第21节条件概率、全概率公式与贝叶斯公式
条件概率 乘法公式 全概率公式 贝叶斯公式
称为全概率公式.
B2
A
B1
Bn1 Bn
B3
证 因为
A AS A( B1 B2 Bn )
B2
A
B1
Bn1 Bn
那么, 全概率公式和贝叶斯公式变为
P ( A) P ( A B ) P ( B ) P ( A B ) P ( B ),
P( A B )P(B ) P ( AB ) . P ( B A) P ( A) P ( A B ) P ( B ) P ( A B ) P ( B )
例5
某电子设备制造厂所用的元件是由三家
打破”.以B表示事件“透镜落下三次而未打破 ” .
因为B A1 A2 A3 , 故有 P ( B ) P ( A1 A2 A3 ) P ( A3 A1 A2 ) P ( A2 A1 ) P ( A1 ) 7 1 9 1 1 1 2 10 10
P ( B1 ) 0.3,
P ( B2 ) 0.5,
P ( B3 ) 0.2,
P ( A B1 ) 0.02, P ( A B2 ) 0.01, P ( A B3 ) 0.01, 故 P ( A) P ( A B1 ) P ( B1 ) P ( A B2 ) P ( B2 ) P ( A B3 ) P ( B3 )
例4 设某光学仪器厂制造的透镜, 第一次落下 时打破的概率为1/2, 若第一次落下未打破, 第二次 落下打破的概率为7/10, 若前两次落下未打破, 第三 次落下打破的概率为9/10. 试求透镜落下三次而未 打破的概率.（积事件概率） 解 以Ai ( i 1,2,3,4)表示事件“透镜第 i次落下
叙述全概率公式与贝叶斯公式,举例说明全概率公式与贝叶斯公式求法;
叙述全概率公式与贝叶斯公式,举例说明全概率公式与贝叶斯公式求法;全概率公式和贝叶斯公式是概率论中的重要概念，它们都可以用来计算概率。
全概率公式是概率论中最基本的公式，它表示一个事件发生的概率等于它发生的条件概率乘以它发生的先决条件概率之和。
全概率公式可以用来计算一个事件发生的概率，它的公式为：P(A)=∑P(A|B)P(B)，其中A表示事件，B表示先决条件，P(A|B)表示A发生的条件概率，P(B)表示B发生的概率。
例如，假设有一个抛硬币的实验，我们想知道抛出正面的概率。
根据全概率公式，我们可以得出：P(正面)=P(正面|硬币1)P(硬币1)+P(正面|硬币2)P(硬币2)，其中P(正面|硬币1)和P(正面|硬币2)分别表示硬币1和硬币2抛出正面的概率，P(硬币1)和P(硬币2)分别表示硬币1和硬币2被抛出的概率。
贝叶斯公式是概率论中另一个重要的公式，它表示一个事件发生的概率等于它发生的条件概率乘以它发生的先决概率，再除以它发生的先决概率之和。
贝叶斯公式可以用来计算一个事件发生的概率，它的公式为：P(A|B)=P(A|B)P(B)/P(B)，其中A表示事件，B表示先决条件，P(A|B)表示A发生的条件概率，P(B)表示B发生的概率。
例如，假设有一个抛硬币的实验，我们想知道抛出正面的概率。
根据贝叶斯公式，我们可以得出：P(正面|硬币1)P(硬币1)/P(硬币1)=P(正面|硬币1)，其中P(正面|硬币1)表示硬币1抛出正面的概率，P(硬币1)表示硬币1被抛出的概率。
总之，全概率公式和贝叶斯公式都可以用来计算概率，它们的公式分别为：P(A)=∑P(A|B)P(B)和P(A|B)=P(A|B)P(B)/P(B)。
以上就是全概率公式和贝叶斯公式的概述，以及两个公式的求法。
全概率公式贝叶斯公式推导过程
全概率公式贝叶斯公式推导过程Standardization of sany group #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#全概率公式、贝叶斯公式推导过程（1）条件概率公式设A,B是两个事件，且P(B)>0,则在事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率（conditional probability)为：P(A|B)=P(AB)/P(B)（2）乘法公式1.由条件概率公式得：P(AB)=P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A)上式即为乘法公式；2.