2014年圆的基本性质综合训练(含答案)
圆的有关性质及答案
圆的有关性质一．填空题（共9小题）1．（2014•张家界）如图，AB、CD是半径为5的⊙O的两条弦，AB=8，CD=6，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为EF上的任意一点，则PA+PC的最小值为_________．2．（2014•大庆）在半径为2的圆中，弦AC长为1，M为AC中点，过M点最长的弦为BD，则四边形ABCD的面积为_________．3．（2014•牡丹江）⊙O的半径为2，弦BC=2，点A是⊙O上一点，且AB=AC，直线AO与BC交于点D，则AD的长为_________．4．（2012•乌鲁木齐）等腰△ABC内接于半径为5的⊙O，点O到底边BC的距离为3，则AB的长为_________．5．（2012•牡丹江）已知⊙O的半径为5cm，弦AB∥CD，AB=8cm，CD=6cm，则AB和CD的距离为_________．6．（2011•威海）如图，⊙O的直径AB与弦CD交于点E，AE=5，BE=1，CD=4，则∠AED=_________．7．（2011•西宁）如图，在⊙O中，AB、AC是互相垂直的两条弦，OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，且AB=8cm，AC=6cm，那么⊙O的半径OA长为_________．8．（2009•新疆）如图，在平面直角坐标系中，已知一圆弧过小正方形网格的格点A、B、C，已知A点的坐标是（﹣3，5），则该圆弧所在圆的圆心坐标是_________．9．（2009•鄂州）在⊙O中，已知⊙O的直径AB为2，弦AC长为，弦AD长为．则DC2=_________．二．解答题（共21小题）10．（2010•河池）如图所示，AB为⊙O的直径，CD为弦，且CD⊥AB，垂足为H．（1）如果⊙O的半径为4，，求∠BAC的度数；（2）若点E为的中点，连接OE，CE．求证：CE平分∠OCD；（3）在（1）的条件下，圆周上到直线AC距离为3的点有多少个？并说明理由．11．（2014•黄石）如图，A、B是圆O上的两点，∠AOB=120°，C是AB弧的中点．（1）求证：AB平分∠OAC；（2）延长OA至P使得OA=AP，连接PC，若圆O的半径R=1，求PC的长．12．（2014•南通）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点M在⊙O上，MD恰好经过圆心O，连接MB．（1）若CD=16，BE=4，求⊙O的直径；（2）若∠M=∠D，求∠D的度数．13．（2014•厦门）已知A，B，C，D是⊙O上的四个点．（1）如图1，若∠ADC=∠BCD=90°，AD=CD，求证：AC⊥BD；（2）如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB=2，DC=4，求⊙O的半径．14．（2014•天津）已知⊙O的直径为10，点A，点B，点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D．（Ⅰ）如图①，若BC为⊙O的直径，AB=6，求AC，BD，CD的长；（Ⅱ）如图②，若∠CAB=60°，求BD的长．15．（2014•无锡）如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，且OD∥BC，OD与AC交于点E．（1）若∠B=70°，求∠CAD的度数；（2）若AB=4，AC=3，求DE的长．16．（2014•河南）（1）问题发现如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．填空：①∠AEB的度数为_________；②线段AD，BE之间的数量关系为_________．（2）拓展探究如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A，D，E在同一直线上，CM为△DCE中DE 边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由．（3）解决问题如图3，在正方形ABCD中，CD=，若点P满足PD=1，且∠BPD=90°，请直接写出点A到BP的距离．17．（2013•资阳）在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦AC翻折交AB于点D，连结CD．（1）如图1，若点D与圆心O重合，AC=2，求⊙O的半径r；（2）如图2，若点D与圆心O不重合，∠BAC=25°，请直接写出∠DCA的度数．18．（2013•温州）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使DC=CB，延长DA与⊙O的另一个交点为E，连接AC，CE．（1）求证：∠B=∠D；（2）若AB=4，BC﹣AC=2，求CE的长．19．（2012•新疆）如图，圆内接四边形ABDC，AB是⊙O的直径，OD⊥BC于E．（1）请你写出四个不同类型的正确结论；（2）若BE=4，AC=6，求DE．20．（2012•大庆）如图△ABC中，BC=3，以BC为直径的⊙O交AC于点D，若D是AC中点，∠ABC=120°．（1）求∠ACB的大小；（2）求点A到直线BC的距离．21．（2012•沈阳）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，OD⊥AC，垂足为E，连接BD（1）求证：BD平分∠ABC；（2）当∠ODB=30°时，求证：BC=OD．22．（2011•曲靖）如图，点A、B、C、D都在⊙O上，OC⊥AB，∠ADC=30°．（1）求∠BOC的度数；（2）求证：四边形AOBC是菱形．23．（2011•广州）如图1，⊙O中AB是直径，C是⊙O上一点，∠ABC=45°，等腰直角三角形DCE中∠DCE是直角，点D在线段AC上．（1）证明：B、C、E三点共线；（2）若M是线段BE的中点，N是线段AD的中点，证明：MN=OM；（3）将△DCE绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜90°）后，记为△D1CE1（图2），若M1是线段BE1的中点，N1是线段AD1的中点，M1N1=OM1是否成立？若是，请证明；若不是，说明理由．24．（2011•孝感）如图，等边△ABC内接于⊙O，P是上任一点（点P不与点A、B重合），连AP、BP，过点C作CM∥BP交PA的延长线于点M．（1）填空：∠APC=_________度，∠BPC=_________度；（2）求证：△ACM≌△BCP；（3）若PA=1，PB=2，求梯形PBCM的面积．25．（2010•金华）如图，AB是⊙O的直径，C是的中点，CE⊥AB于E，BD交CE于点F．（1）求证：CF﹦BF；（2）若CD﹦6，AC﹦8，则⊙O的半径为_________，CE的长是_________．26．（2010•三明）正方形ABCD的四个顶点都在⊙O上，E是⊙O上的一点．（1）如图①，若点E在上，F是DE上的一点，DF=BE．求证：△ADF≌△ABE；（2）在（1）的条件下，小明还发现线段DE、BE、AE之间满足等量关系：DE﹣BE=AE．请你说明理由；（3）如图②，若点E在上．写出线段DE、BE、AE之间的等量关系．（不必证明）27．（2010•永州）如图，在△ABC中，AB=BC=2，以AB为直径的⊙O分别交BC、AC于点D、E，且点D为BC的中点．（1）求证：△ABC为等边三角形；（2）求DE的长；（3）在线段AB的延长线上是否存在一点P，使△PBD≌△AED？若存在，请求出PB的长；若不存在，请说明理由．28．（2010•双鸭山）附加题：已知：如图⊙O是以等腰三角形ABC的底边BC为直径的外接圆，BD平分∠ABC交⊙O于D，且BD与OA、AC分别交于点E、F延长BA、CD交于G．（1）试证明：BF=CG．（2）线段CD与BF有什么数量关系？为什么？（3）试比较线段CD与BE的大小关系，并说明理由．29．（2009•内江）如图，四边形ABCD内接于圆，对角线AC与BD相交于点E，F在AC上，AB=AD，∠BFC=∠BAD=2∠DFC．求证：（1）CD⊥DF；（2）BC=2CD．30．（2007•呼和浩特）已知：如图，等边△ABC内接于⊙O，点P是劣弧上的一点（端点除外），延长BP至D，使BD=AP，连接CD．（1）若AP过圆心O，如图①，请你判断△PDC是什么三角形？并说明理由；（2）若AP不过圆心O，如图②，△PDC又是什么三角形？