高中数学第一章三角函数1.2.2同角三角函数的基本关系学案新人教A版必修420180608299
高中数学 第一章 三角函数 1.2.2 同角的三角函数的基本关系学案 新人教A版必修4(2021年
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1.2.2同角的三角函数的基本关系课前预习学案预习目标：通过复习回顾三角函数定义和单位圆中的三角函数线,为本节所要学习的同角三角函数的基本关系式做好铺垫.预习内容：复习回顾三角函数定义和单位圆中的三角函数线：。
提出疑惑：与初中学习锐角三角函数一样，我们能不能研究同角三角函数之间关系，弄清同角各不同三角函数之间的联系,实现不同函数值之间的互相转化呢?.课内探究学案学习目标:⒈掌握同角三角函数的基本关系式,理解同角公式都是恒等式的特定意义；2通过运用公式的训练过程，培养学生解决三角函数求值、化简、恒等式证明的解题技能，提高运用公式的灵活性；3注意运用数形结合的思想解决有关求值问题；在解决三角函数化简问题过程中，注意培养学生思维的灵活性及思维的深化；在恒等式证明的教学过程中，注意培养学生分析问题的能力,从而提高逻辑推理能力．学习过程：【创设情境】与初中学习锐角三角函数一样,本节课我们来研究同角三角函值之间的互相转化．【探究新知】探究：三角函数是以单位圆上点的坐标来定义的,你能从圆的几何性质出发，讨论一下同一个角不同三角函数之间的关系吗？如图:以正弦线MP ,余弦线OM 和半径OP 三者的长构成直角三角形,而且1OP =。
最新人教A版数学必修4第一章1.2.2 同角三角函数基本关系 教案
同角三角函数的基本关系（教案）一、教学目标：1.知识与能力理解同角三角函数的基本关系式，会用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与证明.2.过程与方法通过在单位圆中构造出以任意角的正弦线、余弦线为直角边的直角三角形得出三角函数基本关系式.3.情感、态度与价值观培养学生用数形结合思想方法解决问题的能力.二、教学重点：同角三角函数的基本关系式的推导及其应用(求值、化简、恒等式证明).三、教学难点：关系式在解题中的灵活运用和对学生思维灵活性的培养.四、教学方法与手段：本节主要涉及到两个公式，均由三角函数定义和勾股定理推出．在教学过程中，要注意引导学生理解每个公式，懂得公式的来龙去脉，并灵活运用.要给堂，把方法带进课堂，充分发挥学生的主体作用．五、教学过程：【探究引入】思考1：如图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P，那么，正弦线MP和余弦线OM的长度有什么内在联系？由此你能得到什么结论？分析：22MP OM +=2cos 1α+=.思考2：上述关系反映了角α的正弦和余弦之间的内在联系，根据等式的特点，将它称为平方关系.那么当角α的终边在坐标轴上时，上述关系成立吗？ 分析：当角α的终边在坐标轴上时，上述关系也成立.思考3：设角α的终边与单位圆交于点 P （x ，y ），根据三角函数定义，有tan (0)yx x α=≠， 由此可得sin α、cos α、tan α之间满足什么关系？ 分析：sin tan cos ααα=.思考4：上述关系称为商数关系，那么商数关系成立的条件是什么？ 分析：()2a k k Z ππ≠+∈.【讲授新课】1.同角三角函数基本关系： （1）平方关系：22sin cos 1αα+=； （2）商数关系：sin tan cos ααα=，()2a k k Z ππ≠+∈. Ⅰ、【新知理解训练】判断以下等式是否恒成立： ①()22sin cos 1;αβαβ+=≠②22sin cos 122αα+=； ③sin 2tan 2.cos 2ααα= Ⅱ、说明：①注意这里“同角”有两层含义，一是“角相同”；二是对“任意”一个角（在使得函数有意义的前提下）关系式都成立.②2sin α是()2sin α的简写，读作“sin α的平方”，不能写成“2sin α或sin 2α”.③对这些关系式不仅要牢固掌握，还要能灵活运用（正用、逆用、变形用），如：22sin 1cos αα=-， cos α=()212sin cos sin cos αααα±⋅=±sin cos tan ααα=，sin cos tan ααα=⋅. 2、典型例题 题型一、化简 例1. 化简下列各式:(1)2422sin cos sin cos ββββ++; (2 )222cos 112sin αα--.分析：（1）一提取公因式2cos β，便“柳暗花明”；（2）逆用平方关系：式子中的“1”用22"sin cos "αα+一代，结果不打自招. 解：（1）原式=()222222sin cos cos sin sin cos 1.ββββββ++=+=（2）原式=()22222222222cos sin cos cos sin 1.sin cos 2sin cos sin αααααααααα-+-==+-- 【点评】灵活运用平方关系、商数关系及其变式是解决化简问题的灵丹妙药. 变式训练：化简下列各式: (1)()221tan cos αα+⋅(2) 1sin cos 2sin cos 1sin cos αααααα+--⋅+-.答案：（1）1； （2）sin cos αα-.题型二、已知一个三角函数值，求另外两个三角函数值（简称“知一求二”） 例2．（1）已知12sin 13α=，并且α是第二象限角，求cos ,tan αα． （2）已知4cos 5α=-，求sin ,tan αα．分析：由已知条件和sin α的值可依平方关系求得cos α的值，再由商数关系可求得tan α的值，但不知α所在象限时要对α所在象限进行分类讨论. 解：（1）∵22sin cos 1αα+=， ∴2222125cos 1sin 1()()1313αα=-=-=，又∵α是第二象限角，∴cos 0α<，即有5cos 13α=-，从而sin 12tan cos 5ααα==-． （2）∵22sin cos 1αα+=， ∴222243sin 1cos 1()()55αα=-=--=，又∵4cos 05α=-<，∴α在第二或三象限.①当α在第二象限时，即有sin 0α>，从而3sin 5α=，sin 3tan cos 4ααα==-；②当α在第四象限时，即有sin 0α<，从而3sin 5α=-，sin 3tan cos 4ααα==．【点评】三角函数的结果都要用分情况叙述的形式表达出来，而不用cos a α=±或sin b α=±或tan c α=±的书写形式，因为三角函数值的符号受限制，不是无条件的，这不同于“由21x =可以推出1x =±”的情形.变式训练：《中》191P -变.（07全国Ⅰ）已知α是第四象限角，5tan 12α=-，则sin α等于( D ) A.15B.15- C.513D.513- 六、板书设计1.同角三角函数基本关系：（1）平方关系.（2）商数关系.2、题型一、化简例1.变式训练：3、题型二、知一求二例2．变式训练：七、小结1. 同角三角函数基本关系及其变式.2. 化简.3. 求值：①知一求二；②弦化切.八、作业课本第20页练习题第2题，22页B组第2、3题.九、教学后记本节真正体现“高、大、优”的课堂教学特色，但内容多、时间紧，要合理安排、讲练结合.。
最新人教A版数学必修4第一章1.2.2 同角三角函数基本关系 教案
1.2.2 同角三角函数的基本关系一、教学目标1．理解同角三角函数的基本关系式．2．会运用平方关系和商的关系进行化简、求值和证明．二、课时安排1课时三、教学重点理解同角三角函数的基本关系式．四、教学难点运用平方关系和商的关系进行化简、求值和证明．五、教学过程（一）情景导入哲学中有个命题：任何事物之间都存在着某种联系，联系是普遍存在的．比如蝴蝶效应，在南美洲亚马孙河流域的热带雨林中，一只蝴蝶偶尔扇动几下翅膀，可能在两周后引起美国得克萨斯州的一场龙卷风．这从一个侧面说明事物的普遍联系性．既然这样，作为三角函数的正弦、余弦、正切函数也具有联系吗？它们具有怎样的关系？这些关系又有哪些应用呢？（二）讲授新课探究：sin ,cos ,tan ααα之间有何关系？在直角三角形OMP 中由勾股定理得222222211sin cos 1MP OM OP y x αα+==+=+=(1)sin ;y α=(2)cos ;x α=()(3)tan 0;yx xα=≠ 由正切函数定义很容易得到：sin tan cos ααα=平方关系: 22sin cos 1αα+= 商数关系:sin tan cos ααα=(,)2k k Z παπ≠+∈ 同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切. “同角”二层含义:一是”角相同”,二是”任意”一个角.在α的终边上任取一点()P x y ，，它与原点的距离是()0r r >，则角α的三角函数的值是：sin y r α=，cos x r α=，tan yxα=由三角函数定义我们可以看到：222222222sin cos 1y x y x r r r r r αα+⎛⎫⎛⎫+=+=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin tan cos yy r x x rααα===同角三角函数的基本关系式总结如下： ①平方关系：22sin cos 1αα+= ②商数关系：sin tan cos ααα= （三）重难点精讲 题型一、求值例1、已知cos α＝－513，求sin α和tan α的值．[分析] 需分α是第二象限角与第三象限角讨论． [解析] ∵cos α＝－513<0，∴α是第二或第三象限角．