自动控制原理4 第五节控制系统的根轨迹分析法

三、利用根轨迹求解代数方程的根
例 求如下代数方程的根
s3 3s2 4s 20 0
解：为了将此题作为一个根轨迹问题来考虑，应将上式变换成 根轨迹方程的形式。因式中无根轨迹增益，变换结果不唯一。
1
4s 20 s3 3s2
0
1
Kg (s 5) s3 3s2
0
(Kg 4)
1
s3
20 3s2
4)2
⒉能否通过选择Kg满足最大超调量δ%≤5%的要求？ ⒊能否通过选择Kg满足调节时间ts≤2秒的要求？ ⒋能否通过选择Kg满足位置误差系数Kp≥10的要求？ 解：⒈画根轨迹
①实轴无根轨迹
②渐近线 2.5，=±45°, ±135°
③与虚轴交点=±2，Kgp=100
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4.5 控制系统的根轨迹分析法 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2
D(s) 5s4 45.6s3 117 s2 87.2s 24
N(s)D(s) N (s)D(s) 3s6 30.8s5 127.4s4 338.4s3 531.2s2 348.8s 96 0
用Matlab可算出分离点s=－2.3557 ; [另一根为－5.1108(略)]。
递函数和闭环特征方程式也完全相同。由上页图可知系统A和B
的开环传递函数为：
Gs
ks 1 s2 s 2
特征方程为：Ds s2 s 2 ks 1
②系统A和B的闭环传递函数分别为：
A s
ks 1 Ds
s 2 s
ks 1 2 ks
1
B
s
k
Ds
s2 s
k
2
ks
1
ks 1
k
1
s
2 s 2 ks 1
3 2
1
6
4
0
设A点坐标为： j ，则：
tg60 3
（1）
相角条件为：1 2 3
120 tg1 tg1
4
6
（2）
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4.5 控制系统的根轨迹分析法
由(1)，(2)式解得： 1.2, 2.1 共轭主导极点为：s1,2 1.2 j2.1 。
也可令 s x 3xj 代入特征方程 s3 10s2 24s Kg 0
条件稳定系统：参数在一定的范围内取值才能使系统稳定，这 样的系统叫做条件稳定系统。
下面的系统就是条件稳定系统的例子： ❖ 开环非最小相位系统，其闭环系统的根轨迹必然有一部分在s 的右半平面； ❖ 具有正反馈的环节。 条件稳定系统的工作性能往往不能令人满意。在工程实际上， 应注意参数的选择或通过适当的校正方法消除条件稳定问题。
1
s
2
k
s
2
，闭环方块
图如下图（a）所示，系统B的闭环方块图如下图（b）所示。
R(s)
s 1
k
C(s) R(s)
s2 (s 2)
k
C(s)
s2 (s 2)
s 1
图(a) A系统
图(b) B系统
根轨迹相同的系统，开环传递函数和闭环极点都相同，但
闭环零点却不一定相同。
19
4.5 控制系统的根轨迹分析法
s2 s 2
1
s
2 s 2 ks 1
s2 s 2
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4.5 控制系统的根轨迹分析法
由此可知，系统A是一单位反馈系统，前向通路的传递函数
为：ks 1 s 2 s 2
。系统B的前向通路传递函数为：
s2
k
s
2
，反馈通路
传递函数为：s 1 。由于系统A和B有相同的被控对象，因此，
系统的A的前向通路传递函数可写为：s
实部方程 虚部方程
8x3 20x2 24x Kg
20 3x2 24 3x 0
m
0解得：x 1.2，s Kg 43.776
1.2 2.1 j
K (is 1)
开环传递函数以Gk (s)
i 1 n
的形式表示时，K称为开环放
大系数。
(Tjs 1)
j 1
显然K与Kg的关系为：K Kg
16
4.5 控制系统的根轨迹分析法
[例4-15]：设系统A和B有相同的被控对象，且有相同的根轨迹， 如下图所示。已知系统A有一个闭环零点，系统B没有闭环零点。 试求系统A和B的开环传递函数和它们所对应的闭环方块图。
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4.5 控制系统的根轨迹分析法
