哈工大集合论习题
第一章 习题
1.写出方程2
210x x ++=的根所构成的集合。 2.下列命题中哪些是真的，哪些为假 3设有n 个集合12,,
,n A A A 且121n A A A A ??
??，试证：
12n A A A ===
4.设{,{}}S φφ=，试求2S
？
5.设S 恰有n 个元素，证明2S
有2n
个元素。 6.设A 、B 是集合，证明:
(\)()\A B B A B B B φ=?=
7.设A 、B 是集合，试证A B A B φ=?=?
8. 设A 、B 、C 是集合，证明：
()()A B C A B C ??=??
9.设A 、B 、C 为集合，证明\()(\)\A B C A B C =
10.设A ，B ，C 为集合，证明： ()\(\)(\)A B C A C B C =
11.设A,B,C 为集合，证明：
()\(\)(\)A B C A C B C =
12.设A,B,C 都是集合，若A B A C =且A B B C =，试证B=C 。
13.设A,B,C 为集合，试证：
(\)\(\)\(\)A B C A B C B =
14.设X Y Z ??，证明\(\)(\)Z Y X X Z Y =
15.下列命题是否成立？ （1）(\)\(\)A B C A B C =
（2）(\)()\A
B C A B C =
（3）\()()\A B C A B B = 16．下列命题哪个为真？ a)对任何集合A,B,C ，若A
B B
C =，则A=C 。
b)设A,B,C 为任何集合，若A B A C =，则B=C 。
c)对任何集合A,B ，
222A B
A B =。 d)对任何集合A,B ，222A B A
B =。
e)对任何集合A,B ，\2
2\2A B
A B =。
f)对任何集合A,B ，2
22A B
A
B
?=?。 17．设R,S,T 是任何三个集合，试证：
（1）()()S T S T S
T ?=?；
（2）()()()R S T R S R T ????； （3）()()()()()R S R T R S
T R S R T ???????；
（4）()()()R
S T R
S R T ??? 18．设A 为任一集，
{}I
B ξξ∈为任一集族（I φ≠），证明：
(
)()
I
I
A B A B ξξξξ∈∈=
19．填空：设A,B 是两个集合。 (a)x A B ∈?__________________； (b)x A
B ∈?__________________；
(c)\x A B ∈?___________________； (d)x A B ∈??___________________；
20．设A ，B ，C 为三个集合，下列集合表达式哪一个等于\()A B C ？
（a ）(\)(\)A B A C ；（b ）()\()A B A C
（c ）(\)(\)A B A C ；（d ）()\()A B A C
（e ）()()A
B A C
21.．设A,B,C 为集合，并且A
B A
C =，则下列断言哪个成立？ （1）B C = （2）A B A C =
（3）C
C
A B A C = （4）C
C
A B A C =〕
22．设A,B,C 为任意集合，化简
()()()()
()()()C C C C
C
C C C C A B C A B C A B C A B C A B C A B C A B C
23．证明：（1）()()C C A B A B A B ?=；（2）
()()()C C
C A B A B A B ?=；
（3）()()()C C
C A B A
B A
B ?=
24．设12,,M M 和12,,
N N 是集合S 的子集的两个序列，对,,1,2,
i j i j ≠=，有
i j N N φ
=。令
1111
,(
),2,3,
n C n n
k k Q M Q M M n -====。试证： 1
()
n
n n i i i N Q N M =??
?。
25．设X 是一个非空集合，1,,1,2,3,
n n n A X A A n +??=试证：n ?，有
1
()
c n m
m m
m n
m n
A A A
A ∞
∞
+===
。
6．设V 是任一集合，证明：,,2V
S T W ?∈有S T W ??当且仅且S T S W ???且
S W ?。
27．设12,,A A 为一集序列，记A 为这样的元素的全体形成的集合：x A ∈当且仅当
在序列12,,
A A 中有无穷多项n A 含有x 。集合A 称为集序列12,,
A A 的上极限，记为
lim n
n A →∞
，即lim n n A A
→∞
=。又记A 为这样的元素全体形成的集合；序列12,,
A A 中只有有限
项不含有这样的元素。称A 为序列12,,
A A 的下极限，并记lim n n A A
→∞
=。证明；
（1）1lim n k
n k n
n A A ∞∞
==→∞
=
；（2）1lim n k
n n k n
A A ∞
∞→∞
===。
28．证明：lim lim n n
n n A A →∞
→∞
?
lim lim n n
n n A A →∞
→∞
?。
29．设{,,},{,,,},{,,}A a b c B e f g h C x y z ===。求2
,,,A B B A A C A B ????。 30．设A,B 为集合，试证：A×B ＝B×A 的充要条件是下列三个条件至少一个成立： （1）A φ=；（2）B φ=；（3）A B =。 31．设A,B,C,D 为任四个集合，证明：
()()()()A B C
D A C B D ?=??
