经济数学建模样题
数学建模13道题
数学建模13道题1.某投资者有40000美元用于投资，她所考虑的投资方式的收益为：储蓄利率7%，市政债券9%，股票的平均收益为14%，不同的投资方式的风险程度是不同的。
该投资者列出了她的投资组合目标为：1）年收益至少为5000美元； 2）股票投资至少为10000美元；3）股票投资额不能超过储蓄和市政债券投资额之和；4）储蓄额位于5000-15000美元之间； 5）总投资额不超过40000美元。
2.用长8米的角钢切割钢窗用料。
每副钢窗含长1.5米的料2根，1.45米的2根，1.3米的6根，0.35米的12根，若需钢窗100副，问至少需切割8米长的角钢多少根？3.某照相机厂生产12,A A 两种型号的相机，每台12,A A 型相机的利润分别为25元和40元，生产相机需要三道工序，生产两种不同型号的相机在不同的工序所需要的工作时间（单位：小时）如下表所示：工序相机类型机身制造零件装配检验包装1A 0.1 0.2 0.1 2A0.70.10.3此外三道工序每周可供使用的工作时间为机身制造有150小时，零件装配有250小时，检验包装有100小时，而市场需要12,A A 型相机每周至少为350台和200台，该工厂应如何安排生产，才能使得工厂获得最大利润？4.某饲料公司生产饲养雏鸡，蛋鸡和肉鸡的三种饲料，三种饲料都是由A,B,C 三种原料混合而成，具体要求，产品单价，日销售量表如下：原料A 原料B 原料C 日销量（t ）售价（百元/t ）雏鸡饲料不少于50% 不超过20%5 9 蛋鸡饲料不少于30%不超过30% 18 7 肉鸡饲料不少于50%10 8 原料价格（百元/t ） 505 4 5受资金和生产能力的限制，每天只能生产30t ，问如何安排生产计划才能获利最大？5.某公司用木头雕刻士兵模型出售。
公司的两大主要产品类型分别是“盟军”和“联军”士兵，每件利润分别为28美元和30美元。
制作一个“盟军”士兵需要使用2张木板，花费4小时的木工，再经过2小时的整修。
经济数学建模 (1)
(1)
若将C 看作变量 ，解出最优解
, x, y
(C), x x(C), y y(C)
z f ( x, y) 的最值 z 也可视为 C 的函数
z f ( x (C), y (C))
经济数学模型
z 对 C 求导
dz f dx f dy dC x dC y dC
比的极限
y x y lim f ( x). x0 x f ( x) x Ey 称为函数 y f ( x) 在点 x 处的弹性，记作 Ex , 即
Ey x f ( x) Ex f ( x)
经济数学模型
弹性意义为：当自变量变化1%时，函数变化的百
Ey %. 分数为 Ex
注意 弹性研究的是相对变化率．因此，弹性没有 量纲．
i 1
m
, xn ))
（ 同样称 i i 1,2,
, m）为拉格朗日乘数
经济数学模型
拉格朗日乘数是函数 f ( x1, x2 ,
f * ( x*1, x*2 ,
, xn ) 的条件极值
, x*n ) 对约束常数 Ci 的一阶偏导数，即
f * i , i 1,2, Ci
,m
其经济意义随目标函数、约束条件的经济意义和度
经济数学模型
2.3
均衡价格
均衡价格 P e 是市场上供需量相等时的价格，这时的
供需量叫做均衡商品量。
P(t ) 的涨速 一般来说价格P 随时间t 波动 P P(t )，，
与过剩需求 Qd Qs 成正比，故有数学模型
dP k (Qd Qs ) dt
解这个模型就得到价格和时间的关系。
若 Qd , Qs 的表达式是线性的：
数学建模模拟(专科组题目)
数学建模模试题
企业是一个有机的整体，企业管理是一个完整的系统，由许多子系统组成。
在企业的管理中，非常关键的一部分是科学地安排生产。
对于生产、库存与设备维修更新的合理安排对企业的生存和发展具有重要的意义。
已知某工厂要生产7种产品，以I，II，III，IV，V，VI，VII来表示，但每种产品的单
该厂有4台磨床、2台立钻、3台水平钻、1台镗床和1台刨床可以用来生产上述产品。
已知生产单位各种产品所需的有关设备台时如下表。
