02九年级数学下册第二十六章《二次函数》第二节二次函数的图像与性质
初三二次函数的图像与性质
初三二次函数的图像与性质二次函数是初中数学中的一个重要概念。
在数学学习的过程中，我们常常会接触到二次函数，并且需要了解它的图像特点以及性质。
本文将详细介绍初三二次函数的图像和性质，并且给出相关的例题和解析。
一、二次函数的定义及一般式二次函数是指函数$y=ax^2+bx+c$，其中$a,b,c$为常数且$a\neq 0$。
它的图像是抛物线，并且开口的方向由$a$的正负决定。
当$a>0$时，抛物线开口向上；而当$a<0$时，抛物线开口向下。
二次函数的一般式为$y=ax^2+bx+c$，其中$a,b,c$为常数。
其中，$a$代表抛物线的开口方向与开口的大小，$b$影响抛物线的位置，$c$影响抛物线和$y$轴的交点。
【例题1】某二次函数的方程是$y=2x^2-3x+1$，求该二次函数的图像和性质。
解：根据给定的二次函数方程，我们可以得到$a=2$，$b=-3$，$c=1$。
由于$a>0$，所以抛物线开口向上。
考虑二次函数的图像特点，我们可以使用一些方法来绘制它的图像。
首先，我们可以找出抛物线的对称轴，对称轴的方程为$x=-\frac{b}{2a}$。
代入$a=2$，$b=-3$，我们得到$x=-\frac{-3}{2\times2}=\frac{3}{4}$。
因此，对称轴的方程为$x=\frac{3}{4}$。
接下来，我们需要计算抛物线的顶点坐标。
顶点坐标可以通过将对称轴的$x$坐标代入原函数方程计算得到。
将$x=\frac{3}{4}$代入$y=2x^2-3x+1$，我们得到$y=2(\frac{3}{4})^2-3(\frac{3}{4})+1=\frac{9}{8}-\frac{9}{4}+1=\frac{1}{8}$。
因此，顶点坐标为$(\frac{3}{4}, \frac{1}{8})$。
不难看出，根据顶点的坐标和对称轴的方程，我们可以绘制出该二次函数的图像。
它是一个开口向上的抛物线，对称轴为$x=\frac{3}{4}$，顶点坐标为$(\frac{3}{4}, \frac{1}{8})$。
《二次函数的图像和性质》说课稿
《二次函数的图像和性质》说课稿尊敬的老师、亲爱的同学们：大家好！今天我说课的题目是《二次函数的图像和性质》，这是九年级下册第26章的内容。
下面我将围绕本节课“教什么？”、“怎样教？”、“为什么这样教？”三个问题，从教材内容、教法学法、教学过程这三个方面逐一分析说明。
一、教材内容分析：１、本节课内容在整个教材中的地位和作用。
概括地讲，二次函数的图像在教材中起着承上启下的作用，它的地位体现在它的思想的基础性。
一方面，本节课是对一次函数有关内容的推广，为后面进一步学习二次函数的性质打下基础；另一方面，二次函数解析式中的系数由常数转变为参数，使学生对二次函数的图像由感性认识上升到理性认识，能培养学生利用数形结合思想解决问题的能力。
2、教学目标定位。
根据教学大纲要求、新课程标准精神和初中学生心理认知特征，我确定了三个层面的教学目标。
第一个层面是基础知识与能力目标：理解二次函数的图像中a、b、c、k的作用，能熟练地对二次函数的一般式进行配方，会对图像进行平移变换，领会研究二次函数图像的方法，培养学生运用数形结合与等价转化等数学思想方法解决问题的能力，提高运算和作图能力；第二个层面是过程和方法：让学生经历作图、观察、比较、归纳的学习过程，使学生掌握类比、化归等数学思想方法，养成即能自主探索，又能合作探究的良好学习习惯；第三个层面是情感、态度和价值观：在教学中渗透美的教育，渗透数形结合的思想，让学生在数学活动中学会与人相处，感受探索与创造，体验成功的喜悦。
