安徽大学期末试卷近世代数8.doc
近世代数试题及答案
近世代数试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 下列哪个选项不是群的性质？A. 封闭性B. 存在单位元C. 存在逆元D. 交换律答案：D2. 有限群的阶数为n，那么它的子群的个数至少为：A. nB. 1C. n-1D. n+1答案：B3. 以下哪个命题是正确的？A. 任意两个子群的交集仍然是子群B. 任意两个子群的并集仍然是子群C. 子群的子群仍然是子群D. 子群的补集仍然是子群答案：A4. 群G的阶数为n，那么它的元素的阶数不可能是：A. 1B. nC. 2D. n+1答案：D5. 以下哪个不是环的性质？A. 封闭性B. 交换律C. 分配律D. 结合律答案：B二、填空题（每题4分，共20分）1. 如果集合S上的二元运算*满足结合律，那么称S为________。
答案：半群2. 一个群G的所有子群的集合构成一个________。
答案：格3. 一个环R中，如果对于任意的a，b∈R，都有a+b=b+a，则称R为________。
答案：交换环4. 一个环R中，如果对于任意的a，b∈R，都有ab=ba，则称R为________。
答案：交换环5. 一个群G中，如果存在一个元素a，使得对于任意的g∈G，都有ag=ga=e，则称a为G的________。
答案：单位元三、简答题（每题10分，共30分）1. 请简述子群和正规子群的区别。
答案：子群是群G的非空子集H，满足H中的任意两个元素的乘积仍然在H中，并且H对于G的运算是封闭的。
正规子群是子群N，满足对于任意的g∈G和n∈N，都有gng^-1∈N。
2. 请解释什么是群的同态和同构。
答案：群的同态是两个群G和H之间的函数f，满足对于任意的g1，g2∈G，都有f(g1g2)=f(g1)f(g2)。
群的同构是同态，并且是双射，即存在逆映射。
3. 请解释什么是环的零因子和非零因子。
答案：在环R中，如果存在非零元素a和b，使得ab=0，则称a和b 为零因子。
如果环R中不存在零因子，则称R为无零因子环。
近世代数参考答案
安徽大学2008－2009学年第一学期《近世代数》考试试卷（B 卷）参考答案一、名词解释题（本题共5小题，每小题3分，共15分）1、对，显然模n 的同余关系满足以下条件：1）对Z 中的任意元素a 都有(mod )a a n ≡；（反身性）2）如果(mod )a b n ≡，必有(mod )b a n ≡；（对称性）3）如果(mod )a b n ≡，(mod )b c n ≡，必有(mod )a c n ≡（传递性）则这个关系是的一个等价关系．2、错，因为2Z ∈，在Z 中没有逆元．3、错，因为由于[]Z x x Z <>≅，而整数环Z 不是一个域．4、错，在同态满映下，正规子群的象是正规子群．5、对，[]F x 是一个有单位元的整环，且1）存在ϕ：()()f x f x →的次数，是非零多项式到非负整数集的一个映射；2）在[]F x 中任取()f x 及()0g x ≠，存在[]F x 上的多项式()q x ，()r x 满足 ()()()(f x g x q x r x =+，其中()0r x =或()r x 的次数<()g x 的次数． 因此[]F x 作成一个欧式环．二、计算分析题（本题共3小题，每小题5分，共15分）1、στ=(2453)，2τσ=(2346)，1τστ-=(256413)．2、12Z 的所有的可逆元为1,5,7,11；n Z 的子环共有()T n 个，故12Z 共有6个子环，它们分别是{}10S =，{}20,6S =，{}30,4,8S =，{}40,3,6,9S =，{}50,2,4,6,8,10S =和12Z 本身． 3、在8Z 中：32([4][3][2])([5][3])x x x x +--+5432[4][4][3][5][3][6]x x x x x =-+-+-． 三、举例题（本题共3小题，1,2题各3分，第3题4分，共10分）1、在整数环上的一元多项式[]Z x 中，由于[]Z x x Z <>≅，整数环Z 是一个整环而不是一个域，故主理想x <>是整数环的一个素理想而不是极大理想．2、22,,,a b R Z a b c d Z c d ⨯⎧⎫⎛⎫⎪⎪==∈⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭对普通的矩阵的加法和乘法作成一个环，R 有单位元1001⎛⎫ ⎪⎝⎭，000a S a Z ⎧⎫⎛⎫⎪⎪=∈⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭对普通的矩阵的加法和乘法作成R 的一个子环，S 有单位元1000⎛⎫ ⎪⎝⎭，二单位元不相等． 3、Klein 四元群4K 是四次对称群4S 的一个正规子群，{}4(1),(12)(34)B =是4K 的一个正规子群（4K 是一个交换群），但4B 不是4S 的正规子群（44(13)(13)B B ≠）．四、证明题（本题共6小题，每小题10分，共60分）1、证明：1）设G 是一个有限群，a 是G 的任意一个阶大于2的元素，则显然1a a -≠（否则将有2a e =，与a 阶大于2矛盾！），但a 与1a -有相同的阶，即1a -的阶也是大于2．