为什么？一．填空题（共9小题）1．（2014•张家界）如图，AB、CD是半径为5的⊙O的两条弦，AB=8，CD=6，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为EF上的任意一点，则PA+PC的最小值为．BE===3=BC=7，则．故答案为：2．（2014•大庆）在半径为2的圆中，弦AC长为1，M为AC中点，过M点最长的弦为BD，则四边形ABCD的面积为2．=BD=AB=AC，直线AO与，点BD=BC=，即（）4．（2012•乌鲁木齐）等腰△ABC内接于半径为5的⊙O，点O到底边BC的距离为3，则AB的长为．=4=2AB=24245．（2012•牡丹江）已知⊙O的半径为5cm，弦AB∥CD，AB=8cm，CD=6cm，则AB和CD的距离为1cm或7cm．，，OE===4cm=OE===4cm==3cmAED=30°．DH=CH=，DH=2；又∵OH=OH=AC=6cm，那么⊙O的半径OA长为5cm．AE=AC=AD=×，OA=C，已知A点的坐标是9．（2009•鄂州）在⊙O中，已知⊙O的直径AB为2，弦AC长为，弦AD长为．则DC=或．AC=∴BD=BP=，OP==（）﹣=（（=2+或．AC=∴BD=BP=OP=（）﹣=（）=2+10．（2010•河池）如图所示，AB为⊙O的直径，CD为弦，且CD⊥AB，垂足为H．（1）如果⊙O的半径为4，，求∠BAC的度数；（2）若点E为的中点，连接OE，CE．求证：CE平分∠OCD；（3）在（1）的条件下，圆周上到直线AC距离为3的点有多少个？并说明理由．CD=2（COH==BAC=∠的中点∴因为圆弧上的点到直线对称性，（1）求证：AB平分∠OAC；（2）延长OA至P使得OA=AP，连接PC，若圆O的半径R=1，求PC的长．是等边三∴MD恰好经过圆心O，连接MB．（1）若CD=16，BE=4，求⊙O的直径；（2）若∠M=∠D，求∠D的度数．∠D=13．（2014•厦门）已知A，B，C，D是⊙O上的四个点．（1）如图1，若∠ADC=∠BCD=90°，AD=CD，求证：AC⊥BD；（2）如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB=2，DC=4，求⊙O的半径．四边OD=的半径为14．（2014•天津）已知⊙O的直径为10，点A，点B，点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D．（Ⅰ）如图①，若BC为⊙O的直径，AB=6，求AC，BD，CD的长；（Ⅱ）如图②，若∠CAB=60°，求BD的长．解答：解：（Ⅰ）如图①，∵BC是⊙O的直径，∴=∴，，BD=CD=5DAB=∠OD与AC交于点E．（1）若∠B=70°，求∠CAD的度数；（2）若AB=4，AC=3，求DE的长．ADO===55==BC=．又∵AB=2﹣如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．填空：①∠AEB的度数为60°；②线段AD，BE之间的数量关系为AD=BE．（2）拓展探究如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A，D，E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由．（3）解决问题如图3，在正方形ABCD中，CD=，若点P满足PD=1，且∠BPD=90°，请直接写出点A到BP的距离．AB=AD=DC=BC=BP=．．∴AH=线于点BP=2AH﹣．∴AH=综上所述：的距离为或（1）如图1，若点D与圆心O重合，AC=2，求⊙O的半径r；AC=×r（r=根据翻折的性质，，交点为E，连接AC，CE．（1）求证：∠B=∠D；（2）若AB=4，BC﹣AC=2，求CE的长．=1+（舍去）．（1）请你写出四个不同类型的正确结论；（2）若BE=4，AC=6，求DE．=；，（1）求∠ACB的大小；=，∵×=21．（2012•沈阳）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，OD⊥AC，垂足为E，连接BD（1）求证：BD平分∠ABC；（2）当∠ODB=30°时，求证：BC=OD．为半径，∴=BC= OD=AB（1）求∠BOC的度数；，∴=，∵）证明：∵=23．（2011•广州）如图1，⊙O中AB是直径，C是⊙O上一点，∠ABC=45°，等腰直角三角形DCE中∠DCE是直角，点D在线段AC上．（1）证明：B、C、E三点共线；（2）若M是线段BE的中点，N是线段AD的中点，证明：MN=OM；（3）将△DCE绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜90°）后，记为△D1CE1（图2），若M1是线段BE1的中点，N1是线段是线段ON=BD OM=为等MN=OM从而有M1N1=OM1．24．（2011•孝感）如图，等边△ABC内接于⊙O，P是上任一点（点P不与点A、B重合），连AP、BP，过点C作CM∥BP交PA的延长线于点M．（1）填空：∠APC=60度，∠BPC=60度；（2）求证：△ACM≌△BCP；PH=（PH==25．（2010•金华）如图，AB是⊙O的直径，C是的中点，CE⊥AB于E，BD交CE于点F．（1）求证：CF﹦BF；（2）若CD﹦6，AC﹦8，则⊙O的半径为5，CE的长是．的中点，∴，是CE==，的长是26．（2010•三明）正方形ABCD的四个顶点都在⊙O上，E是⊙O上的一点．（1）如图①，若点E在上，F是DE上的一点，DF=BE．求证：△ADF≌△ABE；（2）在（1）的条件下，小明还发现线段DE、BE、AE之间满足等量关系：DE﹣BE=AE．请你说明理由；（3）如图②，若点E在上．写出线段DE、BE、AE之间的等量关系．（不必证明）都对EF=AEAEBE=AEEF=AE AE AE的中点．（1）求证：△ABC为等边三角形；（2）求DE的长；的中位线，DE=AB=，已知：如图⊙O是以等腰三角形ABC的底边BC为直径的外接圆，BD平分∠ABC交⊙O于D，且BD与OA、AC分别交于点E、F延长BA、CD交于G．（1）试证明：BF=CG．（2）线段CD与BF有什么数量关系？为什么？，∴∴；∴=，即=29．（2009•内江）如图，四边形ABCD内接于圆，对角线AC与BD相交于点E，F在AC上，AB=AD，∠BFC=∠BAD=2∠DFC．求证：（1）CD⊥DF；GFC=CD=GC=BC30．（2007•呼和浩特）已知：如图，等边△ABC内接于⊙O，点P是劣弧上的一点（端点除外），延长BP至D，使BD=AP，连接CD．（1）若AP过圆心O，如图①，请你判断△PDC是什么三角形？并说明理由；过圆心PAC=∠。
圆的基本性质 单元能力测试(含答案)
第7题第8题第三章 圆的基本性质能力提升测试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1. 如图，在⊙O 中，弦AB ∥CD ,若︒=∠40ABC ，则=∠BOD （ ） A. ︒20 B. ︒40 C. ︒50 D. ︒802.如图，点A 、B 、C 在⊙O 上，∠ACB =30°，则sin ∠AOB 的值是（ ） A ． B ．C ．D ．3.用圆心角为120°，半径为6cm 的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽（如图所示），则这个纸帽的高是（ ） A ．cm B ．3cm C ．4cm D ．4cm4.如图，AD 为⊙O 的直径，作⊙O 的内接正三角形ABC ，甲、乙两人的作法分别是：甲：1、作OD 的中垂线，交⊙O 于B ，C 两点，2、连接AB ，AC ，△ABC 即为所求的三角形 乙：1、以D 为圆心，OD 长为半径作圆弧，交⊙O 于B ，C 两点。
2、连接AB ，BC ，CA ．△ABC 即为所求的三角形。
