2018-2019学年高中数学人教A版选修4-5创新应用教学案：第三讲第1节二维形式的柯西不等式
高中数学 第三讲 3.4排序不等式暑期备课教案 新人教A版选修4-5
课题：书写练习1
课型：新授课
教学目标：1、教会学生正确书写“杏花春雨江南”6个字。2、使学生理解“杏花春雨江南”的意思，并用钢笔写出符合要求的的字。
重点：正确书写6个字。
难点：注意字的结构和笔画的书写。
教学过程：
一、小结课堂内容，评价上次作业。
二、讲解新课：
1、检查学生书写姿势和执笔动作（要求做到“三个一”）。2、书写方法是：写一个字看一眼黑板。（老师读，学生读，加深理解。）3、书写教学“杏花春雨江南”6个字。
板书设计：结构特点（6）宝、穷、写、会、奔
我的思考：使学生更好的把握好字的结构，同时在教师的指导下提高学生辨别能力。激励学生更好的书写。
第（5）课时
课题：怎样写好字
课型：复习课
教学目标：1、让学生能够正确认识，端正态度。
教学过程：
一、正确的学书之路
1．临帖
临帖是学习书法的最根本的方法。古往今来，没有一个书法家是不经临习而成功的，没有一个字写得好的人是不经过临帖的。只有临帖，取法唐楷、晋行、汉隶、秦篆等传统的东西，才会有所获。
二、教学新课
1.讲解以宝盖头、穴字头等作为字头的字
（1）教师讲解字头的书写。（2）学生练习书写，教师指导书写。（3教师根据实际情况小结，提出要求。
2.指导书写例字
（1）出示例字：“宝”：首先要控制好字头，摆正位置，下面的“玉”字占格子的一半以上，特别是最后一横宜稍长，使整个字立正。“穷”：下面的力字宜正，不宜写得太小。（其余字略）（2）学生练习，师巡回指导。3、提出注意点三、讲评：收上学生的作业，进行批改和评比，对写得好的进行表扬，并加盖☆符号章，然后贴在展示板上，向学生展示。
第（1）课时
课题：书法---写字基本知识
高中数学人教A版选修-创新应用教学案第三章
运用复数加、减运算的几何意义应注意的问题 向量加法、减法运算的平行四边形法则和三角形法则是复数加法、减法几何意义的依 据．利用加法“首尾相接”和减法“指向被减数”的特点，在三角形内可求得第三个向量及 其对应的复数．注意向量 AB―→对应的复数是 zB－zA(终点对应的复数减去起点对应的复数)．
练一练 2．复平面内三点 A、B、C，A 点对应的复数为 2＋i，向量 量 对应的复数为 3－i，求点 C 对应的复数． 解：∵ 对应的复数为 1＋2i， 对应的复数为 3－i， ∴ ＝ － 对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i.
6
课下能力提升(九)
学业水平达标练]
题组 1 复数的加、减运算
1．复数(1－i)－(2＋i)＋3i 等于( ) A．－1＋i B．1－i
C．i
D．－i
解析：选 A (1－i)－(2＋i)＋3i
＝(1－2)＋(－1－1＋3)i＝－1＋i.
2．若 z1＝2＋i，z2＝3＋ai(a∈R)，复数 z1＋z2 所对应的点在实轴上，则 a＝( ) A．－2 B．2 C．－1 D．1
(1)求 表示的复数； (2)求 表示的复数； (3)求 B 点对应的复数． [尝试解答] (1)∵ ＝－ ， ∴ 表示的复数为－(3＋2i)， 即－3－2i.
(2)∵ ＝ － ， ∴ 表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.
(3)∵ ＝ ＋ ＝ ＋ ， ∴ 表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i. 即 B 点对应的复数为 1＋6i.
∴Error! 即Error!
∴z1＝2＋2i，z2＝3－8i， ∴z1－z2＝(2＋2i)－(3－8i)＝－1＋10i. 答案：－1＋10i
4．计算：(1)(1＋2i)＋(－2＋i)＋(－2－i)＋(1－2i)；
[推荐学习]2018-2019学年高中数学人教A版选修4-4创新应用教学案：第一讲第1节平面直角坐标
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[核心必知]1．平面直角坐标系 (1)平面直角坐标系的作用通过直角坐标系，平面上的点与坐标(有序实数对)、曲线与方程建立了联系，从而实现了数与形的结合．(2)坐标法解决几何问题的“三部曲”第一步：建立适当坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素，将几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算解决代数问题；第三步：把代数运算结果翻译成几何结论．2．平面直角坐标系中的伸缩变换设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λ·x ，（λ＞0），y ′＝μ·y ，（μ＞0）的作用下，点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．[问题思考]1．用坐标法解决几何问题时，坐标系的建立是否是唯一的？提示：对于同一个问题，可建立不同的坐标系解决，但应使图形上的特殊点尽可能多地落在坐标轴，以便使计算更简单、方便．2．伸缩变换中的系数λ，μ有什么特点？在伸缩变换下，平面直角坐标系是否发生变化？提示：伸缩变换中的系数λ>0，μ>0，在伸缩变换下，平面直角坐标系保持不变，只是对点的坐标进行伸缩变换．已知Rt△ABC，|AB|＝2a(a>0)，求直角顶点C的轨迹方程．[精讲详析]解答此题需要结合几何图形的结构特点，建立适当的平面直角坐标系，然后设出所求动点的坐标，寻找满足几何关系的等式，化简后即可得到所求的轨迹方程．以AB所在直线为x轴，AB的中点为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，则有A(－a，0)，B(a，0)，设顶点C(x，y)．法一：由△ABC是直角三角形可知|AB|2＝|AC|2＋|BC|2，即(2a)2＝(x＋a)2＋y2＋(x－a)2＋y2，化简得x2＋y2＝a2.依题意可知，x≠±a.故所求直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2＝a2(x≠±a)．法二：由△ABC是直角三角形可知AC⊥BC，所以k AC·k BC＝－1，则yx＋a·yx－a＝－1(x≠±a)，化简得直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2＝a2(x≠±a)．法三：由△ABC是直角三角形可知|OC|＝|OB|，且点C与点B不重合，所以x2＋y2＝a(x≠±a)，化简得直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2＝a2(x≠±a)．求轨迹方程，其实质就是根据题设条件，把几何关系通过“坐标”转化成代数关系，得到对应的方程．(1)求轨迹方程的一般步骤是：建系→设点→列式→化简→检验．(2)求轨迹方程时注意不要把范围扩大或缩小，也就是要检验轨迹的纯粹性和完备性．(3)由于观察的角度不同，因此探求关系的方法也不同，解题时要善于从多角度思考问题．1．已知线段AB与CD互相垂直平分于点O，|AB|＝8，|CD|＝4，动点M满足|MA|·|MB|＝|MC|·|MD|，求动点M的轨迹方程．解：以O为原点，分别以直线AB，CD为x轴、y轴建立直角坐标系，则A(－4，0)，B(4，0)，C(0，2)，D(0，－2)．设M(x，y)为轨迹上任一点，则|MA|＝（x＋4）2＋y2，|MB|＝（x－4）2＋y2，|MC|＝x2＋（y－2）2，|MD|＝x2＋（y＋2）2，∴由|MA|·|MB|＝|MC|·|MD|，可得[（x＋4）2＋y2][（x－4）2＋y2]＝[x2＋（y－2）2][x2＋（y＋2）2].化简，得y2－x2＋6＝0.∴点M的轨迹方程为x2－y2＝6.已知△ABC中，AB＝AC，BD、CE分别为两腰上的高．求证：BD＝CE.[精讲详析]本题考查坐标法在几何中的应用．解答本题可通过建立平面直角坐标系，将几何证明问题转化为代数运算问题．如图，以BC 所在直线为x 轴，BC 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系． 设B (－a ，0)，C (a ，0)，A (0，h )．则直线AC 的方程为y ＝－ha x ＋h ，即：hx ＋ay －ah ＝0.直线AB 的方程为y ＝ha x ＋h ，即：hx －ay ＋ah ＝0.由点到直线的距离公式：|BD |＝|2ah |a 2＋h2，|CE |＝|2ah |a 2＋h2，∴|BD |＝|CE |， 即BD ＝CE .(1)建立适当的直角坐标系，将平面几何问题转化为解析几何问题，即“形”转化为“数”，再回到“形”中，此为坐标法的基本思想，务必熟练掌握．(2)建立坐标系时，要充分利用图形的几何特征．例如，中心对称图形，可利用它的对称中心为坐标原点；轴对称图形，可利用它的对称轴为坐标轴；题设中有直角，可考虑以两直角边所在的直线为坐标轴等．2．已知△ABC 中，BD ＝CD ，求证：AB 2＋AC 2＝2(AD 2＋BD 2)． 证明：以A 为坐标原点O ，AB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐系xOy ，则A (0，0)，设B (a ，0)，C (b ，c )，则D (a ＋b 2，c 2)，∴AD 2＋BD 2＝（a ＋b ）24＋c 24＋（a －b ）24＋c 24＝12(a 2＋b 2＋c 2)， AB 2＋AC 2＝a 2＋b 2＋c 2. ∴AB 2＋AC 2＝2(AD 2＋BD 2)．在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝13x ，y ′＝12y后的图形是什么形状？(1)y 2＝2x ；(2)x 2＋y 2＝1.[精讲详析] 本题考查伸缩变换的应用，解答此题需要先根据伸缩变换求出变换后的方程，然后再判断图形的形状．由伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝13x ，y ′＝12y .可知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3x ′，y ＝2y ′.(1)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3x ′，y ＝2y ′代入y 2＝2x ，可得4y ′2＝6x ′，即y ′2＝32x ′.即伸缩变换之后的图形还是抛物线．(2)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3x ′，y ＝2y ′代入x 2＋y 2＝1，得(3x ′)2＋(2y ′)2＝1，即x ′219＋y ′214＝1， 即伸缩变换之后的图形为焦点在y 轴上的椭圆．利用坐标伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λ·x ，（λ>0），y ′＝μ·y ，（μ>0）求变换后的曲线方程，其实质是从中求出⎩⎨⎧x ＝1λx ′，y ＝1μy ′，然后将其代入已知的曲线方程求得关于x ′，y ′的曲线方程．3．将圆锥曲线C 按伸缩变换公式⎩⎪⎨⎪⎧3x ′＝x ，2y ′＝y 变换后得到双曲线x ′2－y ′2＝1，求曲线C 的方程．