模糊数学隶属函数确定
第4章_隶属函数的确定方法
第4章隶属函数的确定方法在模糊理论的应用中，我们面临的首要问题就是建立模糊集的隶属函数。
对于一个特定的模糊集来说，隶属函数不仅基本体现了它所反映的模糊概念的特性，而且通过量化还可以实现相应的数学运算和处理。
因此，“正确地”确定隶属函数是应用模糊理论恰如其分地定量刻划模糊概念的基础，也是利用模糊方法解决各种实际问题的关键。
然而，建立一个能够恰如其分地描述模糊概念的隶属函数，并不是一件容易的事情。
其原因就在于一个模糊概念所表现出来的模糊性通常是人对客观模糊现象的主观反映，隶属函数的形成过程基本上是人的心理过程，人的主观因素和心理因素的影响使得隶属函数的确定呈现出复杂性、多样性，也导致到目前为止如何确定隶属函数尚无定法，没有通用的定理或公式可以遵循。
但即便如此，鉴于隶属函数在模糊理论中的重要地位，确定隶属函数的方法还是受到了特别的重视，至今已经提出了十几种确定隶属函数的方法，而且其中一些方法基本上摆脱了人的主观因素的影响。
本章将选择4种经常使用的、具有代表性的方法予以介绍，它们是：直觉方法，二元对比排序法，模糊统计试验法，最小模糊度法。
4.1 直觉方法直觉的方法就是人们用自己对模糊概念的认识和理解，或者人们对模糊概念的普遍认同来建立隶属函例1、“正好”、“热”和“很热”图1 空气温度的隶属函数例2根据人们对汽车行驶速度中“慢速”、“中速”和“快速”这三个概念的普遍认同，可以给出描图2 汽车行驶速度的隶属函数虽然直觉的方法非常简单，也很直观，但它却包含着对象的背景、环境以及语义上的有关知识，也包含了对这些知识的语言学描述。
因此，对于同一个模糊概念，不同的背景、不同的人可能会建立出不完全相同的隶属函数。
例如，模糊集A = “高个子”的隶属函数。
如果论域是“成年男性”，其隶属函数的曲线如图3(a )所示；而如果论域是“初中一年级男生”，其隶属函数的曲线则为图3(b )所示的情形。
(a) (b)图3 不同论域下“高个子”的隶属函数4.2 二元对比排序法建立一个模糊集的隶属函数，实际上可以看成是对论域中每个元素隶属于某个模糊概念的程度进行比较、排序。
模糊数学1、模糊集、隶属度函数、如何确定隶属度函数
模糊数学1、模糊集、⾪属度函数、如何确定⾪属度函数------------------------2021.3.14更新------------------------------⼀个关于模糊和概率的趣味⼩问题------------------------2021.3.14更新------------------------------------------------------2020.8.17更新------------------------------总算学完了，这懒病改改改了，放⼀下所有的笔记链接集合的概念：⼀些具有相同特征的不同对象构成的全体，也称集或者经典集合。
经典集合的特征函数（和模糊集的⾪属度函数⼀样）：f(x) = \left\{ \begin{array}{l} 1\quad x \in A \\ 0\quad x \notin A \\ \end{array} \right.⼀个经典集合A，它的特征函数为f()，那么怎么判断⼀个新的对象x是不是属于这个集合呢，计算f(x)是0还是1，是1代表属于A，是0代表不属于。
与之对应的是模糊集合，假设A是⼀个模糊集合，它的⾪属度函数是\mu _A ( \cdot )，那么⼀个新的对象x属于A的程度就是\mu _A (x)（是⼀个0到1之间的数）。
⾪属度函数的构造极为重要，⼀般根据这个模糊集的性质相关。
⼀般也把A的⾪属度函数写成A( \cdot )接下来是模糊集的表⽰⽅法，共三种：扎德表⽰法，序偶表⽰法，向量表⽰法。
