2011年高考一轮课时训练(理)7-4简单的线性规划问题
高考数学一轮复习 专题7_4 基本不等式及应用(组)与简单的线性规划问题(讲)
第04节 基本不等式及其应用【考纲解读】【知识清单】基本不等式1、 如果,R a b ∈，那么222a b ab +≥（当且仅当a b =时取等号“=”）推论：22ab 2a b +≤（,R a b ∈）2、 如果0a >，0b >,则a b +≥，（当且仅当a b =时取等号“=”）.推论：2ab ()2a b +≤（0a >，0b >）；222()22a b a b ++≥ 3、20,0)112a b a b a b+≤≤>>+ 对点练习【2018重庆铜梁县联考】函数y=log a （x+2）﹣1（a ＞0，a≠1）的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx+ny+1=0上，其中m ＞0，n ＞0，则 + 的最小值为（ ） A. 3+2B. 3+2C. 7D. 11【答案】A【考点深度剖析】基本不等式是不等式中的重要内容，它的应用范围几乎涉及高中数学的所有章节，它在高考中往往是大小判断、求取值范围以及最值等几方面的应用． 【重点难点突破】考点1利用基本不等式证明不等式【1-1】不已知a 、b 、c 都是正数，求证：()()()8a b b c c a abc +++≥ 【解析】∵a 、b 、c 都是正数∴0a b +≥> （当且仅当a b =时，取等号）0b c +≥> （当且仅当b c =时，取等号）0c a +≥ （当且仅当c a =时，取等号）∴()()()8a b b c c a abc +++≥=（当且仅当a b c ==时，取等号） 即()()()8a b b c c a abc +++≥.【1-2】已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证：11119a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 【解析】∵0a >，0b >，1a b ＋＝， ∴11+=1+=2+a b b a a a +.同理，11+=2+a b b .∴111122b a a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=++ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭＝5+25+4=9b a a b ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，当且仅当b a a b =，即1a=b=2时取“＝”．∴11119a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当12a b ==时等号成立． 【领悟技法】利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不等式，对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项，并项，也可乘上一个数或加上一个数，“1”的代换法等． 【触类旁通】 【变式一】求证:47(3)3a a a +≥>-考点2 利用基本不等式求最值【2-1】【2017天津，理12】若,a b ∈R ，0ab >，则4441a b ab++的最小值为___________.【答案】4【解析】44224141144a b a b ab ab ab ab +++≥=+≥= ，（前一个等号成立条件是222a b =，后一个等号成立的条件是12ab =，两个等号可以同时取得，则当且仅当22a b ==时取等号）. 【2-2】【2018河北大名第一中学模拟】已知关于x 的不等式x 2-4ax +3a 2＜0（a ＜0）的解集为（x 1，x 2））【答案】D【解析】：不等式x 2-4ax +3a 2＜0（a ＜0）的解集为（x 1，x 2）， 根据韦达定理，可得： 2123x x a =，x 1+x 2=4a ， 那么：a∵a ＜0，∴-（4a4a故选：D ．【2-3】【2018有两个不等的实根1x 和2x ，则12x x +的取值范围是（ ） A. ()1,+∞ B. C. ()2,+∞ D. ()0,1【答案】C【领悟技法】基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，因此可以用在一些不等式的证明中，还可以用于求代数式的最值或取值范围．如果条件等式中，同时含有两个变量的和与积的形式，就可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化，然后通过解不等式进行求解．注意：形如y ＝x ＋ax(a >0)的函数求最值时，首先考虑用基本不等式，若等号取不到，再利用该函数的单调性求解． 【触类旁通】【变式一】【2017届浙江杭州高三二模】设函数()()2,f x x ax b a b R =++∈的两个零点为1x ， 2x ，若122x x +≤，则（ ）A. 1a ≥B. 1b ≤C. 22a b +≥D. 22a b +≤ 【答案】B【解析】12x x +≥=，所以2≤ ，则1b ≤ ，故选择B.【变式二】【2018河南师范大学附属中模拟】对于使()f x M ≤成立的所有常数M 中，我们把M 的最小值叫做()f x 的上确界，若正数,a b R ∈且1a b +=，则为（ ）【答案】A考点3 基本不等式的实际应用【3-1】【2017江苏，10】某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元,要使一年的总运费与总存储之和最小,则x 的值是 . 【答案】30【解析】总费用600900464()4240x x x x +⨯=+≥⨯=，当且仅当900x x=，即30x =时等号成立.【3-2】如图，有一块等腰直角三角形ABC 的空地，要在这块空地上开辟一个内接矩形EFGH 的绿地，已知AB AC ⊥,4AB =，绿地面积最大值为（ ）A.6B.4 D.【答案】C【解析】设EH x =，EF y =，由条件可知EBH ∆和EFA ∆为等直角三角形，所以EB =，AE y =．AB EB AE =+y ≥，即≤4，所以4xy ≤，所以绿地面积最大值为4，故选C ．【3-3】 (2015·大理模拟)某小区想利用一矩形空地ABCD 建市民健身广场，设计时决定保留空地边上的一水塘(如图中阴影部分)，水塘可近似看作一个等腰直角三角形，其中AD ＝60 m ，AB ＝40 m ，且△EFG 中，∠EGF ＝90°，经测量得到AE ＝10 m ，EF ＝20 m ，为保证安全同时考虑美观，健身广场周围准备加设一个保护栏，设计时经过点G 作一直线分别交AB ，DF 于M ，N ，从而得到五边形MBCDN 的市民健身广场，设DN ＝x (m)．(1)将五边形MBCDN 的面积y 表示为x 的函数；(2)当x 为何值时，市民健身广场的面积最大？并求出最大面积．【领悟技法】用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：(1)理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数； (2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题； (3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值； (4)正确写出答案. 【触类旁通】【变式】运货卡车以每小时x 千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x ≤100(单位：千米/时)．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋x 2360升，司机的工资是每小时14元．(1)求这次行车总费用y 关于x 的表达式；(2)当x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．【解析】(1)设所用时间为t ＝130x(h)，y ＝130x ×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋x 2360＋14×130x ，x ∈[50，100]．所以，这次行车总费用y 关于x 的表达式是y ＝130×18x ＋2×130360x ，x ∈[50，100]． (或y ＝2 340x ＋1318x ，x ∈[50，100])．y ＝130×18x ＋2×130360x ≥2610， 当且仅当130×18x ＝2×130360x ，即x ＝1810，等号成立．故当x ＝1810千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为2610元．【易错试题常警惕】易错典例：已知两正数x ，y 满足x ＋y ＝1，则z ＝(x ＋1x )(y ＋1y)的最小值为________．[错解] 错解一：因为对a >0，恒有a ＋1a≥2，从而z ＝(x ＋1x )(y ＋1y)≥4，所以z 的最小值是4. 错解二：z ＝2＋x 2y 2－2xyxy＝(2xy ＋xy )－2≥22xy·xy －2＝2(2－1)，所以z 的最小值是2(2－1)．易错分析：错解的错误原因是等号成立的条件不具备．温馨提示：1.在利用均值定理求最值时，要紧扣“一正、二定、三相等”的条件．“一正”是说每个项都必须为正值，“二定”是说各个项的和(或积)必须为定值．“三相等”是说各项的值相等时，等号成立．2．多次使用均值不等式解决同一问题时，要保持每次等号成立条件的一致性和不等号方向的一致性．。
高考数学(理科)一轮复习简单的线性规划问题学案附答案
