中学数学思想方法

对a∈［-1，1］恒成立.
令g(a)=(x-1)a+x2+1.
g (1) x x 2 0, 则当且仅当 2 g ( 1 ) x x 0,
2
解之，得x≥0或x≤-1. 即实数x的取值范围是x≤-1或x≥0.
5、等与不等的转化与化归
例11 若f(x)是定义在R上的函数，对任意实数x都
例9 已知三条抛物线：y=x2+4ax-4a+3,y=x2+(a1)x+a2,y=x2+2ax-2a中至少有一条与x轴相交，求 实数a的取值范围.
三条抛物线中至少有一条与x轴相交的情况比较多，反
面为：三条抛物线与x轴都不相交，只有一种情况.
4、常量与变量的转化 例10 设f（x）是定义在R上的单调增函数，若 f（1-ax-x2）≤f（2-a）对任意a∈［-1，1］恒成 立，求x的取值范围. 因为f(x)是R上的增函数，
例12 若a、b是正数，且满足ab=a+b+3，求
ab的取值范围. 解 方法一 （看成函数的值域）∵ab=a+b+3， a3 a3 b , 而b 0, 0, a 1 a 1
即a>1或a<-3,又a>0, ∴a>1,故a-1>
a 3 (a 1) 2 5(a 1) 4 ab a a 1 a 1 4 (a 1) 5 9. a 1 4 a 1 , 即a=3时取等号. 当且仅当 a 1
∴ab的取值范围是［9，+∞）.
6、已知与求知的转化
例 13 已知函数f ( x)的定义域为R，且对任意的a, b R, 都有f a b f a f b , 且当x 0时，f x 0恒成立， 证明：函数f x 是R上的减函数．
数学模型 ，是针对或参照某种事物系统的主要特征、 主要关系，用形式化的语言，概括地或近似地表述出来 的一种数学结构。 数学模型方法 ，是把所考察的实际问题，化为数学 问题，构造相应的数学模型，通过对数学问题的研究， 使实际问题得以解决的一种数学方法。 例如：建立代数模型解决几何问题 （方程、函数等） 建立几何模型解决代数问题 ……
• 例1 求凸多边形的内角和
• 例2 掌握了一元一次方程之后，如何求解 二元一次方程组（加减消元法，代入消 元法）
• 例3 给你一个煤气灶、一个水龙头、一个空 水壶，让你烧一满壶开水，你应该怎么做？于是 回答：把空水壶放到水龙头底下，打开水龙头， 灌满一壶水，再把水壶放到煤气灶上，打开煤气 灶，把一满壶水烧开。那如果给你一个煤气灶、 一个水龙头、一个已装了半壶水的水壶，让你烧 一满壶开水，你应该怎么做？他说，物理学家这 时会回答，把装了半壶水的壶放到水龙头底下， 打开水龙头，灌满一壶水，再把水壶放到煤气灶 上，打开煤气灶，把一满壶水烧开。但是数学家 的回答是：把装了半壶水的水壶倒空，就化归为 刚才已解决的问题了
中小学数学思想方法
一、数学思想方法
所谓 数学思想，就是对数学的知识内容和所使用的方法的 本质认识，它是从某些具体数学认识过程中提炼和概括，而在 后继的认识活动中被反复证实其正确性，带有一般意义和相对 稳定的特征，是对数学规律的理性认识。
数学思想直接支配着数学的实践活动。
数学方法是解决问题的策略与程序，是数学思想具体化的 反映。 简言之，数学思想是数学的灵魂，数学方法是数学行为， 数学思想对数学方法起指导作用。
• 化归的思想解决问题的模式
化归思想的主要解题途径： • ⑴未知问题转化成已知 • ⑵函数与方程、不等式间的转化 • ⑶空间与平面的转化 • ⑷数与形之间的转化 • ⑸一般与特殊的转化 • ⑹等与不等的转化 • ⑺高次与低次的转化 • ⑻整体与局部的相互转化 • ⑼正与反的转化
常见的转化方法有：
所以1-ax-x2≤2-a，a∈［-1，1］.
方法一 （*）式可化为：a(1-x)≤x2+1.
（*）
①
x2 1 （1）当1-x>0时，①式变为 a . 1 x x2 1 1 , 对任意a∈［-1，1］恒成立，只要 1 x 1 x 0, ∴0≤x＜1或x≤-1.
x2 1 （2）当1-x＜0，①式变为： a . 1 x 对任意a∈［-1，1］恒成立， 1 x 0, 只要 x 2 1, 1 ∴x>1. 1 x
（3）当1-x=0,①式显然成立. 综上所述，实数x的取值范围是： x≤-1或x≥0.