又设b 也是G 的一个阶大于2的元素，且1,b a b a -≠≠，则容易得到：111,b a b a ---≠≠，这就是说，G 中阶大于2的元素总是成对出现的，由于G 是一个有限群，故中的阶大于2的元素个数必为偶数．2）设G 是一个偶数阶的有限群，由于单位元是阶为1的惟一元素，又由1）知G 中的阶大于2的元素个数一定是偶数，这样阶等于2的元素的个数一定是奇数．2、证明：设H 是G 的一个子群，任取1axa -，1aya -1aHa -∈（,x y H ∈），则由于H 是一个子群，故1xy H -∈，这样11111()()a x a a y a a x y a a H a ------=∈，从而1aHa G -≤．又由于易证1:x axa ϕ- 是H 到1aHa -的一个双射，且1()()x y a x y a ϕ-=11()()axa axa --=()()x y ϕϕ= 故ϕ是H 到1aHa -的一个同构映射，从而1aHa H -≅．2、证明：首先易证集合2,a b R a b F b a ⎧⎫⎛⎫⎪⎪=∈⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭数域关于普通的矩阵的加法作成一个加群，其零元为零矩阵，负元为负矩阵．其次，对22,a b c d R b a dc ⎛⎫⎛⎫∀∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中,,,a b cd F ∈，我们有 2222a b c d c d a b b a d c d c b a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2222ac bd ad bc R bc ad bd ac ++⎛⎫=∈ ⎪++⎝⎭, 即普通矩阵的乘法是R 上的一个代数运算．且有 222a b c d e f b a d c f e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭222a b c d e f b a d c f e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 即R 对于普通的矩阵的乘法作成一个半群．另外，1001R ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使得对 2a b R b a ⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，1022100101a b a b b a b a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2a b b a ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 综上所述，2,a b R a b F b a ⎧⎫⎛⎫⎪⎪=∈⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭数域关于普通的矩阵的加法和乘法作成一个有单位元的交换环．4、证明：1）若R 的每个非零元素的阶都是无限，命题成立；若R 中有某个元素0a ≠的阶为n ，则在R 中任取0b ≠，有()()00na nb na b b ===． 但0a ≠，且R 无零因子，故nb 0=，b n ≤．设b m =，则()()0ma b a mb ==，0ma =，故n m ．从而n m b ≤=． 因此b n =，即R 中每个非零元素的阶都是n ．2）设char R 1n =>，且12n n n =， 1i n n <<．则在R 中任取0a ≠，由于R 中每个非零元素的阶都是n ，故10n a ≠，20n a ≠．但21212()()()n a n a n n a =20na == 这与R 中无零因子环矛盾，故n 必为素数．5、证明：1）任取,x y G ∈，则由于G H 与G K 都是交换群，故x y H y x H =，xyK yxK =．于是()xy H K xyH xyK = yxH yxK = ()yx H K = ，即GH K 也是一个交换群． 2）任取h H ∈，k K ∈，由于,H K 都是群G 的正规子群，故1111()hkh k h kh k H ----=∈，1111()hkh k hkh k K ----=∈，从而{}11hkh k H K e --∈= ，故11hkh k e --=，即得到hk kh =，得证！6、证明：(1)设N 是R 的诣零理想，若R 是诣零的，下证R N 也是诣零的． 对R a N N ∀+∈，因为R 是诣零的，故存在n Z +∈，使得0n a =，从而()0n n a N a N N N +=+=+=，即R N 也是诣零的． 反之，若R N 是诣零的，下面说明R 也是诣零的．对a R ∀∈，因R N 是诣零的，故存在m Z +∈，使得()m m a N a N N +=+=，即m a N ∈，又N 是R 的诣零理想，故存在n Z +∈，使得()0m n mn a a ==，从而R 是诣零的．(2) 若,A B 是环R 的诣零理想，则A B ⋂是R 的诣零理想，且A B ⋂分别是,A B 的诣零理想．