乘法公式的推广：对于任何正整数n≥（1）条件概率公式设A,B是两个事件，且P(B)>0,则在事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率（conditional probability)为：P(A|B)=P(AB)/P(B)（2）乘法公式1.由条件概率公式得：P(AB)=P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A)上式即为乘法公式；2.乘法公式的推广：对于任何正整数n≥2，当P(A1A2...An-1) > 0 时，有：P(A1A2...An-1An)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)...P(An|A1A2...An-1)（3）全概率公式1. 如果事件组B1，B2，.... 满足，B2....两两互斥，即 Bi∩ Bj= ，i≠j ， i,j=1，2，....，且P(Bi)>0,i=1,2,....;∪B2∪....=Ω，则称事件组 B1,B2,...是样本空间Ω的一个划分设B1,B2,...是样本空间Ω的一个划分，A为任一事件，则：上式即为全概率公式（formula of total probability)2.全概率公式的意义在于，当直接计算P(A)较为困难,而P(Bi ),P(A|Bi)(i=1,2,...)的计算较为简单时，可以利用全概率公式计算P(A)。
思想就是，将事件A分解成几个小事件，通过求小事件的概率，然后相加从而求得事件A 的概率，而将事件A进行分割的时候，不是直接对A进行分割，而是先找到样本空间Ω的一个个划分B1,B2,...Bn,这样事件A就被事件AB1,AB2,...ABn分解成了n部分，即A=AB1+AB2+...+ABn, 每一Bi发生都可能导致A发生相应的概率是P(A|Bi)，由加法公式得P(A)=P(AB1)+P(AB2)+....+P(ABn)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+...+P(A|Bn)P(PBn)3.实例：某车间用甲、乙、丙三台机床进行生产，各台机床次品率分别为5%，4%，2%，它们各自的产品分别占总量的25%，35%，40%，将它们的产品混在一起，求任取一个产品是次品的概率。
贝叶斯公式 全概率公式
贝叶斯公式全概率公式贝叶斯公式和全概率公式是概率论中非常重要的两个公式，它们的作用不仅在于理论方面，还有广泛的应用于实际生活和科学研究中。
一、贝叶斯公式贝叶斯公式是由英国数学家贝叶斯（Thomas Bayes）在18世纪发明的一种概率公式，可以使我们在已知一个事件发生的前提下，计算在另一个事件发生的条件下，第一个事件发生的概率。
设事件A与事件B为两个事件，那么当事件B发生时，让我们求解事件A发生的概率。
表示为P(A | B)。
我们可以通过贝叶斯公式来求解：公式为：P(A | B) = P(B | A) * P(A) / P(B)其中，P(B | A)是已知A发生的情况下，B发生的概率。
P(A)是A发生的概率，也称为先验概率。
P(B)是B发生的概率。
贝叶斯公式的应用非常广泛，特别是在人工智能和机器学习中的应用非常广泛，可用于图像识别、语音识别、自然语言处理等领域。
例如，在医疗领域中，贝叶斯公式可以用来计算患某种疾病的概率，给医生提供重要的参考信息。
二、全概率公式全概率公式是另一种概率公式，它可以用来计算某个事件发生的总概率。
该公式也称为Bayes公式的重要基础。
设事件A1, A2, …, An是一个样本空间的一组互不相交的事件，且它们的并集构成了整个样本空间，即A1∪A2∪…∪An=S。
则对任何一个事件B，有如下的全概率公式：公式为：P(B) = ∑P(B | Ai) * P(Ai)其中P(B)是事件B的概率，P(B | Ai)是在Ai发生的情况下B发生的概率，P(Ai)是Ai发生的概率。
全概率公式的应用很广泛，例如，在金融领域中，可以用全概率公式来计算某公司股票的价格波动，从而提供投资建议。
总结贝叶斯公式和全概率公式都是概率论中非常重要的公式，它们可以用来计算各种事件的概率，特别是在人工智能、机器学习、金融、医疗等领域都有着广泛的应用。
