阿基米德折弦定理的四种常规证法
阿基米德折弦定理
阿基米德折弦定理阿基米德折弦定理，也称为阿基米德定理，是数学中的一个重要定理，与圆和三角函数有关。
该定理最早记载于公元前250年的古希腊数学家阿基米德的著作《圆的测量》中。
阿基米德折弦定理陈述如下：对于任意一条弧，该弧两端的弦的长度之积等于从弦中点引垂线得到的两条线段的长度之积。
即，在一个圆的内部任取一条弧，该弧的两个端点连成一条弦，然后在这条弦的中点处竖直一条线段，将弦分成两条线段，两条线段的长度之积等于从中点引垂线得到的两条线段的长度之积。
具体公式为：AB×CD=BC×DE其中，AB表示弦的长度，BC为弦的中点到圆的距离，CD和DE分别为弦的两边到圆的距离。
该定理可以用来推导出三角函数之间的关系，因此在三角函数的求解中也有着广泛的应用。
证明：如图，以弧AB所对的圆心为O，过弦AB中点C引一条竖直线段DE交弦AB于点F。
因为OF=CD=DE，所以FC=EF。
在ΔBOF中，根据勾股定理有：(BO)²=(OF)²+(BF)²由于OF=CD=DE，可以写成：(BO)²=(CD)²+(BF)²在ΔCFC'中，根据勾股定理有：(CF)²=(CC')²+(FC')²但是，因为CF=EF，且CC'为BC的中垂线，即CC'=BC/2，所以可写成：(CF)²=(BC/2)²+(FC')²又因为BC=2CF，所以可以简化成：(CF)²=(CF)²+(FC')²即，(FC')²=CF²-FC²在ΔDEF中，根据勾股定理有：(DF)²=(DE)²+(EF)²由于EF=FC，可以写成：(DF)²=(DE)²+(FC)²同理，在ΔCEF中，根据勾股定理有：(FC)²=(CE)²+(EF)²因为EF=FC，所以：(FC)²=(CE)²+(FC)²即，(CE)²=0这说明点E恰好位于圆的直径上。
数学文化之阿基米德折弦定理
阿基米德折弦定理阿基米德(Archimedes，公元前287～公元前212年，古希腊)是有史以来最伟大的数学家之一.他与牛顿、高斯并称为三大数学王子.如果以他们三人的宏伟业绩和所处的时代背景来比较，或拿他们影响当代和后世的深邃久远来比较，还应首推阿基米德.他甚至被人尊称为“数学之神”.阿拉伯Al-Biruni(973年～1050年)的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据Al-Biruni本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德折弦定理.阿基米德折弦定理:AB和BC是⊙O的两条弦(即ABC是圆的一条折弦)，BC＞AB，M 是弧ABC的中点，则从M向BC所作垂线之垂足D是折弦ABC的中点，即CD=AB+BD.从圆周上任一点出发的两条弦，所组成的折线，我们称之为该图的一条折弦.阿基米德折弦定理3种证明方法【方法1】补短法如图，延长DB至F，使BF=BA,∵M是弧ABC的中点，∴∠MCA=∠MAC=∠MBC，∵M、B、A、C、四点共圆，∴∠MCA+∠MBA=180°.∵∠MBC+∠MBF=180°,∴∠MBA=∠MBF.∵MB=MB,BF=BA,∴△MBF≌△MBA.∴∠F=∠MAB=∠MCB,∴MF=MC,∵MD⊥CF,∴CD=DF=DB+BF=AB+BD.【方法2】截长法如图，在CD上截取DG=DB，∵MD⊥BG，∴MB=MG，∠MGB=∠MBC=∠MAC.∵M是弧ABC的中点,∴∠MAC=∠MCA=∠MGB,即∠MGB=∠MCB+∠BCA=∠MCB+∠BMA. 又∵∠MGB=∠MCB+∠GMC,∴∠BMA=∠GMC.∵MA=MC,∴△MBA≌△MGC,∴AB=GC,∴CD=CG+GD=AB+BD【方法3】垂线法如图，作MH⊥射线AB，垂足为H，∵M是弧ABC的中点，∴MA=MC，∵MD⊥BC，∴∠MDC=90°=∠H.∵∠MAB=∠MCB，∴△MHA≌△MDC，∴AH=CD，MH=MD.又∵MB=MB，∴Rt△MHB≌Rt△MDB，∴HB=BD，∴CD=AH=AB+BH=AB+BD.【推论1】设M是弧AC的中点，在弧AM上取一点B，连接AB、MB、MC、BC，那么MC²-MB²=BC·AB.【推论2】设M是弧AC的中点，B在圆上，且在弧AMC外.连接AB、AC、MB、MC，那么MB²-MC²=AB·BC.。
