2020年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标Ⅲ)
2020年高考全国三卷文科数学试题
2020年高考全国三卷文科数学试题一、选择题（每题4分，共24分）若函数f(x) = x^2 + ax + 3 在区间(-∞, 2] 上是减函数，则a的取值范围是( ) A. a ≥ -2 B. a ≤ -2 C. a ≥ 4 D.a ≤ 4已知向量a = (1, 2)，向量b = (-3, 2)，则向量a与向量b的夹角为( )A. π/4B. π/3C. 2π/3D. 3π/4下列命题中，真命题是( )A. 若a > b，则a^2 > b^2B. 若a > b，c > d，则ac > bdC. 若a, b, m 都是实数，且a < b，则am^2 < bm^2D. 若a, b ∈ℝ，且a < b，则a^3 < b^3已知圆C: x^2 + y^2 - 2x - 4y + 4 = 0，则圆 C 的圆心坐标是( )A. (1, -2)B. (-1, 2)C. (1, 2)D. (-1, -2)已知双曲线x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1 (a > 0, b > 0) 的一个焦点到一条渐近线的距离为b，则双曲线的离心率为( )A. √2B. √3C. √5D. √6已知数列{an} 满足a1 = 1，an+1 = 2an + 3，则数列{an} 的通项公式为( ) A. an = 2^n - 1 B. an = 3^n - 1C. an = 3^n - 2D. an = 2^(n+1) - 3二、填空题（每题4分，共16分）若x, y ∈ℝ，且x^2 + y^2 = 1，则xy 的最大值为_______。
已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2，则f'(x) = _______。
已知等比数列{an} 的前n 项和为Sn，若S3 = 7，S6 = 63，则S9 = _______。
已知椭圆C: x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 (a > b > 0) 的离心率为√3/2，且过点(2, √3)，则椭圆C 的方程为_______。
2020年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题(全国卷3,参考版解析)
2020年高考新课标Ⅲ卷文数试题参考解析注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设集合{0,2,4,6,8,10},{4,8}A B ==，则A B ð=（A ）{48}，（B ）{026}，， （C ）{02610}，，， （D ）{0246810}，，，，， 【答案】C 【解析】试题分析：依据补集的定义，从集合}10,8,6,4,2,0{=A 中去掉集合}8,4{=B ，剩下的四个元素为10,6,2,0，故}10,6,2,0{=B C A ，故应选答案C 。
（2）若43i z =+，则||zz = （A ）1 （B ）1-（C ）43+i 55 （D ）43i 55- 【答案】D 【解析】试题分析：因i z 34+=，则其共轭复数为i z 34-=，其模为534|34|||22=+=+=i z ，故i z z 5354||-=，应选答案D 。
（3）已知向量BA →=（12，BC →=12），则∠ABC =（A ）30° （B ）45° （C ）60° （D ）120°【答案】A（4）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图.图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃，B点表示四月的平均最低气温约为5℃.下面叙述不正确的是（A）各月的平均最低气温都在0℃以上（B）七月的平均温差比一月的平均温差大（C）三月和十一月的平均最高气温基本相同（D）平均最高气温高于20℃的月份有5个【答案】D【解析】试题分析：从题设中提供的信息及图中标注的数据可以看出：深色的图案是一年十二个月中各月份的平均最低气温，稍微浅一点颜色的图案是一年十二个月中中各月份的平均最高气温，故结合所提供的四个选项，0只有7、8两个月份，故应选答案可以确定D是不正确的，因为从图中可以看出：平均最高气温高于20CD。
2020年全国高考(新课标I、II、III卷)真题 文科数学试卷(+答案+全解全析,共3套)
（2）设 DO= 2 ，圆锥的侧面积为 3π ，求三棱锥 P−ABC 的体积.
20.已知函数 f (x) = ex − a(x + 2) .
（1）当 a = 1 时，讨论 f (x) 的单调性；
（2）若 f (x) 有两个零点，求 a 的取值范围.
21.已知
1
A.
5
1
C. 2
2
B.
5
4
D.
5
【答案】A
【分析】列出从 5 个点选 3 个点的所有情况，再列出 3 点共线的情况，用古典概型的概率计算公式运算即可.
