余弦定理导学案
余弦定理(导学案)
1.1.2余弦定理（导学案）一、学习目标1、掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。
2、利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题，二、本节重点余弦定理的发现和证明过程及其基本应用.三、本节难点勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用四、知识储备1、回忆：正弦定理的文字语言？ 符号语言？基本应用？2、练习：在△ABC 中，已知10c =，A =45︒，C =30︒，解此三角形. →变式3、思考：已知两边及夹角，如何求出此角的对边？五、通过预习掌握的知识点余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。
即 2222cos a b c bc A =+-2222cos b a c ac B =+-2222cos c a b ab C =+-思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？从余弦定理，又可得到以下推论：222cos 2+-=b c a A bc 222cos 2+-=a c b B ac222cos 2+-=b a c C ba 思考：勾股定理与余弦定理之间的关系？六、知识运用1在△ABC 中，若a 2＞b 2+c 2，则△ABC 为；若a 2=b 2+c 2，则△ABC 为 ；若a 2＜b 2+c 2且b 2＜a 2+c 2且c 2＜a 2+b 2，则△ABC 为2在△ABC 中，sin A =2cos B sin C ，则三角形为3在△ABC 中，BC =3，AB =2，且)16(52sin sin +=B C ，A = 七、重点概念总结余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例； 余弦定理的应用范围：①已知三边求三角；②已知两边及它们的夹角，求第三边 判断三角形的类型.由三角形的什么知识可以判别？ → 求最大角余弦，由符号进行判断结论：活用余弦定理，得到：=+⇔⇔∆>+⇔⇔∆<+⇔⇔222222222是直角是直角三角形是钝角是钝角三角形是锐角a b c A ABC a b c A ABC a b c A ∆是锐角三角形ABC。
《余弦定理》导学案
余弦定理导学案1教学目标依据课程标准,结合学生的认知水平和年龄特点,确定本节课的教学目标如下:1.1知识与技能目标:能推导余弦定理及其推论,能运用余弦定理解已知“边,角,边”和“边,边,边”两类三角形。
1.2过程与方法目标:在探究学习的过程中,认识到余弦定理可以解决某些与测量和几何计算有关的实际问题,帮助学生提高运用有关知识解决实际问题的能力。
1.3情感与态度目标:培养学生的探索精神和创新意识;在运用余弦定理的过程中,让学生逐步养成实事求是,扎实严谨的科学态度,学习用数学的思维方式解决问题,认识世界;通过本节的运用实践,体会数学的科学价值,应用价值.2学情分析评论本课之前,学生已经学习了三角函数、向量基本知识有关内容,对于三角形中的边角关系有了较进一步的认识。
在此基础上利用向量方法探求余弦定理,学生已有一定的学习基础和学习兴趣。
总体上学生应用数学知识的意识不强,创造力较弱,看待与分析问题不深入,知识的系统性不完善,使得学生在余弦定理推导方法的探求上有一定的难度,在发掘出余弦定理的结构特征、表现形式的数学美时,能够激发学生热爱数学的思想感情;从具体问题中抽象出数学的本质,应用方程的思想去审视,解决问题是学生学习的一大难点。
3重点难点评论本节课的教学重点是:余弦定理的证明过程和定理的简单应用。
突出重点方法:“抓三线、突重点”,即(一)知识技能线:问题情境→公式推导→公式运用;(二)过程与方法线:特殊到一般、猜想归纳→构造直角三角形等→转化、方程思想;(三)能力线:观察能力→数学思想解决问题能力→灵活运用能力及严谨态度.本节课的教学难点是:利用向量的数量积证余弦定理的思路如何产生。
突破难点手段:“抓两点,破难点”,即一抓学生情感和思维的兴奋点,激发他们的兴趣,鼓励学生大胆猜想、积极探索,及时地给以鼓励,使他们知难而进;二抓知识选择的切入点,从学生原有的认知水平和所需的知识特点入手,教师在学生主体下给予适当的提示和指导.4教学过程4.1第一学时4.1.1教学活动活动1【导入】创设情境评论【PPT演示】某隧道施工队为了开凿一条山地隧道,需要测算隧道通过这座山的长度。
《余弦定理》教学设计、导学案、同步练习