解：设曲线C 上任意一点P (x ，y )，通过伸缩变换后的对应点为P ′(x ′，y ′)， 由⎩⎪⎨⎪⎧3x ′＝x ，2y ′＝y得⎩⎨⎧x ′＝13x ，y ′＝12y .代入x ′2－y ′2＝1得(x 3)2－(y 2)2＝1，即x 29－y 24＝1为所求．本课时考点常以解答题(多出现在第(1)小问)的形式考查轨迹方程的求法，湖北高考将圆锥曲线的类型讨论同轨迹方程的求法相结合，以解答题的形式考查，是高考命题的一个新热点．[考题印证](湖北高考改编)设A 是单位圆x 2＋y 2＝1上的任意一点，l 是过点A 与x 轴垂直的直线，D 是直线l 与x 轴的交点，点M 在直线l 上，且满足|DM |＝m |DA |(m ＞0，且m ≠1)．当点A 在圆上运动时，记点M 的轨迹为曲线C .求曲线C 的方程，判断曲线C 为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标．[命题立意] 本题考查圆锥曲线的相关知识以及轨迹方程的求法． [解]如图，设M (x ，y )，A (x 0，y 0)，则由|DM |＝m |DA |(m ＞0，且m ≠1)，可得x ＝x 0，|y |＝m |y 0|，所以x 0＝x ，|y 0|＝1m|y |. ①因为A 点在单位圆上运动，所以x 20＋y 20＝1. ②将①式代入②式即得所求曲线C 的方程为x 2＋y 2m2＝1(m ＞0，且m ≠1)．因为m ∈(0，1)∪(1，＋∞)，所以当0＜m ＜1时，曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆， 两焦点坐标分别为(－1－m 2，0)，(1－m 2，0)；当m ＞1时，曲线C 是焦点在y 轴上的椭圆， 两焦点坐标分别为(0，－m 2－1)，(0，m 2－1)．一、选择题1．y ＝cos x 经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝3y 后，曲线方程变为( )A ．y ′＝3cos x ′2 B ．y ′＝3cos 2x ′C ．y ′＝13cos x ′2D ．y ′＝13cos 2x ′解析：选A 由⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝3y 得⎩⎨⎧x ＝12x ′，y ＝13y ′.又∵y ＝cos x ，∴13y ′＝cos x ′2，即y ′＝3cos x ′2. 2．直线2x ＋3y ＝0经伸缩变换后变为x ′＋y ′＝0，则该伸缩变换为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝3yB.⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝3yC.⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝13yD.⎩⎨⎧x ′＝12x ，y ′＝13y 解析：选B 设变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λ·x ，（λ>0）y ′＝μ·y ，（μ>0），将其代入方程x ′＋y ′＝0，得， λx ＋μy ＝0.又∵2x ＋3y ＝0，∴λ＝2，μ＝3.即⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝3y .3．将一个圆作伸缩变换后所得到的图形不可能是( ) A ．椭圆 B ．比原来大的圆 C ．比原来小的圆 D ．双曲线 解析：选D 由伸缩变换的意义可得．4．已知两定点A (－2，0)，B (1，0)，如果动点P 满足|P A |＝2|PB |，则点P 的轨迹所围成的图形的面积等于( )A ．πB ．4πC ．8πD ．9π解析：选B 设P 点的坐标为(x ，y )， ∵|P A |＝2|PB |，∴(x ＋2)2＋y 2＝4[(x －1)2＋y 2]． 即(x －2)2＋y 2＝4.故P 点的轨迹是以(2，0)为圆心，以2为半径的圆， 它的面积为4π. 二、填空题5．将点P (2，3)变换为点P ′(1，1)的一个伸缩变换公式为________．解析：设伸缩变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝hx （h >0）y ′＝kx （k >0），由⎩⎪⎨⎪⎧1＝2h1＝3k，解得⎩⎨⎧h ＝12，k ＝13∴⎩⎨⎧x ′＝x2，y ′＝y 3.答案：⎩⎨⎧x ′＝x 2，y ′＝y36．将对数曲线y ＝log 3x 的横坐标伸长到原来的2倍得到的曲线方程为________． 解析：设P (x ，y )为对数曲线y ＝log 3x 上任意一点，变换后的对应点为P ′(x ′，y ′)，由题意知伸缩变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2xy ′＝y ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12x ′，y ＝y ′.代入y ＝log 3x 得y ′＝log 312x ′，即y ＝log 3x 2.答案：y ＝log 3x27．把圆x 2＋y 2＝16沿x 轴方向均匀压缩为椭圆x ′2＋y ′216＝1，则坐标变换公式是________．解析：设φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λ·x （λ＞0），y ′＝μ·y （μ＞0），则⎩⎨⎧x ＝x ′λ，y ＝y ′μ.代入x 2＋y 2＝16得x ′216λ2＋y ′216μ2＝1.∴16λ2＝1，16μ2＝16. ∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝14，μ＝1.故⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x 4，y ′＝y .答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x 4，y ′＝y8．已知A (2，－1)，B (－1，1)，O 为坐标原点，动点M ，其中m ，n ∈R ，且2m 2－n 2＝2，则M 的轨迹方程为________．解析：设M (x ，y )，则(x ，y )＝m (2，－1)＋n (－1，1)＝(2m －n ，n －m )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2m －n ，y ＝n －m .又2m 2－n 2＝2，消去m ，n 得x 22－y 2＝1.答案：x 22－y 2＝1三、解答题9．在同一平面直角坐标系中，将曲线x 2－36y 2－8x ＋12＝0变成曲线x ′2－y ′2－4x ′＋3＝0，求满足条件的伸缩变换．解：x 2－36y 2－8x ＋12＝0可化为 (x －42)2－9y 2＝1.① x ′2－y ′2－4x ′＋3＝0可化为 (x ′－2)2－y ′2＝1.②比较①②，可得⎩⎨⎧x ′－2＝x －42，y ′＝3y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x 2，y ′＝3y .所以将曲线x 2－36y 2－8x ＋12＝0上所有点的横坐标变为原来的12，纵坐标变为原来的3倍，就可得到曲线x ′2－y ′2－4x ′＋3＝0的图象．10．在正三角形ABC 内有一动点P ，已知P 到三顶点的距离分别为|P A |，|PB |，|PC |，且满足|P A |2＝|PB |2＋|PC |2，求点P 的轨迹方程．解：以BC 的中点为原点，BC 所在的直线为x 轴，BC 的垂直平分线为y 轴，建立如图所示的直角坐标系，设点P (x ，y )，B (－a ，0)，C (a ，0)，A (0，3a )，(y >0，a >0)用点的坐标表示等式|P A |2＝|PB |2＋|PC |2，有x 2＋(y －3a )2＝(x ＋a )2＋y 2＋(x －a )2＋y 2，化简得x 2＋(y ＋3a )2＝(2a )2，即点P 的轨迹方程为x 2＋(y ＋3a )2＝4a 2(y >0)．11．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为33，以原点为圆心、椭圆短半轴长为半径的圆与直线y ＝x ＋2相切．(1)求a 与b ；(2)设该椭圆的左、右焦点分别为F 1和F 2，直线l 1过F 2且与x 轴垂直，动直线l 2与y 轴垂直，l 2交l 1于点P .求线段PF 1的垂直平分线与l 2的交点M 的轨迹方程，并指明曲线类型．解：(1)∴e ＝33， ∴e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝13， ∴b 2a 2＝23. 又圆x 2＋y 2＝b 2与直线y ＝x ＋2相切，∴b ＝21＋1＝ 2. ∴b 2＝2，a 2＝3.因此，a ＝3，b ＝ 2.(2)由(1)知F 1，F 2两点的坐标分别为(－1，0)，(1，0)，由题意可设P (1，t )．那么线段PF 1的中点为N (0，t 2)． 设M (x ，y )，由于MN ―→＝(－x ，t 2－y )， PF 1―→＝(－2，－t )，则⎩⎪⎨⎪⎧MN ―→·PF 1―→＝2x ＋t （y －t 2）＝0y ＝t，消去t 得所求轨迹方程为y 2＝－4x ，曲线类型为抛物线．。
2018-2019高二数学人教A版选修4-5学案：3.3排序不等式导学案 Word版含解析
3.3 排序不等式学习目标1．了解排序不等式的数学思想和背景．2．理解排序不等式的结构与基本原理，会用排序不等式解决简单的不等式问题．一、自学释疑根据线上提交的自学检测，生生、师生交流讨论，纠正共性问题。
二、合作探究思考探究使用排序不等式的关键是什么？名师点拨：1．排序原理的本质含义两组实数序列同方向单调(同时增或同时减)时所得两两乘积之和最大，反方向单调(一增一减)时所得两两乘积之和最小．等号成立的条件是其中至少有一组序列为常数序列．2．排序原理的思想在解答数学问题时常常涉及到一些可以比较大小的量，它们之间并没有预先规定大小顺序，那么在解答问题时，不妨可以把它们按一定顺序排列起来利用排序原理，往往有助于解决问题．3．排序原理的推论对于实数a1，a2，…，a n，设ai1，ai2，…，ai n为其任一个排列，则有a1ai1＋a2ai2＋…＋a n ai n≤a21＋a2＋…＋a2n.4．利用排序不等式求最值的方法利用排序不等式求最值时，先要对待证不等式及已知条件仔细分析，观察不等式的结构，明确两个数组的大小顺序，分清顺序和、乱序和反序和，由于乱序和是不确定的，根据需要写出其中的一个即可．一般最值是顺序和或反序和．5．排序不等式证明不等式的策略(1)利用排序不等式证明不等式时，若已知条件中已给出两组量的大小关系，则需要分析清楚顺序和、乱序和及反序和．利用排序不等式证明即可．(2)若在解答数学问题时，涉及一些可以比较大小的量，它们之间并没有预先规定大小顺序．那么在解答问题时，我们可以利用排序原理将它们按一定顺序排列起来，继而用不等式关系来解题.【例1】某班学生要开联欢会，需要买价格不同的礼品4件，5件及2件，现在选择商品中单价为3元，2元和1元的礼品，问至少要花多少钱？最多要花多少钱？【变式训练1】 设a 1，a 2，a 3为正数，且a 1＋a 2＋a 3＝1，求a1a2a3＋a2a3a1＋a3a1a2的最小值．【例2】 已知a ，b ，c ∈R ＋，求证：a12bc ＋b12ca ＋c12ab≥a 10＋b 10＋c 10.