北京市中国人民大学附属中学2020届高三考前热身练习数学试题

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北京人大附中2020高三5月模拟数学理试题

中国人民大学附属中学高三模拟考试数学试题（理科）第I 卷（选择题共40分）一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.设全集U R =,集合{}220A x x x =∈-<R ，{}1,x B y y e x ==+∈R,则AB =（） A ．{|12}x x ≤<B ．{|2}x x >C ．{|1}x x >D ．{|12}x x << 1. 设a ＝20.3，b ＝0.32，c ＝log 20.3，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．a ＜b ＜cB ．b ＜a ＜cC ．c ＜b ＜aD ．b ＜c ＜a 2. 直线3y x =与曲线2y x =围成图形的面积为（）A.272B.9C.92 D.2743. 某流程图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是（）A ．||()x f x x= B．)()lgf x x =C ．()x x x x e e f x e e --+=-D ．221()1x f x x -=+ 4. 设等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ．则“||1q =”是“422S S =”的（） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件D.既不充分又不必要条件5. 某地举行一次民歌大奖赛，六个省各有一对歌手参加决赛，现要选出4名优胜者，则选出的4名选手中恰有且只有两个人是同一省份的歌手的概率为（） A. 1633B. 33128C. 3233D. 4116. 已知函数()sin()(0,)2f x x πωϕωϕ=+><的部分图象如图，则20131()6n n f π==∑（） A.1- B.1 C.12D.07. 如图所示，正方体ABCD A B C D ''''-的棱长为1, ,E F 分别是棱AA '，CC '的中点，过直线,E F 的平面分别与棱BB '、DD '交于,M N ，设 B M x =，[0,1]x ∈，给出以下四个命题：①平面MENF ⊥平面BDD B ''； ②当且仅当x =12时，四边形MENF 的面积最小； ③四边形MENF 周长()L f x =，[0,1]x ∈是单调函数； ④四棱锥C MENF '-的体积()V h x =为常函数；以上命题中假．命题．．的序号为（） A ．①④ B ．②C ．③D ．③④第Ⅱ卷（非选择题共110分）二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 把答案填在题中横线上.8. 如图，在复平面内，复数1z ，2z 对应的向量分别是OA ，OB ，则复数12z z 对应的点位于第________象限。

2020届北京市人民大学附属中学高考模拟(4月)数学试题(解析版)

②沿轴正方向平移;
③以轴为轴作轴对称;
④以轴的某一条垂线为轴作轴对称.
A．①③B．③④C．②③D．②④
【答案】D
【解析】计算得到，，故函数是周期函数，轴对称图形，故②④正确，根据图像知①③错误，得到答案.
【详解】
，，，
当沿轴正方向平移个单位时，重合，故②正确；
，，
故，函数关于对称，故④正确；
【详解】
根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体为四棱锥体，
如图所示：
所以：，
， .
故选：D.
.
【点睛】
本题考查三视图和几何体之间的转换，主要考查运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题.
8．已知点，点在曲线上运动，点为抛物线的焦点，则的最小值为（）
A． B． C． D．4
【答案】D
【解析】如图所示：过点作垂直准线于，交轴于，则，设，，则，利用均值不等式得到答案.
【答案】
【解析】直接计算得到答案，根据题意得到，，解得答案.
【详解】
，故，当时，，
故，解得 .
故答案为：； .
【点睛】
本题考查了三角函数的周期和单调性，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.
14．集合，，若是平面上正八边形的顶点所构成的集合，则下列说法正确的为________
① 的值可以为2；
故答案为： .
【点睛】
本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力和应用能力.
12．若向量满足，则实数的取值范围是____________.
【答案】
【解析】根据题意计算，解得答案.
【详解】
，故，解得 .