从1月到6月，维修计划如下：1月—1台磨床，2月—2台水平钻，3月—1台镗床，4月—1台立钻，5月—1台磨床和1台立钻，6月—1台刨床和1台水平钻，被维修的设备当月不能安排生产。
又知从1—6月市场对上述7中产品最大需求量如下表所示。
每种产品当月销售不了的每件每月存储费为5元，但规定任何时候每种产品的存储量均不能超过100件。
1月初无库存，要求6月末各种产品各储存50件。
若该工厂每月工作24天，每天两班，每班8小时，要求
（1）该厂如何安排生产，使总利润最大；
（2）若对设备维修只规定每台设备在1—6月份内均需安排1个月用于维修（其中4台磨床只需安排2台在上半年维修），时间可灵活安排。
重新为该厂确定一个最
优的设备维修计划。
数学建模与应用案例练习题
数学建模与应用案例练习题数学建模是将实际问题转化为数学问题，并通过数学方法和计算机技术求解的过程。
它在各个领域都有着广泛的应用，能够帮助我们更好地理解和解决现实中的复杂问题。
下面我们将通过一些具体的案例练习题来深入了解数学建模的方法和应用。
案例一：生产计划优化问题某工厂生产 A、B 两种产品，生产 A 产品每件需要消耗 2 个单位的原材料和 3 个单位的工时，生产 B 产品每件需要消耗 3 个单位的原材料和 2 个单位的工时。
工厂现有 100 个单位的原材料和 80 个单位的工时，A 产品的单位利润为 5 元，B 产品的单位利润为 4 元。
问如何安排生产计划，才能使工厂获得最大利润？首先，我们设生产 A 产品 x 件，生产 B 产品 y 件。
那么，目标函数就是利润最大化，即 Z ＝ 5x ＋ 4y。
然后，我们需要考虑约束条件。
原材料的限制为 2x ＋3y ≤ 100，工时的限制为 3x ＋2y ≤ 80，同时 x、y 都应该是非负整数。
接下来，我们可以使用线性规划的方法来求解这个问题。
通过绘制可行域，找到目标函数在可行域上的最大值点。
经过计算，我们可以得出当 x ＝ 20，y ＝ 20 时，工厂能够获得最大利润 180 元。
这个案例展示了数学建模在生产决策中的应用，通过合理地安排生产计划，能够有效地提高企业的经济效益。
案例二：交通流量预测问题在一个城市的某个十字路口，每天不同时间段的车流量不同。
我们收集了过去一段时间内每天各个时间段的车流量数据，希望建立一个数学模型来预测未来某一天的车流量。
首先，我们对收集到的数据进行分析，发现车流量具有一定的周期性和季节性变化。
然后，我们可以选择使用时间序列分析的方法来建立模型。
比如，可以使用 ARIMA 模型（自回归移动平均模型）。
在建立模型之前，需要对数据进行预处理，包括平稳性检验、差分处理等。
通过建立合适的 ARIMA 模型，并进行参数估计和检验，我们就可以利用这个模型对未来的车流量进行预测。
数学建模的综合应用练习题
数学建模的综合应用练习题数学建模是将现实问题转化为数学形式，并通过数学方法进行求解的过程。
它在科学研究、工程设计、经济决策等领域具有重要的应用价值。
为了提高对数学建模方法的理解和应用能力，以下将提供一些综合应用练习题，帮助读者巩固数学建模的知识和技能。
综合应用练习一：投资决策问题某公司打算在国内设立新的工厂，用于生产一个新产品。
该产品的市场需求与时间的关系由函数 Q(t) = a * e^(bt) 给出，其中 t 是时间（年），Q(t) 是产品市场需求量，且 a、b 均为常数。
假设公司在 t=0 时刻开始投资建厂，并在 t=T 时刻开始生产。
为了降低风险，公司希望在 t=T 之前尽可能准确预测产品的市场需求量，并根据市场需求调整投资计划。
要求：1. 建立数学模型，根据给定的 Q(t) 函数和其他相关因素，预测在t=T 时刻的市场需求量。
2. 根据市场需求量的预测结果，帮助公司决策是否继续投资建厂。
3. 给出合理的建议，包括投资额、生产规模等。
综合应用练习二：车辆路径优化问题某物流公司需要将若干辆货车从起始点分别送到不同的目的地，为了降低总体运输成本，公司希望找到一条最短路径，使得每辆车都按照最优路径行驶。
给定起始点和目的地之间的距离矩阵 D，矩阵中的元素 D[i][j] 表示从点 i 到点 j 的距离。