3、教学重难点。
重点是二次函数各系数对图像和形状的影响，利用二次函数图像平移的特例分析过程，培养学生数形结合的思想和划归思想。
难点是图像的平移变换，关键是二次函数顶点式中k的正负取值对函数图像平移变换的影响。
二、教法学法分析：数学是发展学生思维、培养学生良好意志品质和美好情感的重要学科，在教学中，我们不仅要使学生获得知识、提高解题能力，还要让学生在教师的启发引导下学会学习、乐于学习，感受数学学科的人文思想，感受数学的自然美。
华师大版九年级数学下册第二十六章《二次函数的图象与性质》说课课件
7．独立作业（2分钟）
8．教学反思
返回
９．板书设计
1、教具、学具准备 教具：多媒体演示课件. 学具：方格纸。
2．温故知新，导入新课
①用多媒体课件在同一直角坐标系内，画出函数 y 1 x2 、y 1 x2
与
y
1 (x 2)2 和
2
y 1 x2 、y 1 x2 1
2
2
与
y
1
(x
2
2)2
所要学习的内容。
返回
二次函数图象与性质
函数 y=ax2 y=ax2＋k y=a(x-h)2
a的符号 开口方向 对称轴 顶点坐标
性质
a＞0
向上
y轴
X<0, x ↗ （0，0） X>0, x↗
y↘ y↗
当X=0时 y最小＝
a＜0
向下
y轴
X<0 ,x ↗ y↗ （0，0） X>0, x↗ y↘
当x=0时 y最大＝
y1(x2)2 1 2
顶点坐标 （0，0）
（0，1）
（2，1）
对称轴
y轴（直线x=0）
y轴（直线x=0）
直线x=2
位置
在x轴(直线y=0)的上方 （除顶点外）
开口方向
向上
增减性 最值
X<0 ,x ↗ y ↘ X>0, x↗ y ↗
当x=0 时，最小值为 0。
在x轴(直线y=1)的上方 （除顶点(0,1) 外）
2
图象，你能发现这个函数有哪 问题3： 些性质？
问题4：
几何画板
•1、人才教育不是灌输知识，而是将开发文化宝库的钥匙，尽我们知道的交给学生。 •2、一个人的知识如果只限于学校学习到的那一些，这个人的知识必然是十分贫乏的2021/10/142021/10/142021/10/1410/14/2021 6:02:44 PM •3、意志教育不是发扬个人盲目的意志，而是培养合于社会历史发展的意志。 •4、智力教育就是要扩大人的求知范围 •5、最有价值的知识是关于方法的知识。 •6、我们要提出两条教育的诫律，一、“不要教过多的学科”；二、“凡是你所教的东西，要教得透彻”2021年10月2021/10/142021/10/142021/10/1410/14/2021 •7、能培养独创性和唤起对知识愉悦的，是教师的最高本领2021/10/142021/10/14October 14, 2021 •8、先生不应该专教书，他的责任是教人做人；学生不应该专读书，他的责任是学习人生之道。2021/10/142021/10/142021/10/142021/10/14
二次函数的图像与性质ppt课件
函数的凹凸性
当a>0时，函数凹；当a<0时，函数凸。
函数的零点和方程
零点是方程y=0的解，方程求解可以用二次公式。
二次函数的应用
1
抛物线运动
抛物线可以描述物体在空中的轨迹，如
弹性系数
2
抛出物体的运动轨迹。
二次函数可以表示材料的弹性特性，如
描述力和变形的关系。
3
跳水成绩预测
通过二次函数建模，可以预测跳水运动
二次函数的图像与性质 ppt课件
