多重积分的方式总结
多重积分的计算与应用
多重积分的计算与应用引言：多重积分是微积分学中的重要概念，在许多科学领域和工程应用中有着广泛的应用。
本文将介绍多重积分的计算方法，并探讨其在实际问题中的应用。
一、多重积分的基本概念多重积分是对二维或三维空间中的函数进行求和或求平均的数学工具。
在二维情况下，我们可以通过对函数在一个闭区域上进行积分来求得该区域上的面积；在三维情况下，我们通过对函数在一个闭区域内的体积进行积分来求得该区域的体积。
二、多重积分的计算方法1. 二重积分的计算二重积分是对平面内的函数在一个闭区域上进行积分。
常用的计算方法包括直角坐标系中的换元法、极坐标系中的换元法等。
2. 三重积分的计算三重积分是对空间内的函数在一个闭区域上进行积分。
常用的计算方法包括直角坐标系中的换元法、柱坐标系中的换元法、球坐标系中的换元法等。
三、多重积分的应用领域1. 几何学中的应用通过计算二重积分，我们可以求得平面区域的面积。
在三维几何学中，通过计算三重积分，可以求得物体的体积或表面积，从而解决与空间图形相关的问题。
2. 物理学中的应用多重积分在物理学中有广泛的应用。
例如，通过计算三重积分来求解质点系的质心坐标，或者计算物体的质量、能量等物理量。
3. 统计学中的应用多重积分在统计学中的应用也是不可忽视的。
例如，在概率密度函数中，我们可以通过计算二重积分来求得某事件的概率。
4. 工程学中的应用多重积分在工程学中有着重要的应用。
例如，在流体力学中，通过计算三重积分可以求解流体的质量、流速等参数；在电磁场理论中，通过计算三重积分可以求解电场和磁场的分布情况。
结论：多重积分作为微积分学的重要内容，在科学研究和工程应用中有着广泛的应用。
本文介绍了多重积分的计算方法，以及其在几何学、物理学、统计学和工程学中的应用。
通过深入学习和理解多重积分的概念和计算方法，我们可以更好地应用于解决实际问题，并且推动各个领域的发展。
多重积分方法总结
摘要：二重积分和三重积分的概念都有实际的几何或物理的背景，定义分为四个步骤用构造的方法给出，最终表现为“黎曼和”的极限．故多重积分具有极限的基本性质，如唯一性，线性性质等．定义给出了概念的一个准确描述方法，进而从定义出发可以从纯逻辑上考察概念具有的性质以及计算方法．关键词：二重积分三重积分英文题目Summary of multiple integral methodAbstract:The double integral and triple integral concepts are have the real geometry or physical background, definition is divided into four steps with the method of structure are given, finally shown as "Riemann and" limit. So has the limits of the integral multiple basic properties, such as uniqueness, linear properties. Definition of the concept of a given accurate description method, and from the definition from pure logic can be reviews the concept has property and calculation method. Keyword: The double integral triple integral1.引言：重积分的计算主要是化为多次的积分．这里首先要看被积区域的形式, 选择合适的坐标系来进行处理．二重积分主要给出了直角坐标系和极坐标系的计算方法．我们都可以从以下几个方面把握相应的具体处理过程：1.被积区域在几何直观上的表现（直观描述，易于把握）；2.被积分区域的集合表示（用于下一步确定多次积分的积分次序和相应的积分限）；3.