自动控制原理4 第五节控制系统的根轨迹分析法
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自动控制原理第5章根轨迹分析法
04
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根轨迹分析法的限制与挑战
参数变化对根轨迹的影响
参数变化可能导致根轨迹的形状和位置发生变化 ，从而影响系统的稳定性和性能。
对于具有多个参数的系统，根轨迹分析可能变得 复杂且难以预测。
需要对参数变化进行细致的监测和控制，以确保 系统的稳定性和性能。
复杂系统的根轨迹分析
对于复杂系统，根轨 迹分析可能变得复杂 且难以实现。
02
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根轨迹的基本概念
极点与零点
极点
系统传递函数的极点是系统动态 特性的决定因素，决定了系统的 稳定性、响应速度和超调量等。
零点
系统传函数的零点对系统的动 态特性也有影响，主要影响系统 的幅值和相位特性。
根轨迹方程
根轨迹方程是描述系统极点随参数变 化的关系式，通过求解根轨迹方程可 以得到系统在不同参数下的极点分布 。
05
CATALOGUE
根轨迹分析法的改进与拓展
引入现代控制理论的方法
状态空间法
将根轨迹分析法与状态空间法相结合，利用状态空间法描述系统的动态行为，从而更全 面地分析系统的稳定性。
最优控制理论
将根轨迹分析法与最优控制理论相结合，通过优化系统的性能指标，提高系统的稳定性 和动态响应。
结合其他分析方法
根轨迹方程的求解方法包括解析法和 图解法，其中图解法是最常用的方法 。
根轨迹的绘制方法
手工绘制
通过选取不同的参数值，计算对应的极点，然后绘制极点分布图。这种方法比较繁琐，但可以直观地了解根轨迹 的形状和变化规律。
软件绘制
利用自动控制系统仿真软件，如MATLAB/Simulink等，可以方便地绘制根轨迹图，并分析系统的动态特性。
自动控制第五章根轨迹法资料
8
绘制根轨迹的基本条件
根轨迹的幅值条件：
n
s pj
j 1
负反馈根轨迹的相角条件：
m
n
(s z j ) (s pi ) (2q 1)
j 1
i 1
满足此式的根轨迹，称为1800根轨迹；
正反馈根轨迹的相角条件：
m
n
(s z j ) (s pi ) (2q)
j 1
i 1
满足此式的根轨迹，称为00根轨迹；
9
绘制根轨迹的基本条件
n
s pi
i 1 m
K1
s zj
j 1
m
n
(s z j ) (s pi ) (2q 1)
j 1
i 1
➢ 根轨迹的幅值条件不仅取决于系统开环零极点的分 布，同时还取决于开环根轨迹的增益K1。
➢ 根轨迹的相角条件仅仅取决于系统开环零极点的分 布，与开环根轨迹的增益K1无关。
2
第一章根轨迹的基本概念
根轨迹的概念的提出 反馈控制系统的性质取决于闭环传函。只要求解
出闭环系统的根，系统的响应就迎刃而解。但是对于 3阶以上的系统求根比较困难。如果系统中有一个可 变参数时，求根更困难了。
1948年，伊凡思提出了一种确定系统闭环特征根 的图解法——根轨迹法。在已知开环零极点分布的基 础上，当某些参数变化时确定闭环极点的一种简单的 图解方法。
12
第二节 绘制根轨迹的基本规则
当K1 时，① s z j ( j 1 ~ m) ，上式成立。 z j 是开环传递
函数有限值的零点，有m个。故n阶系统有m支根轨迹的终点在
利用这一方法可以分析系统的性能，确定系统应 有的结构和参数。
3
第一节 根轨迹的基本概念
根轨迹法(自动控制原理)ppt课件精选全文完整版
1 K (s z1 )( s z2 )....( s zm ) 0 (s p1 )( s p2 )....( s pn )
课程：自动控制原理
第4章 根轨迹法
➢ 以K为参变量的根轨迹上的每一点都必须满足以上方程， 相应地，称之为‘典型根轨迹方程’。
也可以写成
m
n
(s zl ) K (s pi ) 0
可见，根轨迹可以清晰地描绘闭环极点与开环增益K之间的 关系。
课程：自动控制原理
第4章 根轨迹法
2.根轨迹的基本条件
❖ 考察图示系统，其闭环传递函数为:
Y(s) G(s) R(s) 1 G(s)H(s)