通过本课件，你将深入了解二次函数的定义和表达式，并学习二次函数的图 像特征，如开口方向、对称轴、最值点和零点等。还将探究二次函数的性质， 如增减性、凹凸性、最值和零点方程。从抛物线运动到报价模型，掌握二次 函数的应用。最后，了解二次函数的变形与拓展，包括平移、缩放、翻转和 混合运用。同时，我们将解决常见错误和实际问题应用。
常见错误和解决方法
1 符号错误
检查符号的正确使用，特别是a的正负。
3 图像理解错误
注意开口方向、对称轴和最值点的判断。
2 方程解法错误
仔细检查求解方程是否正确，特别是二次方 程。
4 实际问题应用
将数学模型应用到实际问题时，需考虑问题 的实际情况并合理使用二次函数。
开口方向
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时， 抛物线开口向下。
最值点
最值点是抛物线的最高点（当a>0）或最 低点（当a<0）。最值点的坐标为(-b/2a, f(-b/2a))。
二次函数的性质
函数的增减性
当a>0时，函数单调递增；当a<0时，函数单调 递减。
函数的最值
最值主要由最值点确定，注意开口方向和a的值 来确定最值。
第二十六章 二次函数(知识点复习)
第二十六章 二次函数一、知识点盘点1、二次函数的图象和性质解析式 顶点坐标 对称轴 图象y ＝ax 2(a ≠0)y ＝ax 2＋k(a ≠0)y ＝a(x －h)2(a ≠0)y ＝a(x －h)2＋k(a ≠0)2、二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的系数与图象的关系（1）a 决定抛物线的开口方向、大小及最大值或最小值。
a ＞0 开口向 有最 值；a ＜0 开口向 有最 值。
︱a ︱越大，开口越 ；︱a ︱越小，开口越 。
（2）a 、b 决定抛物线的对称轴和顶点位置。
b ＝0 对称轴是 ，顶点在 ；a 、b 同号 对称轴在y 轴的 侧， a 、b 异号 对称轴在y 轴的 侧； （3）c 的符号决定抛物线与y 轴的交点位置。
xy OxyOxy O xyO x yO x yOxy O xy O xy O x yO x yOxy O xy O xyOx yO x yO xy OxyO（0，c ）是抛物线与y 轴的交点坐标。
当c ＝0 抛物线过 ；c ＞0 抛物线交y 轴 ；c ＜0 抛物线交y 轴 。
（4）b 2－4ac 的符号决定抛物线与x 轴公共点的个数b 2－4ac ＞0 抛物线与x 轴有 个公共点；b 2－4ac ＝0 抛物线与x 轴有 个公共点；b 2－4ac ＜0 抛物线与x 轴有 个公共点。
（5）抛物线的特殊位置与系数的关系顶点在x 轴上 b 2－4ac 0；顶点在y 轴上 b 0；顶点在原点 ；抛物线经过原点 。
3、二次函数关系式的形式及对称轴、顶点坐标（1）一般式：y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)，其对称轴为直线x ＝－ b2a，顶点坐标 为（－ b2a ，4ac －b 24a）.（2）顶点式：y ＝a(x －h)2＋k(a ≠0)，其对称轴为直线x ＝h ，顶点坐标为（h,k ）。
（3）交点式：y ＝a(x －x 1)(x －x 2) (a ≠0 )，其中x 1，x 2是抛物线与x 轴两个交点的横坐标，即一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两个根。
26.2 二次函数y=ax2+k的图象与性质 说课稿-华东师大版九年级数学下册
3、通过表格上函数值差和对图象的观察，使学生能说出函数y＝ax2和函数y＝ax2＋k图象的关系，体会数形结合的思想，逐步形成从特殊到一般的思维方式.
