数学建模关于运转问题
运输问题的数学模型例题
运输问题的数学模型例题运输问题是指在运输过程中，如何最优地分配资源，使得运输成本最小，运输效率最高。
运输问题的数学模型包括最小化成本、最大化效益等多种形式。
下面我们来看一个例题。
问题描述：某物流公司有3个仓库和4个客户，每个仓库和客户之间的距离已知。
现在需要将货物从仓库运送到客户，每个客户需要的货物量也已知。
假设每个仓库的货物量都足够满足所有客户的需求，如何安排运输方案，使得总运输成本最小？解题思路：我们可以用线性规划来解决这个问题。
设每个仓库和客户之间的运输量为$x_{ij}$，其中$i$表示仓库编号，$j$表示客户编号。
则总运输成本可以表示为：$$%min %sum_{i=1}^3%sum_{j=1}^4 c_{ij}x_{ij}$$其中$c_{ij}$表示从仓库$i$到客户$j$的单位运输成本。
同时，对于每个客户$j$，要求其所需货物量$q_j$必须满足：$$%sum_{i=1}^3 x_{ij}=q_j$$对于每个仓库$i$，要求其供应的货物量$y_i$必须满足：$$%sum_{j=1}^4 x_{ij}=y_i$$另外，由于$x_{ij}$必须非负，所以还要满足：$$x_{ij}%geq 0$$综上所述，我们可以得到如下线性规划模型：$$%min %sum_{i=1}^3%sum_{j=1}^4 c_{ij}x_{ij}$$$$s.t.% %sum_{i=1}^3 x_{ij}=q_j,% j=1,2,3,4$$$$% % % % % % % % % %sum_{j=1}^4 x_{ij}=y_i,% i=1,2,3$$ $$% % % % % % % % % x_{ij}%geq 0,% i=1,2,3,% j=1,2,3,4$$这是一个标准的线性规划模型，可以用常见的线性规划求解器求解。
求解结果就是每个仓库和客户之间的运输量$x_{ij}$，以及总运输成本。
总结：运输问题是一个常见的优化问题，在实际生产和物流中经常会遇到。
数学建模练习：计算机模拟公共汽车的运行情况
计算机模拟公共汽车的运行情况某公共汽车站每隔30分钟到达一辆汽车，但可能有[0,3]分钟误差，此误差大小与前一辆汽车的运行无关。
汽车最多容纳50名旅客，到达该汽车站时车内旅客人数服从[20,50]的均匀分布，到站下车的旅客人数服从[3,7]的均匀分布，每名旅客下车的时间服从[1,7]秒的均匀分布。
旅客按照每30分钟到达12个人的泊松分布到达汽车站，单队排列等车，先到先上，如果某位旅客未能上车，他不再等候。
旅客上车时间服从[4,12]秒的均匀分布。
上下车的规则是：先下后上，逐个上车，逐个下车。
假设每天共发车25辆，现在要求模拟30天汽车的运行情况，了解平均一天中在站内等候汽车的总人数、能上车及不能上车的人数、旅客排队时间分布情况、不能上车人数的分布情况。
参考解答思路：摘要计算机模拟式一般是一种能用来帮助企业经理在不确定条件下进行决策的方法。
对于复杂的随机事件系统，无法用数学计算直接进行求解，为此我们可以在计算机上进行模拟仿真，一般以时间作为变量，其他作为因变量。
本题是属于离散型的模拟，该模拟中的时间表示为整数序列，只考虑系统在这些时刻上的状态变化。
该问题是关于排队等汽车的问题，属于排队服务问题，可以采用下次事件法(也就是下次时间作为时间的起始时刻)，使用计算机进行模拟。
为了使模型简单，我们假设所有等车的旅客都是同一时刻到达车站等车，则等车总时间为旅客到达时刻与上一辆汽车离开时刻的时间差，再加上旅客上车和下车的总时间。
在模型的建立过程中，先用MATLAB软件创建数据。
这里由于题目中的数据都给了，所以对于均匀分布和泊松分布，我们可以直接调用MATLAB软件中的unifrnd函数和poissrnd函数进行模拟。
在模型的求解部分，先用建立的模型模拟一天中等车总人数、能上车人数、未上车人数、平均等待时间的情况，然后用类似的方法对三十天的数据进行模拟求解，得出结论。
关键词：下次法、离散、MATLAB问题重述（略）问题分析该问题是关于排队等汽车的问题，属于排队服务问题，可以采用下次事件法，使用计算机进行模拟。
产品运输问题的数学建模
产品运输问题的数学建模引言在如今的全球化经济中，产品运输是一个重要的环节。