闭环特征方程为：
1 G(s)H(s) 0
➢ 因为根轨迹上的每一点s都是闭环特征方程的根，所以根轨 迹上的每一点都应满足：
l 1
i 1
对应的幅值条件为：
相角条件为：
n
( s pi ) K i1
m
(s zl )
l 1
m
n
(s zl ) (s pi ) (2k 1)180
k 1,2,
l 1
i 1
课程：自动控制原理
第4章 根轨迹法
❖ 上述相角条件，即为绘制根轨迹图的依据。具体绘制方法 是：在复平面上选足够多的试验点，对每一个试验点检查 它是否满足相角条件，如果是则该点在根轨迹上，如果不 是则该点不在根轨迹上，最后将在根轨迹上的试验点连接 就得到根轨迹图。
显然，位于实轴上的两个相邻的开环极点之间一定有分离 点，因为任何一条根轨迹不可能开始于一个开环极点终止 于另一个开环极点。同理，位于实轴上的两个相邻的开环 零点之间也一定有分离点。
课程：自动控制原理
第4章 根轨迹法
课程：自动控制原理
第4章 根轨迹法
➢ 以K为参变量的根轨迹上的每一点都必须满足以上方程， 相应地，称之为‘典型根轨迹方程’。
也可以写成
m
n
(s zl ) K (s pi ) 0
可见，根轨迹可以清晰地描绘闭环极点与开环增益K之间的 关系。
课程：自动控制原理
第4章 根轨迹法
2.根轨迹的基本条件
❖ 考察图示系统，其闭环传递函数为:
Y(s) G(s) R(s) 1 G(s)H(s)
闭环特征方程为：
1 G(s)H(s) 0
➢ 因为根轨迹上的每一点s都是闭环特征方程的根，所以根轨 迹上的每一点都应满足：
l 1
i 1
对应的幅值条件为：
相角条件为：
n
( s pi ) K i1
m
(s zl )
l 1
m
n
(s zl ) (s pi ) (2k 1)180
k 1,2,
l 1
i 1
课程：自动控制原理
第4章 根轨迹法
❖ 上述相角条件，即为绘制根轨迹图的依据。具体绘制方法 是：在复平面上选足够多的试验点，对每一个试验点检查 它是否满足相角条件，如果是则该点在根轨迹上，如果不 是则该点不在根轨迹上，最后将在根轨迹上的试验点连接 就得到根轨迹图。
显然，位于实轴上的两个相邻的开环极点之间一定有分离 点，因为任何一条根轨迹不可能开始于一个开环极点终止 于另一个开环极点。同理，位于实轴上的两个相邻的开环 零点之间也一定有分离点。
课程：自动控制原理
第4章 根轨迹法
自动控制原理 第四章 根轨迹法
第4章 根 轨 迹 法根轨迹法是分析和设计线性控制系统的图解方法，使用简便，在控制工程上得到了广泛应用。
本章首先介绍根轨迹的基本概念，然后重点介绍根轨迹绘制的基本法则，在此基础上，进一步讨论广义根轨迹的问题，最后介绍控制系统的根轨迹分析方法。
4.1 根轨迹的基本概念4.1.1 根轨迹概念所谓根轨迹，就是系统开环传递函数的某一参数从零变化到无穷时，闭环特征根在s 平面上变化的轨迹。
例如某控制系统的结构图如图4.1所示。
图4.1 控制系统其开环传递函数为()K (0.51)KG s s s =+其闭环传递函数为22()22Ks s s KΦ=++式中：K 为系统开环增益。
于是闭环特征方程可写为2220s s k ++=对上式求解得闭环特征根为1,21s =−令开环增益K 从零变化到无穷，利用上式求出闭环特征根的全部数值，将这些值标注在s 平面上，并连成光滑的粗实线，如图4.2所示，该粗实线就称为系统的根轨迹。
箭头表示随K 值增加根轨迹的变化趋势。
这种通过求解特征方程来绘制根轨迹的方法，称之为解析法。
画出根轨迹的目的是利用根轨迹分析系统的各种性能。
通过第3章的学习知道，系统第4章 根轨迹法·101··101·特征根的分布与系统的稳定性、暂态性能密切相关，而根轨迹正是直观反应了特征根在复平面的位置以及变化情况，所以利用根轨迹很容易了解系统的稳定性和暂态性能。
又因为根轨迹上的任何一点都有与之对应的开环增益值，而开环增益与稳态误差成反比，因而通过根轨迹也可以确定出系统的稳态精度。
可以看出，根轨迹与系统性能之间有着比较密切的联系。
图4.2 控制系统根轨迹4.1.2 根轨迹方程对于高阶系统，求解特征方程是很困难的，因此采用解析法绘制根轨迹只适用于较简单的低阶系统。