北京市人大附中2020届高三(6月份)高考数学考前热身试题

北京市人大附中2020届高三（6月份）高考数学考前热身试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}|20A x N x =∈-≤，{}|2B x Z x =∈<，则AB =（） A ．{}1B ．1,0,1,2C ．{}0,1D ．()2,2- 2．复数11i z i+=-的模为（）A ．1B ．2CD 3．若a >0，b >0，则不等式－b <1x<a 等价于( ) A ．－1b<x <0或0<x <1a B ．－1a <x <1bC ．x <－1a 或x >1bD ．x <－1b 或x >1a 4．某几何体的主视图和左视图如图所示，则它的俯视图不可能是（）A ．B ．C ．D ．5．某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司2021年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，lg2≈0.30)（）A ．2021年B ．2021年C ．2022年D ．2023年 6．,a b 为非零向量，“||||a b b a =”为“,a b 共线”的（） A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．即不充分也不必要条件 7．已知函数()()2112x x f x x x a e e --+=-++（其中0a >）的最小值为1，则a =（）A ．1B ．13C ．12D ．12-8．已知函数21()cos 22x f x x ωω=+-(0)x R ω>∈，，若函数()f x 在区间(,2)ππ内没有零点，则ω的最大值是( )A ．512B ．56C ．1112D ．329．已知不过坐标原点O 的直线交抛物线22y px =于A ，B 两点，若直线OA ，AB 的斜率分别为2和6，则直线OB 的斜率为（）A ．3B ．2C ．-2D ．-310．2021年“一带一路”沿线64个国家GDP 之和约为12.0万亿美元，占全球GDP 的16.0%；人口总数约为32.1亿，占全球总人口的43.4%；对外贸易总额（进口额＋出口额）约为71885.6亿美元，占全球贸易总额的21.7%.2021年“一带一路”沿线国家情况关于“一带一路”沿线国家2021年状况，能够从上述资料中推出的是（）A ．超过六成人口集中在南亚地区B ．东南亚和南亚国家GDP 之和占全球的8%以上C ．平均每个南亚国家对外贸易额超过1000亿美元D ．平均每个东欧国家的进口额高于平均每个西亚、北非国家的进口额二、填空题11．在()52x -的展开式中，3x 项的系数是__________（用数字作答）．12．锐角三角形ABC 中，若2C B ∠=∠，则的范围是； 13．已知非零向量m →，n →满足4m →=3n →，cos m →〈，13n →〉=.若n →⊥t m n →→⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则实数t 的值为_____________.三、双空题14．双曲线1C ：22195x y -=的离心率为______，双曲线2C 与双曲线1C 有共同的渐近线，且2C 过点()3,5M ，则双曲线2C 的方程为______.15．已知函数()2ln ,021,0x x f x x x x ⎧>⎪=⎨+-≤⎪⎩. （1）()f x 的零点是______；（2）若()f x 的图象与直线1y ax =-有且只有三个公共点，则实数a 的取值范围是______.四、解答题16．设函数()sin()sin()62f x x x ππωω=-+-，其中03ω<<.已知()06f π=. （Ⅰ）求ω；（Ⅱ）将函数()y f x =的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移4π个单位，得到函数()y g x =的图象，求()g x 在3[,]44ππ-上的最小值.17．为了解学生自主学习期间完成数学套卷的情况，一名教师对某班级的所有学生进行了调查，调查结果如下表.（1）从这班学生中任选一名男生，一名女生，求这两名学生完成套卷数之和为4的概率？（2）若从完成套卷数不少于4套的学生中任选4人，设选到的男学生人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望；（3）试判断男学生完成套卷数的方差21s 与女学生完成套卷数的方差22s 的大小（只需写出结论）.18．平行四边形ABCD 所在的平面与直角梯形ABEF 所在的平面垂直，//BE AF ，112AB BE AF ===，且AB AF ⊥，4CBA π∠=，BC =P 为DF 的中点.（1）求证：//PE 平面ABCD ；（2）求证：AC EF ⊥；（3）若直线EF 上存在点H ，使得CF ，BH BH 与平面ADF 所成角的大小.19．已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的离心率为2，过C 的左焦点做x 轴的垂线交椭圆于P 、Q 两点，且1PQ =.（1）求椭圆C 的标准方程及长轴长；（2）椭圆C 的短轴的上下端点分别为A ，B ，点1,2M m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，满足0m ≠，且m ≠若直线AM ，BM 分别与椭圆C 交于E ，F 两点，且BME ∆面积是AMF ∆面积的5倍，求m 的值.20．已知函数()1x x f x e-=. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若对任意[)12,,x x a ∈+∞，都有()()1221ef x f x -≥-成立，求实数a 的最小值. 21．若无穷数列{}n a 满足：1a 是正实数，当2n ≥时，1121max ,,,nn n a a a a a ，则称{}n a 是“Y ﹣数列”．（Ⅰ）若{}n a 是“Y ﹣数列”且11a =，写出4a 的所有可能值；（Ⅱ）设{}n a 是“Y ﹣数列”，证明：{}n a 是等差数列当且仅当{}n a 单调递减；{}n a 是等比数列当且仅当{}n a 单调递增；（Ⅲ）若{}n a 是“Y ﹣数列”且是周期数列（即存在正整数T ，使得对任意正整数n ，都有T n n a a +=），求集合{}112018i i a a ≤≤=的元素个数的所有可能值的个数．参考答案1．B【分析】先求解集合,A B 再求并集即可.【详解】{}{}|200,1,2A x N x =∈-≤=,{}{}|21,0,1B x Z x =∈<=-.故A B =1,0,1,2.故选：B【点睛】本题主要考查了集合的基本运算与绝对值不等式的求解.属于基础题型.2．A【分析】根据复数的除法运算化简11i z i+=-再求模长即可. 【详解】 ()()()()111111i i i z i i i i +++===--+.模长为1. 故选：A【点睛】本题主要考查了复数的除法与模长的计算.属于基础题型.3．D【解析】试题分析：根据题意分类讨论，当0x >时，只需0{1x ax ><，所以1x a>，当0x <时，只需0{1x bx <->，所以1x b <-，因此1b a x -<<的解是1x b <-或1x a>，故选D ．考点：1、分式不等式；2、分类讨论；3、不等式的恒成立．4．D【分析】直接直观想象举出可能满足条件的几何体即可.【详解】对A,此时该几何体为圆锥,满足.对B,此时该几何体为正四棱锥.满足.对C,此时该几何体为正四棱锥的一半.满足.故选：D【点睛】本题主要考查了直观想象能力与三视图的辨析.属于基础题型.5．B【分析】由题意建立指数型函数模型y =130(1＋12%)n ,然后又全年投入的研发资金开始超过200万元，由130(1＋12%)n >200求解.【详解】设经过n 年资金开始超过200万元，即130(1＋12%)n >200.两边取对数，得n ·lg1.12>lg2－lg1.3， ∴n >lg2lg1.3lg1.12-≈0.300.110.05-＝195， ∴n ≥4，∴从2021年开始，该公司投入的研发资金开始超过200万元.故选：B【点睛】本题主要考查指数型函数模型的应用以及指数不等式的解法，属于基础题.6．B【分析】,a b 共线，,a b 方向相同或相反，共线的单位向量不一定相等，结合充分必要条件的判断，即可得出结论.【详解】 ,||||a b b a 分别表示与,a b 同方向的单位向量，||||b a =，则有,a b 共线，而,a b 共线，则,||||a b b a 是相等向量或相反向量， “||||a b b a =”为“,a b 共线”的充分不必要条件. 故选:B.【点睛】本题考查命题充分不必要条件的判定，考查共线向量和单位向量的间的关系，属于基础题. 7．A【分析】根据题意分析当1x =时()2112,x x y x x y a ee --+=-=+分别取得最小值再求解即可.【详解】由题,因为22y x x =-在1x =时取最小值1-,又()112x x y a e e a a --+=+≥⨯=当且仅当1x =时成立.故当1x =时()()2112x x f x x x a e e --+=-++取最小值121a -+=.解得1a =. 故选：A【点睛】本题主要考查了二次函数与基本不等式求最小值的问题,属于中等题型.8．C 【分析】利用三角恒等变换化简()f x ，结合正弦函数图象，即可求解.【详解】211()cos cos sin()2226xf x x x x x ωπωωωω=+-=+=+, 令()0,(),()66k f x x k k Z x k Z πππωπωω=+=∈=-∈，函数()f x 在区间(,2)ππ内没有零点，6(1)26k πωωπππωω-≤⎪⎪⎨+⎪-≥⎪⎩解得111()6212k k k Z ω+-≤≤-∈， 50,0,012k ωω>∴=<≤，5111,612k ω=<≤ ω的最大值是1112. 故选:C.【点睛】本题考查三角函数恒等变换化简，以及三角函数的性质，意在考查直观想象、逻辑推理能力，属于中档题.9．D【解析】设2,2A A y A y p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2,2B B y B y p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，那么22262A B AB A B A B y y p k y y y y p-===-+ ，所以3A B p y y +=，而2222A OA A A y p k y y p=== ，故A y p =，23B y p =-，所以29B x p =，3OB k =-，选D . 10．C【分析】利用表中所给的数据对四个选项逐一判断即可.【详解】A ：南亚地区人口总数为174499.0万人，“一带一路”沿线国家人口总数为：321266.1万人，所以174499.0321266.154%≈，故本选项说法不正确的； B ：东南亚和南亚国家GDP 之和54948.8亿美元，“一带一路”沿线国家GDP 之和120139.6亿美元，所以54948.8120139.646%≈，所以东南亚和南亚国家GDP 之和占“一带一路”沿线国家GDP 之和的46%，因此东南亚和南亚国家GDP 之和占全球的(46%)(16%)7%⨯≈，故本选项说法是不正确的；C ：南亚国家对外贸易额的平均值为：4724.13308.100085.075+=，故本选项说法是正确D ：平均每个东欧国家的进口额为：488.775209775.5=，平均每个西亚、北非国家的进口额为：509.24199675.5≈，故本选项说法是不正确的. 故选：C【点睛】本题考查了根据数据对一些说法进行判断，考查了平均数的求法，考查了数学阅读能力. 11．40-【解析】()52x -的展开式的通项为：552()r r r C x --. 令3r =，得5352()40r r r C x x --=-.答案为：-40. 点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第r ＋1项，再由特定项的特点求出r 值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第r ＋1项，由特定项得出r 值，最后求出其参数.12．(【解析】试题分析：因为2C B ∠=∠，ABC ∆为锐角三角形，所以2,3,,2264B B C B B ππππ∠∠+∠=∠∴<∠< 根据正弦定理，sin 2sin cos 2cos ,sin sin AB C B B B AC B B===根据余弦函数的图象，可知2cos B <<考点：本小题主要考查正弦定理、二倍角公式以及三角函数图象的性质和应用，考查学生的转化能力和数形结合思想的应用.点评：解决此题时，容易漏掉2B C π∠+∠>，从而产生错误结论，所以解题时一定要严谨.【分析】利用向量的数量积公式、向量垂直的性质直接直解．【详解】非零向量m →，n →满足4m →=3n →，cos m →〈，13n →〉=,n →⊥t m n →→⎛⎫+ ⎪⎝⎭, n →∴⋅22+||||cos ,||t m n t m n n t m n m n n →→→→→→→→→→⎛⎫+=⋅=<>+ ⎪⎝⎭ 223||||034t n n →→=⨯+=, 解得4t =-，故答案为：4-【点睛】本题主要考查了向量的数量积公式、向量垂直的性质等基础知识，考查运算能力，属于中档题.14 2212036y y -= 【分析】(1)根据离心率的定义与,,a b c 的关系求解即可.(2)设2C 的方程为2295x y λ-=,再代入()3,5M 求解即可. 【详解】(1)由题,双曲线229,9514a c ==+=,故离心率3c a ==. (2) 设2C 的方程为2295x y λ-=,代入()3,5M 有2235495λλ-=⇒=-. 故2C 方程222241952036x y y x -=-⇒-=.故答案为：(1). (2). 2212036y y -=本题主要考查了双曲线的基本量求法以及共渐近线的双曲线的求法等.属于基础题型.15．1和 1- ()0,2【分析】(1)分段求解零点即可.(2)数形结合画出()2ln ,021,0x x f x x x x ⎧>=⎨+-≤⎩分析其与直线1y ax =-有三个交点的情况即可.【详解】(1)由()2ln ,021,0x x f x x x x ⎧>=⎨+-≤⎩,当0x >时,ln 01x x =⇒=.当0x ≤时,令2210x x +-=有1x =--(2)画出()2ln ,021,0x x f x x x x ⎧>=⎨+-≤⎩的图象有因为1y ax =-过定点(0,−1),要使()f x 的图象与直线1y ax =-有且只有三个公共点,则0a >,当0x ≤时,2()21f x x x =+-函数的导数'()22f x x =+,函数在点(0,−1)处的切线斜率(0)2k f'==,此时直线和2()21f x x x =+-只有一个交点.当1a =时,因为当0x >时1'()f x x =,1'(1)11f ==,此时直线1y ax =-与()f x 的图象仍有三个交点.由图象知要使()f x 的图象与直线1y ax =-有且只有三个公共点,则满足02a <<,故答案为：(1). 1或1- (2). (0,2)【点睛】本题主要考查了函数零点问题的应用,同时也考查了数形结合求解直线与函数的零点个数问题,需要利用求导求斜率分析直线与曲线的相交情况,属于中等题型.16．(Ⅰ) 2ω=.(Ⅱ) 32-. 【解析】试题分析：（Ⅰ）利用两角和与差的三角函数化简得到()y f x =)3x πω=- 由题设知()06f π=及03ω<<可得.（Ⅱ）由（Ⅰ）得())3f x x π=-从而()))4312g x x x πππ=+-=-. 根据3[,]44x ππ∈-得到2[,]1233x πππ-∈-，进一步求最小值. 试题解析：（Ⅰ）因为()sin()sin()62f x x x ππωω=-+-，所以1()cos cos 2f x x x x ωωω=--3cos 22x x ωω=-13(sin )22x x ωω=-)3x πω=- 由题设知()06f π=，所以63k ωπππ-=，k Z ∈.故62k ω=+，k Z ∈，又03ω<<，所以2ω=.（Ⅱ）由（Ⅰ）得())3f x x π=-所以()))4312g x x x πππ=+-=-. 因为3[,]44x ππ∈-，所以2[,]1233x πππ-∈-，当123x ππ-=-，即4πx =-时，()g x 取得最小值32-. 【名师点睛】此类题目是三角函数问题中的典型题目，可谓相当经典.解答本题，关键在于能利用三角公式化简函数、进一步讨论函数的性质，本题易错点在于一是图象的变换与解析式的对应，二是忽视设定角的范围.难度不大，能较好的考查考生的基本运算求解能力及复杂式子的变形能力等.17．（1）796（2）详见解析（3）2212s s > 【分析】(1)根据组合的方法求解所有可能的情况与满足条件的情况数再计算概率即可.(2)X 的取值为0,1,2,3,4.再根据超几何分布的方法求分布列与数学期望即可.(3)直接根据数据观察稳定性判断21s 与22s 的大小即可.【详解】解：（1）设事件A ：从这个班级的学生中随机选取一名男生,一名女生,这两名学生完成套卷数之和为4,由题意可知,()1341712896P A ⨯+⨯==⨯. （2）完成套卷数不少于4本的学生共8人,其中男学生人数为4人,故X 的取值为0,1,2,3,4.由题意可得()44481070C P X C ===； ()13444816817035C C P X C ====； ()224448361827035C C P X C ====；()31444816837035C C P X C ====； ()44481470C P X C ===. 所以随机变量X 的分布列为随机变量X 的均值116361610123427070707070EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. (3)2212s s >.【点睛】本题主要考查了排列组合解决概率的问题与超几何分布的分布列与均值的求解.属于中等题型.18．（1）证明见解析（2）证明见解析（3）6π 【分析】(1)取AF 的中点Q 或取AD 中点M ,利用证平行四边形的方法再证明//PE 平面ABCD 即可.(2)根据勾股定理与余弦定理证明AB AC ⊥,再根据面面垂直的性质得出AC ⊥平面ABEF 即可证明AC EF ⊥.(3) 以AB 、AF 、AC 所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系A xyz -.设(),,0EH EF λλλ==-,再利用空间向量求解关于线面角的问题即可.【详解】（1）解法1：取AF 的中点Q ,连结PQ ,PE ,EQ ,在直角梯形ABEF 中,1AQ BE ==,//BE AQ ,所以四边形ABEQ 为平行四边形,所以//AB EQ ,在ADF ∆中PF PD =,QF QA =,所以//PQ AD ,又因为AM AB A =,所以平面//PQE 平面ABCD ,又PE ⊂平面PQE ,所以//PE 平面ABCD .解法2：取AD 中点M ,连结MP ,MB ,在ADF ∆中,PF PD =,MD MA =,所以//MP AF ,且12MP AF =, 又12BE AF =,//BE AF , 所以//MP BE ,MP BE =,所以四边形BEPM 为平行四边形,所以//PE MB ,因为PE ⊄平面ABCD ,BM ⊂平面ABCD ,所以//PE 平面ABCD .（2）在ABC ∆中1AB =,4CBA π∠=,BC =所以2222cos 1AC AB BC AB BC CBA =+-⨯⨯∠=,所以222AC AB BC +=,所以AB AC ⊥,又平面ABCD ⊥平面ABEF ,平面ABCD平面ABEF AB =,AC ⊂平面ABCD ,所以AC ⊥平面ABEF ,因为EF ⊂平面ABEF ,所以AC EF ⊥.（3）由（1）（2）以A 为原点,以AB 、AF 、AC 所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系A xyz -.所以()1,0,0B ,()0,0,1C ,()1,0,1D -,()1,1,0E ,()0,2,0F , 所以11,1,22P ⎛⎫- ⎪⎝⎭, 所以()0,2,1CF =-,()1,1,0EF =-,()0,1,0BE =,设(),,0EH EF λλλ==-,所以(),1,0BH BE EH λλ=+=-+,所以5BH CFBH CF⋅==, 所以()()2222111λλλ+=++,所以12λ=-, 所以11,,022BH ⎛⎫= ⎪⎝⎭, 设平面ADF 的法向量为(),,n x y z =,所以0000y n AD x z n AF ⎧=⎧⋅=⇒⎨⎨-+=⋅=⎩⎩, 所以令1x =,则()1,0,1n =,如BH 与平面ADF 成的角为θ, 所以1sin 22BH n BH n θ⋅===. 所以6πθ=,即BH 与面ADF 成的角为6π.【点睛】本题主要考查了线面平行与线线垂直的一般方法,同时也考查了建立空间直角坐标系求解线面角的问题,需要设线段的比例关系,求解关于比例参数的解析式根据线面角大小化简求解.属于难题.19．（1）椭圆C 的标准方程为：2214x y +=，长轴长为4（2）1m =± 【分析】(1)根据通径与椭圆的基本量的关系求解即可.(2)分别设直线AM ,直线BM 的方程,联立椭圆的方程,再利用三角形的面积公式表达出BME ∆面积是AMF ∆面积的5倍,再代入韦达定理求解即可.【详解】解：（1）因为椭圆C 的左焦点横坐标为c -, 由()22221c y a b -+=及222a b c =+,得2b y a =±, 故221b a =,又c a =解得：2241a b ⎧=⎨=⎩, 所以,椭圆C 的标准方程为：2214x y +=,长轴长为4. （2）∵()0,1A ,()0,1B -,1,2M m ⎛⎫ ⎪⎝⎭,且0m ≠, ∴直线AM 的斜率为112k m =-,直线BM 斜率为232k m=, ∴直线AM 的方程为112y x m =-+,直线BM 的方程为312y x m =-, 由2214112x y y x m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩得()22140m x mx +-=,∴0x =,241m x m =+,∴22241,11m m E m m ⎛⎫- ⎪++⎝⎭, 由2214312x y y x m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得()229120m x mx +-=,∴0x =,2129m x m =+,∴222129,99m m F m m ⎛⎫- ⎪++⎝⎭； ∵1sin 2AMF S MA MF AMF ∆=∠, 1sin 2BME S MB ME BME ∆=∠, AMF BME ∠=∠,5AMF BME S S ∆∆=, ∴5MA MF MB ME =, 即5MA MBME MF =,又m ≠∴22541219m mm mm m m m =--++, 整理方程得：()22519m m +=+, 解得：1m =±.【点睛】本题主要考查了椭圆中基本量的运算以及直线与椭圆相交求面积的方法等.需要联立方程求解对应的面积表达式,代入韦达定理化简求得参数.属于难题. 20．（1）函数()f x 的单增区间为2,，单减区间为(),2-∞（2）a 的最小值为1【分析】(1)求导后列表分析函数单调性即可.(2)由(1)可知()f x 的最小值为()2f ,再根据恒成立问题的方法分情况分析()()12f x f x -的最小值即可. 【详解】解：（1）由()2'0xx f x e -==解得2x =, 则()'f x 及()f x 的情况如下：所以函数()f x 的单增区间为()2,+∞,单减区间为(),2-∞；（2）法一：当1x >时,()10x xf x e -=<. 当1x <时,()10x xf x e-=>.若1a ≤,由（1）可知()f x 的最小值为()2f ,()f x 的最大值为()f a , 所以“对任意[)12,,x x a ∈+∞,有()()1221ef x f x -≥-恒成立” 等价于“()()212f f a e -≥-”, 即22111a a e e e---≥-, 解得1a ≥.所以a 的最小值为1. 法二：当1x >时,()10x xf x e -=<. 当1x <时,()10x xf x e-=>.且由（1）可知,()f x 的最小值为()212f e =-, 若[)2,a ∈+∞,即2a ≤时, 令12x =,则任取[)2,x a ∈+∞, 有()()()()()122222112e f x f x f f x e f x -=-=--≥-, 所以()20f x ≤对[)2,x a ∈+∞成立,所以必有21x ≥成立,所以[)[),1,a +∞⊆+∞,即1a ≥. 而当1a =时,[)12,1,x x ∀∈+∞,()10f x ≤,()20f x ≤, 所以()()()()1212102f f x e x f x f -≥-≥=-,即1a =满足要求, 而当2a ≥时,求出的a 的值,显然大于1,综上,a 的最小值为1. 【点睛】本题主要考查了根据导数求函数的单调性与利用导数求解恒成立的有关问题,需要求导后分情况讨论函数的最值.属于中等题型.21．（Ⅰ）2,0,2,8；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）1009. 【分析】（Ⅰ）利用递推关系，根据分类讨论思想求解即可；（Ⅱ）当{}n a 是等差数列时，利用反证法可证明{}n a 单调递减，根据等比性质可证后者；（Ⅲ）先证1a 是数列{}n a 的最大项，再证明当n 是奇数时，n a 是1a 的奇数倍，当n 是偶数时，n a 是1a 的偶数倍，即可求出. 【详解】（Ⅰ）由题可知2111max a a a a ，则20a =或2，3212max ,a a a a ，∴当20a =时，30max 1,01a ，则31a =或1-，当22a =时，32max 1,22a ，则30a =或4，43123max ,,a a a a a ，∴当31a =-时，41max 1,0,11a ，则40a =或2-，当30a =时，40max 1,2,02a ，则42a =-或2，当31a =时，41max 1,0,11a ，则40a =或2，当34a =时，44max 1,2,44a ，则40a =或8，综上，4a 的所有可能值为2,0,2,8；（Ⅱ）211a a a ，20a ∴=或12a ，当{}n a 是等差数列时，假设212a a =，则321123a a a a =-=，此时321a a a -=，而{}121max ,2a a a =，矛盾，20a ∴=，于是公差2110d a a a =-=-<，{}n a ∴单调递减，当{}n a 单调递减时，对任意2n ≥，{}1211max ,,,n a a a a -=，又11n n n n a a a a ---=-，11n na a a ，{}n a ∴是等差数列；当{}n a 是等比数列时，20a ≠，212a a ∴=，∴公比21q =>，又10a >，{}n a ∴单调递增，当{}n a 单调递增时，对任意2n ≥，{}1211max ,,,n n a a a a --=，又11n n n n a a a a ---=-，11n nn a a a ，即12n n a a -=，10a ≠，{}n a ∴是等比数列,综上，{}n a 是等差数列当且仅当{}n a 单调递减；{}n a 是等比数列当且仅当{}n a 单调递增；（Ⅲ）先证1a 是数列{}n a 的最大项，事实上，如果i 是第一个大于1a 的项的脚标，则由{}112max ,,,i i i i a a a a a a +-==知，1i a +是i a 的倍数，假设121,,,i i ik a a a 都是i a 的倍数，则由112111max ,,,max ,,,iki k ik i i ik a a a a a a a a 知，i k a +是i a 的倍数，所以由归纳法知，对任意n i ≥，n a 都是i a 的倍数，但1a 不是i a 的倍数，这与{}n a 是周期数列矛盾，所以1a 是数列{}n a 的最大项，从而当2n ≥时，11n n a a a --=，再证明当n 是奇数时，n a 是1a 的奇数倍；当n 是偶数时，n a 是1a 的偶数倍，事实上，当1n =时结论成立，假设n k =时成立，当1n k =+时，由11k K a a a 知，结论也成立，所以，当1i a a ，i 的值只能是奇数，所以集合{}112018i i a a ≤≤=的元素个数最多有1009个；下证集合{}112018i i a a ≤≤=的元素个数可以是11009的所有整数，事实上，对于2019i =，可取数列为：11111,0,,0,,0,,,0,a a a a 个周期即：所有的奇数项均等于1a ，所有的偶数项均等于0，此时，数列为“Y ﹣数列”，且2T =，对于任意整数11009t ，构造数列的前2018项如下：111111111009,0,,0,,,0,,0,,0,,,0t t a a a a a a 组组共组共组，由于数列是无穷数列，故可取=2018T ，显然满足数列是“Y ﹣数列”，综上，集合{}112018i i a a ≤≤=的元素个数的所有可能值的个数是1009. 【点睛】本题考查递推关系的综合应用以及反证法证明，属于难题.。

