河南专升本高数第五章Ppt
《高等数学》课件第5章
观察图5-2所示的图形发现：阴影部分的面积是两个曲 边梯形面积之差. 计算任意曲线所围成的平面图形面积的关 键在于计算曲边梯形的面积. 下面将研究曲边梯形的面积.
的近似值为
n
A f (i )xi
i1
(4) 取极限.当分割无限加细，即小区间的最大长度
max{ x1, x2 ,, xn}
趋近于零(λ→0)时，小矩形的面积之和趋近于曲边梯形面
积，即
n
A lim 0
i 1
f (i )xi
2. 引例5-2 已知物体直线运动的速度v=v(t)是时间t的连续 函数，且v(t)≥0，计算物体在时间段［T1，T2］内所经过的路 程s. 由于速度v=v(t)连续， 在解题思路上与求曲边梯形的面积 类似：
差一个常数，所以
x
f (t)dt F(x) C (a≤x≤b) a
在上式中，令x=a，解得C=－F(a)， 再代入上式得
x
a f (t)dt F(x) F(a)
再令x=b，并把积分变量t换成x，便得到
b
a f (x)dx F(b) F(a)
为方便表示，通常记 F(b)－F(a) [F(x)]ba
第5章 定积分及其应用
5.1 定积分的概念与性质 5.2 微积分基本定理 5.3 定积分的计算方法 5.4 广义积分 5.5 定积分的几何应用 5.6 定积分的物理应用 本章小结
5.1 定积分的概念与性质
5.1.1
引例5-1(校园草坪面积问题) 某学校校园草坪平面图形尺 寸如图5-1所示(单位：m)，其中曲线段部分是抛物线型，试 计算草坪的面积.
专升本高数第一轮--第五章--概率论初步
解 设A {一级品}, B {合格品} 80 (1) P( B) 0.8 100 (2)因凡是一级品必是合格品, 所以AB A, 则P( AB) P( A)
0.3, 故
P( AB) 0.3 P( A | B) 0.375 P( B) 0.8
例3 假设我国人口中能活75岁的概率为0.8,活到100岁以上的 概率为0.2.有一个已经活到75岁的老人,问能活100岁以上的概率.
定理1 若事件A与B相互独立, 则事件 A与B, A与B, A与B相互独立.
例3 某企业招工时需要进行三项考核,这三项考核的通过率 分别为0.6,0.8,0.85,求招工时的淘汰率.
解 设A, B, C分别表示通过一, 二, 三项考核, 它们是相互独立的, 事件
ABC表示被录取, 而 ABC表示被淘汰, 则有
概率并无影响,即
P( B | A) P( B)
一般地, 事件A, B满足条件 P( AB) P( A) P( B) 那么称事件A与事件B是相互独立的事件 . A与事件B相互独立, 则有 P( A | B) P( A), P( B | A) P( B)
可以把两个事件的相互独立怀推广到有限个事件的情形,即如果 事件A1 , A2 ,, An相互独立, 则有P( A1 A2 An ) P( A1 ) P( A2 ) P( An ) (!反之不成立)
第五章 概率论初步
第一节 随机事件
一、随机现象与随机试验 在自然界和生活中发生的种种现象,按其发生的可能性来划 分,大体上可分为两类:一类称为必然现象,即在一定条件下某种结 果必然会发生;另一类称为随机现象,即在一定条件下,某种结果可 能会生,也可能不发生.
例1 用手向上抛一块石子,必然下落. 例2 纯水在一个大气压下,100C时必然沸腾. 例3 向桌面上抛掷一枚硬币,可能性(有国徽的一面)向上,也
专升本(高数—)第五章多元函数微积分学PPT课件
第七节 二重积分的应用
*
2
考试点津：
• 本讲出题在18分—26分之间，本讲内容是 一元函数微分内容的延伸，一般在选择题、 填空题、解答题中出现。
• 本讲重点：
（1）二元函数的偏导数和全微分。
（2）二元函数的有关极值问题及应用。 （3）会计算二重积分
• 建议重点复习前几年考过的试题，把握考 试重心和知识点，重在模仿解题。
成人高考高数一辅导
•
College of Agriculture & Biological Engineering
*
1
第五章 多元函数微积分学 (11年考了22分）
第一节 多元函数、极限和连续 第二节 偏导数与全微分 第三节 二元函数的极值 第四节 二重积分的概念和性质 第五节 直角坐标系下二重积分的计算 第六节 极坐标系下二重积分的计算
可 以 证 明 ，一 元 函 数 关 于 极 限 的 运 算 法 则 仍 适 用 于 多 元 函 数 ，即 多 元 连 续 函 数 的 和 、差 、积 为 连 续 函 数 ，在 分 母 不 为 零 处 ，连 续 函 数 的 商 也 是 连 续 函 数 ，多 元 函 数 的 复 合 函 数 也 是 连 续 函 数 .由 此 还 可 得 出 如 下 结 论 ： 一 切 多 元 初等函数在其定义区域内是连续的.