化重积分为多次积分． 2.研究问题及成果 2.1．二重积分的计算 1. 在直角坐标下： (a) X-型区域几何直观表现：用平行于y 轴的直线穿过区域内部，与边界的交点最多两个．从而可以由下面和上面交点位于的曲线确定两个函数1()y y x =和2()y y x =；被积区域的集合表示：12{(,),()()}D x y a x b y x y y x =≤≤≤≤； 二重积分化为二次积分：21()()(,)(,)by x ay x Df x y dxdy dx f x y dy =⎰⎰⎰⎰．(b) Y-型区域几何直观表现：用平行于x 轴的直线穿过区域内部，与边界的交点最多两个．从而可以由左右交点位于的曲线确定两个函数1()x x x =和2()x x x =；被积区域的集合表示：12{(,),()()}D x y c y d x x x x x =≤≤≤≤； 二重积分化为二次积分：21()()(,)(,)dx y cx y Df x y dxdy dx f x y dx =⎰⎰⎰⎰．2. 在极坐标下：几何直观表现：从极点出发引射线线穿过区域内部，与边界的交点最多两个．从而可以由下面和上面交点位于的曲线确定两个函数1()r r θ=和2()r r θ=（具体如圆域，扇形域和环域等）；被积区域的集合表示：1212{(,),()()}D r r r r θθθθθθ=≤≤≤≤，注意，如果极点在被积区域的内部，则有特殊形式2{(,)02,0()}D r r r θθπθ=≤≤≤≤；直角坐标下的二重积分化为极坐标下的二重积分，并表示成相应的二次积分：2211()()(,)(cos ,sin )(cos ,sin )r r DDf x y dxdy f r r rdrd d f r r rdr θθθθθθθθθθ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰．注：具体处理题目时，首要要能够选择适当的处理方法，并能够实现不同积分次序及直角坐标和极坐标的转化．3. 二重积分的换元法：(,)z f x y =在闭区域D 上连续，设有变换(,),(,)(,)x x u v T u v D y y u v =⎧'∈⎨=⎩ 将D '一一映射到D 上，又(,),(,)x u v y u v 关于u , v 有一阶连续的偏导数，且(,)0(,)x y J u v ∂=≠∂, (,)u v D '∈ 则有(,)((,),(,))DD f x y dxdy f x u v y u v J dudv '=⎰⎰⎰⎰．二． 三重积分的计算三重积分具体的处理过程类似于二重积分，也分为三个步骤来进行处理．1. 在直角坐标下：空间区域几何直观表现：用平行于z 轴的直线穿过区域内部，与边界曲面的交点最多两个．从而可以由下面和上面交点位于的曲面确定两个函数1(,)z z x y =和1(,)z z x y =，并把区域投影到xoy 面上从而确定(,)x y 的范围，记为xy D ；被积区域的集合表示：12{(,,)(,),(,)(,)}xy V x y z x y D z x y z z x y =∈≤≤, 进一步地, xy D 可以表示成X －型区域或Y －型区域;三重积分化为三次积分：21(,)(,)(,,)(,,)xyz x y z x y VD f x y z dV dxdy f x y z dz =⎰⎰⎰⎰⎰⎰（所谓“二套一”的形式）2211()(,)()(,)(,,)by x z x y a y x z x y dx dy f x y z dz =⎰⎰⎰（xy D 为X －型）2211()(,)()(,)(,,)dx y z x y c x y z x y dy dx f x y z dz =⎰⎰⎰（xy D 为Y －型）注：类似于以上的处理方法，把空间区域投影到 yoz 面或zox 面又可把三重积分转化成不同次序的三次积分．这时区域几何直观表现，区域的集合表示，以及新的三次积分次序如何？可见，三重积分最多可以对应六种积分次序．