第2讲 数阵图初步-完整版

第2讲数阵图初步

内容概述

各种较为基本的数阵图问题，了解重数的概念，并以此进行分析；学会分析特殊位置上的数值；某种情况下还需要考虑对称性。

典型问题

兴趣篇

1．在图2-1中的3个空白○内填入3个不同的自然数，使得三角形每条边上的3个数之和都等于I1。

答案：

解析：在数阵图问题中，一般要从已知条件最多的部分人手分析，如图1所示，可发现左边的线上已知两个数，从这里人手就可以求出这条线上的第三个数，依次类推，可得图2中○内的数，进而得题目答案．

2．请分别将1、2、4、6这4个数填在图2-2中的各空白区域内，使得每个圆圈里4个数之和都等于15。

答案：

解析：先看上面的圆圈，4个数的和是15，其中有两个数是5和7，所以剩下两个数的和是15-5-7=3．可填的数字是1、2、4，6，所以这两个数只能是1和2．

同理，得左边圆圈剩下两个数的和是15-5-3=7，所以这两个数只能是1和6．因为两个圆圈共有1，所以必须把1填在中间，剩下4填在右边圆圈里，正好满足题意。

3．如图2-3所示，请在3个空白○内填入3个数，使得每条直线上3个数之和都相等。

答案：

解析：为叙述方便，将空白圆圈标上字母，如图所示：比较图中两条粗直线，它们共有A.由于两条直线的和相同，所以除了A之外，剩下的数求和也得相同，即7+B=9+8=17，由此可得B=10．于是公共和为8+10+3=21．利用公共和即可填出整个数阵图．

4．把1～8这8个数分别填入图2-4中的8个方格内，使得各列上2个数之和都相等，各行4个数之和也相等。

答案：不唯一，例如：

解析：1+2+3+4+5+6+7+8=36，由36÷4=9，得每列两个数之和是9，由36÷2=18，得每行四个数之和是18.先把9写成两个数的和，只能是1+8=2+7=3+6=4+5，这恰好是1～8．正好是(1、8)，(2、7)，(3、6)，(4、5)，共4组．把这4组数依次填入表中，如图1所示．

但此时行和不等于18，则适当调整一下上下两个数的顺序，就可以凑出行和18了，如图2所示．

5．如图2-5，在这只“毛毛虫”身体上的7个小O中分别填入1～7这7个数，使得3个大圆上的数之和相等。

答案：不唯一，例如：

解析：因1+2+3+4+5+6+7=28，即所有数的和是28.又上下2个大粗圆的和正好等于所有数的和，则公共和一28÷2—14.将空白圆圈都标上字母，如图1所示．

①若G=7，则E+F=C+D=A+B=7，把7分成两个数相加，只能是

1+6=2+5=3+4=7；

如图2所示，就是一种正确昀填法．

②若G=6，则C+D=6，E+F=A+B=8，把8分成两个数相加，只能是1+7=3+5=8，所以C、D只能是2和4；如图3所示，就是一种正确的填法．

③若G=5，则C+D=5，E+F=A+B=9，把9分成两个数相加，只能是2+7=3+6=9，所以C、D只能是1和4；如图4所示，就是一种正确的填法．

④若G=4，则C+D=4 E+F=A+B=10，把10分成两个数相加，只能是3+7=4+6=10，但与G=4矛盾，舍去．

⑤若G=3，则C+D=3, E+F=A+B=11，把11分成两个数相加，只能是4+7=5+6=11，所以C、D只能是1和2；如图5所示，就是一种正确的填法．

6．在如图2-6所示的3×3方格表内填人1～3这3个数各3次，使得每行每列以及，两条对角线上的3个数之和都相等于9。

答案：答案不唯一，例如：

解析：表格中3行9个数的总和是(1+2+3)×3=18，所以每行3个数字之和等于18÷3=6，即每行每列以及两条对角线上的3个数字之和都等于6．从

1、2、3中选3个数，和等于6，只能是1+2+3=6或2+2+2=6．

①先满足每行每列都有一个1、2、3，可以第一行填1、2、3，第二行填2、

3、1，第三行填3、1、2．如图1所示．但其中一条对角线不合题意，这说明对

角线不太好凑，所以还是先凑对角线．

②对角线的和也是6，所以也只能是1+2+3=6或2+2+2=6这2种情形，通过尝试不难发现，两条对角线不可能都是1、2、3，因此只能是1、2、3与2、2、2，如图2所示，剩下4个数就很显然了，填出之后即可得答案．

7．将1～6这6个数填人图2-7中的6个O内，使“大”字三笔上的各数之和都等。

答案：答案不唯一，例如

解析：在计算3笔划上各数的总和时，中心圆算了3次，其他圆各算1次．因此3倍的公共和等于所有数的和加上中心圆的2倍．不妨设中心圆为A，则上

述关系写成算式就是3×公共和一所有数的和+2×A。又所有数的和为1+2+…+6=21，公共和=9，所以A=3．尝试一下就可以得到答案．

8．把1～6这6个数分别填人图2-8中的6个O内，使得每个正方形4个顶点的数之和都等于13。

答案:答案不唯一，例如：

解析：6个数的总和是1+2+3+4+5+6=21．由题意，左边正方形4个顶点的数之和是13，因此最右边2个数的和是21-13=8．

同理，最左边2个数的和也是8，所以中间2个数的和是21-8-8=5．8要表示成1～6中两数之和只有2种办法：2+6和3+5.

可以把2、6填在左边，3、5填在右边，剩下1和4的和恰好是5，填在中间即可如答案所示．也可根据公有关系，先求中间的2个数，同样能得到答案．

9．把1～6这6个数分别填入图2-9中的6个方格内，使得横行3个数之和与竖列4个数之和相等．这个和最大是多少？最小是多少？

答案：最大13；最小11

解析：如图1所示，图中有一个特别的位置，就是行与列交叉处的公共方格A，如果把行和与列和相加，这个方格会算到2次，而其他方格只算到1次，换句话说，就是2倍的公共和恰好等于所有数的和再加上A写成算式就是2×公共和一所有数的和+A

所有数的和是固定的，因此要让横行、竖列的和最大或最小，A就应该尽量大或尽量小．

所有数的和=1+2+3+4+5+6=21．

①A最小填1，2倍的公共和是21+1=22，公共和是22÷2=11，具体填法如图2所示．

②A最大填6，2倍的公共和是21+6=27，但27除以2不是整数，因此A 最大只能填5，公共和是26÷2=13，具体填法如图3所示，