高考数学（理科）一轮复习简单的线性规划问题学案附答案本资料为woRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址学案35 简单的线性规划问题导学目标：1.从实际情境中抽象出二元一次不等式组.2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组.3.从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．自主梳理．二元一次不等式表示的平面区域判断不等式Ax＋By＋c>0所表示的平面区域，可在直线Ax＋By＋c＝0的某一侧的半平面内选取一个特殊点，如选原点或坐标轴上的点来验证Ax＋By＋c的正负．当c≠0时，常选用______________．对于任意的二元一次不等式Ax＋By＋c>0，无论B为正值还是负值，我们都可以把y项的系数变形为正数，当B>0时，①Ax＋By＋c>0表示直线Ax＋By＋c＝0______的区域；②Ax＋By＋c<0表示直线Ax＋By＋c＝0______的区域．画不等式Ax＋By＋c>0表示的平面区域时，其边界直线应为虚线；画不等式Ax＋By＋c≥0表示的平面区域时，边界直线应为实线．画二元一次不等式表示的平面区域，常用的方法是：直线定“界”、原点定“域”．2．线性规划的有关概念线性约束条件——由条件列出一次不等式组．线性目标函数——由条件列出一次函数表达式．线性规划问题：求线性目标函数在约束条件下的最大值或最小值问题．可行解：满足________________的解．可行域：所有________组成的集合．最优解：使______________取得最大值或最小值的可行解．3．利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是：在平面直角坐标系内作出可行域．作出目标函数的等值线．确定最优解：在可行域内平行移动目标函数等值线，从而确定__________．自我检测．在平面直角坐标系中，若点在直线x－2y＋4＝0的上方，则t的取值范围是A．B．c．D．2．不等式≤0在坐标平面内表示的区域应是3．设变量x，y满足约束条件x≥0，x－y≥0，2x－y －2≤0，则z＝3x－2y的最大值为A．0B．2c．4D．64．若实数x，y满足不等式组x＋3y－3≥0，2x－y－3≤0，x－my＋1≥0，且x＋y的最大值为9，则实数m等于A．－2B．－1c．1D．25．已知实数x，y满足x＋y≥2，x－y≤2，0≤y≤3，则z＝2x－y的最大值为________.探究点一不等式组表示的平面区域例1 画出不等式组x－y＋5≥0，x＋y≥0，x≤3表示的平面区域，并回答下列问题：指出x，y的取值范围；平面区域内有多少个整点？变式迁移1 在平面直角坐标系中，有两个区域m、N，m是由三个不等式y≥0，y≤x和y≤2－x确定的；N是随t 变化的区域，它由不等式t≤x≤t＋1所确定．设m、N的公共部分的面积为f，则f等于A．－2t2＋2tB.122c．1－12t2D．－t2＋t＋12探究点二求目标函数的最值例2 设变量x，y满足约束条件x＋y≤3，x－y≥－1，y≥1，则目标函数z＝4x＋2y的最大值为A．12B．10c．8D．2变式迁移2 设变量x，y满足约束条件x－y＋2≥0，x －5y＋10≤0，x＋y－8≤0，则目标函数z＝3x－4y的最大值和最小值分别为A．3，－11B．－3，－11c．11，－3D．11,3探究点三线性规划的实际应用例3 某公司计划XX年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元．甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分和200元/分．假定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元．问：该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？变式迁移3 某加工厂用某原料由甲车间加工出A产品，由乙车间加工出B产品，甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时，可加工出7千克A产品，每千克A产品获利40元，乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时，可加工出4千克B 产品，每千克B产品获利50元．甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为A．甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱B．甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱c．甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱D．甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱数形结合思想的应用例变量x、y满足x－4y＋3≤0，3x＋5y－25≤0，x ≥1，设z＝4x－3y，求z的最大值；设z＝yx，求z的最小值；设z＝x2＋y2，求z的取值范围．【答题模板】解由约束条件x－4y＋3≤0，3x＋5y－25≤0，x≥1作出的可行域如图所示．由x＝13x＋5y－25＝0，解得A1，225.由x＝1x－4y＋3＝0，解得c．由x－4y＋3＝03x＋5y －25＝0，解得B．[4分]由z＝4x－3y，得y＝43x－z3.当直线y＝43x－z3过点B时，－z3最小，z最大．∴zmax＝4×5－3×2＝14.[6分]∵z＝yx＝y－0x－0，∴z的值即是可行域中的点与原点o连线的斜率．观察图形可知zmin＝koB＝25.[9分]z＝x2＋y2的几何意义是可行域上的点到原点o的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中，dmin＝|oc|＝2，dmax＝|oB|＝29.∴2≤z≤29.[12分] 【突破思维障碍】．求解目标函数不是直线形式的最值的思维程序是：画出可行域→明确目标函数z的几何意义→结合图形找最优解→求目标函数的最值2．常见代数式的几何意义主要有以下几点：x2＋y2表示点与原点的距离；x－a2＋y－b2表示点与点的距离．yx表示点与原点连线的斜率；y－bx－a表示点与点连线的斜率．这些代数式的几何意义能使所求问题得以转化，往往是解决问题的关键．【易错点剖析】本题会出现对无从下手的情况，原因是学生没有数形结合思想的应用意识，不知道从目标函数表示的几何意义入手解题．．在直角坐标系xoy内，已知直线l：Ax＋By＋c＝0与点P，若Ax0＋By0＋c>0，则点P在直线l上方，若Ax0＋By0＋c<0，则点P在直线l下方．2．在直线l：Ax＋By＋c＝0外任意取两点P、Q，若P、Q在直线l的同一侧，则Ax1＋By1＋c与Ax2＋By2＋c同号；若P、Q在直线l异侧，则Ax1＋By1＋c与Ax2＋By2＋c异号，这个规律可概括为“同侧同号，异侧异号”．3．线性规划解决实际问题的步骤：①分析并将已知数据列出表格；②确定线性约束条件；③确定线性目标函数；④画出可行域；⑤利用线性目标函数求出最优解；⑥实际问题需要整数解时，应适当调整，以确定最优解．一、选择题．下面给出的四个点中，位于x＋y－1<0，x－y＋1>0表示的平面区域内的点是A．B．c．D．2．在平面直角坐标系xoy中，已知平面区域A＝{|x＋y ≤1，且x≥0，y≥0}，则平面区域B＝{|∈A}的面积为A．2B．1c.12D.143．已知平面直角坐标系xoy上的区域D由不等式组0≤x≤2，y≤2，x≤2y给定，若m为D上的动点，点A的坐标为，则z＝om→•oA→的最大值为A．42B．32c．4D．34．设变量x，y满足|x|＋|y|≤1，则x＋2y的最大值和最小值分别为A．1，－1B．2，－2c．1，－2D．2，－15．某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车．某天需送往A地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次，派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润350元．该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润z等于A．4650元B．4700元c．4900元D．5000元二、填空题6．设不等式组x＋y－11≥0，3x－y＋3≥0，5x－3y＋9≤0表示的平面区域为D.若指数函数y＝ax的图象上存在区域D上的点，则a的取值范围是________．7．已知实数x、y同时满足以下三个条件：①x－y＋2≤0；②x≥1；③x＋y－7≤0，则yx的取值范围是______________．8．设不等式组2x＋y－6≤0，x＋y－3≥0，y≤2表示的平面区域为m，若函数y＝k＋1的图象经过区域m，则实数k的取值范围是____________．三、解答题9．某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐．已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素c；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素c.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素c.如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？0．已知x－y＋2≥0，x＋y－4≥0，2x－y－5≤0，求：z＝x＋2y－4的最大值；z＝x2＋y2－10y＋25的最小值；z＝2y＋1x＋1的范围．11．预算用XX元购买单件为50元的桌子和20元的椅子，希望使桌子和椅子的总数尽可能的多，但椅子数不少于桌子数，且不多于桌子数的1.5倍，问桌子、椅子各买多少才行？学案35 简单的线性规划问题自主梳理．原点①上方②下方 2.线性约束条件可行解目标函数 3.最优解自我检测．B 2.c 3.c 4.c5．7课堂活动区例1 解题导引在封闭区域内找整点数目时，若数目较小时，可画网格逐一数出；若数目较大，则可分x＝m逐条分段统计．解不等式x－y＋5≥0表示直线x－y＋5＝0上及右下方的点的集合．x＋y≥0表示直线x＋y＝0上及右上方的点的集合，x≤3表示直线x＝3上及左方的点的集合．所以，不等式组x－y＋5≥0，x＋y≥0，x≤3表示的平面区域如图所示．结合图中可行域得x∈－52，3，y∈[－3,8]．由图形及不等式组知－x≤y≤x＋5，－2≤x≤3，且x ∈Z.当x＝3时，－3≤y≤8，有12个整点；当x＝2时，－2≤y≤7，有10个整点；当x＝1时，－1≤y≤6，有8个整点；当x＝0时，0≤y≤5，有6个整点；当x＝－1时，1≤y≤4，有4个整点；当x＝－2时，2≤y≤3，有2个整点；∴平面区域内的整点共有2＋4＋6＋8＋10＋12＝42．变式迁移1 D [作出由不等式组y≥0y≤xy≤2－x组成的平面区域m，即△AoE表示的平面区域，当t＝0时，f＝12×1×1＝12，当t＝1时，f＝12×1×1＝12，当0<t<1时，如图所示，所求面积为f＝S△AoE －S△oBc－S△FDE＝12×2×1－12t2－12[2－]2＝－t2＋t＋12，即f＝－t2＋t＋12，此时f＝12，f＝12，综上可知选D.]例2 解题导引 1.求目标函数的最值，必须先准确地作出线性可行域再作出目标函数对应的直线，据题意确定取得最优解的点，进而求出目标函数的最值．2．线性目标函数z＝ax＋by取最大值时的最优解与b 的正负有关，当b>0时，最优解是将直线ax＋by＝0在可行域内向上平移到端点的位置得到的，当b<0时，则是向下方平移．B[画出可行域如图中阴影部分所示，目标函数z＝4x ＋2y可转化为y＝－2x＋z2，作出直线y＝－2x并平移，显然当其过点A时纵截距z2最大．解方程组x＋y＝3，y＝1得A，∴zmax＝10.]变式迁移2 A [作出可行域如图所示．目标函数y＝34x－14z，则过B、A点时分别取到最大值与最小值．易求B，A．∴zmax＝3×5－4×3＝3，zmin＝3×3－4×5＝－11.] 例3 解题导引解线性规划应用问题的一般步骤是：分析题意，设出未知量；列出线性约束条件和目标函数；作出可行域并利用数形结合求解；作答．解设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x分钟和y分钟，总收益为z元，由题意得x＋y≤300，500x＋200y≤90000，x≥0，y≥0.