确定性与随机性混沌

Notch Filter Feedback
随机混沌控制
3 x ax b( x cx ) F sin t x(t ), a 0
where b b ,
1 or 1 : bounded random param eter : feedback gain
稳态幅频曲线
大/小A吸引域
1.10, l 0.647
大/小A吸引域
1.12, l 0.463
大/小A吸引域
1.14, l 0.291
大/小A吸引域
1.16, l 0.0957
大A发生概率
吸引域边界
混沌运动的主要特性
1 有界性： 相空间的混沌吸引子 2 集合性、随机性： 从不同的初始条件得
Pyragas的控制目标也可借频域滤波法近 似实现。就是将混沌信号通过Notch Filter （一种有“V”形缺口通带的带通滤波器）反 复 滤波，只需将滤波器通带底部对准f 就可以 了。这样，对应于f 的信号分量每次滤波都 ‘毫发无损’, 通带外的信号分量则迅速滤 除， 而通带内f 两侧的信号分量需要许多次反复 滤波才能滤除。最后只留下周期为T(=1/f） 的稳定简谐运动信号。
本文旨在: 从实例出发，对非线性耗散系统 中的混沌及其控制与同步研究中遇到的有 关基本概念与问题作一些哲理性解释。包 括：
一、确定性混沌的基本概念 二、随机混沌的约定含义 三、对混沌控制与同步的几点看法
混沌是什么？
混沌代表一类特定形式的确定性稳态运动, 它有别于经典的周期运动和概周期运动， 也不涉及其它非稳态运动。混沌是一群样 本运动的集合，由于两个相邻样本轨道之 间存在互斥性，故从不同的初始条件出发 的稳态轨道都不相同。但又共享一个相空 间Poincare截面上的混沌吸引子。各个稳 态样本运动的映射点都不超越、又遍历该 混沌吸引子。这就是混沌运动的遍历性。
The periodic phase trajectories for ω= 0.945
Flow pattern of Poincaré mapping points around the saddle and nodes
Zoom of that middle part with reduced number of initial conditions
相空间格局是在‘冻结’参数条件下 形成的定局。它依赖于各个分岔参数 的取值,有时还很敏感。 因此,适当调 节某个敏感参数就可能激活沉睡的不 稳定周期吸引子,从而颠覆相关的混沌 吸引子。Ott, Grebogi,与Yorke 提出的 混沌控制微调参数法[12] 即基于此原理。 实际上存在多种多样的混沌控制方法， 除此以外，还可以增加外激或参激(不 论简谐的还是随机的 ), 也可以增加状 态反馈(不论实时的、还是延时的、甚 至经过滤波的)。
到不同的‘表观无序’样本、组成集合 3 遍历性： 每个样本都遍历一个共同的吸 引子 4 对初始条件的敏感性： 内在随机性的一 个突出表现, 导致正的Lyapunov指数 5 分形性： 具有无限层次的‘自相似’结 构
6 有序性： 一种无周期的有序态， 短、 中期样本轨道的可预测性, 历史与未来演化 中的有序规律，包括通向混沌的道路与激 变 7 普适性： 如存在不依赖于具体模型及其 参数 的一些特征量Feigenbaum常数 8 依存性： 对模型及其外部环境的依赖性， 包括相空间格局及其演化 9 可控性： 它和特征6和8有联系，如相 空间格局的可变性、混沌样本的可跟踪性
Fractal Chaotic Attractors
Symmetry Breaking Bifurcation, Top Lyapunov exponent of Duffing system
cx (1 ax2 ) x F cost x
The periodic phase trajectory for ω= 0.935
两类随机混沌问题
有两类随机因素需要重点考虑，即系 统物理参数的随机摄动以及外部激励 的随机变化。由此构成两类随机混沌 问题。 随机参数非线性系统在简谐激励下的 随机混沌响应问题 确定性非线性系统在简谐和随机共同 激励下的随机混沌响应问题
Forced Stochastic Duffing System
混沌的发现清楚地告诉人们, 即使确定的 非线性系统在确定的激励和确定的初始条 件下，也可能产生不完全确定的结果。这 是一种观念上的突破。说明确定性系统还 含有内在的随机性。混沌运动对初始条件 极为敏感的依赖性、混沌吸引子及其吸引 域的分形特征等等，都意味着随机性。事 实上，混沌反映了确定性非线性系统内在 的随机性。