当α是第二象限角时，sin α＝1－cos2α＝1213，tan α＝sin αcos α＝－125； 当α是第三象限角时，sin α＝－1－cos2α＝－1213，tan α＝sin αcos α＝125. [点评] (1)基本三角关系式sin2α＋cos2α＝1对一切α∈R 成立；sin αcos α＝tan α仅在α≠k π＋π2(k ∈Z)时成立．不论哪种情况，我们都称它们为三角恒等式．也就是这些关系式是它们各自定义域上的恒等式，即当a 取使关系式都有意义的任意值时，关系式两边的值都相等，以后所说的恒等式，就是指这个意义下的恒等式．(2)若角α的象限未确定，需对α分象限进行讨论．(3)本题解题中常见的错误是求sin α时忽视符号的讨论，或注意到了分象限讨论，应用公式tan α＝sin αcos α时，又多加上了符号：α是第二象限时，tan α<0，∴tan α＝－sin αcos α.练习1、已知sin α＝45，并且α是第三象限的角，求cos α、tanα的值．[分析] 先考虑利用平方关系求出cos α，再利用商数关系求出tan α.[解析] ∵sin2α＋cos2α＝1， ∴cos2α＝1－sin2α＝1－(45)2＝925.又∵α是第三象限角，∴cos α<0即cos α＝－925＝－35， ∴tan α＝sin αcos α＝45×(－53)＝－43.例2、已知tan α＝3.(1)求sin α和cos α的值． (2)求3sin α－cos α2cos α＋sin α的值．(3)求sin2α－3sin αcos α＋1的值．[分析] tan α＝3，即sin α＝3cos α，结合sin2α＋cos2α＝1，解方程组可求出sin α和cos α；对于(2)，注意到分子分母都是sin α与cos α的一次式，可分子分母同除以cos α化为tan α的表达式；对于(3)，如果把分母视作1，进行1的代换，1＝sin2α＋cos2α然后运用(2)的方法，分子分母同除以cos2α可化为tan α的表达式，也可以将sin α＝3cos α代入sin2α＋cos2α＝1中求出cos2α，把待求式消去sin α，也化为cos2α的表达式求解．[解析] (1)tan α＝3＝sin αcos α>0，∴α是第一或第三象限角．当α是第一象限角时，结合sin2α＋cos2α＝1，有⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝31010cos α＝1010.当α是第三象限角时，结合sin2α＋cos2α＝1，有⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝－31010cos α＝－1010.(2)∵tan α＝3，∴3sin α－cos α2cos α＋sin α＝3tan α－12＋tan α＝85.(3)∵tan α＝3，sin2α＋cos2α＝1， ∴原式＝sin2α－3sin αcos α＋11＝2sin2α－3sin α·cos α＋cos2αsin2α＋cos2α＝2tan2α－3tanα＋11＋tan2α＝2×32－3×3＋11＋32＝1.[点评] 已知tanα＝m.求sinα(或cosα)时，可结合平方关系sin2α＋cos2α＝1解方程组求解；求分子、分母都是sinα与cosα的同次(k次)表达式的值时，常用分子、分母同除以coskα化切求解，分母是1的用1＝sin2α＋cos2α代换，求sinα与cosα的整式表达式的值时，常利用sinα＝mcosα化为cos2α的表达式求解．题型二、化简例3、化简下列各式：(1)1－2sin10°cos10°sin10°－1－sin210°；(2)1－cos4α－sin4α1－cos6α－sin6α.[分析] 由题目可获取以下主要信息：(1)中含有二次根式．(2)中所含角α的三角函数次数相对较高，且分子、分母含常数“1”．解答本题中的(1)、(2)时应充分利用“sin2α＋cos2α＝1”这一条件．[解析] (1)原式＝cos10°－sin10°2sin10°－cos210°＝|cos10°－sin10°|sin10°－cos10°＝cos10°－sin10°sin10°－cos10°＝－1. (2)方法一：原式＝cos2α＋sin2α2－cos4α－sin4αcos2α＋sin2α3－cos6α－sin6α＝2cos2α·sin2α3cos2α·sin2αcos2α＋sin2α＝23.方法二：原式＝1－cos4α＋sin4α1－cos6α＋sin6α＝1－1＋2cos2αsin2α1－[cos2α＋sin2α2－3cos2αsin2α]＝2cos2αsin2α3cos2αsin2α＝23. 方法三：原式＝1－cos2α1＋cos2α－sin4α1－cos2α1＋cos2α＋cos4α－sin6α＝sin2α1＋cos2α－sin2αsin2α1＋cos2α＋cos4α－sin4α＝2cos2α1＋cos2α＋cos2α－sin2α＝2cos2α3cos2α＝23. 规律总结：(1)所谓化简，就是将表达式经过某种变形，从而使结果尽可能简单，也就是项数尽可能少，次数尽可能低，函数的种类尽可能少，分母中尽量不含三角函数符号，能求值的一定要求值．(2)第(2)题的三种方法虽然思路不同，但都是应用公式sin2α＋cos2α＝1，方法二和方法三都是顺用公式，而方法一则是逆用公式，三种方法中以方法一最简单．这里所谓逆用公式sin2α＋cos2α＝1，实质就是“1”的三角代换：“1＝sin2α＋cos2α”，“1＝tan π4”等等，“1”的三角代换在三角函数式的恒等变形过程中有着广泛的应用．练习2、已知α是第三象限角，化简：1＋sin α1－sin α－1－sin α1＋sin α.[解析] 1＋sin α1－sin α－1－sin α1＋sin α＝1＋sin α2cos2α－1－sin α2cos2α＝1＋sin α|cos α|－1－sin α|cos α|＝2sin α|cos α|. ∵α是第三象限角，∴|cos α|＝－cos α.原式＝2sin α－cos α＝－2tan α，故1＋sin α1－sin α－1－sin α1＋sin α＝－2tan α.题型三、证明例4、求证：2(1－sin α)(1＋cos α)＝(1－sin α＋cos α)2. [分析] 此等式左、右两边繁简程度差不多，故可考虑从左向右证，也可考虑从右向左证，平方展开，化简，再因式分解．[证明] 证法一：左边＝2(1－sin α＋cos α－sin αcos α) ＝1＋(sin2α＋cos2α)－2sin α＋2cos α－2sin αcos α ＝(1－2sin α＋sin2α)＋2cos α(1－sin α)＋cos2α ＝(1－sin α)2＋2cos α(1－sin α)＋cos2α ＝(1－sin α＋cos α)2＝右边． ∴原式成立．证法二：右边－左边＝(1－sin α)2＋cos2α＋2cos α(1－sin α)－2(1－sin α)(1＋cos α)＝(1－sin α)2＋(1－sin2α)＋2(1－sin α)[cos α－(1＋cos α)] ＝(1－sin α)2＋(1－sin α)(1＋sin α)－2(1－sin α) ＝(1－sin α)[(1－sin α)＋(1＋sin α)－2]＝0. ∴左边＝右边．∴原式成立．证法三：令1－sin α＝x ，cos α＝y ，则⎩⎨⎧sin α＝1－x ，cos α＝y.由sin2α＋cos2α＝1，消去α得(x －1)2＋y2＝1， 即x2＋y2＝2x ，∴左边＝2x(1＋y)＝2x ＋2xy ＝x2＋y2＋2xy ＝(x ＋y)2＝右边． ∴原式成立．[点评] 证明三角恒等式的实质是清除等式两端的差异，有目的地化简．证明三角恒等式的基本原则：由繁到简．常用方法：从左向右证；从右向左证；左、右归一．常用技巧：“切”化“弦”、整体代换、“1”的代换、方程思想． 练习3、证明下列三角恒等式： (1)tan αsin αtan α－sin α＝tan α＋sin αtan αsin α； (2)2sinxcosxsinx ＋cosx －1sinx －cosx ＋1＝1＋cosx sinx.[分析] (1)“切”化“弦”；(2)左边入手，利用平方差公式．[证明](1)左边＝sin2αcos αsin αcos α－sin α＝sin2αsin α－sin αcos α＝1－cos2αsin α1－cos α＝1＋cos αsin α＝1sin α＋cos αsin α＝1sin α＋1tan α＝tan α＋sin αtan αsin α＝右边，所以原等式成立．(2)左边＝2sinxcosx [sinx ＋cosx －1][sinx －cosx －1]＝2sinxcosx sin2x －cosx －12＝sinx1－cosx＝sinx 1＋cosx1－cos2x＝1＋cosx sinx ＝右边，所以原等式成立.（四）归纳小结（1）同角三角函数的三组关系式的前提是“同角”，因此22sin cos 1αβ+≠，sin tan cos βαγ≠……． （2）诸如sin tan cos ααα=，tan cot 1αα⋅=，……它们都是条件等式，即它们成立的前提是表达式有意义．（3）利用平方关系时，往往要开方，因此要先根据角所在象限确定符号，即要就角所在象限进行分类讨论．（五）随堂检测1. 若sin θ>0，化简：sin θ1－cos θ·tan θ－sin θtan θ＋sin θ解 ∵tan θ－sin θtan θ＋sin θ＝sin θcos θ－sin θsin θcos θ＋sin θ＝sin θ－sin θcos θsin θ＋sin θcos θ＝1－cos θ1＋cos θ＝ 1－cos θ21＋cos θ1－cos θ＝ 1－cos θ2sin2θ＝1－cos θsin θ∴原式＝sin θ1－cos θ·1－cos θsin θ＝1.2、已知sin θ＋cos θ＝15，且0<θ<π，求sin θ－cos θ的值．[解析] ∵sin θ＋cos θ＝15，∴(sin θ＋cos θ)2＝125，解得sin θcosθ＝－1225.∴(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝4925.∵0<θ<π，且sin θcos θ<0，∴sin θ>0，cos θ<0， ∴sin θ－cos θ>0，∴sin θ－cos θ＝75.六、板书设计七、作业布置本课同步练习以及预习1.3.1 八、教学反思。