掌握这两个公式，可以帮助我们更好地理解概率论的基本概念和运用。
全概率公式、贝叶斯公式推导过程
全概率公式、贝叶斯公式推导过程（1）条件概率公式设A,B是两个事件，且P(B)>0,则在事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率（conditional probability)为：P(A|B)=P(AB)/P(B)（2）乘法公式1.由条件概率公式得：P(AB)=P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A)上式即为乘法公式；2.乘法公式的推广：对于任何正整数n≥全概率公式、贝叶斯公式推导过程（1）条件概率公式设A,B是两个事件，且P(B)>0,则在事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率（conditional probability)为：P(A|B)=P(AB)/P(B)（2）乘法公式1.由条件概率公式得：P(AB)=P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A)上式即为乘法公式；2.乘法公式的推广：对于任何正整数n≥2，当P(A1A2...A n-1) > 0 时，有：P(A1A2...A n-1A n)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)...P(A n|A1A2...A n-1)（3）全概率公式1. 如果事件组B1，B2，.... 满足1.B1，B2....两两互斥，即B i ∩ B j = ∅，i≠j ，i,j=1，2，....，且P(B i)>0,i=1,2,....;2.B1∪B2∪....=Ω ，则称事件组B1,B2,...是样本空间Ω的一个划分设 B1,B2,...是样本空间Ω的一个划分，A为任一事件，则：上式即为全概率公式（formula of total probability)2.全概率公式的意义在于，当直接计算P(A)较为困难,而P(B i),P(A|B i) (i=1,2,...)的计算较为简单时，可以利用全概率公式计算P(A)。
思想就是，将事件A分解成几个小事件，通过求小事件的概率，然后相加从而求得事件A的概率，而将事件A进行分割的时候，不是直接对A进行分割，而是先找到样本空间Ω的一个个划分B1,B2,...B n,这样事件A就被事件AB1,AB2,...AB n分解成了n部分，即A=AB1+AB2+...+AB n, 每一B i发生都可能导致A发生相应的概率是P(A|B i)，由加法公式得P(A)=P(AB1)+P(AB2)+....+P(AB n)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+...+P(A|B n)P(PB n)3.实例：某车间用甲、乙、丙三台机床进行生产，各台机床次品率分别为5%，4%，2%，它们各自的产品分别占总量的25%，35%，40%，将它们的产品混在一起，求任取一个产品是次品的概率。
条件概率、全概率、贝叶斯公式
杨鑫的数学课堂条件概率、全概率、贝叶斯公式、p(A|B)=P(A∩B)P(B)⇒p(A∩B)=p(A|B)×p(B)⇒p(A∩B)=P(B|A)×P(A)(1)p(A|B)=P(A∩B)P(B)=p(B|A)×P(A)p(B)(2)先举个例子，小张从家到公司上班总共有三条路可以直达（如下图），但是每条路每天拥堵的可能性不太一样，由于路的远近不同，选择每条路的概率如下：p(L1)=0.5,p(L2)=0.3,p(L3)=0.2(3)每天上述三条路不拥堵的概率分别为：p(C1)=0.2,p(C2)=0.4,p(C3)=0.7(4)其实不迟到就是对应着不拥堵，设事件Ｃ为到公司不迟到，事件Li为选择第i 条路，则：p(C)=p(L1)×p(C|L1)+p(L2)×p(C|L)+p(L3)×p(C|L3) p(C)=p(L1)×p(C1)+p(L2)×p(C2)+p(L3)×p(C3)p(C)=0.5×0.2+0.3×0.4+0.2×0.7=0.36(5)全概率计算公式p(C)=p(L1)p(C|L1)······p(L n)p(C|L n)=n∑i=1p(L i)p(C|L i)(6)三、贝叶斯公式仍旧借用上述的例子，但是问题发生了改变，问题修改为：到达公司未迟到选择第１条路的概率是多少？0.5这个概率表示的是，选择第一条路的时候并没有靠考虑是不是迟到，只是因为距离公司近才知道选择它的概率，而现在我们是知道未迟到这个结果，是在这个基础上问你选择第一条路的概率，所以并不是直接就可以得出的。