【变式训练2】 已知a ，b ，c 都是正数，求证：1a ＋1b ＋1c ≤a8＋b8＋c8a3b3c3.【例3】 设x >0，求证：1＋x ＋x 2＋…＋x 2n ≥(2n ＋1)x n .【变式训练3】 已知a ，b ，c 为正数，用排序不等式证明：2(a 3＋b 3＋c 3)≥a 2(b ＋c )＋b 2(a ＋c )＋c 2(a ＋b )．参考答案二、合作探究探究1：两组实数序列同方向单调(同时增或同时减)时所得两两乘积之和最大，反方向单调(一增一减)时所得两两乘积之和最小．等号成立的条件是其中至少有一组序列为常数序列．探究2：在解答数学问题时常常涉及到一些可以比较大小的量，它们之间并没有预先规定大小顺序，那么在解答问题时，不妨可以把它们按一定顺序排列起来利用排序原理，往往有助于解决问题．探究3：对于实数a 1，a 2，…，a n ，设ai 1，ai 2，…，ai n 为其任一个排列，则有a 1ai 1＋a 2ai 2＋…＋a n ai n ≤a 21＋a 2＋…＋a 2n .探究4：利用排序不等式求最值时，先要对待证不等式及已知条件仔细分析，观察不等式的结构，明确两个数组的大小顺序，分清顺序和、乱序和反序和，由于乱序和是不确定的，根据需要写出其中的一个即可．一般最值是顺序和或反序和．探究5：(1)利用排序不等式证明不等式时，若已知条件中已给出两组量的大小关系，则需要分析清楚顺序和、乱序和及反序和．利用排序不等式证明即可．(2)若在解答数学问题时，涉及一些可以比较大小的量，它们之间并没有预先规定大小顺序．那么在解答问题时，我们可以利用排序原理将它们按一定顺序排列起来，继而用不等式关系来解题.【例1】【解】 由题意可知，(a 1，a 2，a 3)＝(2,4,5)，(b 1，b 2，b 3)＝(1,2,3)，则花钱最少为：1×5＋2×4＋3×2＝19(元)；花钱最多为：1×2＋2×4＋3×5＝25(元)．【变式训练1】解 不妨设a 3>a 1>a 2>0，则1a3<1a1<1a2， 所以a 1a 2<a 2a 3<a 3a 1.设乱序和S ＝a1a3a3＋a1a2a1＋a3a2a2＝a 1＋a 2＋a 3＝1， 顺序和S ′＝a1a2a3＋a2a3a1＋a3a1a2. 由排序不等式得a1a2a3＋a2a3a1＋a3a1a2≥a 1＋a 2＋a 3＝1. 所以a1a2a3＋a2a3a1＋a3a1a2的最小值为1. 【例2】【分析】 观察需证不等式可以发现左、右两边的次数相等．因此，应该进行适当的拼凑，使其成为积的形式．【证明】 不妨设a ≥b ≥c >0，则1bc ≥1ca ≥1ab>0，且a 12≥b 12≥c 12>0. ∴a12bc ＋b12ca ＋c12ab ≥a12ab ＋b12bc ＋c12ac ＝a11b ＋b11c ＋c11a ≥a11a ＋b11b ＋c11c＝a 10＋b 10＋c 10. 【变式训练2】证明 由于a ，b ，c 的对称性，不妨设a ≥b ≥c >0，则1c ≥1b ≥1a. 因而1b3c3≥1c3a3≥1a3b3. 又a 5≥b 5≥c 5，由排序不等式，得a5b3c3＋b5c3a3＋c5a3b3≥a5c3a3＋b5a3b3＋c5b3c3＝a2c3＋b2a3＋c2b3.又由不等式性质，知a2≥b2≥c2，1c3≥1b3≥1a3.根据排序不等式，得a2 c3＋b2a3＋c2b3≥a2a3＋b2b3＋c2c3＝1a＋1b＋1c.由不等式的传递性知1 a＋1b＋1c≤a5b3c3＋b5c3a3＋c5a3b3＝a8＋b8＋c8a3b3c3.【例3】【分析】题中只给出了x>0，但是对于x≥1，x<1并不确定，因此，需要分类讨论．【证明】(1)当x≥1时，1≤x≤x2≤…≤x n，由排序原理知，1·1＋x·x＋x2·x2＋…＋x n·x n≥x n·1＋x n－1·x＋…＋1·x n，∴1＋x2＋x4＋…＋x2n≥(n＋1)x n.①又∵x，x2，…，x n,1为1，x，x2，…，x n的一个排序，于是由排序原理得1·x＋x·x2＋…＋x n－1·x n＋1·x n≥1·x n ＋x·x n－1＋…＋x n－1·x＋x n·1，∴x＋x3＋…＋x2n－1≥nx n.②①＋②，得1＋x＋x2＋…＋x2n≥(2n＋1)x n.(2)当0<x<1时，1>x>x2>…>x n，同理可得．综合(1)与(2)，所以当x>0时，1＋x＋x2＋…＋x2n≥(2n＋1)x n.【变式训练3】证明取两组数a，b，c；a2，b2，c2.不管a，b，c的大小如何，a3＋b3＋c3都是顺序和，而a2b＋b2c＋c2a，及a2c＋b2a＋c2b都是乱序和．因此，a3＋b3＋c3≥a2b＋b2c＋c2a，a3＋b3＋c3≥a2c＋b2a＋c2b.∴2(a3＋b3＋c3)≥a2(b＋c)＋b2(c＋a)＋c2(a＋b)．。
教育最新K122018-2019学年高中数学人教A版选修4-5教学案：第三讲本讲知识归纳与达标验收
对应学生用书P37 考情分析从近两年高考来看，对本部分内容还未单独考查，可也不能忽视，利用柯西不等式构造“平方和的积”与“积的和的平方”，利用排序不等式证明成“对称”形式，或两端是“齐次式”形式的不等式问题．真题体验1．(陕西高考)设a ，b ，m ，n ∈R ，且 a 2＋b 2＝5，ma ＋nb ＝5，则 m 2＋n 2 的最小值为________．解析：由柯西不等式得(a 2＋b 2)(m 2＋n 2)≥(ma ＋nb )2，将已知代入得m 2＋n 2≥5⇒ m 2＋n 2≥5，当且仅当“a m ＝bn ”时等号成立．答案： 52．(福建高考)已知定义在R 上的函数f (x )＝|x ＋1|＋|x －2|的最小值为a . (1)求a 的值；(2)若p ，q ，r 是正实数，且满足p ＋q ＋r ＝a ，求证：p 2＋q 2＋r 2≥3. 解：(1)因为|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3，当且仅当－1≤x ≤2时，等号成立，所以f (x )的最小值等于3，即a ＝3. (2)由(1)知p ＋q ＋r ＝3，又因为p ，q ，r 是正实数，所以(p 2＋q 2＋r 2)(12＋12＋12)≥(p ×1＋q ×1＋r ×1)2＝(p ＋q ＋r )2＝9， 即p 2＋q 2＋r 2≥3.对应学生用书P37柯西不等式的一般形式为(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(b 21＋b 22＋…＋b 2n )≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a nb n )2(a i ，b i ∈R ，i ＝1,2，…，n )，形式简洁、美观、对称性强，灵活地运用柯西不等式，可以使一些较为困难的不等式证明问题迎刃而解．[例1] 已知a ，b ，c ，d 为不全相等的正数，求证： 1a 2＋1b 2＋1c 2＋1d 2＞1ab ＋1bc ＋1cd ＋1da. [证明] 由柯西不等式(1a 2＋1b 2＋1c 2＋1d 2)(1b 2＋1c 2＋1d 2＋1a 2)≥(1ab ＋1bc ＋1cd ＋1da )2，于是1a 2＋1b 2＋1c 2＋1d 2≥1ab ＋1bc ＋1cd ＋1da ①等号成立⇔1a 1b ＝1b 1c ＝1c 1d ＝1d 1a ⇔b a ＝c b ＝d c ＝ad⇔a ＝b ＝c ＝d .又已知a ，b ，c ，d 不全相等，则①中等号不成立． 即1a 2＋1b 2＋1c 2＋1d 2>1ab ＋1bc ＋1cd ＋1da .排序不等式具有自己独特的体现：多个变量的排列与其大小顺序有关，特别是与多变量间的大小顺序有关的不等式问题，利用排序不等式解决往往很简捷．[例2] 设a ，b ，c 为实数，求证： a 12bc ＋b 12ca ＋c 12ab≥a 10＋b 10＋c 10. [证明] 由对称性，不妨设a ≥b ≥c ， 于是a 12≥b 12≥c 12，1bc ≥1ca ≥1ab .由排序不等式：顺序和≥乱序和得a 12bc ＋b 12ca ＋c 12ab ≥a 12ab ＋b 12bc ＋c 12ca ＝a 11b ＋b 11c ＋c 11a .① 又因为a 11≥b 11≥c 11，1a ≤1b ≤1c ，再次由排序不等式：反序和≤乱序和得 a 11a ＋b 11b ＋c 11c ≤a 11b ＋b 11c ＋c 11a .②由①②得a 12bc ＋b 12ca ＋c 12ab ≥a 10＋b 10＋c 10.有关不等式问题往往要涉及到对式子或量的范围的限定．其中含有多变量限制条件的最值问题往往难以处理．在这类题目中，利用柯西不等式或排序不等式处理往往比较容易．[例3] 已知5a 2＋3b 2＝158，求a 2＋2ab ＋b 2的最大值．[解] ∵⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫552＋⎝⎛⎭⎫332[(5a )2＋(3b )2] ≥⎝⎛⎭⎫55×5a ＋33×3b 2＝(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2，当且仅当5a ＝3b 即a ＝38，b ＝58时取等号．∴815×(5a 2＋3b 2)≥a 2＋2ab ＋b 2. ∴a 2＋2ab ＋b 2≤815×(5a 2＋3b 2)＝815×158＝1. ∴a 2＋2ab ＋b 2的最大值为1.[例4] 已知正实数x 1，x 2，…，x n 满足x 1＋x 2＋…＋x n ＝P ，P 为定值，求F ＝x 21x 2＋x 22x 3＋…＋x 2n －1x n ＋x 2n x 1的最小值． [解]不妨设0<x 1≤x 2≤…≤x n 则1x 1≥1x 2≥…≥1x n>0 且0<x 21≤x 22≤…≤x 2n .∵1x 2，1 x 3，…，1x n ，1x 1为序列{1x n }的一个排列． 根据排序不等式，得F ＝x 21x 2＋x 22x 3＋…＋x 2n －1x n ＋x 2n x 1≥x 21·1x 1＋x 22·1x 2＋…＋x 2n ·1x n＝x 1＋x 2＋…＋x n ＝P (定值)，当且仅当x 1＝x 2＝…＝x n ＝Pn 时取等号．即F ＝x 21x 2＋x 22x 3＋…＋x 2n －1x n ＋x 2nx 1的最小值为P .对应学生用书P51(时间：90分钟，总分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设a ，b ∈R ＋且a ＋b ＝16，则1a ＋1b 的最小值是( )A.14 B ．18C.116D.12解析：(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ≥⎝⎛⎭⎫a ·1a ＋b ·1b 2＝4， ∴1a ＋1b ≥14. 当且仅当a ·1b ＝b ×1a ，即a ＝b ＝8时取等号． 答案：A2．已知2x ＋3y ＋4z ＝10，则x 2＋y 2＋z 2取到最小值时的x ，y ，z 的值为( ) A.53，109，56 B.2029，3029，4029C ．1，12，13D ．1，14，19解析：由柯西不等式得(22＋32＋42)(x 2＋y 2＋z 2)≥(2x ＋3y ＋4z )2， 即x 2＋y 2＋z 2≥10029.当且仅当x 2＝y 3＝z4时，取到最小值，所以联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝y 3＝z 4，2x ＋3y ＋4z ＝10可得x ＝2029，y ＝3029，z ＝4029.