高中数学《必修第一章同角三角函数的基本关系》教案基于学科核心素养的教学设计及教学反思
进入情景，参与课堂活动
让学生证明同角的三角函数关系，小组交流展示讲解。
学生分析做法，并写出完整的解答过程。
小组成员展示，指出小组同学的做题情况并总结此类问题方法。
学生分析，交流教材上的两种证法。
分小组讨论，探究其解题方法，再与第一小题比较，寻找其可借鉴之处。
温故知新，构造知识发生的基础，通过层层设问，让学生经历从特殊到一般的归纳。
学生学情分析
从学生思维的来看，学生在初中阶段已经学习了锐角同角三角函数之间的关系，已经较好的掌握了锐角三角函数的数量关系，前一节已经将三角函数推广到任意角的三角函数，学生能根据任意角三角函数的定义求三角函数值，但这种方法较为麻烦，从三角函数的完整性讲，需要研究三角函数的正弦、余弦、正切之间的关系。基于以上分析，学生有研究同角三角函数的基本关系的必要，同时也有知识、方法和思维上的基础和条件。
1.2.2同角三角函数的基本关系
一、同角三角函数的基本关系式例1.
平方关系：/
商数关系：/例2.
1.同角
式子要有意义
教学反思
本节课采用“提出问题—合作探究—解决问题—变式应用”的模式展开。在两个基本公式的推导上，完全放手让学生自主去探索，去研究，去发现三个三角函数之间的关系。学生经过推导，顺利发现并证明了两个三角函数关系式。这样，在课堂上学生始终处于不断发现问题、解决问题的过程中，他们经过自主探索，发现了数学知识，其成功后的喜悦自然也能激励他们再去探究新的数学知识。相信这些乐于自主探索的学生，成功会越来越多，认识会越来越深。
（1）能根据三角函数的几何、代数定义导出同角三角函数的基本关系式；
（2）掌握同角三角函数的两个基本关系式，并能够根据一个角的三角函数值，求这个角的其他三角函数值。
人教a版必修4学案：1.2.2同角三角函数的基本关系(含答案)
1.2.2 同角三角函数的基本关系自主学习知识梳理1．同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：____________________.(2)商数关系：____________________.2．同角三角函数基本关系式的变形(1)sin 2α＋cos 2α＝1的变形公式：sin 2α＝__________；cos 2α＝__________；(sin α＋cos α)2＝__________；(sin α－cos α)2＝____________；(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝________；sin α·cos α＝____________＝____________.(2)tan α＝sin αcos α的变形公式：sin α＝____________； cos α＝____________.自主探究1．利用任意角三角函数的定义推导平方关系．2．已知tan α＝2，求下列代数式的值．(1)4sin α－2cos α5cos α＋3sin α； (2)14sin 2α＋13sin αcos α＋12cos 2α.对点讲练知识点一 已知某一个三角函数值，求同角的其余三角函数值例1 已知cos α＝－817，求sin α、tan α.回顾归纳 同角三角函数的基本关系式揭示了同角之间的三角函数关系，其最基本的应用是“知一求二”，要注意这个角所在的象限，由此来决定所求的是一解还是两解，同时应体会方程思想的应用．变式训练1 已知tan α＝43，且α是第三象限角，求sin α，cos α的值．知识点二 利用同角的三角函数基本关系式化简例2 化简：1cos α1＋tan 2α＋1＋sin α1－sin α－1－sin α1＋sin α.回顾归纳 解答此类题目的关键在于公式的灵活运用，切实分析好同角三角函数间的关系．化简过程中常用的方法有：(1)化切为弦，即把非正弦、非余弦的函数都化成正弦、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的．(2)对于含有根号的，常把根号下化成完全平方式，然后去根号，达到化简的目的．(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解．变式训练2 化简：1－cos 4α－sin 4α1－cos 6α－sin 6α.知识点三 利用同角的三角函数基本关系式证明恒等式例3 求证：cos α1＋sin α－sin α1＋cos α＝2(cos α－sin α)1＋sin α＋cos α.回顾归纳 证明三角恒等式的实质是清除等式两端的差异，有目的地进行化简．证明三角恒等式的基本原则：由繁到简．常用方法：从左向右证；从右向左证；左、右同时证．常用技巧：切化弦、整体代换．变式训练3 求证：1－2sin 2x cos 2x cos 22x －sin 22x ＝1－tan 2x 1＋tan 2x.1．同角三角函数的基本关系式揭示了“同角不同名”的三角函数的运算规律，它的精髓在“同角”二字上，如sin 22α＋cos 22α＝1，sin 8αcos 8α＝tan 8α等都成立，理由是式子中的角为“同角”．2．已知角α的某一种三角函数值，求角α的其余三角函数值时，要注意公式的合理选择．一般是先选用平方关系，再用商数关系．在应用平方关系求sin α或cos α时，其正负号是由角α所在象限来决定，切不可不加分析，凭想象乱写公式．3．在进行三角函数式的求值时，细心观察题目的特征，灵活、恰当的选用公式，统一角、统一函数、降低次数是三角函数关系式变形的出发点.课时作业一、选择题1．化简sin 2β＋cos 4β＋sin 2βcos 2β的结果是( )A.14B.12 C ．1 D.322．若α为第三象限角，则cos α1－sin 2α＋2sin α1－cos 2α的值为( ) A ．3 B ．－3 C ．1 D ．－13．若sin α＝45，且α是第二象限角，则tan α的值等于( ) A ．－43 B.34 C ．±34 D ．±434．已知tan α＝－12，则1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α的值是( ) A.13 B ．3 C ．－13D ．－3 5．已知sin α－cos α＝－52，则tan α＋1tan α的值为( ) A ．－4 B ．4 C ．－8 D ．8二、填空题6．已知α是第二象限角，tan α＝－12，则cos α＝________. 7．已知sin αcos α＝18且π4<α<π2，则cos α－sin α＝ ______________________________________________________________________.8．若sin θ＝k ＋1k －3，cos θ＝k －1k －3，且θ的终边不落在坐标轴上，则tan θ的值为________．三、解答题9．证明：(1)1－cos 2αsin α－cos α－sin α＋cos αtan 2α－1＝sin α＋cos α； (2)(2－cos 2α)(2＋tan 2α)＝(1＋2tan 2α)(2－sin 2α)．10．已知关于x 的方程2x 2－(3＋1)x ＋m ＝0的两根为sin θ和cos θ，θ∈(0,2π) 求：(1)m 的值；(2)方程的两根及此时θ的值．1.2.2 同角三角函数的基本关系答案知识梳理1．(1)sin 2α＋cos 2α＝1 (2)tan α＝sin αcos α (α≠k π＋π2，k ∈Z ) 2．(1)1－cos 2α 1－sin 2α 1＋2sin αcos α1－2sin αcos α 2 (sin α＋cos α)2－121－(sin α－cos α)22(2)cos αtan α sin αtan α自主探究1．解 ∵sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝y x，x 2＋y 2＝r 2， ∴sin 2α＋cos 2α＝y 2r 2＋x 2r 2＝x 2＋y 2r 2＝1 (α∈R )． sin αcos α＝y r x r＝y x ＝tan α (α≠k π＋π2，k ∈Z )． 2．解 关于sin α、cos α的齐次式，可以通过分子、分母同除以cos α或cos 2α转化为关于tan α的式子后再求值．(1)原式＝4tan α－23tan α＋5＝611. (2)原式＝14sin 2α＋13sin αcos α＋12cos 2αsin 2α＋cos 2α＝14tan 2α＋13tan α＋12tan 2α＋1＝14×4＋13×2＋125＝1330. 对点讲练例1 解 ∵cos α＝－817<0且cos α≠－1， ∴α是第二或第三象限的角．