复变函数与积分变换：8-Laplace变换习题课
复变函数与积分变换第八章
证明
令
二、延迟性质与位移性质
1. 延迟性质
性质 设当 t < 0 时
则对任一非负实数 有
注意 在延迟性质中专门强调了当 t < 0 时 因此，本性质也可以直接表述为：
这一约定。
可见，在利用本性质求逆变换时应为：
解 方法一 已知 根据延迟性质有
方法二
方法一 先充零再平移 方法二 先平移再充零
两种方法为什么会得到不同的结果？
一、Laplace 变换的引入
1. Fourier 变换的“局限性”？
广义 Fourier 变换的引入，扩大了古典 Fourier 变换的适 用范围，使得 “缓增” 函数也能进行 Fourier 变换，而且 将周期函数的 Fourier 级数与 Fourier 变换统一起来。
广义 Fourier 变换对以指数级增长的函数如
积分在
上处处发散.
根据定理8.2，存在实数s (或是)使得在
上, 积分
收敛, 而在
上，积分
处处发散. 在收敛区域内，
Laplace变换的像函数
虚轴
析函数.
是s的解
Os
实轴
四、几个常用函数的 Laplace 变换
(1) [1]= [ ] (2) [ ]
解 (2)
含脉冲函数的 拉氏变换问题
四、几个常用函数的 Laplace 变换
因此在进行Laplace变换时，常常略去存在域， 只有在非常必要时才特别注明。
(2) 在 Laplace 变换中的函数一般均约定在 t < 0 时为零， 即函数 等价于函数
比如
类似于幂级数中
，有下面定理.
定理8.2 如果
在
处收敛，则这个积分在 由这个积分确定的函数
《复变函数与积分变换》习题册
《复变函数与积分变换》习题册合肥工业大学《复变函数与积分变换》校定平台课程建设项目资助2018年9月《复变函数与积分变换》第一章习题1.求下列各复数的实部、虚部、模、辐角和辐角主值:（1）122345i i i i +---； （2）312⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭.2. 将下列复数写成三角表达式和指数形式:（1）1； （2）21i i+.3. 利用复数的三角表示计算下列各式:（1； （2）103⎛⎫4. 解方程310z +=.5. 设12cos z zθ-+=（0,z θ≠是z 的辐角），求证：2cos n n z z n θ-+=.6.指出满足下列各式的点z 的轨迹或所在范围.（1）arg()4z i π-=；（2）0zz az az b +++=，其中a 为复数，b 为实常数. （选做）7.用复参数方程表示曲线：连接1i +与i 41--的直线段.8.画出下列不等式所确定的图形，指出它们是否为区域、闭区域，并指明它是有界的还是无界的？是单连通区域还是多连通区域？并标出区域边界的方向.(1) 11,Re 2z z <≤；(2) 0Re 1z <<；9.函数z w 1=把下列z 平面上的曲线映射成w 平面上怎么样的曲线？ （1）224x y +=； （2）x y =； （3）1=x .10.试证：0Re limz z z→不存在.《复变函数与积分变换》第二章习题1.用导数定义求z z f Re )(=的导数.2.下列函数在何处可导，何处不可导？何处解析，何处不解析？（1）z z f 1)(=； （2））32233(3)(y y x i xy x z f -+-=；3.试讨论y ix xy z f 22)(+=的解析性，并由此回答：若复变函数),(),()(y x iv y x u z f +=中的),(y x u 和),(y x v 均可微，那么iv u z f +=)(一定可导吗？4.设3232()(f z my nx y i x lxy =+++）为解析函数，试确定,,l m n 的值.5.设()f z 在区域D 内解析，试证明在D 内下列条件是彼此等价的：（1）()f z =常数； （2）Re ()f z =常数； （3）()f z 解析.6.试解下列方程：（1）1ze =+； （2）0cos =z ； （3）0cos sin =+z z .7.求下列各式的值：（1）Ln(34)i -+； （2）i -33； （3）i e +2.8.等式33Ln 3Ln z z =是否正确？请给出理由.《复变函数与积分变换》第三章习题3.1复积分的概念与基本计算公式1. 计算积分dz ix y x C )(2⎰+-，其中C 为从原点到点1+i 的直线段.2．计算积分dz z zC ⎰的值，其中C 为2=z3.当积分路径是自i -沿虚轴到i ，利用积分性质证明：2)(22≤+⎰-dz iy x i i3.2柯西古萨基本定理1.计算积分dz z C ⎰1,其中C 为2=z2. 计算积分dz z e z C z)sin (⎰⋅-,其中C 为a z =.3.3基本定理的推广1. 计算积分dz z e Cz⎰,其中C 为正向圆周2=z 与负向圆周1=z 所组成。
复变函数与积分变换习题册(含答案)