32．设1234,,,E E E E 为任意集合，试证：
1234132124()\()((\))((\))E E E E E E E E E E ??=??
33．设,A X B Y ??，试证：
()()()()C C C C C
A B A B A B A B ?=??? 34．设A,B,C 为集合，证明：
()()()A B C A B A C ??=???
35．设A,B 为集合，下列命题哪些为真？ （1）(,)x y A B x A ∈??∈且y B ∈ （2）(,)x y A B x A ∈??∈或y B ∈
（3）2
22A B
A B ?=?
（4）若A C B C ?=?，则A B =。
（5）若,A C B C C φ?=?≠，则A B =。
36．设A 有m 个元素，B 有n 个元素，则A×B 是多少个序对组成的？A×B 有多少个不同的子集？
37．设A,B 为集合，B φ≠，试证：若A×B ＝B×B ，则A=B 。
38.某班学生中有45％正在学德文，65％正在学法文。问此班中至少有百分之几的学生正同时学德文和法文？
39．求1到250之间不能被2，3，5，7中任一数整除的数的个数。 40．设A,B 是两个有限集，试求22
?
A B
?=
41．马大哈写n 封信，n 个信封，把n 封信放入到n 个信封中，求全部装错的概率是多少？
42．毕业舞会上，小伙子与姑娘跳舞，已知每个小伙子至少与一个姑娘跳过舞，但未能与所有姑娘跳过。同样地，每个姑娘也至少与一个小伙子跳舞，但也未能与所有的小伙子跳过舞。证明：在所有参加舞会的小伙与姑娘中，必可找到两个小伙子和两个姑娘，这两个小伙子中的每一个只与这两个姑娘中的一个跳过舞，而这两个姑娘中的每一个也只与这两个小伙中的一个跳过舞。
第二章 习 题
1.设A ，B 是有穷集，
,A m B n ==
（1）计算B
A
（2）从A 到A 有多少个双射？
2.设X 是一个有穷集合，证明：从X 到X 的部分映射共有
(1)X
X +个。
3..证明：从一个边长为1的等边三角形中任意选5个点，那么这5个点中必有2个点，它们之间的距离至多为1/2，而任意10个点中必有2个点其距离至多是1/3。
4.证明在52个整数中，必有两个整数，使这两个整数之和或差能被100整除。
5.设:f X Y →，,C D Y ?，证明
11(\)()f C D f D --= 6. 设:, A,B X f X Y →?，证明
（1）()()()f A B f A f B = （2）()()
()f A
B f A f B ?
（3）()\()(\)f A f B f A B ?
7.设:,,f X Y A X B Y →??。以下四个小题中，每个小题均有四个命题，这四个命题有且仅有一个正确，请找出正确的那个。
（1）（a ）若()()f x f A ∈，则x 未必在A 中 （b ）若()()f x f A ∈，则x A ∈ （c ）若()()f x f A ∈，则x A ∈
（d ）若()()f x f A ∈，则c x A ∈
（2）（a ）1(())f f B B -= （b ）1(())f f B B -? （c ）1(())f f B B -? （d ）1(())c f f B B -= （3）（a ）1(())f f A A -= （b ）1
(())f f A A -? （c ）
1(())f f A A -? （d ）上面三个均不对 （4）（a ）()f A ≠? （b ）()f B ≠?
（c ）若
1,()y Y f y x -∈∈则 （d ）若1
,()y Y f
y x -∈?则
8.设:,,f X Y A X →?则(())()c
c
f A f A ?成立吗？
9.设X 是一个无穷集合，:f X Y →。证明：存在X 的一个真子集E 使得()f E E =。
10.设:f A B →，证明2B
T ?∈，都有1
(())()f f
T T
f A -=
11..设{,,},{0,1},{2,3},:,()()0X a b c Y Z f X Y f a f b ===→==，
()1;:f c g Y =→Z ，(0)2,(1)3g g ==，试求g f 。
12.设1212345123454321532514σσ????= ? ?????，＝，求11
122112,,,σσσσσσ--。
13.将置换123456789791652348??
??
?分解成对换的乘积。
14.设σ是任一n 次置换，试证：σ与1
σ-的奇偶性相同。
第三章 习 题
1.给出一个既不是自反的又不是反自反的二元关系？
2.是否存在一个同时不满足自反性，对称性，反对称性，传递性和反自反性的二元关系？
3.设R ，S 是X 上的二元关系，下列命题哪些成立： a )若R 与S 是自反的，则,R S R S 分别也是自反的。 b ) 若R 与S 是对称的，则,R S R
S 分别对称的
c ) 若R 与S 是传递的，则R
S 也是传递的
d ) 若R 与S 不是自反的，则R S 也不是自反的
e ) 若R 与S 是反自反的，则,R S R S 也是反自反的
f ) 若R 是自反的，则c
R 也是反自反的。 g ) 若R 与S 是传递的，则R\S 是传递的 答案：真真真假真真假
4.设R 、S 是X 上的二元关系。证明：
（1）11()R R --=；（2）11
1()R
S R S ---=
（3）11
1()R
S R S ---=；（4）若R S ?，则11
R S --?