北京市人大附中高考数学前热身练习题文理北师大版

（请认真完成每一道题） 1、命题“存在0x ∈R ，02x ≤0”的否定是（ D ）复习量词、命题的否定（A ）不存在0x ∈R, 02x >0 （B ）存在0x ∈R, 02x ≥0（C ）对任意的x ∈R, 2x ≤0 （D ）对任意的x ∈R, 2x >02、设函数1()ln (0),3f x x x x =->则()y f x = （ D ） A 在区间1(,1),(1,)e e 内均有零点。

什么是零点？ B 在区间1(,1),(1,)e e 内均无零点。

C 在区间1(,1)e 内有零点，在区间(1,)e 内无零点。

D 在区间1(,1)e 内无零点，在区间(1,)e 内有零点。

3、执行右边的程序框图，输出的T= 30 . 读懂程序框图，逐步推演。

4、如图是一个几何体的三视图，若它的体积是33，则=a ____3___ 三视图：注意还原几何体5、随机抽取某中学甲乙两班各10名同学,测量他们的身高(单位:cm),获得身高数据的茎叶图如图7.(1)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高; （乙）(2)计算甲班的样本方差（57）(3)现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm 的同学,求身高为176cm 的同学被抽中的概率. (25) 读懂茎叶图，学会算平均数、方差，标准差，将两者进行比较。

6、1200cos xdx x dx π⎰+⎰的值为 13 学会求简单的定积分。

开始S=0,T=0,n=0T>S S=S+5 n=n+2T=T+n输出T 结束是否 · PCBA DEO7、点P （1，0）到曲线⎩⎨⎧==ty t x 22（其中参数t ∈R ）上的点的最短距离为 1 参数方程与极坐标相关知识请读教材与笔记8、极坐标方程2cos ρθ=化成直角坐标方__2220x y x +-=_________.9、如图，PC 切O 于点C ，割线PAB 经过圆心O ，弦CD AB ⊥于点E ，已知O 的半径为3，2PA =，则PC =__4__，OE =___95__. 几何证明：相似、圆的简单问题10、某单位为了了解用电量y （度）与气温x （°C ）之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：由表中数据得线性回归方程ˆy bx a =+中2b =-，预测当气温为4C -︒时，用电量的度数约为．68 注意：线性回归方程（读教材）。

2020届北京市人大附中高三(6月份)高考数学考前热身试题(解析版)

7．已知函数（其中）的最小值为1，则（）
A．1B． C． D．
【答案】A
【解析】根据题意分析当时分别取得最小值再求解即可.
【详解】
由题,因为在时取最小值 ,
又当且仅当时成立.
故当时取最小值 .解得 .
故选：A
【点睛】
本题主要考查了二次函数与基本不等式求最小值的问题,属于中等题型.
D．平均每个东欧国家的进口额高于平均每个西亚、北非国家的进口额
【答案】C
【解析】利用表中所给的数据区人口总数为174499.0万人，“一带一路”沿线国家人口总数为：321266.1万人，所以，故本选项说法不正确的；
B：东南亚和南亚国家GDP之和54948.8亿美元，“一带一路”沿线国家GDP之和120139.6亿美元，所以，所以东南亚和南亚国家GDP之和占“一带一路”沿线国家GDP之和的，因此东南亚和南亚国家GDP之和占全球的，故本选项说法是不正确的；
9．已知不过坐标原点的直线交抛物线于，两点，若直线，的斜率分别为2和6，则直线的斜率为（）
A．3B．2C．-2D．-3
【答案】D
【解析】设，，那么，所以，而，故，，所以，，选 .
10．2016年“一带一路”沿线64个国家GDP之和约为12.0万亿美元，占全球GDP的；人口总数约为32.1亿，占全球总人口的；对外贸易总额（进口额＋出口额）约为71885.6亿美元，占全球贸易总额的 .
【答案】
【解析】的展开式的通项为： .
令，得 .
答案为：-40.
点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略
(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第r＋1项，再由特定项的特点求出r值即可.

北京中国人大附中2020届高三上学期期中模拟统练数学试题(解析版)

人大附中2020届高三上学期模拟统练数学一､选择题1.已知集合(){}10M x x x =+>，{N x y ==，则M N ⋃=（）A. ()[),10,-∞-⋃+∞ B. (][),10,-∞-+∞U C. M D. N【答案】A【分析】求出集合M 、N ，然后利用并集的定义可求出集合M N ⋃.【详解】(){}()()10,10,M x x x =+>=-∞-⋃+∞Q ，{[)0,N x y ===+∞，因此，()[),10,M N =-∞-+∞U U .故选：A.【点睛】本题考查并集的计算，同时也考查了一元二次不等式和具体函数定义域的求解，考查运算求解能力，属于基础题.2.下列函数满足对x R ∀∈，()()0f x f x -+=恒成立的是（） A. ()xxf x e e -=+B. ()1f x x=C. ()sin f x x x =+D. ()1ln 1xf x x+=-【答案】C 【分析】根据题意知，所选函数是定义域为R 的奇函数，然后逐一分析各选项中函数的定义域和奇偶性，可得出正确选项.【详解】x R ∀∈，()()0f x f x -+=，则()()f x f x -=-，所以，函数()y f x =是定义域为R 的奇函数.对于A 选项，函数()xxf x e e -=+的定义域为R ，()()xx f x ee f x --=+=，该函数为偶函数；对于B 选项，函数()1f x x=的定义域为{}0x x ≠，不满足定义域为R ；对于C 选项，函数()sin f x x x =+的定义域为R ，()()()sin sin f x x x x x f x -=-+-=--=-，该函数为奇函数；对于D 选项，由101xx +>-，得101x x +<-，解得11x -<<，该函数的定义域为()1,1-，不满足定义域为R . 故选：C.【点睛】本题考查函数定义域与奇偶性的判断，根据题中代数式将问题转化为函数的定义域和奇偶性进行判断是解题的关键，考查推理能力，属于中等题. 3.已知函数()f x 与()f x '的图象如图所示，则不等式()()04f x f x x ⎧>⎨<<'⎩的解集为（）A. ()0,1B. 41,3⎛⎫⎪⎝⎭C. 4,23⎛⎫⎪⎝⎭D. ()2,4【答案】A【分析】对图中实线部分曲线为函数()y f x =或其导函数()y f x '=的图象进行分类讨论，结合导数符号与原函数单调性之间的关系进行分析，再结合图象得出不等式()()04f x f x x ⎧>⎨<<'⎩的解集.【详解】若图中实线部分曲线为函数()y f x =的图象，则虚线部分曲线为导函数()y f x '=的图象，由导函数()y f x '=的图象可知，函数()y f x =在区间()0,4上的单调递减区间为()0,2，但函数()y f x =在区间()0,2上不单调，不合乎题意；若图中实线部分曲线为导函数()y f x '=的图象，则函数()y f x =在区间()0,4上的减区间为40,3⎛⎫ ⎪⎝⎭，增区间为4,43⎛⎫⎪⎝⎭，合乎题意. 由图象可知，不等式()()04f x f x x ⎧>⎨<<'⎩的解集为()0,1.故选：A.【点睛】本题考查利用图象解不等式，解题的关键就是要结合导函数与原函数之间的关系确定两个函数的图象，考查数形结合思想以及推理能力，属于中等题.4.在矩形ABCD 中，M 为CD 中点，N 在边BC 上运动，若(),MN AB AD R λμλμ=+∈u u u u r u u u r u u u r，则μ的取值范围是（） A. []0,1 B. 10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. []1,0-D. 1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】C【分析】作出图形，根据向量加法的三角形法则将MN u u u u r 用基底AB u u u r 、AD u u u r表示，结合MN AB AD λμ=+u u u u r u u u r u u u r 可求出实数μ的取值范围. 【详解】如下图所示：1122MN MC CN DC CN AB CN AB AD λμ=+=+=+=+u u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，CN AD BC μμ∴==u u u r u u u r u u u r ，N Q 在线段BC 上，且CN u u u r 与AD u u u r方向相反，所以，10μ-≤≤.故选：C.【点睛】本题考查了平面向量的基本定理，考查学生的分析能力，计算能力，属于中档题． 5.若0x y ->，则下列结论一定成立的是（）A. 1122x y⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x y > C. x y > D. x y >【答案】C【分析】首先得到x y >，然后对选项逐一分析，由此得出正确选项.【详解】对于A 选项，由于12x y =在R 上递减，而x y >，故1122x y⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以A 选项错误. 对于B 选项，由于,x y 可能是负数，故B 选项错误.对于C 选项，由于x x y ≥>，故x y >成立，所以C 选项正确.。

2020年北京市人大附中高考数学模拟试卷(4月份)(解析版)