为了提高运输效率和降低成本，数学建模可以被应用于解决产品运输问题。
本文将介绍一种常用的数学建模方法，以解决产品运输过程中可能遇到的问题。
问题描述在产品运输过程中，存在多种问题需要解决。
一些常见问题包括：1. 运输路线的选择：如何选择最优的运输路线，以最大程度地降低运输时间和成本？2. 仓库位置优化：如何确定最佳仓库位置，以便距离供应商和客户的距离最短？3. 货物配送：如何合理调度货物的配送，以最大化货物利用率和降低配送时间？数学建模方法为了解决上述问题，我们可以使用数学建模方法。
以下是一种常用的数学建模方法，用于解决产品运输问题：1. 网络图建模：将运输路线、仓库和客户等元素表示为网络图。
每个节点代表一个地点，边代表运输路径。
2. 节点权重设置：设置每个节点的权重，代表该地点的运输成本或距离。
3. 线性规划模型：建立线性规划模型，以最小化总运输成本或距离为目标函数，并考虑到货物需求和运输能力等约束条件。
4. 模型求解：使用优化算法求解线性规划模型，得出最优的运输路线和仓库位置。
实例分析为了更好地理解数学建模方法的应用，我们将以一个产品运输的实例进行分析。
假设有一个公司需要将产品从两个供应商运输到三个客户。
每个供应商的产品需求量和每个客户的需求量已知。
为了降低运输成本，我们需要选择最佳的运输路线和仓库位置。
通过将供应商、客户和运输路径表示为网络图，并采用线性规划模型，我们可以得出最佳的运输方案，包括供应商到仓库的路线和仓库到客户的路线，以及最佳的仓库位置。
结论通过数学建模方法，我们可以有效地解决产品运输问题。
这种方法能够帮助我们选择最优的运输路线和仓库位置，以降低运输成本和提高效率。
然而，需要注意的是，每个具体的产品运输问题都有其特定的约束和限制。
在实际应用中，需要根据具体情况进行调整和优化数学建模方法。
因此，在解决产品运输问题时，我们应该灵活运用数学建模方法，结合实际情况，以达到最佳的解决方案。
数学建模 货运列车编组运输问题
2016高教社杯全国大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参赛规则》（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载）。
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。
我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： B 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：所属学校（请填写完整的全名）：许昌学院参赛队员 (打印并签名) ：1. 徐晨曦2. 陈永生3. 刘志宽指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)：（论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致，只是电子版中无需签名。
以上内容请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改。
如填写错误，论文可能被取消评奖资格。
）日期： 2016 年 8 月 27 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2016高教社杯全国大学生数学建模竞赛编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：货运列车编组运输问题摘要对于这次我们需要求的货车编组运输，通过不同的情况制定最佳运送方案。
对于问题一，我们首先确定的是以运输货物最多，运输总量最小为目标函数的双目标优化问题，这里我们首先是将复杂的B类货物单独的分开来，看成是两种类型的货物，我们为了简化运算我们先针对单个目标数量最多对其进行优化求解，用lingo软件得出数量最多为24，分别有几组数据，然后在以数量为最多的条件下为约束，求取另一个目标总重量最小，用lingo分析得出其中最小的总重量为179吨，然后再将两者的求得结果相互结合得出，数量最多为24的情况下，总重量最小为179吨。