对于甲、乙两人的作法，可判断（ ）A ．甲、乙均正确B ．甲、乙均错误C ．甲正确、乙错误D ．甲错误，乙正确第4题 第5题 5.如图，已知BD 是⊙O 直径，点A 、C 在⊙O 上，⌒AB =⌒BC，∠AOB =60°，则∠BDC 的 度数是（ ）A.20°B.25°C.30°D. 40°6.如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于E ，已知CD =12，则⊙O 的直径为（ ） A. 8 B. 10 C.16 D.20第1题 第2题 第3题DCB AO第9题7.如图所示，扇形AOB的圆心角为120︒，半径为2，则图中阴影部分的面积为( )334.-πA2334.-πB3234.-πC34.πD8.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，下列结论不成立的是（）A．CM=DM B．CB=DB C．∠ACD=∠ADC D．OM=MD9.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，下列结论不成立的是（）A．CM=DM B．CB=DB C．∠ACD=∠ADC D．OM=MD10.如图所示，圆O的弦AB垂直平分半径OC，则四边形OACB（）A、是正方形B、是长方形C、是菱形D、以上答案都不对二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分）如图所示的圆面图案是用相同半径的圆与圆弧构成的．若向圆面投掷飞镖，则飞镖落在黑色区域的概率为．12．如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于C．若AB=23，0C=1，则半径OB的长为________．13.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=2．将△ABC绕顶点A顺时针方向旋转至△AB′C′的位置，B，A，C′三点共线，则线段BC扫过的区域面积为．14．如图，“凸轮”的外围由以正三角形的顶点为圆心，以正三角形的边长为半径的三段等弧组成. 已知正三角形的边长为1，则凸轮的周长等于_________．15.如图所示，AB为⊙O的直径，AC为弦，OD∥BC交AC于点D，若AB=20cm，∠A=30°，则AD=cm．16.如图，⊙O的直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交AB于E，交⊙O于D．则AD=_____________．三、解答题（共7题，共66分）17、（本题8分）如图所示,已知F是以O为圆心,BC为直径的半圆上任一点,A是弧BF的A BCO第10题第11题第12题第13题第14题第15题第16题中点,AD ⊥BC 于点D .求证:AD =12BF .18（本题8分）.如图,⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点E ,∠CEA =30°, 求CD 的长.19．（本题8分）如图所示,OA 、OB 、OC都是圆O 的半径,∠AOB =2∠BOC ． 求证:∠ACB =2∠BAC .20、（本题10分）如图，弧AC 是劣弧，M 是弧AC 中点，B 为弧AC 上任意一点，自M 向BC 弦引垂线，垂足为D ，求证：AB +BD =DC 。
(完整版)圆的基本性质检测试题
圆的基本性质测试题班级 姓名 得分一：选择题（每题3分，共30分）（ ）1.下列语句中不正确的有①相等的圆心角所对的弧相等；②平分弦的直径垂直于弦；③圆是轴对称图形，对称轴是任意一条直径所在的直线， ④半圆是弧，⑸直径是圆内 最长的弦，⑥等弧所对的圆周角相等. A ．3个 Ｂ．4个 C ．5个 Ｄ．6个（ ）2. 如图，已知⊙O 的半径为5，弦AB=6，M 是AB 上任意一点，则线段OM 的长可能是：A ．2.5B ．3.5C ．4.5D ．5.5 （ ）3．如图，，已知AB 是⊙O 的直径，∠BOC=400，那么∠AOE=A.400B. 600C.800D.1200（ ）4．如图，将圆沿AB 折叠后，圆弧 恰好经过圆心，则 ∠AOB 等于:A ．60°B ．90°C ．120°D ．150°(第3题) (第4题) （第5题） （第6题）（ ）5. 两正方形彼此相邻且内接于半圆,若小正方形的面积为16cm 2,则该半圆的半径为A ．(45)+ cmB ．9 cmC ．45cmD ．62cm（ ）6. 如图，BD 是⊙O 的直径，圆周角∠A = 30︒，则∠CBD 的度数是 A ．30︒ B ．45︒ C ．60︒ D ．80︒（ ）7．AB 为⊙O 的直径，C 、D 是⊙O 上的两点，∠BAC ＝30º，AD ＝CD ，则∠DAC 的度数是:A ．30ºB ．60ºC ．45ºD ．75º（第7题） （第8题） （第9题） （第10题）（ ）8．如图，在⊙O 中，CD 是直径，弦AB ⊥CD ，垂足为E ，连接BC ，若AB =2cm ，∠BCD =22°30′，则⊙O 的半径为: A .4cm B.2cm C.1cm D.0.5cm （ ）9. 已知⊙O 的直径AB=12，弦AC=6，AD=62，则∠CAD=A. 60°B. 450C.1050 或150D. 60°或 450（ ）10．如图，AB 是⊙O 的直径，AB=2，点C 在⊙O 上，∠CAB=30°，D 为的中点，P 是直径AB 上一动点，则PC+PD 的最小值为: Ａ．22 Ｂ.2 Ｃ.1 Ｄ.2二：填空题（每题3分，共18分）11. 如图，⊙O 的半径OA=10cm ，弦AB=16cm ，P 为AB 上一动点，则点P 到圆心O 的最短距 离为 。
全国各地2014年中考数学试卷解析版分类汇编 圆的有关性质专题
圆的有关性质一、选择题1. （2014•某某潍坊，第6题3分）如图，平行四边形ABCD的顶点A、B、D在⊙0上，顶点C在⊙O直径BE上，连接AE，∠E=36°，则∠ADC的度数是( )A,44° B．54° C．72° D．53°考点：圆周角定理；平行四边形的性质．分析：根据平行四边形的性质得到∠ABC=∠ADC，再根据圆周角定理的推论由BE为⊙O的直径得到∠BAE=90°，然后根据三角形内角和定理可计算出∠ABE的度数．解答：∵BE为⊙O的直径，∴∠BAE=90°，∴∠ABC=90°－∠AEB=54°．∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠ADC=∠ABC=54°，故选B．点评：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了平行四边形的性质．2.(2014年某某黔东南6．（4分）)如图，已知⊙O的直径CD垂直于弦AB，∠ACD=22.5°，若CD=6cm，则AB的长为（）A．4cm B．3cm C．2cm D．2cm考点：圆周角定理；等腰直角三角形；垂径定理．专题：计算题．分析：连结OA，根据圆周角定理得∠AOD=2∠ACD=45°，由于3⊙O的直径CD垂直于弦AB，根据垂径定理得AE=BE，且可判断△OAE为等腰直角三角形，所以AE=OA=，然后利用AB=2AE进行计算．解答：解：连结OA，如图，∵∠ACD=22.5°，∴∠AOD=2∠ACD=45°，∵⊙O的直径CD垂直于弦AB，∴AE=BE，△OAE为等腰直角三角形，∴AE=OA，∵CD=6，∴OA=3，∴AE=，∴AB=2AE=3（cm）．故选B．点评：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了等腰直角三角形的性质和垂径定理．3. （2014•某某某某,第9题3分）如图，在⊙O中，AC∥OB，∠BAO=25°，则∠BOC的度数为（）A．25°B．50°C．60°D．80°考点：圆周角定理；平行线的性质．分析：由AC∥OB，∠BAO=25°，可求得∠BAC=∠B=∠BAO=25°，又由圆周角定理，即可求得答案．解答：解：∵OA=OB，∴∠B=∠BAO=25°，∵AC∥OB，∴∠BAC=∠B=25°，∴∠BOC=2∠BAC=50°．故选B．点评：此题考查了圆周角定理以及平行线的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．4．（2014•某某凉山州，第12题，4分）已知⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB=8cm，则AC的长为（）A．cm B．cm C．cm或cm D．cm或cm考点：垂径定理；勾股定理．专题：分类讨论．分析：先根据题意画出图形，由于点C的位置不能确定，故应分两种情况进行讨论．解答：解：连接AC，AO，∵⊙O的直径CD=10cm，AB⊥CD，AB=8cm，∴AM=AB=×8=4cm，OD=OC=5cm，当C点位置如图1所示时，∵OA=5cm，AM=4cm，CD⊥AB，∴OM===3cm，∴CM=OC+OM=5+3=8cm，∴AC===4cm；当C点位置如图2所示时，同理可得OM=3cm，∵OC=5cm，∴MC=5﹣3=2cm，在Rt△AMC中，AC===2cm．故选C．