假设所有货车行驶的速度一致，且货车行驶的时间只取决于距离。
要求：1. 建立数学模型，根据给定的距离矩阵 D，求解各辆货车的最优路径，并计算总体的运输成本。
2. 通过数值计算的方法，给出最优路径和最小运输成本。
3. 分析车辆路径优化问题的特点和不足之处，并提出改进方案。
综合应用练习三：股票投资问题某投资者希望通过股票市场获取较高的回报率，并控制风险。
他手中有一定的资金，打算按照一定的投资策略进行投资。
假设某股票市场中，某一支股票每日的涨跌幅符合一个已知的概率分布。
投资者希望根据该概率分布，制定出一个合理的投资策略。
经济数学建模 (2)
n
-i
A3
An-1
An
S0
资金现值公式现金流量图
若Ai表示净现金流,称S0为净现值，记为NPV
经济数学模型
五、年金
若每个相同时间段资金数额相同都为A，即Ai=A，称A为年 金。根据资金产生时间分为
普通年金：从第一期开始每期 期末收款、付款的年金。
０ Ａ １ Ａ ２ Ａ ３ Ａ ４
Ａ
Ａ １
经济数学模型
1、单利现值模型
若n年后的终值是Sn,则初期的现值为
Sn S0 1 nr
2、复利现值模型
( Sn S （ 0 1 nr）)
每年折现一次，若n年后的终值是Sn,则初期的现值为
Sn n -n (Sn S （ ) S0 S（ 0 1 r） n 1 r） n （ 1 r）
大，方案越优。
净现值的大小既取决于资金流量，也取决于所用的
贴现率。对于同一项投资方案来讲，贴现率越小，净
现值越大；反之，净现值越小。
经济数学模型
净现值的优缺点 • 原理通俗易懂，适用于任何均匀的资金流量(年金的现 值)或不规则的资金流量，充分考虑了投资方案发生资 金流量的先后时间以及整个寿命期间内的收益，体现了 货币的时间价值。因而它是一种较为广泛使用的长期投
又 L 10 0
当T=10时，总利润的现值最大，故应在使用10年后 报废这台机器，此时，企业所得利润的现值为
L T 852.25 元
经济数学模型
3.3
简单的投资决策模型
投资决策分析对企业获利能力、资金结构、偿债能力
及长远发展都有重要影响，投资决策方法非常多，最简
单的技术方法可以分为非贴现法和贴现法两类,它们的区 别在于前者不考虑货币的时间价值，计算简便；后者则 考虑货币的时间价值，更科学、合理。非贴现法主要有 回收期法和年平均报酬率法两种。贴现法主要有净现值
数学建模d题2023
数学建模d题
以下是一个数学建模的D题示例：
题目：某公司生产工厂的运营管理问题
描述：某公司的生产工厂负责生产一种产品，并且需要考虑以下几个因素：
1. 生产成本：每单位产品的生产成本为C1，其中包括原材料成本、人工成本、设备维护等费用。
2. 产能限制：工厂的产能为M单位产品/年。
3. 销售价格：公司销售产品的价格为P1每单位。
4. 市场需求：市场每年对该产品的需求量为D单位。
问题：建立一个数学模型，确定工厂应该生产多少产品，以最大化利润。
解决思路和步骤：
1. 变量定义：
- X：工厂每年生产的产品数量。
- R：工厂每年实际销售的产品数量。
- Profit：工厂每年的利润。
2. 目标函数：
最大化利润，即Maximize Profit = (R * P1) - (X * C1)
3. 约束条件：
- R <= X （工厂生产的产品数量不会超过实际销售的数量）
- X <= M（工厂的产能限制）
- R = min(X, D) （实际销售的产品数量不会超过市场需求的数量）
4. 求解：
使用线性规划等数学方法，将目标函数和约束条件转化为数学模型，并求解最优解，即确定最佳的工厂生产数量和实际销售数量，以实现最大化利润的
目标。
这个数学模型可以帮助公司确定最佳的生产计划，使得生产量与市场需求相匹配，同时最大化利润。
根据实际情况，可以根据模型进行调整和优化。
数模经典例题
1、一个银行的统计资料表明，存放在银行中的总存款量正比于银行付给存户利率的平方。
现在假设银行可以用12%的利率再投资这笔钱。