故有：p(L1|C)=p(C|L1)×p(L1)p(C)p(L1|C)=p(C|L1)×p(L1)P(L1)×p(C|L1)+P(L2)×p(C|L2)+P(L3)×p(C|L3)p(L1|C)=0.2×0.50.2×0.5+0.3×0.4+0.2×0.7=0.28(7)1。
贝叶斯公式与全概率公式的运用
贝叶斯公式与全概率公式的运用贝叶斯公式（Bayes' theorem）和全概率公式（Law of Total Probability）是概率论中最常用的两个定理，它们可以用于计算条件概率和概率的分布。
本文将详细介绍贝叶斯公式和全概率公式的运用。
首先，我们来介绍贝叶斯公式。
贝叶斯公式是由18世纪英国数学家托马斯·贝叶斯（Thomas Bayes）提出的，它用于计算条件概率。
贝叶斯公式的一般形式如下：P(A，B)=P(B，A)*P(A)/P(B)其中，P(A，B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率，P(B，A)表示在事件A发生的条件下事件B发生的概率，P(A)和P(B)分别表示事件A和事件B的概率。
先验概率（prior probability）是指在没有新的信息或证据时，根据以往的经验或知识所做的概率判断。
先验概率可以通过观察历史数据或者领域知识得到。
后验概率（posterior probability）是在获得新的信息或证据后，对事件的概率进行更新的概率。
后验概率可以通过贝叶斯公式计算得到。
下面通过一个实例来说明贝叶斯公式的运用。
假设工厂生产的产品中有5%存在缺陷。
现有一种检测方法，对有缺陷的产品可以100%正确地检测出来，但对没有缺陷的产品会错误地报告为有缺陷的产品，错误率为10%。
现在随机从工厂中抽取了一个产品，并进行了检测，结果显示该产品为有缺陷的。
我们需要计算在这种情况下，该产品是真的有缺陷的概率。
首先，根据先验概率，我们知道有5%的产品是有缺陷的，即P(A)=0.05、根据条件概率，我们知道在产品有缺陷的情况下，检测结果正确的概率为100%，即P(B，A)=1、另外，由于100%正确地检测出有缺陷的产品，所以在产品没有缺陷的情况下，检测结果错误的概率为10%，即P(B，A')=0.1根据贝叶斯公式，我们可以计算后验概率：P(A，B)=P(B，A)*P(A)/P(B)=1*0.05/P(B)P(B)表示检测结果为有缺陷的产品的概率，它可以通过全概率公式来计算。
全概率与贝叶斯公式
全概率与贝叶斯公式首先，我们先来讨论全概率（法则）。
全概率法则是一种计算复杂事件的概率的工具，它描述了如何通过求和计算复杂事件的概率。
该法则基于“互斥事件”的思想，即将一个事件A划分为若干个互斥事件B1、B2、B3...，并假设这些互斥事件的并为全集，即事件A的概率等于各个互斥事件的概率之和。
全概率法则可以用如下的公式表示：P(A)=P(A，B1)P(B1)+P(A，B2)P(B2)+P(A，B3)P(B3)+...其中，P(A)表示事件A的概率，P(Bi)表示事件Bi的概率，而P(A，Bi)表示在事件Bi发生的条件下事件A发生的概率。
全概率法则的作用在于，当我们对事件A的概率无法直接计算或观测时，可以通过将事件A划分为若干个互斥事件，并计算这些事件的概率来间接计算事件A的概率。
这样，通过全概率法则，我们可以将复杂的问题简化为计算多个简单事件的概率，从而更容易解决。
接下来，我们来讨论贝叶斯公式。
贝叶斯公式是概率论中的另一个重要定理，用于计算在一些前提下事件的概率。
贝叶斯公式的核心思想是根据事件的发生情况来修正对事件概率的初始估计。
贝叶斯公式可以用如下的形式表示：P(Bi，A)=P(A，Bi)P(Bi)/(P(A，B1)P(B1)+P(A，B2)P(B2)+P(A，B3)P(B3)+...)其中，P(Bi，A)表示在事件A发生的条件下事件Bi发生的概率，P(A，Bi)表示在事件Bi发生的条件下事件A发生的概率，P(Bi)表示事件Bi的概率，而分母表示全概率的计算过程。