假设论域U = \left\{ {x_1 ,x_2 , \cdot \cdot \cdot ,x_n }\right\}，模糊集为A，A(x)是x的⾪属度，A( \cdot )是⾪属度函数。
扎德表⽰法容易与加法混淆。
序偶表⽰法与向量表⽰法的含义都⼀样，向量表⽰法更简洁，所以我们⼀般就只⽤向量表⽰法。
⽐如上⾯公式的意思就是每个对象x_i属于模糊集合A的程度（⾪属度）接下来讲⼀讲⾪属度函数的确定。
模糊数学教程第6章 确定隶属函数的方法
iM
m,
i
n
其中 M { i e ; i 1 , 2 , . . . , n } , i
表示集合 M 的元素的个数，而 [0,1] 是事先给
定的标准。 (7)以 m 作为 A(u0 ) 的估计值，或直接计算
1 m n
m
i 1
n
i
,
1 e n
e
i 1
n
i 1 n
i
, 1 , , )是权重向 ( u , u , , u ) U ,( 其中 u 1 n 1 2 n
( u ) [,] 0 1 量，b是一个适当选取的常数，以保证 A
(3)混合型 如果决定 A(u) 的 Ai (ui ) 可分成两部分，一部分是累加 因素，一部分是乘积因素，则可令
用Dephi法确定 A 的隶属函数 A ( u ) 的步骤如下:
~
~
⑴ 提出影响 A 的主要因素，连同较为详尽的资料 发送选定的n位专家，请专家对于取定的 u 0 U , 给 出隶属度 A(u0 ) 的估值 m ⑵设第ｉ位专家第一次给出的估计值为 m i 1 ,2 ,. . . ,n ) . 1 i(
(5) -型分布；
(6) Cauchy-型分布；
用模糊数学处理带有模糊性的问题时 (7) 岭型分布选择适当的模糊分布函数很重要，否 见教材！ 则会脱离实际情况，从而影响效果， 各式中的参数由实际问题决定！
三分法（Trichotomy ） 基本思想：用随机区间的思想来处理模糊性的试 验模型，在某些场合适用此法来求隶属函数。
§6.３ 模糊统计法
模糊统计法简言之即通过模糊试验来得元素 隶属度。模糊试验四个要素： （１）论域Ｕ，所论问题之范围； （２）Ｕ中的一个确定元素ｕ； （３）Ｕ中的一个随机运动的普通集合Ａ*,Ａ* 联系着一个模糊集 A , Ａ*的每一次确定，都是对
确定隶属函数的方法
7
其中mi是第i位专家的估计值，并请每个人标出各自对
所做估计值的信任度，记为 e1,e2, ,en, 这里ei表示第i
位专家对自己的估计的把握程度，并且规定 ei [0,1],第 有绝对把握时， ei＝１；毫无把握时，取ei＝０； 其
它情形，取 0 ei 1.
（６）计算
m
1 M
n
mi ,
iM
其中 M {iei;i1 ,2,...,n },
③中间型 A ( x ) 1, a x b
1
e
(
x
b
)
2
,x
b
a
编辑ppt
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其它常见模糊分布还有 (3) 半梯形分布与梯形分布；
m21,m22, ,m2n
（４）重复２、３步，直至离差值小于或等于预先
给定的标准 0. 设重复k次后，有 d k , 这里 d k 为重复k次后的离差。
(5)将第k次得到的对
A (u 0 )的平均估计值
m
k
和d再交k给各位专家，请他们做最后的“判断”，给出估计
值
m1,m2, ,mn
编辑ppt
对于 m11,m12, ,m1n计算平均值 m 1 和离差 d 1 :
m1
1 n
n i 1
m1i ,
d1
1 n
n i1
m1i
m1
2
编辑ppt
6
（３）不记名将全部数据 m 11,m 12, ,m 1n,m 1,d 1送交 每位专家，同时附上进一步的补充资料，请每位
