球类运动中空气阻力的计算和分析
球体空气阻力系数
球体空气阻力系数球体空气阻力系数是指在流体中运动的球体所受到的空气阻力与运动速度之间的关系。
对于小球体来说，空气阻力可以忽略不计，但对于大球体或高速运动的球体来说，空气阻力就会变得非常重要。
在球体运动中，空气阻力的大小取决于球体的形状、尺寸和速度。
球体的形状越流线型，空气阻力越小；球体的直径越大，空气阻力也越大；球体的速度越快，空气阻力也越大。
因此，球体空气阻力系数可以被定义为球体受到的空气阻力与速度平方的比值。
球体空气阻力系数的计算方法是通过实验得出的。
实验中，将球体以不同的速度在流体中运动，并测量球体所受到的空气阻力和速度，然后求得它们的比值。
通过大量的实验数据，可以得到球体空气阻力系数的近似值。
球体空气阻力系数的大小对于很多领域都有重要的影响。
在运动学中，空气阻力是影响物体运动的一个重要因素。
例如，在足球比赛中，球员踢球时，球体空气阻力的大小会影响球的弹道和飞行距离。
在汽车工程中，空气阻力是汽车行驶阻力的主要来源之一，降低空气阻力可以提高汽车的燃油经济性。
在飞行器设计中，空气阻力也是一个关键因素，影响飞机的飞行性能和燃油消耗。
为了降低球体空气阻力，科学家和工程师们进行了许多研究和实验。
他们通过改变球体的形状和表面特性，设计出了一些减阻的方法。
例如，在高速列车的设计中，车头部分常常采用流线型设计，以减小空气阻力。
在高速飞机的设计中，机翼和机身的形状也经过精心设计，以减小空气阻力。
此外，球体表面的涂层和纹理也可以改变空气阻力的大小。
球体空气阻力系数的研究对于科学研究和工程设计都具有重要意义。
通过准确测量和计算球体空气阻力系数，可以更好地理解和预测球体运动的特性，为相关领域的研究和应用提供依据和指导。
同时，研究球体空气阻力系数也可以为减阻设计和节能减排提供理论支持，推动科学技术的进步和可持续发展。
球体空气阻力系数是一个重要的物理参数，它对于球体运动的研究和应用有着重要的影响。
通过深入研究球体空气阻力系数的大小和影响因素，可以为相关领域的研究和应用提供理论指导，促进科学技术的发展和进步。
球类运动中空气阻力的计算和分析
球类运动中空气阻力的计算和分析一、本文概述本文旨在探讨球类运动中空气阻力的计算与分析。
空气阻力是球类运动中的重要物理因素，对球的飞行轨迹、速度和运动性能产生显著影响。
通过深入了解和研究空气阻力的计算方法和影响因素，我们可以更好地理解球类运动的运动规律，提高运动员的技术水平和比赛成绩。
本文将首先介绍空气阻力的基本概念和计算方法，然后分析影响空气阻力的主要因素，包括球的形状、大小、质量、表面粗糙度以及空气密度和速度等。
在此基础上，我们将探讨如何减少空气阻力，提高球的飞行性能和运动员的竞技表现。
我们将总结空气阻力在球类运动中的重要性和应用价值，为未来的研究和实践提供参考和借鉴。
二、空气阻力基础知识空气阻力，亦称为流体阻力或气动阻力，是物体在运动中与空气相互作用产生的一种力。
当球类运动中的物体（如球）在空气中移动时，由于物体表面与空气分子的相互作用，会产生阻碍物体运动的力，这就是空气阻力。
空气阻力的计算涉及到流体力学中的一些基本概念，如流体的密度、物体的形状、大小、速度和表面粗糙度等。
空气阻力的计算公式一般表示为：F_d = 1/2 * ρ * v^2 * A * Cd，其中F_d是空气阻力，ρ是空气密度，v是物体速度，A是物体在气流方向上的投影面积，Cd是阻力系数，它取决于物体的形状和表面状况。