【详解】如图，从 O,A,B,C,D 5 个点中任取 3 个有
{O, A, B},{O, A,C},{O, A, D},{O, B,C}
{O, B, D},{O,C, D},{A, B,C},{A, B, D}
由此散点图，在 10°C 至 40°C 之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率 y 和温度 x 的回归方程类型
的是（ ） A. y = a + bx
B. y = a + bx2
C. y = a + bex
D. y = a + b ln x
【答案】D
【分析】 根据散点图的分布可选择合适的函数模型.
2020 年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学
注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干 净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
2020年全国卷Ⅲ高考文科数学 答案
2020年全国卷Ⅲ高考文科数学试题参考答案选择题答案 一、选择题 1．B 2．D 3．C 4．C 5．B 6．A 7．B 8．B 9．C 10．A11．C12．D非选择题答案 二、填空题 13．7 1415．1 16三、解答题17．解：（1）设{}n a 的公比为q ，则11n n a a q -=.由已知得1121148a a q a q a +=⎧⎪⎨-=⎪⎩， 解得11,3a q ==.所以{}n a 的通项公式为1=3n n a -.（2）由（1）知3log 1.n a n =-故(1).2n n n S -=由13m m m S S S +++=得(1)(1)(3)(2)m m m m m m -++=++，即2560m m --=. 解得1m =-（舍去），6m =.18．解：（1）由所给数据，该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率的估计值如下表：概率的估计值 0.43 0.27 0.21 0.09（2）一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值为1(100203003550045)350100⨯+⨯+⨯=． （3）根据所给数据，可得22⨯列联表：人次≤400人次>400空气质量好 33 37 空气质量不好228根据列联表得22100(3382237) 5.82055457030K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯．由于5.820 3.841>，故有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关．19．解：（1）如图，连结BD ，11B D ．因为AB BC =，所以四边形ABCD 为正方形，故AC BD ⊥．又因为1BB ⊥平面ABCD ，于是1AC BB ⊥．所以AC ⊥平面11BB D D ． 由于EF ⊂平面11BB D D ，所以EF AC ⊥．（2）如图，在棱1AA 上取点G ，使得12AG GA =，连结1GD ，1FC ，FG ， 因为1123D E DD =，123AG AA =，11DD AA =∥，所以1ED AG =∥，于是四边形1ED GA 为平行四边形，故1AE GD ∥．因为1113B F BB =，1113AG AA =，11BB AA =∥，所以11FG A B =∥，11FG C D =∥，四边形11FGD C 为平行四边形，故11GD FC ∥．于是1AE FC ∥．所以1,,,A E F C 四点共面，即点1C 在平面AEF 内． 20．解：（1）2()3f x x k '=-．当k=0时，3()f x x =，故()f x 在()-∞+∞，单调递增； 当k<0时，2()30f x x k '=->，故()f x 在()-∞+∞，单调递增． 当k>0时，令()0f x '=，得x =．当(,x ∈-∞时，()0f x '>；当(x ∈时，()0f x '<；当)x ∈+∞时，()0f x '>．故()f x在(,-∞，)+∞单调递增，在(单调递减． （2）由（1）知，当0k ≤时，()f x 在()-∞+∞，单调递增，()f x 不可能有三个零点． 当k>0时，=x ()f x的极大值点，x 为()f x 的极小值点．此时，11k k --<<<+且(1)0f k --<，(1)0f k +>，(0f >． 根据()f x的单调性，当且仅当0f <，即20k -<时，()f x 有三个零点，解得427k <．因此k 的取值范围为(0)427，．21．解：（1=22516m =，所以C 的方程为221252516x y +=.（2）设(,),(6,)P P Q P x y Q y ，根据对称性可设0Q y >，由题意知0P y >，由已知可得(5,0)B ，直线BP 的方程为1(5)Qy x y =--，所以||BP y =，||BQ =，因为||||BP BQ =，所以1P y =，将1P y =代入C 的方程，解得3P x =或3-. 