《6.4.3 余弦定理、正弦定理》教学设计第一课时余弦定理【教材分析】本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第二册》（人教A版）第六章《平面向量及其应用》，本节课主要学习余弦定理及利用余弦定理的应用。
本节课在证明了余弦定理及其推论以后,教科书从余弦定理与勾股定理的比较中,提出了一个考问题“勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系,余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系,如何看这两个定理之间的关系?”并进而指出,“从余弦定理以及余弦函数的性质可知,如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么第三边所对的角是直角;如果小于第三边的平方,那么第三边所对的角是钝角;如果大于第三边的平方那么第三边所对的角是锐角。
由上可知,余弦定理是勾股定理的推广”,还要启发引导学生注意余弦定理的各种变形式并总结余弦定理的适用题型的特点，在解题时正确选用余弦定理达到求解，求证目的启发学生在证明余弦定理时能与向量数量积的知识产生联系，在应用向量知识的同时注意使学生体会三角函数、正弦定理、向量数量积等多处知识之间的联系。
【教学目标与核心素养】【教学重点】：余弦定理的发现和证明过程及其基本应用；【教学难点】：利用向量的数量积推导余弦定理的思想方法及利用余弦定理求解三角形的思路。
【教学过程】【答案】。
相同起点，尾尾相连，指向被减向量。
2.向量的数量积【答案】 3.证明三角形全等的方法有哪些？ 【答案】ASA ，AAS ，SAS ，SSS 。
二、探索新知探究1.在三角形ABC 中，三个角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，怎样用a ，b 和C 表示c ？【解析】，所以。
同理可证：余弦定理：三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即应用：已知两边和一个夹角，求第三边．思考1：余弦定理指出了三角形的三条边与其中的一个角之间的关系，应用余弦定理，我们可以解决已知三角形的三边确定三角形的角的问题，怎么确定呢？由余弦定理变形得BA OB OA =-θcos ||||b a b a =⋅→→→→→→→→→-====b a c c AB b CA a CB 那么如图，设,,,Cab b a ba b b a a b a b a c c c cos 22222-+=⋅-⋅+⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⋅=→→→→→→→→→→→→→C ab b a c cos 2222-+=Bac c a b A bc c b a cos 2cos 2222222-+=-+=Cab b a c B ac c a b A bc c b a cos 2cos 2cos 2222222222-+=-+=-+=bcac b A 2cos 222-+=所以，例2.在中，已知a =7，b =8，锐角C 满足，求B 。
余弦定理(二)(优秀经典导学案)
1.1.2余弦定理（二） 教学目标1．知识与技能:掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。
2. 过程与方法:通过引导学生分析，解答三个典型例子，使学生学会综合运用正、余弦定理，三角函数公式及三角形有关性质求解三角形问题。
3.情态与价值：通过正、余弦定理，在解三角形问题时沟通了三角形的有关性质和三角函数的关系，反映了事物之间的必然联系及一定条件下相互转化的可能，从而从本质上反映了事物之间的内在联系。
[复习引入] 余弦定理及基本作用①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边2222cos a b c bc A =+- 2222cos b a c ac B =+- 2222cos c a b ab C=+-②已知三角形的三条边就可以求出其它角。
222cos 2+-=b c a A bc 222cos 2+-=a c b B ac 222cos 2+-=b a c C ba练习]在∆ABC 中，若222a b c bc =++，求角A思考。
解三角形问题可以分为几种类型？分别怎样求解的？求解三角形一定要知道一边吗？[探索研究]例1．在∆ABC 中，已知下列条件解三角形（1） 30=A ，10=a ，20=b （2） 30=A ，10=a ，6=b （3）30=A ，10=a ，15=b （4） 120=A ，10=a ，5=b （5） 120=A ，10=a ，15=b[随堂练习1]（1）在∆ABC 中，已知80a =，100b =，045A ∠=，试判断此三角形的解的情况。