目标函数为z＝3000x＋XXy.二元一次不等式组等价于x＋y≤300，5x＋2y≤900，x ≥0，y≥0.作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图所示．作直线l：3000x＋XXy＝0，即3x＋2y＝0.平移直线l，从图中可知，当直线l过点m时，目标函数取得最大值．由方程x＋y＝300，5x＋2y＝900，解得x＝100，y＝200.所以点m的坐标为．所以zmax＝3000x＋XXy＝700000．答该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告，公司的收益最大，最大收益是70万元．变式迁移3 B [设甲车间加工原料x箱，乙车间加工原料y箱，由题意可知x＋y≤70，10x＋6y≤480，x≥0，y≥0.甲、乙两车间每天总获利为z＝280x＋200y.画出可行域如图所示．点m为直线x＋y＝70和直线10x＋6y＝480的交点，由图象知在点m处z取得最大值．]课后练习区．c 2.B 3.c 4.B 5.c6．，x－y＋2＝0x＋y－7＝0⇒B52，92，∴koA＝6，koB＝95.∴k∈95，6，即yx∈95，6.8.－14，12解析作可行域，如图．因为函数y＝k＋1的图象是过点P，且斜率为k的直线l，由图知，当直线l过点A时，k取最大值12，当直线l 过点B时，k取最小值－14，故k∈－14，12.9．解设该儿童分别预订x，y个单位的午餐和晚餐，共花费z元，则z＝2.5x＋4y.可行域为12x＋8y≥64，6x＋6y≥42，6x＋10y≥54，x ≥0，x∈N，y≥0，y∈N，即3x＋2y≥16，x＋y≥7，3x ＋5y≥27，x≥0，x∈N，y≥0，y∈N.作出可行域如图所示：经试验发现，当x＝4，y＝3时，花费最少，为2.5×4＋4×3＝22．故应当为儿童分别预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐．0．解作出可行域如图所示，并求出顶点的坐标A、B、c．易知可行域内各点均在直线x＋2y－4＝0的上方，故x ＋2y－4>0，将点c代入z得最大值为21.z＝x2＋y2－10y＋25＝x2＋2表示可行域内任一点到定点m的距离的平方，过m作直线Ac的垂线，易知垂足N在线段Ac上，故z的最小值是|mN|2＝92.z＝2×y－－12x－－1表示可行域内任一点与定点Q－1，－12连线的斜率的两倍，因此kQA＝74，kQB＝38，故z的范围为34，72.1．解设桌子、椅子分别买x张、y把，目标函数z＝x＋y，把所给的条件表示成不等式组，即约束条件为50x＋20y≤XX，y≥x，y≤1.5x，x≥0，x ∈N*，y≥0，y∈N*.由50x＋20y＝XX，y＝x，解得x＝XX，y＝XX，所以A点的坐标为XX，XX.由50x＋20y＝XX，y＝1.5x，解得x＝25，y＝752.所以B点的坐标为25，752.所以满足条件的可行域是以AXX，XX、B25，752、o为顶点的三角形区域．由图形可知，目标函数z＝x＋y在可行域内的最优解为B25，752，但注意到x∈N*，y∈N*，故取x＝25，y＝37.故买桌子25张，椅子37把是最好的选择．。
高中数学必修5：简单的线性规划问题 知识点及经典例题(含答案)
简单的线性规划问题【知识概述】线性规划是不等式应用的一个典型，也是数形结合思想所体现的一个重要侧面.近年的考试中，通常考查二元一次不等式组表示的平面区域的图形形状以及目标函数的最大值或最小值，或求函数的最优解等问题.通过这节课的学习，希望同学们能够掌握线性规划的方法，解决考试中出现的各种问题.解决线性规划的数学问题我们要注意一下几点1.所谓线性规划就是在线性约束条件下求线性目标函数的最值问题；2.解决线性规划问题需要经历两个基本的解题环节（1）作出平面区域；（直线定”界”，特“点”定侧）；（2）求目标函数的最值.（3）求目标函数z=ax+by最值的两种类型：①0b>时，截距最大（小），z的值最大（小）；②0b>时，截距最大（小），z的值最小（大）；【学前诊断】1.[难度] 易满足线性约束条件23,23,0,x yx yxy+≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩的目标函数z x y=+的最大值是（）A.1B.32C.2D.32.[难度] 易设变量,x y满足约束条件0,0,220,xx yx y≥⎧⎪-≥⎨⎪--≤⎩则32z x y=-的最大值为( )A.0B.2C.4D.63. [难度] 中设1m >，在约束条件1y x y mx x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩下，目标函数z x my =+的最大值小于2，则m 的取值范围为（ ）A．(1,1 B．(1)+∞ C ．(1,3) D ．(3,)+∞【经典例题】例1. 设变量,x y 满足约束条件1,0,20,y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩则2z x y =+的最大值为( )A.5B.4C.1D.8例2. 若变量,x y 满足约束条件1,0,20,y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩则2z x y =-的最大值为( )A.4B.3C.2D.1例3. 设,x y 满足约束条件2208400,0x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩，若目标函数(0,0)z abx y a b =+>>的最小值为8，则a b +的最小值为____________.例4. 在约束条件下0,0,,24,x y x y s x y ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩当35s ≤≤时，目标函数32z x y =+的最大值的变化范围是( )A.[]6,15B.[]7,15 C.[]6,8 D.[]7,8例5. 设不等式组1230x x y y x ≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，所表示平面区域是1,Ω平面区域2Ω与1Ω关于直线3490x y --=对称，对于1Ω中任意一点A 与2Ω中的任意一点B ，AB 的最小值等于（ ）A.285B.4C.125D.2例6．对于实数,x y ，若11,21,x y -≤-≤则21x y -+的最大值为_________.例7．在约束条件22240x y x y +++≤下，函数32z x y =+的最大值是___________.例8. 已知函数2()2(,)f x x ax b a b =++∈R ，且函数()y f x =在区间()0,1与()1,2内各有一个零点，则22(3)z a b =++的取值范围是（ ）.A.2⎫⎪⎪⎝⎭B.1,42⎛⎫ ⎪⎝⎭C.()1,2D.()1,4 例9. 奇函数()f x 在R 上是减函数，若,s t 满足不等式22(2)(2)f s s f t t -≤--，则当14s ≤≤时，t s的取值范围是（ ）. A.1,14⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ B.1,14⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C.1,12⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ D.1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦例10. 某加工厂用某原料由甲车间加工出A 产品，由乙车间加工出B 产品.车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工出7千克A 产品，每千克 A 产品获利40元.乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克B 产品，每千克B 产品获利50元.甲、乙两车间每天共能完成至多70多箱原料的加工，每天甲、乙车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天获利最大的生产计划为（A ）甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱（B ）甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱（C ）甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱（D ）甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱【本课总结】线性规划是不等式和直线与方程的综合应用，是数形结合的和谐载体，也是高考中的重要考点，近几年的高考题中考查的频率较高，一般以考查基本知识和方法为主，属于基础类题，难度一般不高.1. 解决线性规划问题有一定的程序性：第一步：确定由二元一次不等式表示的平面区域；第二步：令z=0画直线0:0l ax by +=；第三步：平移直线0l 寻找使直线a z y x b b=-+截距取最值（最大或最小）的位置（最优解）.第四步：将最优解坐标代入线性目标函数z ax by =+求出最值2. 解决线性规划问题要特别关注线性目标函数z ax by =+中b 的符号，若b ＞0，则使函数a z y x b b=-+的截距取最大（小）值的点，可使目标函数z ax by =+取最大（小）值，若b <0，则使函数a z y x b b=-+的截距取最大（小）值的点，可使目标函数z ax by =+取最小（大）值， b <0的情况是很多同学容易出现的盲点.3. 线性规划问题要重视数形结合思想的运用，善于将代数问题和几何问题相互转化，由线性规划问题引申的其它数形结合题目也要灵活掌握，如：将平面区域条件引申为：22240x y x y +++≤表示圆面等，将目标函数引申为：2224z x y x y =+++表示动点到定点的距离的最值问题；21y z x +=-表示动点与定点连线的斜率的最值问题等. 4. 线性规划问题首先作出可行域，若为封闭区域（即几条直线围成的区域）则一般在区域顶点处取得最大或最小值5. 线性规划中易错点提示（1）忽视平面区域是否包括边界.一般最优解都处于平面区域的边界顶点处，若平面区域不包含边界，则可能不存在最值.（2）忽视对线性目标函数z ax by =+中b 的符号的区分.（3）代数问题向其几何意义的转化困难.【活学活用】1. [难度] 中若不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+≥≤+≥-ay x y y x y x 0220表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是（ ） A.4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ B.(]0,1 C.41,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D.(]40,1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭2. [难度] 中 设变量x y ，满足约束条件1133x y x y x y ⎧--⎪+⎨⎪-<⎩，，．≥≥则目标函数4z x y =+的最大值为（ ） A ．4B ．11C ．12D ．143. [难度] 中 已知变量x 、y 满足约束条件 20,1,70,x y y x x x y -+≤⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩则的取值范围是（ ） A ．9,65⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．9,5⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦∪[)6,+∞ C ．(],3-∞∪[)6,+∞ D ．[3，6]。