点评：本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．5．（2014•某某某某，第12题，3分）如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标是（3，a）（a＞3），半径为3，函数y=x的图象被⊙P截得的弦AB的长为，则a的值是（）A．4B．C．D．解答：解：作PC⊥x轴于C，交AB于D，作PE⊥AB于E，连结PB，如图，∵⊙P的圆心坐标是（3，a），∴OC=3，PC=a，把x=3代入y=x得y=3，∴D点坐标为（3，3），∴CD=3，∴△OCD为等腰直角三角形，∴△PED也为等腰直角三角形，∵PE⊥AB，∴AE=BE=AB=×4=2，在Rt△PBE中，PB=3，∴PE=，∴PD=PE=，∴a=3+．故选B．点评：本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理和等腰直角三角形的性质．6．（2014•某某内江，第7题，3分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠AOB=60°，AB=AC=2，则弦BC的长为（）A．B．3C．2D．4考点：垂径定理；圆周角定理；解直角三角形．分析：如图，首先证得OA⊥BC；然后由圆周角定理推知∠C=30°，通过解直角△ACD可以求得CD的长度．则BC=2CD．解答：解：如图，设AO与BC交于点D．∵∠AOB=60°，OB=OA，∴△OAB是等边三角形，∴∠BAO=60°，即∠BAD=60°．又∵AB=AC，∴=∴AD⊥BC，∴BD=CD，∴在直角△ABD中，BD=AB•sin60°=2×=，∴BC=2CD=2．故选：C．点评：本题考查了解直角三角形，圆周角定理等知识点．推知△OAB是等边三角形是解题的难点，证得AD⊥BC是解题的关键．7．（2014•某某某某,第13题4分）如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，连接BC、BD，下列结论中不一定正确的是（）A．A E=BE B．=C．O E=DE D．∠DBC=90°考点：垂径定理；圆周角定理．分析：由于CD⊥AB，根据垂径定理有AE=BE，弧AD=弧BD，不能得出OE=DE，直径所对的圆周角等于90°．解答：解：∵CD⊥AB，∴AE=BE，=，∵CD是⊙O的直径，∴∠DBC=90°，不能得出OE=DE．故选C．点评：本题考查了垂径定理．解题的关键是熟练掌握垂径定理的内容．二、填空题1. （2014•某某某某，第17题3分）如图，已知A、B、C三点在⊙O上，AC⊥BO于D，∠B=55°，则∠BOC的度数是．考点：圆周角定理．分析：根据垂直的定义得到∠ADB=90°，再利用互余的定义计算出∠A=90°﹣∠B=35°，然后根据圆周角定理求解．解答：∵AC⊥BO，∴∠ADB=90°，∴∠A=90°﹣∠B=90°﹣55°=35°，∴∠BOC=2∠A=70°．故答案为70°．点评：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．2．（2014•某某某某，第16题，3分）如图，AB、CD是半径为5的⊙O的两条弦，AB=8，CD=6，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为EF上的任意一点，则PA+PC的最小值为．考点：垂径定理；等腰梯形的性质．专题：压轴题．分析：A、B两点关于MN对称，因而PA+PC=PB+PC，即当B、C、P在一条直线上时，PA+PC的最小，即BC的值就是PA+PC的最小值解答：解：连接OA，OB，OC，作CH垂直于AB于H．根据垂径定理，得到BE=AB=4，CF=CD=3，∴OE===3，OF===4，∴CH=OE+OF=3+4=7，BH=BE+EH=BE+CF=4+3=7，在直角△BCH中根据勾股定理得到BC=7，则PA+PC的最小值为．点评：正确理解BC 的长是PA+PC 的最小值，是解决本题的关键．3. （2014•某某抚州，第13题，3分） 如图，△ABC 内接于⊙O ,∠OAB=20°,则∠C 的度数为----------︒70.解析：∵OA=OB,∴∠OBA=∠OAB=20°,∴∠AOB=140°,∴∠C=12∠AOB=70° 4. (2014•年某某东营,第16题4分)在⊙O 中，AB 是⊙O 的直径，AB=8cm ，==，M 是AB 上一动点，CM+DM 的最小值是8 cm ．考点： 轴对称-最短路线问题；勾股定理；垂径定理．分析： 作点C 关于AB 的对称点C′，连接C′D 与AB 相交于点M ，根据轴对称确定最短路线问题，点M 为CM+DM 的最小值时的位置，根据垂径定理可得=，然后求出C′D 为直径，从而得解．解答： 解：如图，作点C 关于AB 的对称点C′，连接C′D 与AB 相交于点M ，此时，点M为CM+DM的最小值时的位置，由垂径定理，=，∴=，∵==，AB为直径，∴C′D为直径，∴CM+DM的最小值是8cm．故答案为：8．点评：本题考查了轴对称确定最短路线问题，垂径定理，熟记定理并作出图形，判断出CM+DM的最小值等于圆的直径的长度是解题的关键．5．（2014•某某某某，第14题，3分）如图，两圆圆心相同，大圆的弦AB与小圆相切，AB=8，则图中阴影部分的面积是．（结果保留π）分析：设AB于小圆切于点C，连接OC，OB，利用垂径定理即可求得BC的长，根据圆环（阴影）的面积=π•OB2﹣π•OC2=π（OB2﹣OC2），以及勾股定理即可求解．解：设AB于小圆切于点C，连接OC，OB．∵AB于小圆切于点C，∴OC⊥AB，∴BC=AC=AB=×8=4cm．∵圆环（阴影）的面积=π•OB2﹣π•OC2=π（OB2﹣OC2）又∵直角△OBC中，OB2=OC2+BC2∴圆环（阴影）的面积=π•OB2﹣π•OC2=π（OB2﹣OC2）=π•BC2=16πcm2．故答案是：16π．点评：此题考查了垂径定理，切线的性质，以及勾股定理，解题的关键是正确作出辅助线，注意到圆环（阴影）的面积=π•OB2﹣π•OC2=π（OB2﹣OC2），利用勾股定理把圆的半径之间的关系转化为直角三角形的边的关系．6．（2014•某某某某,第18题4分）如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AB为⊙O的直径，点D在⊙O上，∠ADC=54°，则∠BAC的度数等于．考点：圆周角定理．分析：由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得∠B的度数，又由直径所对的圆周角是直角，即可求得∠ACB=90°，继而求得答案．解答：解：∵∠ABC与∠ADC是所对的圆周角，∴∠ABC=∠ADC=54°，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠BAC=90°﹣∠ABC=90°﹣54°=36°．故答案为：36°．点评：此题考查了圆周角定理与直角三角形的性质．此题比较简单，注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等与直径所对的圆周角是直角定理的应用．三、解答题1. （2014•某某，第25题14分）如图1，已知在平行四边形ABCD中，AB=5，BC=8，cosB=45，点P是边BC上的动点，以CP为半径的圆C与边AD交于点E、F（点F在点E的右侧），射线CE与射线BA交于点G．（1）当圆C经过点A时，求CP的长；（2）联结AP，当AP∥CG时，求弦EF的长；（3）当△AGE是等腰三角形时，求圆C的半径长．考点：圆的综合题分析：（1）当点A在⊙C上时，点E和点A重合，过点A作AH⊥BC于H，直接利用勾股定理求出AC进而得出答案；（2）首先得出四边形APCE是菱形，进而得出CM的长，进而利用锐角三角函数关系得出CP以及EF的长；（3）当∠AEG=∠B时，A、E、G重合，只能∠AGE=∠AEG，利用AD∥BC，得出△GAE∽△GBC，进而求出即可．解答：解：（1）如图1，设⊙O的半径为r，当点A在⊙C上时，点E和点A重合，过点A作AH⊥BC于H，∴BH=AB•cosB=4，∴AH=3，CH=4，∴AC==5，∴此时CP=r=5；（2）如图2，若AP∥CE，APCE为平行四边形，∵CE=CP，∴四边形APCE是菱形，连接AC、EP，则AC⊥EP，∴AM=CM=，由（1）知，AB=AC，则∠ACB=∠B，∴CP=CE==，∴EF=2=；（3）如图3：过点C作⊥AD于点N，∵cosB=45，∴∠B＜45°，∵∠BCG＜90°，∴∠BGC＞45°，∵∠AEG=∠BCG≥∠ACB=∠B，∴当∠AEG=∠B时，A、E、G重合，∴只能∠AGE=∠AEG，∵AD∥BC，∴△GAE∽△GBC，∴=，即=，解得：AE=3，EN=AN﹣AE=1，∴CE===．