而高阶系统根轨迹的绘制是根据已知的开环零、极点位置，采用图解的方法来实现的。
下面给出图解法绘制根轨迹的根轨迹方程。
自动控制原理第四章-根轨迹分析法
jω
×
p4 z 2
×
p3
×
×
p 2 z1 p1
σ
规则4：根轨迹的分会点（分离点和会合点）d。 （1）定义：分会点是指根轨迹离开实轴进入复平面的点（分 离点）或由复平面进入实轴的点（汇合点），位于相邻两极点 或两零点之间。
（2）位置：大部分的分会点在实轴上，若出现在复平面内时，则 成对出现。
（3）特点：分会点对应于闭环特征方程有重根的点；根轨迹离开
（4）与虚轴的交点：
方法1：闭环特征方程为s3 + 6s2 + 8s + K*= 0 令s = jω得：-jω3 -6ω2 + j8ω + K* = 0
-6ω2 + K* = 0 即
-ω3 + 8ω= 0
K* = 48 ω= 2.8 s-1
方法2：闭环特征方程为 s3 + 6s2 + 8s + K*= 0 列劳斯表如下：
规则1：根轨迹的起点和终点。 根轨迹起始于开环极点，终止开环零点或无穷远。
m
i 1
s
zi
n
s
l 1
pl
1 K
K
K
0 s pl
s s
zi , m条 （, n
m）条
规则2: 根轨迹的条数和对称性。 n阶系统有n条根轨迹。根轨迹关于实轴对称。
规则3: 实轴上的根轨迹分布。
由实数开环零、极点将实轴分为若干段，如某段右边 开环零、极点（包括该段的端点）数之和为奇数，则该段就 是根轨迹，否则不是。如下图所示。
又因为开环传函的零极点表达式为：
m
GK (s)
G(s)H(s)
K
n
(s
×
p4 z 2
×
p3
×
×
p 2 z1 p1
σ
规则4：根轨迹的分会点（分离点和会合点）d。 （1）定义：分会点是指根轨迹离开实轴进入复平面的点（分 离点）或由复平面进入实轴的点（汇合点），位于相邻两极点 或两零点之间。
（2）位置：大部分的分会点在实轴上，若出现在复平面内时，则 成对出现。
（3）特点：分会点对应于闭环特征方程有重根的点；根轨迹离开
（4）与虚轴的交点：
方法1：闭环特征方程为s3 + 6s2 + 8s + K*= 0 令s = jω得：-jω3 -6ω2 + j8ω + K* = 0
-6ω2 + K* = 0 即
-ω3 + 8ω= 0
K* = 48 ω= 2.8 s-1
方法2：闭环特征方程为 s3 + 6s2 + 8s + K*= 0 列劳斯表如下：
规则1：根轨迹的起点和终点。 根轨迹起始于开环极点，终止开环零点或无穷远。
m
i 1
s
zi
n
s
l 1
pl
1 K
K
K
0 s pl
s s
zi , m条 （, n
m）条
规则2: 根轨迹的条数和对称性。 n阶系统有n条根轨迹。根轨迹关于实轴对称。
规则3: 实轴上的根轨迹分布。
由实数开环零、极点将实轴分为若干段，如某段右边 开环零、极点（包括该段的端点）数之和为奇数，则该段就 是根轨迹，否则不是。如下图所示。
又因为开环传函的零极点表达式为：
m
GK (s)
G(s)H(s)
K
n
(s
自动控制原理--控制系统的根轨迹分析及特殊根轨迹
j1
s0
j1
jk
s sk
j1
jk
单位阶跃响应为
n
y(t) A0 Akeskt k 1
m
m
Ks zi Kzi
A0
i1 n
s sj
i1 n
GB(0)
sj
j1
s0
j1
m
m
K s zi
Ak
i1 n
s sj
1 s
K sk zi
i1 n
sk sk sj
jk
1
s2
100 8s 100
4 3
os1
1.5
1.7
可求得 0.4, ，n 10
s3
所以 % e 1 2 100% 25%，ts (s3.)5 n 3.5 4 0.9
j
0
利用根轨迹分析控制系统的性能
例11 分析K的变化对系统稳定性的影响
K (s 3) G(s)H (s) s(s 5)(s 6)(s2 2s 2)
增加开环极点的影响 增加极点对根轨迹形状的影响
增加开环零点的影响 增加零点对根轨迹形状的影响
例9 已知某系统闭环传递函数
GB (s) 0.67s 1
1 0.01s2
0.08s 1
试计算在单位阶跃输入时的系统输出超调量 % 和调节时间t。s
解：该闭环系统有三个极点，s1 1.5, s2,3 零4 、j9.2极点 分布如右图。