（2）在∆ABC 中，若1a =，12c =，040C ∠=，则符合题意的b 的值有_____个。
（3）在∆ABC 中，a xcm =，2b cm =，045B ∠=，如果利用正弦定理解三角形有两解，求x 的取值范围。
例2．在∆ABC 中，已知7a =，5b =，3c =，判断∆ABC 的类型。
余弦定理导学案
1.重点：掌握余弦定理及其推论.难点：掌握正、余弦定理的综合应用.2.易错点：能应用余弦定理判断三角形的形状.【自主学习】一、余弦定理1.三角形中任何一边的_____等于________________的和______这两边与它们的______的余弦的积的_______．即a2＝____________________，b2＝_____________________，c2＝_____________________.2．应用余弦定理我们可以解决两类解三角形问题．(1)已知三边，求_______．(2)已知______和它们的_______，求第三边和其他两个角．二、余弦定理的变形1.余弦定理的变形cos A＝________________；cos B＝________________；cos C＝_________________.2．利用余弦定理的变形判定角在△ABC中，c2＝a2＋b2⇔C为________；c2>a2＋b2⇔C为______；c2<a2＋b2⇔C为_______．【合作探究】例1.在△ABC中，已知b＝3，c＝33，B ＝30°，求角A，角C和边a. 对边分别为a，b，c，若a2＝b2＋c2，则sin2A＝sin2B＋sin2C成立吗？反之说法正确吗？为什么？探究2在△ABC中，若c2＝a2＋b2，则C＝π2成立吗？反之若C＝π2，则c2＝a2＋b2成立吗？为什么？例2.在△ABC中，若(a－c·cos B)·sin B ＝(b－c·cos A)·sin A，判断△ABC的形状．【课堂练习】1．已知a，b，c是△ABC的三边长，若满足等式(a＋b－c)·(a＋b＋c)＝ab，则角C的大小为()A．60°B．90°C．120°D．150°2.在△ABC中，若a＝2b cos C，则△ABC的形状为．【题后反思】沧州市颐和中学高一数学导学案2016—2017学年第二学期必修五第__2__号。
余弦定理导学案
§1.1.2.《余弦定理》导学案【学习目标】1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法；2.会运用余弦定理解决两类基本的三角形问题；【学习重点】余弦定理的发现和证明过程及其基本运用；【学习难点】利用向量的数量积证余弦定理的思路；一、复习回顾：1.正弦定理： ；2.正弦定理在解三角形当中能解决的两类问题： ；二、知识探索：问题1：在ABC ∆中，已知b CA a CB ==,,CB 与CA 的夹角为C ∠，求边C 。
能用正弦定理求吗？为什么？探究1：对上述问题，我们需要引入余弦定理来进行求解了，容易想到向量的 与向量夹角的余弦有关，并且边长可以用向量的 来进行表示，因此接下来用向量的方法来探讨上述问题。
将问题转化为如下的向量问题：如图，在ABC ∆中,若已知向量b CA a CB ==,,并且它们的夹角为C ∠，求AB 。
由向量减法的三角形法可以得： AB = 22AB CB CA ∴=- ===即2c = 同理还可以得到：2a = 2b = 归纳可得余弦定理的内容如下：1.余弦定理： ； ； ； 请大家用文字来描述一下余弦定理： ； 从上面三个等式可以看出，若已知三角形的两边及其夹角，可以求出第三边。
若已知的是三角形的三边，又该如何求解三角形的三个内角呢？易想到对上面三个式子进行变形得：2.余弦定理的变形： ； ； ；三、知识运用：类型一：已知两边及其夹角解三角形例1.在△ABC 中，已知AB=10km ，BC=4km ，∠B=︒120，求 A,C 两点间的距离。
A B C a b c变1：在ABC ∆中，已知 60,34,32===B c a ，求b 和角A 。
类型二：已知三边解三角形例2、在△ABC 中，已知13,2,6+===c b a, 解三角形。
变2：已知ABC ∆的三边分别为7，2,1，求这个三角形的最大内角，并判断这个三角形的形状。
变3：已知两边及一边的对角时，我们知道可用正弦定理来解三角形，想一想能不能用余弦定理来解这个三角形？如：在ABC ∆中，已知b=4,c=15 ,C=60°求边a.思考：1、变式2中若将条件改为三边的比值为1:2:7 ，该如何求解？ 2、在A B C ∆中，已知cc b A 22cos 2+=（a,b,c 分别为角A,B,C 的对边），判断ABC ∆的形状。