5.设R 是X 上的二元关系，证明：1
R R -是对称的二元关系。
6.有人说：“若R 是X 上的二元关系，只要R 是对称的和传递的，则R 必是自反的。”他的证明如下：若xRy ，则由R 的对称性便知有yRx 。于是由xRy 和yRx 以及R 的传递性即得xRx 。所以，R 是自反的。他的推论错在什么地方？这个结论是否对呢？
7.“父子“关系的平方是什么关系？
8.设X={1,2,3,4},R={(1,2),(2,2),(3,4)},S={(2,3),(3,1),(4,2)}
试求：
22
,,,,(),()R S S R R S R S R R S R 。 9.设R 与S 为X 上的任两个集合，下列命题哪些为真？ a ）若R,S 都是自反的，则R S 也是自反的。 b ）若R,S 都是对称的，则R S 也是对称的。 c ）若R,S 都是反自反的，则R S 也是反自反的。 d ）若R,S 都是反对称的，则R S 也是反对称的。
e ）若R,S 都是传递的，则R S 也是传递的。
10.设R 1是A 到B ，R 2和R 3是B 到C 的二元关系，则一般情况下
1231213(\)()\()R R R R R R R ≠。但有人声称等号成立，他的证明如下：设123(,)(\)a c R R R ∈，则b X ?∈，使得1(,)a b R ∈且23(,)\b c R R ∈。于是2(,)b c R ∈且3(,)b c R ∈。从而12(,)a c R R ∈且13(,)b c R R ?，所以1213(,)()\()a c R R R R ∈，即1231213(\)()\()R R R R R R R ?。同理可证相反的包含关系成立，故等式成立，这个证
明错在什么地方？
11.设R ，S 是X 上的满足R S S R ?的对称关系，证明R S S R =. 12.设R 为X 上的对称关系，证明：,n
n N R ?∈是对称关系。 13.设123,,,
R R R 是X 上的二元关系的一个无穷序列，则当每个R i 是对称关系时，
1
i Ri
∞
=还是对称的吗？
14.设R 是X 上的二元关系，试证（1）
*******(),(2)(),(3),(4)()()R R R R R R R R R R R R +++++++======。
15.设X ＝（a,b,c,d,e ），R ＝｛（a,b ），（b,c ），（c,d ），（d,e ）｝试求R +
和R *
。 16.设R,S 为X 上的二元关系，试证：（1）()R S R S ++
+?
（2）()R
S R S **
*?
17.举例说明(())s t R 与(())t s R 确定不相等。
18.是否可以定义二元关系的反自反闭包与二元关系的反对称闭包？为什么？ 19.是否存在X （X=n ）上的一个二元关系R 使得2
,,
,n R R R 两两不相等。
20.证明：若R 是对称的，则R ＋
也是对称的。 21.设12,R R 是X 上的二元关系，证明： （1）1212()()()r R R r R r R = （2）1212()()()S R R s R s R = （3）1
212()()()t R R t R t R ?
22.由置换
1234567836581274σ??= ?
??确定了{1,2,,8}X =上的一个关系:,,i j X i j ?∈?当且仅当i 与j 在σ的循环分解式中的同一循环置换中，证明：?是X 上
的等价关系，求/X ?。
23.给出X ＝｛1，2，3，4｝上两个等价关系R 与S ，使得R S 不是等价关系。 24.设X 是一个集合，X n
=，试求： （1）X 上自反二元关系的个数； （2）X 上反自反二元关系的个数； （3）X 上对称二元关系的个数； （4）X 上自反或对称关系的个数；
25.设〔a,b 〕是一个有限区间。令S 是区间〔a,b 〕上的有限划分（注意，这里的划分与等价关系中的划分不同）的集合。〔a,b 〕的一个划分π是形如12,n a x x x b n N
=<<
<=∈的点的集合。在S 上定义二元关系R 如下：12122,,S R πππππ?∈?的每个分点也是1π的分点。证明：R 是S 上的偏序关系。
26.是否存在一个偏序关系≤，使（X ，≤）中有唯一极大元素，但没有最大元素？若有请给出一个具体例子；若没有，请证明之。
27.令S ＝｛1，2，…，12｝，画出偏序集（S,|）的Hass 图，其中“|”是整除关系，它有几个极大（小）元素？列出这些极大（小）元素
集合论与图论 试题A