这里还有所谓一套二的处理方法，区域的直观表现为：平行于xoy 面的截面面积容易求得．作为被积函数最好与x ，y 无关，即可表示为为()f z ．则区域表示为：{(,,),(,)}z V x y z c z d x y D =≤≤∈,其中z D 表示垂直于z 轴的截面．此时，三重积分化为：(,,)()zdcVD f x y z dV dz f z dxdy =⎰⎰⎰⎰⎰⎰ （所谓“一套二”的形式）()zdD c f z S dz =⎰其中zD S 表示截面z D 的面积，它是关于z 的函数．2. 在柱坐标下：柱坐标与直角坐标的关系：cos sin ,(0,02,)x r y r r z z z θθθπ=⎧⎪=≤<∞≤≤-∞<<+∞⎨⎪=⎩空间区域几何直观表现：用平行于z 轴的直线穿过区域内部，与边界曲面的交点最多两个，从而可以由下面和上面交点位于的曲面确定两个函数1(,)z z x y =和1(,)z z x y =．空间区域在xoy 面上的投影区域易于用参数r 和θ表示范围（具体如圆域，扇形域和环域等），并且1(,)z z x y =和1(,)z z x y =也易于进一步表示z 成关于,r θ较简单的函数形式，比如22x y +可以看成一个整体（具体如上、下表面为旋转面的情形）；被积区域的集合表示：121212{(,),()(),(,)(,)}V r r r r z r z z r θθθθθθθθ=≤≤≤≤≤≤；直角坐标下的三重积分化为极坐标下的三重积分，并表示成相应的三次积分：(,,)(cos ,sin ,)VVf x y z dV f r r z rdrd dzθθθ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰222111()(,)()(,)(cos ,sin ,)r z r r z r d rdr f r r z dz θθθθθθθθθ=⎰⎰⎰．3. 在球坐标下：球坐标与直角坐标的关系：sin cos sin sin ,(0,02,0)cos x r y r r z ϕθϕθθπϕπϕ=⎧⎪=≤<∞≤≤≤≤⎨⎪=⎩空间区域几何直观表现：从原点出发引射线穿过区域内部，与边界曲面的交点最多两个，从而可以由下面和上面交点位于的曲面确定两个球坐标函数1(,)r r r θ=和2(,)r r r θ=; （具体如球心在原点或z 轴上的球形域）被积区域的集合表示：121212{(,,),,(,)(,)}V r r r r θϕθθθϕϕϕθϕθϕ=≤≤≤≤≤≤；直角坐标下的三重积分化为极坐标下的三重积分，并表示成相应的三次积分：2(,,)(sin cos ,sin sin ,cos )sin VVf x y z dV f r r r r drd d ϕθϕθθϕθϕ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰=212(,)20(,)(sin cos ,sin sin ,cos )sin r r d d f r r r r dr ππθϕθϕθϕϕθϕθθϕ⎰⎰⎰．如球心在原点半径为a 的球形域下：220(,,)(sin cos ,sin sin ,cos )sin aVf x y z dV d d f r r r r dr ππθϕϕθϕθθϕ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰．4. 三重积分的换元法：(,,)u f x y z =在闭区域V 上连续，设有变换(,,):(,,),(,,)(,,)x x u v w T y y u v w u v w V z z u v w =⎧⎪'=∈⎨⎪=⎩将V '一一映射到V 上，又(,,),(,,)x u v w y u v w 和(,,)z u v w 关于u , v 和w 有一阶连续的偏导数，且(,,)0(,,)x y z J u v w ∂=≠∂, (,)u v V '∈则有(,,)((,,),(,,),(,,))VVf x y z dV f x u v w y u v w z u v w J dudvdw =⎰⎰⎰⎰⎰⎰．