余弦定理导学案
高一（下）数学必修5 编号：SX-16-066《余弦定理》导学案小组：姓名：【学习目标】1. 掌握余弦定理的内容；2. 掌握余弦定理的证明方法；3. 会运用余弦定理解斜三角形的两类基本问题．【知识链接】1、正弦定理公式内容：2、可以解决两类有关三角形的问题：①______________________________________________②______________________________________________ 【学习过程】参考课本P5证明问题Cabbac cos2222-+=,请尝试证明Abccba cos2222-+=问题1、在△ABC中，已知边cb,和角A，请用cb,和角A表示边a同理=2b_____________________________（此式对任意三角形都成立吗？）综上可得余弦定理内容：如果已知三边求三个角的余弦，我们得到余弦定理的推论为：问题2、当角A 或B 或C 为直角时，此时余弦定理形式是怎样的？此时你发现余弦定理和勾股定理有何关系？问题3、通过余弦定理判断三角形的角如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是如果一个三角形两边的平方和大于第三边的平方，那么第三边所对的角是如果一个三角形两边的平方和小于第三边的平方，那么第三边所对的角是例1、在△ABC 中，已知 45,26,32=+==B c a ，求b 及A.例2、在△ABC 中，已知13,2,6+===c b a ，求角A 、B 、C 。
例3、在△ABC 中，已知222c b a +>，那么△ABC 是 【 】A 、钝角三角形B 、直角三角形C 、锐角三角形D 、不能确定【课堂小结】1、余弦定理及其推论的内容是什么？2、余弦定理可以解决三角形中的哪两类问题？① ② 【当堂检测】1．6,22,2===c b a ，则=A cos ，=B cos ；=C cos .2. △ABC 中， 2,7,3===c b a ，求B ，并判断△ABC 的形状。
余弦定理导学案
余弦定理导学案余弦定理导学案高二年级数学组知能目标解读1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握余弦定理，理解用数量积推导余弦定理的过程，并体会向量在解决三角形的度量问题时的作用.?2.了解余弦定理的几种变形公式及形式.?3.会从方程的角度来理解余弦定理的作用及适用范围，并会用余弦定理解决“已知三边求三角形的三角”及“已知两边及其夹角求三角形中其他的边和角”等问题.?4.能熟练应用余弦定理解三角形以及现实生活中的实际问题.重点难点点拨重点：余弦定理的证明及其应用.?难点：处理三角形问题恰当地选择正弦定理或余弦定理.学习方法指导一、余弦定理?1.余弦定理：在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，那么有如下结论：a2=b2+c2-2bccosA,b2=a2+c2-2accosB,c2=a2+b2-2abcos C.?即三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.这一结论叫做余弦定理，它揭示了任意三角形边角之间的客观规律.也是解三角形的重要工具.? 注意：（1）在余弦定理的每一个等式中含有四个量，利用方程的思想，可以知三求一.?（2）余弦定理也为求三角形的有关量（如面积，外接圆，内切圆等）提供了工具，它可以用来判定三角形的形状，证明三角形中的有关等式，在一定程度上，它比正弦定理的应用更加广泛.?2.关于公式的变形：将余弦定理稍加变形，可以得到另外的形式，我们称为余弦定理的推论.掌握这些表达形式，可以帮助我们深入理解和灵活应用余弦定理.?A= ，cosB= ，cosC= .?由上述变形，结合余弦函数的性质，可知道：如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角，如果小于第三边的平方，那么第三边所对的角为钝角，如果大于第三边的平方，那么第三边所对的角为锐角.从这一点说，余弦定理可以看作勾股定理的推广，而勾股定理则是余弦定理的特例.?二、余弦定理的证明?教材中给出了用向量的数量积证明余弦定理的方法，是平面向量知识在解三角形中的应用.另外，对余弦定理的证明，还可以应用解析法、几何法等方法证明.?证明：方法1：（解析法）如图所示，以A为原点，△ABC的边AB所在直线为x轴，建立直角坐标系.?