本试卷满分90分 （06级计算机、信息安全专业、实验学院） 一、判断对错（本题满分10分，每小题各1分） （ 正确画“√”，错误画“×”） 1．对每个集合A ，A A 2}{∈。 （×） 2．对集合Q P ,，若?==Q P Q Q P ,，则P =?。 （√） 3．设,,:X A Y X f ?→若)()(A f x f ∈，则A x ∈。 （×） 4．设,,:Y B Y X f ?→则有B B f f ?-))((1。 （×） 5．若R 是集合X 上的等价关系，则2R 也是集合X 上的等价关系。 （√） 6．若:f X Y →且f 是满射，则只要X 是可数的，那么Y 至多可数的。（√） 7．设G 是有10个顶点的无向图，对于G 中任意两个不邻接的顶点u 和v, 均有9deg deg ≥+v u ，则G 是哈密顿图。 （×） 8．设)(ij a A =是 p 个顶点的无向图G 的邻接矩阵，则对于G 的顶点i v , 有∑==p j ij i a v 1deg 成立。 （√） 9. 设G 是一个),(q p 图，若1-≥p q ，则]/2[)(q p G ≤χ。 （×） 10．图G 和1G 同构当且仅当G 和1G 的顶点和边分别存在一一对应关系。（×）
二.填空(本题40分，每空各2分) 1．设}},{,{φφ=S 则=S 2 }}}{,{}},{{},{,{φφφφφ 。 2．设B A ,是任意集合，若B B A =\，则A 与B 关系为 φ==B A 。 3．设1)(,0)()(,:};3,2{},1,0{},,,{===→===c f b f a f Y X f Z Y c b a X , 3)1(,2)0(,:==→g g Z Y g ,则)()(c f g a f g ，分别为 2，3 。 4．设X 和Y 是集合且X m =，Y n =，若n m ≤，则从X 到Y 的单射的 个数为 !m C m n 。 5．设}2,1{},,,2,1{==B n X ，则从X 到Y 的满射的个数为 22-n 。 6．设)}2,4(),1,3(),3,2{()},4,3(),2,2(),2,1{(},4,3,2,1{===S R X ，则 =)(R S R )}2,3(),4,2(),4,1{( 。 7． 设???? ??=???? ??=5123454321,415235432121σσ，则???? ??=235411234521σσ 。 8. 设)},(),,(),,{(},,,,{a c c b b a R d c b a X ==，则 )},(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,{(b c a c a b c b c a b a c c b b a a R =+ 。 9. 设X 为集合且X n =，则X 上不同的自反或对称的二元关系的个数 为 22222222n n n n n n +--+- 。 10．设}}{},{},,{{},,,,{d c b a A d c b a X ==是X 的一个划分，则由A 确定的 X 上的等价关系为 )},(),,(),,(),,(),,(),,{(d d c c a b b a b b a a 。 11．}10,,2,1{ =S ，在偏序关系“整除”下的极大元为 6，7，8，9，10 。 12．给出一个初等函数)(x f ，使得它是从)1,0(到实数集合R 的一一对应， 这个函数为 x ctg π或-x ctg π或)2/(ππ-x tg 。 13. 设G 是),(p p 连通图，则G 的生成树的个数至多为 p 。
哈工大结构力学题库一章
第一章平面体系的几何组成分析 一判断题 1. 图示体系是几何不变体系。（） 题1图题2图题3图题4图 2. 图示体系为几何可变体系。（） 3. 图示体系是几何不变体系。（） 4. 图示体系是几何不变体系。（） 5. 图示体系是几何不变体系。（） 题5图题6图题19图题20图 6. 图示体系为几何不变有多余约束。（） 7. 几何瞬变体系产生的运动非常微小并很快就转变成几何不变体系，因而可以用作工程结 构。（） 8. 两刚片或三刚片组成几何不变体系的规则中，不仅指明了必需的约束数目，而且指明了 这些约束必需满足的条件。（） 9. 在任意荷载下，仅用静力平衡方程即可确定全不反力和内力的体系是几何不变体系。 （） 10. 计算自由度W小于等于零是体系几何不变的充要条件。( ) 11. 几何可变体系在任何荷载作用下都不能平衡。( ) 12. 三个刚片由三个铰相联的体系一定是静定结构。( ) 13. 有多余约束的体系一定是超静定结构。( ) 14. 有些体系为几何可变体系但却有多余约束存在。（） 15. 平面几何不变体系的三个基本组成规则是可以相互沟通的。（） 16. 三刚片由三个单铰或任意六根链杆两两相联，体系必为几何不变。（） 17. 两刚片用汇交于一点的三根链杆相联，可组成几何不变体系。（） 18. 若体系计算自由度W<0，则它一定是几何可变体系。（） 19. 在图示体系中，去掉其中任意两根支座链杆后，所余下都是几何不变的。（） 20. 图示体系按三刚片法则分析，三铰共线，故为几何瞬变体系。（） 21. 有多余约束的体系一定是几何不变体系。（）