三．重积分的几何和物理应用 1. 几何应用a) 二重积分求平面区域面积；b) 二重积分求曲顶柱体体积；c)三重积分求空间区域的体积；d) 二重积分求空间曲面的面积．求曲面的面积A ，对应着曲面方程为直角坐标系下的二元函数形式和参数方程形式分别有以下公式：i ) 曲面方程 :(,),(,)S z f x y x y D =∈DA =ii )曲面参数方程(,):(,),(,)(,)uv x x u v S y y u v u v D z z u v =⎧⎪=∈⎨⎪=⎩()()uvuvu u u v v v u u u D D vvvi j kA x i y j z k x i y j z k dudv x y z dudv x y z =++⨯++=⎰⎰⎰⎰注：这里的公式都对函数有相应的微分条件． 2. 物理应用包括求质量、质心、转动惯量和引力等应用，积分是研究物理问题的重要工具．建立物理量对应的积分公式的一般方法是从基本的物理原理出发，找到所求量对应的微元，也就是对应积分的被积表达式了．3.结束语：以上对多重积分的计算方法做了个小结，关键要在具体的情况下要找到对应的适宜的处理方法．处理重积分计算时从几何形式出发，则易于直观把握．注意选择适当的坐标系，注意被积区域的表达，还要注意函数关于区域的对称性．这种对称性包括奇对称和偶对称，从而可以简化计算过程．参考文献1.华东师范大学数学系数学分析高等教育出版社2.陈传璋复旦第二版数学分析高等教育出版社。
多重积分的计算方法与应用
多重积分的计算方法与应用积分是微积分的重要概念之一，用于求解曲线下面的面积、体积、质量等问题。
在实际应用中，我们常常需要对多维变量进行积分求解。
这就引出了多重积分的概念和相应的计算方法。
本文将介绍多重积分的计算方法，并探讨其在实际问题中的应用。
一、二重积分的计算方法二重积分是对二维平面上的函数进行积分。
常用的计算方法有直角坐标系下的矩形法和极坐标系下的极坐标法。
1. 矩形法矩形法是基于直角坐标系的计算方法。
将被积函数的定义域分割成小的矩形区域，然后分别计算每个矩形区域的面积和函数值，并求和得到最终的积分结果。
矩形法的计算精度受到分割的矩形区域大小和数量的影响，一般情况下，矩形越小、分割越多，计算结果越精确。
2. 极坐标法极坐标法适用于具有旋转对称性的函数。
通过引入极坐标系，将二重积分转化为对半径和角度的积分。
在极坐标系下，可以通过调整极坐标的范围和积分顺序，简化被积函数的形式，从而减少计算复杂度。
二、三重积分的计算方法三重积分是对三维空间中的函数进行积分。
常用的计算方法有直角坐标系下的长方体法和柱面坐标系下的柱面法。
1. 长方体法长方体法是基于直角坐标系的计算方法。
将被积函数的定义域分割成小的长方体区域，然后分别计算每个长方体区域的体积和函数值，并求和得到最终的积分结果。
与二重积分的矩形法类似，长方体法的计算精度受到分割的长方体区域大小和数量的影响。
2. 柱面法柱面法适用于具有旋转对称性的函数。
通过引入柱面坐标系，将三重积分转化为对半径、角度和高度的积分。
柱面法的优势在于简化被积函数的形式，从而减少计算复杂度。
三、多重积分的应用多重积分在实际问题中具有广泛的应用。
以下以几个典型的应用场景为例进行介绍。
1. 几何体的体积计算多重积分可以用于计算复杂几何体的体积。
通过将几何体分割成小的体积元素，然后对每个体积元素进行积分求和，可以得到几何体的体积。
例如，可以利用三重积分计算球体、圆柱体和锥体等的体积。
多重积分的计算
多重积分的计算多重积分是微积分的重要内容之一，其涉及到对多个变量的函数进行积分计算。
在实际应用中，多重积分常常出现在曲线线性拟合、概率密度函数计算、物体质量计算等问题中。
本文将介绍多重积分的概念、计算方法以及一些实际应用。
一、多重积分的概念多重积分即对多个变量的函数进行积分计算。
与一重积分不同，一重积分只涉及一个自变量，其形式通常为∫f(x)dx。