物流中转运问题的数学模型及其excel求解方法
物流中转运问题的数学模型及其excel求解方法物流中转运问题是指在不同运输工具之间的货物运输过程中,需要将货物从一个地点转移到另一个地点的问题。
这些问题通常涉及到多个运输工具之间的路径规划、货物分配和风险管理等方面的问题。
在物流中,转运问题通常会涉及到多个因素,例如货物的重量、体积、运输工具的类型和距离等。
因此,对于转运问题,建立一个数学模型是非常重要的。
数学模型可以帮助我们更好地描述问题,并计算出解决方案。
在物流中,常用的转运模型包括线性规划、整数规划、遗传算法等。
这些模型可以帮助我们计算出最优的运输路径和货物分配方案,从而提高物流效率和利润。
在Excel中,我们可以使用一些内置函数和工具来求解物流中转运问题的数学模型。
例如,我们可以使用VLOOKUP函数来查找运输工具的名称和距离,使用IF函数来判断运输工具是否可用,使用数组公式来计算货物的重量和体积等。
Excel作为一款常用的电子表格软件,可以帮助我们高效地处理物流中转运问题。
通过使用内置函数和工具,我们可以快速计算出最优的运输路径和货物分配方案,从而提高物流效率和利润。
在实际应用中,我们还可以结合机器学习和人工智能等技术,进一步提高物流中转运问题的求解效率和准确性。
例如,我们可以使用自然语言处理技术来生成预测模型,使用深度学习算法来优化模型的决策过程等。
物流中转运问题的数学模型和Excel求解方法可以帮助我们更好地规划和管理物流网络,从而提高物流效率和利润。
随着机器学习和人工智能技术的不断发展,我们期待能够在未来看到更加智能化的物流解决方案。
物流中转运问题的数学模型及其excel求解方法
物流中转运问题的数学模型及其excel求解方法物流中转运问题是指在物流运输过程中，需要从多个起点运送货物到不同的终点，通过中转站进行货物的转运和重新分配的问题。
这种问题在现实生活中广泛存在，尤其是在大规模企业的供应链管理中。
为了解决物流中转运问题，数学模型被广泛应用。
其中，最常见的数学模型包括最小费用流模型、整数规划模型和网络流模型等。
这些模型可以帮助物流管理者优化中转站的布局，最小化物流成本，并满足货物运输的要求。
最小费用流模型是一种常用的数学模型，它将物流问题转化为寻找一种流量网络中最小费用的流量分配方案的问题。
通过建立中转站、起点和终点之间的联系网络，确定流量的限制条件和费用，可以使用线性规划方法进行求解。
整数规划模型则更加灵活，可以允许决策变量为整数值。
通过将物流问题转化为一个目标函数和一组约束条件的数学表达式，可以使用整数规划求解器进行求解。
这种方法能够更准确地模拟实际情况，但是计算复杂度较高。
网络流模型是一种可以用来解决物流中转运问题的经典模型之一。
它将物流网络表示为一个有向图，节点表示物流的起点、终点和中转站，边表示节点之间的运输路径。
通过将货物流动建模为图中的流量，并设置流量的上下限等约束条件，可以使用网络流算法进行求解。
在实际应用中，为了便于求解数学模型，可以使用Excel等电子表格软件提供的求解器工具。
求解器是一种优化技术，可以通过最小化目标函数或满足一组约束条件来找到最优解。
通过将物流问题抽象为数学模型，并在Excel中建立相应的目标函数和约束条件，即可使用求解器工具进行求解。
使用Excel求解物流中转运问题时，首先需要在电子表格中建立一个模型，将相关数据输入表格中的相应单元格。
然后，选择求解器工具，并设置目标函数、约束条件和求解的参数。
最后，运行求解器，即可得到最优解和相应的决策变量值。
在求解过程中，可以根据实际情况对模型进行调整和优化，以获得更好的结果。
同时，也可以通过增加额外的约束条件或修改目标函数来考虑其他因素，如运输时间、货物的重量和体积等。
《数据、模型与决策》第6节：运输、转运与指派问题
第6章运输、转运与指派问题第6章运输、转运与指派问题6.1 运输问题6.1.1 运输模型6.1.2 QM for Windows求解6.2 转运问题6.2.1 转运模型6.3 指派问题6.3.1 指派模型6.3.2 QM for Windows求解6.3.3 课本后的练习题本章节主要介绍三种特殊的线性规划模型——运输问题、转运问题和指派问题，这些问题都属于一大类线性规划问题，即网络流问题。
