I1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Ψ 21 M 21 i1
d21 21 dt
di1 21 M 21 dt
L的计算：假设通以电流i和计算磁通链数y来 求自感系数L。 例：求长直螺线管的自感系数L，已知总长度l， 总匝数N，截面面积S,单位长度上的匝数n. 解： 设通以电流i
B 0 ni
B
i
m 0 niS
N m N 0 niS
L N 0 nS i
(C)
习题指导P109 1
例.无限长直导线与矩形线圈共面，线圈中通以电流 i I 0 sin t ，求直导线中的感应电动势。 分析： i M
di dt
应先计算M
a
r
假设在直导线中通以电流 I 可计算出通过线圈的磁通量 φ21 由
dr
h
1 b 2
Φ21 MI 得到 M
0 h b M ln 2 a
L
dt
试判断下列结论是包含于或等效于哪一个麦 克斯韦方程式的。将你确定的方程式用代号 添在相应结论后的空白处。 （Ａ）变化的磁场一定伴随有电场 （２） （Ｂ）磁感应线是无头无尾的 （Ｃ）电荷总伴有电场
（３） （１）
习题指导P110 6 。
在没有自由电荷与传导电流的变化的电磁场中，
沿闭合环路l（设环路包围的面积为S） d m B dS E dl S t L dt
起因
dE ? dt
Maxwell 从电流的连续性入手得到了突破
假设2.变化的电场 1.位移电流概念 传导电流不连 续引起矛盾
位移电流
感生磁场
Ic
S1
S S2
B d l I 0 c
L
L
B dl 0 0 0
矛盾
1861年麦克斯韦想把安培环路定理推广到非 恒定电流的情况。他注意到上图电容器在充 放电时，其中的电场是变化的， 他大胆假设：
0
d e 0 ( I c 0 ) B d l L dt E 0 I c 0 0 dS S t
S
有电介质存在时
D E 0 r E
0
S
1 E dS
q
内
D d S q dV 内
d e E I Ic Id Ic 0 I c 0 dS dt t
全电流是连续的，
麦克斯韦将安培环路定理推广为 全电流定律
E B d l ( I I ) ( I d S ) 0 c d 0 c 0 t
二、麦克斯韦假设 假设1.变化的磁场激发电场
L S
(1) 空间的总电场： E E Ei ( 1) B dS E dl E dl Ei dl t S
d m d B dS Ei dl dt dt S S
1
12
2
M12 i2 Ψ 12
i2
12 M 12
di2 dt
d12 12 dt
di M dt
可以证明，对两个给定的线圈有： M 21 M 12 M 式中“-”表示方向，电流增大则感应电流（电动势）与 原电流相反；反之电流减小则感应电流（电动势）与 原电流同向。
I
B wm 20
2
B 1 HB 磁能密度： wm 20 2
Wm 磁场能量 ：
2
V
B dV 2 0
2
对任何磁场 普遍有效
积分应遍及磁场存在的全空间。
1B 1 wm HB 2 2
磁场能量密度
2
比较
1 2 1 we E DE 2 2
电场能量密度
§6 麦克斯韦方程组 一、真空中静电场E（1）与稳恒磁场B（1）的基本定理
称 L为线圈的自感系数,简称自感或电感。
m Li
m N m L i i
1）单位：亨利（H）毫亨（mH），微亨（μH） 2）L与线圈中是否通有电流无关，仅与线圈自 身几何结构、及周围介质有关 3）物理意义：一个线圈中通有单位电流时，通 过线圈自身的磁通链数，等于该线圈的自感系 数。
D dS q内 dV
介 质 中 的 麦 克 斯 韦 方 程 组
d m B LE dl dt S t dS B dS 0
S
V
S
d D LH dl I c dt
D (J ) dS S t
d e d D LH dl dt dt
例：半径为R的平板电容器 均匀充电
dE c 内部视为真空 dt
求：I d (忽略边缘效应) 解： I d e d EπR 2 d 0 0 dt dt
+ -
R
(
)
dE 0 πR 2 dt
方向
dE 2 Id 0 πR dt
自感电动势
dm di L L dt dt di 大小： L L dt