对于球类运动，球体的空气阻力特性尤为重要。
球体在空气中的阻力系数通常与雷诺数（Re）相关，雷诺数是一个表征流体流动特性的无量纲数，它等于流体密度、物体特征长度、流体速度与流体动力粘度的乘积之比。
在低雷诺数下，球体表面的流体流动主要是层流，阻力系数较小；而在高雷诺数下，流体流动转变为湍流，阻力系数增大。
在球类运动中，由于球体的高速运动，通常需要考虑湍流状态下的空气阻力。
此时，阻力系数Cd的值通常通过实验测定或根据经验公式估算。
不同的球体形状（如足球、篮球、乒乓球等）和表面材质（如光滑表面、粗糙表面等）都会对阻力系数产生影响。
空气阻力公式
空气阻力公式空气阻力是物体在流体中前进时受到的阻力。
一般来说，任何运动的物体在空气中都会遇到摩擦力的阻力，空气阻力就是指这种阻力。
这种阻力被用数学公式表示，即空气阻力公式。
空气阻力公式由著名的英国物理学家、数学家霍金斯在1851年提出。
他将空气阻力定义为物体通过空气时受到的一个力。
他在公式中加入了物体的体积、横截面积、速度等参数，在这些参数前加入了摩擦系数。
空气阻力公式可用来计算不同物体在不同流体环境中运动时受到的阻力大小。
公式为：F=1/2ρVS Cd，其中，F代表空气阻力，ρ代表流体密度，V代表物体的速度，S代表物体的横截面积，Cd代表摩擦系数。
从公式中可以看出，空气阻力的大小依赖于运动的物体，流体的密度，摩擦系数和物体的横截面积和速度等几个变量。
空气阻力对物体的运动有着重要的影响。
它的存在可以降低物体的运动速度，增加运动的功耗，还可以影响到它的飞行高度。
例如，飞机在起飞时，空气阻力会降低它的上升速度，使它在较低的高度飞行，并且需要更多的推力来保持上升。
由此可见，空气阻力对于计算飞行器的性能和起飞性能都有着非常重要的作用。
除了飞行器的性能外，空气阻力还可以用于计算建筑物的空气阻力系数。
建筑物面对风力的受力情况可以用空气阻力公式来分析，这样可以确保建筑物抵御风力时具有足够的稳定性和承载能力，同时还可以避免因受力状况导致的结构变形和破坏等情况。
在工程应用中，空气阻力公式还可以用来计算水力和气力机械的效率。
水力学和气力学中的气动机械是指利用流体流动发动机的原理来驱动机械的装置，它的运行效率跟流体的阻力有关，因此空气阻力公式可以用来计算机械的效率。
此外，空气阻力公式还可以用于雨滴落地的路径计算。
雨滴落地时，其所受到的空气阻力会使其轨道发生变化，因此如果可以用空气阻力公式来预测雨滴落地的路径，就可以提高雨滴降落的准确度。
空气阻力公式的计算比较繁琐，因此近年来有许多关于空气阻力公式的研究，希望能进一步简化计算步骤，以满足实际应用的需要。
空气阻力 计算公式
空气阻力计算公式
空气阻力的计算公式为：
F = 0.5 ρ v^2 A Cd.
其中，F是空气阻力，ρ是空气密度，v是物体的速度，A是物体的横截面积，Cd是物体的阻力系数。
下面是关于这个公式的文章：
空气阻力对物体运动的影响。
空气阻力是指物体在空气中运动时受到的阻碍力，它是由于空气分子与物体表面发生相互作用而产生的。
在物体运动过程中，空气阻力会对物体的速度产生影响，因此了解和计算空气阻力对于物体运动的研究和实际应用具有重要意义。
空气阻力的计算公式如下：
F = 0.5 ρ v^2 A Cd.