由于这些问题是线性规划的常见应用之一，所以我们专门用一章来研究这些问题。
6.1 运输问题在社会经济生活中，经常会碰到大宗物资的调运问题。
如煤，钢铁、木材、粮食等，在全国有若干生产基地，根据已有的交通网络，制定调运方案，将这些物资运到各个消费地点，这样调运的目的，不仅是要把这些物资供给各地消费，而且我们也希望调运的费用最省，这类问题就是所谓的运输问题。
6.1.1 运输模型运输模型适用于具有如下特征的一类问题：1. 一种产品以尽可能低的成本从多个产地运输到多个目的地2. 每一产地可以供应固定数量的产品，并且每一目的地有固定的的产品需求量例1：小麦种植于中西部，储存于位于以下3个不同城市的谷物仓库：堪萨斯，奥马哈，和得梅因。
这3个谷物仓库供应3个分别位于芝加哥、圣路易斯、和辛辛那提的面粉厂。
采用火车将谷物运输至面粉厂，每一火车车皮最多可装载1吨小麦。
每个谷物仓库每月向面粉厂供应小麦的最大量如下表所示：谷物仓库供应量（吨）1.堪萨斯1502.奥马哈1753.得梅因275总计600每个面粉厂每月的小麦需求量如下表所示：较大的一方取不到等号，如需求量较大，则需求不一定都被满足；供给较大，则不一定都供给完。
对于含限制性通行的情况，即该路径不含通过量（不定义该参数 or 大M法）6.1.2 QM for Windows求解选中“Transportation”模块，设置流量来源和目的地；输入供给量和需求量，以及供给点和需求点之间的运输成本；6.2 转运问题转运问题是运输模型的扩展形式，它包含了产地和目的地之间的之间转运节点。
数学建模地铁线路运营管理
数学建模地铁线路运营管理简介地铁作为一种重要的城市交通工具，对于城市的运输和流动起着关键的作用。
地铁线路运营管理是一项具有挑战性的任务，需要综合考虑乘客流动、列车运行和地铁线路的复杂性。
数学建模可以为地铁线路运营管理提供有力的工具和方法。
数学建模在地铁线路运营管理中的应用1.乘客流量预测–数学建模可以通过分析历史数据和当前情况，对未来的乘客流量进行预测。
–基于乘客流量的预测结果，地铁运营管理者可以采取相应的措施，如增加或调整车次和列车的运行频率。
–这样可以提高地铁的运行效率，减少拥堵和延误。
2.列车调度优化–数学建模可以帮助地铁运营管理者优化列车的调度方案。
–通过考虑列车在不同站点停靠的时间、乘客上下车的时间以及列车之间的运行间隔，可以制定最合理的列车调度方案。
–这可以最大程度地提高列车运行的效率，减少乘客的等待时间和拥堵。
3.地铁线路设计和优化–数学建模可以帮助地铁运营管理者进行地铁线路的设计和优化。
–通过建立数学模型，可以确定地铁线路的最佳路径、站点的布局以及车站之间的距离。
–这可以最大限度地减少乘客的换乘次数和时间，提高地铁线路的运行效率。
数学建模在地铁线路运营管理中的挑战1.数据的收集和处理–地铁线路运营管理涉及大量的数据，包括乘客流量、列车运行时间、站台拥堵情况等。
–收集和处理这些数据是一项困难而繁琐的任务，需要运用数学建模方法进行数据分析和处理。
2.模型的建立和求解–地铁线路运营管理涉及多个因素的综合考虑，这使得建立合适的数学模型变得复杂而困难。
–模型的求解也需要运用各种数学方法和优化算法。
3.可行性和可行解的获得–地铁线路运营管理需要考虑多个目标的优化，如乘客的等待时间、列车的运行效率和拥堵情况等。
–在多目标优化中，获得可行解并找到最优解是一项具有挑战性的任务。
结论数学建模在地铁线路运营管理中发挥了重要的作用。
通过数学建模，可以对乘客流量进行预测，优化列车的调度方案以及设计和优化地铁线路。
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10
字数不少于 2000 字，不超过 15000 字
5
总分
100
指导教师评语：
指导教师签名： 年月日
7
我们认为数学建模的发展前景只要利用得当将是个奇迹。 我们通过对题目的综合分析，并利用 LINGO 软件得到最优方案，如表所示：
A
B
1
2
3
4
x
8
0
3
5
0
0
y
1
3
0
0
4
0
z
0
5
0
0
0
5
关键字：转运问题，总运费，综合分析，处理，建模
1
一、问题重述