[解]：①由于两系统的根轨迹完全相同，因而它们对应的开环传
kg
23
s(s 1)(s 2)(s 3)
4.5 控制系统的根轨迹分析法
2、增加零点: 若在开环传递函数中增加一个零点，则原根轨迹向 左移动。从而增加系统的稳定性，减小系统响应的调整时间。
Gk
(s)
s2 s(s 1)
24
Gk (s)
(s
2 j1)(s 2 s(s 1)
j1)
4.5 控制系统的根轨迹分析法
n
j 1 2n
cos
n
, cos1
( 1 2n )2 ( n )2
所以 称为阻尼角。斜线称为等阻尼线。
8
4.5 控制系统的根轨迹分析法
我们知道闭环二阶系统的主要的性能指标是超调量和调整
时间。这些性能指标和闭环极点的关系如下：
% e 1 2 100% ectg 100%
若要求闭环单位阶跃响应的最大超调量 % 18%，试确定 开环放大系数。
[解]：首先画出根 轨迹如图。
根据计算知道：根 轨迹与虚轴的交点 为 24 ，这时的 临界增益 Kgp 240
当Kg 240 时，闭 环系统不稳定。
A B
10
4.5 控制系统的根轨迹分析法
这是一个三阶系统，从根轨迹上看出，随着Kg 的增加， 主导极点越显著。所以可以用二阶系统的性能指标近似计 算。 下面计算超调量和阻尼角的关系。由于：
时，系统是不稳定的。
这种情况称为条件稳定系统
5
8
7
6
5
4
168.6
3
2
627.1.551
1
K
g16157.2..6513
0
-1
Kg 15.6
-2
3.755
-3
Kg 168.6
-4
-5
-6
-7
-8 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2
4.5 控制系统的根轨迹分析法
第五节 控制系统的根轨迹分析法
1
4.5 控制系统的根轨迹分析法
利用根轨迹，可以对闭环系统的性能进行分析和校正 ❖ 由给定参数确定闭环系统的零极点的位置； ❖ 分析参数变化对系统稳定性的影响； ❖ 分析系统的瞬态和稳态性能； ❖ 根据性能要求确定系统的参数； ❖ 对系统进行校正。
2
4.5 控制系统的根轨迹分析法
⒋能否通过选择Kg满足位置误差系数Kp≥10的要求？
Kp
lim
s0
Gk
(s)
K gp 16
6.25
所以不能通过选择Kg满足Kp≥10的要求。
15
4.5 控制系统的根轨迹分析法
问题 ⒈增加开环零点改变根轨迹，因而改变闭环极点。那么是 否改变闭环零点？ ⒉当两个系统的根轨迹相同并选择相同的闭环极点时，这 两个系统的瞬态响应是否一样？
6
4.5 控制系统的根轨迹分析法
[例]非最小相位系统：Gk 稳定时的增益值。
(s)
(s
kg 1)( s
2)
，试确定使系统
[解]：根轨迹如右：
有闭环极点在右 半平面，系统是 不稳定的。显然 稳定临界点在原 点。该点的增益 临界值为 kgp 。
闭环特征方程为：s2 s kg 2 0 ，当s=0时，kgp 2 ，所以，系 7 统稳定的条件是：kg 2
另外可以根据
Kg
D(s) N (s)
求实轴分离点的近似值。
求出[-4，0]之间的增益如下表所示
s 0 -0.5 -1 -1.5 -2.0 -2.5 -3 -3.5 -4
K gd 0
1.628 3
5.971 8.80 9.375 7.457 3.949 0
Kgd的最大值为9.375，这时s=－2.5，是近似分离点。
五、用Matlab绘制根轨迹 Matlab参考书推荐： 现代控制工程，[美]Katsuhiko Ogats,卢伯英译， 电子工业出版社 MATLAB控制系统设计，欧阳黎明著， 国防工业出版社
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4.5 控制系统的根轨迹分析法
[例子]系统的开环传递函数为：Gk (s) Matlab画出系统的根轨迹。
一、 条件稳定系统的分析
[例4-11]：设开环系统传递函数为：Gk
(s)
s(s
Kg(s2 2s 4)(s 6)(s2
4) 1.4s
1)
试绘制根轨迹，并讨论使闭环系统稳定时Kg 的取值范围。
[解]根据绘制根轨迹的步骤，可得：
➢ 开环极点：0,－4,－6,－0.7±j0.714，零点：－1±j1.732
21
4.5 控制系统的根轨迹分析法