2020年北京市人大附中高考数学模拟试卷（4月份）一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每道小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的，请将答案涂在机读卡上的相应位置上．）1．（4分）集合A＝{x|x＞2，x∈R}，B＝{x|x2﹣2x﹣3＞0}，则A∩B＝（）A．（3，+∞）B．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）C．（2，+∞）D．（2，3）2．（4分）已知复数z＝a2i﹣2a﹣i是正实数，则实数a的值为（）A．0B．1C．﹣1D．±13．（4分）下列函数中，值域为R且为奇函数的是（）A．y＝x+2B．y＝sin x C．y＝x﹣x3D．y＝2x4．（4分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a3＝2，a1+a4＝5，则S6＝（）A．10B．9C．8D．75．（4分）在平面直角坐标系xOy中，将点A（1，2）绕原点O逆时针旋转90°到点B，设直线OB与x轴正半轴所成的最小正角为α，则cosα等于（）A．﹣B．﹣C．D．﹣6．（4分）设a，b，c为非零实数，且a＞c，b＞c，则（）A．a+b＞c B．ab＞c2C．D．7．（4分）某四棱锥的三视图如图所示，记S为此棱锥所有棱的长度的集合，则（）A．2，且∉S B．2，且∈SC．，且D．，且8．（4分）已知点M（2，0），点P在曲线y2＝4x上运动，点F为抛物线的焦点，则的最小值为（）A．B．2（﹣1）C．4D．49．（4分）已知函数的部分图象如图所示，将此图象分别作以下变换，那么变换后的图象可以与原图象重合的变换方程是（）①绕着x轴上一点旋转180°；②沿x轴正方向平移；③以x轴为轴作轴对称；④以x轴的某一条垂线为轴作轴对称．A．①③B．③④C．②③D．②④10．（4分）设函数f（x）＝，若关于x的方程f（x）＝a（a∈R）有四个实数解x i（i＝1，2，3，4），其中x1＜x2＜x3＜x4，则（x1+x2）（x3﹣x4）的取值范围是（）A．（0，101]B．（0，99]C．（0，100]D．（0，+∞）二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）11．（5分）在二项式（x2+2）6的展开式中，x8的系数为．12．（5分）若向量满足，则实数x的取值范围是．13．（5分）在党中央的正确指导下，通过全国人民的齐心协力，特别是全体一线医护人员的奋力救治，二月份“新冠肺炎”疫情得到了控制．如图是国家卫健委给出的全国疫情通报，甲、乙两个省份从2月7日到2月13日一周的新增“新冠肺炎”确诊人数的折线图如下：根据图中甲、乙两省的数字特征进行比对，通过比较把你得到最重要的两个结论写在答案纸指定的空白处．①．②．14．（5分）函数的最小正周期为；若函数f（x）在区间（0，a）上单调递增，则a的最大值为．15．（5分）集合A＝{（x，y）||x|+|y|＝a，a＞0}，B＝{（x，y）||xy|+1＝|x|+|y|}，若A∩B是平面上正八边形的顶点所构成的集合，则下列说法正确的为．①a的值可以为2；②a的值可以为；③a的值可以为2+；三、解答题（本大题共6个小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．）16．（13分）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）满足下列3个条件中的2个条件：①函数f（x）的周期为π；②x＝是函数f（x）的对称轴；③f（）＝0且在区间（，）上单调．（Ⅰ）请指出这二个条件，并求出函数f（x）的解析式；（Ⅱ）若x∈[0，]，求函数f（x）的值域．17．（15分）在四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD中，BC∥AD，CD⊥AD，PO⊥平面ABCD，O是AD的中点，且PO＝AD＝2BC＝2CD＝2．（Ⅰ）求证：AB∥平面POC；（Ⅱ）求二面角O﹣PC﹣D的余弦值；（Ⅲ）线段PC上是否存在点E，使得AB⊥DE，若存在指出点E的位置，若不存在，请说明理由．18．（14分）2019年底，北京2022年冬奥组委会启动志愿者全球招募，仅一个月内报名人数便突破60万，其中青年学生约有50万人．现从这50万青年学生志愿者中，按男女分层抽样随机选取20人进行英语水平测试，所得成绩（单位：分）统计结果用茎叶图记录如图：（Ⅰ）试估计在这50万青年学生志愿者中，英语测试成绩在80分以上的女生人数；（Ⅱ）从选出的8名男生中随机抽取2人，记其中测试成绩在70分以上的人数为X，求X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）为便于联络，现将所有的青年学生志愿者随机分成若干组（每组人数不少于5000），并在每组中随机选取m个人作为联络员，要求每组的联络员中至少有1人的英语测试成绩在70分以上的概率大于90%．根据图表中数据，以频率作为概率，给出m的最小值．（结论不要求证明）19．（14分）设函数f（x）＝alnx+x2﹣（a+2）x，其中a∈R．（Ⅰ）若曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处切线的倾斜角为，求a的值；（Ⅱ）已知导函数f'（x）在区间（1，e）上存在零点，证明：当x∈（1，e）时，f（x）＞﹣e2．20．（15分）设椭圆，直线l1经过点M（m，0），直线l2经过点N（n，0），直线l1∥直线l2，且直线l1、l2分别与椭圆E相交于A，B两点和C，D两点．（Ⅰ）若M，N分别为椭圆E的左、右焦点，且直线l1⊥x轴，求四边形ABCD的面积；（Ⅱ）若直线l1的斜率存在且不为0，四边形ABCD为平行四边形，求证：m+n＝0；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，判断四边形ABCD能否为矩形，说明理由．21．（14分）对于正整数n，如果k（k∈N*）个整数a1，a2，…，a k满足1≤a1≤a2≤…≤a k ≤n，且a1+a2+…+a k＝n，则称数组（a1，a2，…，a k）为n的一个“正整数分拆”．记a1，a2，…，a k均为偶数的“正整数分拆”的个数为f n；a1，a2，…，a k均为奇数的“正整数分拆”的个数为g n．（Ⅰ）写出整数4的所有“正整数分拆”；（Ⅱ）对于给定的整数n（n≥4），设（a1，a2，…，a k）是n的一个“正整数分拆”，且a1＝2，求k的最大值；（Ⅲ）对所有的正整数n，证明：f n≤g n；并求出使得等号成立的n的值．（注：对于n的两个“正整数分拆”（a1，a2，…，a k）与（b1，b2，…，b n），当且仅当k ＝m且a1＝b1，a2＝b2，…，a k＝b m时，称这两个“正整数分拆”是相同的．）2020年北京市人大附中高考数学模拟试卷（4月份）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每道小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的，请将答案涂在机读卡上的相应位置上．）1．【分析】求出集合B，再求出交集【解答】解：A＝{x|x＞2，x∈R}，B＝{x|x2﹣2x﹣3＞0}＝{x|x＞3或者x＜﹣1}，则A∩B＝（3，+∞），故选：A．2．【分析】结合已知及复数的概念进行求解即可．【解答】解：因为z＝a2i﹣2a﹣i是正实数，所以，解可得a＝﹣1．故选：C．3．【分析】分别结合奇偶性及函数的值域判断各选项即可求解．【解答】解：A：y＝x+2为非奇非偶函数，不符合题意；B：y＝sin x的值域[﹣1，1]，不符合题意；C：y＝x﹣x3为奇函数且值域为R，符合题意；D：y＝2x为非奇非偶函数，不符合题意．故选：C．4．【分析】先求出公差，再根据求和公式即可求出．【解答】解：等差数列{a n}的前n项和为S n，若a3＝2，a1+a4＝5，∴a3﹣2d+a3+d＝5，∴4﹣d＝5，解得d＝﹣1，∴a1＝2+2＝4，a6＝a1+5d＝4﹣5＝﹣1，∴S6＝＝＝9，故选：B．5．【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，复数乘法的几何意义，诱导公式，求出cosα的值．【解答】解：在平面直角坐标系xOy中，将点A（1，2）绕原点O逆时针旋转90°到点B，设点B（x，y），则x+yi＝（1+2i）•（cos90°+i sin90°），即x+yi＝﹣2+i，∴x＝﹣2，y＝1，即B（﹣2，1）．由题意，sin（α﹣90°）＝＝﹣cosα，∴cosα＝﹣＝﹣，故选：A．6．【分析】利用不等式的可加性得a+b＞2c，由此可判断选项C正确．【解答】解：∵a＞c，b＞c，∴a+b＞2c，∴．故选：C．7．【分析】首先把三视图转换为几何体，进一步求出个各棱长．【解答】解：根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体为四棱锥体，如图所示：所以：AB＝BC＝CD＝AD＝DE＝2，AE＝CE＝2，BE＝．故选：D．8．【分析】设出P的坐标，利用已知条件化简表达式，通过基本不等式求解最小值即可．【解答】解：设P（x，y），可得＝＝＝x≥2＝4．当且仅当x＝2时取得最小值4．故选：D．9．【分析】结合图象直接观察得解．【解答】解：由图象可知，函数f（x）具有周期性，且有对称轴，故②④正确．故选：D．10．【分析】由函数的图象及性质判断出x1，x2，x3，x4之间的关系，进而把所求式子转化为函数y＝x﹣在[，1）上取值范围，即可得到所求范围．【解答】解：函数f（x）＝的图象如右：关于x的方程f（x）＝a（a∈R）有四个实数解，可得y＝f（x）的图象与直线y＝a有四个交点，可以判断0＜a≤1，x1+x2＝2×（﹣5）＝﹣10，|lgx3|＝|lgx4|≤1，且≤x3＜1，1＜x4≤10，可得﹣lgx3＝lgx4，即lgx3+lgx4＝0，即有x3x4＝1，x4＝，故（x1+x2）（x3﹣x4）＝﹣10（x3﹣），又由函数y＝x﹣在[，1）上递增，可得函数y＝x﹣在[，1）上的值域为[﹣9.9，0），可知﹣10（x3﹣）的取值范围为（0，99]．故选：B．二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）11．【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于8，求得r的值，即可求得展开式的x8项的系数．【解答】解：二项式（x2+2）6展开式的通项公式为T r+1＝•x12﹣2r•2r＝2r•x12﹣2r，令12﹣2r＝8，解得r＝2，故二项式（x2+2）6展开式中的x8项的系数为：22＝60，故答案为：60．12．【分析】先利用向量数量积的坐标运算得出，再解关于x的不等式即可．【解答】解：因为：向量；∴＝x2+2x；∴⇒x2+2x＜3⇒﹣3＜x＜1；故实数x的取值范围是：（﹣3，1）．故答案为：（﹣3，1）．13．【分析】直接由频率折线图得结论．【解答】解：由频率折线图可知，甲省控制较好，确诊人数趋于减少；乙省确诊人数相对稳定，也向好的趋势发展．故答案为：①甲省控制较好，确诊人数趋于减少；②乙省确诊人数相对稳定，也向好的趋势发展．14．【分析】由题意利用正弦函数的周期性和单调性，得出结论．【解答】解：函数的最小正周期为；若函数f（x）在区间（0，a）上单调递增，当x＝0时，2x+＝；当x＝a时，2x+＝2a+，∴2a+≤，∴0＜a≤，故答案为：π；．15．【分析】根据曲线性质求出集合A，B对应的图象，结合两角和差的正切公式进行求解即可．【解答】解：A＝{（x，y）||x|+|y|＝a，a＞0}，x≥0，y≥0时，即x+y＝a表示在第一象限内的线段将x，y分别换成﹣x，﹣y方程不变，因此|x|+|y|＝a关于x轴对称，也关于y轴对称那么，集合A＝{（x，y）||x|+|y|＝a，a＞0}表示点集为正方形，∵|xy|+1＝|x|+|y|∴|xy|﹣|x|﹣|y|+1＝0即（|x|﹣1）（|y|﹣1）＝0∴|x|＝1或|y|＝1即x＝±1，y＝±1B＝{（x，y）|x＝±1，或x＝±1}，表示2组平行线，A∩B为8个点，构成正八边形①如图1，∠AOB＝45°又A（1，a﹣1），∴tan∠xOA＝a﹣1，tan∠AOB＝tan2∠xOA＝＝＝1，即2a﹣2＝2a﹣a2，∴a2＝2∵a＞0，∴a＝②如图2，∠AOB＝45°又A（a﹣1，1）∴tan∠xOA＝，tan∠AOB＝tan2∠xOA＝＝＝＝1，即2a﹣2＝﹣2a+a2，∴a2﹣4a+2＝0，解得a＝2+或a＝2﹣（舍），综上a＝或a＝2+．故答案为：②③．三、解答题（本大题共6个小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．）16．【分析】（Ⅰ）由题意知应选择①②，由①求出ω的值，由②结合题意求出φ的值，写出函数的解析式；（Ⅱ）根据x的取值范围，利用三角函数的图象与性质求出函数的值域．【解答】解：（Ⅰ）由题意知选择①②；由函数f（x）的周期为π，得ω＝＝2；又x＝是函数f（x）的对称轴，所以2×+φ＝+kπ，k∈Z；解得φ＝+kπ，k∈Z；又|φ|＜，所以φ＝；所以f（x）＝sin（2x+）．（Ⅱ）x∈[0，]时，2x+∈[，]，所以sin（2x+）∈[，1]，所以函数f（x）在x∈[0，]内的值域是[，1]．17．【分析】（Ⅰ）易证四边形AOBC是平行四边形，进而得到AB∥OC，由此得证；（Ⅱ）建立空间直角坐标系，求出平面OPC及平面PCD的法向量，利用向量公式得解；（Ⅲ）假设存在，设出点E的坐标，通过AB⊥DE时，它们的数量积为0，建立方程即可得出结论．【解答】解：（Ⅰ）连接OC，∵O是AD的中点，AD＝2BC＝2，BC∥AD，∴OA∥BC，且OA＝BC＝1，∴四边形AOBC是平行四边形，∴AB∥OC，∵AB不在平面POC内，OC在平面POC内，∴AB∥平面POC；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，四边形OBCD也为平行四边形，又OD＝CD＝1，CD⊥AD，∴四边形OBCD是正方形，则OB⊥OD，又PO⊥平面ABCD，故以O为坐标原点，OB，OD，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则O（0，0，0），P（0，0，2），C（1，1，0），D（0，1，0），，设平面OPC的一个法向量为，则，可取，设平面PCD的一个法向量为，则，可取，设二面角O﹣PC﹣D的平面角为θ，则；（Ⅲ）假设线段PC上存在点E，且满足，使得AB⊥DE，设E（r，t，s），则（r，t，s﹣2）＝λ（1，1，﹣2）＝（λ，λ，﹣2λ），故，即E （λ，λ，2﹣2λ），∴，又，∴，解得，故线段PC上存在点E，且满足，使得AB⊥DE．18．【分析】（I ）由图表可知，测试成绩在80分以上的女生有2人，占比为，再求出结论即可；（II ）根据题意，选取的8名男生中，成绩在70分以上的有3人，70分及其以下的有5人，X ＝0，1，2，求出分布列和数学期望；（III ）根据题意，求出即可．【解答】解：（I ）由图表可知，测试成绩在80分以上的女生有2人，占比为，在这50万青年学生志愿者中，英语测试成绩在80分以上的女生人数约为50×0.1＝5万人；（II ）由图表得，选取的8名男生中，成绩在70分以上的有3人，70分及其以下的有5人，记其中测试成绩在70分以上的人数为X ，选出的8名男生中随机抽取2人，则X ＝0，1，2，则P （X ＝0）＝，P （X ＝1）＝，P （X ＝2）＝，X 的分布列如下：x 0 1 2 p故E （X ）＝0，（III ）m 的最小值为4．19．【分析】（Ⅰ）求出函数在x＝2处的导数f′（2）＝﹣+2＝tan＝1，解得a＝2；（Ⅱ）根据导函数在（1，e）上存在零点，则f′（x）＝0在（1，e）上有解，则有1＜＜e，即2＜a＜2e，得到函数f（x）的最小值，构造函数g（x）＝xlnx﹣﹣（1+ln2）x，2＜x＜2e，利用导数判断出其单调性，结合不等式传递性可证．【解答】（Ⅰ）解：根据条件f′（x）＝+2x﹣（a+2），则当x＝2时，f′（2）＝+4﹣（a+2）＝﹣+2＝tan＝1，解得a＝2；（Ⅱ）证明：因为f′（x）＝+2x﹣（a+2）＝，又因为导函数f′（x）在（1，e）上存在零点，所以f′（x）＝0在（1，e）上有解，则有1＜＜e，即2＜a＜2e，且当1＜x＜时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当＜x＜e时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，所以f（x）≥f（）＝aln+﹣（a+2）＝alna﹣﹣（1+ln2）a，设g（x）＝xlnx﹣﹣（1+ln2）x，2＜x＜2e，则g′（x）＝lnx+1﹣﹣（1+ln2）＝lnx﹣﹣ln2，则g′′（x）＝﹣＜0，所以g′（x）在（2，2e）上单调递减，所以g（x）在（2，2e）上单调递减，则g（2e）＝2eln2e﹣e2﹣2e（1+ln2）＝﹣e2＜g（2），所以g（x）＞﹣e2，则根据不等式的传递性可得，当x∈（1，e）时，f（x）＞﹣e2．20．【分析】（Ⅰ）易知，此时四边形ABCD为矩形，且，由此求得面积；（Ⅱ）设直线l1的方程，并与椭圆方程联立，可得到|AB|的长度，同理可得|CD|的长度，由|AB|＝|CD|，可得m2＝n2，进而得证；（Ⅲ）运用反证法，假设平行四边形ABCD为矩形，但此时推出直线l1⊥x轴，与题设矛盾，进而得出结论．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得，，且四边形ABCD 为矩形，∴；（Ⅱ）证明：由题可设，l1：x＝ty+m（t∈R），A（x1，y1），B（x2，y2），由得，（t2+2）y2+2mty+m2﹣2＝0，∴，且△＝4m2t2﹣4（t2+2）（m2﹣2）＞0，即t2﹣m2+2＞0，∴＝＝，同理可得，∵四边形ABCD为平行四边形，∴|AB|＝|CD|，即m2＝n2，由m≠n，故m＝﹣n，即m+n＝0，即得证；（Ⅲ）不能为矩形，理由如下：点O到直线l1，直线l2的距离分别为，由（Ⅱ）可知，m＝﹣n，∴点O到直线l1，直线l2的距离相等，根据椭圆的对称性，原点O应为平行四边形ABCD的对称中心，假设平行四边形ABCD为矩形，则|OA|＝|OB|，那么，则，∴x1＝x2，这是直线l1⊥x轴，这与直线l1的斜率存在矛盾，故假设不成立，即平行四边形ABCD不为矩形．21．【分析】（Ⅰ）由“正整数分拆”的定义能求出整数4的所有“正整数分拆”．（Ⅱ）欲使k最大，只须a i最小，由此根据n为偶数和n为奇数，能求出k的最大值．（Ⅲ）当n为奇数时，f n＝0，满足f n≤g n；当n为偶数时，设（a1，a2，…，a k）为满足a1，a2，…，a k均为偶数的一个确定的“正整数分拆”，则他对应了各数均为奇数的分拆，从而f n≤g n；当n＝2时，f2＝g2；当n＝4时，f4＝g4；当n≥6时，f n≤g n．由此能证明f n≤g n，并能求出等号成立的n的值为2，4．【解答】解：（Ⅰ）解：整数4的所有“正整数分拆”有：（4），（1，3），（2，2），（1，1，2），（1，1，1，1，）．（Ⅱ）解：欲使k最大，只须a i最小，当n为偶数时，a1＝a2＝…＝a k＝2，k＝，当n为奇数时，a1＝a2＝…＝a k﹣1＝2，a k＝3，k＝．（Ⅲ）证明：①当n为奇数时，不存在a1，a2，…，a k均为偶数的一个确定的“正整数分拆”，即f n＝0，满足f n≤g n；②当n为偶数时，设（a1，a2，…，a k）为满足a1，a2，…，a k均为偶数的一个确定的“正整数分拆”，则他至少对应了（1，1，…，1）和（1，1，…，1，a1﹣1，a2﹣1，…，a k﹣1）这两种各数均为奇数的分拆，∴f n≤g n；③当n＝2时，a i均为偶数的“正整数分拆“只有：（2），a i均为奇数的”正整数分拆“只有：（1，1），f2＝g2；当n＝4时，a i均为偶数的”正整数分拆“只有：（4），（2，2），a i均为奇数的”正整数分拆“只有：（1，1，1），（1，3），f4＝g4；当n≥6时，对于每一种a i均为偶数的”正整数分拆“，除了各项不全为1的奇数分拆之外至少多出一个各为1的”正整数分拆“（1，1，…，1），∴f n≤g n．综上，使得f n≤g n中等号成立的n的值为2，4。