而多重积分涉及多个自变量，一般形式为∫∫…∫f(x1, x2, ..., xn)dxdy…dz，其中n为变量的个数。
多重积分可以理解为对多维空间中的一个区域进行体积的计算。
当n=2时，多重积分可以理解为对平面上的一个区域进行面积的计算；当n=3时，多重积分可以理解为对空间中的一个区域进行体积的计算。
多重积分的计算方法分为累次积分和换序积分两种。
二、累次积分的计算方法累次积分是多重积分的一种计算方法，通过将多重积分转化为一重积分的形式来进行计算。
累次积分的计算顺序可以按照自变量的先后顺序进行，比如先计算x的积分，再计算y的积分。
举个例子，考虑函数f(x, y)在区域D上的积分计算，其中D为一个有界闭区域。
我们可以首先固定y的值，将f(x, y)看作x的函数，即得到f(x, y)在y固定时的积分函数F(y)，然后在区域D上对F(y)进行一重积分计算。
这样就得到了原函数f(x, y)在区域D上的积分值。
三、换序积分的计算方法换序积分是多重积分的另一种计算方法，通过改变积分次序来简化计算。
换序积分的前提是被积函数在所考虑的区域上是可积的。
换序积分的计算顺序可以根据具体情况进行灵活选择，常见的换序顺序有从内到外、从外到内等。
在选择换序顺序时，需要考虑到不同变量的取值范围和被积函数的形式，以便进行合适的变量替换和积分计算。
四、多重积分的应用多重积分在实际应用中有着广泛的应用。
以下列举几个常见的应用场景：1. 曲线线性拟合：多重积分可以用来拟合实验数据中的曲线关系，通过求解拟合曲线下的面积来获得拟合结果。
多重积分的方法总结
多重积分的方法总结多重积分是微积分的重要内容之一，在物理、工程、经济等学科中有广泛的应用。
它是定积分的推广，主要用于计算二重积分、三重积分以及更高维度的积分。
一、二重积分的求解方法1.直角坐标求解法：根据被积函数的形式，选择适当的积分次序，将二重积分转化为两次一重积分求解。
2.换元法：将二重积分转化为在转化后的坐标系中的积分。
常见的换元法有极坐标法、参数方程法等。
3.极坐标法：对于具有圆形对称性的被积区域和被积函数，可以使用极坐标进行求解。
极坐标的变换公式为：x = r*cosθy = r*sinθ面积元素dA = r*dr*dθ4.矩形法：对于长方形区域上的二重积分，可以使用矩形法进行计算。
将整个被积区域划分为若干个小矩形，然后对每个小矩形上的被积函数进行近似计算，最后将所有小矩形的结果相加得到最终的结果。
二、三重积分的求解方法1.直角坐标求解法：根据被积函数的形式，选择适当的积分次序，将三重积分转化为三次一重积分求解。
2.柱坐标法：对于具有柱面对称性的被积区域和被积函数，可以使用柱坐标进行求解。
柱坐标的变换公式为：x = r*cosθy = r*sinθz=z体积元素dV = r*dr*dθ*dz3.球坐标法：对于具有球面对称性的被积区域和被积函数，可以使用球坐标进行求解。
球坐标的变换公式为：x = r*sinφ*cosθy = r*sinφ*sinθz = r*cosφ体积元素dV = r^2*sinφ*dφ*dθ*dr应用题解析：多重积分在物理、工程和经济学等学科中有广泛应用，常用于计算质量、体积、中心、质心、转动惯量、质量矩等物理量。
在应用题中，需要根据具体问题确定积分的次序、被积函数和被积区域，并利用常见的求解方法进行求解。
例如，计算一个半径为R的球体的体积。
由于球体具有球面对称性，我们可以使用球坐标进行求解。
将球体划分为若干个体积元素，并对每个体积元素进行积分，最后将所有体积元素的体积相加得到球体的总体积。
多重积分方法总结
多重积分方法总结多重积分是微积分的一个重要分支，用于研究二维、三维或更高维空间中的函数性质。
它在实际问题的建模与求解中起到了重要作用。
多重积分方法主要包括定积分、累次积分、面积分和体积分的相关方法。
一、定积分方法定积分是多重积分的基础，可将曲线下方形成的面积看作是一个函数与对应的线段长度之间的关系。
定积分可用于求函数的面积、弧长、几何体积、质量、质心等问题。
利用定积分方法可将区域分割为无穷多的小矩形，通过求和得到区域的总面积。