由直线BP 的方程得2Q y =或8.所以点,P Q 的坐标分别为1122(3,1),(6,2);(3,1),(6,8)P Q P Q -.11||PQ =11PQ 的方程为13y x =，点(5,0)A -到直线11PQ11APQ △的面积为1522=.22||PQ 22P Q 的方程为71093y x =+，点A 到直线22P Q 的距离为26，故22AP Q △的面积为152262⨯=. 综上，APQ △的面积为52. 22．[选修4—4：坐标系与参数方程]解：（1）因为t≠1，由220t t --=得2t =-，所以C 与y 轴的交点为（0，12）； 由2230t t -+=得t=2，所以C 与x 轴的交点为(4,0)-． 故||AB =（2）由（1）可知，直线AB 的直角坐标方程为1412x y +=-，将cos sin x y ρθθ==，代入，得直线AB 的极坐标方程3cos sin 120ρθρθ-+=． 23．[选修4—5：不等式选讲]解：（1）由题设可知，a ，b ，c 均不为零，所以22221[()()]2ab bc ca a b c a b c ++=++-++2221()2a b c =-++ 0<.（2）不妨设max{a ，b ，c}=a ，因为1,()abc a b c ==-+，所以a>0，b<0，c<0.由2()4b c bc +≤，可得34a abc ≤，故a ，所以max{,,}a b c ≥.。
2020年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标Ⅲ)
2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={1,2,3,5,7,11}，B={x|3<x<15}，则A∩B中元素的个数为()A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了交集的运算和交集及其运算，属于基础题．利用交集的定义即可求解；【解答】解：∵A={1,2,3,5,7,11}，B={x|3<x<15}，∴A∩B={5,7,11}，∴A∩B中元素个数为3．故选B．2.若z(1+i)=1−i，则z=()A. 1−iB. 1+iC. −iD. i【答案】D【解析】【分析】本题考查复数的四则运算，共轭复数的概念，属于基础题．先由复数的四则运算法则求出z，再利用共轭复数的概念得到答案．【解答】解：由z(1+i)=1−i，得z=1−i1+i =(1−i)22=−i，所以z=i，故选D．3.设一组样本数据x1,x2,...,x n的方差为0.01，则数据10x1,10x2,...,10x n的方差为()A. 0.01B. 0.1C. 1D. 10【答案】C【解析】【分析】本题主要考查方差的运算，是基础题．直接进行求解即可．【解答】解：设x1,x2,⋯,x n的平均数为x，方差S12=0.01,所以10x1,10x2,⋯,10x n的平均数为10x，方差S2=100S12=1，故选C．4.Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域，有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：I(t)=K1+e−0.23(t−53)，其中K为最大确诊病例数.当I(t∗)=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则t∗约为()(ln19≈3)A. 60B. 63C. 66D. 69【答案】C【解析】【分析】本题主要考查指数式与对数式的互化，属于基础题．根据题意可得K1+e −0.23(t−53)=0.95K ，解出t 的值．【解答】解：由题可知K 1+e −0.23(t−53)=0.95K ，所以1+e −0.23(t−53)=2019，e −0.23(t−53)=1190.23(t −53)=ln 19≈3，解得t ≈66故选C ．5. 已知sin θ+sin (θ+π3)=1，则sin (θ+π6)=( )A. 12B. √33C. 23D. √22【答案】B【解析】【分析】本题考查两角和的正弦公式和辅助角公式，属于中档题．根据两角和的正弦公式展开sin (θ+π3) ，再整理利用辅助角公式即可得答案．【解答】解：∵sin (θ+π3)=12sin θ+√32cos θ ， ∴sin θ+sin (θ+π3)=32sin θ+√32cos θ =√3sin (θ+π6)=1得sin (θ+π6)=√33故选：B ．6. 在平面内，A,B 是两个定点，C 是动点，若AC⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =1，则点C 的轨迹为( ) A. 圆B. 椭圆C. 抛物线D. 直线【答案】A【解析】【分析】 本题考查了动点的轨迹问题及向量数量积的坐标运算，属一般题．根据题意建立平面直角坐标系，设出点A 、B 、C 的坐标，得到AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 和BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，由向量数量积的坐标运算公式即得动点坐标所满足的方程，从而得到动点C 的轨迹．