阿基米德三角形常用结论及证明
阿基米德三角形常用结论及证明嘿，伙计们！今天我们要聊聊一个超级有趣的数学问题——阿基米德三角形！这个名字听起来就很酷炫，是不是？那你知道阿基米德三角形有哪些常用结论和证明吗？别着急，让我们一起来揭开它的神秘面纱吧！我们来了解一下什么是阿基米德三角形。
阿基米德三角形是一个古老的几何图形，它的每个顶点都是一个等边三角形的内切圆与外接圆的交点。
这个图形看起来有点像一个金字塔，但是它有很多神奇的性质和结论哦！1. 阿基米德三角形的内角之和是180度。
这个结论很简单，因为每个小三角形的内角都是60度，而一个大三角形的内角之和就是3个小三角形的内角之和，也就是180度。
2. 阿基米德三角形的边长比是一个恒定的值。
具体来说，如果一个大三角形的边长分别是a、b、c,那么它的内切圆半径r、外接圆半径R和边长比之间的关系就是：(a+b+c)/2 = R + r = (a+b+c)/2R。
这个关系式告诉我们，无论阿基米德三角形的大小如何变化，它的边长比总是保持不变。
3. 阿基米德三角形的面积可以通过海伦公式计算。
海伦公式是一个关于三角形面积和三边长之间关系的公式，它的形式是：S = sqrt(p*(p-a)*(p-b)*(p-c)),其中S是三角形的面积，a、b、c分别是三角形的三边长。
阿基米德三角形的面积可以通过将大三角形的面积除以9得到，即：S = (a+b+c)/2 * R^2 / 9。
4. 阿基米德三角形可以用来计算任意多边形的面积。
这个结论可能有点难以理解，但是它可以帮助我们解决很多实际问题。
比如说，我们知道一个正方形的面积是边长的平方，那么我们可以通过阿基米德三角形的方法计算出任意多边形的面积。
具体做法是先将多边形划分成若干个小三角形，然后根据阿基米德三角形的性质计算出每个小三角形的面积，最后将这些小三角形的面积相加就可以得到整个多边形的面积了。
5. 阿基米德三角形可以用来求解复杂的数学问题。
比如说，我们知道一个圆的周长是πd,其中d是直径。
阿基米德折弦定理
定义:从圆周上任一点出发的两条弦，所组成的折线，我们称之为该图的一条折 弦。如图折弦 ACB。分两种情况
定理:圆中一条折弦所对的两段弧的中点在较长弦上的射影，就是折弦的中点。 解读:条件(①弧的中点；②射影),结论(弦的中点)
证明:至少 2 种方法，开始表演吧
变式：P 为劣弧 AB 中点，PH⊥AC,线段 AH、HC、CB 有怎样的数量关系？
推论 1:设 P 是优弧 AB 的中点，连接 PB、PC，那么 PB²-PC²=AC·CB
推论 2:设 P 是劣弧 AB 的中点，连接 PB、PC，那么 PC²-PB²=AC·CB
逆定理设 H 是△AC 的外接圆，有如下逆定理:
①若 P 为弧 ACB 中点，连 PH，则 PH⊥AC。 ②若 PH⊥AC 交圆于点 P，则 P 为弧 ACB 中点。
数学文化之阿基米德折弦定理
阿基米德折弦定理阿基米德(Archimedes，公元前287～公元前212年，古希腊)是有史以来最伟大的数学家之一.他与牛顿、高斯并称为三大数学王子.如果以他们三人的宏伟业绩和所处的时代背景来比较，或拿他们影响当代和后世的深邃久远来比较，还应首推阿基米德.他甚至被人尊称为“数学之神”.阿拉伯Al-Biruni(973年～1050年)的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据Al-Biruni本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德折弦定理.阿基米德折弦定理:AB和BC是⊙O的两条弦(即ABC是圆的一条折弦)，BC＞AB，M 是弧ABC的中点，则从M向BC所作垂线之垂足D是折弦ABC的中点，即CD=AB+BD.