定积分的计算可以应用牛顿-莱布尼茨公式、变限积分法和微积分基本定理。
二、累次积分方法累次积分是多重积分的另一种重要方法，主要用于求解二重积分和三重积分。
通过不断降维，将多重积分问题转化为单重积分问题。
对于二重积分，可以将区域划分为无穷多的小矩形，求和得到总面积；对于三重积分，可以将区域划分为无穷多的小立方体，求和得到总体积。
累次积分通过反复积分的方式，对于不同变量进行积分，使得积分操作变得相对简单。
三、面积分方法面积分主要用于计算曲面的面积和一些向量场沿曲面的通量。
面积分可以分为第一类和第二类，分别对应于标量场和向量场。
对于第一类面积分，可以通过将曲面分割为无数小小面积片，用累次积分的方法将其进行求和，得到总面积。
对于第二类面积分，需要考虑向量场在曲面上的法向量，通过点乘计算通量。
四、体积分方法体积分主要用于计算三维空间中定义的函数体所围成的体积。
通过将空间划分为无穷多的小体积元，用累次积分的方法对其进行求和，得到总体积。
体积分的计算需要确定积分变量的积分区间，同时还需要确定积分函数在每个小体积元上的取值。
除了上述基本的多重积分方法外，还有一些常见的变量替换方法，如极坐标、球坐标、柱坐标等，可以简化积分计算，并且有时能够使积分过程更加简洁。
此外，对于一些特殊的区域和函数，还可以利用对称性、奇偶性等性质，选择合适的积分区域和变量替换，从而简化多重积分的计算过程。
综上所述，多重积分方法是微积分的重要工具之一，对于求解曲线面积、体积、通量等问题有着广泛的应用。
多重积分的计算方法与技巧
多重积分的计算方法与技巧在数学中，多重积分是一种重要的计算方法，用于求解多变量函数在特定区域上的积分。
计算多重积分需要掌握一些方法和技巧，本文将介绍其中常用的计算方法以及一些实用的技巧。
1. 二重积分的计算方法二重积分是最基本的多重积分形式，其计算方法分为直角坐标系下和极坐标系下的计算方法。
以下将介绍这两种计算方法。
1.1 直角坐标系下的计算方法直角坐标系下的二重积分计算方法如下：首先，确定积分区域D，并在直角坐标系下建立相应的坐标系。
其次，写出被积函数f(x,y)在D上的积分形式，即∬f(x,y)dxdy。
然后，根据积分区域D的形状和对称性，选择适当的积分顺序，如先x后y或先y后x。
最后，通过将二重积分转化为两个一重积分相结合的形式，依次进行积分计算，可以利用一重积分的性质和常见函数的积分表进行计算。
1.2 极坐标系下的计算方法对于某些具有旋转对称性的问题，使用极坐标系进行积分计算更加方便快捷。
极坐标系下的二重积分计算方法如下：首先，确定积分区域D，并在极坐标系下建立相应的坐标系。
其次，写出被积函数f(r,θ)在D上的积分形式，即∬f(r,θ)rdrdθ。
然后，根据积分区域D的特点，确定积分的范围。
最后，通过将二重积分转化为两个一重积分相结合的形式，依次进行积分计算，可以利用一重积分的性质和常见函数的积分表进行计算。
2. 三重积分的计算方法三重积分是在三维空间中计算体积、质量、重心等物理量时常用到的方法，其计算方法比二重积分复杂一些。
计算三重积分的方法如下：首先，确定积分区域D，并在三维坐标系下建立相应的坐标系。
其次，写出被积函数f(x,y,z)在D上的积分形式，即∭f(x,y,z)dxdydz。
然后，根据积分区域D的特点，确定积分的范围。
最后，通过将三重积分转化为三个一重积分相结合的形式，依次进行积分计算。
在实际计算中，可以利用对称性、数学变换和数值计算等方法简化复杂的三重积分计算。
3. 多重积分的技巧除了上述的基本计算方法外，还有一些技巧可以帮助我们更高效地计算多重积分。
高中数学解多重积分问题的技巧与步骤总结
高中数学解多重积分问题的技巧与步骤总结在高中数学中，多重积分是一个重要的概念和工具，用于解决一些与空间、曲线、曲面相关的问题。
掌握解多重积分的技巧和步骤对于学生来说是非常重要的。
本文将总结一些解多重积分的技巧和步骤，并通过具体的例题来说明。
一、确定积分的次序和范围在解多重积分问题时，首先要确定积分的次序和范围。