则A（0,0）,C(bcosA,bsinA),B(c,0),?由两点间的距离公式得BC2=（bcosA-c）2+(bsinA-0) 2,?即a2=b2+c2-2bccosA.?同理可证b2=a2+c2-2accosB,?c2=a2+b2-2ab方法2：（几何法）如图.当△ABC为锐角三角形时，过C作CD⊥AB于D，则CD=bsinA,? AD=bcosA,BD=AB-AD=c-bcosA.?在Rt△BCD中，BC2=CD2+BD2,即a2=b2sin2A+(c-bcosA) 2.所以a2=b2+c2-2bccosA.?同理可证b2=a2+c2-2accosB,c2=a2+b2-2abcosC.?如图，当△A BC为钝角三角形时，过C作CD垂直于AB的延长线，垂足为D，则AD=bcosA,CD=bsinA.?BD=AD-AB=bcosA-c.?在Rt△BCD中 ,BC2=CD2+BD2,即a2=b2sin2A+（bcosA-c）2.?所以a2=b2+c2-2bccosA.?同理可证：b2=a2+c2-2accosB,c2=a2+b2-2ab三、余弦定理的应用?余弦定理主要适用以下两种题型:?（1）已知三边求三角，用余弦定理，有解时只有一解；?（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他的角，用余弦定理，必有一解.注意：?在应用余弦定理求三角形的边长时，容易出现增解，原因是余弦定理中涉及的是边长的平方，求得结果常有两解，因此，解题时需要特别注意三角形三边长度应满足的基本条件.知能自主梳理1.余弦定理（1）语言叙述：?三角形任何一边的平方等于减去的积的.?（2）公式表达:?a2= ;?b2= ;?c2= .?(3)变形:?A= ;?B= ;?.?2.余弦定理及其变形的应用?应用余弦定理及其变形可解决两类解三角形的问题，一类是已知两边及其解三角形，另一类是已知解三角形.［答案］ 1.(1)其他两边的平方和这两边与它们夹角的余弦两倍(2) b2+c2-2bccosAa2+c2-2accosB a2+b2-2abcosC (3)2.夹角三边?思路方法技巧命题方向已知三边解三角形［例1］在△ABC中，已知a=7,b=3,c=5，求最大角和? ［分析］在三角形中，大边对大角，所以a边所对角最大.? ［解析］∵a＞c＞b,∴A为最大角,?由余弦定理得， cosA= = ＝，?又∵0°＜A＜180°,?∴A=120°，∴sinA=sin120°= .?由正弦定理＝得，??∴最大角A为120°，sinC= .?［说明］（1）求sinC也可用下面方法求解：?，∴C为锐角.?＝ .?(2)在解三角形时，有时既可用余弦定理，也可用正弦定理.变式应用1在△ABC中，已知(b+c)：(c+a)：(a+b)=4：5：6，求△ABC的最大内角.?［解析］设b+c=4k,c+a=5k,a+b=6k(k＞0).?则a+b+c=7.5k,解得a=3.5k,b=2?∴a是最大边，即角A是△ABC的最大角.?由余弦定理，得cosA= =- ,?∵0°＜A＜180°,∴A=120°，即最大角为120°.命题方向已知两边及一角解三角形［例2］△ABC中，已知b∠B=30°,解三角形.［分析］由题目可知以下信息：?①已知两边和其中一边的对角.?②求另外的两角和另一边.?解答本题可先由正弦定理求出角C,然后再求其他的边和角，也可由余弦定理列出关于边长a的方程，求出边a,再由正弦定理求角A，角C.［解析］解法一：由余弦定理b2=a2+c2-2accosB,?得32=a2+(3 )2-2a×3 ×cos30°,?∴a2-9a+18=0,得a=3或6.?当a=3时，∠A=30°,∠C=120°.?当a=6时，由正弦定理sinA= = =1.?∴∠A=90°,∴∠C=60°.?解法二：由bc,∠B=30°,bcsin30°=3 × = 知本题有两解.?由正弦定理?∴∠C=60°或120°，?当∠C=60°时，∠A=90°,?由勾股定理a= = =6.?当∠C=120°时，∠A=30°，△ABC为等腰三角形，?∴a=3.?［说明］知两边和一角解三角形时有两种方法：?（1）利用余弦定理列出关于第三边的等量关系建立方程，运用解方程的方法求出此边长.?(2)直接用正弦定理，先求角再求边.?用方法（2）时要注意解的情况，用方法（1）就避免了取舍解的麻烦.?变式应用2在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，且cosA= ,若a=4,b+c=6,且bc,求b、c的值.?［解析］余弦定理得?A= = ，?∴ = ,?又b+c=6,a∴bc=8,?b=2b2又bc,∴b=2,c=4.?