高考第一轮复习数学：7.4--简单的线性规划
高考第一轮复习数学：7.4--简单的线性规划7.4 简单的线性规划●知识梳理1.二元一次不等式表示平面区域在平面直角坐标系中，已知直线Ax+By+C=0，坐标平面内的点P（x0，y0）.B＞0时，①Ax0+By0+C＞0，则点P（x0，y0）在直线的上方；②Ax0+By0+C＜0，则点P（x0，y0）在直线的下方.对于任意的二元一次不等式Ax+By+C＞0（或＜0），无论B为正值还是负值，我们都可以把y项的系数变形为正数.当B＞0时，①Ax+By+C＞0表示直线Ax+By+C=0上方的区域；②Ax+By+C＜0表示直线Ax+By+C=0下方的区域.2.线性规划求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题.满足线性约束条件的解（x，y）叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域（类似函数的定义域）；使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做最优解.生产实际中有许多问题都可以归结为线性规划问题.线性规划问题一般用图解法，其步骤如下：（1）根据题意，设出变量x、y；（2）找出线性约束条件；（3）确定线性目标函数z=f（x，y）；（4）画出可行域（即各约束条件所示区域的公共区域）；（5）利用线性目标函数作平行直线系f（x，y）=t（t为参数）；（6）观察图形，找到直线f（x，y）=t在可行域上使t取得欲求最值的位置，以确定最优解，给出答案.●点击双基1.下列命题中正确的是A.点（0，0）在区域x+y≥0内B.点（0，0）在区域x+y+1<0内C.点（1，0）在区域y>2x内D.点（0，1）在区域x－y+1>0内解析：将（0，0）代入x+y≥0，成立.答案：A2.（2005年海淀区期末练习题）设动点坐标（x ，y ）满足 （x －y +1）（x +y －4）≥0， x ≥3，A.5B.10C.217 D.10解析：数形结合可知当x =3，y =1时，x 2+y 2的最小值为10.答案：D2x －y +1≥0， x －2y －1≤0，x +y ≤1A.正三角形及其内部B.等腰三角形及其内部C.在第一象限内的一个无界区域D.不包含第一象限内的点的一个有界区域解析：将（0，0）代入不等式组适合C ，不对；将（21，21）代入不等式组适合D ，不对；又知2x －y +1=0与x －2y －1=0关于y =x 对称且所夹顶角α满足t an α=|2121||212|⋅+-=43. ∴α≠3π.则x 2+y 2的3.不表示的平答案：B4.点（－2，t ）在直线2x －3y +6=0的上方，则t 的取值范围是________________.解析：（－2，t ）在2x －3y +6=0的上方，则2×（－2）－3t +6＜0，解得t ＞32. 答案：t ＞32 5.不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<+>>1234,0,0y x y x 表示的平面区域内的整点（横坐标和纵坐标都是整数的点）共有____________个.解析：（1，1），（1，2），（2，1），共3个.答案：3●典例剖析【例1】 求不等式｜x －1｜+｜y －1｜≤2表示的平面区域的面积.剖析：依据条件画出所表达的区域，再根据区域的特点求其面积.解：｜x －1｜+｜y －1｜≤2可化为 x ≥1， x ≥1， x ≤1， x ≤1，y ≥1， y ≤1， y ≥1， y ≤1，或 或 或x +y ≤4 x －y ≤2 y －x ≤2 x +y ≥0.其平面区域如图. O x y∴面积S =21×4×4=8. 评述：画平面区域时作图要尽量准确，要注意边界.深化拓展若再求：①12-+x y；②22)2()1(++-y x 的值域，你会做吗？答案： ①（－∞，－23］∪［23，+∞）；②［1，5］.【例2】 某人上午7时，乘摩托艇以匀速vn mi l e/h （4≤v ≤20）从A 港出发到距50 n mi l e 的B 港去，然后乘汽车以匀速w km/h （30≤w ≤100）自B 港向距300 km 的C 市驶去.应该在同一天下午4至9点到达C 市.设乘汽车、摩托艇去所需要的时间分别是x h 、y h.（1）作图表示满足上述条件的x 、y 范围；（2）如果已知所需的经费p =100+3×（5－x ）+2×（8－y ）（元），那么v 、w 分别是多少时走得最经济?此时需花费多少元?剖析：由p =100+3×（5－x ）+2×（8－y ）可知影响花费的是3x +2y 的取值范围.解：（1）依题意得v =y 50，w =x300，4≤v ≤20，30≤w ≤100.∴3≤x ≤10，25≤y ≤225. ①由于乘汽车、摩托艇所需的时间和x +y 应在9至14个小时之间，即9≤x +y ≤14.②因此，满足①②的点（x ，y ）的存在范围是图中阴影部分（包括边界）.x（2）∵p +2·（8－y ），∴3x +2y =131－p .设131－p =k ，那么当k 最大时，p 最小.在通过图中的阴影部分区域（包括边界）且斜率为－23的直线3x +2y =k 中，使k 值最大的直线必通过点（10，4），即当x=10，y=4时，p最小.此时，v=12.5，w=30，p的最小值为93元.评述：线性规划问题首先要根据实际问题列出表达约束条件的不等式.然后分析要求量的几何意义.【例3】某矿山车队有4辆载重量为10 t 的甲型卡车和7辆载重量为6 t的乙型卡车，有9名驾驶员.此车队每天至少要运360 t矿石至冶炼厂.已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次.甲型卡车每辆每天的成本费为252元，乙型卡车每辆每天的成本费为160元.问每天派出甲型车与乙型车各多少辆，车队所花成本费最低?剖析：弄清题意，明确与运输成本有关的变量的各型车的辆数，找出它们的约束条件，列出目标函数，用图解法求其整数最优解.解：设每天派出甲型车x辆、乙型车y辆，车队所花成本费为z元，那么x+y≤9，10×6x+6×8x≥360，0≤x≤4，0≤y≤7.z=252x+160y，其中x、y∈N.作出不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图.作出直线l0：252x+160y=0，把直线l向右上方平移，使其经过可行域上的整点，且使在y 轴上的截距最小.观察图形，可见当直线252x+160y=t经过点（2，5）时，满足上述要求.此时，z=252x+160y取得最小值，即x=2，y=5时，z min=252×2+160×5=1304.答：每天派出甲型车2辆，乙型车5辆，车队所用成本费最低.评述：用图解法解线性规划题时，求整数最优解是个难点，对作图精度要求较高，平行直线系f（x，y）=t的斜率要画准，可行域内的整点要找准，最好使用“网点法”先作出可行域中的各整点.●闯关训练夯实基础1.（x －1）2+（y －1）2=1是｜x －1｜+｜y－1｜≤1的__________条件.A.充分而不必要B.必要而不充分C.充分且必要D.既不充分也不必要解析：数形结合.答案：B2.（x +2y +1）（x －y +4）≤0表示的平面区域为x xyy yy AB C D x +2y +1≥0， x +2y +1≤0， x －y +4≤0 x －y +4≥0.答案：B3.（2004年全国卷Ⅱ，14）设x 、y 满足约束条件或x ≥0， x ≥y ，2x －y ≤1，则z =3x +2y 的最大值是____________.解析：如图，当x =y =1时，z max =5.答案：5x －4y +3≤0， 3x +5y －25≤0，x ≥1， _________.解析：作出可行域，如图.当把z 看作常数时，它表示直线y =zx 的斜率，因此，当直线y =zx 过点A 时，z 最大；当直线y =zx 过点B 时，z 最小．yx ＝1， 3x ＋5y －25＝0，得A （1，522）. x －4y +3=0，由 得B 4.变量x 、设z =xy ，则z 的最小值为由3x +5y －25=0，∴z max ＝1522＝522，z min ＝52． 答案：525225.画出以A （3，－1）、B （－1，1）、C （1，3）为顶点的△ABC 的区域（包括各边），写出该区域所表示的二元一次不等式组，并求以该区域为可行域的目标函数z =3x －2y 的最大值和最小值.分析：本例含三个问题：①画指定区域；②写所画区域的代数表达式——不等式组； ③求以所写不等式组为约束条件的给定目标函数的最值.解：如图，连结点A 、B 、C ，则直线AB 、BC 、CA 所围成的区域为所求△ABC 区域.直线AB 的方程为x +2y －1=0，BC 及CA 的直线方程分别为x －y +2=0，2x +y －5=0.在△ABC 内取一点P （1，1），分别代入x +2y －1，x －y +2，2x +y －5得x +2y －1>0，x －y +2>0，2x +y －5<0.因此所求区域的不等式组为 x +2y －1≥0， x －y +2≥0， 2x +y －5≤0.作平行于直线3x －2y =0的直线系3x －2y =t （t 为参数），即平移直线y =23x ，观察图形可知：当直线y =23x －21t 过A （3，－1）时，纵截距－21t 最小.此时t 最大，t max =3×3－2× （－1）=11；当直线y =23x －21t 经过点B （－1，1）时，纵截距－21t 最大，此时t 有最小值为t min = 3×（－1）－2×1=－5.因此，函数z =3x －2y 在约束条件 x +2y －1≥0，x －y +2≥0， 2x +y －5≤06.某校伙食长期以面粉和大米为主食，面食每100 g 含蛋白质6个单位，含淀粉4个单位，售价0.5元，米食每100 g 含蛋白质3个单位，含淀粉7个单位，售价0.4元，学校要求给学生配制盒饭，每盒盒饭至少有8个单位的蛋白质和下的最大值为10个单位的淀粉，问应如何配制盒饭，才既科学又费用最少?解：设每盒盒饭需要面食x （百克），米食y （百克），y所需费用为S x 、y 满足6x +3y ≥8， 4x +7y ≥10， x ≥0，y ≥0，由图可知，直线y =－45x +25S 过A （1513，1514）时，纵截距25S 最小，即S 最小. 