（4）最大值和最小值定理
在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上至少取得它的最大 值和最小值各一次．
（5）介值定理
在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在D上取得两个不同的
函数值，则它在D上取得介于这两值之间的任何值至少一次．分
（一） 偏导数
1. 偏导数的定义
定义 设函数 z f (x, y)在点(x0, y0 )的某一邻域内有 定义，当 y固定在 y0，而 x在 x0处有增量x时，相应地函 数有增量 f (x0 x, y0 ) f (x0, y0 )，如果极限
高等数学基础第五章
(2)因为 (ex C) ex ，故ex C 是e x 的所有原函数，于是有 exdx ex C
(1) 0dx C
(2) 1dx dx x C
(3)
x dx 1 x1 C ( 1) 1
xdx
1 cos2
x
dx
tan
x
C
(10)
csc2
x
1 sin2
x
dx
cot
x
C
(11) sec x tan xdx sec x C
(12) csc x cot xdx csc x C
(13)
1 dx arcsin x C 1 x2
(14)
线有无限多条，它们中的任何一条，都可以通过将积分曲线 y F(x)沿y 轴
方向平行移动而得到，所以一个函数f (x) 的不定积分的图形就是其全部积 分曲线所构成的曲线族(如图5-1)。
例2 已知某曲线在任意点处的切线斜率为2x，且曲线过点(0,1)，求该曲线的
1
1 x2
dx arctan x C
二、不定积分的性质和几何意义
1. 不定积分的性质
性质1 ( f (x)dx) f (x) 或 d f (x)dx f (x)dx 性质2 F(x)dx F(x) C 或 dF(x) F(x) C
性质3 （f (x) g(x)）dx f (x)dx g(x)dx
f xdx F x C
其中 称为积分号，f (x) 称为被积函数，f xdx 称为被积表达式，x 称为积分
第五章 积分 5-1 定积分的概念与基本性质
b
b
|
a
f (x)d
x|
|
a
f (x)|d
x.
证明 由于 | f (x) | f (x) | f (x) |, 应用性质 3
b
b
b
a | f (x)|d x | a f (x) d x a | f (x)|d x,
43
4
1
1
1
2
7 1 sin 2
1 sin 2 x 1 sin 2
, 3
3
4
所以
21
3
4
4 7
d
x
3
4
dx 1 sin 2
x
3
4
2 3
d
x
.
18
《高等数学》课件 (第五章第一节)
推论 2 设 f R [a, b], 且在 [a, b] 上 f (x) 0, 则
b
a f ( x) d x 0.
性质 2 (积分对区间的可加性) 设 a c b, f R [a, b], 则 f R [a, c], f R [c, b],
且
b
c
b
f (x) d x f (x) d x f (x) d x.
a
a
c
一般, 当上式中三个积分都存在时, 无论 a, b, c 之间具有怎样 的大小关系, 等式都成立.
当 f (x) R [a, b] 时, 可在积分的定义中, 对 [a, b] 作特殊的分
划, 并取特殊的 i [x i 1, x i] , 计算和式. 如等分区间 [a, b], 并取 点 i 为 [x i 1, x i] 的右端点 x i 或左端点 x i 1 或中点.
高等数学(侯风波)第5章课件PPT
得
x2 f ( x) (1 x)dx x C . 2
思考题
中，为何要求 k 0 ？ 2．思考下列问题： (1) 若 f x d x 2 x sin x C , 则 f x 为何？ (2) 若 f ( x ) 的一个原函数为 cos x , 则 f x d x
例 4
解
dx 求 ． 2 x 1 ln x
dx x 1 ln 2 x 1 ln 2 x x arcsin ln x C . dx 1
求 cos 2 x sin xdx .
1 1 ln x
2
d ln x
例 5
解
sin x dx ． x sin x x dx 2 sin xd x 2 cos x C ．
(7) sin xdx cos x C ，
1 dx sec 2 xdx tan x C ， (8) cos 2 x 1 (9) 2 dx csc 2 xdx cot x C ， sin x
高等数学第五章第一节定积分的概念及性质课件.ppt
二、定积分定义
a x0 x1 x2 xn b ,
任一种分法 任取
总趋于确定的极限 I ,则称此极限 I 为函数
上的定积分,
记作
b
a
f
( x) dx
即
b a
f
(
x)
dx
lim
0
n
i1
f
(
i
)
xi
o
a x1
此时称 f ( x ) 在 [ a , b ] 上可积 .
在区间
i
x xi1xi b
证: f (i ) xi 0
i1
b
n
a
f
( x) d
x
lim
0 i1
f
(i ) xi
0
推论1. 若在 [a , b] 上
则
推论2.
(a b)
证: f (x) f (x) f (x)
b
b
b
a f (x) dx a f (x) dx a f (x) dx
即
b
b
a f (x) dx a f (x) dx
使
因此定理成立.
说明:
• 积分中值定理对
• 可把
b
a f (x) dx f ( )
ba
因
y f (x) y
oa bx
故它是有限个数的平均值概念的推广.
例4. 计算从 0 秒到 T 秒这段时间内自由落体的平均 速度.
