数学建模中的NP问题
世界十大难题
世界十大难题1、NP完全问题（NP－C问题）NP完全问题（NP－C问题），是世界七大数学难题之一。
NP的英文全称是Non－deterministicPolynomial的问题，即多项式复杂程度的非确定性问题。
简单的写法是NP＝P？，问题就在这个问号上，到底是NP等于P，还是NP不等于P。
NP就是Non－deterministicPolynomial的问题，也即是多项式复杂程度的非确定性问题。
而如果任何一个NP问题都能通过一个多项式时间算法转换为某个NP问题，那么这个NP问题就称为NP完全问题（Non－deterministicPolynomialcompleteproblem）。
NP完全问题也叫做NPC问题。
2、霍奇猜想霍奇猜想是代数几何的一个重大的悬而未决的问题。
由威廉·瓦伦斯·道格拉斯·霍奇提出，它是关于非奇异复代数簇的代数拓扑和它由定义子簇的多项式方程所表述的几何的关联的猜想，属于世界七大数学难题之一。
二十世纪的数学家们发现了研究复杂对象的形状的强有力的办法。
基本想法是问在怎样的程度上，我们可以把给定对象的形状通过把维数不断增加的简单几何营造块粘合在一起来形成。
3、庞加莱猜想庞加莱猜想（Poincaréconjecture）是法国数学家庞加莱提出的一个猜想，其中三维的情形被俄罗斯数学家格里戈里·佩雷尔曼于2003年左右证明。
2006年，数学界最终确认佩雷尔曼的证明解决了庞加莱猜想。
1904年，法国数学家亨利·庞加莱提出了一个拓扑学的猜想：“任何一个单连通的，闭的三维流形一定同胚于一个三维的球面。
”简单地说，一个闭的三维流形就是一个有边界的三维空间；单连通就是这个空间中每条封闭的曲线都可以连续的收缩成一点，或者说在一个封闭的三维空间，假如每条封闭的曲线都能收缩成一点，这个空间就一定是一个三维圆球。
4、黎曼假设黎曼猜想是关于黎曼ζ函数ζ（s）的零点分布的猜想，由数学家黎曼于1859年提出。
np问题 通俗解释
np问题通俗解释
NP问题是指“非确定性多项式时间”问题，也称为不可解问题。
它是计算机科学中的一个重要问题类别。
通俗来说，NP问题是指那些可以在多项式时间内验证是否解
答正确的问题，但尚未找到可以在多项式时间内解决的算法。
也就是说，虽然我们可以在多项式时间内检查一个给定解是否正确，但我们目前还没有找到一种高效的方法来找到一个解。
在计算理论中，NP问题是与P问题相对的一个概念。
P问题
是指可以在多项式时间内解决的问题。
一个经典的例子是旅行商问题。
在旅行商问题中，我们需要找到一条路径，使得旅行商可以经过多个城市，每个城市只到达一次，并且回到起点，同时总路径长度最短。
虽然我们可以在多项式时间内计算出给定路径的总长度，但当前还没有找到一种可以在多项式时间内找到最短路径的方法。
目前来说，还没有找到一种通用的解决NP问题的方法。
因此，研究人员一直在努力寻找解决这些问题的有效算法，或者找到一种方法来证明这些问题不存在多项式时间解决的算法。
P-NP-NPC三者问题阐述
P NP NPC三者问题阐述1）”P对NP问题”是什么意思？首先说明一下问题的复杂性和算法的复杂性的区别，下面只考虑时间复杂性。
算法的复杂性是指解决问题的一个具体的算法的执行时间,这是算法的性质；问题的复杂性是指这个问题本身的复杂程度，是问题的性质.比如对于排序问题,如果我们只能通过元素间的相互比较来确定元素间的相互位置，而没有其他的附加可用信息,则排序问题的复杂性是O(nlgn)，但是排序算法有很多，冒泡法是O（n^2），快速排序平均情况下是O(nlgn)等等,排序问题的复杂性是指在所有的解决该问题的算法中最好算法的复杂性。
问题的复杂性不可能通过枚举各种可能算法来得到，一般都是预先估计一个值，然后从理论上证明。
为了研究问题的复杂性，我们必须将问题抽象，为了简化问题,我们只考虑一类简单的问题，判定性问题，即提出一个问题,只需要回答yes或者no的问题。
任何一般的最优化问题都可以转化为一系列判定性问题，比如求图中从A到B的最短路径，可以转化成：从A 到B是否有长度为1的路径？从A到B是否有长度为2的路径?…从A到B是否有长度为k的路径？如果问到了k的时候回答了yes，则停止发问，我们可以说从A到B的最短路径就是k。
如果一个判定性问题的复杂度是该问题的一个实例的规模n的多项式函数，则我们说这种可以在多项式时间内解决的判定性问题属于P类问题。
P类问题就是所有复杂度为多项式时间的问题的集合.然而有些问题很难找到多项式时间的算法(或许根本不存在)，比如找出无向图中的哈米尔顿回路问题，但是我们发现如果给了我们该问题的一个答案，我们可以在多项式时间内判断这个答案是否正确。
比如说对于哈米尔顿回路问题，给一个任意的回路，我们很容易判断他是否是哈米尔顿回路（只要看是不是所有的顶点都在回路中就可以了)。