系统稳定的K的范围为: 0<K<35
例12 分析K的变化对系统的影响。设负反馈系统的开环传递函数为
K s z G(s)H(s) ss p
z p
求系统闭环根轨迹，并分析 p 2, 时z系 统4 的动态性能。
自动控制原理第四章--根轨迹法
G(s)H(s) 1
2.相角条件：
G(s)H(s) (2k 1)
k 0,1, 2
为了把幅值条件和相角条件写成更具体的形 式，把开环传递函数写成如下形式：
m
(s zi )
G(s)H(s) Kg
i 1 n
(s pj)
j 1
式中：K
g 称为根轨迹增益；
zi ，
p
为开环零极
j
点。
∴ 幅值条件：
m
n
pl (2k 1) ( pl z j ) ( pl pi )
j 1
i 1
m
il
( pl z j ) ——所有开环零点指向极点-pl 矢量的相角之和。
j 1
n
( pl pi )——除-pl 之外的其余开环极点指向极点-pl 矢量
i 1
il
的相角之和。
在复数零点-zl 处的入射角为：
而s2、s3点不是根轨迹上的点。
[例]设系统的开环传递函数为 试求实轴上的根轨迹。
Gk (s)
s2(s
K g (s 2) 1)(s 5)(s
10)
[解]：零极点分布如下：
10
5
2 1 0
红线所示为实轴上根轨迹，为：[-10，-5]和[-2，-1] 。
四、根轨迹的渐近线：
渐近线包括两个内容：渐近线的倾角（渐近线与实轴的夹角） 和渐近线与实轴的交点。
n
m
zl (2k 1) (zl pi ) (zl z j )
i 1
j 1
jl
n
(zl pi )
i 1
——所有开环极点指向零点-zl 矢量的相角之和。
m
(zl z j )
j 1 jl
2.相角条件：
G(s)H(s) (2k 1)
k 0,1, 2
为了把幅值条件和相角条件写成更具体的形 式，把开环传递函数写成如下形式：
m
(s zi )
G(s)H(s) Kg
i 1 n
(s pj)
j 1
式中：K
g 称为根轨迹增益；
zi ，
p
为开环零极
j
点。
∴ 幅值条件：
m
n
pl (2k 1) ( pl z j ) ( pl pi )
j 1
i 1
m
il
( pl z j ) ——所有开环零点指向极点-pl 矢量的相角之和。
j 1
n
( pl pi )——除-pl 之外的其余开环极点指向极点-pl 矢量
i 1
il
的相角之和。
在复数零点-zl 处的入射角为：
而s2、s3点不是根轨迹上的点。
[例]设系统的开环传递函数为 试求实轴上的根轨迹。
Gk (s)
s2(s
K g (s 2) 1)(s 5)(s
10)
[解]：零极点分布如下：
10
5
2 1 0
红线所示为实轴上根轨迹，为：[-10，-5]和[-2，-1] 。
四、根轨迹的渐近线：
渐近线包括两个内容：渐近线的倾角（渐近线与实轴的夹角） 和渐近线与实轴的交点。
n
m
zl (2k 1) (zl pi ) (zl z j )
i 1
j 1
jl
n
(zl pi )
i 1
——所有开环极点指向零点-zl 矢量的相角之和。
m
(zl z j )
j 1 jl
自动控制原理根轨迹法总结
自动控制原理根轨迹法总结
【根轨迹法概述】
-根轨迹法是分析线性时不变系统稳定性和动态性能的一个重要工具。
它通过在复平面上绘制闭环极点随系统参数变化的轨迹来实现。
【根轨迹法的基本原理】
1. 定义与目的：
-根轨迹是系统开环增益变化时，闭环极点在s平面上的轨迹。
-主要用于分析系统稳定性和设计控制器参数。
2. 绘制原则：
-根据系统开环传递函数，确定轨迹的起点和终点，分支点，穿越虚轴的点等。
-利用角度判据和幅值判据确定根轨迹。
【根轨迹法的应用】
1. 系统稳定性分析：
-根据闭环极点的位置判断系统的稳定性。
-极点在左半平面表示系统稳定，右半平面表示不稳定。
2. 控制器设计：
-调整控制器参数（如比例增益、积分时间常数、微分时间常数等），使根轨迹满足性能指标要求。
-确定合适的开环增益，使闭环系统具有期望的动态性能和稳定裕度。
【根轨迹法的优势与局限性】
-优势：直观、便于分析系统特性，特别是在控制器设计中。
-局限性：仅适用于线性时不变系统，对于非线性或时变系统不适用。