由环第二同构定理知A B B A A B +≅⋂，由(1)知，B A B ⋂是诣零的，从而A B A +也是诣零的．而A 是R 的诣零理想，也是A B +的诣零理想，因此由(1)知A B +也是R 的诣零理想，得证．安徽大学2009－2010学年第一学期《近世代数》考试试卷（B 卷）参考答案一、分析判断题（请判断下列命题对错，并简要说明理由）1、设:X Y ϕ→为一个映射，A 是X 的一个非空子集，则1(())A A ϕϕ-=．答：不正确．只有当ϕ为单射时等号才成立，一般的1(())A A ϕϕ-⊇．2、整数集Z 对于普通的数的乘法作成一个半群．答：正确．利用半群的定义易验证．3、整数环的全部素理想是由所有素数p 生成的主理想p <>和自己本身． 答：不正确．由于整数环无零因子，故零理想也是它的素理想．4、若,H G K G ≤≤，则HK G ≤．答：不正确．两个子群的乘积是原来群的子群充要条件是它们相乘时可交换．5、域是一个欧氏环．答：正确。
(完整word版)近世代数期末考试题库(包括模拟卷和1套完整题)
多所高校近世代数题库一、（2011年近世代数）判断题（下列命题你认为正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”；每小题1分，共10分）1、设A 与B 都是非空集合，那么{}B A x x B A ∈∈=⋃x 且。
（ ）2、设A 、B 、D 都是非空集合，则B A ⨯到D 的每个映射都叫作二元运算。
（ ）3、只要f 是A 到A 的一一映射，那么必有唯一的逆映射1-f 。
（ ）4、如果循环群()a G =中生成元a 的阶是无限的，则G 与整数加群同构。
（ ）5、如果群G 的子群H 是循环群，那么G 也是循环群。
（ ）6、近世代数中，群G 的子群H 是不变子群的充要条件为H Hg g H h G g ⊆∈∀∈∀-1;,。
（ ）7、如果环R 的阶2≥，那么R 的单位元01≠。
（ ）8、若环R 满足左消去律，那么R 必定没有右零因子。
（ ）9、)(x F 中满足条件0)(=αp 的多项式叫做元α在域F 上的极小多项式。
（ ）10、若域E 的特征是无限大，那么E 含有一个与()p Z 同构的子域，这里Z 是整数环，()p 是由素数p 生成的主理想。
（ ）二、（2011年近世代数）单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其号码写在题干后面的括号内。
答案选错或未作选择者，该题无分。
每小题1分，共10分）1、设n A A A ,,,21 和D 都是非空集合，而f 是n A A A ⨯⨯⨯ 21到D 的一个映射，那么（ ）①集合D A A A n ,,,,21 中两两都不相同；②n A A A ,,,21 的次序不能调换；③n A A A ⨯⨯⨯ 21中不同的元对应的象必不相同；④一个元()n a a a ,,,21 的象可以不唯一。
2、指出下列那些运算是二元运算（ ） ①在整数集Z 上，abb a b a +=； ②在有理数集Q 上，ab b a = ； ③在正实数集+R 上，b a b a ln = ；④在集合{}0≥∈n Z n 上，b a b a -= 。
近世代数期末考试试卷及答案
一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1、设G 有6个元素的循环群，a 是生成元，则G 的子集（c）是子群。
A 、{}aB 、{}e a ,C 、{}3,a eD 、{}3,,a a e2、下面的代数系统（G ，*）中，（ D ）不是群A 、G 为整数集合，*为加法B 、G 为偶数集合，*为加法C 、G 为有理数集合，*为加法D 、G 为有理数集合，*为乘法 3、在自然数集N 上，下列哪种运算是可结合的？（ B ） A 、a*b=a-b B 、a*b=max{a,b} C 、 a*b=a+2b D 、a*b=|a-b|4、设1σ、2σ、3σ是三个置换，其中1σ=（12）（23）（13），2σ=（24）（14），3σ=（1324），则3σ=（ B ） A 、12σB 、1σ2σC 、22σD 、2σ1σ5、任意一个具有2个或以上元的半群，它（ A ）。
A 、不可能是群 B 、不一定是群 C 、一定是群 D 、 是交换群二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
1、凯莱定理说：任一个子群都同一个----变换群------同构。
2、一个有单位元的无零因子-交换环----称为整环。
3、已知群G 中的元素a 的阶等于50，则4a 的阶等于----25--。
4、a 的阶若是一个有限整数n ，那么G 与---模n 剩余类加群----同构。
5、A={1.2.3} B={2.5.6} 那么A ∩B=---｛2｝--。
6、若映射ϕ既是单射又是满射，则称ϕ为----双射-------------。
7、α叫做域F 的一个代数元，如果存在F 的-----n a a a ,,,10 使得010=+++n n a a a αα 。
8、a 是代数系统)0,(A 的元素，对任何A x ∈均成立x a x = ，则称a 为---右单位元------。
近世代数期末考试试卷及答案