故每盒盒饭为面食1513百克，米食1514百克时既科学又费用最少.培养能力7.配制A 、B 两种药剂，需要甲、乙两种原料，已知配一剂A 种药需甲料3 mg ，乙料5 mg ；配一剂B 种药需甲料5 mg ，乙料4 mg.今有甲料20 mg ，乙料25 mg ，若A 、B 两种药至少各配一剂，问共有多少种配制方法?解：设A、B两种药分别配x、y剂（x、y ∈N），则x≥1，y≥1，3x+5y≤20，5x+4y≤25.上述不等式组的解集是以直线x=1，y=1，3x+5y=20及5x+4y=25为边界所围成的区域，这个区域内的整点为（1，1）、（1，2）、（1，3）、（2，1）、（2，2）、（3，1）、（3，2）、（4，1）.所以，在至少各配一剂的情况下，共有8种不同的配制方法．8.某公司计划在今年内同时出售变频空调机和智能洗衣机，由于这两种产品的市场需求量非常大，有多少就能销售多少，因此该公司要根据实际情况（如资金、劳动力）确定产品的月供应量，以使得总利润达到最大.已知对这两种产品有直接限制的因素是资金和劳动力，通过调查，得到关于这两种产品的有关数据如下表：试问：怎样确定两种货物的月供应量，才能使总利润达到最大，最大利润是多少?解：设空调机、洗衣机的月供应量分别是x 、y 台，总利润是P ，则P =6x +8y ，由题意有30x +20y ≤300，5x +10y ≤110， x ≥0， y ≥0，x 、y 均为整数.由图知直线y =－43x +81P 过M （4，9）时，纵截距最大.这时P 也取最大值P max =6×4+8×9=96（百元）.故当月供应量为空调机4台，洗衣机9台时，可获得最大利润9600元.探究创新9.实系数方程f （x ）=x 2+ax +2b =0的一个根在（0，1）内，另一个根在（1，2）内，求：（1）12--a b 的值域； （2）（a －1）2+（b －2）2的值域；（3）a +b －3的值域.f （0）＞0 f （1）＜0 f （2）＞0b ＞0， a +b +1＜0， a +b +2＞0.如图所示. A （－3，1）、B （－2，0）、C （－1，0）.（1）（41，1）；（2）（8，17）；（3）（－5，－4）. ●思悟小结简单的线性规划在实际生产生活中应用非常广泛，主要解决的问题是：在资源的限制下，如何使用资源来完成最多的生产任务；或是给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的资源来完成.如常见的任务安排问题、配料问题、下料问题、布局问题、库存问题，通常解法是将实际问题转化为数学模型，归结为线性规划，使解：由用图解法解决.图解法解决线性规划问题时，根据约束条件画出可行域是关键的一步.一般地，可行域可以是封闭的多边形，也可以是一侧开放的非封闭平面区域.第二是画好线性目标函数对应的平行直线系，特别是其斜率与可行域边界直线斜率的大小关系要判断准确.通常最优解在可行域的顶点（即边界线的交点）处取得，但最优整数解不一定是顶点坐标的近似值.它应是目标函数所对应的直线平移进入可行域最先或最后经过的那一整点的坐标.●教师下载中心教学点睛线性规划是新增添的教学内容，应予以足够重视.线性规划问题中的可行域，实际上是二元一次不等式（组）表示的平面区域，是解决线性规划问题的基础，因为在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点（x，y）实数Ax+By+C的符号相同，所以只需在此直线的某一侧任取一点（x0，y0）〔若原点不在直线上，则取原点（0，0）最简便〕，把它的坐标代入Ax+By+C=0，由其值的符号即可判断二元一次不等式Ax+By+C＞0（或＜0）表示直线的哪一侧.这是教材介绍的方法.在求线性目标函数z=ax+by的最大值或最小值时，设ax+by=t，则此直线往右（或左）平移时，t值随之增大（或减小），要会在可行域中确定最优解.解线性规划应用题步骤：（1）设出决策变量，找出线性约束条件和线性目标函数；（2）利用图象在线性约束条件下找出决策变量，使线性目标函数达到最大（或最小）.拓展题例【例1】已知f（x）=px2－q且－4≤f（1）≤－1，－1≤f（2）≤5，求f（3）的范围.解：∵－4≤f（1）≤－1，－1≤f（2）≤5，p－q≤－1，p－q≥－4，∴4p－q≤5，4p－q≥－1.求z=9p－q的最值.p =0q =1，z min =－1， p =3， q =7，∴－1≤f （3）≤20.【例2】 某汽车公司有两家装配厂，生产甲、乙两种不同型号的汽车，若A 厂每小时可完成1辆甲型车和2辆乙型车；B 厂每小时可完成3辆甲型车和1辆乙型车.今欲制造40辆甲型车和20辆乙型车，问这两家工厂各工作几小时，才能使所费的总工作时数最少？解：设A 厂工作x h ，B 厂工作y h ，总工作时数为t h ，则t =x +y ，且x +3y ≥40，2x +y ≥20，x ≥0，y ≥0，可行解区域如图.而符合问题的解为此区域内的格子点（纵、横坐标都是整数的点称为格子点），于是问题变为要在此可行解区域内，找出格子点（x ，y ），使t =x +y 的值为最小.如z max=xx y +3=由图知当直线l 过Q 点时，纵、横截距t 最小，但由于符合题意的解必须是格子点，我们还必须看Q 点是否是格子点. x +3y =40， 2x +y =20，得Q （4，12）为格子点.故A 厂工作4 h ，B 厂工作12 h ，可使所费的总工作时数最少.解方。
简单的线性规划问题(附答案)
简单的线性规划问题［学习目标]1。
了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念。
2.了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题．知识点一线性规划中的基本概念名称意义约束条件关于变量x，y的一次不等式（组）线性约束条件关于x，y的一次不等式(组)目标函数欲求最大值或最小值的关于变量x，y的函数解析式线性目标函数关于变量x，y的一次解析式可行解满足线性约束条件的解（x，y）可行域由所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题知识点二线性规划问题1．目标函数的最值线性目标函数z＝ax＋by (b≠0）对应的斜截式直线方程是y＝－错误!x＋错误!，在y轴上的截距是错误!,当z变化时,方程表示一组互相平行的直线．当b〉0，截距最大时，z取得最大值，截距最小时，z取得最小值;当b〈0，截距最大时，z取得最小值，截距最小时,z取得最大值．2．解决简单线性规划问题的一般步骤在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下，解决简单线性规划问题的步骤可以概括为:“画、移、求、答”四步，即，(1)画：根据线性约束条件，在平面直角坐标系中，把可行域表示的平面图形准确地画出来，可行域可以是封闭的多边形，也可以是一侧开放的无限大的平面区域．（2）移：运用数形结合的思想，把目标函数表示的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点(或边界）便是最优解．(3)求:解方程组求最优解,进而求出目标函数的最大值或最小值．(4)答:写出答案．知识点三简单线性规划问题的实际应用1．线性规划的实际问题的类型（1)给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源，使完成的任务量最大，收到的效益最大；(2)给定一项任务，问怎样统筹安排，使完成这项任务耗费的人力、物力资源量最小．常见问题有：①物资调动问题例如,已知两煤矿每年的产量，煤需经两个车站运往外地，两个车站的运输能力是有限的，且已知两煤矿运往两个车站的运输价格，煤矿应怎样编制调动方案，才能使总运费最小?②产品安排问题例如，某工厂生产甲、乙两种产品,每生产一个单位的甲种或乙种产品需要的A、B、C三种材料的数量,此厂每月所能提供的三种材料的限额都是已知的，这个工厂在每个月中应如何安排这两种产品的生产，才能使每月获得的总利润最大？③下料问题例如，要把一批长钢管截成两种规格的钢管，应怎样下料能使损耗最小？2．解答线性规划实际应用题的步骤(1)模型建立:正确理解题意，将一般文字语言转化为数学语言，进而建立数学模型，这需要在学习有关例题解答时，仔细体会范例给出的模型建立方法．（2)模型求解：画出可行域,并结合所建立的目标函数的特点，选定可行域中的特殊点作为最优解．(3)模型应用:将求解出来的结论反馈到具体的实例中，设计出最佳的方案．题型一求线性目标函数的最值例1已知变量x，y满足约束条件错误!则z＝3x＋y的最大值为(）A．12 B．11C．3 D．－1答案 B解析首先画出可行域，建立在可行域的基础上，分析最值点，然后通过解方程组得最值点的坐标，代入即可．如图中的阴影部分,即为约束条件对应的可行域，当直线y＝－3x＋z经过点A时，z取得最大值．由错误!⇒错误!此时z＝3x＋y＝11。
简单的线性规划问题
目标函数为：z＝28x＋21y
1、找
4 3 x z 28
作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即 可行域 把目标函数z＝28x＋21y 变形为 y
2、画
它表示斜率为 3 纵截距随z变化的一 组平行直线 z
28
4
6/7 y
是直线在y轴上 的截距，当截距最 小时，z的值最小。
5/7
M
3、移
0.14kg蛋白质，0.07kg脂肪，花费21元。为
了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使
花费最低，需要同时食用食物A和食物B多少kg？
分析：将已知数据列成表格
食物／kg 碳水化合物／kg 蛋白质/kg 脂肪／kg
A
B
0.105
0.105
0.07
0.14
0.14
0.07
解：设每天食用xkg食物A，ykg食物B， 总成本为z，那么
1 7 4 7
所以zmin＝28x＋21y＝16
5、答
由此可知，每天食用食物A143g，食 物B约571g，能够满足日常饮食要求，又 使花费最低，最低成本为16元。
解线性规划问题的步骤：
1、找 找出线性约束条件、目标函数； （1）2、画： 画出线性约束条件所表示的可行域； （2）3、移： 在线性目标函数所表示的一组平行线中， 利用平移的方法找出与可行域有公共点 且纵截距最大或最小的直线； （3）4、求：通过解方程组求出最优解； （4）5、答：作出答案。
7
小结：
线性规划求最优整数解的一般方法: 方法1.平移找解法： 即先打网格，描出可行域 内的整点，平移直线，最先经过或最后经
过的整点坐标即为最优整解． 方法2.调整优解法： 即先求非整数条件下的最优
高考数学一轮复习简单的线性规划问题(课堂PPT)
z=400x+300y.画出可行域(如图)，
由图可知当直线z=400x+300y经过
点A(4,2)时，z取最小值，最小值
为zmin=2 200，故选B.
2x y 0,
5.不等式组
x
3,
表示的平面区域的面积为______.
y 0
【解析】该不等式组表示的平面区域是一个直角三角形，其面 积等于 1 3 6 9.
(D)10
行域如图所示：易得A(1，1)，OA＝ 2， B(2，2)，OB 2C2(， 1，3)， OC 10， 故|OP|的最大值为 1 0即， x2+y2的最大 值等于10，故选D.