命题方向判断三角形的形状［例3］△ABC中，已知(a+b+c)(a+b-c)=3ab,且2cosAsinB=sinC，确定△ABC的形状.? ［分析］由于已知条件等式中既含有边的关系，又含有角的关系，因此在判断三角形的形状时，可考虑将边统一成角或将角统一成边.?［解析］解法一：利用角的关系来判断.?∵A+B+C=180°,∴(A+B).?又∵2cosAsinB=sinC,?∴2cosAsinB=sinAcosB+cosAsinB,?∴sin(A-B)=0.?∵A与B均为△ABC的内角，∴A=B.?又∵(a+b+c)(a+b-c)=3ab,?∴(a+b) 2-c2=3ab,a2+b2-c2+2ab=3ab,根据余弦定理，上式可化为2abcosC+2ab=3ab,?解得cosC= ,∴C=60°.?故△ABC为等边三角形.?解法二：利用边的关系来确定.?由正弦定理，得 = .?由2cosAsinB=sinC,得?A= = .?又∵cosA= ,∴ = ,?即c2=b2+c2-a2,∴a=b.又∵(a+b+c)(a+b-c)=3ab,?∴(a+b) 2-c2=3ab,∴4b2-c2=3b2,?∴b=c,∴a=b=c.?因此△ABC为等边三角形.?［说明］判断三角形的形状主要有两种思路：其一是利用正、余弦定理将已知条件转化为边的关系，通过代数变换（一般是因式分解）得到边的关系，最终判断出该三角形的形状；其二是利用正、余弦定理将已知条件转化为角的关系，通过三角恒等变换得到角的关系，最终判断该三角形的形状.在实际应用中应针对具体的题目，灵活选用解决问题的方法.变式应用3△ABC中，AB＝5,BC=6,AC=8,则△ABC的形状是( )?A.锐角三角形B.直角三角形?C.钝角三角形D.非钝角三角形?［答案］C?［解析］利用余弦定理判断最大角的余弦值是大于0、等于0还是小于0，即可对其形状作出判断.?因为cosB= =- 0,所以B为钝角，即△ABC是钝角三角形.探索延拓创新命题方向利用余弦定理确定范围问题［例4］设2a+1,a,2a-1为钝角三角形的三边，求实数a的取值范围.?［分析］一边大于两边差而小于两边和是任一个三角形三边都成立的条件.若是在锐角或钝角三角形中，三边的制约条件还要更强.若△ABC为锐角三角形，则有a2＜b2+c2,b2＜a2+c2,c2＜a2+b2;若△ABC为钝角三角形，最大边为a,则一定有a2＞b2+c2,这些都是可以从余弦定理中直接推导的.?［解析］2a+1,a,2a-1是三角形的三边,?2a+1＞0∴a＞0?2a-1＞0，解得a＞ ,此时2a+1最大.?∴要使2a+1,a,2a-1表示三角形的三边，还需a+(2a-1)＞2a+1,解得a＞2.?设最长边2a+1所对的角为θ,则cosθ= = ＜0,?解得＜a＜8,∴a的取值范围是2＜a＜8.? ［说明］本题易忽视构成三角形的条件a＞2,而直接应用余弦定理求解，从而使a的范围扩大.变式应用4.已知锐角三角形三边长分别为2，3，x，求x的取值范围.［解析］由三角形三边的关系有3-2＜x＜3+2，即1＜x＜5.?又∵三角形为锐角三角形，由余弦定理可知任一边的平方小于另两边平方和.?x2＜22+32即32＜x2+22x2＜13x2＞55＜x2＜13即x＞0解得＜x＜，?∴x的取值范围为（，）.课堂巩固训练一、选择题?1.在△ABC中，若abc,且c2a2+b2,则△ABC为（）?A.直角三角形B.锐角三角形?C.钝角三角形D.不存在?［答案］B?［解析］∵abc,且c2a2+b2,∴∠C为锐角.又∵∠C为最大角.故选B.2.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，若a，b，c满足b2=ac，且c=2a,则cosB=（）?A. BD.［答案］B?［解析］由b2=ac，又c=2a，由余弦定理，得cosB （2011四川理，6）在△ABC中，sin2A≤sin2B+sin2C-sinBsinC,则A的取值范围是( )A.(0, ］B.［ ,π)?C.(0, ］D.［ ,π)?［答案］C?［解析］本题主要考查正余弦定理，∵sin2A≤sin2B+sin2C-sinB∴由正弦定理得：a2≤b2+c2-bc，即b2+c2-a2≥bc，由余弦定理得：cosA= ≥ = ，∴0A≤ ，故选C.二、填空题?4.已知三角形的两边长分别为4和5，它们的夹角的余弦值是方程2x2+3x-2=0的根，则第三边的长是.［答案］ ?［解析］解2x2+3x-2=0，得x1= 或x2=-2（舍去）.∴夹角的余弦值为，根据余弦定理得第三边长为在△ABC中，a=b+2,b=c+2,又最大角的正弦等于，则三边长为.?［答案］3，5，7?［解析］∵a-b=2,b-c=2，∴abc,?∴最大角为A.sinA= ，若A为锐角，则A=60°，?