贝叶斯公式的应用非常广泛，特别在统计学和机器学习的领域中，被广泛应用于分类、推断、模型选择等问题。
贝叶斯公式的核心思想是通过已知的条件和对先验概率的估计，来计算事件的后验概率，从而进行推断和决策。
贝叶斯公式的主要优点是可以根据已有的数据和知识来修正对事件的估计，从而提高对事件概率的预测准确性。
因此，贝叶斯公式在不确定性和不完全信息下的推断和决策问题中非常有用。
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第二章条件概率与统计独立性•条件概率，全概率，贝叶斯公式•事件独立性•贝努利试验与直线上的随机游动•二项分布与泊松分布2.1 条件概率全概率公式与贝叶斯公式一、条件概率二、全概率公式三、贝叶斯公式一、条件概率☐问题1 一个家庭有两个孩子，问两个都是女孩的概率是多少？(假定生男生女是等可能的)☐问题2 一个家庭有两个孩子，已知其中一个是女孩，问另一个也是女孩的概率是多少？(假定生男生女是等可能的)☐问题3 一个家庭有两个孩子，已知老大是女孩，问另一个也是女孩的概率是多少？(假定生男生女是等可能的)(,,),,()0,,()(|)()(|).P B P B A P AB P A B P B P A B B A Ω∈>∈= 设是一个概率空间且则对任意的记称为在事件发生的条件下事2件发义生的条 定 2.1.件概率1ΩA B AB 说明若事件B 已发生,则为使A 也发生,试验结果必须是既在B 中又在A 中的样本点,即此点必属于AB .由于我们已经知道B 发生,故B 变成了新的样本空间.从概率的直观意义出发：若B已经发生,则要使A发生试验的结果既属于A又属于B,即属于AB。
因此，条件概率应理解为P(AB)在P(B)中的“比重”。
从几何概型的角度出发：如果在单位正方形内等可能的投点，若已知B 发生，这时A 发生的概率为:BAB S S P =BAABΩΩΩ=S S S S B AB //)()(B P AB P =“条件概率”是“概率”吗？容易验证，条件概率具有概率的公理化定义中的三个条件);()()()( )3(212121B A A P B A P B A P B A A P -+= ).(1)( )4(B A P B A P -=则有件是两两不相容的事设可加可列性, , , ,: )5(21 B B 11().i i i i P A B P A B ∞∞==⎛⎫= ⎪⎝⎭∑ 3. 性质(1) :()0;P A B ≥负非性 (|)1,(|)0P B P B Ω=∅=规同时；(2)范性2)从加入条件后改变了的情况去算4. 条件概率的计算1) 用定义计算:,)()()|(B P AB P B A P P (B )>0掷骰子例：A ={掷出2点}，B ={掷出偶数点}P (A |B ）=31B 发生后的改变样本空间所含样本点总数在改变样本空间中A 所含样本点个数例掷两颗均匀骰子,已知第一颗掷出6点,问“掷出点数之和不小于10”的概率是多少? 解法1: )()()|(B P AB P B A P =解法2: 2163)|(==B A P 解: 设A ={掷出点数之和不小于10}B ={第一颗掷出6点}应用定义在B 发生后的改变样本空间中计算21366363==-=⨯12121312121()()()()().n n n P A A A P A P A A P A A A P A A A A 则有且,0)(121>-n A A A P ,2,,,,21≥n n A A A n 个事件为设推广 则有且为事件设,0)(,,,>AB P C B A ()()()().P ABC P A P B A P C AB =).()()(,0)(A P A B P AB P A P =>则有设5. 乘法定理条件概率与乘法公式1996年，中国围棋大师马晓春在与韩国大师李昌镐争夺围棋世界冠军的五番棋决赛前，马晓春说了这么一句话，他说，如果前面两盘棋能够下成平手，那么他夺冠的概率就有51%.由于马晓春前一年夺得的两个世界冠军都不是从公认为世界围棋第一人的李昌镐手中赢得的，因此那一年他们两个之间的决赛非常令人期待.