(1)如果α是第二象限的角，可以得到sin α＝1－cos 2α＝ 1－⎝⎛⎭⎫－8172＝1517. tan α＝sin αcos α＝1517－817＝－158. (2)如果α是第三象限的角，可得到：sin α＝－1517，tan α＝158. 变式训练1 解 由tan α＝sin αcos α＝43， 得sin α＝43cos α. ① 又sin 2 α＋cos 2α＝1， ②由①②得169cos 2α＋cos 2α＝1，即cos 2α＝925. 又α是第三象限角，∴cos α＝－35，sin α＝43cos α＝－45. 例2 解 原式＝1cos α 1＋sin 2αcos 2α＋(1＋sin α)21－sin 2α －(1－sin α)21－sin 2α ＝|cos α|cos α＋1＋sin α|cos α|－1－sin α|cos α|＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋2tan α(α为第一或第四象限角)，－1－2tan α(α为第二或第三象限角). 变式训练2 解 原式＝(1－cos 4 α)－sin 4 α(1－cos 6 α)－sin 6 α＝(1－cos 2α)(1＋cos 2α)－sin 4 α(1－cos 2α)(1＋cos 2α＋cos 4 α)－sin 6 α＝sin 2α(1＋cos 2α)－sin 4 αsin 2α(1＋cos 2α＋cos 4 α)－sin 6 α＝1＋cos 2α－sin 2α1＋cos 2α＋cos 4 α－sin 4 α＝2cos 2α1＋cos 2α＋(cos 2α＋sin 2α)(cos 2α－sin 2α)＝2cos 2α1＋cos 2α＋cos 2α－sin 2α＝2cos 2α3cos 2α＝23. 例3 证明 左边＝cos α(1＋cos α)－sin α(1＋sin α)(1＋sin α)(1＋cos α)＝cos 2α－sin 2α＋cos α－sin α1＋sin α＋cos α＋sin αcos α＝(cos α－sin α)(cos α＋sin α＋1)12(cos α＋sin α)2＋sin α＋cos α＋12＝2(cos α－sin α)(cos α＋sin α＋1)(sin α＋cos α＋1)2＝2(cos α－sin α)1＋sin α＋cos α＝右边． ∴原式成立．变式训练3 证明 左边＝cos 22x ＋sin 22x －2sin 2x cos 2x cos 22x －sin 22x＝(cos 2x －sin 2x )2(cos 2x －sin 2x )(cos 2x ＋sin 2x )＝cos 2x －sin 2x cos 2x ＋sin 2x＝1－tan 2x 1＋tan 2x＝右边．∴原等式成立．课时作业1．C [sin 2β＋cos 4β＋sin 2βcos 2β＝sin 2β＋cos 2β(cos 2β＋sin 2β)＝sin 2β＋cos 2β＝1.]2．B [∵α为第三象限角，cos α<0，sin α<0，∴原式＝cos αcos 2α＋2sin αsin 2α＝cos α－cos α＋2sin α－sin α＝－3.] 3．A [α为第二象限角，sin α＝45，cos α＝－35， tan α＝－43.] 4．C [1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α＝(sin α＋cos α)·(sin α＋cos α)(sin α＋cos α)·(sin α－cos α)＝sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝－12＋1－12－1＝－13.] 5．C [tan α＋1tan α＝sin αcos α＋cos αsin α＝1sin αcos α. ∵sin αcos α＝1－(sin α－cos α)22＝－18， ∴tan α＋1tan α＝－8.] 6．－255 解析 由α是第二象限的角且tan α＝－12，则⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝－12cos αsin 2α＋cos 2α＝1，则⎩⎨⎧ sin α＝55cos α＝－255.7．－32解析 (cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝34，∵π4<α<π2，∴cos α<sin α.∴cos α－sin α＝－32.8.34解析 ∵sin 2θ＋cos 2θ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋1k －32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫k －1k －32＝1，∴k 2＋6k －7＝0，∴k 1＝1或k 2＝－7. 当k ＝1时，cos θ不符合，舍去．当k ＝－7时，sin θ＝35，cos θ＝45，tan θ＝34.9．证明 (1)左边＝sin 2αsin α－cos α－sin α＋cos αsin 2αcos 2α－1＝sin 2αsin α－cos α－sin α＋cos αsin 2α－cos 2αcos 2α＝sin 2αsin α－cos α－cos 2α(sin α＋cos α)sin 2α－cos 2α＝sin 2αsin α－cos α－cos 2αsin α－cos α＝sin 2α－cos 2αsin α－cos α＝sin α＋cos α＝右边．∴原式成立．(2)∵左边＝4＋2tan 2α－2cos 2α－sin 2α ＝2＋2tan 2α＋2sin 2α－sin 2α＝2＋2tan 2α＋sin 2α右边＝(1＋2tan 2α)(1＋cos 2α)＝1＋2tan 2α＋cos 2α＋2sin 2α＝2＋2tan 2α＋sin 2α∴左边＝右边，原式成立．10．解 (1)由韦达定理知⎩⎨⎧ sin θ＋cos θ＝3＋12①sin θ·cos θ＝m2 ②由①式可知1＋2sin θcos θ＝1＋32， ∴sin θcos θ＝34，∴m2＝34，∴m ＝32， (2)当m ＝32时，原方程2x 2－(3＋1)x ＋32＝0， ∴x 1＝32，x 2＝12. ∵θ∈(0,2π)∴⎩⎨⎧ sin θ＝32cos θ＝12或⎩⎨⎧ sin θ＝12cos θ＝32. ∴θ＝π3或θ＝π6.。
1.2.2同角三角函数关系(2015年人教A版数学必修四导学案)
2 cos2 1 （2） 1 2 sin 2 a
5、求证： （1） 1 tan
2
1 cos 2
（2） sin cos sin cos
4 4 2 2
课题：1.2.2 同角三角函数关系 班级： 【学习目标】 姓名： 备 注
4 ， 且 为第三象限角， 则 sin =_______， tan =________。 5 1 2、已知 sin =－ ，则 cos ________，tan =_________。 2
1、 已知 cos －
3、已知 sin =－ （ A、－ ）
3 3 ， ∈( ，2 )，则 tan 等于 5 2
1 (0 ) ， 则 sin cos ___________ ， 5
tan _____。
3 、 已 知 sin cos
60 ， 且 ， 则 sin __________ ， 169 4 2
cos __________。
2
【课堂研讨】 例 1、已知 sin
4 ，且 是第二象限角，求 cos ， tan 的值。 5
练习：已知 tan
12 ，求 sin ， cos 的值。 5
例 2、已知 tan 2，求下列各式的值： （ 1 ）
4 sin 2 cos 3 cos 3 sin
（ 2 ）
sin 2 2 sin cos 3 cos2
例 3、已知 sin cos
sin cos （1）
4 ，求下列各式的值： 3 sin 3 cos3 sin 4 cos4 （2） （3）
高中数学 第1章 三角函数 1.2.2 同角三角函数关系教学设计 苏教版必修4(2021年整理)
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1。
2.2 同角三角函数关系错误!教学分析与三角函数的定义域、符号的确定一样，同角三角函数的基本关系式的推导，紧扣了定义，按照一切从定义出发的原则进行,通过对基本关系的推导，培养学生重视对基本概念学习的良好习惯，并通过对基本概念的学习，善于钻研，从中不断发掘更深层次的内涵．同角三角函数的基本关系式将“同角”的三种不同的三角函数直接或间接地联系起来，在使用时一要注意“同角”，如sin24π＋cos24π＝1等，二要注意这些关系式都是对于使它们有意义的那些角而言的，如tanα中的α是使得tanα有意义的值，即α≠kπ＋错误!，k∈Z。