这种可以在多项式时间内验证一个解是否正确的问题称为NP问题.显然,所有的P类问题都是属于NP问题的，但是现在的问题是,P是否等于NP?这个问题至今还未解决。
P与NP问题
P/NP问题P/NP问题是在理论信息学中计算复杂度理论领域里至今没有解决的问题，它被“克雷数学研究所”（Clay Mathematics Institute, 简称CMI）在千禧年大奖难题中收录。
P/NP问题中包含了复杂度类P与NP的关系。
1971年史提芬·古克(Stephen A. Cook) 和Leonid Levin 相对独立的提出了下面的问题,即是否两个复杂度类P和NP是恒等的（P=NP?）。
P和NP复杂度类P包含所有那些可以由一个确定型图灵机在多项式表达的时间内解决的问题；类NP由所有其肯定解可以在给定正确信息的多项式时间内验证的决定问题组成，或者等效的说，那些解可以在非确定图灵机上在多项式时间内找出的问题的集合。
很可能，计算理论最大的未解决问题就是关于这两类的关系的:P和NP相等吗?在2002年对于100研究者的调查，61人相信答案是否定的，9个相信答案是肯定的，22个不确定，而8个相信该问题可能和现在所接受的公理独立，所以不可能证明或证否。
[1] 对于正确的解答，有一个,000,000美元的奖励。
NP-完全问题(或者叫NPC)的集合在这个讨论中有重大作用，它们可以大致的被描述为那些在NP中最不像在P中的。
(确切定义细节请参看NP-完全)理论计算机科学家现在相信P, NP,和NPC类之间的关系如图中所示，其中P和NPC类不交。
假设P ≠ NP的复杂度类的图解.如P = NP则三个类相同.本质上，P = NP问题问道：如果是/不是问题的正面答案可以很快验证，其答案是否也可以很快计算？这里有一个给你找点这个问题的感觉的例子。
给定一个大数Y,我们可以问Y是否是复合数。
例如，我们可能问53308290611是否有非平凡的因子。
回答是肯定的，虽然手工找出一个因子很麻烦。
从另一个方面讲，如果有人声称答案是"对，因为224737可以整除53308290611",则我们可以很快用一个除法来验证。
数学建模背包问题
背包问题背包问题(Knapsack problem)是一种组合优化的NP 完全问题。
问题可以描述为：给定一组物品，每种物品都有自己的重量和价格，在限定的总重量内，我们如何选择，才能使得物品的总价格最高。
问题的名称来源于如何选择最合适的物品放置于给定背包中。
相似问题经常出现在商业、组合数学，计算复杂性理论、密码学和应用数学等领域中。
也可以将背包问题描述为决定性问题，即在总重量不超过W 的前提下，总价值是否能达到V ？它是在1978年由Merkel 和Hellman 提出的一、定义：背包问题属于组合优化问题，一般的最优化问题由目标函数和约束条件两部部分组成：我们有n 种物品，物品i 的重量为w i ，价格为p i 。
我们假定所有物品的重量和价格都是非负的。
背包所能承受的最大重量为W 。
如果限定每种物品只能选择0个或1个，则问题称为0-1背包问题。
可以用公式表示为：1max ni i i p x =∑1..,ni i i S T w x W =≤∑ {}0,1i x ∈如果限定物品i 最多只能选择b i 个，则问题称为有界背包问题。
可以用公式表示为：1max ni i i p x =∑1..,n i i i S T w xW =≤∑ {}0,1,,i i x b ∈⋅⋅⋅如果不限定每种物品的数量，则问题称为无界背包问题。
各类复杂的背包问题总可以变换为简单的0-1背包问题进行求解。
二、基本模型的建立方法1、0-1背包问题的数学模型（最基础的背包问题）分类：0-1背包问题简单分为一维背包和二维背包问题。
特点：每种物品仅有一件，可以选择放或不放。
1.1 一维背包问题问题：一个旅行者准备进行徒步旅行，为此他必须决定携带若干物品。
设有n 件物品可供他选择，编号为1,2,...,n 第i 件物品重量为i w 千克，价值为i p 元，他能携带的最大重量为w 千克。
他应该装入哪几件物品价值最大。
解：引入变量i x ，且设1,(1,2,,)0,i i x i n i ⎧==⎨⎩表示将第种物品装入包中表示不将第种物品装入包于是此问题的数学模型为：1max ni i i f p x ==∑1122.....01,1,2,...,.n n iw x w x w x W S T x i n +++≤⎧⎨==⎩或 1.2 二维背包问题一维背包问题只考虑了背包重量的限制，如果再增加背包体积的限制为V ，并设第i 件物品的体积i v ，问如何携带可使总价值最大。
NP完全问题(纯理论)
NP类问题举例—求真因子问题
国王： 顺序算法 宰相： 并行算法