对于二重积分来说，可以选择先对 x 进行积分，再对 y 进行积分，也可以选择先对 y 进行积分，再对 x 进行积分。
在选择积分次序时，可以根据题目的要求和问题的特点来决定。
例如，考虑计算二重积分∬D f(x,y) dxdy，其中 D 是一个有界闭区域。
如果 D 是一个简单的几何图形，如矩形、三角形或圆形等，可以根据题目的要求来选择积分次序。
如果 D 是由两个或多个简单几何图形组成的复杂区域，可以考虑将其分割成简单的几何图形，然后分别计算积分。
二、确定积分的限制条件在确定积分的次序和范围后，接下来要确定积分的限制条件。
这些限制条件可以是直接给出的，也可以是通过题目中的条件推导得到的。
例如，考虑计算二重积分∬D f(x,y) dxdy，其中 D 是一个有界闭区域。
如果题目中给出了 D 的边界方程或者其他条件，可以利用这些条件来确定积分的限制条件。
如果没有给出这些条件，可以通过观察和分析题目中的信息来推导得到。
三、确定积分的积分区域在确定积分的限制条件后，接下来要确定积分的积分区域。
积分区域可以通过画图或者利用题目中给出的条件来确定。
例如，考虑计算二重积分∬D f(x,y) dxdy，其中 D 是一个有界闭区域。
可以根据题目中给出的条件画出 D 的示意图，然后确定积分区域。
在确定积分区域时，要注意边界的方程和交点的坐标。
四、确定积分的积分元在确定积分的积分区域后，接下来要确定积分的积分元。
积分元可以根据积分的次序和范围来确定。
例如，考虑计算二重积分∬D f(x,y) dxdy，其中 D 是一个有界闭区域。
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个．从而可以由左右交点位于的曲线确定两个函数 x x1(D {(x, y) c y d, x1(x) x x2 (x)} ；
二重积分化为二次积分：
2. 在极坐标下：
D
f (x, y)dxdy
c
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，通系电1，力过根保管据护线生高0不产中仅工资2艺料22高试2可中卷以资配解料置决试技吊卷术顶要是层求指配，机置对组不电在规气进范设行高备继中进电资行保料空护试载高卷与中问带资题负料2荷试2，下卷而高总且中体可资配保料置障试时2卷，32调需3各控要类试在管验最路；大习对限题设度到备内位进来。行确在调保管整机路使组敷其高设在中过正资程常料1工试中况卷，下安要与全加过，强度并看工且25作尽52下可22都能护可地1关以缩于正小管常故路工障高作高中；中资对资料于料试继试卷电卷连保破接护坏管进范口行围处整，理核或高对者中定对资值某料，些试审异卷核常弯与高扁校中度对资固图料定纸试盒，卷位编工置写况.复进保杂行护设自层备动防与处腐装理跨置，接高尤地中其线资要弯料避曲试免半卷错径调误标试高方中等案资，，料要编试求5写、卷技重电保术要气护交设设装底备备置。4高调、动管中试电作线资高气，敷料中课并设3试资件且、技卷料中拒管术试试调绝路中验卷试动敷包方技作设含案术，技线以来术槽及避、系免管统不架启必等动要多方高项案中方；资式对料，整试为套卷解启突决动然高过停中程机语中。文高因电中此气资，课料电件试力中卷高管电中壁气资薄设料、备试接进卷口行保不调护严试装等工置问作调题并试，且技合进术理行，利过要用关求管运电线行力敷高保设中护技资装术料置。试做线卷到缆技准敷术确设指灵原导活则。。：对对在于于分调差线试动盒过保处程护，中装当高置不中高同资中电料资压试料回卷试路技卷交术调叉问试时题技，，术应作是采为指用调发金试电属人机隔员一板，变进需压行要器隔在组开事在处前发理掌生；握内同图部一纸故线资障槽料时内、，设需强备要电制进回造行路厂外须家部同出电时具源切高高断中中习资资题料料电试试源卷卷，试切线验除缆报从敷告而设与采完相用毕关高，技中要术资进资料行料试检，卷查并主和且要检了保测解护处现装理场置。设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