22. 几何不变体系的计算自由度一定等于零。（） 23. 几何瞬变体系的计算自由度一定等于零。（） 24. 图中链杆1和2的交点O可视为虚铰。（） 题24图 二选择题 1. 图示体系为：（） A．几何不变无多余约束 B．几何不变有多余约束 C．几何常变 D．几何瞬变 题1图题2图题3图 2. 图示体系为：（） A．几何不变无多余约束 B．几何不变有多余约束 C．几何常变 D．几何瞬变 3. 图示体系虽有三个多余约束，但为保证其几何不变，哪两根链杆是不能同时去掉的。 A．a和e B. a和b C. a和c D. c和e （）4. 图示体系是（） A．无多余联系的几何不变体系 B．有多余联系的几何不变体系 C．几何可变体系 D．瞬变体系 题4图题5图题6图 5. 欲使图示体系成为无多余约束的几何不变体系，则需在A端加入：（） A．固定铰支座 B．固定支座 C．滑动铰支座 D．定向支座 6. 图示体系为（） A．几何不变无多余约束 B．几何不变有多余约束 C．几何常变 D．几何瞬变 7. 图示体系的几何组成为（） A．几何不变无多余约束 B．几何不变有多余约束 C．瞬变体系 D．可变体系
哈工大结构力学题库七章
第七章 影响线 第七章影响线 判断题 图示梁AB 与A o B o ,其截面C 与C 0弯矩影响线和剪力影响线完全相同。 （X ） 图示梁K 截面的M K 影响线、Q 影响线形状如图a 、b 所示。 (K) (X) 图示梁的M C 影响线、Q C 影响线形状如图a 、b 所示。 lb ) （I 莎） ＜丨井1 图示梁的M C 影响线、M B 影响线形状如图a 、b 所示。 1. 2. 图示结构Q E 影响线的AC 段纵标不为零。（X ） 3. 4. 5. ■
6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 4 上f 甘兀丄 f ■ ) ___ ；_、T ■ ■ (b ) L_十=叼 (O> (X ) 图示结构M B影响线的AB段纵标为零。 图示梁跨中C截面弯矩影响线的物理意义是荷载P=1作用在截面C的弯矩图形。 用静力法作静定结构某量值的影响线与用机动法作该结构同一量值的影响线是不等价的。（X 求某量值影响线方程的方法，与恒载作用下计算该量值的方法在原理上是相同的。 影响线是用于解决活载作用下结构的计算问题，它不能用于恒载作用下的计算。 移动荷载是指大小，指向不变，作用位置不断变化的荷载，所以不是静力荷载。 用静力法作影响线，影响线方程中的变量x代表截面位置的横坐标。（X） 表示单位移动荷载作用下某指定截面的内力变化规律的图形称为内力影响线。 简支梁跨中截面弯矩的影响线与跨中有集中力P时的M图相同。（X） 简支梁跨中C截面剪力影响线在C截面处有突变。 绝对最大弯矩是移动荷载下梁的各截面上最大的弯矩。 静定结构及超静定结构的内力影响线都是由直线组成。 图示结构Q影响线的CD段为斜直线。 (X) (V) (X) (X) (V) (V) (V) 19. 图示结构K断面的剪力影响线如图b所示。（V）
2012年哈工大考研结构力学试题一
填空 ?路基的干湿类型划分为4类，即（干燥，中湿，潮湿，过湿）。 ?路基路面整体结构应有足够的承载能力，体现在（强度）和（刚度）两方面。 ?路基的最小填土高度，一般应保证路基处于（干燥）或（中湿）状态。 ?为避免挖方边坡零星土块下落堆积，保护边沟不致阻塞，可在挖方坡脚处设置（碎落台）。?在重力式挡土墙中，为了减少圬工砌体因硬化收缩和温度变化作用而产生的裂缝，须设置（伸缩缝）。 ?衡量土基压实程度的指标是（干容重）。 ?普通水泥混凝土路面的抗滑标准以（构造深度）为指标表示。 ?对于柔性路面，当采用两层沥青混凝土面层时，为增加层与层间的结合，应在中间设置（粘层）。 ?公路自然区划中二级区划得划分主要以（潮湿系数）为依据。 ?挡土墙按（极限状态设计的分项系数法）进行设计。 ?为防止挡土墙（不均匀沉降）引起强身开裂应设置沉降缝。 ?在排水纵坡陡于10%水头高差大于1米的陡坡地段，可以设置（跌水）和（急流槽）排除。?（跌水）和（急水槽）是地面排水沟渠的两种特殊方式，通常设在都坡处。 ?常用的坡面防护设施有（植物防护）和（工程防护）。 ?