导数几何意义

1.1.3导数的几何意义

教材分析

本节内容选自数学人教A版选修2-2第1章“导数及其应用”第1.1.3“导数的几何意义”第一课时.导数是微积分的核心概念之一，它为研究函数提供了有效的方法. 教材从形和数的角度即割线入手，用形象直观的“逼近”方法定义了切线，获得导数的几何意义，学生通过观察、思考、发现、归纳、运用，形成完整的概念，有利于学生对知识的理解和掌握. 通过本节的学习，可以帮助学生进一步理解导数的定义，并更好的体会导数是研究函数的单调性、求解函数的极值和最值，探讨函数值变化快慢等性质最有效的工具.

课时分配

本节内容用1课时完成，主要讲解导数的几何意义，让学生知道函数在某一点处的导数就是在这一点处切线的斜率，为求函数在某点处的切线方程提供条件.

教学目标

重点：理解和掌握切线的新定义、导数的几何意义，体会数形结合、以直代曲的思想方法.难点：对导数几何意义的理解，在某点处“附近”变化率与瞬时变化率的近似关系的理解．知识点：深刻理解导数的几何意义以及对曲线切线方程的求解.

能力点：理解导数的几何意义，掌握应用导数几何意义求解曲线切线方程的方法.

教育点：让学生在观察，思考，发现中学习，启发学生研究问题时，抓住问题本质，严谨细致思考，规范得出解答.

自主探究点：“以直代曲”的数学思想方法.

考试点：求曲线的切线方程.

易错易混点：在学习过程中感受逼近的思想方法，了解“以直代曲”的数学思想方法.

拓展点：求曲线的切线方程.

教具准备：多媒体课件.

课堂模式：基于问题驱动的探究式教学模式.

一.创设情境

师：初中平面几何中圆的切线是怎么定义的？

生：直线和圆有唯一公共点时，直线叫做圆的切线，唯一公共点叫做切点．

师：曲线在点处的切线能用直线与切线的公共点个数来定义吗？你能否用你已经学过的函数曲线的切线举出反例？

生：正弦函数的曲线与直线可能相切时有两个公共点，有时还可能有多个公共点．

师：圆是一种特殊的曲线，这种定义并不适用于一般曲线的切线．如图曲线，直线虽然与曲线有惟一公共点，但它与曲线不相切；而另一条直线，虽然与曲线有两个公共点和，但与曲线相切于点．因此，直线与曲线的公共点的个数不能用来定义一般曲线的切线，我们必须用新的方法来定义曲线的切线．

【设计意图】引导学生归纳总结曲线在点处切线与曲线可以有不止1个公共点.直线与曲线只有一个公共点时，也不一定是曲线的切线.概念的辨析有助于学生准确理解概念，避免了学习的负向迁移.通过普通曲线的切线与圆的切线对比，使学生认识到曲线的切线不能以直线与曲线的交点个数决定.由此提出：如何定义曲线上某点的切线呢？激发学生的求知欲望，进入对重点内容的探索.

二．探究新知

师：如图，当点没着曲线趋近点时，割线

的变化趋势是什么？

（2）图

（1）图

（4）图图

（3）图

生：点趋近于点时，割线趋近于确定的位置.

师：为曲线的切线

【设计意图】尤其第五幅图通过课件演示割线的动态变化趋势，为学生观察、思考提供平台，引导学生共同分析，直观获得切线定义.通过逼近方法，将割线趋于确定位置的直线定义为切线，使学生体会这种定义适用于各种曲线，反映了切线的直观本质.

三.理解新知

师：割线的斜率与切线的斜率有什么关系呢？

割线的斜率是：（板书）．

当点无限趋近于点时，无限趋近于切线的斜率．再次通过教师逐步的引导得出函数在处导数就是切线的斜率.（教师重复定义，并板书）．

即.

教师引导学生观察：在点的附近，比更接近曲线，比更接近曲线，……．过点的切线最贴近附近的曲线．因此，在点的附近，曲线可以用过点的切线近似代替．

【设计意图】要求学生能数形结合，将切线斜率和导数相联系，观察、思考获得导数的几何意义. “以直代曲”的数学思想方法，是微积分学中的重要思想方法．

四．运用新知

例1．如图，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数的图象.用图形体现导数，的几何意义.

生：运动员在时的瞬时速度为，这说明运动员在附近，正以大约的速率下落；运动员在时的瞬时速度为，这说明运动员在附近，正以大约的速率上升.

师：根据图像描述、比较曲线在附近增（减）以及增（减）快慢的情况.

请运用导数的几何意义，描述在附近增（减）以及增（减）快慢的情况.在

附近呢？

生：作出曲线在这些点处的切线，⑴在处切线平行于轴，即，说明在时刻附近变化率为0，函数几乎没有增减；在作出切线，切线呈下降趋势，即，函数在点附近单调递减.曲线在附近比在附近下降得更快，则是因为.

⑵当时，曲线在处的切线的斜率．∴在附近曲线上升，即函数在附近单调递增．

⑶当时，曲线在处的切线的斜率．∴在附近曲线下降，即函数在附近也单调递减．

师：如何用导数研究函数的增减？（先由学生交流讨论，学生回答后，教师再归纳结论）结论：根据导数的几何意义，当某点处导数大于零时，说明在这点的附近曲线是上升的，即函数在这点附近是单调递增；当某点处导数小于零时，说明在这点的附近曲线是下降的，即函数在这点附近是单调递减；当某点处导数等于零时，说明在这点附近变化率为0，函数几乎没有增减.

【设计意图】引领学生对问题进行定性分析，在某点处由切线的“走向”分析曲线的“走向”，渗透“以直代曲”的数学思想．

例2．如图，它表示人体血管中药物浓度随时间变化的函数图像．根据图像，估计时，血管中药物浓度的瞬时变化率（精确到0.1）．

先依据导数的几何意义，分析讨论，教师再扼要写出板书．

血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率，就是药物浓度在时刻的导数，从图像上看，它表示曲线在此点处的切线的斜率．

【设计意图】给出曲线上各点的切线的变化图，体会导数就是反映函数变化率的，借助曲线可以得出切线斜率的情况即该点处导数的情况,体会导数在研究函数增减和变化快慢的应用.引导优生进一步体会导数用来刻画变化情况的应用和拓展研究导数与函数增减的关系.结合导数的几何意义说明单调性，学生进一步感知导数在研究函数变化情况中的应用.进一步体会用导数的几何意义解决问题，通过老师的小结，加深对导数本质的理解.

练习：函数上有一点，求该点处的导数，并解释函数的增减情况.

师：某点处的导数值、切线的斜率和函数的单调性之间有何关系？

生：从数的角度：导数正负对应函数的增减，从形的角度反映为切线斜率的正负对应函数的增减.

【设计意图】由具体的导数入手，熟悉导数的几何意义，帮助学生感知导数与函数单调性之间的联系,引导学生感知导数反映变化率的本质.运用导数的几何意义，借由切线的变化趋势，得出切线的斜率即该点处的导数的情况，进而判断函数的单调性.要求学生动脑(审题),动手