四、开环零、极点对根轨迹形状的影响 1、增加极点：开环传递函数在s左半平面增加一个极点将使原根 轨迹右移。从而降低系统的相对稳定性，增加系统的调整时间。
Gk (s)
kg s(s 1)
22
Gk
(s)
s(s
kg 1)( s
2)
4.5 控制系统的根轨迹分析法
G(s)
4.5 控制系统的根轨迹分析法
二、瞬态性能分析和开环系统参数的确定
利用根轨迹可以清楚的看到开环根轨迹增益或其他开环系
统参数变化时，闭环系统极点位置及其瞬态性能的改变情况。
以二阶系统为例：开环传递函数为Gk
闭环传递函数为(s)
s2
n2 2 n s
n2
(s)
s(s
n2 2n )
共轭极点为：s1,2 n j 1 2n 在s平面上的分布如右图： 闭环极点的张角 为：
% ectg 100 %, 当 % 18%时解得： 61.37
在根轨迹图上画两条与实轴夹角为 60 的直线，与根轨 迹交于A、B两点。 则A、B两点就是闭环共轭主导极点， 这时系统的超调量小于18%。通过求A、B两点的坐标，可 以确定这时的根轨迹增益K g ，进而求得开环放大系数K。
11
A j
分离角：
d
2
4
4.5 控制系统的根轨迹分析法
➢ 出射角：c 55，
➢入射角：r 103
➢ 与虚轴的交点和
对应的增益值：
1.213
2.151
3.755
15.6
kgp
67.5
168.6
画出根轨迹如图所示，该图是用
Matlab工具绘制的。
由图可知：当 0 Kg 15.6 和 67.5 Kg 168 .6 时，系统是 稳定的； 当 Kg 168 .6和15.6 Kg 67.5
zi，式中 p j不计为0极点。 pj
所以，开环放大系数：K 43.776 1.824
46
由于闭环极点之和等于开环极点之和，所以另一个闭环极点
为： s3 7.6 。该极点是共轭复极点实部的6倍多。
12
4.5 控制系统的根轨迹分析法
例：单位反馈系统的开环传递函数为
⒈画出根轨迹
Gk
(s)
(s
Kg 1)2 (s
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4.5 控制系统的根轨迹分析法
⒉能否通过选择Kg满足最大超调量δ%≤5%的要求？
当取阻尼角为45°的主导极点时， δ%≤5%的要求。 由根轨迹可见阻尼角为45°的线与根轨迹相交，可求得主 导极点为s=－0.8+0.8j，另一对极点为s=－4.2+0.8j 相差5.25倍，满足主导极点的要求。 ⒊能否通过选择Kg满足调节时间ts≤2秒的要求？ 要求ts≤2秒，即要求3/ 2， .5。由根轨迹可知主导极点 的实部 ，所以不能通过选择Kg满足ts≤2秒的要求。
1 s(s 1)(s 2)
，试利用
[解]打开Matlab,创建一个m文件，输入下列程序片段： num=[0 0 0 1];%开环传递函数分子系数，降幂排列
den=[1 3 2 0]; %开环传递函数分母系数，降幂排列
r=rlocus(num,den);
执行之，可得到根轨迹。
➢ 渐近线：与实轴的交点：
pi zi 4 6 1.4 2 3.13
4
nm
3
2
倾角： (2k 1) ,
nm
3
6
4
2 0
➢ 实轴上根轨迹区间：(,6),[4,0]
2
4
3
4.5 控制系统的根轨迹分析法
➢ 分离会合点：
N (s) s2 2s 4，N (s) 2s 2 D(s) s5 11.4s4 39s3 43.6s2 24s
ts
3
n
3
(为极点实部 )
n
j 1 2n
%和 的关系如下图
100
80
60 δ%
40
20
若闭环极点落在下图中红线包围
的区域中，有：
% ectg 和ts
3
0
0
30 60 90
β
9
4.5 控制系统的根轨迹分析法
[例4-12]单位反馈系统的开环传递函数为：Gk
(s)
s(s
Kg 4)( s
6)
4s
0
1
s3
Kg 3s2
4s
0
(Kg 20)
20
4.5 控制系统的根轨迹分析法
8
8
8
7
7
7
6
6
6
5
5
5
4
4
4
3
3
3
2
2
2
1
1
1
0
0
0
-1
-1
-1
-2
-2
-2
-3
-3
-3
-4
-4
-4
-5
-5
-5
-6
-6
-6
-7
-7
-7
-8
-8
-8
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2