在这个公式中，F代表空气阻力，ρ代表空气密度，v代表物
体的速度，A代表物体的横截面积，Cd代表物体的阻力系数。
这个
公式告诉我们，空气阻力与空气密度、物体速度的平方、物体的横
截面积以及物体的阻力系数都有关。
空气阻力的大小与物体的速度成平方关系，这意味着当物体的
速度增加时，空气阻力会呈指数增长。
因此，在高速运动时，空气
阻力会对物体产生更大的影响。
物体的横截面积和阻力系数也会影响空气阻力的大小。
物体的
横截面积越大，空气阻力也会越大；而阻力系数则取决于物体的形
状和表面特性，不同形状和材质的物体具有不同的阻力系数。
因此，了解空气阻力的计算公式以及影响空气阻力的各种因素
对于工程设计、交通运输、运动竞技等领域都具有重要意义。
科学
地计算和控制空气阻力，可以有效地提高物体的运动效率和安全性，推动技术和运动的发展。
空气阻力计算公式的原理
空气阻力计算公式的原理空气阻力是物体在空气中运动时所受到的阻碍力，它是由于空气分子与物体表面发生碰撞而产生的。
在物理学中，空气阻力可以用公式来进行计算，这个公式可以帮助我们更好地理解空气阻力的产生和影响。
空气阻力计算公式的原理是基于流体力学和动力学的原理。
在空气中运动的物体，会受到空气分子的撞击，这些撞击会产生一个与物体速度和表面积相关的阻力。
根据牛顿第二定律，物体所受到的合外力等于物体的质量乘以加速度，而空气阻力就是其中的一个外力。
空气阻力计算公式的基本形式是：F = 0.5 ρ v^2 A Cd。
其中，F是空气阻力的大小，ρ是空气密度，v是物体的速度，A是物体的横截面积，Cd是阻力系数。
这个公式的推导过程是比较复杂的，需要涉及到流体力学和动力学的知识。
但是我们可以简单地解释一下各个参数的含义和影响。
首先，空气密度ρ是指单位体积空气中所含有的空气质量，它是一个影响空气阻力大小的重要因素。
一般来说，在相同速度和表面积下，空气密度越大，空气阻力就会越大。
其次，物体的速度v也是影响空气阻力大小的重要因素。
根据公式可以看出，空气阻力与速度的平方成正比，也就是说，速度越大，空气阻力就会越大。
这也是为什么在高速行驶的汽车或飞机上，空气阻力会成为一个重要的考虑因素。
物体的横截面积A是指物体在运动方向上所受到的空气阻力的面积，它也是影响空气阻力大小的重要因素。
一般来说，横截面积越大，空气阻力就会越大。
这也是为什么一些大型车辆或飞机在运动时会受到比较大的空气阻力。
最后，阻力系数Cd是一个与物体形状和表面粗糙度有关的参数。
不同形状和表面粗糙度的物体，其阻力系数也会不同。
一般来说，Cd值越大，空气阻力就会越大。
这也是为什么设计飞机、汽车等运动器材时，要考虑其外形设计和表面光滑度的原因。
通过空气阻力计算公式，我们可以更好地理解空气阻力的产生和影响，也可以对物体在空气中的运动进行更精确的分析和计算。
在工程设计、运动器材设计等领域，空气阻力计算公式也起到了重要的作用。
球类运动中的理论力学和空气动力学分析
球类运动中的理论力学和空气动力学分析工院九系范永祥PB10009017林奇标PB10009001目的：球类运动是生活中常见的运动，然而这些运动中也蕴藏了很多科学知识，本论文旨在运用理论力学和流体力学以及空气动力学的知识分析排球飘球、足球香蕉球和乒乓球上旋下旋球的运动原理，利用抽象数学理论计算的方法，计算球的受力，进而结合空气动力学的知识，分析球类的运动。
关键字：飘球、香蕉球、上旋下旋球，卡门涡街，伯努利方程。
引言：○1排球飘球：排球运动发球的一种。
发球时身体正面对网站立，上手击球，用力突然，并充分利用转体、收腹、挥臂的力量，使球在不旋转的情况下飞行，产生不规则的飘晃。
具有较强的攻击性。
对运动员的力量素质及发飘球时由于击球的作用力通过球体重心，使球不旋转并带有飘晃的飞行，使对方难以判断，容易产生错觉，造成接发球困难。
发这种球，面对球网；便于观察对方，容易控制落点，准确性较大，成功率较高，攻击性强。
正面上手飘球是目前排球比赛中最常用的一种发球方法。
○2乒乓球上旋下旋球：乒乓球是我国的国球，当乒乓球本身带着上旋飞行时，同时带着球体周围的空气一起旋转，但是由于球体上沿周围空气旋转方向和对面空气方向相反，因而受到阻力，导致其流速降低。