4.某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇，现有4辆甲型货车和
8辆乙型货车可供使用，每辆甲型货车运输费用400元，可装洗
xa
1.若点(m,1)在不等式2x+3y-5>0所表示的平面区域内，则m的
取值范围是( )
(A)m≥1
(B)m≤1
(C)m<1
(D)m>1
【解析】选D.依题意有2m+3-5>0，解得m>1.
x y 0，
2.若x,y满足约束条件
x
y
4
0， 则z=3x-y的最小值是(
)
0 x 4，
(A)-2
(2)二元一次不等式所表示的平面区域可用_特__殊__点__法__进行验证， 任选一个不在直线上的点，检验它的坐标是否满足所给的不等 式.若适合，则该点所在的一侧即为不等式所表示的平面区域； 否则，直线的另一侧为所求的平面区域.通常情况下，只要原 点不在直线上，就可以选择原点作为特殊点进行检验.
3.线性规划的有关概念
不等式(组) 不等式(组)
高考数学(理科)一轮复习简单的线性规划问题学案附答案
高考数学（理科）一轮复习简单的线性规划问题学案附答案学案3简单的线性规划问题导学目标：1从实际情境中抽象出二元一次不等式组2了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组3从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．自主梳理1．二元一次不等式(组)表示的平面区域(1)判断不等式Ax＋B＋>0所表示的平面区域，可在直线Ax＋B ＋＝0的某一侧的半平面内选取一个特殊点，如选原点或坐标轴上的点验证Ax＋B＋的正负．当≠0时，常选用______________．对于任意的二元一次不等式Ax＋B＋>0(或<0)，无论B为正值还是负值，我们都可以把项的系数变形为正数，当B>0时，①Ax＋B＋>0表示直线Ax＋B＋＝0______的区域；②Ax＋B＋<0表示直线Ax＋B＋＝0______的区域．(2)画不等式Ax＋B＋>0表示的平面区域时，其边界直线应为虚线；画不等式Ax＋B＋≥0表示的平面区域时，边界直线应为实线．画二元一次不等式表示的平面区域，常用的方法是：直线定“界”、原点定“域”．2．线性规划的有关概念(1)线性约束条——由条列出一次不等式(或方程)组．(2)线性目标函数——由条列出一次函数表达式．(3)线性规划问题：求线性目标函数在约束条下的最大值或最小值问题．(4)可行解：满足________________的解(x，)．()可行域：所有________组成的集合．(6)最优解：使______________取得最大值或最小值的可行解．3．利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是：(1)在平面直角坐标系内作出可行域．(2)作出目标函数的等值线．(3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数等值线，从而确定__________．自我检测1．(2011•北京东城1月检测)在平面直角坐标系中，若点(－2，t)在直线x－2＋4＝0的上方，则t的取值范围是()A．(－∞，1) B．(1，＋∞)．(－1，＋∞) D．(0,1)2．不等式(x－2＋1)(x＋－3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)应是()3．(2010•重庆)设变量x，满足约束条x≥0，x －≥0，2x－－2≤0，则z＝3x－2的最大值为()A．0 B．2 ．4 D．64．(2010•浙江)若实数x，满足不等式组x＋3－3≥0，2x－－3≤0，x－＋1≥0，且x＋的最大值为9，则实数等于()A．－2 B．－1 ．1 D．2．(2010•天津河西高三期中)已知实数x，满足x＋≥2，x－≤2，0≤≤3，则z＝2x－的最大值为________探究点一不等式组表示的平面区域例1 画出不等式组x－＋≥0，x＋≥0，x≤3表示的平面区域，并回答下列问题：(1)指出x，的取值范围；(2)平面区域内有多少个整点？变式迁移1(2011•安庆模拟)在平面直角坐标系中，有两个区域、N，是由三个不等式≥0，≤x和≤2－x确定的；N是随t变化的区域，它由不等式t≤x≤t＋1 (0≤t≤1)所确定．设、N的公共部分的面积为f(t)，则f(t)等于()A．－2t2＋2t B12(t－2)2．1－12t2 D．－t2＋t＋12探究点二求目标函数的最值例2 (2010•天津)设变量x，满足约束条x＋≤3，x－≥－1，≥1，则目标函数z＝4x＋2的最大值为()A．12 B．10 ．8 D．2变式迁移2(2010•东)设变量x，满足约束条x－＋2≥0，x－＋10≤0，x＋－8≤0，则目标函数z＝3x－4的最大值和最小值分别为()A．3，－11 B．－3，－11．11，－3 D．11,3探究点三线性规划的实际应用例3 某公司计划2010年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元．甲、乙电视台的广告收费标准分别为00元/分和200元/分．假定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告能给公司带的收益分别为03万元和02万元．问：该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？变式迁移3(2010•四川)某加工厂用某原料由甲车间加工出A产品，由乙车间加工出B产品，甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时，可加工出7千克A产品，每千克A产品获利40元，乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时，可加工出4千克B产品，每千克B产品获利0元．甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为()A．甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱B．甲车间加工原料1箱，乙车间加工原料箱．甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料0箱D．甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱数形结合思想的应用例(12分)变量x、满足x－4＋3≤0，3x＋－2≤0，x≥1，(1)设z＝4x－3，求z的最大值；(2)设z＝x，求z的最小值；(3)设z＝x2＋2，求z的取值范围．【答题模板】解由约束条x－4＋3≤0，3x＋－2≤0，x≥1作出(x，)的可行域如图所示．由x＝13x＋－2＝0，解得A1，22由x＝1x－4＋3＝0，解得(1,1)．由x－4＋3＝03x＋－2＝0，解得B(,2)．[4分](1)由z＝4x－3，得＝43x－z3当直线＝43x－z3过点B时，－z3最小，z最大．∴zax＝4×－3×2＝14[6分](2)∵z＝x＝－0x－0，∴z的值即是可行域中的点与原点连线的斜率．观察图形可知zin＝B＝2[9分](3)z＝x2＋2的几何意义是可行域上的点到原点的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中，din＝||＝2，dax＝|B|＝29∴2≤z≤29[12分]【突破思维障碍】1．求解目标函数不是直线形式的最值的思维程序是：画出可行域→明确目标函数z的几何意义→结合图形找最优解→求目标函数的最值2．常见代数式的几何意义主要有以下几点：(1)x2＋2表示点(x，)与原点(0,0)的距离；x－a2＋－b2表示点(x，)与点(a，b)的距离．(2)x表示点(x，)与原点(0,0)连线的斜率；－bx－a表示点(x，)与点(a，b)连线的斜率．这些代数式的几何意义能使所求问题得以转化，往往是解决问题的关键．【易错点剖析】本题会出现对(2)(3)无从下手的情况，原因是学生没有数形结合思想的应用意识，不知道从目标函数表示的几何意义入手解题．1．在直角坐标系x内，已知直线l：Ax＋B＋＝0与点P(x0，0)，若Ax0＋B0＋>0，则点P在直线l上方，若Ax0＋B0＋<0，则点P在直线l下方．2．在直线l：Ax＋B＋＝0外任意取两点P(x1，1)、Q(x2，2)，若P、Q在直线l的同一侧，则Ax1＋B1＋与Ax2＋B2＋同号；若P、Q在直线l异侧，则Ax1＋B1＋与Ax2＋B2＋异号，这个规律可概括为“同侧同号，异侧异号”．3．线性规划解决实际问题的步骤：①分析并将已知数据列出表格；②确定线性约束条；③确定线性目标函数；④画出可行域；⑤利用线性目标函数(直线)求出最优解；⑥实际问题需要整数解时，应适当调整，以确定最优解．(满分：7分)一、选择题(每小题分，共2分)1．(2011•龙岩月考)下面给出的四个点中，位于x＋－1<0，x－＋1>0表示的平面区域内的点是()A．(0,2) B．(－2,0)．(0，－2) D．(2,0)2．在平面直角坐标系x中，已知平面区域A＝{(x，)|x＋≤1，且x≥0，≥0}，则平面区域B＝{(x＋，x－)|(x，)∈A}的面积为()A．2 B．1 12 D143．(2011•广东)已知平面直角坐标系x上的区域D由不等式组0≤x≤2，≤2，x≤2给定，若(x，)为D上的动点，点A的坐标为(2，1)，则z＝→•A→的最大值为()A．42 B．32．4 D．34．(2011•安徽)设变量x，满足|x|＋||≤1，则x＋2的最大值和最小值分别为()A．1，－1 B．2，－2．1，－2 D．2，－1．(2011•四川)某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车．某天需送往A地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次，派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润40元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润30元．该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润z等于() A．4 60元B．4 700元．4 900元D．000元二、填空题(每小题4分，共12分)6．(2010•北京改编)设不等式组x＋－11≥0，3x－＋3≥0，x－3＋9≤0表示的平面区域为D若指数函数＝ax的图象上存在区域D上的点，则a的取值范围是________．