果然，前面两盘下成了一比一.于是，媒体根据此前马晓春的那一句话，开始了乐观的预测.例一盒子装有4 只产品,其中有3 只一等品,1只二等品.从中取产品两次,每次任取一只,作不放回抽样.设事件A 为“第一次取到的是一等品”,事件B 为“第二次取到的是一等品”,试求条件概P (B |A ).解.4;3,2,1,号为二等品为一等品将产品编号则试验的样本空间为号产品第号第二次分别取到第表示第一次以,),(j 、i 、j i )},3,4(),2,4(),1,4(,,)4,2(),3,2(),1,2(),4,1(),3,1(),2,1{( =Ω)},4,3(),2,3(),1,3(),4,2(),3,2(),1,2(),4,1(),3,1(),2,1{(=A )},2,3(),1,3(),3,2(),1,2(),3,1(),2,1{(=AB 由条件概率的公式得)()()(A P AB P A B P =129126=.32=例某种动物由出生算起活20岁以上的概率为0.8, 活到25岁以上的概率为0.4, 如果现在有一个20岁的这种动物, 问它能活到25岁以上的概率是多少?设A 表示“能活20 岁以上”的事件; B 表示“能活25 岁以上”的事件,则有,8.0)(=A P 因为.)()()(A P AB P A B P =,4.0)(=B P ),()(B P AB P =.218.04.0==)()()(A P AB P A B P =所以解例五个阄, 其中两个阄内写着“有”字, 三个阄内不写字, 五人依次抓取,问各人抓到“有”字阄的概率是否相同?解.5,4,3,2,1=i 则有,52)(1=A P )()(22Ω=A P A P ))((112A A A P =抓阄是否与次序有关?,""的事件人抓到有字阄第表示设i A i333121212()()(())P A P A P A A A A A A A =Ω= )()()(321321321A A A P A A A P A A A P ++=42534152⨯+⨯=,52=)()()()(121121A A P A P A A P A P +=)(2121A A A A P =)()(2121A A P A A P +=)()()(213121A A A P A A P A P =)()()(213121A A A P A A P A P +)()()(213121A A A P A A P A P +324253314253314352⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=,52=依此类推.52)()(54==A P A P 故抓阄与次序无关.波利亚罐模型=121.,,,,-b r c n n n n n 罐中有只黑球只红球每次自袋中任取一只球观察其颜色然后放回并再放入只与所取出的那只球同色的球若在袋中连续取球次试求前面次摸出黑球，后面次摸出红球的概率.例 解1(1,2,,)""i A i n i = 设为事件第次取到黑球11(1,2,,)""j A j n n n j =++ 为事件第次取到红球因此所求概率为11(1)22(1)b n c b b c b cb r b rc b r c b r n c+-++=⋅⋅⋅⋅+++++++- 此模型被波利亚用来作为描述传染病的数学模型.121211211122()()()()().n n n n n P A A A P A P A A P A A A A P A A A A ---=⨯211(1)(1)(1)r n c r r cb r nc b r n c b r n c+-+⋅⋅⋅+++++++- 当c=0时，对应有放回模型，当c=-1时，对应不放回模型，此模型是一般摸球模型1. 样本空间的分割1A 2A 3A 1-n A nA 二、全概率公式121212,,,,,(1),,,1,2,,;(2),,,,.n i j n n E A A A E A A i j i j n A A A A A A ΩΩΩ=∅≠=⋃⋃⋃⋃= 定义设为试验的样本空间为的一组事件若，则称，为样本空间的一个分割2. 