通过联系,让学生了解到基本关系式具有等式的一切性质（正用、逆用、变形用）,对公式不仅能牢固掌握，还能灵活运用，不仅掌握公式的标准形式，而且还应掌握它们的等价形式：sin2α＝1－cos2α,1＝sin2α＋cos2α，cosα＝±错误!，sinα＝tanαcosα，cosα＝错误!.熟练掌握这些等价形式，在应用上可更为方便，但在变形中要注意定义域从左到右的变化，如sinα＝tanαcosα，这时定义域由α∈R变为α≠kπ＋错误!,k∈Z，而tanαcosα＝sinα，这时定义域由α≠kπ＋错误!，k∈Z，变为α∈R.已知任意角的正弦、余弦、正切中的一个值便可以运用基本关系式求出另外的两个,这是同角三角函数关系式的一个最基本功能，在求值时,根据已知的三角函数值，确定角的终边的位置是关键和必要的，有时由于角的终边的位置不确定，因此解的情况不止一种,解题时产生遗漏的主要原因：一是没有确定好或不去确定终边的位置;二是利用平方关系开方时,漏掉了负的平方根．三维目标1．通过三角函数的定义导出同角三角函数基本关系式,并能运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数的化简与证明．2．掌握如何进行三角函数式的化简与三角恒等式的证明．3．通过同角三角函数关系的应用使学生养成探究、分析的习惯，提高三角恒等变形的能力，树立转化与化归的思想方法．重点难点教学重点：课本的两个公式的推导及应用．教学难点：课本的两个公式的推导及应用．课时安排1课时错误!导入新课思路1.先请学生回忆任意角的三角函数定义，然后引导学生先计算后观察以下各题的结果，并鼓励学生大胆进行猜想，教师点拨学生能否用定义给予证明，由此展开新课．计算下列各式的值:(1）sin290°＋cos290°;（2)sin230°＋cos230°；(3)错误!;（4）错误!.思路2.既然角α的正弦、余弦、正切都是角α的函数，自然想到它们之间会有什么内在的联系呢？由此引导学生探究同角三角函数的关系式．推进新课错误!如图1，以正弦线MP、余弦线OM和半径OP三者的长构成直角三角形，而且OP＝1。
高中数学 第一章 三角函数 1.2.2 同角三角函数的基本关系课件2 新人教A版必修4.ppt
5
55
5
5
3.已知cos α= 1 ，且α是第四象限角，则sin α=（ ）
2
A . 1
B .3 C .3 D . 1
2
2
2
2
【解析】选C.因为α是第四象限角，所以sin α＜0，
所以 sin 1cos21(1)23.
22
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4.化简：s i n =_______.
tan
【解析】
sin tan
10
10 10
方法二：(cosα+2sinα)2= cos24sincos4sin2
sin2cos2
1 4 ta n 4 ta n 2 1 4 3 4 3 2 4 9
由已知条件得
分子分母同除以cos2α可得关于tanα的方程.
(cos2sin)2 sin2cos2
5，
12
【解析】方法一：因为cosα+2sinα= 5 ， 所以cosα=-2sinα 5 ， 又因为sin2α+cos2α=1，所以sin2α+(-2sinα- )2=5 1， 整理得5sin2α+4 s5 inα+4=0，( si5 nα+2)2=0，
sin sin
cos.
答案：cos θ cos
7
5.已知tan φ=- 2 ，φ∈( ，π)，则sin φ=_____.
2
sin 2 cos 2 1，
【解析】由已知得
sin cos
所以
2，
sin2(sin)2 1， 2
所以sin2φ= 2 ，由φ∈( ， π)得sin φ＞0，
3
2
限决定的，不可凭空想象.
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人教版高中数学必修四第一章1-2-2同角三角函数的基本关系式《学案》
班级:__________姓名:__________设计人:__________日期:__________♒♒♒♒♒♒♒课前预习·预习案♒♒♒♒♒♒♒温馨寄语在年轻人的颈项上，没有什么东西能比事业心这颗灿烂的宝珠更迷人的了。
——哈菲兹学习目标1．理解同角三角函数的基本关系.2．会利用同角三角函数的基本关系化简、求值、证明恒等式.学习重点同角三角函数的基本关系式的推导，会利用同角三角函数的基本关系式进行三角函数的化简与证明学习难点会用同角三角函数的基本关系式进行三角函数的化简与证明自主学习同角三角函数的基本关系平方关系： .商的关系：.tanα=预习评价1．已知θ是第一象限角且，则cosθ＝.2．化简：= .3．已知3sinα+cosα=0，则t a n = .♒♒♒♒♒♒♒知识拓展·探究案♒♒♒♒♒♒♒合作探究1．同角三角函数基本关系设角是一个任意象限角，点P(x，y)为角α终边上任意一点，它与原点的距离为r(r= >0)，那么：，请根据三角函数的定义思考下面问题：(1)从以上三角函数的定义，试计算sin2α+cos2α与的值，并根据你计算的结果，写出sin ,cos ,t a n 之间的关系式.(2)同角三角函数的两个基本关系成立的条件各是什么？2．利用同角三角函数关系可以解决哪些问题？教师点拨对同角三角函数基本关系的三点说明(1)关系式中的角一定是同角，否则公式可能不成立，如sin230°+cos260°≠1.(2)同角不要拘泥于形式，将换成或2α也成立，如.(3)商的关系中要注意公式中的隐含条件，cos ≠0，即交流展示——利用基本关系求值1．已知( )A. B. C. D.2．已知，则等于A. B. C. D.3．______．4．已知是第二象限角,,则变式训练1．(2011·山东省潍坊市月考)已知cos α-sin α=-,则sin αcos α的值为()A. B.± C. D.±2．已知tan α=-2,且<α<π,则cos α+sin α=.交流展示——三角函数式的化简5．若，则sinαcosα=A. B. C. D.6．当角α的终边在直线3x+4y=0上时,sin α+cos α=B. C. D.±7．(2012·聊城测试)已知tan α,是关于x的方程x2-kx+k2-3=0的两个实根,且3π<α<π,则cos α+sin α=.变式训练已知，求(1)；(2)的值.交流展示——三角恒等式的证明8．求证：.9．证明:(1-tan4A)cos2A+tan2A=1.变式训练求证：学习小结1．三角函数求值的常用方法若已知tan =m，求其他三角函数值，其方法是解方程组求出sin a和cos a的值.若已知tan =m，求形如的值，其方法是将分子、分母同除以co s a(或cos2a)转化为tan 的代数式，再求值.形如a sin2 +bsin •cos +c•cos2 通常把分母看作1，然后用sin2 +cos2 代换，分子分母同除以cos2 再求解.提醒：在应用平方关系求sin 或cos 时，函数值的正、负是由角的终边所在的象限决定的，切不可不加分析，凭想象乱写结果.2．三角函数式化简的本质及关注点(1)本质：三角函数式化简的本质是一种不指定答案的恒等变形，体现了由繁到简的最基本的数学解题原则.(2)关注点：不仅要熟悉和灵活运用同角三角函数的基本关系式，还要熟悉并灵活应用这些公式的等价变形，如sin2α=1－cos2α，cos2α=1－sin2α，1=sin2α+cos2α，sinα=tanα•cosα，cosα= .3．对三角函数式化简的原则(1)使三角函数式的次数尽量低.(2)使式中的项数尽量少.(3)使三角函数的种类尽量少.(4)使式中的分母尽量不含有三角函数.(5)使式中尽量不含有根号和绝对值符号.(6)能求值的要求出具体的值，否则就用三角函数式来表示.4．证明三角恒等式的常用方法证明恒等式的过程就是分析、转化、消去等式两边差异来促成统一的过程，证明时常用的方法有：(1)从一边开始，证明它等于另一边，遵循由繁到简的原则.(2)证明左右两边等于同一个式子.(3)证明左边减去右边等于零或左、右两边之比等于1.(4)证明与原式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立.当堂检测1．已知A为三角形的一个内角，且，则cos A−sin A的值为A. B. C. D.2．化简(1+tan2α)·cos2α=__________.3．已知在△ABC中，.(1)求sin A·cos A的值.(2)判断△ABC是锐角三角形还是钝角三角形.(3)求tan A的值.知识拓展在中，，求的值．详细答案♒♒♒♒♒♒♒课前预习·预习案♒♒♒♒♒♒♒【自主学习】(1)sin2α+cos2α＝1(2)【预习评价】1．2．cos20°3．♒♒♒♒♒♒♒知识拓展·探究案♒♒♒♒♒♒♒【合作探究】1．(1)sin2α+co s2α= + = =1，由以上计算结果可得出以下结论；sin2α+cos2α=1及tanα= .(2)对于平方关系只需同角即可；对于商的关系第一保证是同角，第二保证α≠kπ+ (k∈Z).2．(1)求值：已知一个角的三角函数值，求这个角的其他三角函数的值；(2)化简三角函数式；(3)证明三角恒等式.【交流展示——利用基本关系求值】1．C.【备注】对于与之间的关系，通过平方可以表达出来.2．A,结合可得,所以3．1【解析】本题主要考查同角三角函数基本关系.原式．4．【解析】本题考查同角三角函数基本关系式的应用.利用同角三角函数基本关系式,已知一个角的一个三角函数值可求这个角的其它三角函数值.,又,∴【变式训练】1．A【解析】由已知得(cos α-sin α)2=sin2α+cos2α-2sin αcos α=1-2sin αcos α=,解得sin αcos α=,故选A.2．【解析】本题主要考查了三角函数的概念,意在考查考生对基本概念的理解和应用能力由tan α=-2,得=-2,又sin2α+cos2α=1,且<α<π,解得sin α=,cos α=-,则sin α+cos α==.【交流展示——三角函数式的化简】5．B【解析】由，得，即t a nα.故选B.6．D【解析】在角α的终边上取点P(4t,-3t)(t≠0),则|OP|=5|t|.根据任意角的三角函数的定义,当t>0时,sin α==-,cos α==,sin α+cos α=;当t<0时,sin α==,cos α==-,sin α+cos α=-. 7．