而球体下沿的气流与迎面空气阻力方向相同，因而流速加快。
最后的结果是，本来球体上下沿的压力相等，现在变成上沿的增大，而下沿的减小。
这样由于球体受力不均衡，总的合力方向是向下，给击球者的感觉就是上旋球的下落速度加快。
因此，在相同的条件下，上旋球的飞行弧线比不转球的飞行弧线要低、要短。
如果是下旋球，其受力情况跟上旋球恰好相反，球体上沿的空气流速快，压强小，下沿的空气流速慢，压强大，所以气流给球体一个浮举力。
这样，在其他条件相同的情况下，下旋球比不转或上旋球的弧线要高，要长。
○3足球香蕉球：又称“弧线球”，足球运动技术名词。
指足球踢出后，球在空中向前并作弧线运行的踢球技术。
弧线球常用于攻方在对方禁区附近获得直接任意球时，利用其弧线运行状态，避开人墙直接射门得分。
高中物理空气阻力模型及处理技巧
高中物理空气阻力模型及处理技巧
在高中物理中，空气阻力是一个重要的概念。
它指的是运动物体在空气中受到的阻碍力，这个力会影响物体的运动轨迹和速度。
为了更好地理解和处理空气阻力，我们需要了解一些相关的模型和技巧。
1. 空气阻力模型
空气阻力的大小与运动物体的速度、物体的形状和面积以及空气密度有关。
一般来说，空气阻力可以用以下公式表示：
F = 0.5ρAvC
其中，F表示空气阻力的大小，ρ表示空气的密度，A表示物体所受阻力的面积，v表示物体的速度，C表示阻力系数。
2. 处理空气阻力的技巧
在处理空气阻力时，一些技巧和方法可以帮助我们更好地理解和解决问题。
(1) 分解重力和空气阻力
当物体受到重力和空气阻力时，可以将重力和空气阻力分解为两个方向。
这样可以更好地分析物体的运动状态。
(2) 减小阻力系数
在实际运用中，我们可以通过改变物体的形状和表面光滑度来减小阻力系数。
例如，在汽车设计中，改变车身外形和降低车身高度可以减小空气阻力，提高车速。
(3) 确定合适的速度
在某些情况下，运动物体的速度可能会影响其运动状态。
例如，
在空气阻力和重力作用下，一个物体的速度可能会达到极限速度。
因此，我们需要确定合适的速度，以避免达到极限速度而导致意外情况。
总之，了解空气阻力模型和处理空气阻力的技巧可以帮助我们更好地理解和应用物理知识，解决实际问题。
空气阻力计算公式的定义
空气阻力计算公式的定义空气阻力是指物体在空气中运动时所受到的阻力。
在空气中运动的物体，比如汽车、飞机、自行车等，都会受到空气阻力的影响。
了解空气阻力的计算公式对于设计和改进运动器材、车辆等具有重要意义。
空气阻力的计算公式可以通过流体力学的原理来推导。
在空气中运动的物体受到的阻力可以表示为：F = 0.5 ρ v^2 A Cd。
其中，F表示物体受到的阻力，ρ表示空气的密度，v表示物体的速度，A表示物体的横截面积，Cd表示物体的阻力系数。
在这个公式中，空气密度ρ是一个常数，通常在标准条件下为1.225 kg/m^3。
物体的速度v越大，受到的阻力也越大，这是因为阻力与速度的平方成正比。
物体的横截面积A越大，受到的阻力也越大，这是因为阻力与横截面积成正比。
而阻力系数Cd则是由物体的形状和表面粗糙度等因素决定的，不同形状的物体具有不同的阻力系数。
空气阻力的计算公式可以帮助工程师和设计师在设计和改进运动器材、车辆等时预测和优化空气阻力，从而提高其性能和效率。
例如，在汽车设计中，通过减小车身的横截面积和改进车身的流线型，可以降低空气阻力，提高汽车的燃油经济性；在自行车设计中，通过优化车架和车轮的形状，可以减小空气阻力，提高骑行的舒适性和效率。
除了上述的简化计算公式外，空气阻力还可以通过计算流体力学模拟来进行更精确的预测和分析。
计算流体力学模拟是利用计算机模拟空气流动的数值方法，可以在不同速度和角度下对物体受到的空气阻力进行详细的分析和优化。
这种方法在飞机、汽车、自行车等领域的设计和研发中得到了广泛的应用。
总之，空气阻力的计算公式是通过流体力学的原理推导而来的，可以帮助工程师和设计师预测和优化运动器材、车辆等受到的空气阻力。
通过减小横截面积、优化流线型和利用计算流体力学模拟等方法，可以降低空气阻力，提高性能和效率。