方法二
（*）式可化为：a(x-1)+x2+1≥0,
化归与转化思想的实质是揭示联系，实现转化.除极
简单的数学问题外，每个数学问题的解决都是通过转化
为已知的问题实现的.从这个意义上讲，解决数学问题就 是从未知向已知转化的过程.化归与转化的思想是解决数 学问题的根本思想，解题的过程实际上就是一步步转化 的过程.数学中的转化比比皆是，如未知向已知转化，复 杂问题向简单问题转化，新知识向旧知识的转化，命题 之间的转化，数与形的转化，空间向平面的转化，高维 向低维转化，多元向一元转化，高次向低次转化，超越
n 1 n ( ) , n! 2 1 (1 2 n) n 1 2 n n n! n
• 3、正面与反面的转化
例8．若二次函数f ( x) 4 x 2 2( p 2) x 2 p 2 p 1在区 间 11 ，内至少有一个值 c, 使f (c) 0, 求实数p的取值范围。
事实上，数学思想方法是有层次的。
操作性思想方法、逻辑性思想方法、策略性思想方法，从思 维的角度上看，层次是逐渐上升的。 常用的几种具体方法，是具有技能性的，因此在操作层面上； 数学解题的思维方法，是具有策略性的思想方法，它可以指导 对数学问题的分析；而数学研究的一般方法是更高层次的思想 方法，它对数学学习的过程有控制作用。
式向代数式的转化，函数与方程的转化等，都是转化思
想的体现.
转化有等价转化和非等价转化.等价转化前后是充要条件，所 以尽可能使转化具有等价性；在不得已的情况下，进行不等价转 化，应附加限制条件，以保持等价性，或对所得结论进行必要的 验证.
总的指导思想是：化难为易；化生为熟；化
繁为简 • （1）把什么问题进行转化，即化归对象. • （2）化归到何处去，即化归目标. • （3）如何进行化归，即化归方法. 化归思想是一切数学思想方法的核心.
请举例说明我们熟悉的数学思想方法
在中学数学学习中常用的数学思想方法大致有下面几类 的若干方法 数学研究的基本方法 ◆ 数学抽象方法 ◆ 数学模型方法 ◆ 数学研究活动的一般方法 数学中的逻辑方法 ◆ 数学定义方法 ◆ 逻辑划分方法 ◆ 数学公理化方法 数学解题的思维方法 ◆ 数学推理方法（演绎法、 归纳法、类比法） ◆ 分析法与综合法 ◆ 数学实验方法 ◆ 数形结合方法 ◆ 关系影射反演原则（换 元法、初等变换方法）
化归的方法 • 1、由未知到已知、由难到易、由繁到简 例4 解方程组 :
x 2 y 2 7 xy 4 x 4 y 31,① xy 2,②
例5 若实数x, y满足x 2 y 2 2 x 4 y 0, 求x 2 y最大值
• 2 一般化与特殊化 • 例6 求解一般的一元二次方程 2001 • 例7 比较1000 和2001!的大小
数学证明的重要方法 ◆ 反证法与同一法 ◆ 数学归纳法 中小学数学中几种常用的具体方法 ◆ 待定系数法 ◆ 配方法 ◆ 数形结合法 ◆ 递推法
有人这样给数学思想方法分类： 1. 操作性思想方法 例如：换元法、配方法、待定系数法、割补法、构造法等； 2. 逻辑性思想方法 例如：抽象、概括、分析、综合、演绎等； 3 .策略性思想方法 例如：方程与函数、化归、猜想、数形结合、整体与系统等。
• （1）直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、 基本公式或 基本图形问题. • （2）换元法：运用“换元”把式子转化为有理式或使整式降幂等， 把较复杂的函数、方程、不等 式问题转化为易于解决的基本问题. • （3）数形结合法：研究原问题中数量关系（解析式）与空间形 式（图形）关系，通过互相变换获 得转化途径. • （4）等价转化法：把原问题转化为一个易于解决 的等价命题， 达到化归的目的. • （5）特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明 特殊化后的问题、结论适合原问题. • （6）构造法：“构造”一个合适的数学模型，把问题变为易于 解决的问题. • （7）坐标法：以坐标系为工具，用计算方法解决几何问题是转 化方法的一个重要途径.
有f(x+3)≤f(x)+3和f(x+2)≥f(x)+2，且f(1)=1， 求
f(2010).
通过两个不等关系,转化为f(x+1)= 等量关系. 解析 ∵f(x+1)≤f(x+3)-2≤f(x)+3-2=f(x)+1, f(x+1)≥f(x+4)-3≥f(x+2)+2-3 ≥f(x)+4-3=f(x)+1, ∴f(x)+1≤f(x+1)≤f(x)+1. ∴f(x+1)=f(x)+1. ∴数列{f(n)}为等差数列. f (x)+1这个
∴ab的取值范围是［9，+∞）.
方法二
（看成不等式的解集）∵a，b为正数，

a b 2 ab, 又ab a b 3,
ab 2 ab 3. 即( ab ) 2 2 ab 3 0,
解得 ab 3或 ab 1(舍去)， ab 9.
ab的取值范围是9,.
• （8）类比法：运用类比推理，猜测问题的结论，易于确定. • （9）参数法：引进参数，使原问题转化为熟悉的形式进行解决. • （10）补集法：如果正面解决原问题有困难，可把原问题的结果 看做集合A，而把包含该问题的整体问题的结果类比为全集U，通 过解决全集U及补集获得原问题的解决，体现了正难则反的原则.