答案：B3．已知a ，b ，c 为正数且a ＋b ＋c ＝32，则a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋c 2＋a 2的最小值为( ) A ．4 B ．4 2 C ．6D ．6 2解析：∵a ，b ，c 为正数． ∴ 2a 2＋b 2＝1＋1a 2＋b 2≤a ＋b .同理 2 b 2＋c 2≤b ＋c ， 2 c 2＋a 2≤c ＋a ，相加得 2 (a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋c 2＋a 2)≤2(b ＋c ＋a )＝62，即a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋c 2＋a 2≤6.当且仅当a ＝b ＝c ＝2时取等号．答案：C4．已知(x －1)2＋(y －2)2＝4，则3x ＋4y 的最大值为( ) A ．21 B ．11 C ．18D ．28解析：根据柯西不等式得[(x －1)2＋(y －2)2][32＋42]≥[3(x －1)＋4(y －2)]2＝(3x ＋4y －11)2，∴(3x ＋4y －11)2≤100. 可得3x ＋4y ≤21，当且仅当x －13＝y －24＝25时取等号． 答案：A5．已知：a ，b ，c 为正数，则(a ＋b ＋c )⎝⎛⎭⎫1a ＋b ＋1c 的最小值为( )A ．1 B. 3 C ．3D ．4解析：(a ＋b ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋b ＋1c＝[(a ＋b )2＋(c )2]⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋b 2＋⎝⎛⎭⎫1c 2 ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b ·1a ＋b ＋c ·1c 2＝22＝4. 当且仅当a ＋b ＝c 时取等号． 答案：D6．函数f (x )＝2x －1＋6－3x 的最大值为( ) A.15 B.30 C.1230 D ．215解析：易知x ∈⎣⎡⎦⎤12，2且f (x )>0， ∴f (x )＝2·x －12＋3·2－x≤ [(2)2＋(3)2]⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x －122＋(2－x )2＝5×32＝1230. 当且仅当2·2－x ＝3·x －12，即2(2－x )＝3(x －12)．即x ＝1110时等号成立．答案：C7．设a ，b ，c 为正数，a ＋b ＋4c ＝1，则a ＋b ＋2c 的最大值是( ) A. 5 B. 3 C ．2 3D.32解析：1＝a ＋b ＋4c ＝(a )2＋(b )2＋(2c )2＝13[(a )2＋(b )2＋(2c )2]·(12＋12＋12) ≥(a ＋b ＋2c )2·13，∴(a ＋b ＋2c )2≤3.即当且仅当a ＝b ＝4c 时等式成立，所求为 3. 答案：B8．函数f (x )＝1－cos 2x ＋cos x ，则f (x )的最大值是( ) A. 3 B. 2 C ．1D ．2解析：由f (x )＝1－cos 2x ＋cos x ，所以f (x )＝ 2 sin 2x ＋cos x ≤(2＋1)(sin 2x ＋cos 2x )＝ 3.当且仅当cos x ＝33时取等号． 答案：A9．已知a ＋b ＋c ＝1，且a ，b ，c ∈R ＋，则2a ＋b ＋2b ＋c ＋2c ＋a 的最小值为( )A ．1B ．3C ．6D ．9解析：∵a ＋b ＋c ＝1， ∴2a ＋b ＋2b ＋c ＋2c ＋a＝2(a ＋b ＋c )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋b ＋1b ＋c ＋1c ＋a＝[(a ＋b )＋(b ＋c )＋(c ＋a )]·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋b ＋1b ＋c ＋1c ＋a ≥(1＋1＋1)2＝9.答案：D10．设c 1，c 2，…，c n 是a 1，a 2，…，a n 的某一排列(a 1，a 2，…，a n 均为正数)，则a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a nc n的最小值是( ) A.1n B ．n C ．1D ．不能确定解析：不妨设0＜a 1≤a 2≤…≤a n ，则1a 1≥1a 2≥…≥1a n ，1c 1，1c 2，…，1c n 是1a 1，1a 2，…，1a n的一个排列，又反序和≤乱序和，所以a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a n c n ≥a 1a 1＋a 2a 2＋…＋a na n＝n .答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把正确答案填写在题中横线上) 11．x ，y ∈R ，若x ＋y ＝1，则x 2＋y 2的最小值为________．解析：令a ＝(1,1)，b ＝(x ，y )，则a ·b ＝x ＋y ＝1， 又|a·b |≤|a ||b |， ∴1≤(12＋12)2·(x 2＋y 2)2＝2(x 2＋y 2)．当且仅当x ＝y ＝12时取等号．∴x 2＋y 2≥12.答案：1212．已知A ，B ，C 是三角形三个内角的弧度数，则1A ＋1B ＋1C 的最小值是________．解析：(A ＋B ＋C )⎝⎛⎭⎫1A ＋1B ＋1C ≥(1＋1＋1)2＝9，而A ＋B ＋C ＝π，故1A ＋1B ＋1C ≥9π，当且仅当A ＝B ＝C ＝π3时，等号成立．答案：9π13．函数y ＝22－x ＋2x －3的最大值是________． 解析：y ＝2×4－2x ＋2x －3≤[(2)2＋1](4－2x ＋2x －3)＝ 3.当且仅当x ＝53时取等号．答案： 314．已知a ，b ，x ，y 均为正数，且1a ＞1b ，x ＞y ，则x x ＋a 与yy ＋b 的大小关系是________．解析：∵1a ＞1b ，∴b ＞a ＞0.又x ＞y ＞0，由排序不等式知，bx ＞ay .又x x ＋a －y y ＋b ＝bx －ay (x ＋a )(y ＋b )＞0，∴x x ＋a ＞yy ＋b. 答案：x x ＋a ＞yy ＋b三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)已知实数a ，b ，c 满足a ＋2b ＋c ＝1，a 2＋b 2＋c 2＝1，求证：－23≤c ≤1. 证明：因为a ＋2b ＋c ＝1，a 2＋b 2＋c 2＝1， 所以a ＋2b ＝1－c ，a 2＋b 2＝1－c 2.由柯西不等式：(12＋22)(a 2＋b 2)≥(a ＋2b )2， 5(1－c 2)≥(1－c )2，整理得，3c 2－c －2≤0，解得－23≤c ≤1.∴－23≤c ≤1.16．(本小题满分12分)求函数y ＝1－sin x ＋4sin x －1的最大值． 解：由1－sin x ≥0,4sin x －1≥0， 得14≤sin x ≤1， 则y 2＝⎝⎛⎭⎫1－sin x ＋2sin x －142≤(1＋4)⎝⎛⎭⎫1－sin x ＋sin x －14 ＝154，即y ≤152， 当且仅当4(1－sin x )＝sin x －14即sin x ＝1720时等号成立，所以函数y ＝1－sin x ＋4sin x －1的最大值为152. 17．(本小题满分12分)设a ，b ，c ∈R ＋， 求证：a 2b ＋c ＋b 2c ＋a ＋c 2a ＋b≥a ＋b ＋c 2.证明：∵[(b ＋c )＋(c ＋a )＋(a ＋b )]⎝ ⎛⎭⎪⎫a2b ＋c ＋b 2c ＋a ＋c 2a ＋b ≥⎝⎛⎭⎪⎫b ＋c ·a b ＋c ＋c ＋a ·b c ＋a ＋a ＋b ·c a ＋b 2＝(a ＋b ＋c )2，即2(a ＋b ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2b ＋c ＋b 2c ＋a ＋c 2a ＋b ≥(a ＋b ＋c )2.又∵a ，b ，c ∈R ＋，∴a 2b ＋c ＋b 2c ＋a ＋c 2a ＋b≥a ＋b ＋c 2.18．(本小题满分12分)(1)已知：a ，b ∈R ＋，a ＋b ＝4，证明：1a ＋1b≥1；(2)已知： a ，b ，c ∈R ＋，a ＋b ＋c ＝9，证明：1a ＋1b ＋1c ≥1；并类比上面的结论，写出推广后的一般性结论(不需证明)．证明：(1)根据柯西不等式： (a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b≥⎝⎛⎭⎫a ·1a ＋b ·1b 2＝4，∵a ＋b ＝4， ∴1a ＋1b≥1. (2)根据柯西不等式： (a ＋b ＋c )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＋1c≥⎝⎛⎭⎫a ·1a ＋b ·1b ＋c ·1c 2＝9，∵a ＋b ＋c ＝9， ∴1a ＋1b ＋1c ≥1. 可以推广：若a 1＋a 2＋…＋a n ＝n 2， 则1a 1＋1a 2＋…＋1a n≥1.小学+初中+高中小学+初中+高中。
人教版2019版高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式复习课学案新人教A版选修4_5
第三讲 柯西不等式与排序不等式复习课学习目标 1.梳理本专题主要知识，构建知识网络.2.进一步理解柯西不等式，熟练掌握柯西不等式的各种形式及应用技巧.3.理解排序不等式及应用.4.进一步体会柯西不等式与排序不等式所蕴含的数学思想及方法．1．二维形式的柯西不等式(1)二维形式的柯西不等式：若a ，b ，c ，d 都是实数，则(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2. (2)柯西不等式的向量形式：设α，β是两个向量，则|α·β|≤|α||β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k ，使α＝k β时，等号成立．(3)二维形式的三角不等式：设x 1，y 1，x 2，y 2∈R ，那么x21＋y21＋x22＋y22≥错误!. 2．一般形式的柯西不等式设a 1，a 2，a 3，…，a n ，b 1，b 2，b 3，…，b n 是实数，则(a 21＋a 2＋…＋a 2n )(b 21＋b 2＋…＋b 2n )≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2.当且仅当b i ＝0(i ＝1,2，…，n )或存在一个数k ，使得a i＝kb i (i ＝1,2，…，n )时，等号成立． 3．排序不等式设a 1≤a 2≤…≤a n ，b 1≤b 2≤…≤b n 为两组实数，c 1，c 2，…，c n 是b 1，b 2，…，b n 的任一排列，则a 1b n ＋a 2b n －1＋…＋a n b 1≤a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a n c n ≤a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a nb n .