公开课：几何“最值问题”常见解题思路

《专题：几何“最值问题”常见解决思路》公开课

蓝溪中学 林子旭 2016.04.20

一、教学目标：让学生通过复习、练习、比较熟悉地掌握解决几何最值问题的通常思路和常见模型

二、教学重点：掌握解决最值问题的理论依据与常用模型，能根据不同特征转化成相应的模型是解决最值问题的关键．

三、主要理论依据及模型 1、两点之间线段最短；

2、直线外一点与直线上所有点的连线段中，垂线段最短；

3、三角形两边之和大于第三边或三角形两边之差小于第三边（重合时取到最值）

4、构造函数，利用函数的性质解决

是解决几何最值问题的理论依据，根据不同特征转化是解决最值问题的关键．通过转化减少变量，向1、2、3依据靠拢进而解决问题；直接调用基本模型也是解决几何最值问题的高效手段． 几何最值问题中的基本模型举例

轴对称最值

图形 l

P

B

A

N

M l

B

A

A

P

B

l

原理

两点之间线段最短 两点之间线段最短

三角形三边关系

特征 A ，B 为定点，l 为定直线，P 为直线l 上的一个动点，求AP +BP 的最小值 A ，B 为定点，l 为定直线，MN

为直线l 上的一条动线段，求

AM +BN 的最小值

A ，

B 为定点，l 为定直线，P 为直线l 上的一个动点，求|AP -BP |的最大值

转化 作其中一个定点关于定直

线l 的对称点

先平移AM 或BN 使M ，N 重

合，然后作其中一个定点关于

定直线l 的对称点

作其中一个定点关于定直线l 的对称点

四、模型应用与练习：

（一）线段和（PA ＋PB ）最小：

1、正方形ABCD 中，AB ＝4，E 是BC 的中点，点P 是对角线AC 上一点，则PE ＋PB 的最小值为 .

2、⊙O 的半径为2，点A 、B 、C 在⊙O 上，OA ⊥OB ，∠AOC ＝60°，P 是OB 上一动点，则PA ＋PC 的最小值是 ；

3、如图1，∠AOB ＝45°，P 是∠AOB 内一点，PO ＝10，Q 、R 分别是OA 、OB 上的动点，则△PQR 周长的最小值是 .

4、如图2，点A （a ，1）、B （－1，b ）都在双曲线y ＝

3x

(x <0)上，点P 、Q 分别是x 轴、y 轴上的动点，当四边形PABQ 的周长取最小值时，PQ 在直线的解析式是（ ）.

A 、y ＝x

B 、y ＝x ＋1

C 、y ＝x ＋2

D 、y ＝x ＋3

图3

5、如图5，当四边形P ABN 的周长最小时，a = ．

（二）线段差（PA －PB ）最大

1、如图6，一次函数y ＝－2x ＋4的图象与x 、y 轴分别交于点A ，B ，D 为AB 的中点，C 、A 关于原点对称．P 为OB 上一动点，请直接写出︱PC －PD ︱的范围：___________________．

A

A C

D O P x

y 图6

2、在平面直角坐标系xOy 中，已知点A （0，1），B （1，2），点P 在x 轴上运动，当点P 到A 、B 两点距离之差的绝对值最大时，点P 的坐标是____________________．

4．抛物线y ＝ax 2

＋bx －4a 经过A (－1,0)、C (0,4)两点，与x 轴交于另一B ．点D 所在抛物线的对称轴上，求︱DB －DC ︱的最大值．

（三）垂线段最短

1、如图7，⊙O 的半径为5，弦AB ＝6，M 是AB 上任意一点，则线段OM 的取值范围是_______________． 2如图8，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝3，BC ＝4，点D 在BC 上，以AC 为对角线的所有平行四边形ADCE 中，DE 最小值是（

） A ．2

B .3

C ．4

D .5

图9

3、如图9，菱形ABCD 中，AB =2，∠A =120°，点P ，Q ，K 分别为线段BC ，CD ，BD 上的任意一点，则PK +QK 的最小值为 ．

（四）构造函数求解 1、如图10，正方形ABCD 的边长为1，点P 为边BC 上的任意一点（可与B 、C 重合），分别过B 、C 、D 作射线AP 的垂线，垂足分别为B ′、C ′、D ′，则BB ′+CC ′+DD ′的取值范围是 ．

图10

3．如图11和12，在△ABC 中，AB ＝13，BC ＝14，cos ∠ABC ＝

5

13

（1）如图11，AH ⊥BC 于点H ，AH ＝_____,AC ＝____，△ABC 的面积S △ABC ＝_____．（2）如图12，点D 在AC 上（可与点A ，C 重合），分别过点A 、C 作直线BD 的垂线，垂足为E ，F ．设BD ＝x ，AE=m,CF ＝n （当点D 与A 重合时，我们认为S △ABD ＝0）

⑴用x ，m 或n 的代数式表示S △ABD 及S △CBD ；

⑵求（m ＋n ）与x 的函数关系式，并求（m ＋n ）的最大值及最小值； ⑶对给定的一个x 值，有时只能确定唯一的点D ，指出这样的x 的取值范围．

五、小结：解决几何中最值问题，首选应先分析清楚题意，确定其属于哪种数学模型，或通过问题转化为某种模型进行解决。当然几何中最值问题还有小虫爬行类化曲面为平面问题的、利用圆中直径是最长的弦、图形折叠中的最值等问题，我们后面再继续学习与总结。 六、作业：指南P63-66 A 组题完

A B

C A

B

C

D

F E 图11

图12