二元一次方程解决实际问题 (2)
列二元一次方程组来解决实际问题2
如果每吨蔬菜粗加工后的利润为1000元,精加工后为2000 元,那么照此安排,该公司出售这些加工后的蔬菜共可获利多少 元?
1、甲、乙两人在植树节那天共植树30棵，甲的植树 数是乙的1.5倍，若设甲、乙各植x棵、y棵，则可列方 X+y=30 X=18 程组 解得
X=1.5y y=12
2、已知某年级共有学生568人，其中男生人数y比女生人 X+y=568 数x的2倍少5人，根据题意，列出方程组
X=191 y=2x－5
解得
y=377
为了改变生态环境，保持生态平衡，西部大开发中某乡 政府遵照上级指示，将1620公顷耕地退耕还林，退耕还草， 其中还林土地与还草土地之比为5：7，问还林、还草土地各 为多少公顷？ 解:设还林土地x公顷，还草土地y公顷,根据题意可列方程 X+y=1620 组 X=675 解得 x/y=5/7
分析:设安排x天精加工,y天粗加工,根据题意得
x+y=15
x=10
y=5
6x+16y=140
经检验符合题意 共获利:2000× 6 ×10＋1000×16×5=200000(元)
在很多实际问题中都存在着一些等量关系,我们可 以借助列方程或方程组 的方法来处理这些问题。关键是 找出问题中的 等量关系 。 在列二元一次方程组解应用题时,要设 两 个未 知数,找出 两 个等量关系,列出 两 个方程。
经检验，符合题意 答:还林土地675公顷,还草土地们,通过这节课的学习,你学到了哪 些知识?
用二元一次方程组解决实际问题
用二元一次方程组解决实际问题（一）对大小牛的含量估计1、某班学生参加运土劳动，一部分同学抬土，另一部分同学挑土，已知全班同学共用土筐59个，扁担36根，问抬土和挑土的同学各有多少人？2、某课外小组学生准备分组外出活动，若每组7人，则余下3人，若每组8人，则少5人，求学生有多少人？3、某蔬菜公司收购到某种蔬菜140吨，准备加工上市销售，该公司的加工能力是：每天可以精加工6吨或粗加工16吨，现计划用15天完成加工任务，该公司应安排几天精加工，几天粗加工？4、两地相距280千米，一轮船在其间航行，顺流用14小时，逆流用20小时，求轮船在静水中的速度？5、已知一铁桥长1000米，有一列火车从桥上通过，测得火车开始上桥到完全过桥共用1分钟，整列火车在桥是的时间为40秒，求火车的速度和列车的长分别是多少？6、一个两位数的数字之和为10，十位数字与个位数字互换后，所得新数比原数小36，求原来的两位数是多少？7、某车间有28个工人生产某种螺栓和螺母，每人每天能生产螺栓12个或螺母18个，为了合理分配劳动，使生产的螺栓和螺母配套（一个螺栓和两个螺母）应分配多少人生产螺栓？8、甲、乙两家超市销售同一价格的某种商品，甲超市分两次降价，每次降价10%，乙超市一次性降价20%，那么顾客到哪家超市购此种商品最合算？8、要修一段420千米长的公路，甲工程队先干2天，乙工程队加入，两队再合干2天完成任务，如果乙队先干2天，两队两队再合干3天完成任务，问两个队每天各能修多少千米？（二）调动问题行程问题中常用到的等量关系：路程=____________________相遇问题：同时两地相向而行，________ ×相遇时间=出发地间的距离追击问题：同时两地同向而行，________ ×追击时间=出发地间的距离环行问题：同时同地同向而行，则快的行的路程-慢的行的路程=n×环形的周长（n为相遇次数）同时同地反向而行，则快的行的路程+慢的行的路程= n×环形的周长（n为相遇次数）1、两人练习跑步，如果乙先跑16米，甲8秒可以追上乙，如果乙先跑2秒，则甲4秒可以追上乙，求甲、乙两人每秒各跑多少米？