类型一 利用柯西不等式证明不等式例1 已知a ，b ，c ，d 为不全相等的正数，求证：1a2＋1b2＋1c2＋1d2＞1ab ＋1bc ＋1cd ＋1da .证明 由柯西不等式知，⎝ ⎛⎭⎪⎫1a2＋1b2＋1c2＋1d2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1b2＋1c2＋1d2＋1a2≥⎝ ⎛⎭⎪⎫1ab ＋1bc ＋1cd ＋1da 2，于是1a2＋1b2＋1c2＋1d2≥1ab ＋1bc ＋1cd ＋1da .①等号成立⇔1a 1b ＝1b 1c ＝1c 1d ＝1d1a⇔b a ＝c b ＝d c ＝ad⇔a ＝b ＝c ＝d . 又已知a ，b ，c ，d 不全相等，则①中等号不成立． 即1a2＋1b2＋1c2＋1d2＞1ab ＋1bc ＋1cd ＋1da . 反思与感悟 利用柯西不等式证题的技巧(1)柯西不等式的一般形式为(a 21＋a 2＋…＋a 2n )·(b 21＋b 2＋…＋b 2n )≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a nb n )2(a i ，b i ∈R ，i ＝1,2，…，n )，形式简洁、美观、对称性强，灵活地运用柯西不等式，可以使一些较为困难的不等式的证明问题迎刃而解．(2)利用柯西不等式证明其他不等式的关键是构造两组数，并向着柯西不等式的形式进行转化，运用时要注意体会．跟踪训练1 若n 是不小于2的正整数，求证：47＜1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＜22.证明 1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋13＋...＋12n －2⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋14＋ (12)＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n， 所以求证式等价于47＜1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ＜22.由柯西不等式，有⎝⎛⎭⎪⎫1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n [(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋2n ]＞n 2，于是1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ＞错误!＝2n 3n ＋1＝23＋1n ≥23＋12＝47，又由柯西不等式，有1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n＜错误! ＜n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －12n ＝22.综上，47＜1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＜22.类型二 利用排序不等式证明不等式例2 设A ，B ，C 表示△ABC 的三个内角弧度数，a ，b ，c 表示其对边，求证：aA ＋bB ＋cC a ＋b ＋c ≥π3. 证明 不妨设0＜a ≤b ≤c ，于是A ≤B ≤C . 由排序不等式，得aA ＋bB ＋cC ＝aA ＋bB ＋cC ， aA ＋bB ＋cC ≥bA ＋cB ＋aC ， aA ＋bB ＋cC ≥cA ＋aB ＋bC .相加，得3(aA ＋bB ＋cC )≥(a ＋b ＋c )·(A ＋B ＋C ) ＝π(a ＋b ＋c )，得aA ＋bB ＋cC a ＋b ＋c ≥π3.引申探究若本例条件不变，求证：aA ＋bB ＋cC a ＋b ＋c ＜π2.证明 不妨设0＜a ≤b ≤c ，于是A ≤B ≤C . 由0＜b ＋c －a,0＜a ＋b －c,0＜a ＋c －b ， 有0＜A (b ＋c －a )＋C (a ＋b －c )＋B (a ＋c －b ) ＝a (B ＋C －A )＋b (A ＋C －B )＋c (A ＋B －C ) ＝a (π－2A )＋b (π－2B )＋c (π－2C ) ＝(a ＋b ＋c )π－2(aA ＋bB ＋cC )． 得aA ＋bB ＋cC a ＋b ＋c ＜π2.反思与感悟 利用排序不等式证明不等式的策略(1)在利用排序不等式证明不等式时，首先考虑构造出两个合适的有序数组，并能根据需要进行恰当地组合．这需要结合题目的已知条件及待证不等式的结构特点进行合理选择．(2)根据排序不等式的特点，与多变量间的大小顺序有关的不等式问题，利用排序不等式解决往往很简捷．跟踪训练2 设a ，b ，c 为正数，求证：a12bc ＋b12ca ＋c12ab ≥a 10＋b 10＋c 10.证明 由a ，b ，c 的对称性，不妨设a ≥b ≥c ， 于是a 12≥b 12≥c 12，1bc ≥1ca ≥1ab .由排序不等式，得a12bc ＋b12ca ＋c12ab ≥a12ab ＋b12bc ＋c12ca ＝a11b ＋b11c ＋c11a .①又因为a 11≥b 11≥c 11，1a ≤1b ≤1c ，再次由排序不等式，得a11a ＋b11b ＋c11c ≤a11b ＋b11c ＋c11a . ②由①②得a12bc ＋b12ca ＋c12ab ≥a 10＋b 10＋c 10.类型三 利用柯西不等式或排序不等式求最值例3 (1)求实数x ，y 的值使得(y －1)2＋(x ＋y －3)2＋(2x ＋y －6)2达到最小值． (1)解 由柯西不等式，得(12＋22＋12)×[(y －1)2＋(3－x －y )2＋(2x ＋y －6)2] ≥[1×(y －1)＋2×(3－x －y )＋1×(2x ＋y －6)]2＝1， 即(y －1)2＋(x ＋y －3)2＋(2x ＋y －6)2≥16，当且仅当y －11＝3－x －y 2＝2x ＋y －61，即x ＝52，y ＝56时，上式取等号．故x ＝52，y ＝56.(2)设a 1，a 2，a 3，a 4，a 5是互不相同的正整数，求M ＝a 1＋a222＋a332＋a442＋a552的最小值．解 设b 1，b 2，b 3，b 4，b 5是a 1，a 2，a 3，a 4，a 5的一个排列，且b 1＜b 2＜b 3＜b 4＜b 5. 因此b 1≥1，b 2≥2，b 3≥3，b 4≥4，b 5≥5. 又1≥122≥132≥142≥152.由排序不等式，得a 1＋a222＋a332＋a442＋a552≥b 1＋b222＋b332＋b442＋b552≥1×1＋2×122＋3×132＋4×142＋5×152＝1＋12＋13＋14＋15＝13760.即M 的最小值为13760.反思与感悟 利用柯西或排序不等式求最值的技巧(1)有关不等式问题往往要涉及对式子或量的范围的限定，其中含有多变量限制条件的最值问题往往难以处理．在这类题目中，利用柯西不等式或排序不等式处理往往比较容易． (2)在利用柯西不等式或排序不等式求最值时，要关注等号成立的条件，不能忽略． 跟踪训练3 已知正数x ，y ，z 满足x ＋y ＋z ＝xyz ，且不等式1x ＋y ＋1y ＋z ＋1z ＋x ≤λ恒成立，求λ的取值范围． 解1x ＋y ＋1y ＋z ＋1z ＋x ≤12xy ＋12yz ＋12zx＝12⎝⎛⎭⎪⎫1×zx ＋y ＋z＋1×xx ＋y ＋z＋1×y x ＋y ＋z≤12错误!12＝错误!. 故λ的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞.1．函数y ＝21－x ＋2x ＋1的最大值为( ) A. 3 B ．－ 3 C ．－3 D ．3答案 D解析 y 2＝(2·2－2x ＋1·2x ＋1)2≤[(2)2＋12][(2－2x)2＋(2x ＋1)2] ＝3×3＝9.∴y ≤3，y 的最大值为3.2．已知实数a ，b ，c ，d 满足a ＋b ＋c ＋d ＝3，a 2＋2b 2＋3c 2＋6d 2＝5，则a 的最大值是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 B解析 ∵(2b 2＋3c 2＋6d 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋13＋16≥(b ＋c ＋d )2，即2b 2＋3c 2＋6d 2≥(b ＋c ＋d )2. ∴5－a 2≥(3－a )2. 解得1≤a ≤2.验证：当a ＝2时，等号成立．3．已知2x ＋3y ＋4z ＝10，则x 2＋y 2＋z 2取到最小值时的x ，y ，z 的值为( ) A.53，109，56 B.2029，3029，4029C ．1，12，13D ．1，14，19答案 B解析 由柯西不等式得(22＋32＋42)(x 2＋y 2＋z 2)≥(2x ＋3y ＋4z )2， 即x 2＋y 2＋z 2≥10029.当且仅当x 2＝y 3＝z4时，等号成立，所以联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝y 3＝z 4，2x ＋3y ＋4z ＝10，可得x ＝2029，y ＝3029，z ＝4029.4．设a ，b ，c 都是正数，求证：bc a ＋ca b ＋abc ≥a ＋b ＋c .证明 不妨设a ≥b ≥c ＞0， 则1a ≤1b ≤1c，ab ≥ac ≥bc ， ∵bc a ＋ac b ＋ab c ≥bc c ＋ac a ＋abb ＝a ＋b ＋c ， ∴bc a ＋ac b ＋abc≥a ＋b ＋c .1．对于柯西不等式要特别注意其向量形式的几何意义，从柯西不等式的几何意义出发就得到了三角形式的柯西不等式，柯西不等式的一般形式也可以写成向量形式． 2．参数配方法是由旧知识得到的新方法，注意体会此方法的数学思想．3．对于排序不等式要抓住它的本质含义：两实数序列同方向单调(同时增或同时减)时所得两两乘积之和最大，反方向单调(一增一减)时所得两两乘积之和最小，注意等号成立条件是其中一序列为常数序列．4．数学建模是数学学习中的一种新形式，它为学生提供了自己学习的空间，有助于学生了解数学在实际生活中的应用，体会数学与日常生活及其他学科的联系．一、选择题1．已知a ，b 是给定的正数，则4a2sin2α＋b2cos2α的最小值为( )A ．2a 2＋b 2B ．2abC ．(2a ＋b )2D ．4ab答案 C 解析4a2sin2α＋b2cos2α＝(sin 2α＋cos 2α)⎝ ⎛⎭⎪⎫4a2sin2α＋b2cos2α≥⎝⎛⎭⎪⎫sin α·2a sin α＋cos α·b cos α2＝(2a ＋b )2， 当且仅当sin α·b cos α＝cos α·2asin α时，等号成立．故4a2sin2α＋b2cos2α的最小值为(2a ＋b )2.2．已知a ，b ，c 为正数且a ＋b ＋c ＝32，则a2＋b2＋b2＋c2＋c2＋a2的最小值为( )A ．4B ．42C ．6D ．6 2 答案 C解析 ∵a ，b ，c 为正数，∴2a2＋b2＝1＋1a2＋b2≥a ＋b .同理2b2＋c2≥b ＋c ，2c2＋a2≥c ＋a ， 相加得2(a2＋b2＋b2＋c2＋c2＋a2) ≥2(b ＋c ＋a )＝62，即a2＋b2＋b2＋c2＋c2＋a2≥6， 当且仅当a ＝b ＝c ＝2时取等号．3．已知(x －1)2＋(y －2)2＝4，则3x ＋4y 的最大值为( ) A ．