期权平价公式复习进程
B-S期权定价公式的简单推导
(二)B-S期权定价公式
在风险中性的条件下，欧式看涨期权到期时（T
时刻）的期望值为：E [max(ST X ,0)]
其现值为
c er (T t ) E[max(ST X ,0)]
（4.18）
对数股票价格的分布为：
ln ST
~ [ln S
(r 2 )(T
1 2S2
2
2 f S 2
rf
(4.17)
这就是著名的B-S微分分程，它适用于其价格取决于标的证 券价格S的所有衍生证券的定价。
2，风险中性定价原理
假设所有投资者都是风险中性的，那么所有现金流 量都可以通过无风险利率进行贴现求得现值。
尽管风险中性假定仅仅是为了求解B-S微分方程而 作出的人为假定，但通过这种假定所获得的结论不 仅适用于投资者风险中性情况，也适用于投资者厌 恶风险的所有情况。
其中，a和b均为常数，dz遵循标准布朗运动。
(三)伊藤过程与伊藤引理
普通布朗运动假定漂移率和方差率为常数，若把变量 x的漂移率和方差率当作变量x和时间t的函数，我们可以 从公式(4.4)得到伊藤过程（Ito Process）：
dx a(x,t)dt b(x,t)dz (4.5）
其中，dz是一个标准布朗运动，a、b是变量x和t的函数， 变量x的漂移率为a，方差率为b2
根据伊藤引理，衍生证券的价格f应遵循如下过程：
df
( f S
S f
t
1 2
2 f S 2
2S 2 )dt
f S
Sdz
(4.9)
(六)证券价格自然对数变化过程
令
期权平价理论
期权平价理论⼀、买卖权平价关系买卖权平价关系是指具有相同的到期⽇与执⾏价格的⾦融⼯具，其卖权与买权价格间所必然存在的基本关系。
如果两者不相同，则存在套利的空间。
买卖权平价关系可应⽤于欧式期权，即不能提前、只能在到期⽇履⾏。
⼆、欧式期权的平价关系欧式期权平价关系是指在完备的⽆套利⾦融市场条件下，没有红利⽀付且其他条件相同时欧式看涨期权和看跌期权之间存在的确定性关系。
假设某股票现在价格为S0，以该股票作为标的资产的看涨期权（Call）和看跌期权（Put）都是在T时刻到期，执⾏价格都是K。
设看涨期权当期理论价格为C，看跌期权当前理论价格为P，该股票在T时刻价格为S T。
1年期⽆风险利率为r。
考虑下⾯两个组合。
组合A：⼀份欧式看涨期权（Call）加上在T时刻的⼀笔价值为K的现⾦资产。
组合B：⼀份该欧式看跌期权（Put）加上⼀只股票。
在T时刻，组合A的价值：若在T时刻股票价格S T≥K,则在T时刻组合A 的价值为看涨期权的价值S T－K加上现⾦资产K,即S T －K +K=S T；若在T时刻股票价格S T＜K,则在T时刻组合A的价值为看涨期权的价值0 加上现⾦资产K，即0+K=K。
在T时刻，组合B的价值：若在T时刻股票价格S T≥K,则在T时刻组合B 的价值为看跌期权的价值0 加上股票价值S T，即0+ST= S T。
若在T时刻股票价格S T＜K,则在T时刻组合B的价值为看跌期权的价值K-S T加上股票价值S T，即K-S T+S T=K。
综上所述，可知⽆论该股票价格在T时刻是多少，组合A和组合B在到期时的价值总是相同的，该值为S T和K中的较⼤值，即max（S T，K）。
由此可知组合A和组合B在当前时刻的理论价格也应相同，否则将产⽣⽆风险套利的机会。
T时刻价值为K的现⾦复利贴现回当前的价值为Ke-rT。
因此，组合A 的当前理论价格C+Ke-rT等价于组合B的当前理论价格P+S0，即C+Ke-rT= P+S0上式即为欧式期权的平价关系，该公式说明了具有同样执⾏价格和到期⽇的欧式看涨期权和看跌期权当前理论价格之间的关系。
期权定价模型
二、期权价值评估的方法（一）期权估价原理1、复制原理基本思想复制原理的基本思想是：构造一个股票和贷款的适当组合，使得无论股价如何变动投资组合的损益都与期权相同，那么创建该投资组合的成本就是期权的价值。