2、甲、乙两人从同一地点出发，同向而行，甲骑车，乙步行，如果乙先行12千米，那么甲1小时就能追上乙，如果乙先走1小时，那么甲只用0.5小时就能追上乙，则乙的速度是多少？3、张华与李明两个同学相距15千米，同时出发，若同向而行，张华3小时追上李明，若相向而行，两人1小时后相遇，则张华与李明的速度分别是多少？4、一批货物要运往某地，货主准备租用汽车运输公司的甲乙两种货车，已知过去两次租用这两种货车的现租用该公司3辆甲种货车及5辆乙种货车一次刚好运完这批货，如果按每吨付运费30元计算，部货主应付运费多少元？5、北京和上海都有某种仪器可供外地使用，其中北京可提供10台，上海可提供4台，已知重庆需要8台，武汉需要6台，从北京、上海将仪器运往重庆、武汉的费用如下表所示。
利用二元一次方程组求解实际问题
利用二元一次方程组求解实际问题。
就拿2023年来说，预计在这一年里，我国经济将进一步发展，但同时还会伴随着一些新的问题。
在这篇文章中，我将结合一些实际情景，阐述如何利用二元一次方程组去解决问题。
1.解决消费问题：在未来，人们的生活水平会逐渐提高，消费水平也会相应地提高，但是人们的收入水平也一定会受到影响。
那么如何解决消费问题呢？我们可以利用二元一次方程组来攻克这个难题。
我们需要知道每个人的收入情况，然后再进行细致分析。
假设某市一个家庭的月收入为X，月支出为Y，且所得税率为10%，现在要求这个家庭必须达到一定的储蓄量，那么我们就可以列出方程组：X-0.1X=Y+AY-B=S其中，A代表储蓄量，B代表固定支出，S代表储蓄需求量。
通过求解这个方程组，我们就可以得到该家庭的收支平衡状态，并从而更好地规划家庭的每月开支。
2.解决生产问题：未来，我国经济建设将进一步深入，各个产业都将面对重大的发展机遇和挑战。
为了解决生产问题，我们可以利用二元一次方程组。
例如，在某工厂中，一种产品的单位成本为C元，单位售价为S元，每年销售量为M件，每年生产量为N件，那么我们可以列出方程组：CN=N(A+B)+M(C-D)SM=N(S-E)+M(F-G)其中，A代表固定成本，B代表可变成本，C代表一件产品的生产成本，D代表一件产品的销售成本，E代表一件产品的销售售价，F代表一件产品的利润，G代表一件产品的销售费用。
由此，我们可以求解出这种产品的生产成本、销售成本、利润等各项数据，并据此制定出更加合理的生产计划和定价策略。
3.解决环境问题：未来环境保护问题也将成为亟待解决的问题。
我们可以通过利用二元一次方程组来分析环保相关问题的数据和经济经验。
例如，某个城市的空气质量指数为Q，环境污染治理费用为M，环保条例罚款为C，那么我们可以列出方程组：Q=A-BM-CFM+NF=P其中，A、B、C、F、N、P分别代表各种影响环保的因素。
通过解方程，我们可以得出治理费用和罚款应该如何分担的方案，从而更好地发挥环境保护的效果。
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知识点：二元一次方程组的概念及解法:代入法和加减法二元一次方程组解决实际问题的基本步骤：1、审题，搞清已知量和待求量，分析数量关系. （审题，寻找等量关系）2、考虑如何根据等量关系设元，列出方程组．（设未知数，列方程组）3、列出方程组并求解，得到答案．（解方程组）4、检查和反思解题过程，检验答案的正确性以及是否符合题意．（检验,答）相似题：鸡兔同笼问题（1）1、野鸡和兔子共有39只，它们的腿共有100条，求野鸡和兔子各有多少只。
2、已知板凳和木马共有33个，腿共有101条。
板凳和木马各有多少个？（注：板凳4条腿，木马3条腿）3、某文艺团体为“希望工程”募捐组织了一场义演。
其中成人票每张8元，学生票每张5元，共售出1000张票，共筹得票款6950元。