点评：此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及勾股定理以及锐角三角函数关系等知识，利用分类讨论得出△AGE是等腰三角形时只能∠AGE=∠AEG进而求出是解题关键．2. （2014•某某某某，第24题8分）如图，AB是⊙O的直径，延长AB至P，使BP=OB，BD 垂直于弦BC，垂足为点B，点D在PC上．设∠PCB=α，∠POC=β．求证：tanα•tan=．考点：圆的基本性质，相似三角形的判定，锐角三角函数.分析：连接AC先求出△PBD∽△PAC，再求出=，最后得到tanα•tan=．解答：证明：连接AC，则∠A=∠POC=，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴tanα=，BD∥AC，∴∠BPD=∠A，∵∠P=∠P，∴△PBD∽△PAC，∴=，∵PB=0B=OA，∴=，∴tana•tan=•==．点评：本题主要考查了相似三角形的判定与性质及圆周角的知识，本题解题的关键是求出△PBD∽△PAC，再求出tanα•tan=．3.（2014•某某26．（12分））如图，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB=90°，且∠ABC=60°，AB=BC，△ACD的外接圆⊙O交BC于E点，连接DE并延长，交AC于P点，交AB延长线于F．（1）求证：CF=DB；（2）当AD=时，试求E点到CF的距离．考点：圆的综合题专题：综合题．分析：（1）连结AE，由∠ABC=60°，AB=BC可判断△ABC为等边三角形，由AB∥CD，∠DAB=90°得∠ADC=∠DAB=90°，则根据圆周角定理可得到AC为⊙O的直径，则∠AEC=90°，即AE⊥BC，根据等边三角形的性质得BE=CE，再证明△DCE≌△FBE，得到DE=FE，于是可判断四边形BDCF为平行四边形，根据平行四边形的性质得CF=DB；（2）作EH⊥CF于H，由△ABC为等边三角形得∠BAC=60°，则∠DAC=30°，在Rt△ADC中，根据含30度的直角三角形三边的关系得DC=AD=1，AC=2CD=2，则AB=AC=2，BF=CD=1，AF=3，然后利用勾股定理计算出BD=，DF=2，所以CF=BD=，EF=DF=，接着根据等边三角形的性质由AE⊥BC得∠CAE=∠BAE=30°，根据圆周角定理得∠EDC=∠CAE=30°，而∠DCA=∠BAC=60°，得到∠DPC=90°，在Rt△DPC中，根据含30度的直角三角形三边的关系得PC=DC=，再证明Rt△FHE∽Rt△FPC，利用相似比可计算出EH．解答：（1）证明：连结AE，如图，∵∠ABC=60°，AB=BC，∴△ABC为等边三角形，∵AB∥CD，∠DAB=90°，∴∠ADC=∠DAB=90°，∴AC为⊙O的直径，∴∠AEC=90°，即AE⊥BC，∴BE=CE，CD∥BF，∴∠DCE=∠FBF，在△DCE和△FBE中，，∴△DCE≌△FBE（ASA），∴DE=FE，∴四边形BDCF为平行四边形，∴CF=DB；（2）解：作EH⊥CF于H，如图，∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC=60°，∴∠DAC=30°，在Rt△ADC中，AD=，∴DC=AD=1，AC=2CD=2，∴AB=AC=2，BF=CD=1，∴AF=3，在Rt△ABD中，BD==，在Rt△ADF中，DF==2，∴CF=BD=，EF=DF=，∵AE⊥BC，∴∠CAE=∠BAE=30°，∴∠EDC=∠CAE=30°，而∠DCA=∠BAC=60°，∴∠DPC=90°，在Rt△DPC中，DC=1，∠CDP=30°，∴PC=DC=，∵∠HFE=∠PFC，∴Rt△FHE∽Rt△FPC，∴=，即=，∴EH=，即E点到CF的距离为．点评：本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆周角定理、等边三角形的性质和平行四边形的判定与性质；会运用三角形全等的知识解决线段相等的问题；会运用勾股定理和相似比进行几何计算．4. (2014年某某某某13．（3分）)如图，在扇形OAB中，∠AOB=90°，点C是上的一个动点（不与A，B重合），OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D，E．若DE=1，则扇形OAB的面积为．考点：三角形中位线定理；垂径定理；扇形面积的计算．分析：连接AB，由OD垂直于BC，OE垂直于AC，利用垂径定理得到D、E分别为BC、AC的中点，即ED为三角形ABC的中位线，即可求出AB的长．利用勾股定理、OA=OB，且∠AOB=90°，可以求得该扇形的半径．解答：解：连接AB，∵OD⊥BC，OE⊥AC，∴D、E分别为BC、AC的中点，∴DE为△ABC的中位线，∴AB=2DE=2．又∵在△OAB中，∠AOB=90°，OA=OB，∴OA=OB=AB=，∴扇形OAB的面积为：=．故答案是：．点评：此题考查了垂径定理，勾股定理，扇形面积的计算以及三角形的中位线定理，熟练掌握定理是解本题的关键．5．（2014•某某某某，第24题，8分）如图，已知AB是⊙O的直径，BP是⊙O的弦，弦CD⊥AB 于点F，交BP于点G，E在CD的延长线上，EP=EG，（1）求证：直线EP为⊙O的切线；（2）点P在劣弧AC上运动，其他条件不变，若BG2=BF•BO．试证明BG=PG；（3）在满足（2）的条件下，已知⊙O的半径为3，sinB=．求弦CD的长．分析：（1）连接OP，先由EP=EG，证出∠EPG=∠BGF，再由∠BFG=∠BGF+∠OBP=90°，推出∠EPG+∠OPB=90°来求证，（2）连接OG，由BG2=BF•BO，得出△BFG∽△BGO，得出∠BGO=∠BFG=90°得出结论．（3）连接AC、BC、OG，由sinB=，求出r，由（2）得出∠B=∠OGF，求出OF，再求出BF，FA，利用直角三角形来求斜边上的高，再乘以2得出CD长度．（1）证明：连接OP，∵EP=EG，∴∠EPG=∠EGP，又∵∠EPG=∠BGF，∴∠EPG=∠BGF，∵OP=OB，∴∠OPB=∠OBP，∵CD⊥AB，∴∠BFG=∠BGF+∠OBP=90°，∴∠EPG+∠OPB=90°，∴直线EP为⊙O的切线；（2）证明：如图，连接OG，∵BG2=BF•BO，∴=，∴△BFG∽△BGO，∴∠BGO=∠BFG=90°，∴BG=PG；（3）解：如图，连接AC、BC、OG，∵sinB=，∴=，∵OB=r=3，∴OG=，由（2）得∠EPG+∠OPB=90°，∠B+∠BGF=∠OGF+∠BGO=90°，∴∠B=∠OGF，∴sin∠OGF==∴OF=1，∴BF=BO﹣OF=3﹣1=2，FA=OF+OA=1+3=4，在RT△BCA中，CF2=BF•FA，∴CF===2．∴CD=2CF=4．点评：本题主要考查了圆的综合题，解题的关键是通过作辅助线，找准角之间的关系，灵活运用直角三角形中的正弦值．6．（2014•某某某某,第20题11分）=，点D为BA延长线上的一点，且∠如图，在△ABC中，∠B=45°，∠ACB=60°，AB32D=∠ACB，⊙O为△ABC的外接圆.（1）求BC的长；（2）求⊙O的半径.+.（2）2.【答案】（1）33【解析】=+.∴BC33（2）由（1）得，在Rt△ACE中，∵∠EAC=30°，EC3AC=23∵∠D=∠ACB，∠B=∠B，∴△BAC∽△BCD. ∴AB ACCB CD=，即3223CD33=+.∴DM=4.∴⊙O的半径为2.考点：1. 锐角三角函数殊角的三角函数值；3.相似三角形的判定和性质；4.圆周角定理；5.圆内接四边形的性质；6.含30度角直角三角形的性质；7.勾股定理.7、（2014•某某,第23题12分）如图6，中，，．（1）动手操作：利用尺规作以为直径的，并标出与的交点，与的交点（保留作图痕迹，不写作法）：（2）综合应用：在你所作的圆中，①求证：；②求点到的距离．【考点】（1）尺规作图；（2）①圆周角、圆心角定理；②勾股定理，等面积法【分析】（1）先做出中点，再以为圆心，为半径画圆.（2）①要求，根据圆心角定理，同圆中圆心角相等所对的弧也相等，只需证出即可，再根据等腰三角形中的边角关系转化.②首先根据已知条件可求出，依题意作出高，求高则用勾股定理或面积法，注意到为直径，所以想到连接，构造直角三角形，进而用勾股定理可求出，的长度，那么在中，求其高，就只需用面积法即可求出高.【答案】（1）如图所示，圆为所求（2）①如图连接，设,又则②连接,过作于,过作于cosC=, 又,又为直径设，则，在和中，有即解得：即又即。