路基的典型横断面型式可分为（路堑）（路堤）和（填挖结合）等三种类型。 ?土基回弹模量可以采用（查表法）（现场实测法）室内试验法，换算法等方法获得。?《公路沥青路面设计规范》规定，路面设计以（双轮组单轴轴载100KN）为标准轴载，以（BZZ-100）表示。 ?石灰土中，石灰质量应符合（Ⅲ）级以上标准。 ?一班沥青混合料具有较高的（抗压）强度。 ?水泥混凝土路面以（抗弯拉强度）作为设计控制指标，用（劈裂实验）试验方法确定。?路基的填筑方法可分为（分层平铺），（竖向填筑）。 ?河滩路堤在水位变化时，除了受外力及自重外，还要受到（浮力），（动水压力）作用。?《公路沥青路面设计规范》规定，路面设计应采用（双圆垂直均布荷载）作用下的（多层弹性层状体系）理论，以（设计弯沉值）为路面整体刚度的设计指标。 ?沥青混合料的沥青最佳用量，通常以（马歇尔）试验来确定。 ?重力式挡土墙可能产生的破坏有滑移，倾覆，（不均匀沉陷）和（墙身断裂）等。 ?河滩路堤的稳定性，应假设路堤处于（最不利）的情况进行验算，其破坏一般发生在（最高洪水位）骤然降落的时候。 ?（压入承载板）试验室最常用的研究土基应力，应变状态的方法之一。 ?水在土中不论是呈液态或者汽态移动，均是由（高温处相低温）处，（高含水量处向低含水量）处，（高水位处向低水位）处移动。 ?目前国内外对石灰土强度和稳定性的研究成果人为，石灰加入土中后主要发生以下四个作用，即（离子交换作用），（结晶作用），（火山灰作用），（碳酸化）。 ?沥青路面的强度和稳定性很大程度上取决于（土基）和（基层）的性质。 ?《公路水泥混凝土路面设计规范》规定，产生最大综合疲劳的临界荷位选用板的（纵向边缘中部）。 ?一般沥青混合料均具有较高的（抗压）强度，而（抗剪）和（抗拉）强度较低。 ?水泥混凝土路面的横缝可分为：（缩缝）（胀缝）和（施工缝）三种。 ?按照施工方法，可将沥青路面分为（层铺法）（路拌法）（厂拌法）三种。 ?从路面结构的力学特性和设计方法的相似性出发，可将其分为（柔性路面）（刚性路面）和（半刚性路面）等三种路面结构。 ?力学分析法中，常用的公路路基边坡稳定性分析方法，根据滑动面的形状分为（直线法，圆弧法）。
北大集合论与图论往年考题.pdf
一、用真值表证明德*摩根律（证明其中一条即可）。 二、设A,B,C是集合，试问在什么条件下(A-B)-C=A-(B-C)？给出证明。 三、设A={a,b,c}，问A上有多少种不同的：二元关系？自反关系？对称关系？传递关系？等价关系？偏序关系？良序关系？ 四、用花括号和空集来表示1?2（注意?表示集合的叉乘）. 五、设R是实数集，Q是有理数集，试构造出R-Q与R之间的双射. 1．简单叙述构造的思路； 2．给出双射f：R-Q -> R 或f：R -> R-Q的严格定义。 2008年期末考题： 一、在有向图中，如果存在从顶点u到顶点v的有向通路，则说u可达v；如果顶点u和顶点v互相可达，则说u双向可达v。回答下列问题： 1．顶点集上的可达关系是不是等价关系？为什么？ 2．顶点集上的双向可达关系是不是等价关系？为什么？ 3．对于上述两个关系，如果是等价关系，其等价类的导出子图称为什么？ 二、一棵树有13个顶点，除了3个2度顶点和若干个树叶之外，其余顶点都是5度。 1．求出5度顶点的个数（写出计算过程）； 2．画出所有互不同构的这种树。 三、计算出右图中v1到v4长度为4的通路数（要写出计算过程 的主要步骤），并写出一个最小支配集、一个最大团、一个最小 边覆盖、一个最大匹配。 四、如果一个图中所有顶点度数都为k，则称为k正则图。8阶3 正则简单图一定是平面图吗？一定不是平面图吗？为什么？ 五、证明：如果正则简单图G和补图G都是连通图，则G和G中至少有一个是欧拉图。 六、证明：如果n阶（n≥3）简单图G中，对于任何1≤j
哈工大结构力学题库七篇(I)
第七章影响线 一判断题 1. 图示梁AB与A0B0，其截面C与C0弯矩影响线和剪力影响线完全相同。（X） 题1图题2图 2. 图示结构Q E影响线的AC段纵标不为零。（X） 3. 图示梁K截面的M K影响线、Q K影响线形状如图a、b所示。 4. 图示梁的M C影响线、Q C影响线形状如图a、b所示。 5. 图示梁的M C影响线、M B影响线形状如图a、b所示。 6. 图示结构M B影响线的AB段纵标为零。 7. 图示梁跨中C截面弯矩影响线的物理意义是荷载P=1作用在截面C的弯矩图形。（X） 8. 用静力法作静定结构某量值的影响线与用机动法作该结构同一量值的影响线是不等价 的。（X） 9. 求某量值影响线方程的方法，与恒载作用下计算该量值的方法在原理上是相同的。（√） 10. 影响线是用于解决活载作用下结构的计算问题，它不能用于恒载作用下的计算。