-【解析】∵tan α·=k2-3=1,∴k=±2,而3π<α<π,则tan α+=k=2,得tan α=1,则sin α=cos α=-,∴cos α+sin α=-.【变式训练】(1)；(2).的一次或二次齐次式,所以可将分子和分母同除以或,然后将代入求解即可.【备注】注意到的应用.【交流展示——三角恒等式的证明】8．证明： 因为1cos sin sin 1cos x x x x+--(1cos )(1cos )sin sin sin (1cos )x x x x x x +--=- 22221cos sin sin sin 0sin (1cos )sin (1cos )x x x xx x x x ---===--，所以1cos sin =sin 1cos x x x x+-. 9．∵左边=·cos 2A+=+=+==1=右边,∴原等式成立. 【变式训练】右边左边.【解析】通过“切割化弦”将右边分子、分母中的正切化为再进行通分求解.【备注】在三角恒等式的证明中化异为同是基本思想，“1”的代换要灵活运用. 【当堂检测】 1．D【解析】由A 为三角形的内角且，可知，，∴cosA −，.故选D. 2．13．（1）由1sin cos 5A A +=，两边平方，得112sin cos 25A A +⋅=，所以12sin cos 25A A ⋅=-. （2）由（1）得12sin cos 025A A ⋅=-<.又0A π<<，所以cos 0A <， 所以A 为钝角.所以ABC ∆是钝角三角形.（3）因为12sin cos 25A A ⋅=-， 所以22449(sin cos )12sin cos 12525A A A A -=-⋅=+=， 又sin 0,cos 0A A ><，所以sin cos 0A A ->，所以7sin cos 5A A -=. 又1sin cos 5A A +=，所以43sin ,cos 55A A ==-. 所以4sin 45tan 3cos 35A A A ===--. 【知识拓展】解：∵，①∴，即，∴．∵，∴，．∴．∵，∴．②①+②，得．①−②，得．∴．【解析】本题主要考查同角三角函数基本关系以及三角形中函数符号的判定。
2020-2021学年高中数学 第一章 三角函数 1.2.1 任意角的三角函数学案新人教A版必修4
2020-2021学年高中数学第一章三角函数1.2.1 任意角的三角函数学案新人教A版必修4年级：姓名：1．2 任意角的三角函数1．2.1 任意角的三角函数(一)内容标准学科素养1.理解任意角的三角函数的定义并利用定义求值．2.结合单位圆定义三角函数，判断三角函数在各个象限的符号．3.掌握三角函数诱导公式一.提升数学运算运用直观想象授课提示：对应学生用书第7页[基础认识]知识点一任意角的三角函数阅读教材P11～12，思考并完成以下问题(1)使锐角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，在终边上任取一点P，作PM⊥x轴于M，设P(x，y)，|OP|＝r.那么sin α、cos α、tan α如何用x，y或r表示？提示：sin α＝|PM||OP|＝yr，cos α＝|OM||OP|＝xr，tan α＝|PM||OM|＝yx.(2)对确定的锐角α，sin α，cos α，tan α的值是否随P点在终边上的位置的改变而改变？为什么？提示：不变．三角形相似，对应边成比例．(3)当取|OP|＝1时，sin α，cos α，tan α的值怎样表示？提示：sin α＝y，cos α＝x，tan α＝yx.(4)如果α的终边OP在第二象限且|OP|＝1，P(x，y)，sin α，cos α，tan α的表示变化吗？提示：不变．仍是sin α＝y，cos α＝x，tan α＝yx.前提如图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)定义正弦y叫做α的正弦，记作sin α，即sin α＝y余弦 x 叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝x 正切 y x 叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝yx(x ≠0) 三角函数正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，将它们统称为三角函数.三角函数 定义域 sin α R cos α Rtan α α≠k π＋π2，k ∈Z知识点二 阅读教材P 13，思考并完成以下问题根据三角函数的定义，你能判断正弦、余弦、正切函数的值在各象限的符号吗？ (1)当α的终边在第一象限时，P (x ，y )． 提示：sin α＝y >0，cos α＝x >0，tan α＝y x >0 (2)当α的终边在第二象限时，P (x ，y )． 提示：sin α＝y >0，cos α＝x <0，tan α＝y x<0. (3)当α的终边在第三象限时，P (x ，y )．提示：sin α＝y <0，cos α＝x <0，tan α＝yx>0.(4)当α的终边在第四象限时，P (x ，y )．提示：sin α＝y <0，cos α＝x >0，tan α＝yx<0.知识梳理 口诀概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦(如图)．知识点三 诱导公式一阅读教材P 14，思考并完成以下问题当角α分别为30°，390°，－330°时，它们的终边有什么特点？ 提示：sin 390°＝sin(360°＋30°)， sin(－330°)＝sin(－360°＋30°)， 故30°、390°、－330°终边相同． 知识梳理 诱导公式一sin(α＋k ·2π)＝sin α， cos(α＋k ·2π)＝cos α， tan(α＋k ·2π)＝tan α， 其中k ∈Z .(1)当α的终边在y 轴正半轴时，P (0，1)，则α＝π2＋2k π，k ∈Z ．sin α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2k π＝sin π2＝1．cos α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2k π＝cos π2＝0．(2)当α的终边在y 轴负半轴时，P (0，－1)，则α＝32π＋2k π，k ∈Z ．sin α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π＋2k π＝sin 32π＝－1．cos α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π＋2k π＝cos 32π＝0．(3)当α的终边在x 轴正半轴时，P (1，0)， 则α＝2k π，k ∈Z ．sin α＝sin(2k π＋0)＝sin 0＝0． cos α＝cos(2k π＋0)＝cos 0＝1． tan α＝tan(2k π＋0)＝tan 0＝0.(4)当α的终边在x 轴负半轴时，P (－1，0)， 则α＝2k π＋π，k ∈Z ．sin α＝sin(2k π＋π)＝sin π＝0． cos α＝cos(2k π＋π)＝cos π＝－1． tan α＝tan(2k π＋π)＝tan π＝0．[自我检测]1．若α是第二象限角，则点P (sin α，cos α)在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 答案：D2．α的终边与单位圆交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，35，则sin α＝______，cos α ＝________．答案：35 －45授课提示：对应学生用书第8页探究一 任意角的三角函数的定义及应用[教材P 12例1、例2]方法步骤：(1)确定终边上点的坐标．(2)应用定义求值． 角度1 已知角α终边上一点的坐标求三角函数值[例1] (1)已知θ终边上一点P (x ，3)(x ≠0)，且cos θ＝1010x ，求sin θ，tan θ.[解析] 由题意知r ＝|OP |＝x 2＋9， 由三角函数定义得cos θ＝x r＝xx 2＋9.又∵cos θ＝1010x ，∴x x 2＋9＝1010x . ∵x ≠0，∴x ＝±1. 当x ＝1时，P (1，3)，此时sin θ＝312＋32＝31010， tan θ＝31＝3.当x ＝－1时，P (－1，3)，此时sin θ＝3（－1）2＋32＝31010， tan θ＝3－1＝－3.(2)已知角α的终边过点P (－3a ，4a )(a ≠0)，求2sin α＋cos α的值．[解析] r ＝（－3a ）2＋（4a ）2＝5|a |， ①若a >0，则r ＝5a ，角α在第二象限．sin α＝y r ＝4a 5a ＝45，cos α＝x r ＝－3a 5a ＝－35，所以2sin α＋cos α＝85－35＝1.②若a <0，则r ＝－5a ，角α在第四象限，sin α＝4a －5a ＝－45，cos α＝－3a －5a ＝35.所以2sin α＋cos α＝－85＋35＝－1.角度2 已知角α终边所在直线求三角函数值[例2] 已知角α的终边在直线y ＝－3x 上，求10sin α＋3cos α的值．[解析] 由题意知，cos α≠0.设角α的终边上任一点为P (k ，－3k )(k ≠0)， 则x ＝k ，y ＝－3k ，r ＝k 2＋（－3k ）2＝10|k |.(1)当k >0时，r ＝10k ，α是第四象限角，sin α＝y r ＝－3k 10k ＝－31010，1cos α＝r x ＝10k k＝10，∴10sin α＋3cos α＝10×⎝ ⎛⎭⎪⎫－31010＋310＝－310＋310＝0.(2)当k <0时，r ＝－10k ，α是第二象限角， sin α＝y r ＝－3k －10k ＝31010，。