7．(2011•长沙一中月考)已知实数x、同时满足以下三个条：①x－＋2≤0；②x≥1；③x＋－7≤0，则x的取值范围是______________．8．(2011•湖南师大月考)设不等式组2x＋－6≤0，x＋－3≥0，≤2表示的平面区域为，若函数＝(x＋1)＋1的图象经过区域，则实数的取值范围是____________．三、解答题(共38分)9．(12分)(2010•广东)某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐．已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和4个单位的维生素如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？10．(12分)已知x－＋2≥0，x＋－4≥0，2x－－≤0，求：(1)z＝x＋2－4的最大值；(2)z＝x2＋2－10＋2的最小值；(3)z＝2＋1x＋1的范围．11．(14分)(2011•杭州调研)预算用2 000元购买单为0元的桌子和20元的椅子，希望使桌子和椅子的总数尽可能的多，但椅子数不少于桌子数，且不多于桌子数的1倍，问桌子、椅子各买多少才行？学案3简单的线性规划问题自主梳理1．(1)原点(0,0)①上方②下方2(4)线性约束条()可行解(6)目标函数3(3)最优解自我检测1．B23 4．7堂活动区例 1 解题导引在封闭区域内找整点数目时，若数目较小时，可画网格逐一数出；若数目较大，则可分x＝逐条分段统计．解(1)不等式x－＋≥0表示直线x－＋＝0上及右下方的点的集合．x＋≥0表示直线x＋＝0上及右上方的点的集合，x≤3表示直线x＝3上及左方的点的集合．所以，不等式组x－＋≥0，x＋≥0，x≤3表示的平面区域如图所示．结合图中可行域得x∈－2，3，∈[－3,8]．(2)由图形及不等式组知－x≤≤x＋，－2≤x≤3，且x∈Z当x＝3时，－3≤≤8，有12个整点；当x＝2时，－2≤≤7，有10个整点；当x＝1时，－1≤≤6，有8个整点；当x＝0时，0≤≤，有6个整点；当x＝－1时，1≤≤4，有4个整点；当x＝－2时，2≤≤3，有2个整点；∴平面区域内的整点共有2＋4＋6＋8＋10＋12＝42(个)．变式迁移1D[作出由不等式组≥0≤x≤2－x组成的平面区域，即△AE表示的平面区域，当t＝0时，f(0)＝12×1×1＝12，当t＝1时，f(1)＝12×1×1＝12，当0<t<1时，如图所示，所求面积为f(t)＝S△AE－S△B－S△FDE ＝12×2×1－12t2－12[2－(t＋1)]2＝－t2＋t＋12，即f(t)＝－t2＋t＋12，此时f(0)＝12，f(1)＝12，综上可知选D]例2 解题导引1求目标函数的最值，必须先准确地作出线性可行域再作出目标函数对应的直线，据题意确定取得最优解的点，进而求出目标函数的最值．2．线性目标函数z＝ax＋b取最大值时的最优解与b的正负有关，当b>0时，最优解是将直线ax＋b＝0在可行域内向上平移到端点(一般是两直线交点)的位置得到的，当b<0时，则是向下方平移．B[画出可行域如图中阴影部分所示，目标函数z＝4x＋2可转化为＝－2x＋z2，作出直线＝－2x并平移，显然当其过点A时纵截距z2最大．解方程组x＋＝3，＝1得A(2,1)，∴zax＝10]变式迁移2A[作出可行域如图所示．目标函数＝34x－14z，则过B、A点时分别取到最大值与最小值．易求B(,3)，A(3,)．∴zax＝3×－4×3＝3，zin＝3×3－4×＝－11]例3 解题导引解线性规划应用问题的一般步骤是：(1)分析题意，设出未知量；(2)列出线性约束条和目标函数；(3)作出可行域并利用数形结合求解；(4)作答．解设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x分钟和分钟，总收益为z元，由题意得x＋≤300，00x＋200≤90 000，x≥0，≥0目标函数为z＝3 000x＋2 000二元一次不等式组等价于x＋≤300，x＋2≤900，x≥0，≥0作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图所示．作直线l：3 000x＋2 000＝0，即3x＋2＝0平移直线l，从图中可知，当直线l过点时，目标函数取得最大值．由方程x＋＝300，x＋2＝900，解得x＝100，＝200所以点的坐标为(100,200)．所以zax＝3 000x＋2 000＝700 000(元)．答该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告，公司的收益最大，最大收益是70万元．变式迁移3B[设甲车间加工原料x箱，乙车间加工原料箱，由题意可知x＋≤70，10x＋6≤480，x≥0，≥0甲、乙两车间每天总获利为z＝280x＋200画出可行域如图所示．点(1,)为直线x＋＝70和直线10x＋6＝480的交点，由图象知在点(1,)处z取得最大值．]后练习区1．2B34B6．(1,3]79，6解析由x＝1x＋－7＝0ͤA(1,6)，x－＋2＝0x＋－7＝0ͤB2，92，∴A＝6，B＝9∴∈9，6，即x∈9，68－14，12解析作可行域，如图．因为函数＝(x＋1)＋1的图象是过点P(－1,1)，且斜率为的直线l，由图知，当直线l过点A(1,2)时，取最大值12，当直线l过点B(3,0)时，取最小值－14，故∈－14，129．解设该儿童分别预订x，个单位的午餐和晚餐，共花费z元，则z＝2x＋4(2分)可行域为12x＋8≥64，6x＋6≥42，6x＋10≥4，x≥0，x∈N，≥0，∈N，即3x＋2≥16，x＋≥7，3x＋≥27，x≥0，x∈N，≥0，∈N(6分)作出可行域如图所示：(9分)经试验发现，当x＝4，＝3时，花费最少，为2×4＋4×3＝22(元)．故应当为儿童分别预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐．(12分)10．解作出可行域如图所示，并求出顶点的坐标A(1,3)、B(3,1)、(7,9)．(1)易知可行域内各点均在直线x＋2－4＝0的上方，故x＋2－4>0，将点(7,9)代入z得最大值为21(4分)(2)z＝x2＋2－10＋2＝x2＋(－)2表示可行域内任一点(x，)到定点(0,)的距离的平方，过作直线A的垂线，易知垂足N在线段A上，故z的最小值是|N|2＝92(8分)(3)z＝2×－－12x－－1表示可行域内任一点(x，)与定点Q－1，－12连线的斜率的两倍，因此QA＝74，QB＝38，故z的范围为34，72(12分)11．解设桌子、椅子分别买x张、把，目标函数z＝x＋，(2分)把所给的条表示成不等式组，即约束条为0x＋20≤2 000，≥x，≤1x，x≥0，x∈N*，≥0，∈N*(6分) 由0x＋20＝2 000，＝x，解得x＝2007，＝2007，所以A点的坐标为2007，2007由0x＋20＝2 000，＝1x，解得x＝2，＝72所以B点的坐标为2，72(9分)所以满足条的可行域是以A2007，2007、B2，72、(0,0)为顶点的三角形区域(如图)．(12分)由图形可知，目标函数z＝x＋在可行域内的最优解为B2，72，但注意到x∈N*，∈N*，故取x＝2，＝37 故买桌子2张，椅子37把是最好的选择．(14分)。
高考数学复习简单的线性规划问题专题训练(含答案)题型归纳
高考数学复习简单的线性规划问题专题训练（含答案）题型归纳线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支。
以下是整理的简单的线性规划问题专题训练，请考生练习。
一、填空题1.(____广东高考改编)若变量_，y满足约束条件，则z=2_+y的最大值等于________.[解析] 作出约束条件下的可行域如图(阴影部分)，当直线y=-2_+z经过点A(4,2)时，z取最大值为10.[答案] 102.(____扬州调研)已知_，y满足约束条件则z=3_+4y的最小值是________.[解析] 可行区域如图所示.在P处取到最小值-17.5.[答案] -17.53.已知实数_，y满足若z=y-a_取得最大值时的最优解(_，y)有无数个，则a=________.[解析] 依题意，在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域，如图所示.要使z=y-a_取得最大值时的最优解(_，y)有无数个，则直线z=y-a_必平行于直线y-_+1=0，于是有a=1.[答案] 14.(____山东高考改编)在平面直角坐标系_Oy中，M为不等式组所表示的区域上一动点，则直线OM斜率的最小值为________.[解析] 线性约束条件表示的平面区域如图所示(阴影部分).由得A(3，-1).当M点与A重合时，OM的斜率最小，kOM=-.[答案] -5.(____陕西高考改编)若点(_，y)位于曲线y=|_|与y=2所围成的封闭区域内，则2_-y的最小值是________.[解析] 曲线y=|_|与y=2所围成的封闭区域如图阴影部分所示.当直线l：y=2_向左平移时，(2_-y)的值在逐渐变小，当l通过点A(-2,2)时，(2_-y)min=-6.[答案] -66.已知点P(_，y)满足定点为A(2,0)，则||sinAOP(O为坐标原点)的最大值为________.[解析] 可行域如图阴影部分所示，A(2,0)在_正半轴上，所以||sinAOP即为P 点纵坐标.当P位于点B时，其纵坐标取得最大值.[答案]7.(____兴化安丰中学检测)已知不等式组表示的平面区域S的面积为4，若点P(_，y)S，则z=2_+y的最大值为________.[解析] 由约束条件可作图如下，得S=a2a=a2，则a2=4，a=2，故图中点C(2,2)，平移直线得当过点C(2,2)时zma_=22+2=6.[答案] 68.(____江西高考)_，yR，若|_|+|y|+|_-1|+|y-1|2，则_+y的取值范围为________.[解析] 由绝对值的几何意义知，|_|+|_-1|是数轴上的点_到原点和点1的距离之和，所以|_|+|_-1|1，当且仅当_[0,1]时取=.同理|y|+|y-1|1，当且仅当y[0,1]时取=.|_|+|y|+|_-1|+|y-1|2.而|_|+|y|+|_-1|+|y-1|2，|_|+|y|+|_-1|+|y-1|=2，此时，_[0,1]，y[0,1]，(_+y)[0,2].[答案] [0,2]二、解答题9.(____四川高考改编)某公司生产甲、乙两种桶装产品.