21 B ．11 C ．18 D ．28答案 A解析 根据柯西不等式，得[(x －1)2＋(y －2)2][32＋42]≥[3(x －1)＋4(y －2)]2＝(3x ＋4y －11)2， ∴(3x ＋4y －11)2≤100. 可得3x ＋4y ≤21，当且仅当x －13＝y －24＝25时取等号． 4．已知x ，y ，z 是非负实数，若9x 2＋12y 2＋5z 2＝9，则函数u ＝3x ＋6y ＋5z 的最大值是( )A ．9B ．10C ．14D ．15 答案 A解析 ∵(3x ＋6y ＋5z )2≤[12＋(3)2＋(5)2]·[(3x )2＋(23y )2＋(5z )2]＝9(9x 2＋12y 2＋5z 2)＝81，当且仅当3x ＝2y ＝z 时，等号成立． 故u ＝3x ＋6y ＋5z 的最大值为9.5．已知x ，y ，z ∈R ＋，且1x ＋2y ＋3z ＝1，则x ＋y 2＋z3的最小值为( )A ．5B ．6C ．8D ．9 答案 D解析 由柯西不等式知，⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2y ＋3z ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 2＋z 3≥(1＋1＋1)2＝9，因为1x ＋2y ＋3z ＝1，所以x ＋y 2＋z3≥9.即x ＋y 2＋z3的最小值为9.6．设c 1，c 2，…，c n 是a 1，a 2，…，a n 的某一排列(a 1，a 2，…，a n 均为正数)，则a1c1＋a2c2＋…＋ancn 的最小值是( ) A ．n B.1n C.nD ．2n答案 A解析 不妨设a 1≥a 2≥…≥a n ＞0， 则1a1≤1a2≤…≤1an ， 由排序不等式知，a1c1＋a2c2＋…＋an cn ≥a 1·1a1＋a 2·1a2＋…＋a n ·1an ＝n . 二、填空题7．设a ，b ，c ，d ，m ，n ∈R ＋，P ＝ab ＋cd ，Q ＝am ＋nc ·b m ＋dn，则P ，Q 的大小关系为________． 答案 P ≤Q解析 由柯西不等式得P ＝am·b m ＋nc·dn ≤am ＋nc ·b m ＋dn＝Q ，当且仅当am·dn ＝nc·bm时，等号成立，∴P ≤Q .8．设x ，y ，z ∈R ，若x 2＋y 2＋z 2＝4，则x －2y ＋2z 的最小值为________． 答案 －6解析 由柯西不等式，得(x 2＋y 2＋z 2)[12＋(－2)2＋22]≥(x －2y ＋2z )2， 故(x －2y ＋2z )2≤4×9＝36.当且仅当x 1＝y －2＝z 2＝k ，k ＝±23时，上式取得等号，当k ＝－23时，x －2y ＋2z 取得最小值－6.9．已知点P 是边长为23的等边三角形内一点，它到三边的距离分别为x ，y ，z ，则x ，y ，z 所满足的关系式为________，x 2＋y 2＋z 2的最小值是________．答案 x ＋y ＋z ＝3 3解析 利用三角形面积相等，得 12×23(x ＋y ＋z )＝34×(23)2， 即x ＋y ＋z ＝3.由(1＋1＋1)(x 2＋y 2＋z 2)≥(x ＋y ＋z )2＝9， 得x 2＋y 2＋z 2≥3，当且仅当x ＝y ＝z ＝1时取等号．10．若a ，b ，c ∈R ，设x ＝a 3＋b 3＋c 3，y ＝a 2b ＋b 2c ＋c 2a ，则x ，y 的大小关系为________． 答案 x ≥y解析 取两组数a ，b ，c ；a 2，b 2，c 2.不管a ，b ，c 的大小顺序如何，a 3＋b 3＋c 3都是顺序和，a 2b ＋b 2c ＋c 2a 都是乱序和，a 3＋b 3＋c 3≥a 2b ＋b 2c ＋c 2a . 三、解答题11．(2018·江苏)若x ，y ，z 为实数，且x ＋2y ＋2z ＝6，求x 2＋y 2＋z 2的最小值． 解 由柯西不等式，得(x 2＋y 2＋z 2)(12＋22＋22)≥(x ＋2y ＋2z )2. 因为x ＋2y ＋2z ＝6，所以x 2＋y 2＋z 2≥4， 当且仅当x 1＝y 2＝z2时，不等式取等号，此时x ＝23，y ＝43，z ＝43，所以x 2＋y 2＋z 2的最小值为4.12．已知a ，b ，c 为正数，求证：b2c2＋c2a2＋a2b2a ＋b ＋c ≥abc .证明 考虑到正数a ，b ，c 的对称性，不妨设a ≥b ≥c >0， 则1a ≤1b ≤1c，bc ≤ca ≤ab ， 由排序不等式知，顺序和≥乱序和， ∴bc a ＋ca b ＋ab c ≥ab b ＋bc c ＋ca a ， 即b2c2＋c2a2＋a2b2abc≥a ＋b ＋c .∵a，b，c为正数，∴两边同乘以abca＋b＋c，得b2c2＋c2a2＋a2b2a＋b＋c≥abc.13．设a ，b ，c ，d ∈R ＋，令S ＝a a ＋d ＋b ＋b b ＋c ＋a ＋c c ＋d ＋b ＋d d ＋a ＋c，求证：1＜S ＜2.证明 首先证明b a ＜b ＋m a ＋m(a ＞b ＞0，m ＞0)． 因为b a －b ＋m a ＋m＝错误! ＝错误!＜0，所以S ＝a a ＋d ＋b ＋b b ＋c ＋a ＋c c ＋d ＋b ＋d d ＋a ＋c＜错误!＋错误!＋错误!＋错误!＝错误!＝2，所以S ＜2.又S ＞a a ＋b ＋d ＋c ＋b b ＋c ＋a ＋d ＋c c ＋d ＋b ＋a＋ d d ＋a ＋c ＋b ＝a ＋b ＋c ＋d a ＋b ＋c ＋d＝1， 所以1＜S ＜2.四、探究与拓展14．已知5a 2＋3b 2＝158，则a 2＋2ab ＋b 2的最大值为________． 答案 1解析 ∵⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫552＋⎝ ⎛⎭⎪⎫332[(5a )2＋(3b )2] ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫55×5a ＋33×3b 2＝(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2， 当且仅当5a ＝3b ，即a ＝38，b ＝58时取等号． ∴815×(5a 2＋3b 2)≥a 2＋2ab ＋b 2. ∴a 2＋2ab ＋b 2≤815×(5a 2＋3b 2)＝815×158＝1. ∴a 2＋2ab ＋b 2的最大值为1.15．已知a ，b ，c 均为实数，且a ＋b ＋c ＋2－2m ＝0，a 2＋14b 2＋19c 2＋m －1＝0.(1)求证：a 2＋14b 2＋19c 2≥错误!； (2)求实数m 的取值范围．(1)证明 由柯西不等式得⎣⎢⎡⎦⎥⎤a2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13c 2·(12＋22＋32)≥(a ＋b ＋c )2，当且仅当a ＝14b ＝19c 时，等号成立， 即⎝⎛⎭⎪⎫a2＋14b2＋19c2×14≥(a ＋b ＋c )2， ∴a 2＋14b 2＋19c 2≥错误!. (2)解 由已知得a ＋b ＋c ＝2m －2，a 2＋14b 2＋19c 2＝1－m ，∴由(1)可知，14(1－m )≥(2m －2)2，即2m 2＋3m －5≤0，解得－52≤m ≤1. 又∵a 2＋14b 2＋19c 2＝1－m ≥0，∴m ≤1， ∴－52≤m ≤1. 即实数m 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，1.。
[推荐学习]2018-2019学年高中数学人教A版选修4-5教学案：第三讲三排序不等式
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对应学生用书P35 1．顺序和、乱序和、反序和设a 1≤a 2≤…≤a n ，b 1≤b 2≤…≤b n 为两组实数，c 1，c 2，…，c n 为b 1，b 2，…，b n 的任一排列，称a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n 为这两个实数组的顺序积之和(简称顺序和)，称a 1b n ＋a 2b n－1＋…＋a n b 1为这两个实数组的反序积之和(简称反序和)．称a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a n c n 为这两个实数组的乱序积之和(简称乱序和)．2．排序不等式(排序原理)定理：(排序原理，又称为排序不等式) 设a 1≤a 2≤…≤a n ，b 1≤b 2≤…≤b n 为两组实数，c 1，c 2，…，c n 为b 1，b 2，…，b n 的任一排列，则有a 1b n ＋a 2b n －1＋…＋a n b 1≤a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a n c n ≤a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ，等号成立(反序和等于顺序和)⇔a 1＝a 2＝…＝a n 或b 1＝b 2＝…＝b n .排序原理可简记作：反序和≤乱序和≤顺序和．[说明] 排序不等式也可以理解为两实数序列同向单调时，所得两两乘积之和最大；反向单调(一增一减)时，所得两两乘积之和最小．对应学生用书P35[例1] 已知a ，b ，c 为正数，且a ≥b ≥c ，求证： a 5b 3c 3＋b 5c 3a 3＋c 5a 3b 3≥1a ＋1b ＋1c. [思路点拨] 分析题目中已明确a ≥b ≥c ，所以解答本题时可直接构造两个数组，再用排序不等式证明即可．[证明] ∵a ≥b >0，于是1a ≤1b ，又c >0，从而1bc ≥1ca ，同理1ca ≥1ab ，从而1bc ≥1ca ≥1ab .又由于顺序和不小于乱序和，故可得 a 5b 3c 3＋b 5c 3a 3＋c 5a 3b 3≥b 5b 3c 3＋c 5c 3a 3＋a 5a 3b 3 ＝b 2c 3＋c 2a 3＋a 2b 3⎝⎛⎭⎫∵a 2≥b 2≥c 2，1c 3≥1b 3≥1a 3 ≥c 2c 3＋a 2a 3＋b 2b 3＝1c ＋1a ＋1b ＝1a ＋1b ＋1c. 所以原不等式成立．利用排序不等式证明不等式的技巧在于仔细观察、分析所要证明的式子的结构，从而正确地构造出不等式中所需要的带有大小顺序的两个数组．1．已知0<α<β<γ<π2，求证：sin αcos β＋sin βcos γ＋sin γ·cos α>12(sin 2α＋sin 2β＋sin 2γ)．证明：∵0<α<β<γ<π2，且y ＝sin x 在⎝⎛⎭⎫0，π2为增函数，y ＝cos x 在⎝⎛⎭⎫0，π2为减函数， ∴0<sin α<sin β<sin γ，cos α>cos β>cos γ>0.∴sin αcos β＋sin βcos γ＋sin γcos α>sin αcos α＋sin βcos β＋sin γcos γ＝12(sin 2α＋sin 2β＋sin 2γ)．2．设x ≥1，求证：1＋x ＋x 2＋…＋x 2n ≥(2n ＋1)x n . 证明：∵x ≥1，∴1≤x ≤x 2≤……≤x n . 由排序原理得12＋x 2＋x 4＋…＋x 2n ≥1·x n ＋x ·x n －1＋…＋x n －1·x ＋x n ·1 即1＋x 2＋x 4＋…＋x 2n n ≥(n ＋1)x n .