问成人票与学生票各售出多少张？分析：两个相等关系：①；②。
4、某校买了甲、乙两种型号的彩电共7台，花去人民币15900元。
已知这两种型号的彩电的价格分别是3000元和1300元，问该校两种彩电各买了多少台？鸡兔同笼问题（2）1、某校150名学生参加数学考试，平均每人55分，其中及格的学生人均77分，不及格的学生人均47分。
及格、不及格的学生各有多少人？2、一队敌军一队狗，两队并成一队走；脑袋共有八十个，数腿却有二百条；请君仔细算一算，多少敌军多少狗3、现有大人、幼儿共100人，大人一餐吃4个面包，幼儿4人一餐吃一个面包，一餐刚好吃光100个面包，问大人、幼儿各有几人？分配问题（1）【例】栖树一群鸦，鸦树不知数；三只坐一棵，五只没去处；五只栖一棵，闲了一棵树；请你列式算，鸦树各几何？分析：两个等量关系：①3⨯树的棵数＋5＝乌鸦的只数；②5⨯（树的棵数－1）＝乌鸦的只数。
解：设乌鸦有x只，树有y棵。
1、某单位召开会议，安排参加会议人员住宿，若每间宿舍住12人，便有34人没有住处；若每间住14人便多处4间宿舍没人住。
求参加会议的人数和宿舍数。
分析：两个相等关系：①；②。
七下数学课件： 用二元一次方程解决实际问题(第2课时)(课件)
用二元一次方程组解决实际问题的步骤：
审：理解并找出实际问题中的等量关系;
设：用代数式表示实际问题中的基础数据;
列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程;
解：求解;
验：考虑求出的解是否具有实际意义;
答：实际问题的答案.
情景引入
如图，长青化工厂与A，B两地有公路、铁路相连．这家工厂从A地购买一批
50 + 80 = 1120
= 16
，解得
=4
30 + 50 = 680
所以跳绳的单价为16元，毽子的单价为4元；
（2）设商品按原价的z折销售，根据题意得
(16 + 4) × 100 ×
= 1700
10
解得 = 8.5
所以商品按原价的八五折销售.
课后回顾
课后回顾
01
02
03
谢谢
解：设购买原料 x 吨，制成成品 y 吨。
1.5（10x ＋ 20y ）= 15000
①
1.2（120x＋110y ）= 97200
②
探索与思考
如图，长青化工厂与A，B两地有公路、铁路相连．这家工厂从A地购买一批
每吨1000元的原料运回工厂，制成每吨8 000元的产品运到B地. 公路运价为1. 5元
置，按图②方式放置，测量的数据如图，则桌子的高度是（ ）
A．73cm
B．74cm
C．75cm
D．76cm
【详解】
设桌子的高度为hcm，第一个长方体的长为xcm，第二个长方体的宽为ycm，
由第一个图形可知桌子的高度为：h-y+x=79，
由第二个图形可知桌子的高度为：h-x+y=73，
人教版七年级数学下册利用二元一次方程组解决实际问题
第1课时利用二元一次方程组解决实际问题一般步骤：（1）审：审题、弄清题意及题目中的数量关系；（2）设：设未知数，可直接设元，也可以间接设元；（3）找：找出等量关系；（4）列：列方程组，根据题目中能表示全部含义的相等关系列出方程，并组成方程组；（5）解：解方程组，并检验是否符合问题的实际意义；（6）答：写出答案，作答。
1、产品配套问题：加工总量成比例例1、用白铁皮做罐头盒。
每张铁皮可制盒身16个，或制盒底43个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒。
现有150张白铁皮，用多少张制盒身，多少张制盒底，可以刚好配套？等量关系：练1-1、现用190张铁皮做盒子，每张铁皮做8个盒身或做22个盒底，一个盒身与两个盒底配成一个完整盒子，问：用多少张铁皮制盒身，多少张铁皮制盒底，可以正好制成一批完整的盒子？等量关系：练1-2、某车间有技术工人85人，平均每天每人可加工甲种部件16个或乙种部件10个。