在确定性混沌研究中，通常限于考察 系统在简谐激励下的响应演变，并着 眼于考察系统响应从外观有序到外观 无序的突变。 现约定从探索确定性系统各种外在随 机因素如何影响原系统内在随机因素 的发挥这一角度来考察随机混沌。这 时，确定性因素仍占主导作用，而随 机因素只处于次要地位。也就是说， 相对于确定的简谐激励，随机激励或 参数随机摄动将约定为小量。
2.0 A 1.5 1.0
E [ x ( t , ξ) ]
B
0.5 0.0 -0.5 -1.0 -1.5 0 50 100 150 t 200 250 300
1 x2 x 2 x2 x1 x
3 x1
x1 sin t
0.2
Top Lyapunov Exponent
Chaotic Attractors
3
2
1
0
-1
-2
-3 -3
-2
-1
0
1
2
3
3
2
1
0
-1
-2
-3 -3
-2
-1
0
1
2
3
随机混沌的约定含义
顾名思义，随机混沌理应兼具随机 性与混沌性，它属于随机运动与混 沌运动的交集。 实质上, 随机混沌是非线性系统的、 同时反映了外在随机性与内在随机 性影响的一种响应。这里只给出它 的一个约定性定义。
l :
Intrinsic Stoshasticity in Forced Duffing System
kx x x sin (t ) x
3
k 0 : Dissipativ e
First order approximat ion: x0 A sin t P robabilit y of larger A : l
低维混沌系统的相空间格局
混沌系统指的是处于混沌运动状态下 的非线性动力系统。 相空间格局(overall constitution in phase space)是指: 系统参数冻结情 形下, 各个吸引子及其吸引域、鞍及其 稳定与不稳定流形、分形边界(或隔离 带)等在相平面上的布局。

值得注意,混沌相空间格局中提到的 那些鞍型不稳定吸引子等等都是在系统 经历无数次分岔、或混沌激变时遗留下 来的, 他们在混沌的形成或转化过程中都 起过重要作用，正是这些不稳定因素协 同促成了混沌的产生或激变。反过来说， 它们又构成对混沌的一种潜在威胁。只 要其中任何一种不稳定吸引子在内部参 数的摄动或外部激励或控制的影响下， 一旦改变了稳定性，就可能导致相关混 沌吸引子的崩溃。
u(t ) K[ y(t ) y(t )]
其中 K 代表可调反馈系数，τ代表 可调延时。这样，当取 τ= T 时， 每次反馈后y（t）中对应目标小谱峰 的周期分量 (包括主频与其附属的倍 频分量) 信息始终不变，而 y（t） 中其它各种分量的信息不断减弱， 最终，只留下一个周期为 T 的稳定周 期运动。
Fradkov与 Evans 在其关于混沌控制的综 述[14]中着重介绍了三类混沌控制方法: OGY方法、Pyragas基于延时反馈的控制 方法[15]、以及非反馈控制方法。OGY方 法与Pyragas方法在思想上是一致的，都是 通过镇定某个潜在的不稳定周期解UPO来 颠覆混沌解，也就是实施一次‘策反’。 设选定的UPO周期为T，它在混沌运动频谱 上留下的烙印, 对应于f = 1/T的周期运动主 频分量、及附属的一些倍频分量。再设 y(t) 代表系统的混沌运动，这时，Pyragas方法 中的 延时负反馈 u(t）可表示如下:
1 y 5 ]T Y [ y1 y5 y Responding : Y AY G (Y ) F (t ) K (Y Y ) K diag [k , , k , k , , k ] ei yi yi , (i 1,, 5)
Phase trajectory of mean response
x x F cost , 0 x
3
u
2 2 1 u as u 1 pu 0 as u 1 Arch like PDF of u
Top LE
随机混沌吸引子
Triple-well potential Duffing system under harmonic and bounded noise excitations
0.8
0.4
dE [ X (t ,ξ) ]/dt
0.0
-0.4
-0.8 -1 0 E [ X (t ,ξ) ] 1
Top LE
0.2
k" = 0.0 k" = 0.1 k" = 0.2
0.0
λTop
-0.2 -0.4 0.0
0.2
0.4
0.6Βιβλιοθήκη 0.81.0k'
Mean responses without control under different initial conditions, A: for driving; B: for responding