弧度制

1.1.2 弧度制
一、基础过关 1． －300°化为弧度是
( )
A ．－4
3π
B ．－53π
C ．－54
π
D ．－76
π
2． 集合A ＝⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫α|α＝k π＋π2，k ∈Z 与集合B ＝⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫
α|α＝2k π±π2，k ∈Z 的关系是
( )
A ．A ＝
B B ．A ⊆B
C ．B ⊆A
D ．以上都不对
3． 已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是
( )
A ．2
B ．sin 2 C.2sin 1
D ．2sin 1
4． 已知集合A ＝{α|2k π≤α≤(2k ＋1)π，k ∈Z }，B ＝{α|－4≤α≤4}，则A ∩B 等于 ( )
A ．∅
B ．{α|－4≤α≤π}
C ．{α|0≤α≤π}
D ．{α|－4≤α≤－π，或0≤α≤π}
5． 若扇形圆心角为216°，弧长为30π，则扇形半径为________． 6． 若2π<α<4π，且α与－
7π
6
角的终边垂直，则α＝______. 7． 用弧度制表示顶点在原点，始边重合于x 轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合
(包括边界，如图所示)．
8． 用30 cm 长的铁丝围成一个扇形，应怎样设计才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？ 二、能力提升
9． 扇形圆心角为π
3
，则扇形内切圆的圆面积与扇形面积之比为
( )
A ．1∶3
B ．2∶3
C ．4∶3
D ．4∶9
10．已知α为第二象限的角，则π－α
2
所在的象限是
( )
A ．第一或第二象限
B ．第二或第三象限
C ．第一或第三象限
D ．第二或第四象限
11．若角α的终边与角π
6的终边关于直线y ＝x 对称，且α∈(－4π，4π)，则α＝____________.
12. 如图所示，半径为1的圆的圆心位于坐标原点，点P 从点A (1,0)出发，
依逆时针方向等速沿单位圆周旋转，已知P 点在1 s 内转过的角度为θ (0<θ<π)，经过2 s 达到第三象限，经过14 s 后又回到了出发点A 处， 求θ. 三、探究与拓展
13．已知一扇形的中心角是α，所在圆的半径是R .
(1)若α＝60°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积；
(2)若扇形的周长是一定值c (c >0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？
答案
1．B 2.A 3.C 4.D 5.25 6.7π3或10π
3
7．(1)⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫
α|2k π－π6≤α≤2k π＋5π12，k ∈Z
(2)⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫
α|k π＋π6≤α≤k π＋π2，k ∈Z
8． 当扇形的圆心角为2 rad ，半径为152 cm 时，面积最大，为225
4 cm 2
9．B 10．D 11．－11π3，－5π3，π3，7π
3
12．解 因为0<θ<π，
且2k π＋π<2θ<2k π＋3π
2(k ∈Z )，
则必有k ＝0，于是π2<θ<3π
4，
又14θ＝2n π(n ∈Z )，所以θ＝n π
7，
从而π2<n π7<3π4，即72<n <214，
所以n ＝4或5，故θ＝4π7或5π7.
13．解 (1)设弧长为l ，弓形面积为S 弓，
∵α＝60°＝π
3，R ＝10，
∴l ＝αR ＝10π
3
(cm)．
S 弓＝S 扇－S △＝12×10π3×10－12×2×10×sin π6×10×cos π
6
＝50⎝⎛⎭
⎫π3－3
2 (cm 2)．
(2)扇形周长c ＝2R ＋l ＝2R ＋αR ， ∴α＝c －2R R
，
∴S 扇＝12αR 2＝12·c －2R R ·R 2＝1
2(c －2R )R
＝－R 2＋
12cR ＝－⎝⎛⎭⎫R －c 42＋c 216
. 当且仅当R ＝c 4，即α＝2时，扇形面积最大，且最大面积是c 2
16
.。