（X） 11. 移动荷载是指大小，指向不变，作用位置不断变化的荷载，所以不是静力荷载。（X） 12. 用静力法作影响线，影响线方程中的变量x代表截面位置的横坐标。（X） 13. 表示单位移动荷载作用下某指定截面的内力变化规律的图形称为内力影响线。（√） 14. 简支梁跨中截面弯矩的影响线与跨中有集中力P时的M图相同。（X） 15. 简支梁跨中C截面剪力影响线在C截面处有突变。（√） 16. 绝对最大弯矩是移动荷载下梁的各截面上最大的弯矩。（√） 17. 静定结构及超静定结构的内力影响线都是由直线组成。（X） 18. 图示结构Q C影响线的CD段为斜直线。 19. 图示结构K断面的剪力影响线如图b所示。（√） 题19图 20. 用机动法作得图a所示Q B左结构影响线如图b。 题20图题21图 21. 图示结构a杆的内力影响线如图b所示 22. 荷载处于某一最不利位置时，按梁内各截面得弯矩值竖标画出得图形，称为简支梁的弯
集合论与图论
集合论与图论习题册 软件基础教研室 刘峰 2015.02
第一章 集合及其运算 8P 习题 1. 写出方程2210x x ++=的根所构成的集合。 2.下列命题中哪些是真的，哪些为假 a)对每个集A ，A φ∈； b)对每个集A ，A φ?； c)对每个集A ，{}A A ∈； d)对每个集A ，A A ∈； e)对每个集A ，A A ?； f)对每个集A ，{}A A ?； g)对每个集A ，2A A ∈； h)对每个集A ，2A A ?； i)对每个集A ，{}2A A ?； j)对每个集A ，{}2A A ∈； k)对每个集A ，2A φ∈； l)对每个集A ，2A φ?； m)对每个集A ，{}A A =； n) {}φφ=； o){}φ中没有任何元素； p)若A B ?，则22A B ? q)对任何集A ，{|}A x x A =∈； r)对任何集A ，{|}{|}x x A y y A ∈=∈； s)对任何集A ，{|}y A y x x A ∈?∈∈； t)对任何集A ，{|}{|}x x A A A A ∈≠∈。 答案： 3.设有n 个集合12,,,n A A A 且121n A A A A ???? ，试证：12n A A A === 。 4.设{,{}}S φφ=，试求2S ？ 5.设S 恰有n 个元素，证明2S 有2n 个元素。
16P 习题 6.设A 、B 是集合，证明:(\)()\A B B A B B B φ=?= 。 7.设A 、B 是集合，试证A B A B φ=?=?。 9.设A ，B ，C 为集合，证明：\()(\)\A B C A B C = 。 10.设A ，B ，C 为集合，证明：()\(\)(\)A B C A C B C = 。 11.设A ，B ，C 为集合，证明：()\(\)(\)A B C A C B C = 。 12.设A ，B ，C 都是集合，若A B A C = 且A B B C = ，试证B=C 。 15.下列命题是否成立？说明理由（举例）。 (1)(\)\(\)A B C A B C = ；(2)(\)()\A B C A B C = ； (3)\()()\A B C A B B = 。（答案：都不正确）
《集合论与图论》课堂练习3
《集合论与图论》课堂练习3 学号姓名 一、判断下列命题是否正确，并说明理由。（括号内写“是”或“否”）（40分，每题8分，是非判断4分，证明或反例4分） 1 存在7个结点的自补图。 （否） /*西安交通大学1999*/ 自补图对应的完全图的边数必须是偶数，而7个结点的完全图的边数为21。 n≥的连通图。则G没有割点当且仅当G的剖分也没有割点。 2 设G是顶点数3 （真） 如果G的剖分有割点，则G有割点，矛盾；所以G没有割点，则G的剖分也没有割点。 如果G有割点，则该割点为G的剖分的割点，所以G的剖分有割点，矛盾；所以G的剖分也没有割点则G没有割点。 3 若G是简单连通图，边数为e，结点数为n。若e≥n，则G至少有3棵生成树。 （是） /*复旦大学1998*/ /*只需证明e=n时，命题成立*/ 若e=n-1，因为G是连通的，所以为一棵树；再添加一边时，因为G是简单图，所以图中必存在一个长度大于等于3的回路，则在这个回路上任意删除一条边就得到一棵树。 4 一个有向图D中仅有一个顶点的入度为0，其余顶点的入度均为1，则D是有根树。 （否） 一个自环和孤立点 /*北京大学1991*/ 5 设C是简单连通图G的回路，若删去C中任一边后所得到的路C’为G中的最长路，则C是图G的哈密顿回路。 （是） /*复旦大学1999*/ /*反证法证明*/ 令C的长度为m。若C不是哈密顿回路，则圈外必存在一点u，它与圈上一点v邻接（因为G是连通图）。圈上与v关联的一边为e，则C-e的长度为m-1；而C-e+uv的长度为m；得C-e不是最长路。矛盾。 二、综合题（60分）