是否所有的难解问题通过并行计算使其在多项式内可 解？
关于并行算法：当将一个问题分解到多个处理器上解 决时，由于算法中不可避免地存在必须串行执行的操 作，从而大大地限制了并行计算机系统的加速能力。
NP类问题举例—求真因子问题
阿达尔定律:串行执行操作仅占全部操作1%，解 题速度最多也只能提高一百倍。
以多项式作为分界函数？
原因有两个： 一、常见算法大致分为两类： 一类是多项式时间内可实现的 另一类需要指数时间（O(cn))
多项式时间算法的可实现性远大于指数时间算法。 （参见P8，表1.2)
以多项式作为分界函数？
二、多项式时间算法与计算模型无关 算法的研究依赖于计算模型。在不同类型计算模型 上实现算法，计算时间不同。
SATISFIABILITY∝p3-SATISFIABILITY
几个典型的NPC问题
图的着色问题(COLORING) 判定问题：COLORING 输入：无向图G=(V,E) 问题：是否可用ｋ种颜色为图Ｇ的顶点着色，使 得相邻顶点不会有相同颜色。
3-SATISFIABILITY∝pCOLORING
定义12.3 令П 是一个判定问题，如果： (1) П ∈NP； (2) 对NP中的所有问题П ′∈NP，都有 П ′∝pП ； 则称判定问题П 是NP完全 (NPC)的。
P类、NP类、NPC类问题关系
根据定义，可用如下图表示三者之间的关系：
NP
Ｐ
NPC
P类、NP类、NPC类问题关系
对NPC问题，有个重要性质 对NPC类中的一个问题，如果能够证明用多项式 时间的确定性算法来进行求解或判定，那么， NP中的所有问题都可以通过多项式时间的确定性 算法来进行求解或判定。
python在数学建模中常见算法及代码
python在数学建模中常见算法及代码在数学建模中，Python 是一种流行的编程语言，有许多用于解决不同数学建模问题的库和算法。
以下是一些在数学建模中常见的算法及其对应的 Python 代码示例：1.线性规划：•使用scipy库中的linprog函数：pythonfrom scipy.optimize import linprog c = [-3, 5] # 目标函数的系数 A = [[-1, 2], [4, 3]] # 不等式约束的系数 b = [8, 15] # 不等式约束的右侧值result = linprog(c, A_ub=A, b_ub=b) print("最小值:", result.fun) print("优化变量:", result.x)2.整数规划：•使用PuLP库：pythonfrom pulp import LpMaximize, LpProblem, LpVariable # 创建问题model = LpProblem(name="integer_programming_example",sense=LpMaximize) # 创建变量 x = LpVariable(name="x", lowBound=0, cat="Integer") y = LpVariable(name="y", lowBound=0, cat="Integer") # 添加目标函数和约束model += (2 * x + 4 * y <= 8, "constraint_1") model+= (5 * x + 3 * y <= 15, "constraint_2") model += (3 * x + 2 * y <= 7, "constraint_3") model += (4 * x + 2 * y <= 8, "constraint_4") model += (x + y >= 3, "constraint_5") model += 4 * x + 6 * y # 目标函数 # 解决问题model.solve() print("最优值:", model.objective.value()) print("最优解:") for var in model.variables(): print(f"{}: {var.value()}")3.数值积分：•使用scipy库中的quad函数：pythonfrom scipy.integrate import quad def integrand(x): return x**2 result, error = quad(integrand, 0, 1) print("数值积分结果:", result)这只是数学建模中一些常见问题的示例，具体问题和应用场景可能需要不同的算法和工具。
谈一谈如何理解NP问题
谈⼀谈如何理解NP问题⼀概念引⼊1.1时间复杂度在计算机处理⼀个问题时，往往需要⼀定的时间，假设把这个问题复杂化（将这个问题进⾏扩展），那么把计算机处理这类问题的时间变化速率，称为解决这种问题所⽤算法的时间复杂度。