方向： 阻碍线圈中原有电流的变化
L越大，线圈中电流越不易改变 L越小，改变线圈中电流较容易
i(t)
L
i(t)
L
所以说，任何导体线圈都有维持原电路状态的能力， L就是这种能力大小的量度，它表征导体回路电磁惯 性的大小。
1 2 Li di LI WL 2
感 磁 能
通电I线圈储能（自感磁能）:
1 W L LI 2 2
二、磁场能量Wm : 对螺线管: L 0 n 2V
1 2 2 Wm 0 n VI 2 2 2 2 1 0n I V 2 0
B V 2 0
2
B 0 nI
思考：两螺线管如何放置互感最大？ 如何放置互感最小？
有磁介质存在时
B 0 r H
d e ( I ) B d l 0 c 0 L dt E 0 I c 0 0 dS S t
D d D I d S H d l I c c L S t dt
l 0 nSN l
L 0n V
2
例. 长直螺线管由两个密绕的线圈C1、C2组成，两线 圈分别绕N1、N2匝。 求: (1)两线圈的互感系数 (2)两线圈的自感系数与互感系数的关系 l (1) M 0 n1n2V S (2) 由
L1 0 n1 V
2
c1
c2
L2 0 n2 V
例：计算同轴螺线管的互感 两个共轴螺线管长为 L，匝数 分别为N1 、N2，截面积相同均 为S,管内真空。 解：给螺线管1通以电流I1 B1 n1 0 I 1
N1
N2
I1
l
线圈1产生的磁场通 21 B1S N2 0 n1I1SN2 过线圈2的磁通链数
21 L 0 n1 SN 2 0 n1 n2V 由互感定义 M I1 L
静电场的 高斯定理 环路定理 稳恒电流磁场 的高斯定理 稳恒电流磁场的 安培环路定理
（1） E dS
q
0
内
L
(1) E dl 0 (1) B dS 0
有 源 、 无 旋 无 源 、 有 旋
L
(1) B dl 0
I
内
D I c dS S t
例．反映电磁场基本性质和规律的积分形式的 麦克斯韦方程组为
S
1 E dS
0
q
内
（１） （２） （３）
d m L E dl dt
S B dS 0 d e （４） 0 (I 0 0 ) B d l
M 就叫做这两个线圈的互感系数，简称为互感。
1）单位：亨利（H），毫亨（mH），微亨（μ H）
2） 互感系数为线圈本身的性质，与两线圈中 是否通有电流无关，仅与两线圈的几何因 素、相对位置和周围介质有关。
12 21 M i1 i2
为算M，给线圈1或2通电均可 到底给谁通电? 当然是选择最方便的。
( 2) E B d l I d S 0 d 0 0 t
空间总磁场
(1) ( 2 ) BB B
3.位移电流的磁场
( 2) 感生磁场 B
E B d l ( I I ) ( I d S ) 0 c d 0 c 0 t
( 2) 感生电场 Ei ( E )
B dS t
L
L
E dS
S
( 1) E dS
S
Ei dS
q
0
内
电磁学的对称性与完整性：
电场
静电场 静止电荷 稳恒磁场 恒定电流
起因
磁场
感生电场 dB dt 感生磁场？
I 0 0 h b i ln cos t 2 a
习题指导P101 典型例题5
课本20.17（P200）
例题一：计算同轴电缆单位长度的自感 根据对称性和安培环路定理， 在内圆筒和外圆筒外的空间 磁场为零。两圆筒间磁场为
§4 互感和自感
一、互感现象和互感电动势:
当线圈 1中的电流变化时,所激发的磁场会在它邻近的另 一个线圈 2 中产生感应电动势，这种现象称为互感现象。 该电动势叫互感电动势。 1 2
i1
21
21 B1 I1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Ψ 21 M 21 i1
d21 21 dt
di1 21 M 21 dt
L的计算：假设通以电流i和计算磁通链数y来 求自感系数L。 例：求长直螺线管的自感系数L，已知总长度l， 总匝数N，截面面积S,单位长度上的匝数n. 解： 设通以电流i
B 0 ni
B
i
m 0 niS
N m N 0 niS
L N 0 nS i
(C)
习题指导P109 1
例.无限长直导线与矩形线圈共面，线圈中通以电流 i I 0 sin t ，求直导线中的感应电动势。 分析： i M