全概率公式全概率公式1211221,,),,,,,,()(|)()(|)()(|)()()(|)n n n i i i P B A A A P B P B A P A P B A P A P B A P A P A P B A ΩΩ∞=∈=++++=∑ 设(为一概率空间,为的一义个分割则定i j A A =∅由()()i j BA BA ⇒=∅12()()()()n P B P BA P BA P BA ⇒=++++ 证明12.n BA BA BA = 图示B1A 2A 3A 1-n A nA 化整为零各个击破12()n B B B A A A Ω== 1122()()(|)()(|)()(|)n n P B P A P B A P A P B A P A P B A ⇒=++++说明全概率公式的主要用处在于它可以将一个复杂事件的概率计算问题,分解为若干个简单事件的概率计算问题,最后应用概率的可加性求出最终结果.B1A 2A 3A 1n A nA例有一批同一型号的产品,已知其中由一厂生产的占30% , 二厂生产的占50% , 三厂生产的占20%, 又知这三个厂的产品次品率分别为2%, 1%, 1%,问从这批产品中任取一件是次品的概率是多少?设事件A 为“任取一件为次品”,.3,2,1,""=i i B i 厂的产品任取一件为为事件123,B B B =Ω 解.3,2,1,,=∅=j i B B j i由全概率公式得,2.0)(,5.0)(,3.0)(321===B P B P B P Ω30%20%50%2%1%1%112233()()()()()()().P A P B P A B P B P A B P B P A B =++.013.02.001.05.001.03.002.0=⨯+⨯+⨯=,01.0)(,01.0)(,02.0)(321===B A P B A P B A P 112233()()()()()()()P A P B P A B P B P A B P B P A B =++故（由因求果）1A 2AnA B11()()P A P B A 22()()P A P B A ()()n n P A P B A结果原因1()()()i i i P B P A P B A ∞=∑=={}A 第1次设取到黄球，()()()())(P A P B A P A P P B B A =+20193020+504950492=5=⨯⨯20(),50P A =由题意，30()50P A =19(),49P B A =20()49P B A =利用全概率公式={}B 第2次取到黄球解：例设袋中有50只乒乓球，其中20只黄球，30只白球，现从中依次不放回地任取两个，则第二次取得黄球的概率？例设袋中有50只乒乓球，其中20只黄球，30只白球，现从中依次不放回地任取两个，则第二次取得黄球的概率？有放回抽奖和无放回抽奖一样公平！若采取有放回抽取，则第二次取得黄球的概率？2（）52（）5例设袋中有50只乒乓球，其中20只黄球，30只白球，现从中依次不放回地任取两个，则第二次取得黄球的概率？抽签或者抓阄都和先后顺序无关！若采取不放回抽取，则第三次取得黄球的概率？2（）52（）5例送检的两批灯管在运输中各打碎一支，若每批10支，而第一批中有1支次品，第二批有两支次品，现在从剩下的灯管中任取一支，问抽得次品的概率是多少？({},{}{},A AB ===解解法一）设灯管来自第一批灯管来自第二批，任取一支，抽的次品1911(|)01010910P B A =⨯+⨯=21822(|)10910910P B A =⨯+⨯=3()()(|)()(|)20P B P A P B A P A P B A =+=()918P A =()918P A =AAB考虑打碎的是次品还是正品两种情形：1234 ({},{}{}{}{},A A A AB =====解解法二）设两批打碎的都是次品两批打碎的分别是次品、正品，两批打碎的分别是正品、次品，两批打碎的都是正品，任取一支，抽的次品1234281872(),(),(),()100100100100P A P A P A P A ====123122(|),(|),(|),181818P B A P B A P B A ===413()()(|)20i i i P B P A P B A ===∑43(|),18P B A =1A 2A 3A 4A B说明由例可以看出，同一个题目，都用到了全概率公式，但方法各异。