两个甲种部件和三个乙种部件配成一套，问加工甲乙部件各安排多少人才能使每天加工的甲、乙两种部件刚好配套？等量关系：练1-3、某车间有工人56名，生产一种螺栓和螺母，每人每天平均能生产螺栓24个或螺母36个，应分配多少人生产螺栓，多少人生产螺母，才能使一个螺栓配2个螺母刚好配套？等量关系：练1-4、机械厂加工车间有85名工人，平均每人每天加工大齿轮16个或小齿轮10个，2个大齿轮和3个小齿轮配成一套，问需分别安排多少名工人加工大、小齿轮，才能使每天加工的大小齿轮刚好配套？等量关系：2、航速问题①顺流（风）：航速=静水（无风）中的速度+水（风）速；②逆流（风）：航速=静水（无风）中的速度-水（风）速；例2、一条船顺水行驶36千米和逆水行驶24千米的时间都是3小时，求船在静水中的速度与水流的速度。
练2-1、两地相距280km，一艘轮船在其间航行，顺流用了14h，逆流用了20h，那么这艘轮船在静水中的速度是。
等量关系：练2-2、一只船顺水每小时行17千米，逆水每小时行13千米，求这只船在静水中的速度和水流速度？等量关系：3、工程问题工作量=工作效率×工作时间；①工作总量已知；②工作总量未知时，一般设为“单位1”。
二元一次方程解决实际问题
解：设甲乙两人的速度分别为 xm/min、ym/min 根据题意，得
甲、乙两人在周长为 400ｍ的环形跑道上练 跑，如果相向出发，每 隔2.5min相遇一次
2.5(x+y)=400
A B
解：设甲乙两人的速度分别为 甲、乙两人在周长为400ｍ
xm/min、ym/min
的环形跑道上练跑，如果
根据题意，得
4（x+y）=240 解之得 6（x-y）=240
X=50 Y=10
答：船在静水中的速度及水流的速度 分别为50km/h、10km/h
二、商品经济问题
本息和=本金+利息 利息=本金×年利率×期
数×利息税
利息所得税=利息金额×20℅
例1李明以两种形式分别储蓄了2000元和1000元，一年 后全部取出，扣除利息所得税后可得利息43.92元，已 知这两种储蓄的年利率的和为3.24℅，问这两种储蓄 的年利率各是几分之几？（注：公民应交利息所得税= 利息金额×20℅）
解:设甲乙两车的速度分别为
x Km/h、y Km/h
根据题意，得
5y=6x 解之得 X=50
4y=4x+40
Y=6o
答：甲乙两车的速度分别为
50km、60km
5y
若甲车先出发1ｈ后 乙车出发，则乙车 出发后5ｈ追上甲车
若甲车先开出30ｋｍ后乙 车出发，则乙车出发4ｈ 后乙车所走的路程比甲车 所走路程多10ｋｍ．
反思：未知数不只两个，为了解决问题方便，所以 设三个未知数以帮助解决问题，把问题割裂开来看， 仍属于二元一次方程组，在一个问题里面设三个未 知数，这本身就是一种创造性思维。
728元，且第一次购物的货款少于第二次购物的，求两次购
实际问题与二元一次方程组(2)
A
甲种作物的总产量 = 甲的单位面积产量×甲的种植面积
B x Ey
乙种作物的总产量 = 乙的单位面积产量 ×乙的种植面积
D
F
解：甲乙两种作物的种植区域分别为长方形 ADFE和BCFE，设AE为 x 米,BE为 y 米，甲 乙两种作物的单位面积产量分别为a和2a，由 题意得：
C
x + y＝200 100a x : （2a×100 y ）＝3:4
Байду номын сангаасx＝ 60
解方程组得:
y ＝40
答： 过长方形土地的短边上离一端约 米处, 把这块地分为两个长方形.较大一块地种甲 种作物,较小一块地种乙种作物.