2014年中考圆的专题(1)(含答案)
2014年圆的专题（1）一．选择题（共1小题）1．（2013•安徽）如图，点P是等边三角形ABC外接圆⊙O上的点，在以下判断中，不正确的是（）二．填空题（共1小题）2．（2012•安徽）如图，点A、B、C、D在⊙O上，O点在∠D的内部，四边形OABC为平行四边形，则∠OAD+∠OCD= _________°．三．解答题（共5小题）3．（2010•济宁）如图，AD为△ABC外接圆的直径，AD⊥BC，垂足为点F，∠ABC的平分线交AD于点E，连接BD，CD．（1）求证：BD=CD；（2）请判断B，E，C三点是否在以D为圆心，以DB为半径的圆上？并说明理由．4．（2011•深圳模拟）已知：如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，BE⊥AC，垂足为点E，M为AB边的中点，连接ME、MD、ED．（1）求证：△MED为等腰三角形；（2）求证：∠EMD=2∠DAC．5．（2012•沈阳）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，OD⊥AC，垂足为E，连接BD （1）求证：BD平分∠ABC；（2）当∠ODB=30°时，求证：BC=OD．6．（2010•贵阳）如图，已知AB是⊙O的弦，半径OA=2cm，∠AOB=120°．（1）求tan∠OAB的值；（2）计算S△AOB；（3）⊙O上一动点P从A点出发，沿逆时针方向运动，当S△POA=S△AOB时，求P点所经过的弧长．（不考虑点P与点B重合的情形）7．（2013•资阳）在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦AC翻折交AB于点D，连结CD．（1）如图1，若点D与圆心O重合，AC=2，求⊙O的半径r；（2）如图2，若点D与圆心O不重合，∠BAC=25°，请直接写出∠DCA的度数．2014年圆的专题（1）参考答案与试题解析一．选择题（共1小题）1．（2013•安徽）如图，点P是等边三角形ABC外接圆⊙O上的点，在以下判断中，不正确的是（）CBP=二．填空题（共1小题）2．（2012•安徽）如图，点A、B、C、D在⊙O上，O点在∠D的内部，四边形OABC为平行四边形，则∠OAD+∠OCD= 60°．三．解答题（共5小题）3．（2010•济宁）如图，AD为△ABC外接圆的直径，AD⊥BC，垂足为点F，∠ABC的平分线交AD于点E，连接BD，CD．（1）求证：BD=CD；（2）请判断B，E，C三点是否在以D为圆心，以DB为半径的圆上？并说明理由．由垂径定理得：）知：4．（2011•深圳模拟）已知：如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，BE⊥AC，垂足为点E，M为AB边的中点，连接ME、MD、ED．（1）求证：△MED为等腰三角形；（2）求证：∠EMD=2∠DAC．ME=AB MD=ABME=MD=AB=MA5．（2012•沈阳）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，OD⊥AC，垂足为E，连接BD （1）求证：BD平分∠ABC；（2）当∠ODB=30°时，求证：BC=OD．为半径，根据垂径定理，即可得，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆∴，ABOD=AB6．（2010•贵阳）如图，已知AB是⊙O的弦，半径OA=2cm，∠AOB=120°．（1）求tan∠OAB的值；（2）计算S△AOB；（3）⊙O上一动点P从A点出发，沿逆时针方向运动，当S△POA=S△AOB时，求P点所经过的弧长．（不考虑点P与点B重合的情形）AC=OAB=．，∴AB=2=2AD∴的长度为（∴的长度为（∴=7．（2013•资阳）在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦AC翻折交AB于点D，连结CD．（1）如图1，若点D与圆心O重合，AC=2，求⊙O的半径r；（2）如图2，若点D与圆心O不重合，∠BAC=25°，请直接写出∠DCA的度数．AC OE=的性质得到所对的圆周角减去所对的圆周角，计算即可得AC=×OE=r根据翻折的性质，，。
圆测试题及答案
圆测试题及答案
一、选择题
1. 下列哪个选项不是圆的基本性质？
A. 圆周上任意两点之间的线段称为弦。
B. 圆的直径是圆的最长弦。
C. 圆心到圆上任意一点的距离都相等。
D. 圆的面积与半径的平方成正比。
2. 圆的周长公式是什么？
A. C = πr
B. C = 2πr
C. C = 4πr
D. C = πr²
3. 已知圆的半径为3，求圆的周长。
A. 18π
B. 6π
C. 9π
D. 3π
二、填空题
4. 圆的面积公式为 \( A = \pi r^2 \)，其中 \( r \) 表示圆的________。
5. 如果圆的周长为12π，那么圆的半径是________。
三、计算题
6. 已知圆的半径为5厘米，求圆的周长和面积。
四、解答题
7. 如果一个圆的直径是14厘米，求圆的周长和面积，并用适当的单位表示结果。
答案：
一、选择题
1. D
2. B
3. A
二、填空题
4. 半径
5. 3
三、计算题
6. 圆的周长为 \( 2\pi \times 5 = 10\pi \) 厘米，圆的面积为\( \pi \times 5^2 = 25\pi \) 平方厘米。
四、解答题
7. 圆的周长为 \( 2\pi \times 7 = 14\pi \) 厘米，圆的面积为\( \pi \times (7)^2 = 49\pi \) 平方厘米。
2014中考数学圆综合题(含答案)
一、圆的概念集合形式的概念： 1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；（补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。
二、点与圆的位置关系1、点在圆内⇒d r<⇒点C在圆内；2、点在圆上⇒d r=⇒点B在圆上；3、点在圆外⇒d r>⇒点A在圆外；三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离⇒d r>⇒无交点；2、直线与圆相切⇒d r=⇒有一个交点；3、直线与圆相交⇒d r<⇒有两个交点；四、圆与圆的位置关系外离（图1）⇒无交点⇒d R r>+；A=+；外切（图2）⇒有一个交点⇒d R r-<<+；相交（图3）⇒有两个交点⇒R r d R r=-；内切（图4）⇒有一个交点⇒d R r<-；内含（图5）⇒无交点⇒d R r五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。
初中数学：圆的基本性质测试题(含答案)
初中数学：圆的基本性质测试题（含答案）一、选择题(每小题4分，共24分)1．如图G －3－1，在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵，∠AOB ＝40°，则∠ADC 的度数是( ) A ．40° B ．30° C ．20° D ．15°2．在同圆或等圆中，下列说法错误的是( ) A ．相等的弦所对的弧相等 B ．相等的弦所对的圆心角相等 C ．相等的圆心角所对的弧相等 D ．相等的圆心角所对的弦相等G －3－1G －3－23．如图G －3－2，在两个同心圆中，大圆的半径OA ，OB ，OC ，OD 分别交小圆于点E ，F ，G ，H ，∠AOB ＝∠GOH ，则下列结论中，错误的是( )A ．EF ＝GH B.EF ︵＝GH ︵ C ．∠AOC ＝∠BOD D.AB ︵＝GH ︵4．已知正六边形的边长为2，则它的外接圆的半径为( )A．1 B. 3 C．2 D．2 35．在如图G－3－3所示的暗礁区，两灯塔A，B之间的距离恰好等于圆的半径，为了使航船(S)不进入暗礁区，那么S对两灯塔A，B的视角∠ASB必须( ) A．大于60° B．小于60°C．大于30° D．小于30°G－3－3G－3－46．如图G－3－4，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，且OC∥BD，AD分别与BC，OC相交于点E，F，则下列结论：①AD⊥BD；②∠AOC＝∠AEC；③BC 平分∠ABD；④AF＝DF；⑤BD＝2OF；⑥△CEF≌△BED.