（转运问题）设有两个工厂 A、B,产量分别为 9，8 个单位；四个顾客分别为 1，2，3，4，需求量分别为 3，5，4，5；三个仓库分别为 x,y,z.其中工厂到仓 库、仓库到顾客的运费单价见下表所示。试求总运费最少的运输方案以及总运费。
x11 + x12 + x13 =9;
x21 + x22 + x23 =8;
x31 + x32 + x33 =3;
x41 + x42 + x43 =5;
x51 + ห้องสมุดไป่ตู้52 + x53 =4;
x61 + x62 + x63 =5;
x11 + x21 = x31 + x41 + x51 + x61 ;
x12 + x22 = x32 + x42 + x52 + x62 ;
根据以上建立的模型， 将上述模型经过 LINGO 软件编程得到最优方案： min= x11 +3* x21 +5* x31 +7* x41 +100* x51 +100* x61 +2* x12 + x22 +9* x32 +6* x42 +7* x52 +1
00* x62 +100* x13 +2* x23 +100* x33 +6* x43 +7* x53 +4* x63 ;
Row 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Value 8.000000 0.000000 3.000000 5.000000 0.000000 0.000000 1.000000 3.000000 0.000000 0.000000 4.000000 0.000000 0.000000 5.000000 0.000000 0.000000 0.000000 5.000000
班级： 083116
学号： 08311615 、 08311601 、 08311630
课程设计题目：
项目内容
满分
实 评
能结合所学课程知识、有一定的能力训练。符合选题要求 选 （3 人一题）
5
题 工作量适中，难易度合理
10
能熟练应用所学知识，有一定查阅文献及运用文献资料能力
10
能 力
理论依据充分，数据准确，公式推导正确
Dual Price -1.000000 -2.000000 -1.000000 -4.000000 -6.000000 -7.000000 -5.000000 1.000000 0.000000 -1.000000
6
附件二:论文评分表
东华理工大学长江学院
课程设计评分表
学生姓名： 刘利民 、 曹维 、 于鑫磊
x21 . x22 . x23 。
假设 2：第三轮从仓库 x 运输到顾客 1，2，3，4 的量分别为 x31 . x41 . x51 . x61 ，
第四轮从仓库 y 运输到顾客 1，2，3，4 的量分别为 x32 . x42 . x52 . x62 ，第五轮从
仓库 z 运输到顾客 1，2，3，4 的量分别为 x33 . x43 . x53 . x63 。 4.计算机 LINGO 软件实现
10
水 能应用计算机软件进行编程、资料搜集录入、加工、排版、制 平 图等
10
能体现创造性思维，或有独特见解
15
模型正确、合理，各项技术指标符合要求。
15
摘要叙述简练完整，假设合理、问题分析正确、数学用语准确、
成 结论严谨合理；问题处理科学、条理分明、语言流畅、结构严 15 果 谨、版面清晰
质 论文主要部分齐全、合理，符号统一、编号齐全。 格式、绘 量 图、表格、插图等规范准确，符合论文要求
A
B
1
2
3
4
x
1
3
5
7
100
100
y
2
1
9
6
7
100
z
100
2
100
6
7
4
A.B 两个工厂产量分别为 9，8 个单位，1，2，3，4 分别为四个顾客需求量 分别为 3，5，4，5；三个仓库分别为 x，y，z。其中工厂到仓库、仓库到顾客的 最少运费以及其最优运算方案。
二、分析
在实际转运问题中，转运使一个 复杂的实际操作问题。转运问题可理解为 从一个地点把货物运输到另一个地点，并且通过合理的安排使得运输的费用最 少。但在实际转运问题中，有许多种方案可以达到目的，为了使我们的总运费最 少以达到最大的赢利，所以我们必须经过综合的分析。
5
附录
lingo求解过程: Global optimal solution found.