解: 已知自由落体速度为
v gt
故所求平均速度
1 1 g T 2 gT
第一节
第五章
定积分的概念及性质
一、定积分问题举例 二、 定积分的定义 三、 定积分的性质
高等数学专升本教材河南
高等数学专升本教材河南高等数学是一门对于专升本考生来说非常重要且难度较大的学科。
而针对河南地区的专升本考试要求，编写一本适合河南地区考生的高等数学教材是非常必要的。
本教材旨在全面、系统地介绍高等数学知识，并强调与河南地区考试体系相适应的考点。
下面将详细介绍该教材的内容架构。
第一章：数学分析导论在这一章，我们将为学生介绍数学分析的基本概念和基础知识，包括函数、极限、连续等。
通过深入浅出的讲解，帮助学生建立起对数学分析的初步认识和理解。
同时，我们将重点关注河南地区考试出现频率较高的知识点，为考生提供有针对性的学习指导。
第二章：微分学微分学是数学分析的重要组成部分，也是专升本考试的重点内容。
本章将详细介绍微分学的基本概念、求导法则、微分中值定理等内容，并结合典型例题进行讲解和拓展，使学生能够灵活运用微分学知识解决实际问题。
第三章：积分学积分学是连续学习微分学的重要环节，也是专升本考试中常考的知识点。
本章将从定积分、不定积分和曲线积分等方面对积分学进行详细讲解，并提供大量的练习题，帮助学生巩固所学知识。
第四章：微分方程微分方程是高等数学的一大难点，也是专升本考试的重要内容。
本章将介绍常微分方程的基本概念和解法，并通过典型例题演示如何应用微分方程解决实际问题。
第五章：多元函数微分学多元函数微分学是高等数学中的重要内容之一，对于提升学生的数学建模能力具有重要作用。
在本章中，我们将重点介绍多元函数的偏导数、全微分、方向导数和梯度等内容，并配以实例进行讲解。
第六章：重积分学重积分学作为高等数学的一部分，对于河南地区的专升本考试来说并非必考内容，但在数学相关领域的学习和应用中具有广泛的应用价值。
在本章中，我们将介绍二重积分和三重积分的概念、计算方法和应用。
第七章：无穷级数无穷级数是高等数学中的重要内容之一，也是专升本考试的必考内容之一。
在本章中，我们将详细介绍级数的收敛性、级数求和以及级数的应用等内容，并通过实例演示如何判断级数的收敛性。
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河南专升本高数第五章Ppt
简介
本文档是关于河南专升本高数第五章Ppt的介绍。
本章主要涉及数列和数学归纳法的相关内容，通过Ppt的方式展示课程的重点和知识点，帮助学生更好地理解和掌握高数的基础知识。
数列
数列是离散数域上的函数，是按一定的顺序排列成的数的集合。
数列在高等数学和实际问题中具有很广泛的应用。
本章主要介绍等差数列、等比数列和数列的求和。
等差数列
等差数列是指一个数列中，任意两个相邻的项之间的差相等的数列。
数列的通项公式为：a a=a1+(a−1)a。
其中，a a表示数列的第a项，a1表示数列的第一项，a表示公差。
等比数列
等比数列是指一个数列中，任意两个相邻的项之间的比相等的数列。
数列的通项公式为：$a_n = a_1 \\cdot q^{n-1}$。
其中，a a表示数列的第a项，a1表示数列的第一项，a表示公比。
数列的求和
数列的求和是计算数列中所有项的和。
对于等差数列，求
和公式为：$S_n = \\frac{n}{2}(a_1 + a_n)$。
对于等比数列，
求和公式为：$S_n = \\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$。
其中，a a表示数列的前a项和。
数学归纳法
数学归纳法是一种用于证明数学命题的常用方法。
它分为
基础步骤和归纳步骤。
基础步骤是证明命题在某个特定情况下成立；归纳步骤是证明如果命题在某个特定情况下成立，那么它在下一个情况下也成立。
通过将基础步骤与归纳步骤相结合，可以证明命题对于所有情况都成立。
数学归纳法在数学证明中应用广泛，特别适用于证明与整
数有关的命题。
在高数中，数学归纳法常用于证明等式、不等式和恒等式等。
Ppt展示
针对本章的内容，我们准备了一份Ppt，以图文并茂的方式展示了重点知识点和解题方法。
该Ppt包括以下内容：
1.数列概念和分类的介绍
2.等差数列的公式推导和应用
3.等比数列的公式推导和应用
4.数列的求和公式
5.数学归纳法的基本原理和应用示例
通过Ppt的演示，学生可以更加直观地理解数列和数学归
纳法的概念，掌握重要的公式和方法，并且通过解题示例的演示，加深对于高数知识的理解和应用。
总结
本文档主要介绍了河南专升本高数第五章Ppt的内容，包
括数列和数学归纳法的知识点。
数列部分主要涵盖了等差数列、等比数列和数列的求和，而数学归纳法则是一种重要的证明方法。
通过Ppt的演示，希望能够帮助学生更好地掌握数列和
数学归纳法的基本概念，培养解题的思维能力，为高数学习打下坚实的基础。