一、单项选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个就是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1、设G 有6个元素的循环群,a 就是生成元,则G 的子集( )就是子群。
A 、{}aB 、{}e a ,C 、{}3,a eD 、{}3,,a a e 2、下面的代数系统(G,*)中,( )不就是群A 、G 为整数集合,*为加法B 、G 为偶数集合,*为加法C 、G 为有理数集合,*为加法D 、G 为有理数集合,*为乘法3、在自然数集N 上,下列哪种运算就是可结合的？( )A 、a*b=a-bB 、a*b=max{a,b}C 、 a*b=a+2bD 、a*b=|a-b|4、设1σ、2σ、3σ就是三个置换,其中1σ=(12)(23)(13),2σ=(24)(14),3σ=(1324),则3σ=( )A 、12σB 、1σ2σC 、22σD 、2σ1σ5、任意一个具有2个或以上元的半群,它( )。
A 、不可能就是群B 、不一定就是群C 、一定就是群D 、 就是交换群二、填空题(本大题共10小题,每空3分,共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
1、凯莱定理说:任一个子群都同一个----------同构。
2、一个有单位元的无零因子-----称为整环。
3、已知群G 中的元素a 的阶等于50,则4a 的阶等于------。
4、a 的阶若就是一个有限整数n,那么G 与-------同构。
5、A={1、2、3} B={2、5、6} 那么A ∩B=-----。
6、若映射ϕ既就是单射又就是满射,则称ϕ为-----------------。
7、α叫做域F 的一个代数元,如果存在F 的-----n a a a ,,,10Λ使得010=+++n n a a a ααΛ。
8、a 就是代数系统)0,(A 的元素,对任何A x ∈均成立x a x =ο,则称a 为---------。
近世代数期末考试试卷及答案
一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1、设G 有6个元素的循环群，a 是生成元，则G 的子集（ ）是子群。
A 、{}aB 、{}e a ,C 、{}3,a eD 、{}3,,a a e 2、下面的代数系统（G ，*）中，（ ）不是群A 、G 为整数集合，*为加法B 、G 为偶数集合，*为加法C 、G 为有理数集合，*为加法D 、G 为有理数集合，*为乘法3、在自然数集N 上，下列哪种运算是可结合的？（ ）A 、a*b=a-bB 、a*b=max{a,b}C 、 a*b=a+2bD 、a*b=|a-b|4、设1σ、2σ、3σ是三个置换，其中1σ=（12）（23）（13），2σ=（24）（14），3σ=（1324），则3σ=（ ） A 、12σ B 、1σ2σ C 、22σ D 、2σ1σ5、任意一个具有2个或以上元的半群，它（ ）。
A 、不可能是群B 、不一定是群C 、一定是群D 、 是交换群二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
1、凯莱定理说：任一个子群都同一个----------同构。
2、一个有单位元的无零因子-----称为整环。
3、已知群G 中的元素a 的阶等于50，则4a 的阶等于------。
4、a 的阶若是一个有限整数n ，那么G 与-------同构。
5、A={1.2.3} B={2.5.6} 那么A ∩B=-----。
6、若映射ϕ既是单射又是满射，则称ϕ为-----------------。
7、α叫做域F 的一个代数元，如果存在F 的-----n a a a ,,,10Λ使得010=+++n n a a a ααΛ。
8、a 是代数系统)0,(A 的元素，对任何A x ∈均成立x a x =ο，则称a 为---------。
近世代数期末考试试题和答案解析
一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1、设G 有6个元素的循环群，a 是生成元，则G 的子集（ ）是子群。
A 、B 、C 、D 、{}a {}e a ,{}3,a e {}3,,a a e 2、下面的代数系统（G ，*）中，（ ）不是群A 、G 为整数集合，*为加法B 、G 为偶数集合，*为加法C 、G 为有理数集合，*为加法D 、G 为有理数集合，*为乘法 3、在自然数集N 上，下列哪种运算是可结合的？（ ）A 、a*b=a-b B 、a*b=max{a,b} C 、 a*b=a+2b D 、a*b=|a-b|4、设、、是三个置换，其中=（12）（23）（13），=（24）（14），1σ2σ3σ1σ2σ=（1324），则=（ ）3σ3σA 、 B 、 C 、 D 、12σ1σ2σ22σ2σ1σ5、任意一个具有2个或以上元的半群，它（ ）。
A 、不可能是群B 、不一定是群C 、一定是群D 、 是交换群二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
1、凯莱定理说：任一个子群都同一个----------同构。