例2： 小龙在拼图时，发现8个一样大的小长 方形，恰好可以拼成一个大长方形，如图甲所示， 陈晔看见了说“我来试一试”，结果陈晔七拼八凑， 拼成一个如图乙的正方形，中间留下一个洞，恰 好是边长2mm的小正方形，你能算出小长方形 的长和宽吗？
数学问题
[方程（组）]
解 方 程 （ 组 ）
实际问题 的答案
双检验
数学问题的解
第八章二元一次方程组
课前预习
甲种作物单位面积产量为2a，乙种 作物单位面积产量为3a
单位面积产量 甲乙两种作物的单位面积产量的比 是2：3，现有一块面积17公顷的土地， 要在这块土地上种植这两种作物，且 总产量 使甲乙两作物的总产量的比是3：4， 甲乙两种作物的种植面积分别是多少？
等量关系：甲作物的种植面积+乙作物的种植面积=17 甲的单位面积产量×甲的种植面积 ：乙的单 甲作物的总产量：乙作物的总产量=3:4 位面积产量×乙的种植面积=3:4
甲
乙
例3： 一个长方形，它的长减少4cm，宽增加 2cm，所得的是一个正方形，它的面积与长方形 的面积相等，求原长方形的长与宽。 解：设长方形的长为xcm，宽为ycm， 由题意得： x 4 y 2,
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知识点 1 列二元一次方程组解应用题
知1－讲
1．基本思想方法： (1)列方程组解应用题是把“未知”转化成“已 知”的过程；它的关键是把未知量与已知量 联系起来，找出题目中等量关系列方程组；
知1－讲
(2)一般情况下，有几个未知量就必须列出几个方 程，所列方程必须满足： ①方程两边表示的是同类量； ②同类量的单位要统一； ③方程两边的数值要相等．
知2－讲
解：设甜果x个，苦果y个，根据题意，得
ìïïïíïïïî
x＋y＝1 11 x＋ 4 97
000， y＝999.
解得
ìïïíïïî
x y
= =
657, 343.
因为 11 x＝803， 4 y＝196，
9
7
所以甜果657个需803文钱，苦果343个需196文钱．
总结
知2－讲
人们在日常生活中少不了数学运算，在诗歌创 作中也时有反映．解决这类问题的关键是读懂题意， 将古诗文转化为白话文．
（来自《点拨》）
知1－讲
未知量：甲、乙两种货物应装的质量各为多少吨．若 以x，y表示它们的吨数，则甲种货物的体积为6x立方 米，乙种货物的体积为2y立方米． 相等关系：“充分利用这艘船的载重量和容积”的意 思是“货物的总质量等于船的载重量”且“货物的总 体积等于船的容积”，
（来自《点拨》）
知1－讲
D.
ìïïíïïî
x＋y＝30， 3x＋2 y＝78
（来自《典中点》）
知2－讲
知识点 2 列方程组解应用题中常见题型
例2 二果问价 九百九十九文钱，甜果苦果买一千， 甜果九个十一文，苦果七个四文钱， 试问甜苦果几个？又问各该几个钱？
分析：这首古诗词翻译成白话文，即：九百九十九文钱可 买一千个甜果和苦果，已知十一文钱可买九个甜果， 四文钱可买七个苦果，那么甜果、苦果各买多少个？ 买甜果、苦果各需多少文钱？
（来自《点拨》）
知1－讲
例1 某船的载重量为300吨，容积为1 200立方米，现有 甲、乙两种货物要运，其中甲种货物每吨体积为6 立方米，乙种货物每吨体积为2立方米，要充分利 用这艘船的载重量和容积，甲、乙两种货物应各装 多少吨？
导引：已知量：(1)甲种货物每吨体积为6立方米；(2) 乙种货物每吨体积为2立方米；(3)船的载重量为 300吨；(4)船的容积为1 200立方米．
知1－练
3 (2016·临沂)为了绿化校园，30名学生共种78棵树苗. 其中男生每人种3棵，女生每人种2棵，该班男生有 x人，女生有y人．根据题意，所列方程组正确的是
()
A.