第1章 复数与复变函数 (作业1)一、填空题 1、ieπ2的值为 。
2、k 为任意整数，则34+k 的值为 。
3、复数i i (1)-的指数形式为 。
4、设b a ,为实数，当=a , b= 时，).35)(1()3()1(i i b i a ++=-++ 二、判断题（正确的划√，错误的划 ） 1、2121z z z z +=+ （ ）2、()()())z Re(iz Im ;z Im iz Re =-= （ ）3、()()i i i 125432+=++ （ ） 三、选择题1．当ii z -+=11时，5075100z z z ++的值等于（ ） （A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1-2．复数)(tan πθπθ<<-=2i z 的三角表示式是（ ）（A ）)]2sin()2[cos(secθπθπθ+++i （B ）)]23sin()23[cos(sec θπθπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos(secθπθπθ+++-i （D ）)]2sin()2[cos(sec θπθπθ+++-i 3．使得22z z =成立的复数z 是（ ）（A ）不存在的 （B ）唯一的 （C ）纯虚数 （D ）实数 4.若θi re i i=+--2)1(3，则（ ） （A ）πθ-==3arctan ,5r （B ）πθ-==3arctan ,210r （C ）3arctan ,210-==πθr （D ）3arctan ,5-==πθr 5. 设复数z 位于第二象限，则z arg 等于（ ）。
(A) x y arctan 2+π (B) x y arctan +π (C) x y arctan 2-π (D) xy arctan +-π 四、计算与证明题 1、设ii i i z -+-=11，求.),Im(),Re(z z z z2、当x y ,等于什么实数时，等式()i iy i x +=+-++13531成立？3、求复数ii-+23的辐角。
复变函数—课后答案拉氏变换习题解答
( Re s > max{k , −k})
-1-
(6) & ⎡ ⎣ f ( t )⎤ ⎦=
∫
+∞
0
cosh kte− st dt = ∫
+∞
0
ekt + e− kt − st 1 e dt = 2 2
(∫
+∞
0
e− ( s − k )t dt + ∫ e − ( s + k ) t dt
0
+∞
)
⎛ − ( s − k ) t +∞ e − ( s + k )t +∞ ⎞ |0 + |0 ⎟ = 1 ⎛ 1 + 1 ⎞ = s 1⎜e = ⎜ ⎟ 2 ⎜ −( s − k ) − ( s + k ) ⎟ 2 ⎝ s − k s + k ⎠ s 2 − k 2 ⎝ ⎠
∫
+∞
0
f (t )e − st dt = ∫ 3e − st dt + ∫π cos t ⋅ e − st dt
0 2
π 2
+∞
=
+∞ e i t + e − i t 3 − st 2 3 3 − 1 +∞ e | + ∫π e − st dt = − e 2 + ∫π (e −( s −i)t + e −( s +i)t )dt t =0 s s 2 2 −s 2 2
⎧ 1, f (t ) = ⎨ ⎩− 1,
(4)由图易知, f (t ) 是周期为 2b 的周期函数,在一个周期内
0≤t <b b ≤ t < 2b
由公式 & [ f (t )] =
积分变换_(Laplace)课件与习题
§1 Laplace变换的概念
设指数衰减函数
(t
)
0, e
t
,
t0
( 0).
t0
考虑 f t t ,,有 f t u t =f t t 0.
若存在 0,使 lim et f t =0,则 + et f t dt .
t
-
那麽 f t u t et的傅氏积分总是存在的。
F [ f (t)u(t)et ] f (t)u(t)ete jtdt
L[ f (t)] F s f (t)estdt 0
f (t)称为F (s)的Laplace逆变换，记为f (t) L1[F (s)]. F (s)称为象函数，f (t)称为象原函数.
8
例1
求单位阶跃函数
u(t)
0 1
t 0 的拉氏变换. t 0
根据拉氏变换的定义, 有
L[u(t)] estd t 0
；
smL
t m
1 s
m!
L
t m
1 s m1
m!
(Re(s) 0).
26
练习： 求 f (t) cost 的Laplace变换.
解 因为
参见上节例3, 与这里方法不同
f (0) 1, f (0) 0, f (t) 2cost,
根据 微分性质 和线性性质
[2 cost] s2 [cost] sf (0) f (0),
对正整数n, 有
L[f
2
(n)
[(ct )o]sstn]F(
s2
s)
[scnos1
t] s,
f (0)
f (n1)(0).