2023-2024学年北京市中国人民大学附属中学高三下学期5月热身练习数学试卷(三模)含详解

中国人民大学附属中学高三热身练习数学命题：高三数学组本试卷共7页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合{}21,{}P x x M a =≤=∣，若P M M = ，则实数a 的取值范围是（）A.(,1]-∞- B.[1,1]- C.[)1,+∞ D.][(),11,-∞-⋃+∞2.若||1,||2,( )a b a b a ==-⊥r r r r r，则向量a 与b 的夹角为（）A.30︒B.60︒C.120︒D.150︒3.已知nx⎫-⎪⎭的二项式系数之和为64，则其展开式的常数项为（）A .240- B.240 C.60D.60-4.已知,R x y ∈，且x y >，则（）A.11x y-<0 B.tan tan 0x y ->C.110e e xy⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D.ln ||ln ||0x y ->5.若双曲线221:142x y C -=与22222:1y x C a b-=具有相同的渐近线，则2C 的离心率为（）A.2B.C.D.6.已知函数1,0()1,0x f x x -<⎧=⎨≥⎩，则不等式(1)1xf x -≤的解集为()．A.[1,)-+∞ B.(,1]-∞ C.[1,2]D.[1,1]-7.已知(1,0),(1,0)A B -，若点P 满足PA PB ⊥，则点P 到直线:((1)0l m x n y -+-=的距离的最大值为（）A.1B.2C.3D.48.在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .则“,,a b c 成等比数列”是sin 2B ≤的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件9.故宫角楼的屋顶是我国十字脊顶的典型代表，如图1，它是由两个完全相同的直三棱柱垂直交叉构成，将其抽象成几何体如图2所示.已知三楼柱ABF CDE -和BDG ACH -是两个完全相同的直三棱柱，侧棱EF 与GH 互相垂直平分，,EF GH 交于点I ，AF BF a ==，AF BF ⊥，则点G 到平面ACEF 的距离是（）A.33a B.12a C.2a D.24a 10.2024年1月17日我国自行研制的天舟七号货运飞船在发射3小时后成功对接于空间站天和核心舱后向端口，创造了自动交会对接的记录.某学校的航天科技活动小组为了探索运动物体追踪技术，设计了如下实验：目标P 在地面轨道上做匀速直线运动；在地面上相距7m 的A ，B 两点各放置一个传感器，分别实时记录A ，B 两点与物体P 的距离.科技小组的同学根据传感器的数据，绘制了“距离-时间”函数图像，分别如曲线a ，b 所示.1t 和2t 分别是两个函数的极小值点.曲线a 经过()()0110,,,r t r 和()20,t r ，曲线b 经过()22,t r .已知211212,4m,4s rt r t r t ===，并且从0=t 时刻到2=t t 时刻P 的运动轨迹与线段AB 相交.分析曲线数据可知，P 的运动轨迹与直线AB 所成夹角的正弦值以及P 的速度大小分别为（）A.613,m /s 74 B.613,m /s 72 C.235,m /s 74D.235,m /s 72第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.若2i1ia +-是纯虚数，则实数a 的值为__________.12.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线与x 轴的交点为A ，点B 在C 上.若||2FB =，则直线AB 的方程为__________.13.使lg lg lg()a b a b +=+成立的一组a ，b 的值为=a __________，b =__________.14.已知函数()sin(π)(0,0π)f x x ωϕωϕ=+><≤，若()f x 是偶函数，则ϕ=__________；若圆面222x y +≤恰好覆盖()f x 图象的最高点或最低点共3个，则ω的取值范围是__________.15.已知数列{}n a 的前n 项和为1,1n S a =且()2*11,Nn n a S n +=+∈，给出下列四个结论：①长度分别为11,,n n aS +的三条线段可以构成一个直角三角形：②*1N ,2n n n S -∀∈≥；③*21N ,2n n n n a a a ++∀∈+<；④*11πN ,2cos2n n n n a a ++∀∈=.其中所有正确结论的序号是__________.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.如图，四边形ABCD 为菱形，π,23ABC AB ∠==，把ABC 沿着BC 折起，使A 到1A 位置.（1）证明：1BC AA ⊥；（2）若1AA =，求直线1DA 与平面1ABA 所成角的正弦值；（3）在（2）的条件下，求点D 到平面1ABA 的距离.17.已知函数2()cos 2cos ,(0)f x x x x ωωωω=+>的最小正周期为π.（1）求ω的值；（2）在锐角ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .c 为()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求a b -的取值范围.条件①：cos cos 2cos a B b A c C +=；条件②：2sin cos sin 2a A B b A +=；条件③：ABC 的面积为S ，且)2224a b c S +-=.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个条件计分.18.某口罩加工厂加工口罩由A ，B ，C 三道工序组成，每道工序之间相互独立，且每道工序加工质量分为高和低两种层次级别，A ，B ，C 三道工序加工的质量层次决定口罩的过滤等级；A ，B ，C 工序加工质量层次均为高时，口罩过滤等级为100等级（表示最低过滤效率为99.97%）；C 工序的加工质量层次为高，A ，B 工序至少有一个质量层次为低时，口罩过滤等级为99等级（表示最低过滤效率为99%）；其余均为95级（表示最低过滤效率为95%）.现从A ，B ，C 三道工序的流水线上分别随机抽取100个口罩进行检测，其中A 工序加工质量层次为高的个数为50个，B 工序加工质量层次高的个数为75个，C 工序加工质量层次为高的个数为80个.表①：表示加工一个口罩的利润.口罩等级100等级99等级95等级利润/元210.5（1）用样本估计总体，估计该厂生产的口罩过滤等级为100等级的概率；（2）X 表示一个口罩的利润，求X 的分布列和数学期望；（3）用频率估计概率，由于工厂中A 工序加工质量层次为高的概率较低，工厂计划通过增加检测环节对A 工序进行升级.在升级过程中，每个口罩检测成本增加了0.2元时，相应的A 工序加工层次为高的概率在原来的基础上增加了b .试问：若工厂升级方案后对一个口罩利润的期望有所提高，写出一个满足条件的b 的值.19.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，以线段12F F 为直径的圆过C 的上下顶点，点()1,e 在C 上，其中e 为C 的离心率.（1）求椭圆C 的方程和短轴长；（2）点,A B 在C 上，且在x 轴的上方，满足1212//,2AF BF AF BF =，直线2AF 与直线1BF 的交点为P ，求12PF F △的面积.20.已知函数()()e ,()x f x x a x a =--∈R .（1）若曲线()y f x =在(0,(0))f 处的切线为x 轴，求a 的值；（2）在（1）的条件下，判断函数()f x 的单调性；（3）()221()1e 12xg x x ax x x ⎛⎫=-+-++⎪⎝⎭，若1-是()g x 的极大值点，求a 的取值范围.21.给定正整数2n ≥，设数列12,,...,n a a a 是1,2,...,n 的一个排列，对{}1,2,...,i n ∈，i x 表示以i a 为首项的递增子列的最大长度，i y 表示以i a 为首项的递减子列的最大长度.（1）若4n =，11a =，24a =，32a =，43a =，求1x 和2y ；（2）求证：{}1,2,...,1i n ∀∈-，()()22110i i i i x y x y ++-+-≠；（3）求1niii x y=-∑的最小值.中国人民大学附属中学高三热身练习数学第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合{}21,{}P x x M a =≤=∣，若P M M = ，则实数a 的取值范围是（）A.(,1]-∞-B.[1,1]- C.[)1,+∞ D.][(),11,-∞-⋃+∞【答案】B【分析】化简集合P ，由P M M = 得出M P ⊆，由子集的定义得出实数a 的取值范围.【详解】集合{}210{11}[1,1]P x x x x =-≤=-≤≤=-∣∣,{},M a P M M =⋂=,[1,1]M P a ∴⊆∴∈-故选：B【点睛】本题主要考查了根据交集的结果求参数的取值范围，属于基础题.2.若||1,||2,( )a b a b a ==-⊥r r r r r，则向量a 与b 的夹角为（）A.30︒B.60︒C.120︒D.150︒【答案】B【分析】根据()a b a -⊥ ，得()0a b a -×=，结合数量积得运算律求出a b ⋅ ，再根据向量夹角公式即可得解.【详解】因为()a b a -⊥ ，所以()0a b a -×= ，即20a a b -⋅= ，所以21a b a ⋅== ，所以1cos ,2a b a b a b ⋅==，又0,180a b ︒︒≤≤ ，所以向量a与b的夹角为60︒.故选：B.3.已知nx⎫-⎪⎭的二项式系数之和为64，则其展开式的常数项为（）A.240-B.240C.60D.60-【答案】B【分析】根据二项式系数之和可得6n =，结合二项展开式分析求解.【详解】由题意可知：二项式系数之和为264n =，可得6n =，其展开式的通项为()()63362166C 12C ,0,1,2,,6rr rrr rr r T x xr---+=-=-⋅⋅⋅=⋅⋅⋅，令3302r -=，解得2r =，所以其展开式的常数项为()242612C 240-⋅⋅=.故选：B.4.已知,R x y ∈，且x y >，则（）A.11x y-<0 B.tan tan 0x y ->C.110e e xy⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D.ln ||ln ||0x y ->【答案】C【分析】根据题意，利用不等式的基本性质，正切函数的性质，以及指数函数与对数函数的性质，逐项判定，即可求解.【详解】对于A 中，11y xx y xy--=，其中0y x -<，但xy 的符号不确定，所以A 不正确；对于B 中，例如ππ,4x y ==，此时tan tan 0110x y -=-=-<，所以B 不正确；对于C 中，由函数()1e xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 为单调递减函数，因为x y >，所以11e e xy⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得110e e xy⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以C 正确；对于D 中，例如2,3x y ==-，此时2ln ||ln ||ln 2ln 3ln 03x y -=-=<，所以D 不正确.故选：C.5.若双曲线221:142x y C -=与22222:1y x C a b-=具有相同的渐近线，则2C 的离心率为（）A.2B.C.D.【答案】C【分析】先求出两个双曲线的离心率，根据渐近线相等列式，代入离心率求解即可.【详解】双曲线221:142x y C -=的渐近线为2y x =±，22222:1y x C a b -=的渐近线为a y x b =±，由题可知22a b=，所以2C 的离心率c e a ====故选：C.6.已知函数1,0()1,0x f x x -<⎧=⎨≥⎩，则不等式(1)1xf x -≤的解集为()．A.[1,)-+∞B.(,1]-∞ C.[1,2]D.[1,1]-【答案】D【分析】由题可得()1,111,1x f x x -<⎧-=⎨≥⎩，然后分类讨论解不等式即得.【详解】∵1,0()1,0x f x x -<⎧=⎨≥⎩，∴1,1(1)1,1x f x x -<⎧-=⎨≥⎩，当1x ≥时，(1)11xf x x -≤⇔≤，∴1x =，当1x <时，(1)111xf x x x -≤⇔-≤⇔≥-，∴1<1x ≤-，综上所述，(1)1xf x -≤的解集为[1,1]-．故选:D ．7.已知(1,0),(1,0)A B -，若点P 满足PA PB ⊥，则点P 到直线:((1)0l m x n y -+-=的距离的最大值为（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【分析】先确定P 的轨迹以及直线l 过的定点，再根据圆的性质特点求最值.【详解】由PA PB ⊥可得点P 的轨迹为以线段AB 为直线的圆，圆心为()0,0，半径为1，又直线:((1)0l m x n y -+-=，其过定点)，13+=.故答案为：C8.在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .则“,,a b c 成等比数列”是sin 2B ≤的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【答案】A【分析】先将2b ac =代入余弦定理，利用基本不等式得到1cos 2B ≥，从而得到3sin 2B ≤，接着根据3sin 2B ≤得到B 可能为钝角，不满足,,a b c 成等比数列，从而得答案.【详解】当,,a b c 成等比数列时，2b ac =，所以22221cos 222a cb ac ac B ac ac +--=≥=，当且仅当a c =时等号成立，又()0,πB ∈，所以π3B ≤，所以3sin 2B ≤，充分性满足；当3sin 2B ≤时，π2π0,,π33B ⎛⎤⎡⎫∈⋃ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭，而当2π,π3B ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，b 为最长的边，不满足,,a b c 成等比数列，必要性不满足.则“,,a b c 成等比数列”是sin 2B ≤的充分不必要条件.故选：A.9.故宫角楼的屋顶是我国十字脊顶的典型代表，如图1，它是由两个完全相同的直三棱柱垂直交叉构成，将其抽象成几何体如图2所示.已知三楼柱ABF CDE -和BDG ACH -是两个完全相同的直三棱柱，侧棱EF 与GH 互相垂直平分，,EF GH 交于点I ，AF BF a ==，AF BF ⊥，则点G 到平面ACEF 的距离是（）A.33a B.12a C.2a D.24a 【答案】B【分析】根据已知条件，结合空间总直线与平面的位置关系，先确定点G 到平面ACEF 的垂线段，在根据已知条件得sin 22KGIGθ==h 即可.