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1．2.2 同角三角函数的基本关系预习课本P18～20，思考并完成以下问题 (1)同角三角函数的基本关系式有哪两种？(2)已知sin α，cos α和tan α其中的一个值，如何求其余两个值？[新知初探]同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1. (2)商数关系：tan_α＝sin αcos α⎝ ⎛⎭⎪⎫α≠k π＋π2，k ∈Z . 这就是说，同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切⎝ ⎛⎭⎪⎫α≠k π＋π2，k ∈Z .[点睛] 同角三角函数的基本关系式揭示了“同角不同名”的三角函数的运算规律，这里“同角”有两层含义：一是“角相同”，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)．关系式成立与角的表达形式无关，如sin 23α＋cos 23α＝1.[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对任意角α，sin2α3＋cos 2α3＝1都成立．( ) (2)对任意角α，sin 2αcos 2α＝tan 2α都成立．( )(3)若cos α＝0，则sin α＝1.( ) 答案：(1)√ (2)× (3)×2．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin α＝35，则cos α＝( )A ．45 B ．－45C ．－17D ．35答案：A3．已知cos α＝12，且α是第四象限角，则sin α＝( )A ．±12B ．±32C ．－32D ．－12答案：C4．已知sin α＝513，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则tan α＝________. 答案：－512[典例] (1)已知sin α＝13，并且α是第二象限角，求cos α和tan α.(2)已知sin α＋2cos α＝0，求2sin αcos α－cos 2α的值．[解] (1)cos 2α＝1－sin 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12132＝⎝ ⎛⎭⎪⎫5132，又α是第二象限角，所以cos α<0，cos α＝－513，tan α＝sin αcos α＝－125.(2)由sin α＋2cos α＝0，得tan α＝－2.所以2sin αcos α－cos 2α＝2sin αcos α－cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2tan α－1tan 2α＋1＝－4－14＋1＝－1.sin θ(或cos θ)常用以下方式求解的范围不确定且涉及开方时，常因三角函数值的符号问题而对角(1)已知cos α＝－45，求sin α和tan α.(2)已知tan α＝2，试求2sin α－3cos αcos α＋sin α的值．解：(1)sin 2α＝1－cos 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－452＝⎝ ⎛⎭⎪⎫352，因为cos α＝－45<0，所以α是第二或第三象限角，当α是第二象限角时，sin α＝35，tan α＝sin αcos α＝－34；当α是第三象限角时，sin α＝－35，tan α＝sin αcos α＝34.(2)由tan α＝2可得sin α＝2cos α， 故2sin α－3cos αcos α＋sin α＝4cos α－3cos αcos α＋2cos α＝cos α3cos α＝13.[典例] (1)(2)若角α是第二象限角，化简：tan α 1sin 2α－1. [解] (1)原式＝sin 2130°－2sin 130°cos 130°＋cos 2130°sin 130°＋cos 2130° ＝|sin 130°－cos 130°|sin 130°＋|cos 130°|＝sin 130°－cos 130°sin 130°－cos 130°＝1.(2)原式＝tan α1－sin 2αsin 2α＝tan α cos 2αsin 2α＝sin αcos α×|cos α||sin α|，因为α是第二象限角，所以sin α>0，cos α<0，所以原式＝sin αcos α×|cos α||sin α|＝sin αcos α×－cos αsin α＝－1.化简：(1)sin α1－cos α·tan α－sin αtan α＋sin α；(2)－tan θ2θ＋⎝⎛⎭⎪⎫1＋1tan θ·sin 2θ. 解：(1)原式＝sin α1－cos α·1－cos α1＋cos α＝sin α1－cos α· －cos α21－cos 2α＝sin α1－cos α·1－cos α|sin α|＝±1.(2)原式＝cos θ－sin θcos θ·cos 2θ＋sin θ＋cos θsin θ·sin 2θ＝cos 2θ－sin θcos θ＋sin 2θ＋sin θcos θ ＝cos 2θ＋sin 2θ＝1.[典例] 求证：tan α－sin α＝tan αsin α.[证明] 法一：左边＝tan α·sin αα＋sin αtan 2α－sin 2α＝tan α·sin αα＋sin αtan 2α－tan 2α·cos 2α＝tan α·sin αα＋sin αtan 2α－cos 2α＝tan α·sin αα＋sin αtan 2α·sin 2α＝tan α＋sin αtan α·sin α＝右边，∴原等式成立． 法二：右边＝tan 2α－sin 2αα－sin αα·sin α＝tan 2α－tan 2αcos 2αα－sin ααsin α＝tan 2α－cos 2αα－sin ααsin α＝tan 2αsin 2αα－sin ααsin α＝tan αsin αtan α－sin α＝左边，∴原等式成立．法三：左边＝tan α·sin αtan α－tan αcos α＝sin α1－cos α，右边＝tan α＋tan αcos αtan αsin α＝1＋cos αsin α＝1－cos 2αsin α－cos α＝sin 2αsin α－cos α＝sin α1－cos α， ∴左边＝右边，原等式成立．法四：∵tan α·sin αtan α－sin α－tan α＋sin αtan α·sin α＝tan 2α·sin 2α－2α－sin 2αtan αsin αα－sin α＝tan 2α·sin 2α－tan 2α＋sin 2αtan αsin αα－sin α ＝tan 2α2α－＋sin 2αtan α·sin αα－sin α ＝－tan 2αcos 2α＋sin 2αtan α·sin αα－sin α ＝－sin 2α＋sin 2αtan αsin αα－sin α＝0， ∴tan αsin αtan α－sin α＝tan α＋sin αtan α·sin α.法五：∵(tan α－sin α)(tan α＋sin α) ＝tan 2α－sin 2α ＝tan 2α－tan 2α·cos 2α ＝tan 2α(1－cos 2α) ＝tan 2α·sin 2α， ∴tan αsin αtan α－sin α＝tan α＋sin αtan αsin α.[活学活用]求证：2(1－sin α)(1＋cos α)＝(1－sin α＋cos α)2. 证明：法一：左边＝2－2sin α＋2cos α－2sin αcos α ＝1＋sin 2α＋cos 2α－2sin αcos α＋2(cos α－sin α) ＝1＋2(cos α－sin α)＋(cos α－sin α)2＝(1－sin α＋cos α)2＝右边．法二：∵左边＝2－2sin α＋2cos α－2sin αcos α，右边＝1＋sin 2α＋cos 2α－2sin α＋2cos α－2sin αcos α＝2－2sin α＋2cos α－2sin αcos α，∴左边＝右边.[典例] 已知sin θ＋cos θ＝2(0<θ<π)，求sin θcos θ和sin θ－cos θ的值．[解] 因为sin θ＋cos θ＝12(0<θ<π)，所以(sin θ＋cos θ)2＝14，即sin 2θ＋2sin θcos θ＋cos 2θ＝14，所以sin θcos θ＝－38.由上知，θ为第二象限的角， 所以sin θ－cos θ>0， 所以sin θ－cos θ ＝ θ＋cos θ2－4sin θcos θ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－38＝72.1．已知0<θ<π，且sin θ－cos θ＝15，求sin θ＋cos θ，tan θ的值．解：∵sin θ－cos θ＝15，∴(sin θ－cos θ)2＝125.解得sin θcos θ＝1225.∵0<θ<π，且sin θ·cos θ＝1225>0，∴sin θ>0，cos θ>0. ∴sin θ＋cos θ＝θ＋cos θ2＝1＋2sin θcos θ＝1＋2425＝75. 