【实践中的注意事项】
-在绘制根轨迹时，应仔细考虑系统所有极点和零点的影响。
-必须结合其他方法（如奈奎斯特法、波特法等）进行综合分析。
【结语】
-根轨迹法是自动控制领域中一种非常有效的工具，对于理解和设计复杂控制系统具有重要意义。
-掌握根轨迹法，能够有效地指导实际的控制系统设计和分析。
编制人：_____________________
日期：_____________________。
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s2 s 2
1
s
2 s 2 ks 1
s2 s 2
18
4.5 控制系统的根轨迹分析法
由此可知，系统A是一单位反馈系统，前向通路的传递函数
为：ks 1 s 2 s 2
。系统B的前向通路传递函数为：
s2
k
s
2
，反馈通路
传递函数为：s 1 。由于系统A和B有相同的被控对象，因此，
系统的A的前向通路传递函数可写为：s
kg
23
s(s 1)(s 2)(s 3)
4.5 控制系统的根轨迹分析法
2、增加零点: 若在开环传递函数中增加一个零点，则原根轨迹向 左移动。从而增加系统的稳定性，减小系统响应的调整时间。
Gk
(s)
s2 s(s 1)
24
Gk (s)
(s
2 j1)(s 2 s(s 1)
j1)
4.5 控制系统的根轨迹分析法
递函数和闭环特征方程式也完全相同。由上页图可知系统A和B
的开环传递函数为：
Gs
ks 1 s2 s 2
特征方程为：Ds s2 s 2 ks 1
②系统A和B的闭环传递函数分别为：
A s
ks 1 Ds
s 2 s
ks 1 2 ks
1
B
s
k
Ds
s2 s
k
2
ks
1
ks 1
k
1
s
2 s 2 ks 1
另外可以根据
Kg
D(s) N (s)
求实轴分离点的近似值。
求出[-4，0]之间的增益如下表所示
s 0 -0.5 -1 -1.5 -2.0 -2.5 -3 -3.5 -4
K gd 0
1.628 3
5.971 8.80 9.375 7.457 3.949 0
Kgd的最大值为9.375，这时s=－2.5，是近似分离点。
4)2
⒉能否通过选择Kg满足最大超调量δ%≤5%的要求？ ⒊能否通过选择Kg满足调节时间ts≤2秒的要求？ ⒋能否通过选择Kg满足位置误差系数Kp≥10的要求？ 解：⒈画根轨迹
①实轴无根轨迹
②渐近线 2.5，=±45°, ±135°
③与虚轴交点=±2，Kgp=100
13
4.5 控制系统的根轨迹分析法 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2
14
4.5 控制系统的根轨迹分析法
⒉能否通过选择Kg满足最大超调量δ%≤5%的要求？
当取阻尼角为45°的主导极点时， δ%≤5%的要求。 由根轨迹可见阻尼角为45°的线与根轨迹相交，可求得主 导极点为s=－0.8+0.8j，另一对极点为s=－4.2+0.8j 相差5.25倍，满足主导极点的要求。 ⒊能否通过选择Kg满足调节时间ts≤2秒的要求？ 要求ts≤2秒，即要求3/ 2， .5。由根轨迹可知主导极点 的实部 ，所以不能通过选择Kg满足ts≤2秒的要求。
五、用Matlab绘制根轨迹 Matlab参考书推荐： 现代控制工程，[美]Katsuhiko Ogats,卢伯英译， 电子工业出版社 MATLAB控制系统设计，欧阳黎明著， 国防工业出版社
25
4.5 控制系统的根轨迹分析法
[例子]系统的开环传递函数为：Gk (s) Matlab画出系统的根轨迹。
3 2
1
6
4
0
设A点坐标为： j ，则：
tg60 3
（1）
相角条件为：1 2 3
120 tg1 tg1
4
6
（2）
4.5 控制系统的根轨迹分析法
由(1)，(2)式解得： 1.2, 2.1 共轭主导极点为：s1,2 1.2 j2.1 。
也可令 s x 3xj 代入特征方程 s3 10s2 24s Kg 0
三、利用根轨迹求解代数方程的根
例 求如下代数方程的根
s3 3s2 4s 20 0
解：为了将此题作为一个根轨迹问题来考虑，应将上式变换成 根轨迹方程的形式。因式中无根轨迹增益，变换结果不唯一。
1
4s 20 s3 3s2
0