试问为得到最大利润，银行所支付给存户的利率应该定为多少？解 假设银行支付给存户的年利率是r,(0<r ≤1), 这样银行的总存款量为 A = kr 2 (k>0, 为比例系数)把这笔钱以12%的年利率贷出一年后可得款额为 (1+0.12)A, 而银行支付给存户的款额为(1+r)A, 银行获利为 L(r) = (1 + 0.12)A - (1+ r)A = (0.12 - r)A = (0.12 - r)k r 20)324.0(2=-=r r k dr dp所以 r=0.08, r=0 (舍去)当 r<0.08时，L ’ ( r ) >0, 当 r>0.08时，L ’ ( r)<0, 且 r = 0.08 是 (0,1) 中唯一的极值点故取8% 的年利率付给存户银行可获得者大利润2、设某航空公司发展新的航线，需要增加5架波音747客机。
如果一次性购入，每架飞机的价格为5000万美金，飞机使用寿命为15年；如果采用租用飞机的方式，每年每架飞机需交纳600万美金的租金，租金以货币均匀流的方式支付。
设银行的年利率为12%，试问该公司应该采用购买飞机还是租借飞机的方案。
解：购买一架飞机可以使用15年，但需要马上支付5000万美元．而同样租一架飞机使用15年，则需要以均匀货币流方式支付15年租金，年流量为600万美元．两种方案所支付的价值无法直接比较，必须将它们都化为同一时刻的价值才能比较-我们以当前价值为准。
购买一架飞机的当前价为5000万美元。
下面计算均匀货币流的当前价值：设t=0时向银行存入美元，按连续复利计算，t 年后的A 美元在t=0时的价值为美元，那么，对流量为a 的均匀货币流，在[t , t+Δt]时所存入的美元，在t=0时的价格是t ae te a n n ∆=∆-- 由微元法可知，当t 从0变到T 时，[0,T]周期内均匀流在 t=0时的总价值可表示为因此，15年的租金在当前的价值为（万美元）当r=12%时（万美元）比较可知，此时租用客机比购买客机合算。
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dx
dt
r (1
x xm
)x
x(0) x0
1、 试解释模型中涉及的所有变量、参数，用尽可能简洁的语言表述清楚该模型的建模 思想。
2、 这个模型的解是什么？画草图说明人口的变化趋势。
四、（15 分）经济系统有三个生产部门，它们的直接消耗系数矩阵如下：
0.1 0 0 0.2 0.2 0.1
8x2 3x2
6x3 9x3
79 33
x1, x2 , x3 0
编写 matlab 程序如下：
c=[-12,-15,-10]; A=[5 8 6；3 3 9]; b=[79；33];
Aeq=[];
beq=[];
vlb=[0,0,0];
vub=[];
[x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub
数量无关），随机需求量 r 的概率密度为 f (r) ，每件商品的存贮费为 c3 （与时间无关）。
问如何确定订购量才能使商场的平均利润最大，这个平均利润是多少？若随机需求量 r 服
从均匀分布，则使平均利润最大的订购量是多少？ 。
参考答案
一、解 Q AK L
0 <, 1，它是 次齐次函数
当 t 时， x(t) xm
5分
x0
四、解 （1）由 AX Y X 得 Y X AX (E A)X
0.9 0 0.2 20 16
Y
0
0.8
0.1
20
15
5分
0.2 0.1 1 10 4
A 代表科技进步对产出的影响，， 分别表示产出关于资金和劳动投入的弹性。 5 分
在 1 时，表示规模报酬不变，在 1 时，表示规模报酬增加，在 1
时，表示规模报酬减少。
5分
二 解 由题意，价格满足下列微分方程问题
dp
dt
k (QD
QS
)
p(0) p0
1
5分
0 0
（3）二者关系是 B (E A)1 E
完全消耗系数 bij 是第 j 部门对第 I 部门的直接消耗于间接消耗之和。完全消耗系数不一定大
于直接消耗系数
5分
五、解 损益阵如下（6 分）
需求
10
20
30
策略
10
100
100
100
20
80
200
200
即
dp dt
k(a
c)
p
k
(d
b)
p(0) p0
利用一阶线性非齐次微分方程通解公式得
