弧度制1

弧度制
一、复习回顾：
1、角度制规定：将一个圆周分成360份，每一份叫做1度，故一周等于360度，平角等于180度，直角等于90度等等.
2、在角度制下 360
n 180
2
r l r n S ππ=
=
扇扇
二、新课学习：
弧度制的定义
等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad 表示，读作弧度。

用弧度作单位来度量角的制度叫做弧度制。

在这种规定下，圆周长所对的圆心角为π2rad,半圆所对的圆心角为π rad ，︒90=2
π
rad,你能继续往下推吗？
请你填写书上第6页的表格。

注：1、一般地，正角的弧度数是一个正数（正实数），负角的弧度数是一个负数（负实数），零角的弧度数是零。

这里，α的正负由角α的终边的旋转方向决定。

2、用角度制和弧度制度量零角，单位不同，数量相同；用角度制和弧度制度量任一非零角，单位不同，数量也不同。

练习：请你填下列表格。

角度
0°
15°
45°
弧度
角度 90° 270°
弧度
更进一步，我们可以得到： '
185730.57)180
(
101745.0180
1180︒=︒≈︒=≈=
︒︒
=π
π
πrad rad rad rad
利用上面的方法，我们可以把任意一个角度转换成弧度，或将任意一个弧度转化成角度。

例：按照下列要求，把67°30′化成弧度。

1）精确值； 2）精确到0.001的近似值。

例：将3.14rad 转换成角度。

练习：书上第9页1、2题。

提问：当圆心角α一定时，它所对应的弧长与半径的比值是唯一确定的，与半径的大小无关，这句话对吗？为什么？
公式1：1)如果半径为r 的圆的圆心角α所对弧长为l ，那么，角α的弧度数的绝对值是r
l =
α.
2)若求弧长，则可变形为r l α=
3）若求半径，则可变形为α
l
r =
注：1、无论采用角度制或弧度制，都能使角的集合与实数集合R 存在一一对应关系：每一个角都对应唯一的一个实数。

2、弧度制的基本思想
弧度制的基本思想是使圆半径与圆周长有同一度量单位，然后用对应的弧长与圆半径之比来度量角度，这一思想的雏型起源于印度。

印度著名数学家阿利耶毗陀﹝476？-550？﹞定圆周长为21600分，相度地定圆半径为3438分﹝即取圆周率π3.142﹞，但阿利耶毗陀没有明确提出弧度制这个概念。

严格的弧度概念是由瑞士数学家欧拉﹝1707-1783﹞于1748年引入。

欧拉与阿利耶毗陀不同，先定半径为1个单位，那么半圆的弧长为π，此时的正弦值为0，就记为sin π= 0，同理，1/4圆周的弧长为π/2，此时的正弦为1，记为sin(π/2)=1。

从而确立了用π、π/2分别表示半圆及1/4圆弧所对的中心角。

其它的角也可依此类推。

3、弧度制的精髓
弧度制的精髓就在于统一了度量弧与半径的单位，从而大大简化了有关公式及运算，尤其在高等数学中，其优点就格外明显。

三、典型例题：
例：设角1570α=-°,2750α=°,1237,5
3
βπβπ=
=-
(1)将12,αα用弧度制表示出来，并指出它们各自所在的象限；
(2)将12,ββ用角度制表示出来，并在-720°～O °之间找出与它们有相同终边的所有角． 练习：把下列各角化成0～2π间的角加上2k πk ∈Z)的形式，并指出它们是哪个象限的角．
练习：角度与弧度互化： （1）
5
3π （2）3.5 （3）252º （4）11º15¹
例：利用弧度制证明扇形面积公式：lR R
S 2
12
12
=
=α扇
练习：扇形弧长为18 cm ，半径为12 cm ，求扇形面积．
练：一条弦的长度等于半径r ，求 1）这条弦所对的劣弧长？r π31
2）这条弦和劣弧所组成的弓形的面积。

2
)4
36
(
r -
π
练习：若一扇形的周长为60cm ，那么当它的半径和圆心角各为多少时，扇形的面积最大，最大值是多少？
例：已知扇形的周长是6cm ，面积是2cm 2,试求扇形的中心角的弧度数。

rad rad l r l r lr l r 41,224122
162==∴⎩⎨⎧==⎩⎨
⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧==+αα或或解： 练习：分别用角度制、弧度制下的弧长公式，计算半径为1 m 的圆中，60°的圆心角所对的
弧的长度。

例：写出终边在如图所示阴影部分的角的集合：
练习：写出终边在如图所示阴影部分的角的集合： 练习：下列说法错误的是 A ．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位 B ．1°的角是周角的
1360
，1 rad 的角是周角的
12π
C ．1 rad 的角比1°的角要大
D ．用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关 练习：若α是第二象限角，
则90°-α是第（ ）象限角。

例、根据条件写出α与β之间的关系式：
⑴ 两角的终边关于x 轴对称； ⑵ 两角的终边关于y 轴对称；
⑶ 两角的终边关于原点对称； ⑷ 两角的终边关于y=x 轴对称； ⑸ 两角的终边关于y= -x 轴对称。

四、基础自测
1、下列各式正确的是
A.180=π
B.14.3=π
C. rad 2
90π
=︒ D.π=rad 1
2、在不等的圆中，1rad 的圆心角所对的
A. 弦长相等
B. 弧长相等
C. 弦长等于所在圆半径
D. 弧长等于所在圆半径 3、将下列各角的弧度数化为角度数：
o
y x
π4
π3
π6
o
y
x
7π6
5π6
o
y
x
（1）=-
6
7π 度； （2）=-
3
8π 度 （3）1．4 = 度；
4、若扇形的半径为1，周长为π，则扇形的面积是
A. 2-π
B. 12
-π C. 1-π D. 2
π
5、集合⎭⎬⎫⎩
⎨⎧∈+=
=Z k k A ,2ππ
αα与⎭
⎬⎫⎩⎨⎧∈+±==Z k k B ,22ππ
αα的关系是 A.A=B B.B A ⊆ C.B A ⊇ D. 以上都不对
6、若Z k k ∈+=,3
ππ
α，则α是第 象限角。

7、把4
11π-
表示成πθk 2+（k ∈Z ）的形式，使θ最小的θ值是 .
8、已知一半径为R 的扇形，它的周长等于所在圆的周长，那么扇形的圆心角是多少弧度？合多少度？扇形的面积是多少？
9、已知{}Z k k k A ∈+≤≤=,)12(2παπα，{}44≤≤-=ααB ，则.____=⋂B A A.φ B. {}44≤≤-αα C. {}παα≤≤0 D. {}παα-≤≤-4{}πα≤≤⋃0∪ 10. 钟表分针长5cm ，经过20分钟，分针端点转过的弧长是（ ）
A.
cm 3
5π B.10cm C.cm 310
D. cm 3
10π 11、如图，用弧度制表示下列终边落在阴影部分的角的集合（不包括边界）．
12、角α的终边落在区间（－3π,－5
2
π）内,则角α所在象限是 （ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 13．将时钟的分针拨慢十分钟，则分针转过的弧度数为（ ） .
3
A π .3
B π-
.
5
C π .5
D π-
14、与角4
35π-终边相同的最小正角是 .
15、若6
-=α
，则α为第几象限角？。