学习目标：
1、能利用描点法正确作出函数y＝ax2＋k的图象。
本节课的学习先从函数关系式入手，认识函数y=ax2+k是函数y=ax2加上k得到的，即在x不变的情况下，纵坐标y加上k，即每一个点向上或向下平移k个单位。紧接着让学生作图，从图像中体会并归纳两种函数之间的关系，然后类比函数y=ax2的性质探究方法探究函数y=ax2+K的性质。
学情分析
知识水平：学生在八年级已经学会了用描点法作函数图象，在前一节已经学会了探究二次函数性质的方法。
函数性质探究课 说课稿
年级
九年级
科目
数学
课型
函数性质探究课
课时
1
主备
主说
课题
二次函数y=ax2+k（a≠0）的图象与性质
教材结构分析
本课题是九年级下册第二十六章《二次函数》中第二节二次函数的图象与性质第二课时的内容，本节二次函数y=ax2+k的图象与性质是建立在学生学习了二次函数y=ax2的图象与性质的基础上的，是将函数y=ax2的图象进行了上下平移得到的图象，本节的学习可以充分类比上一节进行学习，同时也为后面学习二次函数的顶点式打下基础。
方法经验：学生已经积累了一定的作图经验和探究二次函数性质的经验。
能力特点：学生已经具备了一定的观察能力，类比能力，总结归纳的能力。
课程标准与学习目标设置
课标要求：
能用描点法画二次函数的图象，通过图象了解二次函数的性质
二次函数的图像与性质
二次函数的图像与性质在我们学习数学的过程中，二次函数是一个非常重要的概念。
它不仅在数学领域有着广泛的应用，在实际生活中，比如物理、经济等方面也经常能看到它的身影。
今天，咱们就来好好聊聊二次函数的图像与性质。
二次函数的一般形式是 y ＝ ax²＋ bx ＋ c（其中 a、b、c 是常数，且a ≠ 0）。
当 a ＞ 0 时，函数图像开口向上；当 a ＜ 0 时，函数图像开口向下。
这就好像一个碗，如果开口向上，就能往里装东西；开口向下，东西就容易掉出来。
先来说说二次函数图像的对称轴。
对称轴的方程是 x ＝ b ／ 2a 。
这条对称轴把二次函数的图像分成了两个对称的部分，就像镜子里的反射一样。
比如说，对于函数 y ＝ x² 2x ＋ 1 ，其中 a ＝ 1 ，b ＝－2 ，那么对称轴就是 x ＝（－2) ／（2×1) ＝ 1 。
接下来看看顶点。
顶点就是二次函数图像的最高点或者最低点。
当a ＞ 0 时，顶点是图像的最低点；当 a ＜ 0 时，顶点是图像的最高点。
顶点的坐标可以通过把对称轴的 x 值代入函数中求得。
还是以 y ＝ x²2x ＋ 1 为例，对称轴 x ＝ 1 ，把 x ＝ 1 代入函数，得到 y ＝ 1² 2×1 ＋1 ＝ 0 ，所以顶点坐标就是(1, 0) 。
再说说二次函数的截距。
当 x ＝ 0 时，y ＝ c ，这个 c 就是函数在y 轴上的截距。
比如函数 y ＝ 2x²＋ 3x 1 ，这里的 c ＝－1 ，也就是说函数图像与 y 轴的交点是(0, －1) 。
二次函数的图像还与判别式Δ ＝ b² 4ac 有着密切的关系。
如果Δ＞ 0 ，函数图像与 x 轴有两个交点；如果Δ ＝ 0 ，函数图像与 x 轴有一个交点；如果Δ ＜ 0 ，函数图像与 x 轴没有交点。
比如说，对于函数 y ＝ x² 2x 3 ，其中 a ＝ 1 ，b ＝－2 ，c ＝－3 ，那么Δ ＝（－2)² 4×1×（－3) ＝ 16 ＞ 0 ，所以函数图像与 x 轴有两个交点。
华师版九年级下册数学第26章 二次函数 二次函数y=a(x-h)2的图象与性质
，y2的大小关系为________．
y1<y2
基础巩固练
2 6．抛物线y＝ x2向左平移3个单位所得的抛物线对应的函数表达式是( )
3
A
A．y＝23(x＋3)2 C．y＝23x2－3
B．y＝23(x－3)2 D．y＝23x2＋3
基础巩固练
7．抛物线y＝3x2向右平移2个单位后所得新抛物线的顶点坐标为( )
能力提升练
(2)若点C(－3，b)在该抛物线上，求S△ABC.
解：过点C作CD⊥x轴于D. 将C(－3，b)的坐标代入y＝－(x＋1)2，得b＝－4，即C(－3，－4)， ∴S△ABC＝S梯形OBCD－S△ACD－S△AOB＝ ×3×(1＋4)－ ×4×2－ ×1×1＝3.