从圆周上任一点出发的两条弦，所组成的折线，我们称之为该图的一条折弦.阿基米德折弦定理3种证明方法【方法1】补短法如图，延长DB至F，使BF=BA,∵M是弧ABC的中点，∴∠MCA=∠MAC=∠MBC，∵M、B、A、C、四点共圆，∴∠MCA+∠MBA=180°.∵∠MBC+∠MBF=180°,∴∠MBA=∠MBF.∵MB=MB,BF=BA,∴△MBF≌△MBA.∴∠F=∠MAB=∠MCB,∴MF=MC,∵MD⊥CF,∴CD=DF=DB+BF=AB+BD.【方法2】截长法如图，在CD上截取DG=DB，∵MD⊥BG，∴MB=MG，∠MGB=∠MBC=∠MAC.∵M是弧ABC的中点,∴∠MAC=∠MCA=∠MGB,即∠MGB=∠MCB+∠BCA=∠MCB+∠BMA. 又∵∠MGB=∠MCB+∠GMC,∴∠BMA=∠GMC.∵MA=MC,∴△MBA≌△MGC,∴AB=GC,∴CD=CG+GD=AB+BD【方法3】垂线法如图，作MH⊥射线AB，垂足为H，∵M是弧ABC的中点，∴MA=MC，∵MD⊥BC，∴∠MDC=90°=∠H.∵∠MAB=∠MCB，∴△MHA≌△MDC，∴AH=CD，MH=MD.又∵MB=MB，∴Rt△MHB≌Rt△MDB，∴HB=BD，∴CD=AH=AB+BH=AB+BD.【推论1】设M是弧AC的中点，在弧AM上取一点B，连接AB、MB、MC、BC，那么MC2-MB2=BC·AB.【推论2】设M是弧AC的中点，B在圆上，且在弧AMC外.连接AB、AC、MB、MC，那么MB2-MC2=AB·BC.。
阿基米德折弦定理的证明及其应用
数学 实践 表 明， 注 意 对 著 名 几何定 理 的研 究 ， 对 于 帮助 学 生
． ． 。 ． 。 ． ． ． 。 ． ． ． ． ． 。． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ．． ． ． ． ． ．． ．． ． ． ． ．
理解课 ． 本 ． ． 内容 ． ． ， 提 高 分 析 问 题 和
＿、
、
阿基米德折弦定理的证 明
如图 １ ， 点 Ａ， Ｂ， Ｃ， Ｄ顺 次 在 圆 ０上 ， Ａ Ｂ：
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ定理
．、
ＤＥ ． ＡＭ ＝ ＤＣ ＋ＣＭ ．
Ｂ Ｄ， Ｂ Ｍ垂 直于 Ａ Ｃ ， 垂足为 ＾ ｆ 。 证明 ： Ａ Ｍ＝ Ｄ Ｃ＋Ｃ Ｍ． 证法 一 如图 １ ， 在Ａ Ｃ上
证法六
二、 阿 基 米 德 折 弦 定 理 的 应 用
【 例】 在 Ａ Ａ Ｂ Ｃ中 ， Ａ Ｂ＞ Ａ Ｃ ，
Ｆ， 求证 ２ Ａ Ｆ＝ Ａ Ｂ— Ａ Ｃ
’
的一个外角平 分
线 交ＡＡ Ｂ Ｃ的外 接 圆 于点 ， 过 Ｅ作 Ｅ Ｆ上Ａ Ｂ， 垂 足 为
证明
如 图 ４， 连结 Ｅ Ｂ， Ｅ Ｃ， 则 ｌ＝Ｌ２：／ ＿ ３＝
体现数学研究 的潜能是 十分重要 的．
ＡＢ Ｃ Ｄ 坌ＡＢ Ｃ Ｅ（ Ｓ Ａ Ｓ ） 。 ． ．ＬＢ Ｄ Ｃ＝ ＬＢ Ｅ Ｃ ． ’ ． ’ＬＢ Ａ Ｃ
＝ＬＢ ＤＣ， ． ＬＢ ＡＣ＝ Ｌ Ｂ ＥＣ， Ａ Ｂ ＝Ｂ Ｅ． 。 ． ’ Ｂ Ｍ 上肛 ， ． ‘ ． Ａ Ｍ
＝ＡＥ． ． 。 ． ＡＭ ＝ ＤＣ ＋ＣＭ ．
Ｂ Ｃ Ａ＝ ＬＢ ＤＡ ＝ Ｌ Ｂ Ａ Ｄ．Ｌ ＢＣ Ｅ ＋ ＬＢＣ Ａ ＝ ＬＢＣ Ｄ ＋ ＬＢＡ Ｄ＝１ ８ ０。 ， ． ‘ ．ＬＢＣ Ｅ ＝ ＬＢＣ Ｄ， ． ‘ ＢＣ ＝ＢＣ， Ｃ Ｄ ＝ＤＥ，
阿基米德折弦定理的证明及其应用
（ 下转 ３ ６页 ）
一
一
一
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…
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…
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二