多重积分的方法总结
二重积分和三重积分的概念都有实际的几何或物理的背景，定义分为四个 步骤用构造的方法给出，最终表现为“黎曼和”的极限．故多重积分具有极限 的基本性质，如唯一性，线性性质等．定义给出了概念的一个准确描述方法， 进而从定义出发可以从纯逻辑上考察概念具有的性质以及计算方法．和定积分 的概念对应，多重积分和定积分的定义及性质一致，其定义和性质都不难理 解．把握这里的概念，需要大家从这几个角度来理解：1. 几何和物理背景；2. 定义形式；3.概念的性质；4.计算方法；5.应用．
多重积分的方法总结
专业：水文与水资源工程 姓名：赵兆 学号：201103325 任课教师：王银霞
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，通系电1，力过根保管据护线生高0不产中仅工资2艺料22高试2可中卷以资配解料置决试技吊卷术顶要是层求指配，机置对组不电在规气进范设行高备继中进电资行保料空护试载高卷与中问带资题负料2荷试2，下卷而高总且中体可资配保料置障试时2卷，32调需3各控要类试在管验最路；大习对限题设度到备内位进来。行确在调保管整机路使组敷其高设在中过正资程常料1工试中况卷，下安要与全加过，强度并看工且25作尽52下可22都能护可地1关以缩于正小管常故路工障高作高中；中资对资料于料试继试卷电卷连保破接护坏管进范口行围处整，理核或高对者中定对资值某料，些试审异卷核常弯与高扁校中度对资固图料定纸试盒，卷位编工置写况.复进保杂行护设自层备动防与处腐装理跨置，接高尤地中其线资要弯料避曲试免半卷错径调误标试高方中等案资，，料要编试求5写、卷技重电保术要气护交设设装底备备置。4高调、动管中试电作线资高气，敷料中课并设3试资件且、技卷料中拒管术试试调绝路中验卷试动敷包方技作设含案术，技线以来术槽及避、系免管统不架启必等动要多方高项案中方；资式对料，整试为套卷解启突决动然高过停中程机语中。文高因电中此气资，课料电件试力中卷高管电中壁气资薄设料、备试接进卷口行保不调护严试装等工置问作调题并试，且技合进术理行，利过要用关求管运电线行力敷高保设中护技资装术料置。试做线卷到缆技准敷术确设指灵原导活则。。：对对在于于分调差线试动盒过保处程护，中装当高置不中高同资中电料资压试料回卷试路技卷交术调叉问试时题技，，术应作是采为指用调发金试电属人机隔员一板，变进需压行要器隔在组开事在处前发理掌生；握内同图部一纸故线资障槽料时内、，设需强备要电制进回造行路厂外须家部同出电时具源切高高断中中习资资题料料电试试源卷卷，试切线验除缆报从敷告而设与采完相用毕关高，技中要术资进资料行料试检，卷查并主和且要检了保测解护处现装理场置。设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
个．从而可以由下面和上面交点位于的曲线确定两个函数 y y1(x) 和 y y2 (x) ；
被积区域的集合表示： D {(x, y) a x b, y1(x) y y2 (x)} ；
二重积分化为二次积分：
f (x, y)dxdy
a
D
b
dx
(b) Y-型区域 几何直观表现：用平行于 x 轴的直线穿过区域内部，与边界的交点最多两
计算根据被积区域和被积函数的形式要选择适当的方法处理，这里主要是 看被积区域的形式来选择合适的坐标形式，并给区域一个相应的表达，从而可 以转化多重积分为多次的积分形式．具体的一些作法在下面给出．
一．二重积分的计算 重积分的计算主要是化为多次的积分．这里首先要看被积区域的形式, 选 择合适的坐标系来进行处理．二重积分主要给出了直角坐标系和极坐标系的计 算方法．我们都可以从以下几个方面把握相应的具体处理过程：1.被积区域在 几何直观上的表现（直观描述，易于把握）；2.被积分区域的集合表示（用于下 一步确定多次积分的积分次序和相应的积分限）；3.化重积分为多次积分． 1. 在直角坐标下： (a) X-型区域 几何直观表现：用平行于 y 轴的直线穿过区域内部，与边界的交点最多两