例如，⼀个枚举⼀定范围内的数字的问题，计算机所⽤时间会随着范围的变化⽽线性变化，由于是简单的枚举，所以时间复杂度可以记为O(n)，n可以代表这个范围⼤⼩。
在计算机处理问题时，由于算法设计不同，对应的时间复杂度也不⼀定相同。
1.2多项式级时间和⾮多项式级时间在众多的时间复杂度中，根据其表达式的特点，可以⼤致将它们划分为两个范畴，⼀个是多项式级⼀个是⾮多项式级。
它们各⾃表⽰什么意思呢？还记得⾼中数学中学习的函数吗，在学习不同函数时，最常做的⼀件事是观察它们的图像变化，可以发现，x作为底数的图像和x作为指数的图像在后期的变化简直有天壤之别。
这也正是需要将时间复杂度划分的原因（多项式级的时间复杂度在后期变化远⼩于⾮多项式级），将n作为底数的时间复杂度归为多项式级，n作为指数的归为⾮多项式级。
例如O(n)、O(log(n))、O(n^a)等就是多项式级的时间复杂度，像O(n!)和O(a^n)就是⾮多项式级的复杂度。
对于计算机来说需要处理的问题往往是很庞⼤的，如果采⽤⾮多项式级复杂度的算法，那么将浪费很⼤的资源。
1.3 P问题在解释了多项式级和⾮多项式级时间复杂度之后，P问题的概念就简单了。
对于众多的问题，通常把能够使⽤多项式级时间复杂度算法解决的问题称为P问题。
⼆什么叫NP问题2.1 约化⼀般，问题A可以约化为问题的B的解释是可以⽤解决问题B的⽅法解决问题A。
简单的说，也就是问题A是问题B的另⼀种形式，且问题A的复杂程度要⼩于等于问题B。
就像解⽅程组的问题，假如你会解⼆元⼀次⽅程组，那么你⼀定会解⼀元⼀次⽅程，在这个例⼦中，⼀元⼀次⽅程就是问题A，⼆元⼀次⽅程组就是问题B，问题A可以看作是问题B中另⼀个⾃变量系数为零的特殊“⼆元⼀次⽅程组”。
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涉及组合优化的数学建模竞赛题
• • • • • • 美国，扫雪问题、平板车装车 1993年，足球队排名 1994年，锁具装箱问题 1997年，截断切割问题 1998年，灾情巡视路线 2000年，钢管的订购与运输
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1990 MCM B: Snowplow Routing
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1.2 图与网络 – 例
a5
a2 v1
a1
a3
v2
a4
v3 a6
v4
v5
图G=(V，A)，其中顶点集V= {v1 , v 2 , v3 , v 4 , v5 } 弧集A= {a1 , a 2 , a3 , a 4 , a5 , a 6 } 弧 a1 = ( v1 , v 2 ) a = ( v , v ) a = ( v , v )
•运筹学（Operatio运筹学
6
运筹数学（ 运筹数学（Mathematics of OR） ）
最优化( 最优化 数学规划)
•
连续优化(数学规划) 连续优化(数学规划)：
数学规划（线性规划、非线性规划）、非光滑优化、 数学规划（线性规划、非线性规划）、非光滑优化、 ）、非光滑优化 全局优化、 全局优化、锥优化等 • 离散优化：网络优化、组合优化、整数规划等 离散优化：网络优化、组合优化、 • 不确定规划：随机规划、模糊规划等 不确定规划：随机规划、
• The solid lines of the map (see Figure 1) represent paved two-lane county roads in a snow removal district in Wicomico County, Maryland [figure omitted]. The broken lines are state highways. After a snowfall, two plow-trucks are dispatched from a garage that is about 4 miles west of each of the two points (*) marked on the map. Find an efficient way to use the two trucks to sweep snow from the county roads. The trucks may use the state highways to access the county roads. Assume that the trucks neither break down nor get stuck and that the road intersections require no special plowing techniques.