专家在阅读和思考之后，给出新的估计值：
可暂时使用m , 但要特别注意信息反馈，不断通过
“学习过程”，完 A(u0)m
隶属函数——模糊数学相关
隶属函数正确地确定隶属函数，是运用模糊集合理论解决实际问题的基础。
隶属函数是对模糊概念的定量描述。
我们遇到的模糊概念不胜枚举，然而准确地反映模糊概念的模糊集合的隶属函数，却无法找到统一的模式。
隶属函数的确定过程，本质上说应该是客观的，但每个人对于同一个模糊概念的认识理解又有差异，因此，隶属函数的确定又带有主观性。
一般是根据经验或统计进行确定，也可由专家、权威给出。
例如体操裁判的评分，尽管带有一定的主观性，但却是反映裁判员们大量丰富实际经验的综合结果。
对于同一个模糊概念，不同的人会建立不完全相同的隶属函数，尽管形式不完全相同，只要能反映同一模糊概念，在解决和处理实际模糊信息的问题中仍然殊途同归。
事实上，也不可能存在对任何问题对任何人都适用的确定隶属函数的统一方法，因为模糊集合实质上是依赖于主观来描述客观事物的概念外延的模糊性。
可以设想，如果有对每个人都适用的确定隶属函数的方法，那么所谓的“模糊性”也就根本不存在了。
2.5.1 隶属函数的确定方法这里仅介绍几种常用的方法，不同的方法结果会不同，但检验隶属函数建立是否合适的标准，看其是否符合实际及在实际应用中检验其效果。
1．模糊统计法在有些情况下，隶属函数可以通过模糊统计试验的方法来确定。
这里以张南组等人进行的模糊统计工作为例，简单地介绍这种方法。
图2－5－1 27岁对“青年”隶属频率的稳定性张南纶等人在武汉建材学院，选择129人作抽样试验，让他们独立认真思考了“青年人”的含义后，报出了他们认为最适宜的“青年人”的年龄界限。
由于每个被试者对于“青年人”这一模糊概念理解上的差异，因此区间不完全相同，其结果如表2-5-1所示。
现选取0u =27岁，对“青年人”的隶属频率为）调查人数（）岁的区间数（隶属次数包含n 27=μ （2-5-1）用μ作为27岁对“青年人”的隶属度的近似值，计算结果见表2-5-2。
78.027）＝（青年人μ按这种方法计算出15～36岁对“青年人”的隶属频率，从中确定隶属度。
对模糊隶属函数确定方法的进一步探讨
对模糊隶属函数确定方法的进一步探讨隶属函数的确定不应只侧重于对信息自身模糊性的识别和描述,还应该正确描述主体的心理测度,重视主体认识水平的缺陷。
探讨了用简便可行的隶属函数度量方法来测量人们进行决策时心理测度上的模糊性,给出了具体不同情况下的描述函数,在一定程度上可以更准确地描述信息的模糊性,从而使决策更具有合理性。
标签：隶属函数;模糊分布;心理测度一、引言客观事物均不同程度地存在着不确定性,这种不确定性蕴涵在客观表现及其主观识别之中。
从本质上看,不确定性是主观对于客观而言的,即对客观信息的识别与刻画无不受到主观因素的影响,受到主体心理因素的影响,进而表现为认知水平和描述方法的差异。
而一般的隶属函数确定的方法多从下面两个角度;或侧重于描述信息自身的模糊性、识别和刻画方法的模糊性,或从如何消除减少主观任意性成分来进行研究,而忽视了起决定作用的主体想心理思维模式和判断尺度,使得隶属函数的确定不够完善。
另一方面,随着生产系统、社会系统的大规模化和复杂化,使得人们进行预测与决策变得十分困难。
由于决定预测的准确性及决策成败的关键是人,所以应能正确描述人的心理测度上的模糊性。
对于此类问题,当今决策理论是从理性决策的行为决策两分支进行研究,但在现实实际操作生活中,出现了理性决策与行为决策不相一致的情况。