ＰＤ （ Ｐ Ｆ 广 ＋ Ｄ Ｅ ） ： ｙ ＝—
—
．
一
。．
。．
．
１ ５ ＋１ ２ ０
熊 数掌大世界 。 ． １
（ ４ ） ＝ ２ Ｏ， ： ＝ ２ 西 Ｏ
，
Ａ ． ． 。 ． 。 ＋ 。 ＋ 。 ． 。 ． 。 ． 。 ． ． ． 。 ．
‘
．
ＢＥ ＝ＢＣ，
‘ ‘ ．
．
ＢＣ ＝ ＢＭ ． ＣＥ ： Ｃ Ｍ． ’ ． ‘Ｒｔ△ＡＢ Ｍ
Ｒ ｔ Ａ ＤＢ Ｅ
ＢＭ 上 ＡＣ， ＥＭ ： Ｍ Ｃ．
（ Ａ Ａ Ｓ ） ， ． ‘ ． Ａ Ｍ ＝Ｄ Ｅ， Ａ Ｍ ＝Ｄ Ｃ＋Ｃ Ｍ．
图１
‘ ． ．
证法六
如图 ３ ， 延 长
如下 ， 供 初 中师 生 教 与 学 时 参考 ．
一
’ ．
’
ＢＣ Ｄ＋ 且 Ｈ Ｄ ＝１ ８ ０ 。 ． ． ‘ ．
’
．
（ ＝ Ｂ（ ．
、
阿 基 米 德 折 弦 定 理 的证 明
。
曰 Ｃ ＝ＢＣ． （ Ｄ ＝Ｃ Ｅ．
‘
定理 如 图 １ ， 点 Ａ、 曰、 Ｃ 、 Ｄ顺 次 在 圆 ０上 ， Ａ Ｂ＝ Ｂ Ｄ， Ｂ Ｍ 垂直于 Ａ Ｃ ， 垂 足 为 ， 证明 ： Ａ Ｍ ＝Ｄ Ｃ＋Ｃ Ｍ． 证法一
是 折 弦弧 Ｂ Ａ Ｃ的 Ｂ Ａ Ｃ的中点 ， 由折 弦 定 理 ， 可得 Ｂ Ｆ＝
ＦＡ ＋ＡＣ， ＡＢ — Ｆ Ａ ＝ ＦＡ ＋ ＡＣ ， ． ‘ ． ２ＦＡ ＝ＡＢ —ＡＣ．
阿基米德折定理
阿基米德折定理阿基米德折定理，是古希腊数学家阿基米德的著名定理，简称“阿基米德三角形定理”。
它概括了三角形的形状规律，说明条件下，三角形三边长之和总大于另外两边长，更精确地说，一个三角形任意两边之和大于第三边，即a+b>c, b+c>a, c+a>b，其中，a、b、c分别是三角形三边的长度。
阿基米德三角形定理被认为是古希腊几何学中最杰出的定理之一，是古希腊数学的精华和珍贵遗产。
阿基米德三角形定理的发现和证明为古希腊几何学的发展做出了巨大的贡献，也是阿基米德变迁和发展的标志性事件。
阿基米德在研究三角形的属性与解决日常生活中的几何问题方面做出了杰出的贡献，是古希腊几何学的创始人。
他认为，三角形三边相等，三角形的内角全都相等，所以三角形三边等腰。
但是，他不能证明三角形三边之和大于另外两边之和，直到他用逻辑推论的方式证明了三角形最大顶点与最大边的关系，也就是所谓的“阿基米德三角形定理”才有了。
阿基米德三角形定理的发现和证明，开创了古希腊几何学的先河，也是古希腊几何学研究的基础。
它不仅被广泛应用于工程学和技术学专业，而且还被应用到日常生活中。
教学中，多以不同媒介形式讲解阿基米德三角形定理，如利用图形、动画、投影等形式更好地演示和理解阿基米德三角形定理的含义，更好地使学生理解其普遍性和实用性，激发学生学习数学的兴趣和动力。
经过长期的发展和研究，在此基础上产生了更深入的三角论。
今天，在不同的数学领域，“阿基米德三角形定理”仍然是学习数学的重要课题。
毫无疑问，阿基米德三角形定理是阿基米德为人类数学文明作出的伟大贡献，它使古老的数学知识得以开花结果，这是现代数学的基础。
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阿基米德折弦定理的四种常见证法
Justin ● 深圳
平面几何内容在整个初中数学知识中占有很重要第位，无论是中考还是平时阶段检测，往往会在几何题目的设置上体现选拔性。
更有人说：“初中数学学得好不好，关键看几何好不好”。
这些虽然仅仅是一些说法而已，但也不无它的道理。
平面几何的确是考察学生的一个很重要的方面，几何学习的关键主要是掌握作辅助线的技巧。
而这些技巧也并非一朝一夕就能掌握的，需要长时间的积累，总结，并应用才能较好掌握。
在整个初中范围内，圆作为一个独立的章节更显现它的重要，并以综合难度大，辅助线的作法较多著称。
下面就以“阿基米德折弦定理”的证明为例来浅谈本人对圆的学习心得。
问题：已知M 为 的中点，B 为
上任意一点，且BC MD ⊥于D .