【解答】解：以AB 所在直线为x 轴，线段AB 的中垂线为y 轴，建立平面直角坐标系，设A(−a,0)，B(a,0)，C(x,y)，则AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x +a,y)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −a,y)，由题意AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =1，得x 2−a 2+y 2=1即x 2+y 2=1+a 2，因此，动点C 的轨迹是圆，故选A ．7. 设O 为坐标原点，直线x =2与抛物线C:y 2=2px(p >0)交于D,E 两点，若OD ⊥OE ，则C 的焦点坐标为( )A. (14,0)B. (12,0)C. (1,0)D. (2,0)【答案】B【解析】【分析】 本题考查直线与抛物线的位置关系及抛物线的性质，属于基础题．根据直线x =2与抛物线交于D 、E 两点，确定D 、E 两点坐标，由OD ⊥OE 可得OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，可确定p 的值，从而得到抛物线的焦点坐标．【解答】解：根据题意得D(2,2p)，E(2,−2p)，因为OD ⊥OE ，可得OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，所以4−4p =0，故p =1，所以抛物线C:y 2=2x ，所以抛物线的焦点坐标为(12,0)．故选B ．8. 点(0,−1)到直线y =k(x +1)距离的最大值为( ) A. 1B. √2C. √3D. 2【答案】B【解析】【分析】 本题考查定点到过定点的直线的最大距离问题，属于基础题．根据点到直线的距离和两点间的距离公式，即可求解．【解答】解：因为直线y =k(x +1)恒过点(−1,0)，要使得点(0,1)到直线的距离最大，此时点到直线的距离即为(0,1)与(−1,0)两点的距离，此时最大距离为√(0+1)2+(1−0)2=√2．故选B ．9. 右图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是( )A. 6+4√2B. 4+4√2C. 6+2√3D. 4+2√3【答案】C【解析】【分析】本题考查由三视图求几何体的表面积，考查空间想象能力，难度一般．先由三视图还原几何体，即可求出表面积．【解答】解：由三视图可知该几何体是底面为腰长2的等腰直角三角形，一侧棱长为2且垂直底面的三棱锥，如下图故其表面积为3×12×2×2+12×2√2×2√2×sin60∘=6+2√3.故选C．10.设a=log32，b=log53，c=23，则()A. a<c<bB. a<b<cC. b<c<aD. c<a<b 【答案】A【解析】【分析】本题考查了对数比较大小，属于基础题．分别将c转化为以3，5为底数的对数，与a，c比较大小，即可得到结果．解：∵c=23log33=log3√93，a=log32=log3√83，∴a<c，∵c=23log55=log5√253，b=log53=log5√273，∴c<b，故选A．11.在中，cos C=23，AC=4,BC=3，则tan B=()A. √5B. 2√5C. 4√5D. 8√5【答案】C【解析】【分析】本题考查余弦定理，利用余弦定理求出AB的值，再由余弦定理求出cos B，进而求出sin B，由同角三角函数的关系即可求出tan B．【解答】解：根据题意：cos C=AC2+BC2−AB22AC⋅BC =16+9−AB22×4×3=23，解得：AB=3，则cos B=9+9−162×3×3=19；sin B=4√59(负值舍去)故．故选C12.已知函数f(x)=sin x+1sin x，则()A. f(x)的最小值为2B. f(x)的图象关于y轴对称C. f(x)的图象关于直线x=π对称D. f(x)的图象关于直线x=π2对称【答案】D【分析】本题主要考查三角函数的性质，属于中档题．取特值使得sinx =−1时，可以否定A ；利用三角函数的性质，结合函数的奇偶性，对称性的条件，逐项作出判定．【解答】解：A. 由于f(−π2)=−2，故A 错误；B . f(−x)=−sin x −1sin x ≠f(x)，故B 错误；C . f(π−x)=sin x +1sin x ，f(π+x)=−sin x −1sin x ， f(π+x)≠f(π−x)，故C 错误；D .f(π2−x)=cosx +1cosx，f(π2+x)=cosx +1cosx ，f(π2+x)=f(π2−x)， 则f(x)的图象关于直线x =π2对称，故D 正确，故选D ．二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 若x ，y 满足约束条件{x +y ≥02x −y ≥0x ≤1，则z =3x +2y 的最大值为_____． 【答案】7【解析】【分析】 本题考查了根据线性规划求最值，属较易题．