Objective value: Infeasibilities: Total solver iterations:
121.0000 0.000000
9
Variable X11 X21 X31 X41 X51 X61 X12 X22 X32 X42 X52 X62 X13 X23 X33 X43 X53 X63
通过以上分析，我们对厂方有如下建议： （1） 厂家宜在公司建立自己的方案模型，尽量利用 LINGO 软件编程，得出 最优转运方案。 （2） 尽量改善以前不科学的方案，利用 LINGO 软件，使利润达到最大化。
六、模型的评价
我们的模型是建立在实验的基础上，由于实验数据会有数据误差，因此导出 的结果会有一定的不准确性，但我们的模型来源于实验，必然对实践有一定的指 导意义。
3
从 z 仓库运输到 4 顾客的产量为 5 个单位。 从以上得出最少的总运输费用为 121 元。
五、模型运用
我们建立的模型可以广泛应用到实际生产和生活中去，例如我们可以依据使 运费最少的思想，通过建立数学模型得到一种节约成本，使利润最大化的转运方 案，这样我们就可以避免盲目地进行转运，以至于花费太多运费而达不到利润最 大化的目的。在实际应用中，运输管理人员不可能完全按照我们的最优方案确切 地设置参数来进行有效运转，所以我们考虑在实际应用中给出几个模糊的可让用 户确定的参数范围放在控制面板中，以达到用户的满意程度和有效程度。
4 顾客需求量； x4 5
三、定义与符号说明
xi ：顾客需求量 x ：工厂分别运输到仓库运输的量
ij
2
四、模型建立域求解
为了建立工厂到仓库，仓库到顾客的运输量与运费单位之间的数学关系，根 据目前情况作出如下假设：
假设 1：第一轮从 A 工厂分别运输到三个仓库 x,y,z,设运输的量分别为： x11 . x12 . x13 ，第二轮 B 工厂分别运输到三个仓库 x,y,z,设运输的量分别为
长江学院 课程设计报告
课程设计题目： 转运问题
姓名 1：刘利民 学号：08311615
姓名 2：曹维
学号：08311601
姓名 3：于鑫磊 学号：08311630
专 业 ：材料成型
班 级 ： 083116
指导教师 ：张伟伟
10 年 10 月 28 日
摘要
本问题要求我们建立一种优选的方案去安排转运问题总运费最少的运输以 及总运费，关于转运问题的安排涉及的因素很多，主要有怎样运输，分别运多少 等问题。我们通过综合分析建立了转运问题合理性的目标函数，利用题目所给的 数据得出条摘要：本问题要求我们建立一种优选的方案去安排转运问题总运费最 件方程。我们利用 LINGO 软件编程对函数方程进行处理、建模、解模最终得到最 优方案。
4
参考文献
[1] 周义仓，赫孝良编. 数学建模实验[M]. 西安：西安交通大学出版社， 1999
[2] 西安交大近年参赛论文选编 赫孝良等[选编]. 数学建模竞赛赛题简 析 与论数学建模案例分析[M]. 北京：海洋出版社，2000
[3] 朱道元等. 数学建模案例精选[M]. 北京：科学出版社，2003 [4] 蔡锁章. 数学建模原理与方法[M]. 出版社： 出版日期：2000 年 6 月 第1版 [5] 沈继红等. 数学建模[M]. 哈尔滨：哈尔滨工程大学出版社，1998
Slack or Surplus 121.0000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000
Reduced Cost 0.000000 3.000000 0.000000 0.000000 92.00000 94.00000 0.000000 0.000000 5.000000 0.000000 0.000000 95.00000 97.00000 0.000000 97.00000 1.000000 1.000000 0.000000
x13 + x23 = x33 + x43 + x53 + x63 ; 结论：根据上述编程得到最优方案如下：
从 A 工厂运输到 x 仓库的产量为 8 个单位，到 y 仓库的产量为 1 个单位。 从 B 工厂运输到 y 仓库的产量为 3 个单位，到 z 仓库的产量为 5 个单位。 从 x 仓库运输到 1 顾客的产量为 3 个单位，到 2 顾客的产量为 5 个单位。 从 y 仓库运输到 3 顾客的产量为 4 个单位。