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1.1网络优化问题的例子 网络优化问题的例子
稳定婚配问题( 例 稳定婚配问题(Stable Marriage Problem) ) 假设有n个男人和 个女人 每人都希望从n个异性中选择一位 假设有 个男人和n个女人 每人都希望从 个异性中选择一位 个男人和 个女人, 自己的配偶. 假设每人都对n个异性根据自己的偏好进行了排 自己的配偶 假设每人都对 个异性根据自己的偏好进行了排 以此作为选择配偶的基础. 当给定一种婚配方案(即给每人 序, 以此作为选择配偶的基础 当给定一种婚配方案 即给每人 指定一个配偶)后 指定一个配偶 后 , 如果存在一个男人和一个女人不是互为配 但该男人喜欢该女人胜过其配偶, 偶, 但该男人喜欢该女人胜过其配偶 且该女人喜欢该男人也 胜过其配偶, 则该婚配方案称为不稳定的. 胜过其配偶 则该婚配方案称为不稳定的 安排稳定的婚配方 案的问题称为稳定婚配问题 稳定婚配问题。 案的问题称为稳定婚配问题。
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1.1网络优化问题的例子 网络优化问题的例子
•特点： 特点： 特点 有关， （1）与图形有关，或易于用 ） 图形有关 图形方式表示 （2）优化问题：从若干可能 问题： ）优化问题 的安排或方案中寻求某种意义 下的最优安排或方案 •《网络优化》或《网络流》（Network Flows) 《网络优化》 网络流》 或《网络规划》（Network Programming) 网络规划》 • 与图论课程的联系与区别
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1988 B - Packing Railroad Flatcars
• Two railroad flatcars are to be loaded with seven types of packing crates. The crates have the same width and height but varying thickness (t, in cm) and weight (w, in kg). Table 1 gives, for each crate, the thickness, weight, and number available [table omitted]. Each car has 10.2 meters of length available for packing the crates (like slices of toast) and can carry up to 40 metric tons. There is a special constraint on the total number of C_5, C_6, and C_7 crates because of a subsequent local trucking restriction: The total space (thickness) occupied by these crates must not exceed 302.7 cm. Load the two flatcars (see Figure 1) so as to minimize the wasted floor space [figure omitted].