基本公式每份期权价格（买价）＝借钱买若干股股票的投资支出＝购买股票支出－借款额计算步骤（1）确定可能的到期日股票价格Su和Sd上行股价Su=股票现价S×上行乘数u下行股价Sd=股票现价S×下行乘数d（2）根据执行价格计算确定到期日期权价值Cu和Cd：股价上行时期权到期日价值Cu=上行股价-执行价格股价下行时期权到期日价值Cd=0（3）计算套期保值率：套期保值比率H=期权价值变化/股价变化=(CU-Cd)/(SU-Sd)（4）计算投资组合的成本（期权价值）=购买股票支出-借款数额购买股票支出=套期保值率×股票现价＝H×S0借款数额=价格下行时股票收入的现值＝（到期日下行股价×套期保值率）/（1+r）= H×Sd/（1+r）2、风险中性原理基本思想假设投资者对待风险的态度是中性的，所有证券的预期收益率都应当是无风险利率；假设股票不派发红利，股票价格的上升百分比就是股票投资的收益率。
因此：期望报酬率（无风险收益率）＝（上行概率×股价上升时股价变动百分比）+（下行概率×股价下降时股价变动百分比）＝p×股价上升时股价变动百分比+（1-p）×股价下降时股价变动百分比计算步骤（1）确定可能的到期日股票价格Su和Sd（同复制原理）（2）根据执行价格计算确定到期日期权价值Cu和Cd（同复制原理）（3）计算上行概率和下行概率期望报酬率＝（上行概率×股价上升百分比）+（下行概率×股价下降百分比）（4）计算期权价值期权价值＝(上行概率×Cu+下行概率×Cd)/（1+r）（二）二叉树期权定价模型1、单期二叉树定价模型基本原理风险中性原理的应用计算公式（1）教材公式期权价格＝U=股价上行乘数＝1＋股价上升百分比d=股价下行乘数＝1－股价下降百分比（2）理解公式：（与风险中性原理完全一样）2、两期二叉树模型基本原理把到期时间分成两期，由单期模型向两期模型的扩展，实际上就是单期模型的两次应用。
期权定价公式的推导
pt pt
风险对冲 随机过程 偏微分方程
Black-Scholes 期权定价公式
f f 1 2 2 f rS S rf 2 t 2 S S
2
f为期权价格
14
资产定价基本原理
只要市场没有套利机会，那么一定存在一 种等价的概率测度，使得所有证券及其组合的 折现价格都有“未来价值的均值等于其当前价 值”的“鞅性质”。
6
假定某证券的当前价格为p0，p1，p2，…，pn，其中 p0是证券的当前价格，它是一个定常数，p1，p2，…， pn等都是证券的未来价格，从当前来看都是随机变量。 于是它们之间就有这样的关系：
p1 p 0 1 , p 2 p1 2 , p n p n 1 n , 其中“随机干扰”是一些均值为0的随机变量。如果 我们认为这些“随机干扰”互相独立且同分布，就可 以引出随机游走和布朗运动的概念。
把这一离散的价格变化的关系式连续化就得到这里lnlnlnlndtdz由于dz是标准布朗运动因此在一个较短的时间间隔可见也服从正态分布其均值为14风险对冲随机过程偏微分方程为期权价格rfblackscholes期权定价公式15资产定价基本原理只要市场没有套利机会那么一定存在一种等价的概率测度使得所有证券及其组合的折现价格都有未来价值的均值等于其当前价值的鞅性质
n 0,1, 2,
（1）
11
是随机游走序列。
ln pn ln pn1 n ',
n 1, 2,
不再成立。
ln( pn / pn1 ) ln pn ln pn1 n ', n 1, 2,
这里μ在一段时期内是常数。把这一离散的价 格变化的关系式连续化，就得到
期权定价公式
期权定价公式期权定价公式是：期权价格=内在价值+时间价值。
期权定价模型，由布莱克与斯科尔斯在20世纪70年代提出。
该模型认为，只有股价的当前值与未来的预测有关；变量过去的历史与演变方式与未来的预测不相关。
模型表明，期权价格的决定非常复杂，合约期限、股票现价、无风险资产的利率水平以及交割价格等都会影响期权价格。
期权是购买方支付一定的期权费后所获得的在将来允许的时间买或卖一定数量的基础商品的选择权。
期权价格是期权合约中唯一随市场供求变化而改变的变量，其高低直接影响到买卖双方的盈亏状况，是期权交易的核心问题。
在国际衍生金融市场的形成发展过程中，期权的合理定价是困扰投资者的一大难题。
随着计算机、先进通讯技术的应用，复杂期权定价公式的运用成为可能。
简单期权定价模型。
我们把股价随机末态简化为两个等效的等概率量子态，要么50%的概率上涨到+1X的右边一个标准差处，要么50%的概率下跌到-1X的左边一个标准差处。
显然，对于认购期权，在-1X末态的行权收益是0；在+1X末态的行权收益是S*(1+σ)-K。