①又因为x ，x 2，…，x n,1为1，x ，x 2，…，x n 的一个排列由排序原理得：1·x ＋x ·x 2＋…＋x n －1·x n ＋x n ·1 ≥1·x n ＋x ·x n －1＋…＋x n －1·x ＋x n ·1 得x ＋x 3＋…＋x 2n －1＋x n ≥(n ＋1)x n ② 将①②相加得1＋x ＋x 2＋…＋x 2n ≥(2n ＋1)x n .[例2] 在△ABC 中，试证：π3≤aA ＋bB ＋cC a ＋b ＋c[思路点拨] 可构造△ABC 的边和角的有序数列，应用排序不等式来证明． [证明] 不妨设a ≤b ≤c ，于是A ≤B ≤C . 由排序不等式，得aA ＋bB ＋cC ≥aA ＋bB ＋cC ， aA ＋bB ＋cC ≥bA ＋cB ＋aC ， aA ＋bB ＋cC ≥cA ＋aB ＋bC .相加，得3(aA ＋bB ＋cC )≥(a ＋b ＋c )(A ＋B ＋C ) ＝π(a ＋b ＋c )，得aA ＋bB ＋cCa ＋b ＋c≥π3.在排序不等式的条件中需要限定各数值的大小关系，对于没有给出大小关系的情况，要根据各字母在不等式中地位的对称性，限定一种大小关系．3．设a ，b ，c 都是正数，求证：bc a ＋ca b ＋abc ≥a ＋b ＋c .证明：由题意不妨设a ≥b ≥c ＞0，由不等式的单调性，知ab ≥ac ≥bc ，1c ≥1b ≥1a .由排序不等式，知 ab ×1c ＋ac ×1b ＋bc ×1a≥ab ×1b ＋ac ×1a ＋bc ×1c，即所证不等式bc a ＋ca b ＋abc ≥a ＋b ＋c 成立．4．设a 1，a 2，…，a n 是1,2，…，n 的一个排列， 求证：12＋23＋…＋n －1n ≤a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n.证明：设b 1，b 2，…，b n －1是a 1，a 2，…，a n －1的一个排列，且b 1<b 2<…<b n －1；c 1，c 2，…，c n －1是a 2，a 3，…，a n 的一个排列，且c 1<c 2<…<c n －1，则1c 1>1c 2>…>1c n －1且b 1≥1，b 2≥2，…，b n －1≥n －1，c 1≤2，c 2≤3，…，c n －1≤n . 利用排序不等式，有a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n ≥b 1c 1＋b 2c 2＋…＋b n －1c n －1≥12＋23＋…＋n －1n . ∴原不等式成立．对应学生用书P361．有一有序数组，其顺序和为A ，反序和为B ，乱序和为C ，则它们的大小关系为( ) A ．A ≥B ≥C B ．A ≥C ≥B C ．A ≤B ≤CD ．A ≤C ≤B解析：由排序不等式，顺序和≥乱序和≥反序和知；A ≥C ≥B . 答案：B2．若A ＝x 21＋x 22＋…＋x 2n ，B ＝x 1x 2＋x 2x 3＋…＋x n －1x n ＋x n x 1其中x 1x 2，…，x n 都是正数，则A 与B 的大小关系为( )A ．A >B B ．A <BC ．A ≥BD ．A ≤B解析：依序列{x n }的各项都是正数，不妨设0＜x 1≤x 2≤…≤x n 则x 2，x 3，…，x n ，x 1为序列{x n } 的一个排列．依排序原理，得x 1x 1＋x 2x 2＋…＋x n x n ≥x 1x 2＋x 2x 3＋…＋x n x 1，即x 21＋x 22＋…＋x 2n ≥x 1x 2＋x 2x 3＋…＋x n x 1.答案：C3．锐角三角形中，设P ＝a ＋b ＋c2，Q ＝a cos C ＋b cos B ＋c cos A ，则P ，Q 的关系为( )A ．P ≥QB ．P ＝QC ．P ≤QD ．不能确定解析：不妨设A ≥B ≥C ，则a ≥b ≥c ，cos A ≤cos B ≤cos C ，则由排序不等式有Q ＝a cos C ＋b cos B ＋c cos A ≥a cos B ＋b cos C ＋c cos A＝R (2sin A cos B ＋2sin B cos C ＋2sin C cos A ) ＝R [sin(A ＋B )＋sin(B ＋C )＋sin(A ＋C )] ＝R (sin C ＋sin A ＋sin B )＝P ＝a ＋b ＋c2.答案：C4．儿子过生日要老爸买价格不同的礼品1件、2件及3件，现在选择商店中单价为13元、20元和10元的礼品，至少要花________钱．( )A ．76元B ．20元C ．84元D ．96元解析：设a 1＝1(件)，a 2＝2(件)，a 3＝3(件)，b 1＝10(元)，b 2＝13(元)，b 3＝20(元)，则由排序原理反序和最小知至少要花a 1b 3＋a 2b 2＋a 3b 1＝1×20＋2×13＋3×10＝76(元)．答案：A5．已知两组数1,2,3和4,5,6，若c 1，c 2，c 3是4,5,6的一个排列，则1c 1＋2c 2＋3c 3的最大值是________，最小值是________．解析：由反序和≤乱序和≤顺序和知，顺序和最大，反序和最小，故最大值为32；最小值为28.答案：32 286．有4人各拿一只水桶去接水，设水龙头注满每个人的水桶分别需要5 s,4 s,3 s,7 s ，每个人接完水后就离开，则他们总的等候时间最短为________s.解析：由题意知，等候的时间最短为3×4＋4×3＋5×2＋7＝41. 答案：417．在Rt △ABC 中，∠C 为直角，A ，B 所对的边分别为a ，b ，则aA ＋bB 与π4(a ＋b )的大小关系为________．解析：不妨设a ≥b >0，则A ≥B >0，由排序不等式⎭⎪⎬⎪⎫aA ＋bB ≥aB ＋bA aA ＋bB ＝aA ＋bB ⇒2(aA ＋bB )≥a (A ＋B )＋b (A ＋B ) ＝π2(a ＋b )， ∴aA ＋bB ≥π4(a ＋b )．答案：aA ＋bB ≥π4(a ＋b )8．设a 1，a 2，a 3为正数，求证：(a 21＋a 22＋a 23)(a 1＋a 2＋a 3)≤3a 1a 2a 3.证明：不妨设a 1≥a 2≥a 3＞0， 于是1a 1≤1a 2≤1a 3，a 2a 3≤a 3a 1≤a 1a 2，由排序不等式：顺序和≥乱序和，得 a 1a 2a 3＋a 3a 1a 2＋a 2a 3a 1≥1a 2·a 2a 3＋1a 3·a 3a 1＋1a 1·a 1a 2 ＝a 3＋a 1＋a 2，即3a 1a 2a 3≥(a 23＋a 22＋a 1)2(a 3＋a 2＋a 1)．9．某学校举行投篮比赛，按规则每个班级派三人参赛，第一人投m 分钟，第二人投n 分钟，第三人投p 分钟，某班级三名运动员A ，B ，C 每分钟能投进的次数分别为a ，b ，c ，已知m ＞n ＞p ，a ＞b ＞c ，如何派三人上场能取得最佳成绩？解：∵m ＞n ＞p ，a ＞b ＞c ，且由排序不等式知顺序和为最大值， ∴最大值为ma ＋nb ＋pc ，此时分数最高， ∴三人上场顺序是A 第一，B 第二，C 第三． 10．设x ，y ，z 为正数，求证： x ＋y ＋z ≤x 2＋y 22z ＋y 2＋z 22x ＋z 2＋x 22y .证明：由于不等式关于x ，y ，z 对称， 不妨设0<x ≤y ≤z ，于是x 2≤y 2≤z 2，1z ≤1y ≤1x ，由排序原理：反序和≤乱序和，得x 2·1x ＋y 2·1y ＋z 2·1z ≤x 2·1z ＋y 2·1x ＋z 2·1y ，x 2·1x ＋y 2·1y ＋z 2·1z ≤x 2·1y ＋y 2·1z ＋z 2·1x ， 将上面两式相加得2(x ＋y ＋z )≤x 2＋y 2z ＋y 2＋z 2x ＋z 2＋x 2y ，于是x ＋y ＋z ≤x 2＋y 22z ＋y 2＋z 22x ＋z 2＋x 22y .。
【K12教育学习资料】2018-2019学年高中数学人教A版选修4-5教学案
【K12教育学习资料】2018-2019学年高中数学人教A版选修4-5教学案中小学资料学习永无止境2．绝对值不等式的解法对应学生用书P131．|ax ＋b |≤c ，|ax ＋b |≥c (c 0)型不等式的解法只需将ax ＋b 看成一个整体，即化成|x |≤a ，|x |≥a (a 0)型不等式求解．|ax ＋b |≤c (c 0)型不等式的解法：先化为－c ≤ax ＋b ≤c ，再由不等式的性质求出原不等式的解集．不等式|ax ＋b |≥c (c 0)的解法：先化为ax ＋b ≥c 或ax ＋b ≤－c ，再进一步利用不等式性质求出原不等式的解集．2．|x －a |＋|x －b |≥c 和|x －a |＋|x －b |≤c 型不等式的解法①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现数形结合思想，理解绝对值的几何意义，给绝对值不等式以准确的几何解释是解题关键．②以绝对值的零点为分界点，将数轴分为几个区间，利用“零点分段法”求解，体现分类讨论的思想．确定各个绝对值符号内多项式的正、负性，进而去掉绝对值符号是解题关键．③通过构造函数，利用函数的图像求解，体现函数与方程的思想，正确求出函数的零点并画出函数图像(有时需要考查函数的增减性)是解题关键．对应学生用书P13[例1] 解下列不等式：(1)|5x －2|≥8；(2)2≤|x －2|≤4.[思路点拨] 利用|x |a 及|x |a (a 0)型不等式的解法求解．[解] (1)|5x －2|≥8?5x －2≥8或5x －2≤－8?x ≥2或x ≤－65，∴原不等式的解集为??????x |x ≥2或x ≤－65.中小学资料学习永无止境(2)原不等式价于?????|x －2|≥2，|x －2|≤4. 由①得x －2≤－2，或x －2≥2，∴x ≤0，或x ≥4.由②得－4≤x －2≤4，∴－2≤x ≤6.∴原不等式的解集为{x |－2≤x ≤0，或4≤x ≤6}．|ax ＋b |≥c 和|ax ＋b |≤c 型不等式的解法：①当c 0时，|ax ＋b |≥c ?ax ＋b ≥c 或ax ＋b ≤－c ，|ax ＋b |≤c ?－c ≤ax ＋b ≤c .②当c ＝0时，|ax ＋b |≥c 的解集为R ，|ax ＋b |c 的解集为?. ③当c 0时，|ax ＋b |≥c 的解集为R ，|ax ＋b |≤c 的解集为?.1．解下列不等式：(1)|3－2x |9；(2)4＜|3x －2|＜8；(3)|x 2－3x －4|x ＋1.解：(1)∵|3－2x |9，∴|2x －3|9.∴－92x －39.即－62x 12.∴－3x 6.∴原不等式的解集为{x |－3x 6}．(2)由4＜|3x －2|＜8，得????? |3x －2|＞4，|3x －2|＜8? ????? 3x －2＜－4或3x －2＞4，－8＜3x －2＜8???? x ＜－23或x ＞2，－2＜x ＜103.。