又CBA,∴A+B+C180°，这显然不可能，∴A为钝角.∴cosA=- ,?设c=x,则b=x+2,a=x+4.?∴ =- ，∴x=3，故三边长为3，5，7.三、解答题?6.在△ABC中，已知b2-bc-2c2=0,且a= ,cosA= ,求△ABC的面积.［解析］∵b2-bc-2c2=0,∴( )2- -2=0,?解得 =2,即b=2c.由余弦定理，得a2=b2+c2-2bccosA,即b2+c2- bc=6,与b=2c联立解得b=4,c=2.∵cosA= ,?∴sinA= = ,?∴S△ABC= bcsinA?课后强化作业一、选择题?1.在△ABC中，bA=30°,则a等于（）?A.5B.4C.3D.10［答案］ A［解析］由余弦定理，得2bccosA=b2+c2-a2,?∴2×5×5 ×cos30°＝52＋（5 ）2-a2,∴a2=25,∴a2.在△ABC中，已知a2=b2+c2+bc,则角A为（）?A. B. C.D. 或［答案］ C［解析］∵a2=b2+c2+bc,?∴cosA= == ,?又∵0Aπ,∴A在△ABC中，若a= +1,b= -1,c= ,则△ABC的最大角的度数为（）?A.60°B.90°C.120°D.150°［答案］C?［解析］显然＞ +1＞ -1,?∴cosC= =- ＝－,∴C=120°△ABC的三内角A、B、C所对边长分别为a，b，c,设向量p=(a+c,b),q=(b-a,c-a).若p∥q,则∠C的大小为 ( )?A. B. C.D. π［答案］B?［解析］∵p=(a+c,b), q=(b-a,c-a)且p∥q，∴(a+c)(c-a)-b(b-a)=0，?即a2+b2-c2=ab,∴?∴在△ABC中，已知2a2=c2+( b+c) 2,则∠A的值为（）?A.30°B.45°C.120°D.135°［答案］ D［解析］由已知得2a2=c2+2b2+c2+2 bc,?∴a2=b2+c2+ bc,∴b2+c2-a2＝- bc,?又b2+c2-a2=2bccosA,∴2bccosA=- bc,∴cosA=- ,∴A=135°（2011重庆理，6）若△ABC的内角A、B、C所对的边a、b、c满足(a+b) 2-c2=4，且C=60°，则ab的值为 ( )?A. B. 8-4 C.1D.［答案］A?［解析］本题主要考查余弦定理的应用.?在△ABC中，C=60°,∴a2+b2-c2=2abcosC=ab,?∴(a+b) 2-c2=a2+b2-c2+2ab=3ab=4,∴ab= ,选A在△ABC中，三边长AB=7,BC=5,AC=6,则等于 ( )?A.19B.-14?C.-18D.-19［答案］ D［解析］在△ABC中AB=7,BC=5,AC=6,?则cosB= = .?又 =｜｜｜｜cos(π-B)?=-｜｜｜｜cosB?＝－7×5× =-在△ABC中，若△ABC的面积S=(a2+b2-c2)，则∠C为（）?A. B. C. D.［答案］ A［解析］由S= (a2+b2-c2),得 absinC=×2abcosC,∴tanC=1,∴二、填空题?9.在△ABC中，b= ,c=2 ,A=45°,那么a的长为.?［答案］［解析］由余弦定理，得a2=b2+c2-2bcosA=+8-2× ×2 × = +8- = = ,所以a0.在△ABC中，AB=3,BC= ,AC=4,则边AC上的高为.?［答案］［解析］如图，cosA= ＝，∴sinA= .?∴.BD=ABsinA在△ABC中，已知BC=8,AC=5,三角形面积为12，则cos2［答案］［解析］由题意得S△ABC= ACBCsinC=12,即×5×8×sinC=12,则sinC= .?∴cos2C=1-2sin2C=1-2×（）22.在△ABC中，B=60°,b2=ac,则三角形的形状为.?［答案］等边三角形?［解析］由余弦定理得b2=a2+c2-ac,?∵b2=ac,?∴a2+c2-2ac=0,∴(a-c) 2=0,?∴a=c.?又∵B=60°,∴A=C=60°.?故△ABC为等边三角形.三、解答题?在△ABC中，A+C=2B,a+c=8,ac=15,求b.［解析］解法一：在△ABC中，由A+C=2B，A+B+C=180°，知B=60°.由a+c=8,ac=15,则a、c是方程x2-8x+15=0的两根.解得a=5,c=3或a由余弦定理，得b2=a2+c2-2accosB=9+25-2×3×5× ＝19.?∴b= .?解法二：在△ABC中，∵A+C=2B,A+B+C=180°，?∴B=60°.?由余弦定理，得b2=a2+c2-2accosB=(a+c)2-2ac-2accosB=82-2×15-2×15× ＝19.?