空气阻力的计算公式为改进运动器材、车辆等的设计和研发提供了重要的理论基础和工程指导。
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球类运动中空气阻力的计算和分析周雨青 叶兆宁 吴宗汉(东南大学物理系,南京 210096)(收稿日期:2001208215)摘 要 本文利用Asai 等人的工作计算了光滑表面球体,速度介于0～30m/s 之间的空气阻力,发现两种或三种不同运动速度都有相同的空气阻力值的现象,本文对此做了理论上的解释.本文并从空气阻力公式的由来、计算空气阻力的意义以及球类运动的若干运动现象(比如“香蕉球”技术等)等做了必要的阐述.所有这一切都对球类运动更具体的研究有一定的意义.关键词 球类;空气阻力;旋转;曲线;数据 贝克汉姆的临门一脚任意球堪称世界一绝,只见他距球门25m 之处大力抽射,球呼啸着,绕过人墙直飞网窝.这种高超的“香蕉球”技术,除了绿茵场上的刻苦训练和对足球的超凡悟性之外,还蕴涵着深刻而复杂的物理内容.本文首先简要地阐述“香蕉球”飞行原理,然后就球飞行中的阻力特点做一个较为深入的讨论,从中可以了解到各类球体在空气中飞行时处理阻力—速度关系的一般方法,为具体的其它运动计算提供线索.1 “香蕉球”运动原理考虑如图1所示情况.设球的旋转轴与v (球运动方向)方向垂直(这保证了压力与v 图1垂直),球的旋转方向使得球上部空气流速低于下部流速.由Bernoulli (伯努利)原理知,上部气体压力大于下部气体压力,这时的气体对球产生一个净向下的压力,正是这个力使球偏离原运动方向,产生弧度运动.见图2所示,在不考虑空气阻力(运动方向上的)情况下,选择好起始速度大小、方向和恰当的旋转方向,就能使球以圆弧轨迹绕过防守队员,避开球门员而飞抵网窝.当然,这样的技术对运动员来说是需要“百炼成钢”的,但从物理来说,其中蕴涵着复杂的物理因素.图22 飞行中的球体所受空气阻力的理论与数据分析“香蕉球”由于旋转而出现的压力差称为升力F L (lift force ),它与球体运动速度和旋转频率有关.由下式表达[2]F L =C L ρD 3fv(1)其中C L 为升力系数;ρ为空气密度(通常取海平面值1120kgm -3);D 是球的直径(按国际足联组织FIFA 规定,球的周长必须介于0168m ～0170m 之间,则一般取直径为0122m );f 是球旋转频率;v 是球速.正是F L 的存在使球作弧线运动.(1)式中的C L 、f 的确定较为复杂,但一旦确定,基本不随球体运动过程而变化.有人(Carini J P )[3]做过足球、排球、乒乓球等许多球类运动分析,C L 取1123是较为恰当的,足球、排球的旋转速度f 取10rev/s ,乒乓球高于此.(1)式中的v 却是一个充满变数、难以确定的量.首先要说明的是,由于F L 垂直于v ,因此F L 的存在对v 的数值大小没有影响.其次因为v 的存在引起空气阻力的出现,而空气阻力又反过来引起v 的改变.导致球的飞行轨迹偏离圆弧状,实际的轨迹取决于速度如何变化.空气阻力是与物体形状、运动速度、表面特征都有关系的动力学量.下面就比较详细地讨论一下处理球类物体运动时的空气阻力与速度关系的理论和数据曲线.(1)空气阻力与速度关系的理论推导首先考虑平板在空气中运动时所受的压差阻力(后面有说明).如图3所示(考虑空气相对于平板运动)假定把尚未到达平板的气流称作“状态1”,而把已达到平板上的气流称作“状态2”,并先假定气流撞在平板上以后其速度全部变为零,即v 2=0(这是一种极端情况),则根据Bernoulli原理有图3P 1+12ρv 21=P 2+12ρv 22P 为单位体积的气流压力能,其中v 1=v (亦即平板运动速度),v 2=0,则P 2-P 1=12ρv 2若认为平板的背面所受的气压等于前部“状态1”时的压力P 1,那么,平板两面的压力差乘以平板的面积A 就得到阻力F dF d =(P 2-P 1)A =12ρAv2(2) 这并不是正确的表达式,因为,即使是平板,也不是所有气体质量在流向平板时完全损失速度,而更可能是如图4所示,绕过平板向后方流动.