求证：DC BD AB =+
证法一：(补短法)
如图：延长DB 至F ，使BF=BA ∵M 为 的中点 ∴AM=MC, ∴∠MAC=∠MC A---① 又∵, ∴MC=MA ∴∠MBC=∠MA C---② 又∵∠MBC+∠MBF=180---③ 由M,B,A,C 四点共圆 ∴∠MCA+∠MBA=180---④ 由①②③④可得：∠MBA=∠MBF
在△MBF 与△MBA 中：
⎪⎩
⎪⎨⎧=∠=∠=MB MB MBF MBA BA BF ∴△MBF ≅△MBA(SAS) ∴MF=MA, 又∵MC=MA ∴MF=MC 又∵MD ⊥CF ∴DF=DC ∴FB+BD=DC 又∵BF=BA
∴AB+BD=DC （证毕）
证法二：（截长法）
如图：在CD 上截取DB=DG ∵MD ⊥BG ∴MB=MG ∴∠MBG=∠MG B---① 又∵，∴∠MBG=∠MAC 又∵∠MAC=∠MCA (已证)，
∴∠MBG=∠MC A---② 由①②可得∠MGB=∠MCA=∠BCA+∠MCG
而∠MGB=∠GMC+∠MCG ∴∠GMC=∠BCA 又∵,∴∠BMA=∠BCA
∴∠BMA=∠GMC, 在△MBA 与△MGC 中⎪⎩
⎪⎨⎧=∠=∠=MC MA GMC BMA MG MB ∴△BMA ≅△GMC (SAS)
∴AB=GC, ∴AB+BD=GC+BD=GC+DG=DC(证毕)
证法三：（翻折）
如图：连接MB,MC,MA,AC, 将△BAM 沿BM 翻折，使点A 落至点E ，连接ME,BE
∵△MBA 与△MBE 关于BM 对称，所以△MBE ≌MBA ∴MA=ME, ∠MBA=∠MBE-① 又∵MA=MC, ∴ME=MC , 又∵M, B, A, C 四点共圆，
∴∠MBA+∠MCA=180---② 又∵MA=MC(已证) ∴∠MAC=∠MCA 又∵，∴∠MBC=∠MAC ∴∠MBC=∠MCA- --③
由①②③得:∠MBC+∠MBE=180 ∴E,B,C 三点共线。
又∵ME=MC,MD ⊥CE
∴DE=DC ,∴EB+BD=DC ,又∵△MBE ≌MBA ∴AB=EB
∴ AB+BD=DC(证毕)
证法四：如图，连接MB,MA,MC,AC, 延长AB,过点M 作MH ⊥AB 于点H,
∵M 为的中点 ∴AM=MC, 又∵,∴∠HAM=∠DCM
又∵∠MHA=∠MDC=90 ∴在△MHA 与△MDC 中⎪⎩
⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠MA MC DCM HAM MDC MHA
∴△MHA ≌△MDC (AAS) ∴CD=A H---① MD=MH 在RT △MHB 与RT △MDB 中 ⎩
⎨⎧==MB MB MD MH ∴△MDB ≌△MHB (HL) ∴BD=BH 又∵AH=AB+BH, ∴AH=AB+B D-② 由①②可得DC=AB+BD (证毕)
反思：在平时数学教学活动中，尤其是几何学的教学，它可以让觉得数学课枯燥无味的学生顿时感兴趣，更是师生互动的一个很好的媒体。
老师与学生一起想办法，也是一种数学情感的体现。
在圆这一章节，很多学生反映难学，难在辅助线多，方法多，同一个问题灵活多变，不同的出发点会得到不同的解题方法。
本题就是一个很好的例子。
对于一个著名的平面几何定理，我们的证明也仅仅是使用了非常常见的“截长补短”，“对称变换”等方法。
在以后的几何教学过程中多总结出一些通用，常见的解题方法这会让学生受益匪浅的，万变不离其宗，才是数学的特点。