正是基于这两方面因素考虑,力图应用理性决策与行为决策相结合的思想,通过定性与定量相结合的方法,找到一种能反映主体心理测度的方法,从能够描述存在的现象和避免不应发生的现象出现两个角度进行研究,使信息的模糊隶属描述更具有合理性,使人们在模糊的状态下进行的预测和决策偏差更小。
二、分类描述1.当主体参考事态进行判断时,往往由于过于自信而出现偏差,当事件发生的客观概率在0.5上,而人们又认为或希望它发生,则判断出的隶属度往往高于凭他们的知识和事实本应判断出的值;另一方面,当客观概率小于0.5,而人们又不认为或不希望它会发生,则往往估计偏低。
模糊数学教程第6章确定隶属函数的方法
主观经验法主要依赖于专家的专业知识和经验，通过专家对模糊概念的深入理 解和主观判断，来确定隶属函数的形状、参数和阈值等。这种方法简单易行， 但受限于专家知识和经验的局限性。
统计学习法
总结词
基于数据样本和统计学习理论来确定隶属函数的方法。
详细描述
统计学习法利用已知数据样本，通过统计学习理论和方法，如回归分析、决策树、支持向量机等，来拟合和优化 隶属函数。这种方法客观、科学，但需要足够的数据样本和计算资源。
VS
详细描述
连续性是指隶属函数在定义域内的任何一 点都存在明确的隶属度值，没有跳跃或中 断。连续的隶属函数能够更好地描述模糊 现象，因为模糊现象本身也是连续变化的 。
单调性
总结词
隶属函数应该是单调的，以反映模糊集合的 单调性质。
详细描述
单调性是指随着输入值的增大或减小，隶属 度值也相应增大或减小。单调递增的隶属函 数表示随着输入值的增加，隶属度也逐渐增 加；单调递减的隶属函数则表示随着输入值 的增加，隶属度逐渐减小。
经济效益评价
在经济效益评价中，隶属函数可以用于将各 评价指标的量纲统一，通过计算隶属度来评 价项目的经济效益。
在模糊聚类分析中的应用
模糊聚类算法
隶属函数在模糊聚类算法中起到关键作用，通过计算样本点对各个聚类的隶属度，实现样本点的软分 类。
聚类效果的评估
在模糊聚类分析中，隶属函数可以用于评估聚类效果，通过计算样本点对各个聚类的隶属度分布情况 ，判断聚类的质量和稳定性。
模糊数学教程第6章确定隶属函数 的方法
目 录
• 引言 • 确定隶属函数的方法 • 隶属函数的特性 • 隶属函数的优化 • 隶属函数的应用 • 总结与展望
01 引言
模糊数学中的模糊集合与隶属度函数
模糊数学中的模糊集合与隶属度函数模糊数学是一种基于模糊集合理论的数学方法，用于处理含有不确定性和模糊性的问题。
在模糊数学中，模糊集合和隶属度函数是两个核心概念。
一、模糊集合
模糊集合是对现实世界中不确定性和模糊性的数学描述。
与传统的集合论中的集合不同，模糊集合允许元素以不同的程度属于或不属于集合。
例子：假设我们要描述一个人的年龄，一般的集合描述方法是“20岁”或者“30岁”。
但是在模糊集合中，我们可以用隶属度函数来描述一个人的年龄，如“年轻”、“中年”、“老年”等。
二、隶属度函数
隶属度函数是衡量一个元素对于某个模糊集合的隶属程度的函数。
它定义了元素在0和1之间的值，代表了元素对于该模糊集合的属于程度。
例子：假设我们定义了一个模糊集合“年轻人”，它的隶属度函数可以表示为：
{1, 0≤x≤25
μ(x)= {
{50-2x, 25<x<37.5
其中x表示人的年龄，μ(x)表示年龄x对于“年轻人”的隶属度。
当x 为25岁时，μ(x)的值为1，表示完全属于“年轻人”；当x为37.5岁时，μ(x)的值为0，表示不属于“年轻人”。
通过隶属度函数，我们可以量化元素属于某个模糊集合的程度，从
而进行模糊推理和决策。
结语
模糊集合和隶属度函数是模糊数学中的重要概念，它们为处理现实
世界中的模糊和不确定性问题提供了有力的工具。
通过合理定义模糊
集合和隶属度函数，并运用模糊数学的方法，我们可以更好地处理模
糊问题，提高决策的准确性和可靠性。