本题先根据线性约束条件画出平面区域，再利用图解法即可求出目标函数的最大值．【解答】解：画出不等式组{x +y ≥02x −y ≥0x ≤1所表示的平面区域，如图所示由{x =12x −y =0得点A 坐标为(1,2)，由{x =1x +y =0得点B 坐标为(1,2)， 即不等式所表示的平面区域为ΔOAB(包括边界)，再将z =3x +2y 化为y =−32x +z ，可看作斜率为−32，截距为z 的一族平行直线， 由图可知，当直线y =−32x +z 经过点A 时，截距z 最大，因此，当{x =1y =2时，z max =3×1+2×2=7， 故答案为7．14. 设双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的一条渐近线为y =√2x ，则C 的离心率为______．【答案】√3【解析】【分析】本题主要考查双曲线的简单几何性质，属于基础题。
2020年普通高等学校招生全国统一考试数学试题 文(全国卷3,含答案)
2020年普通高等学校招生全国统一考试数学试题 文（全国卷3）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上.2．回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,在涂选其它答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给的四个选项中，只有一项符合题目要求的.）1．已知集合{}|10A x x =-≥，{}012B =，，，则A B =（ ）A ．{}0B ．{}1C ．{}12，D ．{}012，，2．()()12i i +-=（ ）A ．3i --B ．3i -+C ．3i -D ．3i +3．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫棒头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是棒头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（ ）4．若1sin 3α=，则cos2α=（ ）A ．89B ．79C ．79-D ．89-5．若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为（ ）A ．0.3B ．0.4C ．0.6D ．0.76．函数 ()2tan 1tan xf x x=+的最小正周期为（ ）A ．4π B ．2πC ．πD ．2π7．下列函数中，其图像与函数ln y x =的图像关于直线1x =对称的是（ ）A ．()ln 1y x =-B ．()ln 2y x =-C ．()ln 1y x =+D ．()ln 2y x =+8．直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆()2222x y -+=上，则ABP ∆面积的取值范围是（ ）A ．[]26，B ．[]48，C ．232⎡⎤⎣⎦，D ．2232⎡⎤⎣⎦，9．函数422y x x =-++的图像大致为（ ）10．已知双曲线22221x y C a b-=：（00a b >>，）的离心率为2，则点()40，到C 的渐近线的距离为（ ）A ．2B ．2C ．322D ．2211．ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若ABC ∆的面积为2224a b c +-，则C =（ ）A ．2πB ．3πC ．4πD ．6π12．设A ，B ，C ，D 是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC ∆为等边三角形且其面积为93，则三棱锥D ABC -体积的最大值为（ ）A ．123B ．183C ．243D ．543二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知向量()=1,2a ，()=2,2-b ，()=1,λc ．若()2∥c a +b ，则λ=________．14．某公司有大量客户，且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异．为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是________．15．若变量x y ，满足约束条件23024020.x y x y x ++⎧⎪-+⎨⎪-⎩≥，≥，≤则13z x y =+的最大值是________．16．已知函数()()2ln11f x x x =--+，()4f a =，则()f a -=________．三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17~31题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答．） （一）必考题：共60分。
2020年全国III卷文科数学高考试题及解析