2、一个有单位元的无零因子-----称为整环。
3、已知群中的元素的阶等于50，则的阶等于------。
G a 4a 4、a 的阶若是一个有限整数n ，那么G 与-------同构。
5、A={1.2.3} B={2.5.6} 那么A∩B=-----。
6、若映射既是单射又是满射，则称为-----------------。
ϕϕ7、叫做域的一个代数元，如果存在的-----使得αF F n a a a ,,,10 。
010=+++n n a a a αα8、是代数系统的元素，对任何均成立，则称为-------a )0,(A A x ∈x a x = a --。
近世代数期末考试试题库
世代数模拟试题一一、单项选择题(本大题共5小题,每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内.错选、多选或未选均无分。
1、设A＝B＝R（实数集），如果A到B的映射：x→x＋2，x∈R，则是从A到B的（ c ）A、满射而非单射B、单射而非满射C、一一映射D、既非单射也非满射2、设集合A中含有5个元素，集合B中含有2个元素,那么，A与B的积集合A×B中含有（ d ）个元素.A、2B、5C、7D、103、在群G中方程ax=b,ya=b， a，b∈G都有解，这个解是（b ）乘法来说A、不是唯一B、唯一的C、不一定唯一的D、相同的(两方程解一样）4、当G为有限群,子群H所含元的个数与任一左陪集aH所含元的个数（c ）A、不相等B、0C、相等D、不一定相等。
5、n阶有限群G的子群H的阶必须是n的（d ）A、倍数B、次数C、约数D、指数二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分）请在每小题的空格中填上正确答案.错填、不填均无分.1、设集合；，则有。
2、若有元素e∈R使每a∈A，都有ae=ea=a，则e称为环R的单位元。
3、环的乘法一般不交换。
如果环R的乘法交换，则称R是一个交换环。
4、偶数环是整数环的子环。
5、一个集合A的若干个——变换的乘法作成的群叫做A的一个变换全.6、每一个有限群都有与一个置换群同构。
7、全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成一个群，则这个群的单位元是1，元a 的逆元是a-1。
8、设和是环的理想且，如果是的最大理想,那么———————-—。
9、一个除环的中心是一个-域———--。
三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）1、设置换和分别为：，，判断和的奇偶性,并把和写成对换的乘积。
2、证明：任何方阵都可唯一地表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和.奇1、解:把和写成不相杂轮换的乘积：可知为奇置换,为偶置换。
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《近世代数》试卷
一、填空题（每空2分，共20分）
1、4次对称群4S 的阶是____，在4S 中，(14)(312)=_______,(1423)1-=_______, 元素(132)的阶是______.
2、整数加群Z 是一个循环群，它有且仅有两个生成元是______和_____.
3、模6的剩余类环6Z 的全部零因子是__________.
4、在模12的剩余类环12Z 中，[6]+[8]=_______,[8][6]=_______.
5、17Z 是模17的剩余类环，在一元多项式环][17x Z 中，=+17
])
8[]6([x _________.
二、判断题（对打“√”,错打“×”，不说明理由，每小题2分，共20分）
1、（ ）交换群的子群是不变子群。
2、（ ）若21,H H 是群G 的子群，则21H H Y
也G 是的子群。
3、（ ）任意两个循环群同构。
4、（ ）模27的剩余类环27Z 是域。
5、（ ）一个阶是19的群只有两个子群。
6、（ ）欧氏环上的一元多项式环是欧氏环。
7、（ ）在一个环中，若左消去律成立，则右消去律成立。
8、（ ）域是唯一分解环。
9、（ ）存在特征是143的无零因子环。
10、（ ）只有零理想和单位理想的环是域。
三、解答题（第1题15分，第2，3题各10分，共35分）
1、设)}132(),123(),1{( H 是3次对称群3S 的子群，求H 的所有左陪集和右陪集，试问H 是否是3S 的不变子群？为什么？
2、求模12的剩余类环12Z 的所有理想。
3、设G 是交换群，e 是G 的单位元，n 是正整数，},,|{e a G a a H n
=∈=问：H 是否是G 的子群？为什么？
四、证明题（第1，2题各10分，第3题5分，共25分）
1、证明：整数环Z 中由34和15生成的理想（34，15）就是Z 本身。
2、设G 和H 是两个群，G e 和H e 分别是G 和H 的单位元，f 是群G 到H 的满同态映射，B 是H 的子群，证明：})(,|{B a f G a a A ∈∈=是G 的子群。
3、设S 是环)1,0,,,(⋅+R 的子环，N 是R 的理想且}0{=N S I ，证明：剩余类环N
R 有子环
与S 同构。