ìïïíïïî
x＋y＝78， 3x＋2 y＝30
C.
ìïïíïïî
x＋y＝30， 2x＋3 y＝78
B.
ìïïíïïî
x＋y＝78， 2x＋3 y＝30
（来自《点拨》）
总结
知1－讲
列方程组解应用题一般都要经历“审、设、找、 列、解、答”这六个步骤，其关键在于审清题意，找 相等关系；设未知数时，一般是求什么，设什么，并 且所列方程的个数与未知数的个数相等．
（来自《点拨》）
知1－练
1 〈南通〉有大小两种货车，3辆大车和4辆小车 一次可以运货22吨，2辆大车与6辆小车一次 可以运货23吨． 请根据以上信息，提出一个能用方程(组)解决 的问题，并写出这个问题的解答过程．
知2－讲
例3 某服装厂生产一批某种款式的秋装，已知每2 m的某 种布料可做衣身3个或衣袖5只，现计划用132 m这种 布料生产这批秋装(不考虑布料的损耗)，应分别用多 少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套？
（来自《点拨》）
知1－讲
探究 养牛场原有30头大牛和15头小牛，1天约用饲料
675 kg; 一周后又购进12头大牛和5头小牛，这时1天 约用饲料940 kg. 饲养员李大叔估计每头大牛1天约 需饲料18〜20 kg，每头小牛1天约需饲料7〜8 kg. 你能通过计算检验他的估计吗？
（来自《点拨》）
知1－讲
即：甲种货物质量＋乙种货物质量＝船总载重量；
↓
↓
↓
x
y
300
甲种货物体积＋乙种货物体积＝船的容积.↓↓↓6x
2y
1 200
（来自《点拨》）
知1－讲
解：设甲种货物装x吨，乙种货物装y吨．由题意，
得
ìïïíïïî
x＋y＝300， 6x＋2 y＝1 200，
解得
ìïïíïïî
x＝150， y＝150.
答：甲、乙两种货物应各装150吨．
（来自《点拨》）
知1－讲
2．列方程组解应用题的一般步骤： 审→设→找→列→解→答． (1)审：通过审题，把实际问题抽象成数学问题； (2)设：分析已知量和未知量，并用字母表示其中 的两个未知量(设元)； (3)找：找出能表示题意的两个相等关系； (4)列：根据相等关系列出方程组； (5)解：解这个方程组，求出未知数的值； (6)答：检验所求解是否符合实际意义，写出答案．
（来自《点拨》）
知1－练
2 列方程组解决实际问题的一般步骤：
一审：审________；
二找：找__________；
三设：设未知数，可直接设元，也可__________；
四列：根据题目中的________列出方程组；
五解：解方程组；
六验：检验解的正确性和是否符合__________；
七答．
（来自《典中点》）
第八章 二元一次方程组
8.3 实际问题与二元一次方程组
第1课时 建立二元一次方程组的模型 解决实际应用问题
1 课堂讲解 2 课时流程
列二元一次方程组解应用题 列方程组解应用题中常见题型
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
唐朝名官杨埙提．准备从几个地方官中提拔一人， 但他们的资历相当，职位相同，几人之间，一时难定 伯仲，于是，杨埙提让这几个人解答下面问题，谁先 答出就提拔谁：有人在林中散步，听到几个强盗在商 量怎样分抢来的布匹，一名强盗说：每人分6匹，但 剩5匹；另一名强盗说：若每人分7匹，可又少8匹， 问有几个强盗几匹布?
分析：设每头大牛和每头小牛1天各约用词料x kg和y kg. 根据两种情况的饲料用量，找出相等关系，列方 程解这组这就个是ìïïíïïî __方说____程，____组 每____，头____得大____牛__，. 1ìïïíïïî 天xy ==约__需____词____料____________________，.__kg, 每 头小牛1天约需饲料______kg. 因此, 饲养员李大 叔对大牛的食量估计________，对小牛的食量估 计_______.