2020年普通高等学校招生全国Ⅲ卷统一考试文科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合{}1,2,3,5,7,11A =，{}|315B x x =<<，则A B 中元素的个数为（）A.2 B.3 C.4 D.5解析：这是求A 和B 两个集合的交集，A 集合中的元素在（3，15）中的有5、7和11三个，所以正确答案为B，特别注意B 的不等式不包含等号，也即A 中的3不能包含进去。
点评：集合一般比较简单2.若)1z i i +=-，则z =（）A.1i- B.1i + C.i - D.i 解析：1(1)(1)21(1)(1)2i i i i z i i i i ----====-++-所以z=i点评：这个是一个复数的化简，共轭复数的概念，还是基题，送分题。
3．设一组样本数据12,,...,n x x x 的方差为0.01，则数据12n 10,10,...,10x x x 的方差为A．0.01B．0.1C．1D．10解析：设第一组数的平均值为x 则222121()()...()0.01n S x x x x x x =-+-++-=则10x1,10x2,....10xn 的平均值为10x22212222222(1010)(1010)...(1010)10(110()....10011n S x x x x x x x x x x S =-+-++-==-+-+=点评：考查统计方差的概念，特别要清楚，方差是不用开方的，而标准差是要开方的，4.Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域，有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数()t I （t 的单位：天）的Logistic 模型：()()0.23531t KI t e --=+，其中K 为最大确诊病例数.当()0.95I t K *=时，标志着已初步遏制疫情，则t *约为（）（其中In19≈3）A.60B.63C.66D.69解析：代入解方程即可以0.23(53)()0.951t KI t Ke --==+0.23(53)1110.9519t e ---==两边同取以19为底的对数ln190.23(53)t -=--解得t=66点评：本题结合时事，实际是取对数的形式，解指数方程，要求对对数和指数之间的转换非常熟练。
2020年全国统一高考数学试卷(文科)
【详解】因为直线 与抛物线 交于 两点，且 ，
根据抛物线的对称性可以确定 ，所以 ，
代入抛物线方程 ，求得 ，所以其焦点坐标为 ，
故选：B.
8.点(0，﹣1)到直线 距离的最大值为（）
A. 1B. C. D. 2
【答案】B
【详解】由 可知直线过定点 ，设 ，
当直线 与 垂直时，点 到直线 距离最大，
【答案】D
【解析】
【详解】因为 ，所以 .
故选：D
3.设一组样本数据x1，x2，…，xn的方差为0.01，则数据10x1，10x2，…，10xn的方差为（）
A. 0.01B. 0.1C. 1D. 10
【答案】C
【详解】因为数据 的方差是数据 的方差的 倍，
所以所求数据方差为
故选：C
4.Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型： ，其中K为最大确诊病例数．当I( )=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则 约为（）.
【答案】A
【详解】因为 ， ，
所以 .
故选：A.
11.在△ABC中，cosC= ，AC=4，BC=3，则tanB=（）
A. B. 2 C. 4 D. 8
【答案】C
【详解】设
故选：C
12.已知函数f(x)=sinx+ ，则（）
A.f(x)的最小值为2B.f(x)的图像关于y轴对称
因为 ，所以 ，易知截距 越大，则 越大，
平移直线 ，当 经过A点时截距最大，此时z最大，
由 ，得 ， ，
所以 .
故答案为：7.
14.设双曲线C： (a>0，b>0)的一条渐近线为y= x，则C的离心率为_________．
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2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，，则中元素的个数为( )A. 2B. 3C. 4D. 52.若，则( )A. B. C. D.3.设一组样本数据的方差为0.01，则数据的方差为( )A. 0.01B. 0.1C. 1D. 104.Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域，有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数（的单位：天）的Logistic模型：，其中为最大确诊病例数.当时，标志着已初步遏制疫情，则约为( )（In193）A. 60B. 63C. 66D. 695.已知，则( )A. B.C. D.6.在平面内，是两个定点，是动点，若，则点的轨迹为( )A. 圆B. 椭圆C. 抛物线D. 直线7.设为坐标原点，直线与抛物线交于两点，若，则的焦点坐标为( )A. B. C. D.8.