1
1
1
2
2
2
能力提升练
(2)画出平移后的图象； 解：如图．
能力提升练
(3)设两条抛物线相交于点B，点A关于新抛物线对称轴的对称点为C，试在新抛 物线的对称轴上找出一点P，使BP＋CP的值最小，并求出点P的坐标．
能力提升练
解：如图，连结BC，作新抛物线的对称轴直线x＝3，与BC交于点P，此 时BP＋CP的值最小．由(1)可知，新抛物线对应的函数关系式为y＝(x－ 3)2，易知点C的坐标为(6，3)．
素养核心练
(2)若(1)中的抛物线与OB交于点C，与y轴交于点D，求点C，D的坐标．
解：令y＝(x－1)2中的x＝0，则y＝1，∴D(0，1)． 易知直线OB对应的函数表达式为y＝x， 将y＝x代入y＝(x－1)2，得(x－1)2＝x，
解得 x1＝3－2 5，x2＝3＋2 5(不合题意，舍去)． ∴易得 C 点坐标为3－2 5，3－2 5.
人教版九年级数学下册第26章《二次函数》二次函数ya(xh)^2的图象与性质课件(21张)
2020/3/23
在同一直角坐标系中，
画出函 y2 1数 x2与y2 1(x-22)的图象
2020/3/23
2020/3/23
2020/3/23
2020/3/23
2020/3/23
2020/3/23
2020/3/23
函数y=-(x+3)2的图 象可由y=-x2的图象 沿x轴向左平移3个
单位长度得到.
函数y=-(x-2)2的图 象可由y=-x2的图象 沿x轴向右平移2个
单位长度得到.
y=-(x+3)2
y=-x2 y=-(x-2)2
图象向左移还是向右移,移多少个 单位长度,有什么规律吗?
2020/3/23Leabharlann 这两个函数的图象有什么关系？
y
1 2
x2
y
1( 2
x2
)2
但是对称轴和 顶点坐标不同
的图象向右 平移 h个单位得到，当h<0时，
函数y=a(x-h)2的图象可由y=ax2的图象向
平移左个单位得到h 。
(1)函数y=4(x+5)2的图象可由y=4x2的图象 向左 平移5 个单位得到；y=4(x-11)2的图象 可由 y=4x2的图象向右平移11个单位得到。
(2)将函数y=-3(x+4)2的图象向 右 平移4 个单位可得 y=-3x2的图象；将y=2(x-7)2的图象向左平移 7 个 单位得到y=2x2的图象。将y=(x-7)2的图象
向左平移 9 个单位可得到 y=x2+2的图象。
（3）将抛物线y=4x2向左平移3个单位，所得的 抛物线的函数式是 y=4(x+3)2。
二次函数的图像与性质
二次函数的图像与性质二次函数是数学中一种重要的函数形式，其图像形状特殊且具有许多性质。
本文将介绍二次函数的图像特点以及与其相关的性质。
一、二次函数的标准形式二次函数的一般形式为f(x) = ax² + bx + c，其中a、b、c为实数，且a ≠ 0。
为了便于研究，我们可以将二次函数表示为标准形式f(x) =a(x - h)² + k，其中(h, k)为顶点坐标。
二、二次函数的图像特点1. 对称轴：二次函数的对称轴是与顶点坐标垂直的直线。
对称轴方程为x = h，其中h为顶点横坐标。
2. 顶点：二次函数的顶点是图像的最高点或最低点，是二次函数的关键特征。
顶点坐标为(h, k)。
3. 开口方向：二次函数的开口方向由二次项系数a的正负决定。
若a > 0，则开口向上；若a < 0，则开口向下。
4. 正定或负定：二次函数的图像在开口方向上是否有最值，与二次项系数a的符号有关。
若a > 0，则二次函数为正定；若a < 0，则二次函数为负定。
5. 零点：二次函数的零点是函数与x轴的交点，即f(x) = 0的解。
零点个数最多为2个。
三、二次函数的性质1. 零点和因式分解：二次函数的零点可以通过因式分解得到。
对于一般二次函数的标准形式f(x) = ax² + bx + c，我们可以利用求根公式或配方法将其因式分解为f(x) = a(x - x₁)(x - x₂)，其中x₁、x₂为零点。