∴b＝(2011大纲文，18)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，asinA+csinC- asinC=bsinB.?(1)求B；?（2）若A=75°,b=2,求a［分析］利用三角形正弦定理，将已知条件asinA+csinC- asinC=bsinB中的角转化为边，再利用余弦定理即可求得B角，然后再利用正弦定理求得a，c的值.?［解析］（1）∵asinA+csinC- asinC=bsinB∴a2+c2- ac=b2?∴a2+c2-b2= ac?∴cosB∴B=45°?(2)由(1)得B=45°?∴C=180°-A-B=180°-75°-45°=60°?由正弦定理∴a?［点评］本题主要考查正、余弦定理的综合应用，考查考生利用所学知识解决问题的能力.解三角形的实质是将几何问题转化为代数问题即方程问题，具体操作过程的关键是正确分析边角的关系，能依据题设条件合理的设计解题程序，进行三角形中边角关系的互化，要抓住两个定理应用的信息；当遇到的式子含角的余弦或是边的二次式，要考虑用余弦定理，若遇到的式子含角的正弦和边的一次式，则大多用正弦定理，若是以上特征不明显，则要考虑两个定理都有可能用在△ABC中，A=120°,b=3,c=5.?(1)求sinBsinC;?(2)求sinB+sinC.?［分析］已知两边及其夹角，由余弦定理可求出第三边a,再由正弦定理求出sinB,sinC.?［解析］（1）∵b=3,c=5,A=120°,?∴由余弦定理，得a2=b2+c2-2bccosA=9+25-2×3×5×（- ）=49.?∴取正值a=7.?由正弦定理，得sinB= = ,?∴sinBsinC= .?(2)由（1）可得sinB+已知三角形的一个角为60°,面积为10 cm2，周长为20 cm，求此三角形各边长.［解析］设三角形的三条边长分别为a,b,c,B=60°,则依题意，得?a+b+c=20?0°=acsin60°=10 ,a+b+c=20,①?∴b2=a2+c2-ac，②?ac=40.③由①式，得b2=［20-(a+c)］2=400+a2+c2+2ac-40(a+c).④?将②代入④，得400+3ac-40(a+c)=0,?再将③代入④，得a+c=13.?a+c=13? a=5? a=8?,得,或ac=40 c=8c=5.∴b=7.?∴该三角形的三边长为。
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学习目标： 1．掌握余弦定理及其推导过程，探索推导的多种方法； 2．能够利用余弦定理解决斜三角形的计算等相关问题 课时安排： 一课时 教学过程 ：
余弦定理 ：
_____________________________________________________________ ____________________________________________________________
【思路探究】
例 2. 在Δ ABC中，已知 a＝7，b=3，c＝5, 求最大角和 sinC 。．
【思路探究】
四、总结提升 ※ 学习小结
五、 课后作业
. 在 △ABC中，已知 (a+b+c)(a+b-c)=3ab
，且 2cosAsinB=sinC, 判断 △ABC的形状。
阅读教材，探索讨论余弦定理及其推导过程 ：（用向量来证明）
[ 问题 ] ：思考：已知两边及夹角，如何解此三角形呢？
已知：在三角形 ABC中， AB=c,AC=b和 A 求 a
角形的问题。
试试 ：
（ 1）△ ABC中， a 3 3 ， c 2 ， B 150o ，求 b ．
（ 2）△ ABC中， a 2 ， b 三、展示点评
ห้องสมุดไป่ตู้
2，c
3 1 ，求 A ．
例 1. 在△ ABC中，已知 a 3 ， b 2 ， B 45o ，求 A,C 和 c ．
1 正弦定理 ：在任一个三角形中，和比相等， 即 ： （R 为△ ABC外接圆半径） 2 正弦定理的应用 ：从理论上正弦定理可解决两类问题： （ 1）．已知，求其它两边和一角； （2）．已知，求另一边的对角，进而可求其它的边和角 （注意解的情况） 3．已知： 在三角形 ABC中 b=8.c=3.A ＝600 能求 a 吗？ （用勾股定理来 证明） 二、自主探究：
即： _________________________________________________ 推论： _______________________________________
[ 问题 ]1. 你还能用其他的方法来推导余弦定理吗？ 2、余弦定理与勾股定理有怎样的关系？
一、复习引入：
3、 观察余弦定理及其推论，我们可以用它们来解决哪类有关三