1
Kg (s 5) s3 3s2
0
(Kg 4)
1
s3
20 3s2
ts
3
n
3
(为极点实部 )
n
j 1 2n
%和 的关系如下图
100
80
60 δ%
40
20
若闭环极点落在下图中红线包围
的区域中，有：
% ectg 和ts
3
0
0
30 60 90
β
9
4.5 控制系统的根轨迹分析法
[例4-12]单位反馈系统的开环传递函数为：Gk
(s)
s(s
Kg 4)( s
6)
⒋能否通过选择Kg满足位置误差系数Kp≥10的要求？
Kp
lim
s0
Gk
(s)
K gp 16
6.25
所以不能通过选择Kg满足Kp≥10的要求。
15
4.5 控制系统的根轨迹分析法
问题 ⒈增加开环零点改变根轨迹，因而改变闭环极点。那么是 否改变闭环零点？ ⒉当两个系统的根轨迹相同并选择相同的闭环极点时，这 两个系统的瞬态响应是否一样？
一、 条件稳定系统的分析
[例4-11]：设开环系统传递函数为：Gk
(s)
s(s
Kg(s2 2s 4)(s 6)(s2
4) 1.4s
1)
试绘制根轨迹，并讨论使闭环系统稳定时Kg 的取值范围。
[解]根据绘制根轨迹的步骤，可得：
➢ 开环极点：0,－4,－6,－0.7±j0.714，零点：－1±j1.732
16
4.5 控制系统的根轨迹分析法
[例4-15]：设系统A和B有相同的被控对象，且有相同的根轨迹， 如下图所示。已知系统A有一个闭环零点，系统B没有闭环零点。 试求系统A和B的开环传递函数和它们所对应的闭环方块图。
17
4.5 控制系统的根轨迹分析法
[解]：①由于两系统的根轨迹完全相同，因而它们对应的开环传
4s
0
1
s3
Kg 3s2
4s
0
(Kg 20)
20
4.5 控制系统的根轨迹分析法
8
8
8
7
7
7
6
6
6
5
5
5
4
4
4
3
3
3
2
2
2
1
1
1
0
0
0
-1
-1
-1
-2
-2
-2
-3
-3
-3
-4
-4
-4
-5
-5
-5
-6
-6
-6
-7
-7
-7
-8
-8
-8
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2
分离角：
d
2
4
4.5 控制系统的根轨迹分析法
➢ 出射角：c 55，
➢入射角：r 103
➢ 与虚轴的交点和
对应的增益值：
1.213
2.151
3.755
15.6
kgp
67.5
168.6
画出根轨迹如图所示，该图是用
Matlab工具绘制的。
由图可知：当 0 Kg 15.6 和 67.5 Kg 168 .6 时，系统是 稳定的； 当 Kg 168 .6和15.6 Kg 67.5
条件稳定系统：参数在一定的范围内取值才能使系统稳定，这 样的系统叫做条件稳定系统。
下面的系统就是条件稳定系统的例子： ❖ 开环非最小相位系统，其闭环系统的根轨迹必然有一部分在s 的右半平面； ❖ 具有正反馈的环节。 条件稳定系统的工作性能往往不能令人满意。在工程实际上， 应注意参数的选择或通过适当的校正方法消除条件稳定问题。
实部方程 虚部方程
8x3 20x2 24x Kg
20 3x2 24 3x 0
m
0解得：x 1.2，s Kg 43.776
1.2 2.1 j
K (is 1)
开环传递函数以Gk (s)
i 1 n
的形式表示时，K称为开环放
大系数。
(Tjs 1)
j 1
显然K与Kg的关系为：K Kg
4.5 控制系统的根轨迹分析法
二、瞬态性能分析和开环系统参数的确定
利用根轨迹可以清楚的看到开环根轨迹增益或其他开环系
统参数变化时，闭环系统极点位置及其瞬态性能的改变情况。
以二阶系统为例：开环传递函数为Gk
闭环传递函数为(s)
s2
n2 2 n s
n2
(s)
s(s
n2 2n )
共轭极点为：s1,2 n j 1 2n 在s平面上的分布如右图： 闭环极点的张角 为：
1 s(s 1)(s 2)
，试利用
[解]打开Matlab,创建一个m文件，输入下列程序片段： num=[0 0 0 1];%开环传递函数分子系数，降幂排列
den=[1 3 2 0]; %开环传递函数分母系数，降幂排列
r=rlocus(num,den);
执行之，可得到根轨迹。
zi，式中 p j不计为0极点。 pj