【详解】取AC 中点M ，连接MI ，过G 作MI 的垂线交MI 的延长线于点K，取AB 中点N ，连接FN ，由已知，M 、I 分别为AC 、EF 中点，因为ABF CDE -是直三棱柱，所以AF AC ⊥，//EF AC 且EF AC =，所以//FI AM 其=FI AM ，所以四边形AMIF 为平行四边形，又AF AC ⊥，所以AMIF 为矩形，所以EF MK ⊥，又EF GH ⊥，MK ⊂平面KIG ，GH Ì平面KIG ，MK GH I ⋂=，所以EF ⊥平面KIG ，KG ⊂平面KIG ，所以EF KG ⊥，又因为KG MK ⊥，EF ⊂平面ACEF ，MK ⊂平面ACEF ，EF MK I ⋂=，所以KG ⊥平面ACEF ，所以点G 到平面ACEF 的距离等于线段KG 的长度，设为h ；AF BF ⊥，在Rt ABF 中，AF BF a ==，所以AB ==，设角FAB θ∠=，则有2sin 2θ=，因为四边形AMIF 为平行四边形，所以//MI AF ，又因为因为BDG ACH -是直三棱柱，所以//AB HG ，且HG AB a ==，所以KIG FAB θ∠=∠=，22IG =，又因为KG ⊥平面ACEF ，IK ⊂平面ACEF ，所以KG IK ⊥，所以sin 22KGIGθ==2222=，解得2a h =，所以点G 到平面ACEF 的距离是2a ，故选：B.【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据空间中点、线、面的位置关系，确定点G 到平面ACEF 的垂线段.10.2024年1月17日我国自行研制的天舟七号货运飞船在发射3小时后成功对接于空间站天和核心舱后向端口，创造了自动交会对接的记录.某学校的航天科技活动小组为了探索运动物体追踪技术，设计了如下实验：目标P 在地面轨道上做匀速直线运动；在地面上相距7m 的A ，B 两点各放置一个传感器，分别实时记录A ，B 两点与物体P 的距离.科技小组的同学根据传感器的数据，绘制了“距离-时间”函数图像，分别如曲线a ，b 所示.1t 和2t 分别是两个函数的极小值点.曲线a 经过()()0110,,,r t r 和()20,t r ，曲线b 经过()22,t r .已知211212,4m,4s rt r t r t ===，并且从0=t 时刻到2=t t 时刻P 的运动轨迹与线段AB 相交.分析曲线数据可知，P 的运动轨迹与直线AB 所成夹角的正弦值以及P 的速度大小分别为（）A.613,m /s 74 B.613,m /s 72 C.235,m /s 74D.235,m /s 72【答案】B【分析】建系，设点，作相应的辅助线，分析可知6m,2m AC BC v ==，结合7m AB =分析求解即可.【详解】如图，建立平面直角坐标系，设动点P 的轨迹与y 轴重合，其在120,,t t t =时刻对应的点分别为O （坐标原点），,D E ，P 的速度为m /s,0v v >，因为1122112,4m,2s,4s rt r t r t t ====，可得22m r =，由题意可知：,AD BE 均与y 轴垂直，且4m,2m,2m AD BE OD DE v ====，作BC AD ⊥垂足为C ，则6m,2m AC BC v ==，因为222AC BCAB +=，即236449v +=，解得2v =；又因为BC ∥y 轴，可知P 的运动轨迹与直线AB 所成夹角即为ABC ∠，所以P 的运动轨迹与直线AB 所成夹角的正弦值为6sin 7AC ABC AB∠==.故选：B.【点睛】关键点点睛：建系，设动点P 的轨迹与y 轴重合，以坐标系为依托，把对应的量转化为相应的长度，进而分析求解.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.若2i1ia +-是纯虚数，则实数a 的值为__________.【答案】2【分析】求出复数的代数形式，然后根据纯虚数的定义列方程求解即可.【详解】()()()()()22i 1i 2i 1i 1i 221i1i 1a a a a a a a +++==--+-+++，因为2i1ia +-是纯虚数，所以20210a a -=⎧⎨+≠⎩，得2a =.故答案为：212.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线与x 轴的交点为A ，点B 在C 上.若||2FB =，则直线AB 的方程为__________.【答案】10x y -+=或10x y ++=【分析】先根据焦半径公式求出点B 坐标，进而可得直线方程.【详解】设(),B x y ，则||12FB x =+=，则1x =，此时2y =±，所以()1,2B 或()1,2B -，又由已知()1,0A -，直线AB 的方程为()()20111y x -=+--或()()20111y x --=+--，整理得10x y -+=或10x y ++=.故答案为：10x y -+=或10x y ++=.13.使lg lg lg()a b a b +=+成立的一组a ，b 的值为=a __________，b =__________.【答案】①.2（答案不唯一）②.2（答案不唯一）【分析】根据题意结合对数运算分析可得00ab a b a b =+⎧⎪>⎨⎪>⎩，取特值检验即可.【详解】若lg lg lg()a b a b +=+，则lg lg()ab a b =+，可得00ab a b a b =+⎧⎪>⎨⎪>⎩，例如2a b ==符合上式.故答案为：2；2.（答案不唯一）14.已知函数()sin(π)(0,0π)f x x ωϕωϕ=+><≤，若()f x 是偶函数，则ϕ=__________；若圆面222x y +≤恰好覆盖()f x 图象的最高点或最低点共3个，则ω的取值范围是__________.【答案】①.π2②.[)1,2【分析】根据偶函数的对称性分析可知ππ,Z 2k k ϕ=+∈，即可得结果；结合对称性可知圆面在y 轴右侧仅覆盖1个()f x 图象的最高点或最低点，结合周期性列式求解.【详解】因为()f x 是偶函数，则ππ,Z 2k k ϕ=+∈，且0πϕ<≤，所以π0,2k ϕ==；可得π()sin πcos π2f x x x ωω⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，设()f x 的最小正周期为T ，因为()f x 和222x y +≤均关于y 轴对称，可知圆面在y 轴右侧仅覆盖()f x 图象的1个最低点，对于222x y +=，令1y =±，解得1x =（不妨只考虑y 轴右侧，舍负）；可得121TT ⎧≤⎪⎨⎪>⎩，解得12T <≤，且0ω>，则2π12πω<≤，解得12ω≤<，所以ω的取值范围是[)1,2，故答案为：π2；[)1,2.15.已知数列{}n a 的前n 项和为1,1n S a =且()2*11,N n n a S n +=+∈，给出下列四个结论：①长度分别为11,,n n aS +的三条线段可以构成一个直角三角形：②*1N ,2n n n S -∀∈≥；③*21N ,2n n n n a a a ++∀∈+<；④*11πN ,2cos 2n n n n a a ++∀∈=.其中所有正确结论的序号是__________.【答案】②【分析】①:先确定11,,n n a S +最大的那个，再根据勾股定理列式判断；②通过放缩得到12n n a a +≥，再进一步通过放缩判断；③④求出123,,a a a ，然后举例排除.【详解】对于①：21110,1n n a S a +=+>=，则11,0n n a S +>>，则221131024n n n n n a S S S S +⎛⎫-=+-=-+> ⎪⎝⎭，即1n n a S +>，假设长度分别为11,,n n a S +的三条线段可以构成一个直角三角形，则1n a +为斜边，所以2211n n a S +=+，所以21111n n a a ++=-+，所以10n a +=或11n a +=，与11n a +>矛盾，故①错误；对于②：21122n n n n a S S a +=+≥≥，当且仅当1n =等号成立，所以12n na a +≥，所以111212422n n n n n a a a a ----≥≥≥≥= ，所以1*2N ,n n n S a n -≥≥∀∈，②正确；对于③：由已知1231,2,10a a a ===，此时1322a a a +>，所以*21N ,2n n n n a a a ++∀∈+<不成立，③错误；对于④：由已知1231,2,10a a a ===，此时323π2cos 2a a ≠，所以*11πN ,2cos 2n nn n a a ++∀∈=不成立，④错误.故答案为：②.【点睛】关键点点睛：对于数列命题正误的判断，我们可以通过求出部分项，然后观察是否成立，从而达到排除的目的.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.如图，四边形ABCD 为菱形，π,23ABC AB ∠==，把ABC 沿着BC 折起，使A 到1A 位置.（1）证明：1BC AA ⊥；（2）若16AA =，求直线1DA 与平面1ABA 所成角的正弦值；（3）在（2）的条件下，求点D 到平面1ABA 的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）65（3）2155【分析】（1）取线段BC 的中点E ，连接1,AE A E ，通过证明BC ⊥面1A AE 可得结论；（2）先证明出1,,AE A E BC 两两垂直，然后建立空间直角坐标系，利用向量法求线面角；（3）斜线段的长度乘以线面角的正弦可得点到面的距离.【小问1详解】取线段BC 的中点E ，连接1,AE A E ，因为四边形ABCD 为菱形，且π3ABC ∠=，所以ABC ，1A BC 为等边三角形，所以1,BC AE BC A E ⊥⊥，又11,,AE A E E AE A E =⊂ 面1A AE ，所以BC ⊥面1A AE ，又1AA ⊂面1A AE ，所以1BC AA ⊥；【小问2详解】由ABC ，1A BC 为边长为2的等边三角形可得13AE A E ==，所以22211AE A E A A +=，结合BC ⊥面1A AE 可得1,,AE A E BC 两两垂直，如图建立空间直角坐标系，)()()13,2,0,0,0,3,3,0,0,0,1,0DA AB -，(()11,,DA AB A A ===，设面1ABA 的法向量为(),,n x y z =，直线1DA 与平面1ABA 所成角为θ，则10AB n y A A n ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，取1x =得()n =，116sin 5n DA n DA θ⋅===⋅ ，即直线1DA 与平面1ABA 所成角的正弦值为65；【小问3详解】由（2）得点D 到平面1ABA的距离为16215sin 55DA θ==.17.已知函数2()cos 2cos ,(0)f x x x x ωωωω=+>的最小正周期为π.（1）求ω的值；（2）在锐角ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .c 为()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求a b -的取值范围.条件①：cos cos 2cos a B b A c C +=；条件②：2sin cos sin 2a A B b A +=；条件③：ABC 的面积为S，且)2224a b c S +-=.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个条件计分.【答案】（1）1（2）(【分析】利用三角恒等变换整理可得π()2sin 216f x x ω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，结合最小正周期分析求解；以π26x +为整体，结合正弦函数最值可得3c =.若选条件①：利用正弦定理结合三角恒等变换可得π3C =，利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换可得π3a b A ⎛⎫-=-⎪⎝⎭，结合正弦函数分析求解；若选条件②：利用正弦定理结合三角恒等变换可得π3C =，利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换可得π3a b A ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，结合正弦函数分析求解；若选条件③：利用面积公式、余弦定理可得π3C =，利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换可得π3a b A ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，结合正弦函数分析求解.【小问1详解】由题意可知：2π()cos 2cos 2cos 212sin 216f x x x x x x x ωωωωωω⎛⎫=+=++=++ ⎪⎝⎭，因为函数()f x 的最小正周期为π，且0ω>，所以2π12πω==.【小问2详解】由（1）可知：π()2sin 216f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，因为π0,2⎡⎤∈⎢⎣⎦x ，则ππ7π2,666x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，可知当ππ262x +=，即π6x =时，()f x 取到最大值3，即3c =.若条件①：因为cos cos 2cos a B b A c C +=，由正弦定理可得sin cos sin cos 2sin cos A B B A C C +=，又因为()sin cos sin cos sin sin A B B A A B C +=+=，可得sin 2sin cos C C C =，且π0,2C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin 0C ≠，可得1cos 2C =，所以π3C =，由正弦定理可得sin sin sin 32a b c A B C ====，可得,a A b B ==，则π3a b A B A A ⎛⎫-=-=-+⎪⎝⎭1sin cos 22A A A ⎫=-+⎪⎪⎭π3cos 3A A A ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，因为ABC 锐角三角形，则π022ππ032A A ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得ππ62A <<，可得πππ636A -<-<，则1π1sin 232A ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭，可得b a <-<所以a b -的取值范围为(；若条件②；因为2sin cos sin 2a A B b A +=，由正弦定理可得：22sin cos sin sin 2A B B A A +=，则22sin cos 2sin sin cos A B B A A A +=，因为π0,2A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin 0A ≠，可得()2sin cos 2sin cos 2sin 2sin A B B A A B C +=+==即3sin 2C =，且π0,2C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以π3C =，由正弦定理可得sin sin sin a b c A B C ====，可得,a A b B ==，则π3a b A B A A ⎛⎫-=-=-+⎪⎝⎭13sin cos 22A A A ⎫=-+⎪⎪⎭π3cos 3A A A ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，因为ABC 锐角三角形，则π022ππ032A A ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得ππ62A <<，可得πππ636A -<-<，则1π1sin 232A ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭，可得b a <-<所以a b -的取值范围为(；若选③：因为)2224a b c S +-=，则132cos sin 24ab Cab C =，整理得tan C =π0,2C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以π3C =，由正弦定理可得sin sin sin 32a b c A B C ====，可得,a A b B ==，则π3a b A B A A ⎛⎫-=-=-+ ⎪⎝⎭13sin cos 22A A A ⎫=-+⎪⎪⎭π3cos 3A A A ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，因为ABC 锐角三角形，则π022ππ032A A ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得ππ62A <<，可得πππ636A -<-<，则1π1sin 232A ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭，可得b a <-<所以a b -的取值范围为(.18.