其中一定成立的是( ) A．②④⑤⑥ B．①③⑤⑥C．②③④⑥ D．①③④⑤二、填空题(每小题4分，共24分)7．如图G－3－5，AB是⊙O的直径，AC＝BC，则∠A＝________°.G－3－5G－3－68．如图G－3－6，在⊙O的内接四边形ABCD中，点E在DC的延长线上．若∠A＝50°，则∠BCE＝________°.9．如图G－3－7，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点．若BC＝6，AB＝10，OD⊥BC于点D，则OD的长为________．G－3－7G－3－810．用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图G－3－8所示的正五边形ABCDE，其中∠BAC＝________°.11．如图G－3－9，⊙O的半径为4，△ABC是⊙O的内接三角形，连结OB，OC.若∠BAC和∠BOC互补，则弦BC的长度为________．G－3－9图G－3－1012．如图G－3－10，已知正六边形ABCDEF内接于半径为4的⊙O，则B，D 两点间的距离为__________．三、解答题(共52分)13．(12分)如图G－3－11所示，⊙O的直径AB长为6，弦AC长为2，∠ACB 的平分线交⊙O于点D，求四边形ADBC的面积．图G－3－1114．(12分)如图G－3－12，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，∠ABC 的平分线交AD于点E，连结DB.(1)求证：DE＝DB；(2)若∠BAC＝90°，BD＝4，求△ABC的外接圆半径．图G －3－1215．(12分)作图与证明：如图G －3－13，已知⊙O 和⊙O 上的一点A ，请完成下列任务：(1)作⊙O 的内接正六边形ABCDEF ；(2)连结BF ，CE ，判断四边形BCEF 的形状，并加以证明．图G －3－1316．(16分)如图G －3－14，正方形ABCD 内接于⊙O ，E 为CD ︵上任意一点，连结DE ，AE .(1)求∠AED的度数；(2)如图②，过点B作BF∥DE交⊙O于点F，连结AF，AF＝1，AE＝4，求DE 的长．图G－3－14详解详析1．C 2.A 3.D 4.C 5.D6．D [解析] ∵AB是⊙O的直径，∴∠D＝90°，即AD⊥BD，∴①正确；∵OC∥BD，∴∠C＝∠CBD.又∵OB＝OC，∴∠C＝∠OBC，∴∠OBC＝∠CBD，即BC平分∠ABD，∴③正确；∵∠D＝90°，OC∥BD，∴∠CFD＝∠D＝90°，即OC⊥AD，∴AF＝DF，∴④正确；又∵AO＝BO，∴OF是△ABD的中位线，∴OF＝12BD，即BD＝2OF，∴⑤正确．故选D.7．45 [解析] ∵AB是⊙O的直径，∴∠C＝90°.∵AC＝BC，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠A＝∠B＝12(180°－∠C)＝45°.8．509．4 [解析] ∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.∵BC＝6，AB＝10，∴AC ＝102－62＝8.∵OD⊥BC于点D，∴DB＝DC.又∵OA＝OB，∴OD＝12AC＝4.10．3611．4 3 [解析] ∵∠BAC＋∠BOC＝180°，2∠BAC＝∠BOC，∴∠BOC＝120°，∠BAC＝60°.过点O作OD⊥BC于点D，则∠BOD＝12∠BOC＝60°.∵OB＝4，∴OD＝2，∴BD＝OB2－OD2＝42－22＝2 3，∴BC＝2BD＝4 3.12．4 3 [解析] 如图，连结OB，OC，OD，BD，BD交OC于点P，∴∠BOC＝∠COD＝60°，∴∠BOD ＝120°，BC ︵＝CD ︵， ∴OC ⊥BD . ∵OB ＝OD ， ∴∠OBD ＝30°. ∵OB ＝4，∴PB ＝OB ·cos ∠OBD ＝32OB ＝2 3， ∴BD ＝2PB ＝4 3.13．解：∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝∠ADB ＝90°. 在Rt △ABC 中，AB ＝6，AC ＝2， ∴BC ＝AB 2－AC 2＝62－22＝4 2. ∵∠ACB 的平分线交⊙O 于点D ， ∴∠DCA ＝∠BCD ， ∴AD ︵＝BD ︵， ∴AD ＝BD ，∴在Rt △ABD 中，AD ＝BD ＝3 2，∴四边形ADBC 的面积＝S △ABC ＋S △ABD ＝12AC ·BC ＋12AD ·BD ＝12×2×4 2＋12×32×3 2＝9＋4 2.故四边形ADBC的面积是9＋4 2.14．解：(1)证明：连结CD，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD.又∵∠CBD＝∠CAD，∴∠BAD＝∠CBD.∵BE平分∠ABC，∴∠CBE＝∠ABE，∴∠DBE＝∠CBE＋∠CBD＝∠ABE＋∠BAD.又∵∠BED＝∠ABE＋∠BAD，∴∠DBE＝∠BED，∴DE＝DB.(2)∵∠BAC＝90°，∴BC是圆的直径，∴∠BDC＝90°.∵AD平分∠BAC，BD＝4，∴BD＝CD＝4，∴BC＝BD2＋CD2＝4 2.∴△ABC的外接圆半径为2 2.15．解：(1)如图①，首先作直径AD，然后分别以A，D为圆心，OA长为半径画弧，分别交⊙O 于点B ，F ，C ，E ，连结AB ，BC ，CD ，DE ，EF ，AF ，则正六边形ABCDEF 即为所求．(2)四边形BCEF 是矩形．证明：如图②，连结OE ，∵六边形ABCDEF 是正六边形，∴AB ＝AF ＝DE ＝DC ＝FE ＝BC ，∴AB ︵＝AF ︵＝DE ︵＝DC ︵，∴BF ︵＝CE ︵，∴BF ＝CE ，∴四边形BCEF 是平行四边形．∵六边形ABCDEF 是正六边形，∴∠DEF ＝∠EDC ＝120°.∵DE ＝DC ，∴∠DEC ＝∠DCE ＝30°，∴∠CEF ＝∠DEF －∠DEC ＝90°，∴平行四边形BCEF 是矩形．16．解：(1)如图①，连结OA ，OD .∵四边形ABCD是正方形，∴∠AOD＝90°，∴∠AED＝12∠AOD＝45°.(2)如图②，连结CF，CE，CA，过点D作DH⊥AE于点H.∵BF∥DE，AB∥CD，∴∠ABF＝∠CDE.∵∠CFA＝∠AEC＝90°，∠AED＝∠BFC＝45°，∴∠DEC＝∠AFB＝135°.又∵CD＝AB，∴△CDE≌△ABF，∴AF＝CE＝1，∴AC＝AE2＋CE2＝17，∴AD＝22AC＝342.∵∠DHE＝90°，∴∠HDE＝∠HED＝45°，∴DH＝EH，设DH＝EH＝x，在Rt△ADH中，∵AD2＝AH2＋DH2，∴344＝(4－x)2＋x2，解得x＝32或x＝52，∴DE＝2DH＝3 22或5 22.。
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第24章 圆的有关性质综合训练1．下列命题中，正确的个数是（ ）⑴直径是弦，但弦不一定是直径； ⑵半圆是弧，但弧不一定是半圆；⑶圆周角等于圆心角的一半；⑷一条弦把圆分成的两段弧中，至少有一段是优弧。
A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．⊙O 中∠AOB ＝∠84°则弦AB 所对圆周角的度数为（ ）A ．42°B ．138°C ．69°D ．42°或138° 3．如图1，⊙O 的直径CD 垂直于弦EF ，垂足为G ，若∠EOD=40°,则∠CDF 等于（ ）A ．80°B ． 70°C ． 40°D ． 20°图1 图2 图3 图44．如图2,AB 是⊙O 的直径,弦CD ⊥AB,垂足为E,如果AB=20,CD=16, 那么线段OE 的长为（ ） A 、10 B 、8 C 、 6 D 、4 5．已知O 的半径为5cm ,弦AB ∥CD ,且6AB cm =，8CD cm =,则弦AB,CD 间的距离为（ ）.A ．1cmB ．7cmC ．5cmD ．7cm 或1cm6．如图3， AD ⊥BC 于点D ，AD=4cm ，AB=8cm ，AC=6cm ，则⊙O 的直径是（ ）A ．4cmB ．12cmC ．8cmD ．16cm7．如图4，矩形与O 相交，若AB=4，BC=5，DE=3，则EF 的长为（ ） A ． 3.5 B ．6.C ．7 D ．8 8． 若圆的一条弦把圆分成度数的比为1：3的两条弧，则劣弧所对的圆周角等于（ ）A ． 45°B ． 90°C ． 135°D ． 270° 9．已知，如图5，在ABC 中，70A ∠=，O 截ABC 的三边所得的弦长相等，则BOC ∠=（ ） A ． 140B ． 135C ． 130D ． 12510．如图6，AB 是⊙O 的直径，点C ，D 在⊙O 上，OD ∥AC ，下列结论错误的是 （ ）A ．∠BOD ＝∠BACB ．∠BOD ＝∠COD C ．∠BAD ＝∠CAD D ．∠C＝∠D图5图6 图711．在平面内到定点A 的距离等于3cm 的点组成的图形是 .12．如图7，在圆O 中，AB 、AC 为互相垂直且相等的两条弦，OD ⊥AB ，OE ⊥AC ，垂足分别为D 、E ，若AC=2cm ，则圆O 的半径为____________cm 。