点到直线距离的最大值为( )A. 1B.C.D. 29.右图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是( )A. B. C. D.10.设，，，则（）A. B. C. D.11.在中，，，则（）A. B. 2 C. 4 D. 812.已知函数，则( )A. 的最小值为2B. 的图像关于轴对称C. 的图像关于直线对称D. 的图像关于直线对称二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若x，y 满足约束条件，则z=3x+2y的最大值为_____.14.设双曲线的一条渐近线为,则的离心率为______.15.设函数，若，则a=____.16.已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的切球表面积为_________三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.（12分）设等比数列满足，（1）求的通项公式；（2）记为数列的前n项和. 若，求m.18.（12分)某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：[0,200]（200,400]（400,600]锻炼人次空气质量等级1（优）216252（良）510123（轻度污染）6784（中度污染）720（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1,2,3,4的概率；（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”。
根据所给数据，完成下面的列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？人次400人次>400空气质量好空气质量不好附：，，19.（12分）如图，在长方体中，在,分别在棱，上，且，，证明：（1）当时，;（2）点在平面内.20.（12分）已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若有三个零点，求的取值范围.21.（12分）已知椭圆的离心率为分别为的左、右顶点.（1）求的方程：（2）若点在上，点在直线上，且，，求的面积.22.[选修4-4: 坐标系与参数方程] （10分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为与坐标轴交于两点.（1）求：（2）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线的极坐标方程.23.[选修4-5: 不等式选讲] （10分）设（1）证明：；（2）用中的最大值，证明：答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了交集的运算，属于基础题.【解答】解：∵，，∴，∴中元素个数为3.故选B.2.【答案】D【解析】【分析】本题考查复数的四则运算，共轭复数的概念，属于基础题.先由复数的四则运算法则求出，再利用共轭复数的概念得到答案.【解答】解：由，得，所以z＝i，故选D.3.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查方差的运算，是基础题.【解答】解：设的平均数为，方差所以的平均数为，方差 ,故选.4.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查指数式与对数式的互化，属于基础题.根据题意可得，解出的值.【解答】解：由题可知，所以，，解得故选C.5.【答案】B【解析】【分析】本题考查两角和的正弦公式和辅助角公式，属于基础题.根据两角和的正弦公式展开，再整理利用辅助角公式即可得答案.【解答】解：∵，∴=得故选：.6.【答案】A【解析】【分析】本题考查了动点的轨迹问题及向量数量积的坐标运算，属一般题．根据题意建立平面直角坐标系，设出点A、B、C的坐标，得到和的坐标，由向量数量积的坐标运算公式即得动点坐标所满足的方程，从而得到动点C的轨迹．【解答】解：以AB所在直线为x轴，线段AB的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，设，，，则，，由题意，得即，因此，动点C的轨迹是圆，故选A.7.【答案】B【解析】【分析】本题考查直线与抛物线的位置关系及抛物线的性质，基础题．根据直线x=2与抛物线交于D、E两点，确定D、E两点坐标，由OD⊥OE可得，可确定p的值，从而得到抛物线的焦点坐标．【解答】解：根据题意得D（2，2p）,E（2，-2p）,因为OD⊥OE，可得，所以4-4p=0，故p=1，所以抛物线C：y2=2x，所以抛物线的焦点坐标为(,0).故选B．8.【答案】B【解析】【分析】本题考查定点到过定点的直线的最大距离问题，属于基础题.根据点到直线的距离和两点间的距离公式，即可求解.【解答】解：因为直线y=k(x+1)恒过点（-1，0），要使得点（0，1）到直线的距离最大，此时点到直线的距离即为（0，1）与（-1，0）两点的距离，此时最大距离为.