显然此时的P 2要减小,板后面的P 1也要变化.并且气体流过表面时还将出现摩擦阻力(后面有说明),以及更复杂的其它空气阻力形式.因此,较为准确和一般的阻图4力表达式应该引进一个阻力系数C d ,使其变为F d =12C d ρAv 2(3)C d 的意义有两点:第一,是表示实际阻力与上述平板的极端情况((2)式)的比较(值),即F d 12ρAv 2.第二,C d 是含压差阻力、摩擦阻力及其它阻力的总效应.即C d =C d 压+C d 摩+C d 其它(本文主要考虑前二者).在具体情况下,由于物体形状、运动速度大小及物体表面平整度的不同都会使各种具体阻力在总阻力中所占的比分出现很大的不同,即C d 压/C d +C d 摩/C d +…=1(3)式就是当前理论通用的气体阻力表达式,其中的A 为运动物体的横截面(对球体即为14πD 2)其中的阻力系数C d 既与形状因素有关(比如:平板C d =1,圆球或流线型物体C d <1),又与速度因素有关(比如速度在0～30m/s 范围内变化时圆球C d 约有015～0106的变化),因此,不能从(3)式中泛泛地认为空气阻力正比于v 2,需要具体来确定.(2)雷诺(Reynolds )数流体力学中描述气流流动状态(层流、湍流)的临界指标用雷诺数表示,记作R e .层流或湍流状态的空气粘滞阻力相差甚远,因此雷诺数R e 与阻力系数C d 会有着千丝万缕的联系.当然这种联系是经验性的数据表达,很难有理论的数学表达形式.雷诺数R e 用气流速度表示的标准形式为[4]R e =ρvD/η(4)其中v 为流速,D 为流束直径,若为球体在空气中运动,则v 、D 分别为球速和球直径;η为空气的粘滞系数.(3)球体C d 与R e 的关系Asai [1]等人做了各种球体在空气中飞行时的阻力系数的测定实验发现:C d 与R e 的关系取决于球体表面平整程度,与球体直径无关.实验曲线如图5所示.这张图对求出球体在空气中的阻力随速度变化的关系至关重要,它告诉我们C d 如何通过R e =ρvD/η与速度发生联系的.从这张图中可以看到C d 与球体的表面有很大关系.图5(4)球体空气阻力F d 与速度v 的关系曲线以足球为例,可以认为足球为光滑球体,C d -R e 曲线取①曲线,取20℃时的空气粘滞系数η=1812μPa ·s ,空气密度ρ=1120kgm -3,取足球直径D =0122m ,则通过关系式(4)及图5中的曲线以及式(3),可以计算建立下表1:表1v (ms-1)R e (×104)C d F d (N )00002.53.630.50.15.07.250.50.37.510.90.50.610.014.50.51.112.518.10.51.815.021.80.52.617.525.40.53.520.029.00.454.122.532.60.44.625.036.30.22.927.539.90.11.730.043.50.061.2 由表1可以绘制图6.图6图6曲线清楚地表明了空气阻力如何随速度v 的变化而变化的对应关系.值得注意的是,空气阻力与速度的关系出现双值或三值现象(当R e >60×104后,图6曲线的末端开始向上翘)即不同的飞行速度却有相同的阻力,这让我们知道高速比低速更容易维持自己的速度,比如v 1>v 2,a 1=a 2=a则Δv 1=Δv 2=a Δt , 而 Δv 1v 1<Δv 2v 2. (5)理论解释图6是图5的必然结果,为此我们对图5作一理论解释.空气对球类运动物体的阻力主要可分为摩擦阻力和压差阻力两种.摩擦阻力是气流流过物体两侧时,由于空气的粘性而形成的空气摩擦;压差阻力是运动物体沿运动方向的前后两面所受的压力差,这与物体前、后两面形成的流动有关.这种关系又直接与物体形状和运动速度(层流、还是湍流)有关.这两种阻力在同一速度情况下会因物体形状而有相当大的差异.比如:平板形物体的压差阻力比摩擦阻力大得多;流线型物体摩擦阻力却占主要地位.另外,在形状一定的情况下,两者的竞争又与流速有关,我们以图5中的曲线为例,定性地来说明这条实验曲线的理论结果.光滑球体在空气中运动,可将球运动的前后部的气流的运动看成“管流”.