其中S是当前（初态）股价，K是到期日的行权价。
根据初态=末态期望值的原理，认购期权价格C=0.5*0+0.5*[S*(1+σ)-K]= 0.5*[S*(1+σ)-K]。
这对于平值和浅度虚值期权是适用的。
对于平值期权K=S，C=0.5*S*σ。
比如，当前股价S=3.3元，月波动率为σ=6%，那么行权价K=3.3元，剩余T=30天期限的平值认购期权价格就是，C=0.5*3.3*6%=0.0990元。
对于深度实值期权，当股价末态为-1X处，仍然会有行权收益。
所以，认购期权价格C=0.5*[S*(1-σ)-K]+0.5*[S*(1+σ)-K]=S-K。
比方说，对于深度实值期权实三K=3.0元，当股价从当前价S=3.3元下跌至末态（-1X处）ST=3.1元，仍然会有3.1-3.0=0.1元的行权收益。
所以，实三期权价格C=S-K=3.3-3.0=0.3元。
期权定价分析公式说明文档
2. 选定
, 代入 BS 公式计算期权价格得 。判断 是否成立， 若成立则 并且退出计算; 若不成立, 则继续 判断 是否成立，若成立，则赋值 ; 若不成立 则赋值 。 （波动率下限 , 波动率上限 ） 3. 把波动率上下限代入 BS 公式分别计算对应的期权价格， 记为 。 （其中我们采用边界条件： ） 4. 令 , 代入 BS 公式计算其相应 的期权价格，即为 , 判断 <0.001 是否成立，若成立则最后 ，并退出计算; 若不成立, 则判断 ，若成立，则进行赋 值 ， ；若不成立，则进行赋值 。然 后循环计算直到满足条件为止。
3.1.3 Gamma 的计算： Gamma 的定义为 . 以及二阶导数的近似公式为： 我们可以取 因此我们首先计算 最后得到： 情况下的值： , .
3.1.4 Vega 的计算： Vega 的定义为: 波动率值。选取 。同样的， 表示客户输入的 情况下，计算相应的 V 值记为
. 容易得到 vega 值为：
3.1.5 Rho 的计算： Rho 的定义为： . r 表示客户输入的无风险利
率。 同样选取不同的无风险利率： 0.9r, r, 1.1r, 用二叉树方法 计算相应的 V 值为： . 容易得到 Rho 值为：
3.2 BS 公式中的敏感性参数计算
BS 公式只能计算欧式期权，而且对于看涨看跌期权有不同 的敏感性参数计算公式。具体如下图所示：
5， 6，
表示二叉树中期权价格上涨的幅度，d 表示下跌的幅度。 表示风险中性概率 表示无风险利率, 表示标的价格的
波动率。上述两个 p 的表达式中，后者适用期货期权。 7， 表示时间步长，T 表示期权的到期日。以年为单位。
无红利的美式看跌期权的逆向递推公式为：
边界条件为：
5第五章 期权定价1(理论)
C − P − S + X (1 + r ) − t = 0 −t P = C − S + X (1 + r )
C = P + S − X (1 + r ) − t
或
上式即为买入卖出期权平价公式。如果市场 出现不符平价公式，则就存在套利组合。
例如市场出现下列情况：有效期为3月，施 权价为40的买入期权价C=3，同样的卖出 期权价为P=2，股票市价为40，利率为5%， 根据买入卖出期权平价，应该为：
uS0
S0
dS 0
则期权价值 Vc 也是两种情况
C u = max{0, uS 0 − X }
期权价格（option premium）：指购买期权权 利（包括购买 calls的费用C或购买puts的费用 P）而非股票本身的市价或施权价。期权本身 的市场价格称为期权费。 例如：买主向卖主按每股120美元（施权价） 买入100股股票的权利，买主应向卖主付出每 股8.5美元的权利金（期权价格C）。100股 （通常，每一份期权合约赋予购买或出售1整 手股的权利）付出权利金总额850美元。 同一种股票，施权价愈高则期权价（费用）就 愈小。同一种价位股票签约期愈长，期权费也 愈小 。
102030405060708090第一季度第二季度第三季度第四季度东部西部北部安徽财经大学会计学院一有关期权的若干概念二买入期权c与卖出期权p的平价关系三期权价格的上下限四期权的二项式定价期权是指未来的选择权它赋予期权的持有者购买者或多头一种权利而不必承担义务可以按预先敲定的价格购买或者出手一定数量和一定品质的资产