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[核心必知]1．二维形式的柯西不等式(1)若a ，b ，c ，d 都是实数，则(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，当且仅当ad ＝bc 时，等号成立．(2)二维形式的柯西不等式的推论：(a ＋b )(c ＋d )(a ，b ，c ，d 为非负实数)； a 2＋b 2·c 2＋d 2≥|ac ＋bd |(a ，b ，c ，d ∈R )； a 2＋b 2·c 2＋d 2≥|ac |＋|bd |(a ，b ，c ，d ∈R )． 2．柯西不等式的向量形式设α，β是两个向量，则|α·β|≤|α||β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k ，使α＝k β时，等号成立．3．二维形式的三角不等式(1)x 21＋y 21＋x 22＋y 22x 1，y 1，x 2，y 2∈R )．(2)推论：（x 1－x 3）2＋（y 1－y 3）2＋（x 2－x 3）2＋（y 2－y 3）2≥(x 1，x 2，x 3，y 1，y 2，y 3∈R )．[问题思考]1．在二维形式的柯西不等式的代数形式中，取等号的条件可以写成a b ＝cd 吗？提示：不可以．当b ·d ＝0时，柯西不等式成立，但a b ＝cd不成立．2．不等式x21＋y21＋x22＋y22≥（x1－x2）2＋（y1－y2）2(x1，x2，y1，y2∈R)中，等号成立的条件是什么？提示：当且仅当P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，O(0，0)三点共线，且P1，P2在原点两旁时，等号成立.2·a2＋c2≥a＋c，设a，b，c为正数，求证：a2＋b2＋b2＋c2＋a2＋c2≥2(a＋b＋c)．[精讲详析]本题考查柯西不等式的应用．解答本题需要根据不等式的结构，分别使用柯西不等式，然后将各组不等式相加即可．由柯西不等式：a2＋b2·12＋12≥a＋b，即2·a2＋b2≥a＋b，同理：2·b2＋c2≥b＋c，2·a2＋c2≥a＋c，将上面三个同向不等式相加得：2(a2＋b2＋b2＋c2＋a2＋c2)≥2(a＋b＋c)，∴a2＋b2＋b2＋c2＋a2＋c2≥2·(a＋b＋c)．利用二维柯西不等式的代数形式证题时，要抓住不等式的基本特征：(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，其中a，b，c，d∈R或(a＋b)·(c＋d)≥(ac＋bd)2，其中a，b，c，d∈R＋.1．设a1，a2，a3为正数，求证：a31＋a21a2＋a1a22＋a32＋a32＋a22a3＋a2a23＋a33＋a33＋a23a1＋a3a21＋a31≥2(a31＋a32＋a33)．证明：因为a31＋a21a2＋a1a22＋a32＝(a1＋a2)·(a21＋a22)，由柯西不等式得[(a 1)2＋(a 2)2](a 21＋a 22)≥(a 1a 1＋a 2a 2)2， 于是a 31＋a 21a 2＋a 1a 22＋a 32≥(a 31＋a 32)2. 故a 31＋a 21a 2＋a 1a 22＋a 32≥a 31＋a 32， 同理a 32＋a 22a 3＋a 2a 23＋a 33≥a 32＋a 33， a 33＋a 23a 1＋a 3a 21＋a 31≥a 33＋a 31.将以上三个同向不等式相加，即得a 31＋a 21a 2＋a 1a 22＋a 32＋a 32＋a 22a 3＋a 2a 23＋a 23＋ a 33＋a 23a 1＋a 3a 21＋a 31≥2(a 31＋a 32＋a 33)．设a ，b ，c ，d 是4个不全为零的实数，求证： ab ＋2bc ＋cd a 2＋b 2＋c 2＋d2≤ 2＋12. [精讲详析] 本题考查柯西不等式的灵活应用，解答本题需要从欲证不等式左边的分子入手，将其进行适当的变形，创造利用柯西不等式的条件． ab ＋2bc ＋cd ＝(ab ＋cd )＋(bc －ad )＋(bc ＋ad )≤2[（ab ＋cd ）2＋（bc －ad ）2]＋（b 2＋a 2）（c 2＋d 2） ＝2·（a 2＋c 2）（b 2＋d 2）＋（a 2＋b 2）（c 2＋d 2） ≤2·（a 2＋c 2）＋（b 2＋d 2）2＋（a 2＋b 2）＋（c 2＋d 2）2＝2＋12(a 2＋b 2＋c 2＋d 2)．∴ab ＋2bc ＋cd a 2＋b 2＋c 2＋d2≤2＋12.利用柯西不等式证明某些不等式时，有时需要将数学表达式适当的变形．这种变形往往要求具有很高的技巧，必须善于分析题目的特征，根据题设条件，综合地利用添、拆、分解、组合、配方、变量代换、数形结合等方法才能发现问题的本质，找到突破口．2．设a ，b ∈R ＋，且a ＋b ＝2.求证：a 22－a ＋b 22－b ≥2.证明：根据柯西不等式，有[(2－a )＋(2－b )]⎝⎛⎭⎫a 22－a ＋b22－b＝[(2－a )2＋(2－b )2]⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2－b 2≥⎝⎛⎭⎪⎫2－a ·a 2－a ＋2－b ·b 2－b 2＝(a ＋b )2＝4.∴a 22－a ＋b 22－b ≥4（2－a ）＋（2－b ）＝2. ∴原不等式成立.若3x ＋4y ＝2，求x 2＋y 2的最小值．[精讲详析] 本题考查柯西不等式的应用．解答本题需要熟知柯西不等式的结构，凑成柯西不等式的结构，然后利用柯西不等式求最值．由柯西不等式得(x 2＋y 2)(32＋42)≥(3x ＋4y )2， 25(x 2＋y 2)≥4，所以x 2＋y 2≥425. 当且仅当x 3＝y4时等号成立，由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y ＝2，x 3＝y 4.得⎩⎨⎧x ＝625，y ＝825.因此，当x ＝625，y ＝825时，x 2＋y 2取得最小值，最小值为425.利用柯西不等式求最值的方法(1)先变形凑成柯西不等式的结构特征，是利用柯西不等式求解的先决条件；(2)有些最值问题从表面上看不能利用柯西不等式，但只要适当添加上常数项或为常数的各项，就可以应用柯西不等式来解，这也是运用柯西不等式解题的技巧；(3)而有些最值问题的解决需要反复利用柯西不等式才能达到目的，但在运用过程中，每运用一次前后等号成立的条件必须一致，不能自相矛盾，否则就会出现错误．多次反复运用柯西不等式的方法也是常用的技巧之一．3．如何把一条长为m 的绳子截成2段，各围成一个正方形，使这2个正方形的面积和最小？解：设这2段的长度分别为x ，y ，则x ＋y ＝m ，且2个正方形的面积和S ＝⎝⎛⎭⎫x 42＋⎝⎛⎭⎫y 42＝116(x 2＋y 2)．因为(x 2＋y 2)(12＋12)≥(x ＋y )2＝m 2，等号当且仅当x ＝y ＝m 2时成立， 所以x 2＋y 2有最小值m 22，从而S 有最小值m 232.把绳子两等分后，这2段所围成的2个正方形的面积和最小．柯西不等式在求最值中的应用是考试的热点．本考题以解答题的形式考查了柯西不等式在求最值中的应用，是高考命题的一个新亮点．[考题印证]已知实数a 、b 、c 、d 满足a 2＋b 2＝1，c 2＋d 2＝2，求ac ＋bd 的最大值． [命题立意] 本题考查柯西不等式在求最值中的应用． [解] ∵a 2＋b 2＝1，c 2＋d 2＝2，∴由柯西不等式(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2， 得(ac ＋bd )2≤1×2＝2. ∴－2≤ac ＋bd ≤ 2.当且仅当ad ＝bc ，即c a ＝db ＝2时取最大值 2.∴ac ＋bd 的最大值为 2.一、选择题1．若a ，b ∈R ，且a 2＋b 2＝10，则a ＋b 的取值范围是( ) A ．[－25，2 5 ] B ．[－210，210 ] C ．[－10，10 ] D ．(－5， 5 ] 解析：选A ∵a 2＋b 2＝10， ∴(a 2＋b 2)(12＋12)≥(a ＋b )2， 即20≥(a ＋b )2， ∴－25≤a ＋b ≤2 5.2．已知x ＋y ＝1，那么2x 2＋3y 2的最小值是( ) A.56 B.65 C.2536 D.3625解析：选B 2x 2＋3y 2＝(2x 2＋3y 2)⎝⎛⎭⎫12＋13·65 ≥65(2x ·22＋3y ·33)2＝65(x ＋y )2＝65. 3．已知a ，b ∈R ＋且a ＋b ＝1，则P ＝(ax ＋by )2与Q ＝ax 2＋by 2的关系是( ) A ．P ≤Q B ．P ＜Q C ．P ≥Q D ．P ＞Q解析：选A 设m ＝(ax ，b y )，n ＝(a ，b )，则|ax ＋by |＝|m·n |≤|m ||n |＝（ax ）2＋（by ）2·（a ）2＋（b ）2＝ax 2＋by 2·a ＋b ＝ ax 2＋by 2，∴(ax ＋by )2≤ax 2＋by 2.即P ≤Q .4．已知p ，q ∈R ＋，且p 3＋q 3＝2，则p ＋q 的最大值为( ) A ．2 B ．8 C.12D ．4解析：选A 设m ＝(p 32，q 32)，n ＝(p 12，q 12)， 则p 2＋q 2＝p 32p 12＋q 32q 12＝|m ·n |≤|m |·|n | ＝p 3＋q 3·p ＋q ＝2·p ＋q .又∵(p ＋q )2≤2(p 2＋q 2)， ∴（p ＋q ）22≤p 2＋q 2≤2p ＋q .∴(p ＋q )4≤8(p ＋q )．∴p ＋q ≤2. 二、填空题5．设a ，b ，c ，d ，m ，n 都是正实数，P ＝ab ＋cd ，Q ＝ma ＋nc ·b m ＋dn，则P 与Q 的大小________．解析：由柯西不等式，得 P ＝am ·b m＋nc ×dn≤（am ）2＋（nc ）2×⎝⎛⎭⎫ b m 2＋⎝⎛⎭⎫ d n 2＝am ＋nc ×b m ＋dn ＝Q . 答案：P ≤Q6．函数f (x )＝x －6＋12－x 的最大值为________． 解析：由柯西不等式得(x －6＋12－x )2≤(12＋12)·[(x －6)2＋(12－x )2]＝12， ∴x －6＋12－x ≤23(当x ＝9时，“＝”成立)． 答案：2 37．设xy >0，则⎝⎛⎭⎫x 2＋4y 2⎝⎛⎭⎫y 2＋1x 2的最小值为________． 解析：原式＝⎣⎡⎦⎤x 2＋⎝⎛⎭⎫2y 2⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1x 2＋y 2≥⎝⎛⎭⎫x ·1x ＋2y ·y 2＝9. 答案：98．已知a ，b ∈R ＋，且a ＋b ＝1，则(4a ＋1＋4b ＋1)2的最大值是________． 解析：(4a ＋1＋4b ＋1)2＝(1×4a ＋1＋1×4b ＋1)2≤(12＋12)(4a ＋1＋4b ＋1)＝2[4(a ＋b )＋2]＝2(4×1＋2)＝12.答案：12 三、解答题9．已知a 2＋b 2＝1, x 2＋y 2＝1，求证：|ax ＋by |≤1. 证明：由柯西不等式得 (ax ＋by )2≤(a 2＋b 2)(x 2＋y 2)＝1. 故|ax ＋by |≤1成立．10．已知实数a 、b 、c 满足a ＋2b ＋c ＝1，a 2＋b 2＋c 2＝1.求证：－23≤c ≤1.证明：因为a ＋2b ＋c ＝1，a 2＋b 2＋c 2＝1， 所以a ＋2b ＝1－c ，a 2＋b 2＝1－c 2. 由柯西不等式得(12＋22)(a 2＋b 2)≥(a ＋2b )2， 5(1－c 2)≥(1－c )2， 整理得，3c 2－c －2≤0， 解得－23≤c ≤1.所以－23≤c ≤1.11．若x 2＋4y 2＝5.求x ＋y 的最大值及最大值点． 解：由柯西不等式得 [x 2＋(2y )2]⎣⎡⎦⎤12＋⎝⎛⎭⎫122≥(x ＋y )2即(x ＋y )2≤5×54＝254，x ＋y ≤52.当且仅当x 1＝2y12，即x ＝4y 时取等号．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝5，x ＝4y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－12(舍去)．∴x ＋y 的最大值为52，最大值点为⎝⎛⎭⎫2，12.。