p(t) b d Cek(ac)t ac
由初始条件得 C
p0
bd ac
，所以得价格函数为
p(t)
bd ac
（p0
b d ）ek (ac)t ac
若需求量服从区间（a,b）的均匀分布，
（5 分）
u* b-a
c2 c2
c1 c3
u* c2 c1 (b a) c2 c3
（5 分）
10 分
（2）因为生产一单位新产品是收入下降的值为
售价超过 60/7 千元时才可生产。
七、设订购量为 u ，则平均利润为
1
6
3
7
6
60 7
所以当该新产品 5分
u
u
E(L) c2[ 0 rf (r)dr
u
uf (r)dr] [c0
c1u c3
(u r) f (r)dr]
8
6
79
乙
3
3
9
33
产品价格(千元) 12
15
10
（1）、建立数学模型，并编写求最优生产方案的 matlab 程序。
（2）、已知资源甲、乙的影子价格分别为 1 和 3 ，若企业又研制了一种新产品，它对 7
两种资源的单位消耗分别是 6,6 吨，问在什么条件下应生产这种新产品？
七、（15 分）某商场要定购一批商品零售，设购进价为 c1 ，售出价为 c2 ，订购费为 c0（与
30
60
180
300
第一种：期望值决策法 采取 3 种策略的期望分别是 100，140，144，所以生产
30 台。
3分
第二种：悲观法 10 台
3分
第三种：乐观法 30 台
3分
max z 12x1 15x2 10x3
六、解: （1）设
x1,
x2
,
x3
分别为
A、B、C
的产量，则数学模型为
5x1 3x1
0.2 0.1 0
（1）、已知各部门的总产值为：第一部门 20 亿元，第二部门 20 亿元，第三部门 10
亿元，问各部门的最终产品是多少？ （2）求部门间相互消耗量； （3）、直接消耗系数矩阵和完全消耗系数矩阵的关系是什么？完全消耗系数的经济
意义是什么？完全消耗系数一定大于直接消耗系数吗？ 五、（15 分）某工厂生产某种机器，决策者可选择生产 10 台，20 台或 30 台。实际需求
0
u
(c2 c1 )u c0 (c2 c3 ) 0 (u r) f (r)dr
令 dE(L) 0 ，得最优订购量 u* 满足的条件为 du
（5 分）
u* f (r)dr c2 c1
0
c2 c3
u*
最大平均利润 E(L) (c2 c3 ) 0 rf (r)dr c0
可能是 10 台，20 台或 30 台。假设卖出一台利润为 10 万，滞销一台损失为 2 万，决 策者应如何决策？(列出三种方法)
六、（15 分）某企业生产 A, B, C 三种产品，消耗甲、乙两种资源，有关数据如下表：（其
中消耗系数为单位产品对资源的消耗量）
消耗
产
系数
品
ห้องสมุดไป่ตู้
A
B
C
资源限量(吨)
原料
甲
5
（2）因为第一、二、三部门的总产值为 20、20、10 亿元，所以各部门的消耗量分 别为
0.1 2
20
0
0
0.2 4
0 0
20
0.2
4
0.1 2
0.2 2
10
0.1
QS d cp
(c 0， d 0)
又设价格 p 随时间 t 的变化率与超额需求 QD QS 成正比，试求价格函数，并证明随着
时间的推移，价格稳定于均衡价格。（设 p(0) p0 ）
三、（15分）以 x(t) 表示某地区时刻 t 的人口数，下面是人口预测的阻滞增长（Logistic）
西安交通大学考试题
成绩
课程
系别 专业班号
经济数学建模
考试日期
年月 日
姓名
学号
一、（10分）写出柯布—道格拉斯生产函数，其中参数的经济意义是什么，分析经济学中
的规模报酬问题。
二、（15 分）设某商品的市场价格 p p(t) 随时间 t 变化，其需求函数为
供给函数为
QD b ap
(a 0，b 0)
故 lim p(t) b d ，这正是均衡价格。
t
ac
5分
5分 5分
三、解：（1）r 为人口固有增长率，x0 为初始人口数，xm 为最大人口数数。 r(1 x ) 为阻滞 xm
增长率。建模思路就是认为人口增长率会随着人口的增长而下降。
10 分
（2） 解得 x(t)
xm
1 ( xm 1)ert