c (T ) = max {S (T ) − X ,0} p (T ) = max {X − S (T ), 0}
003.期权定价(一)
第二节 期权定价本节考点1.期权平价公式与无套利价格区间2.二叉树模型3.B-S-M 期权定价模型考点1：期权平价公式与无套利价格区间★★★【符号】c 欧式看涨期权价值K 期权的行权价格p 欧式看跌期权价值S 0S T 股票的当前价格T 时刻股票的价格C 美式看涨期权价值r 在T 时刻到期的无风险投资利率（连续复利）P 美式看跌期权价值T 期权的期限期权价格是否合理，如何为期权进行定价，成为期权投资的最核心问题。
依据期权价值依赖的因素，在无套利市场中，期权的价格有着合理的估值范围，以无分红标的资产的期权为例，期权的价格应满足以下条件。
（一）上限看涨期权给其持有者以行权价格买入标的资产的权利。
无论发生什么情况，期权的价格都不会超出标的资产价格，因此，标的资产价格是看涨期权价格的上限：c≤S 0，C≤S 0如果以上不等式不成立，那么套利者可以购买标的资产并同时卖出看涨期权来获取无风险盈利。
美式看跌期权持有者有权以行权价格K 卖出标的资产。
无论标的资产价格变得多么低，期权的价值都不会高于行权价格：P≤K欧式看跌期权在T 时刻的价值不会超出K ，因此其当前价格不会超过K的贴现值，即：如果以上不等式不成立，那么套利者可以通过卖出期权，并同时将所得收入以无风险利率进行投资，即可以获取无风险盈利。
（二）无孳息标的资产的欧式看涨期权下限无孳息标的资产的欧式看涨期权下限为：【推导过程】考虑A/B 两个投资组合：组合A ：一份欧式看涨期权加上在时间T 提供收益K 的零息债券；组合B ：一单位标的资产。
在组合A 中，T 时刻零息债券的价值为K 。
在时间T ，如果S T >K ，投资者卖出零息债券并获得资金K ，继而行使看涨期权，用资金K 获得标的资产，组合A 的价值为S T 。
如果S T因此，T 时刻组合A 的价值为：max （S T ，K ），组合B 在T 时刻的价值为S T 。
【推导过程】（三）无孳息标的资产的欧式看跌期权下限无孳息标的资产的欧式看跌期权下限为：【推导过程】考虑A/B两个投资组合组合A：一份欧式看跌期权加上1单位标的资产；组合B：在时间T时刻收益为K的零息债券。
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期权平价公式
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买入put
卖出call
买入标的物
S
K C
P
买入
put 卖出call
买入标的物
S K
C
P
行权价K 低于现货价格S
行权价K 高于现货价格S
期权平价公式：
C+ Ke^(-rT)=P+S
认购期权价格C 与行权价K 的现值之和等于认沽期权的价格P 加上标的证券现价S Ke^(-rT)：K 乘以e 的-rT 次方，也就是K 的现值。
e 的-rT 次方是连续复利的折
现系数。
也可用exp （-rT ）表示贴现因子。
根据无套利原则推导：
构造两个投资组合。
1.看涨期权C ，行权价K ，距离到期时间T 。
现金账户Ke^(-rT)，利率r ，期权到期时恰好变成行权价K 。
2.看跌期权P ，行权价K ，距离到期时间T 。
标的物股票，现价S 。
看到期时这两个投资组合的情况。
1.股价St 大于K ：投资组合1，行使看涨期权C ，花掉现金账户K ，买入标的物股票，股价为St 。
投资组合2，放弃行使看跌期权，持有股票，股价为St 。
2.股价St 小于K ：投资组合1，放弃行使看涨期权，持有现金K 。
投资组合2，行使看跌期权，卖出标的物股票，得到现金K
3.股价等于K ：两个期权都不行权，投资组合1现金K ，投资组合2股票价格等于K 。
从上面的讨论我们可以看到，无论股价如何变化，到期时两个投资组合的价值一定相等，所以他们的现值也一定相等。
根据无套利原则，两个价值相等的投资组合价格一定相等。
所以我们可以得到C+Ke^(-rT)=P+S 。
换一种思路理解：C- P = S- Ke^(-rT)
认购期权价格C 与认沽期权的价格P 的差等于证券现价与行权价K 现值的差。