所以
特[c别os地，t] 当sf2
复变函数与积分变(北京邮电大学)课后的习题答案
2 2 2 2
π π 3 i cos i sin cos 2 2
1
2kπ
π π 2kπ 2 i sin 2 3 3
k 0,1, 2
∴
2
z1 cos
π π 3 1 i sin i 6 6 2 2
．
z z w w z w
π i 2 2 4 解： 3 3i= 6 i 6 e 2 2
(1) arg z π; (2) z 1 z ; (3)1 z i | 2; (4) Re z Im z;
k 0,1
∴
3 3i 6 e
1 π 2 i 4
④解： ∵
3
1 i 3 Im 0． 2
2 2 2 2 π π cos isin i i 2 4 4 2 2 2
3 1 i 3 1 3 1 3 2
2
3 1 3
2
i 3
3
8
3 5i 1 7i 16 13 ②解： 3 5i i
7i 1
1+7i 1 7i
25
25
1 8 0i 1 8
1 i 3 ． Im 0 2
求下列微分方程的解方程两边同时取拉氏变换得3方程两边取拉氏变换故有4方程两边取拉氏变换设微分方程组两式的两边同时取拉氏变换得2代入1得3代入1得方程两边取拉氏变换得3代入1
复变函数与积分变换课后答案（北京邮电大学出版社）
复变函数与积分变换第8章Laplace变换
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复数函数与积分变换
14.计算以下积分.
15.求以下卷积.
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复数函数与积分变换
16.利用卷积定理证明 17.利用卷积定理证明
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18.试求以下积分方程的解.
19.设在原处质量为m的一质点在t=0时，在x方向上受到冲击力kδ(t)
的作用，其中k为常数，假定质点的初速度为零，求其运动规律.
从上面例子可以看出，Laplace变换存在的条件要比Fourier变换存在的条 件弱得多,下面讨论Laplace变换的存在问题.
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复数函数与积分变换
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定义8.2设函数f(t)在实变数t≥0上有定义，假设存在两个常数M>0及σ>0, 对于一切t都有
成立，即f(t)的增长速度不超过指数函数，那么称f(t)为指数级函数，σ 为其增长指数.
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复数函数与积分变换
(2) 原函数的微分性质
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这个性质使f(t)的微分方程转为F(s)的代数方程，因此它对分析线性系统有 着重要作用.现在利用它推算一些函数的Laplace变换. 例8.9利用Laplace变换的性质求f(t)=cos kt的Laplace变换。
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复数函数与积分变换
该公式也称为Laplace反演公式，右端的积分称为Laplace反演积分,这里的 积分路径是平行虚轴的任一直线Re s=c.
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复数函数与积分变换
定理8.4
例8.19求
的Laplace逆变换.
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复数函数与积分变换
例8.20 此题也可用留数理论来做.
复变函数与积分变换第8章8-1 拉普拉斯变换
下面我们通过三个数学过程来引入Laplace变换:
(1) 将全空间(-∞,+∞)上的问题转化成半空间(0,+∞)上的问题.
1 t [0, ) 引进单位阶跃函数u(t ) , 构造函数 0 t ( ,0) g (t ) f (t )u(t ), t ( , )
像函数的微 分性质
前面，由已知函数f (t )，求它的像函数F ( s ).但在实际应用 中常见与此相反的问题 Laplace逆变换.
利用拉氏变 换的性质， 凑！！
s 1 , 求f (t ). 例3 已知f (t )的拉氏变换F ( s) ln s 1 解 1 1 ( s) F ( s) ln( s 1) ln( s 1) F s 1 s 1 根据像函数的微分性质: L [tf (t )] F ( s) 有 1 1 1 1 f (t ) L t s 1 s 1 1 t 1 t kt L [e ] (e e ) (Re( s) k ) t sk
f1 (t ) f 2 (t ) L 1[F1 ( s) F2 ( s)]
2
像原函数的延迟(时移)性质 若 F ( s) L [ f (t )] , 又当t 0时, f (t ) 0, 则对任意实数 0
L [ f (t )] e s F ( s ) L
m st
Re( s) 0
1 m st t m m 1 st t e |t 0 t e dt s s 0 m L [t m 1 ] s m( m 1) m2 L [t ] s2
m ( m 1) 2 m ( m 1) ] L [t m 1 s m ( m 1) 2 1 m! m m ] m 1 L [t m s s
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一、求函数的Laplace变换及逆变换 二、求解微积分方程
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重点：1. 求函数的Laplace变换；
2. Laplace变换e变换.
2
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性质
Laplace变换
k0
(k ) (0)}
因m n, 所 以
dm
ds m
n1
s nk 1 f (k ) (0) 0.
k0
L[t m
f
(n) (t )]
(1)m
dm ds m
(snF (s)).