2. 最值：二次函数开口方向上的最值即为顶点，若二次函数开口向上，顶点为最小值；若二次函数开口向下，顶点为最大值。
3. 对称性：二次函数的图像关于对称轴对称，即对于任意x点，若(x, y)在图像上，则(x, -y)也在图像上。
4. 范围：二次函数的范围与二次项系数a的正负相关。
若a > 0，则函数的范围为区间(k, +∞)；若a < 0，则函数的范围为区间(-∞, k)，其中k为顶点纵坐标。
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5
y=-
1 3
10
x2+4
15
y=-
1 3
x2
y=-
1 2
x2-2
研究二次函数y=ax2+k的图像
8
6
4
2
5
o
2
y=
1 2
x2+3
y=
1 2
x2
y=
1 2
x2-1
5
10
研究二次函数y=ax2+k的图像
12
10
8
6
4 2
10
4
2
5
o
2
y=
1 2
x2+3
y=
1 2
x2
y=
1 2
x2-1
5
10
15
研究二次函数y=ax2+k的图像
在对称轴的左侧，从左向右呈下降趋势，即当x<0时，y随x的增
大而减小；在对称轴的右侧，从左向右呈上升趋势，即当x>0时，
y随x的增大而y =增12∙x大2 。
此时顶点是抛物线的最低点，
y
即当x=0时，y有最小值为0， ymin=0。
y=ax2（a＞0）
o
x
函数y=2x2的图像性质回顾
③a<0时，抛物线的开口向下；
y = x2 14
研究二次函数y=ax2的图像
y 12
10
14
y 12
10
8
8
6
6
4
4
2
2
5
15
10
x5
5
10
15
x5
y = x2 14
研究二次函数y=ax2的图像
y 12
10
14
y 12
10
8
8
6
6
4
4
2
2
5
15
10
x5
5
10
15
x5
y = x2
14
研究二次函数y=ax2的图像
y 12
10
14
○在同一平面直角坐标系中画出下面二次函数的图像，并根据你看到
的现象，发现他们的关系进行分类。
y
1 2
x2
，
y
1 3
x2
4
，
y
1 2
x2
1 ，
y
1 2
x2
3
，
y
1 3
x2
2
，
y
1 3
x2
研究二次函数y=ax2+k的图像
+3
8
1
6
+4 2
10
4
2
5
o
2
4
6
y=
1 2
x2+3
y=
1 2
x2
y=
1 2
x2-1
y随x的增大而减小。
此时顶点是抛物线的最高点，
y
o
x
即当x=0时，y有最大值为0，
y=ax2（a＜0）
ymax=0。
得 出y结=论2 ∙x2
④|ay|=的2∙x大2 小与抛物线的 开口y 大= x2小有关系！ |a|越大，开口越小，反之 |a|越小，开口越大
y
y=
1 2
x2
y=x2
y=2x2
o
x
y=-2x2
………………………………………………
研究二次函数y=ax2的图像
y=x ○画出二次函数
2的图像
研究二次函数y=ax2的图像
列表，得出x、y的对应值：
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y…9 5 1 0 1 4 9…
研究二次函数y=ax2的图像
写出有序实数对： …，（-3,9），（-2,4），（-1,1），… （0,0） …，（3,9），（2,4），（1,1），…
x5
得出结论
○这样的曲线我们把y = x2它称作抛物线！ ○这条抛物线是轴对称图形，对称 轴为y轴（直线x=0）。对称轴与y轴 的交点称为抛物线的顶点（原点）。
y
y = x2
x
继续研究二次函数y=ax2的图像
继续研究二次函数y=ax2的图像
y
y = x2
o
x
y = x2
y
y = 2∙x2
o
x
y = 2∙x2
y
1 3
x2
2
的图像；