13．如图8，在“世界杯”足球比赛中，甲带球向对方球门PQ 进攻，当他带球冲到A 点时，同样乙已经助攻冲到B 点，丙助攻到C 点。
有三种射门方式：第一种是甲直接射门；第二种是甲将球传给乙，由乙射门。
第三种是甲将球传给丙，由丙射门。
仅从射门角度考虑，应选择________种射门方式.图8 图9 图1014．如图9，直角坐标系中一条圆弧经过网格点A 、B 、C ，其中，B 点坐标为(4，4)，则该圆弧所在圆的圆心坐标为 .15．如图10，⊙O 是等边三角形ABC 的外接圆，点D 是⊙O 上异于B 、C 的一点，则∠BDC = ． 16．如图，已知⊙D,点D 的坐标为（4，4）, ⊙D 过坐标系中的A 、B 、C 三点，则∠ABC= 17．如图，某花园小区一圆形管道破裂，修理工准备更换一段新管道，现在量得污水水面宽度为80cm ，水面到管道顶部距离为20cm ，则修理工应准备内直径是 __________cm 的管道． 18．半径为cm 5的圆O 中有一点P ，OP=4，则过P 的最短弦长_________，最长弦是__________19．（5分）如图，已知：⊙O 的半径为5，弦AB 长为8，弦BC ∥OA ，求AC 长.20．如图是“明清影视城”的圆弧形门，黄红同学到影视城游玩，很想知道这扇门的相关数据，于是她从景点管理人员处打听到：这个圆弧形门所在的圆与水平地面是相切的，AB=CD=20 cm ，且AB ，CD 与水平地面都是垂直的．根据以上数据，请你帮助黄红同学计算出这个圆弧形门的最高点离地面的高度是多少？BOAC DA21．（6分）如图，点A 、B 、D 、E 在⊙O 上，弦AE 、BD 的延长线相交于点C ．若AB 是⊙O 的直径，D 是BC 的中点．（1）试判断AB 、AC 之间的大小关系，并给出证明;（2）在上述题设条件下，ΔABC 还需满足什么条件，点E 才一定是AC 的中点？22．（6分）如图.某货船以20海里∕时的速度将一批重要物资由A 处运往正西方向的B 处，经16h的航行达到，达到后必须立即卸货。
此时接到气象部门的通知，一台风中心正以40海里∕时的速度由A 向北偏西60的方向移动，距台风中心200海里的圆形区域（包括边界）均回受到影响。
问：(1）B 处是否回受到台风的影响？请说明理由; (2）为避免受到台风的影响，该船应在多少小时内卸完货物？ (1.7）23．（8分）如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AB 为直径，⌒AC ＝⌒CF ，CD ⊥AB 于D ，且交⊙O 于G ，AF 交CD 于E ．(1）求∠ACB 的度数；(2）求证：AE ＝CE ；24．如图，ABC △是⊙O 的内接三角形，AC BC =，D 为⊙O 中⌒AB 上一点，延长DA 至点E ，使CE CD =．(1）求证：AE BD =；(2）若AD BD +，求证：AC BC ⊥．25．已知：如图，△ABC 内接于⊙O ，AM 平分∠BAC 交⊙O 于点M ，AD ⊥BC 于D ．求证：∠MAO =∠MAD ．26.（提高题）在平面直角坐标系中，O 为原点，点A （﹣2，0），点B （0，2），点E ，点F 分别为OA ，OB 的中点．若正方形OEDF 绕点O 顺时针旋转，得正方形OE ′D ′F ′，记旋转角为α． （Ⅰ）如图①，当α=90°时，求AE ′，BF ′的长；（Ⅱ）如图②，当α=135°时，求证AE ′=BF ′，且AE ′⊥BF ′；（Ⅲ）若直线AE ′与直线BF ′相交于点P ，求点P 的纵坐标的最大值（直接写出结果）．参考答案一、选择题（本题共10小题，每题4分，共40分） 1．B 2．D 3．B4．C5．D6．B7．C8．A9．D10．D二、填空题（本题共8小题，每题4分，共32分） 11．以A 为圆心3cm 为半径的圆 12．213．第三 14．（2，0） 15．60°或120° 16．22.5° 17．5018．cm cm 10,6三、解答题本题共8小题，共48分） 19.延长AO 交圆于D,连结BD.易得20．解：连接AC ，作AC 的中垂线交AC 于G ，交BD 于N ，交圆的另一点为M ，由垂径定理可知：MN 为圆弧形的所在的圆与地面的切点， 取MN 的中点O ，则O 为圆心，连接OA 、OC ， ∵AB ⊥BD ，CD ⊥BD ， ∴AB ∥CD ． ∵AB=CD,∴四边形ABCD 为矩形,∴AC=BD=200cm,GN=AB=CD=20 cm,∴AG=GC=12AC=100 cm ．设⊙O 的圆心为R,由勾股定理得 OA 2=OG 2+AG 2,即R 2=(R-20)2+1002, 解得R=260 cm,∴MN=2R=520 cm ．答:这个圆弧形门的最高点离地面的高度是=520 cm ． 21．解：(1)AB =AC ．连结AD ，则AD ⊥BC ．又BD =DC ，∴ AD 是线段BD 的中垂线． ∴ AB =AC ．(2) △ABC 为正三角形，或AB =BC ，或AC =BC ，或∠A =∠B ，或∠A =∠C 22．解：（1）过点B 作BDAC ⊥于D ，30BAC ∠=，在Rt ABD 中，12BD AB =160200=<，所以，B 处会受到台风的影响。
DCBA(2）以点B 为圆心，200海里为半径画圆，交AC 于E 、F ，则有：DF=DE=120，120AF =，所以 3.8()t h ≈，因此，该船应在3.8小时内卸完货物。
23．证明：（1）∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°．(2）∵AB 为直径，且AB ⊥CG ，∴AC=AG ．又∵⌒AC ＝⌒CF ，∴AG ＝CF ，∴∠ACG ＝∠CAF ，∴AE ＝CE ． 24．答案：证明：（1）在ABC △中，CABCBA ∠=∠．在ECD △中，CABCBA ∠=∠．CBA CDE ∠=∠，（同弧上的圆周角相等）ACB ECD ∴∠=∠．ACB ACD ECD ADE ∴∠-∠=∠-∠． ACE BCD ∴∠=∠． 在ACE △和BCD △中，ACE BCD CE CD AC BC ∠=∠==；； ACE BCD ∴△≌△．AE BD ∴=．(2）ACE BCD △≌△，∴ EA=BD,若AD BD +=∴AE AD +,即DE ∴==．90ECD ∴∠=，∴ACB ECD ∴∠=∠=90°又AD BD AD EA ED +=+= ∴AC BC ⊥26解：（Ⅰ）当α=90°时，点E ′与点F 重合，如图①．∵ 点A （﹣2，0）点B （0，2），∴ OA=OB=2． ∵ 点E ，点F 分别为OA ，OB 的中点，∴ OE=OF=1 ∵ 正方形OE ′D ′F ′是正方形OEDF 绕点O 顺时针旋转90°得到的， ∴ OE ′=OE=1，OF ′=OF=1． 在Rt △AE ′O 中，AE ′=．在Rt △BOF ′中，BF ′=．∴ AE ′，BF ′的长都等于．（Ⅱ）当α=135°时，如图②．∵ 正方形OE ′D ′F ′是由正方形OEDF 绕点O 顺时针旋转135°所得， ∴∠ AOE ′=∠BOF ′=135°． 在△AOE ′和△BOF ′中，xKb 1.C om，∴ △ AOE ′≌ △ BOF ′（SAS ）．∴ AE ′=BF ′，且∠OAE ′=∠OBF ′． ∵ ∠ ACB=∠ CAO+∠ AOC=∠ CBP+∠ CPB ，∠ CAO=∠ CBP ， ∴ ∠ CPB=∠ AOC=90° ∴ AE ′⊥ BF ′． （Ⅲ）在第一象限内，当点D ′与点P 重合时，点P 的纵坐标最大． 过点P 作PH ⊥ x 轴，垂足为H ，如图③所示． ∵∠AE ′O=90°，E ′O=1，AO=2， ∴∠E ′AO=30°，AE ′=． ∴AP=+1． ∵∠ AHP=90°，∠PAH=30°， ∴PH=AP=．∴点P 的纵坐标的最大值为．。