所以，开环放大系数：K 43.776 1.824
46
由于闭环极点之和等于开环极点之和，所以另一个闭环极点
为： s3 7.6 。该极点是共轭复极点实部的6倍多。
12
4.5 控制系统的根轨迹分析法
例：单位反馈系统的开环传递函数为
1
s
2 s 2 ks 1
s2 s 2
18
4.5 控制系统的根轨迹分析法
由此可知，系统A是一单位反馈系统，前向通路的传递函数
为：ks 1 s 2 s 2
。系统B的前向通路传递函数为：
s2
k
s
2
，反馈通路
传递函数为：s 1 。由于系统A和B有相同的被控对象，因此，
系统的A的前向通路传递函数可写为：s
kg
23
s(s 1)(s 2)(s 3)
4.5 控制系统的根轨迹分析法
2、增加零点: 若在开环传递函数中增加一个零点，则原根轨迹向 左移动。从而增加系统的稳定性，减小系统响应的调整时间。
Gk
(s)
s2 s(s 1)
24
Gk (s)
(s
2 j1)(s 2 s(s 1)
j1)
4.5 控制系统的根轨迹分析法
递函数和闭环特征方程式也完全相同。由上页图可知系统A和B
的开环传递函数为：
Gs
ks 1 s2 s 2
特征方程为：Ds s2 s 2 ks 1
②系统A和B的闭环传递函数分别为：
A s
ks 1 Ds
s 2 s
ks 1 2 ks
1
B
s
k
Ds
s2 s
k
2
ks
1
ks 1
k
1
s
2 s 2 ks 1
另外可以根据
Kg
D(s) N (s)
求实轴分离点的近似值。
求出[-4，0]之间的增益如下表所示
s 0 -0.5 -1 -1.5 -2.0 -2.5 -3 -3.5 -4
K gd 0
1.628 3
5.971 8.80 9.375 7.457 3.949 0
Kgd的最大值为9.375，这时s=－2.5，是近似分离点。
4)2
⒉能否通过选择Kg满足最大超调量δ%≤5%的要求？ ⒊能否通过选择Kg满足调节时间ts≤2秒的要求？ ⒋能否通过选择Kg满足位置误差系数Kp≥10的要求？ 解：⒈画根轨迹
①实轴无根轨迹
②渐近线 2.5，=±45°, ±135°
③与虚轴交点=±2，Kgp=100
13
4.5 控制系统的根轨迹分析法 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2
14
4.5 控制系统的根轨迹分析法
⒉能否通过选择Kg满足最大超调量δ%≤5%的要求？
当取阻尼角为45°的主导极点时， δ%≤5%的要求。 由根轨迹可见阻尼角为45°的线与根轨迹相交，可求得主 导极点为s=－0.8+0.8j，另一对极点为s=－4.2+0.8j 相差5.25倍，满足主导极点的要求。 ⒊能否通过选择Kg满足调节时间ts≤2秒的要求？ 要求ts≤2秒，即要求3/ 2， .5。由根轨迹可知主导极点 的实部 ，所以不能通过选择Kg满足ts≤2秒的要求。
五、用Matlab绘制根轨迹 Matlab参考书推荐： 现代控制工程，[美]Katsuhiko Ogats,卢伯英译， 电子工业出版社 MATLAB控制系统设计，欧阳黎明著， 国防工业出版社
25
4.5 控制系统的根轨迹分析法
[例子]系统的开环传递函数为：Gk (s) Matlab画出系统的根轨迹。
3 2
1
6
4
0
设A点坐标为： j ，则：
tg60 3
（1）
相角条件为：1 2 3
120 tg1 tg1
4
6
（2）
4.5 控制系统的根轨迹分析法
由(1)，(2)式解得： 1.2, 2.1 共轭主导极点为：s1,2 1.2 j2.1 。
也可令 s x 3xj 代入特征方程 s3 10s2 24s Kg 0
三、利用根轨迹求解代数方程的根
例 求如下代数方程的根
s3 3s2 4s 20 0
解：为了将此题作为一个根轨迹问题来考虑，应将上式变换成 根轨迹方程的形式。因式中无根轨迹增益，变换结果不唯一。
1
4s 20 s3 3s2
0
1
Kg (s 5) s3 3s2
0
(Kg 4)
1
s3
20 3s2
ts
3
n
3
(为极点实部 )
n
j 1 2n
%和 的关系如下图
100
80
60 δ%
40
20
若闭环极点落在下图中红线包围
的区域中，有：
% ectg 和ts