总结得出的结论
◯二次函数y=ax2+k的图像可以看作由二次函数 y=ax2的图像沿y轴平移得到！
①k>0时，沿y轴向上平移|k|个单位 ②k<0时，沿y轴向下平移|k|个单位
y随x的增大而y =增12∙x大2 。
此时顶点是抛物线的最低点，
y
即当x=0时，y有最小值为0， ymin=0。
y=ax2（a＞0）
o
x
得出结论
③a<0时，抛物线的开口向下；
1
在对称轴的左y =侧2 ∙，x2 从左向右呈上升趋势，即当x<0时，y随x的增
大而增大；在对称轴的右侧，从左向右呈下降趋势，即当x>0时，
+3
y=
1 2
x2-1
1
8
y=
1 2
x2
8
8
)2+ 4 )2
x2 2
y=
1 2
x2+3
8
研究二次函数y=ax2+k的图像
8
6
4
2
5
o
2
y=
1 2
x2+3
y=
1 2
x2
y=
1 2
x2-1
5
10
得出结论
函数
y
1 2
x2
的图像沿
y
轴向上平移
3
个单位得到函数
y
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 2
x2
3
的
图像；
函数
y
1 2
x2
的图像沿
y 12
10
8
8
6
6
4
4
2
2
5
15
10
x5
5
10
15
x5
y = x2 14
研究二次函数y=ax2的图像
y 12
10
8
6
4
2
5
15
10
x5
5
10
14
y 12
10
y = x2
8
6
4
2
15
x5
y = x2
14
研究二次函数y=ax2的图像
y 12
10
14
y 12
10
8
8
6
6
4
4
2
2
5
15
10
x5
5
10
15
1
在对称轴的左y =侧2 ∙，x2 从左向右呈上升趋势，即当x<0时，y随x的增
大而增大；在对称轴的右侧，从左向右呈下降趋势，即当x>0时，
y随x的增大而减小。
此时顶点是抛物线的最高点，
y
o
x
即当x=0时，y有最大值为0，
y=ax2（a＜0）
ymax=0。
26.2.2
研究二次函数y=ax2+k的图像
得出结论
①y=ax2的图像是一条抛物线，对称轴是y轴，顶点是 1
（0,0）。 y = 2 ∙x2
y
y=ax2（a＞0）
o
x
y
o
x
y=ax2（a＜0）
得出结论
②a>0时，抛物线的开口向上；
在对称轴的左侧，从左向右呈下降趋势，即当x<0时，y随x的增
大而减小；在对称轴的右侧，从左向右呈上升趋势，即当x>0时，
y
轴向下平移
1
个单位得到函数
y
1 2
x2
1 的图
像；
研究二次函数y=ax2+k的图像
6
4
2
10
5
o
2
4
y=-
1 3
x2+4
5
10
y=-
1 3
x2
y=-
1 2
x2-2
得出结论
函数
y
1 3
x2
的图像沿
y
轴向上平移
4
个单位得到函数
y
1 3
x2
4
的图像；
函数
y
1 3
x2
的图像沿
y
轴向下平移
2
个单位得到的函数
y=-x2
y=-
1 2
x2
练习：课本P7练习1、2
作业：课本P7练习3、4
函数y=2x2的图像性质回顾
二次函数y=ax2的图像是一条抛物线，对称轴是y轴，顶点
1
y=
是（0,0）。
2
∙x2
y
y=ax2（a＞0）
o
x
y
o
x
y=ax2（a＜0）
函数y=2x2的图像性质回顾
②a>0时，抛物线的开口向上；
二次函数
七年级数学上册第二十六章
佳文韵赢
26.2
生活中的抛物线
生活中的抛物线
生活中的抛物线
生活中的抛物线
生活中的抛物线
26.2.1
回顾函数的基本研究方法
在八年级下册第18章我们已经初步学会研究函数的基本方法： ①通过列表、找对应值、写成有序实数对、描点、连线成图像， 知道函数解析式和其对应的图像形状的一一对应关系； ②图像的几何特征，比如对称性，寻找最简的画图方法； ③图像与坐标轴的交点情况； ④探究图像的位置与字母系数的联系；