11
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(2)令g(t ) t m f (t ), 则由象函数的微分性质
及m n可知L[ g(t )] (1)m F (m ) ( s), g(0)
所以
L[
f
(t )]
1 s
1 s2
1 s2
es .
4
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例2
求函数f
(t)
t
0
sin t
2t
dt的Laplace变换.
解 由积分性质
L[ t sin2t dt] 1 L[sin2t ] 1 L[sin2t]ds
0t
st
ss
| 1 2
1
s
s
s
4
s2
ds
[arctan ]
n1
L[ f (n) (t )] snF (s) snk1 f (k ) (0) G(s). k0
由象函数的微分性质得
L[t m f (n) (t )] (1)m G(m) (s)
10
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(1)m
{
dm ds m
[snF (s)]
dm ds m
n1
snk1 f
Laplace变换 的应用
线位微积延 性移分分迟 性性性性性 质质质质质
卷积
留数
Laplace变换逆变换
3
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一、 求函数的Laplace变换及逆变换
例1
计算
函
数f
(t
)
1 0,
t,
0 t 其它
1的Laplace变 换.
解 函数f (t)可写成
f (t) (1 t)u(t) (t 1)u(t 1)
g(0) g (n1) (0) 0, 再由微分性质可得
L[
dn dt n
(t
m
f
(t))]
L[ g(n) (t )]
snL[ g(t )] (1)m snF (m) (s).
12
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(3) 令g(t ) f (t )u(t ), 而 L[ g(t )] L[ f (t )u(t )] F (s),
9
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例4 已知L[ f (t )] F (s), m n, a 0, b 0, 试求下列
函数的Laplace变换.
(1)t m f (n) (t );
(2)
dn dt n
[t m
f
(t )];
(3) f (at b)u(at b).
解（1）由L[ f (t)] F (s)以及微分性质得
8
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练习：
1. 设 f (t) etu(t 2), 则 L[ f (t)] （ B ）
e 2( s1)
(A)
s1
(B) e 2( s1) s1
e2s
e2s
(C)
(D)
s1
s1
2.
设
F
(s)
2s2es
(s s3
1)e 2 s
,
则L-1[F (s)]
2u(t 1) (t 2)u(t 2) 1 (t 2)2 u(t 2) 2
设L[ f (t )] F (s), 则L[ t (t 2)e2t f (t )dt] ( A ) 0
( A) 1 [F (s 2) 2F (s 2)] s
(B) 1 [F (s 2) 2F (s 2)] s
(C ) 1 [F (s 2) 2F (s 2)] s
(D) 1 [F (s 2) 2F (s 2)] s
s
2
s
1 ( arctan s ).
s2
2
5
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设L[
f
(t )]
F (s), a
0,
则L[e
t a
f
(
t
)]
.
a
aF(as 1)
设f (t) 2 (1 cos at),则L[ f (t)]
.
t
s2 a2 ln s2
6
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练习：
16
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1 2!
2s2 lim[
s 3
3s s1
3
e st
]
1 et (3t 2 3 t 1 )e3t .
4
24
14
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(2) 令F (s) 1 1 1 ,易 知 s(s 1) s s 1
L1[F (s)] 1 e t .
由延迟性质得
L1[ e 2s ] L1[e 2s F ( s)] s(s 1) [1 e (t 2) ]u(t 2).
利用延迟性质，
L[g(t b)] F (s)ebs .
令h(t ) g(t b),则
L[ f (at b)u(at b)] L[g(at b)]
L[h(at)]
1
F(
s
b s
)e a
.
aa
13
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例3 已 知(1)F (s)
2s2 3s 3 (s 1)(s 3)3
7
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利 用Laplace变 换 的 性 质, 实 积 分
teat sinbtdt(a 0)的值为( C ) 0
b2 a2 ( A) (a2 b2 )2
a2 b2 (B) (a2 b2 )2
2ab (C ) (a2 b2 )2
2ab (D) (a2 b2 )2
,(2)F (s)
e 2s s(s 1)
,
求f (t ) L1[F (s)].
解 (1)由于s1 1, s2 3分别为F (s)的一级极点 和三级极点,因此
f (t ) Res[F (s)e st ,1] Res[F (s)e st ,3]
lim
s1
2s2 3s (s 3)3
3
e st
15
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1
函
数
s1 (s 2)4
的Laplace逆
变
换L-1[
(
s1 s 2)4
]
.
1 t 2e2t 1 t 3e2t
2
6
2 函数ln
s2 1
的Laplace逆 变 换L-1[ln
s2 1 ]
s(s 1)
s(s 1)
.
1 (1 et 2 cos t )
t