已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克，B原料2千克;生产乙产品1桶需耗A原料2千克，B原料1千克.每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元.公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A、B原料都不超过12千克.通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，试求公司共可获得的最大利润.[解] 设生产甲产品_桶，乙产品y桶，每天利润为z元，则且z=300_+400y.作出可行域，如图阴影部分所示.作直线300_+400y=0，向右上平移，过点A时，z=300_+400y取最大值，由得A(4,4)，zma_=3004+4004=2 800.故公司共可获得的最大利润为2 800元.10.(____安徽高考改编)已知实数_，y满足约束条件(1)求z=_-y的最小值和最大值;(2)若z=，求z的取值范围.[解] 作约束条件满足的可行域，如图所示为ABC及其内部.联立得A(1,1).解方程组得点B(0,3).(1)由z=_-y，得y=_-z.平移直线_-y=0，则当其过点B(0,3)时，截距-z最大，即z最小;当过点A(1,1)时，截距-z最小，即z最大.zmin=0-3=-3;zma_=1-1=0.(2)过O(0,0)作直线_+2y=3的垂线l交于点N.观察可行域知，可行域内的点B、N到原点的距离分别达到最大与最小.又|ON|==，|OB|=3.z的取值范围是.简单的线性规划问题专题训练及答案的所有内容就是这些，希望对考生复习数学有帮助。
高三数学(理)一轮总复习(新课标)考点集训第40讲 简单的线性规划问题 Word版含解析
考点集训(四十) 第讲简单的线性规划问题．若变量，满足约束条件且＝＋的最大值和最小值分别为和，则－＝．．．．．由不等式组确定的平面区域记为Ω，不等式组确定的平面区域记为Ω，在Ω中随机抽取一点，则该点恰好在Ω内的概率为．若点(，)位于曲线＝与＝所围成的封闭区域，则－的最小值是．－．－．．．，满足约束条件若＝－取得最大值的最优解不唯一，则实数的值为或－．或．或．或－．已知圆：(－)＋(－)＝，平面区域Ω：若圆心∈Ω，且圆与轴相切，则＋的最大值为．．．．．设实数，满足则＝＋的取值范围是．实数，满足不等式组则＝＋－的最大值为．．已知是以点(，)，(－，－)，(－，)为顶点的三角形区域(包括边界与内部)．如图所示．()写出表示区域的不等式组．()设点(－，－)，(－，)在直线－－＝的异侧，求的取值范围．．变量，满足()设＝，求的最小值；()设＝＋＋－＋，求的取值范围．第讲简单的线性规划问题【考点集训】．．【解析】()直线，，的方程分别为－－＝，＋－＝，＋＋＝.原点(，)在区域内，故表示区域的不等式组为：()根据题意有[×(－)－×(－)－][×(－)－×－]<，即(－)(－－)<，得的取值范围是－<<.故的取值范围是(－，)．．【解析】由约束条件作出(，)的可行域如图阴影部分所示．由解得.由解得(，)．由解得(，)．()∵＝＝，∴的值即是可行域中的点与原点连线的斜率．观察图形可知＝＝. ()＝＋＋－＋＝(＋)＋(－)的几何意义是可行域上的点到点(－，)的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到(－，)的距离中，＝－(－)＝，＝－(－)＝.∴≤≤.。
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第四节 简单的线性规划问题
一、选择题
1．下面给出的四个点中，到直线x －y ＋1＝0的距离为2
2，且位于⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＋y －1＜0x －y ＋1＞0表示
的平面区域内的点是( )
A ．(1,1)
B ．(－1,1)
C ．(－1，－1)
D ．(1，－1)
2．点P (x ，y )在直线4x ＋3y ＝0上，且满足－14≤x －y ≤7，则点P 到坐标原点距离的取值范围是( )
A ．[0,5]
B ．[0,10]
C ．[5,10]
D ．[5,15]
3．(2009年福建卷)若实数x 、y 满足⎩
⎪⎨⎪⎧
x －y ＋1≤0x ＞0，则y
x 的取值范围是( )
A ．(0,1) B.(]0，1 C ．(1，＋∞) D.[)1，＋∞
4．(2009年山东卷)设二元一次不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋2y －19≥0，x －y ＋8≥0，
2x ＋y －14≤0，
所表示的平面区域为M ，
使函数y ＝a x (a ＞0，a ≠1)的图象过区域M 的a 的取值范围是( )
A ．[1,3]
B ．[2，10]
C ．[2,9]
D ．[10，9]
5．(2010年四川卷)某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨、B 原料2吨；生产每吨乙产品要用A 原料1吨、B 原料3吨．销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元，该企业在一个生产周期内消耗A 原料不超过13吨，B 原料不超过18吨，那么该企业可获得最大利润是( )
A ．12万元
B ．20万元
C ．25万元
D ．27万元 二、填空题
6．(2010年浙江卷)若实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y ≥2，2x －y ≤4，
x －y ≥0，
则2x ＋3y 的最小值是________．
7．(2010年北京卷)若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y －2≥0，x ≤4，
y ≤5，s ＝x ＋y 的最大值为________．
8．在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧
x ≥0，
y ≥0，
y ＋x ≤s ，
y ＋2x ≤4，下，当3≤s ≤5时，目标函数z ＝3x ＋2y 的最大值的变
化范围是__________．
三、解答题
9．某校伙食长期以面粉和大米为主食，面食每100 g 含蛋白质6个单位，含淀粉4个单位，售价0.5元，米食每100 g 含蛋白质3个单位，含淀粉7个单位，售价0.4元，学校要求给学生配制盒饭，每盒盒饭至少有8个单位的蛋白质和10个单位的淀粉，问应如何配制盒饭，才既科学又费用最少？
10．某公司计划在今年内同时出售变频空调机和智能洗衣机，由于这两种产品的市场需求量非常大，有多少就能销售多少，因此该公司要根据实际情况(如资金、劳动力)确定产品的月供应量，以使得总利润达到最大．已知对这两种产品有直接限制的因素是资金和劳动力，通过调查，得到关于这两种产品的有关数据如下表：
参考答案
1．解析：给出的四个点中，只有点(1，－1)到直线x －y ＋1＝0的距离不为
2
2
，故排除D.位于⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －1＜0x －y ＋1＞0表示的平面区域内的点是(－1，－1)，∵⎩
⎪⎨⎪⎧
－1－1－1＜0－1－(－1)＋1＞0，选C.
答案：C
2．解析：根据题意可知点P 在线段4x ＋3y ＝0()－6≤x ≤3上，有线段过原点，故点P 到原点最短距离为零，最远距离为点P ()－6，8到原点距离且距离为10，故选B.
答案：B
3．解析：由已知y ≥x ＋1，y x ≥x ＋1x ＝1＋1x ，又x ＞0，故y x 的取值范围是(1，＋∞)．
答案：C
4．解析：区域M 是三条直线相交构成的三角形(如下图)显然a ＞1，只需研究过(1,9)、(3,8)两种情形，
a 1≤9且a 3≥8即2≤a ≤9. 故选C.
答案：C
5．解析：设生产甲产品x 吨，生产乙产品y 吨，则有关系：
则有：⎩⎪⎨⎪⎧
x ≥0y ≥03x ＋y ≤13
2x ＋3y ≤18
目标函数z ＝5x ＋3y .作出可行域后求出可行域边界上各端点的坐标，经验证知： 当x ＝3，y ＝4时可获得最大利润为27万元，选D. 答案：D
6．解析：画出可行域，可知直线y ＝－2
3x ＋z 过点(2,0)时，(2x ＋3y )min ＝4.
答案：4
7．解析：如图所示，当x ＝4，y ＝5时，s ＝x ＋y ＝4＋5＝9为最大值，填
9.
答案：9
8．解析：由于约束条件是变化的，于是先求出约束条件所表示的平面区域的顶点，以便寻找变化规律．
如右图，易知直线y ＋2x ＝4与坐标轴的交点分别是A (2,0)、E (0,4)；直线y ＋x ＝s 与y
轴的交点为C (0，s )；又由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝s y ＋2x ＝4⇒⎩
⎪⎨⎪
⎧
x ＝4－s y ＝2s －4，即得两条直线的交点为B (4－s,2s －4)．
(1)当3≤s ＜4时，可行域是四边形OABC ，
此时，目标函数z ＝3x ＋2y 在点B (4－s,2s －4)处取得最大值，即z max ＝3(4－s )＋2(2s －4)＝s ＋4，∴7≤z ＜8.
(2)当4≤s ≤5时，可行域是△OAE ，此时，目标函数z ＝3x ＋2y 在点E (0,4)处取得最大值，即z max ＝3×0＋2×4＝8.
综上可知，目标函数z ＝3x ＋2y 的最大值的变化范围是[7,8]． 答案：[7,8]
9．解析：设每盒盒饭需要面食x (百克)，米食y (百克)，
所需费用为S ＝0.5x ＋0.4y ，且x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧
6x ＋3y ≥8，
4x ＋7y ≥10，
x ≥0，
y ≥0，
由图可知，直线y ＝－54x ＋5
2S 过A ⎝⎛⎭⎫1315，1415时，纵截距 5
2
S 最小，即S 最小．
故每盒盒饭为面食1315百克，米食14
15
百克时既科学又费用最少．
10．解析：设空调机、洗衣机的月供应量分别是x 、y 台，总利润是P ，则P ＝6x ＋8y ，由题意有
⎩⎪⎨⎪⎧
30x ＋20y ≤300，
5x ＋10y ≤110，
x ≥0，y ≥
0，x 、y 均为整数.
由右图知直线y ＝－34x ＋1
8
P 过M (4,9)时，纵截距最大．这时P 也取最大值P max ＝6×4
＋8×9＝96(百元)．
故当月供应量为空调机4台，洗衣机9台时，可获得最大利润9600元．。