3
0
0
30 60 90
β
9
4.5 控制系统的根轨迹分析法
[例4-12]单位反馈系统的开环传递函数为：Gk
(s)
s(s
Kg 4)( s
6)
⒋能否通过选择Kg满足位置误差系数Kp≥10的要求？
Kp
lim
s0
Gk
(s)
K gp 16
6.25
所以不能通过选择Kg满足Kp≥10的要求。
15
4.5 控制系统的根轨迹分析法
问题 ⒈增加开环零点改变根轨迹，因而改变闭环极点。那么是 否改变闭环零点？ ⒉当两个系统的根轨迹相同并选择相同的闭环极点时，这 两个系统的瞬态响应是否一样？
一、 条件稳定系统的分析
[例4-11]：设开环系统传递函数为：Gk
(s)
s(s
Kg(s2 2s 4)(s 6)(s2
4) 1.4s
1)
试绘制根轨迹，并讨论使闭环系统稳定时Kg 的取值范围。
[解]根据绘制根轨迹的步骤，可得：
➢ 开环极点：0,－4,－6,－0.7±j0.714，零点：－1±j1.732
16
4.5 控制系统的根轨迹分析法
[例4-15]：设系统A和B有相同的被控对象，且有相同的根轨迹， 如下图所示。已知系统A有一个闭环零点，系统B没有闭环零点。 试求系统A和B的开环传递函数和它们所对应的闭环方块图。
17
4.5 控制系统的根轨迹分析法
[解]：①由于两系统的根轨迹完全相同，因而它们对应的开环传
4s
0
1
s3
Kg 3s2
4s
0
(Kg 20)
20
4.5 控制系统的根轨迹分析法
8
8
8
7
7
7
6
6
6
5
5
5
4
4
4
3
3
3
2
2
2
1
1
1
0
0
0
-1
-1
-1
-2
-2
-2
-3
-3
-3
-4
-4
-4
-5
-5
-5
-6
-6
-6
-7
-7
-7
-8
-8
-8
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2
分离角：
d
2
4
4.5 控制系统的根轨迹分析法
➢ 出射角：c 55，
➢入射角：r 103
➢ 与虚轴的交点和
对应的增益值：
1.213
2.151
3.755
15.6
kgp
67.5
168.6
画出根轨迹如图所示，该图是用
Matlab工具绘制的。
由图可知：当 0 Kg 15.6 和 67.5 Kg 168 .6 时，系统是 稳定的； 当 Kg 168 .6和15.6 Kg 67.5
条件稳定系统：参数在一定的范围内取值才能使系统稳定，这 样的系统叫做条件稳定系统。
下面的系统就是条件稳定系统的例子： ❖ 开环非最小相位系统，其闭环系统的根轨迹必然有一部分在s 的右半平面； ❖ 具有正反馈的环节。 条件稳定系统的工作性能往往不能令人满意。在工程实际上， 应注意参数的选择或通过适当的校正方法消除条件稳定问题。
实部方程 虚部方程
8x3 20x2 24x Kg
20 3x2 24 3x 0
m
0解得：x 1.2，s Kg 43.776
1.2 2.1 j
K (is 1)
开环传递函数以Gk (s)
i 1 n
的形式表示时，K称为开环放
大系数。
(Tjs 1)
j 1
显然K与Kg的关系为：K Kg
4.5 控制系统的根轨迹分析法
二、瞬态性能分析和开环系统参数的确定
利用根轨迹可以清楚的看到开环根轨迹增益或其他开环系
统参数变化时，闭环系统极点位置及其瞬态性能的改变情况。
以二阶系统为例：开环传递函数为Gk
闭环传递函数为(s)
s2
n2 2 n s
n2
(s)
s(s
n2 2n )
共轭极点为：s1,2 n j 1 2n 在s平面上的分布如右图： 闭环极点的张角 为：
1 s(s 1)(s 2)
，试利用
[解]打开Matlab,创建一个m文件，输入下列程序片段： num=[0 0 0 1];%开环传递函数分子系数，降幂排列
den=[1 3 2 0]; %开环传递函数分母系数，降幂排列
r=rlocus(num,den);
执行之，可得到根轨迹。
zi，式中 p j不计为0极点。 pj
所以，开环放大系数：K 43.776 1.824
46
由于闭环极点之和等于开环极点之和，所以另一个闭环极点
为： s3 7.6 。该极点是共轭复极点实部的6倍多。
12
4.5 控制系统的根轨迹分析法
例：单位反馈系统的开环传递函数为