由⎩⎪⎨⎪⎧sin θ－cos θ＝15，sin θ＋cos θ＝75，得⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝45，cos θ＝35，∴tan θ＝sin θcos θ＝43.2．若0<θ<π，sin θcos θ＝－60169，求sin θ－cos θ.解：∵0<θ<π，sin θcos θ＝－60169<0，∴sin θ>0，cos θ<0.∴sin θ－cos θ>0. ∴sin θ－cos θ＝θ－cos θ2＝1－2sin θcos θ＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－60169＝289169＝1713.层级一 学业水平达标1．(福建高考)若sin α＝－513，且α为第四象限角，则tan α的值等于( )A ．125B ．－125C ．512D ．－512解析：选D 因为sin α＝－513，且α为第四象限角，所以cos α＝1213，所以tan α＝－512，故选D.2．若α为第三象限角，则cos α1－sin 2α＋2sin α1－cos 2α的值为( )A ．3B ．－3C ．1D ．－1解析：选B ∵α为第三象限角， ∴原式＝cos α－cos α＋2sin α－sin α＝－3.3．下列四个结论中可能成立的是( ) A ．sin α＝12且cos α＝12B ．sin α＝0且cos α＝－1C ．tan α＝1且cos α＝－1D ．α是第二象限角时，tan α＝－sin αcos α解析：选B 根据同角三角函数的基本关系进行验证，因为当α＝π时，sin α＝0且cos α＝－1，故B 成立，而A 、C 、D 都不成立．4．已知sin α＝55，则sin 4α－cos 4α的值为( ) A ．－35B ．－15C ．15D ．35解析：选A sin 4α－cos 4α＝(sin 2α＋cos 2α)(sin 2α－cos 2α)＝sin 2α－(1－sin 2α)＝2sin 2α－1＝2×⎝⎛⎭⎪⎫552－1＝－35.5．若α是三角形的最大内角，且sin α－cos α＝35，则三角形是( )A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形解析：选B 将sin α－cos α＝35两边平方，得1－2sin αcos α＝925，即2sin αcosα＝1625.又α是三角形的内角，∴sin α>0，cos α>0，∴α为锐角．6．若sin θ＝－22，tan θ>0，则cos θ＝________. 解析：由已知得θ是第三象限角， 所以cos θ＝－1－sin 2θ＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－222＝－22. 答案：－227．化简：1－2sin 40°cos 40°＝________. 解析：原式＝sin 240°＋cos 240°－2sin 40°cos 40° ＝°－cos 40°2＝|cos 40°－sin 40°|＝cos 40°－sin 40°. 答案：cos 40°－sin 40°8．已知tan α＝－12，则1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α＝________. 解析：1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α＝α＋cos α2sin 2α－cos 2α＝sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝－12＋1－12－1＝12－32＝－13. 答案：－139．化简：(1)cos 36°－1－cos 236°1－2sin 36°cos 36°；(2)sin θ－cos θtan θ－1.解：(1)原式＝cos 36°－sin 236°sin 236°＋cos 236°－2sin 36°cos 36°＝cos 36°－sin 36°－2＝cos 36°－sin 36°|cos 36°－sin 36°|＝cos 36°－sin 36°cos 36°－sin 36°＝1.(2)原式＝sin θ－cos θsin θcos θ－1＝cos θθ－cos θsin θ－cos θ＝cos θ.10．已知sin α＋cos α＝33，求tan α＋1tan α及sin α－cos α的值． 解：将sin α＋cos α＝33两边平方，得sin αcos α＝－13. ∴tan α＋1tan α＝1sin αcos α＝－3， (sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1＋23＝53，∴sin α－cos α＝±153.层级二 应试能力达标1．已知tan α＝12，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，则sin α的值是( ) A ．－55B ．55C ．255D ．－255解析：选A ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，∴sin α<0. 由tan α＝sin αcos α＝12，sin 2α＋cos 2α＝1，得sin α＝－55. 2．化简⎝ ⎛⎭⎪⎫1sin α＋1tan α(1－cos α)的结果是( ) A ．sin α B ．cos α C ．1＋sin αD ．1＋cos α解析：选 A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1sin α＋1tan α(1－cos α)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1sin α＋cos αsin α·(1－cos α)＝＋cos αsin α·(1－cos α)＝1－cos 2αsin α＝sin 2αsin α＝sin α. 3．已知θ是第三象限角，且sin 4θ＋cos 4θ＝59，则sin θcos θ的值为( ) A ．23 B ．－23C ．13D ．－13解析：选A 由sin 4θ＋cos 4θ＝59，得 (sin 2θ＋cos 2θ)2－2sin 2θcos 2θ＝59. ∴sin 2θcos 2θ＝29.∵θ是第三象限角， ∴sin θ＜0，cos θ＜0，∴sin θcos θ＝23. 4．已知sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝2，则sin θcos θ的值是( ) A ．34B ．±310C ．310D ．－310解析：选C 由条件得sin θ＋cos θ＝2sin θ－2cos θ，即3cos θ＝sin θ，tan θ＝3，∴sin θcos θ＝sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝tan θ1＋tan 2θ＝31＋32＝310. 5．已知sin αcos α＝18，且π<α<5π4，则cos α－sin α＝________. 解析：因为π<α<5π4，所以cos α<0，sin α<0.利用三角函数线，知cos α<sin α，所以cos α－sin α<0，所以cos α－sin α＝－α－sin α2＝－1－2×18＝－32. 答案：－326．若sin α＋cos α＝1，则sin n α＋cos n α(n ∈Z)的值为________．解析：∵sin α＋cos α＝1，∴(sin α＋cos α)2＝1，又sin 2α＋cos 2α＝1，∴sin αcos α＝0，∴sin α＝0或cos α＝0，当sin α＝0时，cos α＝1，此时有sin n α＋cos n α＝1；当cos α＝0时，sin α＝1，也有sin n α＋cos n α＝1，∴sin n α＋cos nα＝1.答案：17．已知tan 2α1＋2tan α＝13，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π. (1)求tan α的值；(2)求sin α＋2cos α5cos α－sin α的值． 解：(1)由tan 2α1＋2tan α＝13，得3tan 2α－2tan α－1＝0， 即(3tan α＋1)(tan α－1)＝0，解得tan α＝－13或tan α＝1. 因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以tan α<0，所以tan α＝－13. (2)由(1)，得tan α＝－13，所以sin α＋2cos α5cos α－sin α＝tan α＋25－tan α＝－13＋25－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝516.8．求证：cos α1＋sin α－sin α1＋cos α＝α－sin α1＋sin α＋cos α. 证明：左边＝cos α＋cos α－sin α＋sinα＋sin α＋cosα ＝cos 2α－sin 2α＋cos α－sin α1＋sin α＋cos α＋sin αcos α＝α－sin αα＋sin α＋12α＋sin α2＋sin α＋cos α＋12 ＝α－sin αα＋sin α＋α＋cos α＋2＝α－sin α1＋sin α＋cos α＝右边．所以原等式成立．精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。