当运动速度不大时,“管流”为层流状态,层流状的流速线分布见图7.“管”心(球心)速度最大,即为球速,“管”壁(球边缘)速度为零.此时,球体前部气流不会流向后部.这时压差阻力占主要地位.与平板极端压差阻力推导类似,只是球前后部气流呈v (y )=v 1-ya规律变化.其中v 为球速,a 为球半径,y 为距球中心线的距离.此压差阻力可如下计算(见图8)d F α=12ρv 2(y )d A d A =2a 2-y 2·d y(图8的阴影面积)则F =∫d F α=2∫a122ρv 21-y a2a 2-y 2d y =12ρv 24a2∫a1-y a21-y a2dy a=15π-3248(12ρv 24a 2)∴ F =014012ρv 2A其中A =πa 2=πD 24为球截面.与式(3)比较知.C d =014为常数,这与图5曲线中水平线段定性一致,但数据上有差异.这是与气流模型过于特殊有关,且没有考虑部分的摩擦阻力所致.当运动速度增大至湍流状态时,流速线变为图9状态,此时前后气体连通.这时的压差阻力徒然变小,C d 急剧下降(对应于图5曲线①中的陡直线段部分).当湍流状态已经彻底形成后,压差阻力不起主要作用,摩擦阻力随速度的增加而增大,C d 表示出缓慢上升状.粗糙球体与光滑球体有类似结果,只是维持层流状的速度范围更小,所以有图5曲线②情况.至于波纹球体,因为无层流状可言,所以就没了曲线①、②的第一段平直线,出现曲线③情况.3 球体飞行轨道确定的分析思路(1)不考虑重力作用飞行中的球体受如图10所示二力作用,选自然坐标系,有如下动力方程m d v d t =12C d ρAv 2(5)m v 2R=C L ρD 3fv(6)其中R 为曲线的曲率半径,m 为球体质量,(5)式变形为d v C d v2=ρA2m d t 选定初始条件t =0,v =v 0,对上式积分∫vv 0d v C d v2=ρA 2m ∫t0d t 根据图5,写出计算机积分程序完成上述积分,即可得v =v (t )的数值解,再将其代入(6)式,可得曲率半径R =R (t )=mC L ρD 3fv (t )的数值解,由此可得一数值曲线.(2)考虑重力作用的抛体运动实际足球在飞行中受力如图11所示的力作用.因重力作用下的抛体运动是一简单抛物线,利用运动的独立性原则,将上述数值曲线与抛物线合成即可得实际轨迹曲线.4 总结球类飞行的诸多问题主要是阻力问题,首先利用实验曲线C d -R e 确定C d 与速度的关系,其次利用F d =12C d ρA 3v 2求出F d ,最后用动力学方程求解轨迹.参考文献[1] Asai T ,Akatsuka T and Haake S.The physics offootball.Phys.World 1998,11(6):25～27.[2] G ren Iresen.Beckham as physicist ?PhysicsEducation.2001,2.[3] Carini.J P 1999.http ://carini ,/E105/forces 2on 2projectiles.html[4] 李翼祺等编.流体力学基础.科学出版社,1983.120.(上接61页) ∴C V →C 0V ∝T34 综上所述(1)当我们对德拜模型态密度做适当修正后,不但保证了德拜模型的优势之处,同时还对原有的局限性做了一定的修正.(2)得到这样的结果不是偶然的,其原因在于格波并非完美的弹性波.从ω=ω0+νq 可知当温度较低时ν很小,所以ω0项的影响很小,因此是弹性波形式;当温度较高时ν很大,ω0项起主要作用,这时就不再是弹性波了,德拜模型不再适用.(3)至于修正项的来源,我们从热容的高温极限中看到,它体现格波声子间的相互碰撞,是非简谐效应的结果.因此我们可以看到本文采用的修正正是考虑了格波的简谐与非简谐两种效应.而从振动频率的低温近似中我们更加清楚地看到ω0代表了这种声子间的相互碰撞的平均作用效果.实际上低温情况下,格波相速度v 很小,因而这种均匀背景也是极其微弱的.参考文献[1] 黄 昆.固体物理学.韩汝琦改编.高等教育出版社,1988年.。