指派问题(Assignment Problem) 例1.4 指派问题 一家公司经理准备安排N名员工去完成 项任务，每人一项. 一家公司经理准备安排 名员工去完成N项任务，每人一项 名员工去完成 项任务 由于各员工的特点不同， 由于各员工的特点不同 ， 不同的员工去完成同一项任务时 所获得的回报是不同的. 所获得的回报是不同的 如何分配工作方案可以使总回 报最 大？
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1.1网络优化问题的例子 网络优化问题的例子
运输问题(Transportation Problem) 例1.3 运输问题 某种原材料有M个产地，现在需要将原材料从产地运往N个 某种原材料有 个产地，现在需要将原材料从产地运往 个 个产地 使用这些原材料的工厂. 假定M个产地的产量和 个产地的产量和N家工厂的 使用这些原材料的工厂 假定 个产地的产量和 家工厂的 需要量已知， 需要量已知 ， 单位产品从任一产地到任一工厂的的运费已 那么如何安排运输方案可以使总运输成本最低？ 知，那么如何安排运输方案可以使总运输成本最低？
a 4 = (v 3 , v 4 )
a5 = (v 4 , v1 )
2
1
2
a 6 = (v 3 , v 3 )
3
2
3
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1.2 图与网络 – 基本概念
•弧的端点(Endpoint)，尾(Tail)，头(Head)； •顶点相邻(Adjacent)，邻居(Neighbor)； •弧与顶点关联 (Incident)，出弧(Outgoing Arc)，入弧 (Incoming Arc)； •弧相邻 (Adjacent)； •环 (Loop)，孤立点(Isolated Vertex)； •图的阶(Order) •顶点的度（Degree），出度，入度，奇点，偶点 没有环、且没有多重弧的图称为简单图(Simple Graph)
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目的：设计有效算法解决 NP困难问题 特点：条件较明确 建立不同类型的模型 针对建立的模型，设计有效的算 法进行求解
5
组 合 优 化
• 网络：数学模型、数学结构 ---- 图 网络：数学模型、 •网络优化就是研究与（赋权）图有关的最优化问题 网络优化就是研究与 赋权） 网络优化就是研究
从若干可能的安排或方案中寻求某种意义下的最优安排或方 数学上把这种问题称为（ 案，数学上把这种问题称为（最）优化 (Optimization) 问题
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1.1网络优化问题的例子 网络优化问题的例子
中国邮递员问题(CPP-Chinese Postman Problem) 例1.5 中国邮递员问题 一名邮递员负责投递某个街区的邮件. 如何为他( 一名邮递员负责投递某个街区的邮件 . 如何为他 ( 她 ) 设计 一条最短的投递路线(从邮局出发， 一条最短的投递路线(从邮局出发，经过投递区内每条街道 至少一次，最后返回邮局) 由于这一问题是我国管梅谷 管梅谷教 至少一次，最后返回邮局)？由于这一问题是我国管梅谷教 1960年首先提出的 所以国际上称之为中国邮递员问题. 年首先提出的， 授1960年首先提出的，所以国际上称之为中国邮递员问题. 旅行商问题/货郎 货郎（ 例1.6 旅行商问题 货郎（担）问题 (TSP-Traveling Salesman Problem) 一名推销员准备前往若干城市推销产品. 如何为他( 一名推销员准备前往若干城市推销产品 . 如何为他 ( 她 ) 设 计一条最短的旅行路线(从驻地出发， 计一条最短的旅行路线(从驻地出发，经过每个城市恰好一 最后返回驻地) 这一问题的研究历史十分悠久， 次，最后返回驻地)？这一问题的研究历史十分悠久，通常 称之为旅行商问题. 称之为旅行商问题.
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1.2 图与网络 – 定义
•定义 一个有向图 定义1.1 一个有向图(Directed Graph 或 Digraph) G是由一个 定义 是由一个 非空有限集合V(G)和V(G)中某些元素的有序对集合 中某些元素的有序对集合A(G)构成 非空有限集合 和 中某些元素的有序对集合 构成 的二元组，记为有向图G=(V(G)，A(G)). 其中 其中V(G) 称为图 称为图G 的二元组，记为有向图 ， 的顶点集(Vertex Set)或节点集 或节点集(Node Set)，V(G)中的每一个 的顶点集 或节点集 ， 中的每一个 元素称为该图的一个顶点(Vertex)或节点 或节点(Node)； A(G)称为 元素称为该图的一个顶点 或节点 ； 称为 的弧集(Arc Set)，A(G)中的每一个元素 即V(G)中某两个 中的每一个元素(即 图G的弧集 的弧集 ， 中的每一个元素 中某两个 元素的有序对) 元素的有序对 称为该图的一条从到的弧 (Arc). 在不引起混 淆的情况下，记号V(G)和A(G)中也可以省略 ，即分别记顶 中也可以省略G， 淆的情况下，记号 和 中也可以省略 点集、弧集为V和 ，而记有向图G=（ ， ） 点集、弧集为 和A，而记有向图 （V，A）. 如果对有向图G中的每条弧赋予一个或多个实数， 如果对有向图 中的每条弧赋予一个或多个实数，得 中的每条弧赋予一个或多个实数 到的有向图称为赋权有向图或有向网络, 到的有向图称为赋权有向图或有向网络 简称为网络 (Network).