故答案选B9.【答案】C【解析】【分析】本题考查由三视图求几何体的表面积，考查空间想象能力，难度一般.先由三视图还原几何体，即可求出表面积.【解答】解：由三视图可知该几何体是底面为腰长2的等腰直角三角形，一侧棱长为2且垂直底面的三棱锥，如下图故其表面积为故选C.10.【答案】A【解析】【分析】本题考查了对数比较大小，属于中档题.分别将c转化为以3，5为底数，与a,c比较大小，即可得到结果.【解答】解：，，，，，，故选A.11.【答案】C【解析】【分析】本题考查解三角形，余弦定理的应用，注意三角形的形状即可.【解答】解：根据题意：，解得：AB=3 则；（负值舍去）故.故选C12.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查三角函数的性质，属于中档题.【解答】解：A. 由于，故A错误；B. ，故B错误；C. ，，，故C错误；D.，，，则的图象关于直线对称，故D正确，故选D.13.【答案】7【解析】【分析】本题考查了根据线性规划求最值，属较易题．本题先根据线性约束条件画出平面区域，再利用图解法即可求出目标函数的最大值．【解答】解：画出不等式组所表示的平面区域，如图所示由得点A坐标为，由得点B坐标为，即不等式所表示的平面区域为（包括边界），再将化为，可看作斜率为，截距为z的一族平行直线，由图可知，当直线经过点A时，截距z最大，因此，当时，，故选答案为7．14.【答案】【解析】【分析】本题主要考查双曲线的简单几何性质，属于基础题。
根据渐近线方程，可得，再利用离心率公式即可求得结果。
【解答】解：∵双曲线的渐近线为，∴∴离心率故答案为：15.【答案】1【解析】【分析】本题考查导数的运算，考查运算求解能力，属于较易题.【解答】解：，解得故答案为1.16.【答案】【解析】【分析】本题考查圆锥的内切球问题以及球的体积公式，通过列方程进行求解即可.【解答】解：如图，由题意可知，，圆锥内半径最大的球满足与底面相切于，与侧面相切于点，设球的半径为，则，且，解得，故.故答案为.17.【答案】解：（1）设等比数列的公比为，因为，，；（2）由（1）可知，可判断出数列是以0为首项，1为公差的等差数列，，，解得：或（舍去）所以.【解析】本题主要考查等比数列的通项公式，等差数列的判断及其前项和公式，属基础题.（1）根据等比数列的通项公式列出关于首项与公比的方程组，解得首项与公比，得到通项公式；（2）由（1）可得数列的通项公式，从而判断出该数列为等差数列，利用等差数列的求和公式列出关于的方程，求得的值即可.18.【答案】解：（1）空气质量等级为1的概率为;空气质量等级为2的概率为;空气质量等级为3的概率为;空气质量等级为4的概率为;(2) 一天中该公园锻炼的平均人次的估计值为；（3）人次人次空气质量好3337空气质量不好228有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关.【解析】本题考查了独立性检验和古典概率，属于中档题.19.【答案】证明：(1)因为是长方体，所以,而,所以.又,所以四边形为正方形，有,又，平面，所以平面，又平面,所以.(2) 取靠近的三等分点,连结,因为在上，且，所以，且，所以四边形为平行四边形，所以.又在上，且,所以,且，从而,,所以四边形为平行四边形，所以,所以,故四点共面，点在平面内.【解析】本题考查了线面垂直的判定及性质，四点共面判定等知识，属中档题.(1)通过可得，四边形为正方形，有,所以平面，进而可得.(2)通过画辅助线，可证明四边形和四边形均为平行四边形，由平行传递性可得，故四点共面，点在平面内.20.【答案】解：（1）求导得，定义域为，当时，，在上单调递增；当时，令得或，令得，故函数在上单调递增，在上单调递减.（2）由（1）当时，在上单调递增，不符题意，故，的极大值为，极小值为，要使有三个零点，则，∵，即，解得.【解析】本题考查利用导数研究函数的单调性，根据零点个数求参数问题，属较难题.21.【答案】解：（1）∵，，∴，∴C的方程为 .（2）由题：A(-5,0),B(5,0),设Q(6,t),显然，则，∵，则，则直线BP方程为：，联立，化简得，解得，，∵，∴，即，代入，解得，当时，Q(6,2),P(3,1)，，PQ方程为：，点A到直线PQ的距离为，则；当时，Q(6,8),P(-3,1)，，PQ方程为：，点A到直线PQ的距离为，则，根据对称性，时面积均为，综上：的面积为.【解析】本题考查椭圆方程的求解，两点间距离公式，直线方程，点到直线距离公式的综合运用，属于较难题.22.【答案】解：（1）令，即，解得（），将代入参数方程得令，即，解得（），将代入参数方程得，不妨设，则.（2）直线AB的直角坐标方程为，化简得，由，化为极坐标方程为.【解析】本题考查参数方程的概念，直角坐标方程与极坐标方程的互化，属于基础题分别令，即可求出A、B两点的坐标，即可求解.23.【答案】证明（1）∵，∴，∵，∴，即，∴，即.（2）∵，∴a,b,c同正或两负一正，∵，∴a,b,c不可能同正，即a,b,c两负一正，不妨设，则，由题意得，a,b可看成是一元二次方程的两根，因两根存在，则，解得，即【解析】本题考查不等式的证明，属于中档题.运用恒等变换和一元二次方程根与系数的关系即可证明.。