di dt
应先计算M
a
r
假设在直导线中通以电流 I 可计算出通过线圈的磁通量 φ21 由
dr
h
1 b 2
Φ21 MI 得到 M
0 h b M ln 2 a
L
dt
试判断下列结论是包含于或等效于哪一个麦 克斯韦方程式的。将你确定的方程式用代号 添在相应结论后的空白处。 （Ａ）变化的磁场一定伴随有电场 （２） （Ｂ）磁感应线是无头无尾的 （Ｃ）电荷总伴有电场
（３） （１）
习题指导P110 6 。
在没有自由电荷与传导电流的变化的电磁场中，
沿闭合环路l（设环路包围的面积为S） d m B dS E dl S t L dt
起因
dE ? dt
Maxwell 从电流的连续性入手得到了突破
假设2.变化的电场 1.位移电流概念 传导电流不连 续引起矛盾
位移电流
感生磁场
Ic
S1
S S2
B d l I 0 c
L
L
B dl 0 0 0
矛盾
1861年麦克斯韦想把安培环路定理推广到非 恒定电流的情况。他注意到上图电容器在充 放电时，其中的电场是变化的， 他大胆假设：
0
d e 0 ( I c 0 ) B d l L dt E 0 I c 0 0 dS S t
S
有电介质存在时
D E 0 r E
0
S
1 E dS
q
内
D d S q dV 内
d e E I Ic Id Ic 0 I c 0 dS dt t
全电流是连续的，
麦克斯韦将安培环路定理推广为 全电流定律
E B d l ( I I ) ( I d S ) 0 c d 0 c 0 t
二、麦克斯韦假设 假设1.变化的磁场激发电场
L S
(1) 空间的总电场： E E Ei ( 1) B dS E dl E dl Ei dl t S
d m d B dS Ei dl dt dt S S
1
12
2
M12 i2 Ψ 12
i2
12 M 12
di2 dt
d12 12 dt
di M dt
可以证明，对两个给定的线圈有： M 21 M 12 M 式中“-”表示方向，电流增大则感应电流（电动势）与 原电流相反；反之电流减小则感应电流（电动势）与 原电流同向。
I
B wm 20
2
B 1 HB 磁能密度： wm 20 2
Wm 磁场能量 ：
2
V
B dV 2 0
2
对任何磁场 普遍有效
积分应遍及磁场存在的全空间。
1B 1 wm HB 2 2
磁场能量密度
2
比较
1 2 1 we E DE 2 2
电场能量密度
§6 麦克斯韦方程组 一、真空中静电场E（1）与稳恒磁场B（1）的基本定理
称 L为线圈的自感系数,简称自感或电感。
m Li
m N m L i i
1）单位：亨利（H）毫亨（mH），微亨（μH） 2）L与线圈中是否通有电流无关，仅与线圈自 身几何结构、及周围介质有关 3）物理意义：一个线圈中通有单位电流时，通 过线圈自身的磁通链数，等于该线圈的自感系 数。
D dS q内 dV
介 质 中 的 麦 克 斯 韦 方 程 组
d m B LE dl dt S t dS B dS 0
S
V
S
d D LH dl I c dt
D (J ) dS S t
d e d D LH dl dt dt
例：半径为R的平板电容器 均匀充电
dE c 内部视为真空 dt
求：I d (忽略边缘效应) 解： I d e d EπR 2 d 0 0 dt dt
+ -
R
(
)
dE 0 πR 2 dt
方向
dE 2 Id 0 πR dt
自感电动势
dm di L L dt dt di 大小： L L dt
方向： 阻碍线圈中原有电流的变化
L越大，线圈中电流越不易改变 L越小，改变线圈中电流较容易
i(t)
L
i(t)
L
所以说，任何导体线圈都有维持原电路状态的能力， L就是这种能力大小的量度，它表征导体回路电磁惯 性的大小。
1 2 Li di LI WL 2
感 磁 能
通电I线圈储能（自感磁能）:
1 W L LI 2 2
二、磁场能量Wm : 对螺线管: L 0 n 2V
1 2 2 Wm 0 n VI 2 2 2 2 1 0n I V 2 0
B V 2 0
2
B 0 nI
思考：两螺线管如何放置互感最大？ 如何放置互感最小？