某口罩加工厂加工口罩由A ，B ，C 三道工序组成，每道工序之间相互独立，且每道工序加工质量分为高和低两种层次级别，A ，B ，C 三道工序加工的质量层次决定口罩的过滤等级；A ，B ，C 工序加工质量层次均为高时，口罩过滤等级为100等级（表示最低过滤效率为99.97%）；C 工序的加工质量层次为高，A ，B 工序至少有一个质量层次为低时，口罩过滤等级为99等级（表示最低过滤效率为99%）；其余均为95级（表示最低过滤效率为95%）.现从A ，B ，C 三道工序的流水线上分别随机抽取100个口罩进行检测，其中A 工序加工质量层次为高的个数为50个，B 工序加工质量层次高的个数为75个，C 工序加工质量层次为高的个数为80个.表①：表示加工一个口罩的利润.口罩等级100等级99等级95等级利润/元210.5（1）用样本估计总体，估计该厂生产的口罩过滤等级为100等级的概率；（2）X 表示一个口罩的利润，求X 的分布列和数学期望；（3）用频率估计概率，由于工厂中A 工序加工质量层次为高的概率较低，工厂计划通过增加检测环节对A 工序进行升级.在升级过程中，每个口罩检测成本增加了0.2元时，相应的A 工序加工层次为高的概率在原来的基础上增加了b .试问：若工厂升级方案后对一个口罩利润的期望有所提高，写出一个满足条件的b 的值.【答案】（1）0.3（2）分布列见详解；() 1.2E X =元（3）25b =（答案不唯一，满足1132b <≤即可）【分析】（1）根据可得A ，B ，C 三道工序加工的质量层次高的概率，结合独立事件概率乘法公式分析求解；（2）由题意可知：X 的可能取值为2，1，0.5，求相应的概率，进而可得分布列和期望；（3）由题意可知：工厂升级方案后A 道工序加工的质量层次高的概率为[]0.5,0,0.5b b +∈，由题意可知：Y 的可能取值为1.8,0.8,0.3，求相应的概率，进而可得期望，令()()E Y E X >运算求解即可.【小问1详解】设A ，B ，C 三道工序加工的质量层次高的概率分别为123,,p p p ，用频率估计概率可得：1235075800.5,0.75,0.8100100100p p p ======，记“该厂生产的口罩过滤等级为100等级”为事件M ，所以()0.50.750.80.3P M =⨯⨯=.【小问2详解】由题意可知：X 的可能取值为2，1，0.5，则有：()()()()31220.3,110.5P X P M P X p p p =====-=，()()()0.51210.2P X P X P X ==-=-==，所以X 的分布列为X 210.5P0.30.50.2X 的期望()20.310.50.50.2 1.2E X =⨯+⨯+⨯=（元）.【小问3详解】由题意可知：工厂升级方案后A 道工序加工的质量层次高的概率为[]0.5,0,0.5b b +∈，设工厂升级方案后一个口罩利润的期望为Y ，由题意可知：Y 的可能取值为1.8,0.8,0.3，则有：()()1.80.50.750.80.60.3P Y b b ==+⨯⨯=+，()()0.80.810.50.750.50.6P Y b b ==-+⨯=-⎡⎤⎣⎦，()()()0.31210.2P Y P Y P Y ==-=-==，所以Y 的期望()()()1.80.60.30.80.50.60.30.20.61E Y b b b =⨯++⨯-+⨯=+（元），令()()E Y E X >，即0.61 1.2b +>，解得1132b <≤，例如25b =符合题意.19.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，以线段12F F 为直径的圆过C 的上下顶点，点()1,e 在C 上，其中e 为C 的离心率.（1）求椭圆C 的方程和短轴长；（2）点,A B 在C 上，且在x 轴的上方，满足1212//,2AF BF AF BF =，直线2AF 与直线1BF 的交点为P ，求12PF F △的面积.【答案】（1）22:12x C y +=；2（2【分析】（1）线段12F F 为直径的圆过C 的上下顶点，得11OB OF r ==，即b c =，然后计算离心率e ，从而点()1,e 代入C 可得椭圆C 的方程并可求短轴长；（2）由题可知，12PF F △的面积等于1212P F F y ，所以求P y 的值；由1212//,2AF BF AF BF =，得122AF BF =uuu r uuu r ，进而得点,A B 的坐标关系，即1212232x x y y =-⎧⎨=⎩，将点,A B 代入C ，求得2y ，再由12APF F PB △△∽，得12PF BP = ，即223P y y =，从而计算12PF F △的面积即可.【小问1详解】设()()120,,0F c F c -，，上下顶点分别为()()120,,0,B b B b -.由以线段12F F 为直径的圆过C 的上下顶点，得11OB OF r ==，得22b c =，即b c =.因为22222a b c c =+=，即a =，所以22c e a ==，由点2)2在C 上，得22222211a b ⎛⎫ ⎪⎝⎭+=，2211122b b +=，解得1b =，所以2222a b ==，则22:12x C y +=，短轴长1222B B b ==.【小问2详解】根据题意，画出图象如图所示：因为1212//,2AF BF AF BF =，所以122AF BF =uuu r uuu r ，又12APF F PB △△∽，则1122PF AF BP BF ==，即12PF BP =，12PF BP = .设()()()1122,,,,,P P A x y B x y P x y ，()()121,0,1,0F F -由122AF BF =uuu r uuu r 得()12121212x x y y ⎧--=-⎨-=-⎩，即1212232x x y y =-⎧⎨=⎩，因为点()()1122,,,A x y B x y 在椭圆22:12x C y +=上，所以()()222222222322222x y x y ⎧-+⨯=⎪⎨+=⎪⎩，即22222222241287488x x y x y ⎧-+=-⎨+=⎩，两式相减得，21215x =即254x =，2225224y ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，又点,A B 在x 轴的上方，所以2148y =.又12PF BP = 得()22P P y y y -=-，即222141433812P y y ==⨯=.于是12121114142221212PF F P S F F y ==⨯⨯= .20.已知函数()()e ,()x f x x a x a =--∈R .（1）若曲线()y f x =在(0,(0))f 处的切线为x 轴，求a 的值；（2）在（1）的条件下，判断函数()f x 的单调性；（3）()221()1e 12x g x x ax x x ⎛⎫=-+-++ ⎪⎝⎭，若1-是()g x 的极大值点，求a 的取值范围.【答案】（1）0（2）(),0∞-上单调递减，()0,∞+上单调递增（3）()e,∞-+【分析】（1）求导，然后根据(0)0f '=列式计算即可；（2）求导，然后通过二次求导确定导函数的正负，进而确定函数的单调性；（3）求导，然后因式分解，确定导函数的零点，讨论零点大小，进而确定极值点.【小问1详解】由已知()(1)e 1x f x x a '=-+-，则0(0)(1)e 1f a a '=-+-=-，由于曲线()y f x =在(0,(0))f 处的切线为x 轴，所以0a -=，所以0a =；【小问2详解】当0a =时，()(1)e 1x f x x '=+-，令()(1)e 1x h x x =+-，则()(2)e x h x x '=+，当<2x -时，()0h x '<，()f x '单调递减，当2x >-时，()0h x '>，()f x '单调递增，又当<2x -时，()0f x '<恒成立，2(2)e 1f -'-=--，0(0)e 10f '=-=，所以当0x <时()0f x '<，0x >时，()0f x '>，所以()f x 在(),0∞-上单调递减，在()0,∞+上单调递增；【小问3详解】由已知()()()2()12e 11(1)e 1x x g x x ax x a x x x a '⎡⎤=-++--+=+-+-⎣⎦，令()(1)e 1x v x x a =-+-，则()(2)e xv x x a '=-+，当2x a <-时，()0v x '<，()v x 单调递减，当2x a >-时，()0v x '>，()v x 单调递增，又当2x a <-时，()0v x <恒成立，且()22e 10a v a --=--<，当x →+∞时，()0v x >，即()v x 在()2,a -+∞上有且只有一个零点，设为0x ，当01x <-，即()11(11)e 10v a --=--+->，解得e a <-，此时若()0g x '<，解得01x x <<-，()g x 在()0,1x -上单调递减，若()0g x '>，解得0x x <或1x >-，()g x 在()()0,,1,x -∞-+∞上单调递增，此时()g x 在=1x -处取极小值，不符合题意，舍去；当01x >-，即()11(11)e 10v a --=--+-<，解得e a >-，此时若()0g x '<，解得01x x -<<，()g x 在()01,x -上单调递减，若()0g x '>，解得1x <-或0x x >，()g x 在()()0,1,,x -∞-+∞上单调递增，此时()g x 在=1x -处取极大值，符合1-是()g x 的极大值点，当01x =-时，即()11(11)e 10v a --=--+-=，解得a e =-，此时()0g x '≥恒成立，()g x 无极值点，综上所述：a 的取值范围为()e,∞-+.【点睛】方法点睛：函数的极值跟导函数的零点有关，当零点不确定的时候，就需要对零点的存在性以及零点的大小进行分类讨论，从而达到确定极值点的目的.21.给定正整数2n ≥，设数列12,,...,n a a a 是1,2,...,n 的一个排列，对{}1,2,...,i n ∈，i x 表示以i a 为首项的递增子列的最大长度，i y 表示以i a 为首项的递减子列的最大长度.（1）若4n =，11a =，24a =，32a =，43a =，求1x 和2y ；（2）求证：{}1,2,...,1i n ∀∈-，()()22110i i i i x y x y ++-+-≠；（3）求1n i i i x y=-∑的最小值.【答案】（1）13x =，22y =（2）证明见解析（3）当n 为偶数时，1n i i i x y =-∑的最小值是2n ；当n 为奇数时，1n i i i x y =-∑的最小值是12n -.【分析】（1）直接根据定义求解；（2）分情况讨论证明11i i i i x y x y ++-≠-，故可推知i i x y -和11i i x y ++-不能同时为零，进而得到结论；（3）对n 的奇偶性分情况讨论，并利用小问2得到的结果即可.【小问1详解】以1a 为首项的最长递增子列是134,,a a a ，以2a 为首项的最长递减子列是23,a a 和24,a a .所以13x =，22y =.【小问2详解】对{}1,2,...,1i n ∈-，由于12,,...,n a a a 是1,2,...,n 的一个排列，故1i i a a +≠.若1i i a a +<，则每个以1i a +为首项的递增子列都可以在前面加一个i a ，得到一个以i a 为首项的更长的递增子列，所以1i i x x +>；而每个以i a 为首项的递减子列都不包含1i a +，且1i i a a +<，故可将i a 替换为1i a +，得到一个长度相同的递减子列，所以1i i y y +≤.这意味着11i i i i x y x y ++->-；若1i i a a +>，同理有1i i y y +>，1i i x x +≤，故11i i i i x y x y ++-<-.总之有11i i i i x y x y ++-≠-，从而i i x y -和11i i x y ++-不能同时为零，故()()22110i i i i x y x y ++-+-≠.【小问3详解】根据小问2的证明过程知i i x y -和11i i x y ++-不能同时为零，故111i i i i x y x y ++-+-≥.情况一：当n 为偶数时，设2n k =，则一方面有()21212211112n k k i i i i i i i i i n x y x y x y k --===-=-+-≥==∑∑∑；另一方面，考虑这样一个数列12,,...,n a a a ：2121i i a k i a k i-=-+⎧⎨=+⎩，1,2,...,i k =.则对1,2,...,i k =，有21221i i x k i x k i -=-+⎧⎨=-+⎩，21211i iy k i y k i -=-+⎧⎨=-+⎩.故此时212111112n k k i i i i i i i n x y x y k --===-=-===∑∑∑.结合以上两方面，知1n i i i x y =-∑的最小值是2n .情况二：当n 为奇数时，设21n m =-，则一方面有()11121212211111112n n m m i i i i i i i i i i i i n x y x y x y x y m -----====--≥-=-+-≥=-=∑∑∑∑；另一方面，考虑这样一个数列12,,...,n a a a ：1221i i a m a m i a m i +=⎧⎪=+⎨⎪=-⎩，1,2,...,1i m =-.则对1,2,...,1i m =-，有1221i i x m x m i x m i +=⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，12211i i y m y m i y m i +=⎧⎪=-+⎨⎪=-⎩.故此时11221111112n m m i i i i i i i n x y x y m --===--=-==-=∑∑∑.结合以上两方面，知1n i i i x y =-∑的最小值是12n -.综上，当n 为偶数时，1n i i i x y =-∑的最小值是2n ；当n 为奇数时，1n i i i x y =-∑的最小值是12n -.【点睛】关键点点睛：求最小（或最大）值的本质在于，先证明所求的表达式一定不小于（或不大于）某个数M ，再说明该表达式在某种情况下能取到M ，就得到了最小（或最大）值是M ，这便是“求最小（或最大）值”的本质.而在这个过程中，“想到M 的具体取值”这个过程并不存在绝对的逻辑性，可以穷尽各种手段，包括直觉、大胆猜测、高观点等，去猜出M 的值，这些内容也无需在证明过程中呈现.只要证明合乎逻辑，“如何想到M 的取值”无需交代，不影响解答的正确性.换言之，所谓“求”，便是“猜出结果，再证明结果正确”，与“算出”、“得出”本就是无关的.在高考范围内，大多数最小值和最大值问题都能够直接化为某个显而易见，容易刻画的模型，然后“直接算出”，但不可将此作为万能法宝，忘记了最小值最大值的原始定义和本质.。

北京市人大附中2020届高三数学6月考前热身试题(含解析)

【详解】A：南亚地区人口总数为 174499.0 万人，“一带一路”沿线国家人口总数为：
174499.0 54%
321266.1 万人，所以 321266.1
，故本选项说法不正确的；
B：东南亚和南亚国家 GDP 之和 54948.8 亿美元，“一带一路”沿线国家 GDP 之和 120139.6
54948.8 46%
12 ， 6
12
11
的最大值是 12 .
故选:C.
【点睛】本题考查三角函数恒等变换化简，以及三角函数的性质，意在考查直观想象、逻辑
推理能力，属于中档题.
9. 已知不过坐标原点 O 的直线交抛物线 y2 2 px 于 A ， B 两点，若直线 OA ， AB 的斜率
分别为 2 和 6，则直线 OB 的斜率为（）
人口（万人）
GDP（亿美元）
进口额（亿美元）出口额（亿美元）
蒙古
301.4
116.5
38.7
45.0
东南亚 11 国
63852.5
25802.2
11267.2
11798.6
南亚 8 国
174499.0
29146.6
4724.1
3308.5
中亚 5 国
6946.7
2254.7
422.7
590.7
西亚、北非 19 国 43504.6
A. 3 【答案】D 【解析】
B. 2
C. -2
D. -3
设
A
y
2 A
2p
,
yA
，
B
yB2 2p
,
yB
，那么
k
AB
yA yB yA2 yB2

北京市人大附中2020届高三第三次模拟数学试卷含答案

①两点列的起点和终点分别相同；②线段 Ai Ai1 Bi Bi1 ，其中 i 1, 2,3,, n 1 ，则称
An 与 B n 互为正交点列.
(I)试判断 A3 ： A1(0, 2), A2 (3,0), A3 (5, 2) 与 B(3) : B1(0, 2), B2 (2,5), B3 (5, 2) 是否互为正交点列，
D. c a b
4.已知函数 f x 的图象沿 x 轴向左平移 2 个单位后与函数 y 2x 的图象关于 x 轴对称，若
f x0 1，则 x0 ( )
A. 2
B.2
C. log2 3
D. log2 3
解析： y 2x ，关于 x 轴对称， y 2x ，向右平移 2 个单位 y 2x2 ， 2x0 2 1， x0 2 ，选 B.
B.330km/h
C.340km/h
第二部分(非选择题共 110 分)
二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分.
11.抛物线 y x2 的焦点到准线的距离是___
D.350km/h
12.二项式 (x2 1 )5 的展开式中含 x4 的项的系数是___________(用数字作答). x
命题人：侯立伟唐庚王鼎
审题人：于金华 2020 年 06 月 27 日
本试卷共 5 页，150 分。考试时长 120 分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无
效.
第一部分(选择题共 40 分)
一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
解析：前推后，代入，诱导公式可得，后推前，＋周期，选 A.
7.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积是( )

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C．平均每个南亚国家对外贸易额超过 1000 亿美元
D．平均每个东欧国家的进口额高于平均每个西亚、北非国家的进口额
二、填空题（共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分．）
11．在 (2 x)5 的展开式中， x3 的系数为_______．（用数字作答）
12．双曲线 C1 :
x2 9
y2 5
1 的离心率为
1
A. 1
B.
3
1
C.
2
D. 1 2
8.已知函数 f (x) cos2 x 3 sin x 1 ( 0, x R) ，若函数在区间（，2）内没有零
22
2
点，则的最大值为
5
A.
12
5
B.
6
11
C.
12
3
D.
2
9.已知不过坐标原点 O 的直线交抛物线 y2 2 px 于 A, B 两点,若直线 OA, AB 的斜率分别为
设函数
f
(x)
sin(x
)
sin(x
)
，其中 0
3
.已知
f
(
)
0
.
6
2
6
（ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ）求；
（Ⅱ）将函数 y f x 的图象上各点的横坐标伸长为原来的 2 倍（纵坐标不变），再将得
到的图象向左平移
个单位，得到函数
y
g(x)
的图象。求
g(x)
在[
, 3
] 上的最小
4
44
值.
-4-
17.（本题满分 14 分）
a
b
D. x 1 或x 1
b
a
4．某几何体的主视图和左视图如右上图所示，则它的俯视图不可能是（）
5．公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司 2018 年全年投入研发资金 130 万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长 12%，则该公司全年投入的研发资金
-1-
开始超过 200 万元的年份是（）
（Ⅲ）试判断男学生完成套卷数的方差 s12 与女学生完成套卷数的方差 s22 的大小（只需写
出结论）．
18.（本题满分 14 分）
平行四边形 ABCD 所在的平面与直角梯形 ABEF 所在的平面垂直，
BE / / AF , AB BE 1 AF 1, 且 AB AF ,CBA , BC 2, P 为
2020 北京人大附中高三考前热身练习
数学
2020.6
本试卷共 4 页．满分 150 分，考试时长 120 分钟．考生务必将答案填涂、书写在机读卡和答题纸上，在试卷上作答无效．
一、选择题（共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．）
1．已知集合 A x N x 2 0, B x Z x 2 , 则A B （）
2 和 6,则直线 OB
的斜率为(
)
A.3
B.2
C.-2
D.-3
10.2016 年“一带一路”沿线 64 个国家 GDP 之和约为 12.0 万亿美元，占全球 GDP 的 16.0%；人口总数约为 32.1 亿，占全球总人口的 43.4%；对外贸易总额（进口额+出口额）约为 71885.6 亿美元，占全球贸易总额的 21.7%.
2
4
DF 的中点.
（Ⅰ）求证： PE / / 平面 ABCD ；
（Ⅱ）求证： AC EF ；
-5-
（Ⅲ）若直线 EF 上存在点 H ，使得 CF , BH 所成角的余弦值为 10 ，求 BH 与平面 ADF 5
所成角的大小.
-6-
19.（本题满分 15 分）
已知椭圆
C：x a
2 2
y2 b2
1(a
2016 年“一带一路”沿线国家情况
人口（万人）
GDP（亿美元）进口额（亿美元）出口额（亿美元）
-2-
蒙古
301.4
116.5
38.7
45.0
东南亚 11 国
63852.5
25802.2
11267.2
11798.6
南亚 8 国
174499.0
29146.6
4724.1
3308.5
中亚 5 国
6946.7
15.已知函数
f
(x)
ln
x
x2 2x 1
x 0,
，
x 0.
-3-
（1） f x 的零点是
；
（2）若 f x 的图象与直线 y ax 1 有且只有三个公共点，则实数 a 的取值范围是
______.
三、解答题（共 5 小题，共 85 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．）
16.（本题满分 14 分）
A. 1
B. 1, 0,1, 2
C. 0,1
D. (2, 2)
2．复数 z 1 i 的模为（） 1i
A．1
B．2
C． 2
D． 2 2
3．若 a 0，b 0 ，则不等式 b 1 a 等价于（） x
A. 1 x 0或0 x 1
b
a
B. 1 x 1
a
b
C. x 1 或x 1
且 C2 过点 M (3，5) ，则双曲线 C2 的方程为
，双曲线 C2 与双曲线 C1 有共同的渐近线，
．
13.锐角三角形
ABC
中，若 C
2B
，则
AB AC
的取值范围是
.
14.已知非零向量 m, n 满足 4 m 3 n , cos m, n 1.若n (tm n) ，则实数 t 的值为 3
（参考数据： lg1.12 0.05，lg1.3 0.11，lg 2 0.30 ）
A．2020 年
B．2021 年
C．2022 年
6. a, b 为非零向量，为“
a b
b a
”“ a, b 为共线”的
D．2023 年
A 充分必要条件
B 充分不必要条件
C 必要不充分条件
D 既不充分也不必要条件
7．已知函数 f x x2 - 2x + a(e x- 1 + e x1 ) （其中 a 0 ）的最小值为 1，则 a （）
2254.7
422.7
590.7
西亚、北非 19 国 43504.6
36467.5
9675.5
8850.7
东欧 20 国
32161.9
26352.1
9775.5
11388.4
关于“一带一路”沿线国家 2016 年状况，能够从上述资料中推出的是（）
A．超过六成人口集中在南亚地区
B．东南亚和南亚国家 GDP 之和占全球的 8%以上
为了解学生自主学习期间完成数学套卷的情况，一名教师对某班级的所有学生进行了调查，调查结果如下表．
套数 1
2
3
4
5
人数
性别
男生
1
4
3
2
2
女生
0
1
3
3
1
（Ⅰ）从这班学生中任选一名男生，一名女生，求这两名学生完成套卷数之和为 4 的概率？
（Ⅱ）若从完成套卷数不少于 4 套的学生中任选 4 人，设选到的男学生人数为 X ，求随机变量 X 的分布列和数学期望；