1．证明：任何平面图是5-可着色的。 证明：p125-126 2．如果有一群人，其中有k个人彼此认识或者有l个人彼此不认识。我们用r(k, l)表示这群人至少是有几个人的人数，称为Ramsey数。证明：r(3, 3)=6。 证明：6个点v1, v2, v3, v4, v5, v6表示6个人，两人认识时，在对应的两点连一条绿边，否则连一条红边。根据鸽笼原理，与v1相连的5条边中，必有3条同色。不访设v1 v2，v1 v3和v1 v4是3条绿边。如果三角形v2, v3, v4上有一条绿边，则此绿边与v1构成一个绿色三角形，于是有3人彼此认识，否则v2, v3, v4构成红色三角形，有3人彼此不认识。则r(3, 3) 6。5个点构成的完全图中，可以既无绿色三角形也无红色三角形，则r(3, 3)>5。则r(3, 3)=6。 3．如果为一个无向图的每一条边确定一个方向，使得所得到的有向图是强连通的，称该无向图是可定向的。证明：欧拉图和哈密顿图都是可定向。 解：构造性证明，沿欧拉/哈密顿回路。 4．设G为非平凡有向图，V为G的结点集合，若对V的任一非空子集S，G中起始结点在S 中，终止结点在V-S中的有向边至少有k条，则称G是k边连通的。 证明：非平凡有向图是强连通的充要条件为它是一边连通的。 证明： /*中国科学院计算所1999考研*/ /*必要性证明*/ 因为设G为强连通的，假设从S到V-S没有有向边，则S中的任一顶点u到V-S中的任一顶点v均没有有向道路，从而与G为强连通的相矛盾。所以从S到V-S至少有一条有向边，即G为一边连通的。 /*充分性证明*/ 设G为一边连通的，对任意的u, v V, 则{u}到V(G-u)至少有一条边，设为(u, u1)，而{u, u1}到V-{u, u1}至少有一条有向边(u, u2)或(u1, u2)。无论哪种情况都有从u到u2的有向道路，因为G中结点数有限，所以通过如上递归地求解，一定有从u到v的有向道路。所以G为强连通的。 5．证明：任何一个竞赛图是半哈密顿图。 证明： 归纳基础：若竞赛图的顶点数小于4，显然有一条哈密顿有向图。 归纳步骤：假设n个顶点的任一竞赛图是半哈密顿有向图。设G是n+1个顶点的竞赛图，从G中删去顶点v及其关联边，得到有向图G’，由归纳假设，G’有哈密顿有向路(v1,v2,…, v n)，G有3种情况： （1）在G中有一条弧(v,v1)，则有哈密顿有向路(v,v1,v2,…,v n)； （2）在G中没有弧(v,v1)，则必有弧(v1,v)。若存在v i，v i是v1之后第一个碰到并且有弧(v, v i)的顶点，则显然得到一条哈密顿有向路(v1,v2,…,v i-1,v,v i,…v n)； （3）在G中没有弧(v,v i)，而对所有v i，均有弧(v i,v)，i=1,2,…,n，则得一条哈密顿有向路(v1,v2,…,v n,v)。
哈工大年集合论与图论试卷
-- 本试卷满分90分 (计算机科学与技术学院0９级各专业) 一、填空（本题满分１0分,每空各1分) 1.设B A ,为集合,则A B B A = )\(成立的充分必要条件是什么？(A B ?) ２.设}2,1{},,,2,1{==Y n X ,则从X 到Y 的满射的个数为多少?（22-n ) ３．在集合}11,10,9,8,4,3,2{=A 上定义的整除关系“|”是A 上的偏序关系， 则 最大元是什么? ( 无 ） 4．设{,,}A a b c =，给出A 上的一个二元关系,使其同时不满足自反性、反自 反性、对称性、反对称和传递性的二元关系。({(,),(,),(,),(,)}R a a b c c b a c =） ５．设∑为一个有限字母表,∑上所有字(包括空字）之集记为*∑，则*∑是 否是可数集? （ 是 ) ６.含5个顶点、3条边的不同构的无向图个数为多少？ （ ４ ） 7.若G 是一个),(p p 连通图，则G 至少有多少个生成树? （ 3 ） 8. 如图所示图G ,回答下列问题： (１）图G 是否是偶图? ( 不是 ) (2）图G 是否是欧拉图? ( 不是 ） (3)图G 的色数为多少？ ( 4 ) 二、简答下列各题（本题满分40分） 1．设D C B A ,,,为任意集合，判断下列等式是否成立?若成立给出证明，若不 成立举出反例。(6分) (1))()()()(D B C A D C B A ??=? ； （2）()()()()A B C D A C B D ?=??。 解:（1）不成立。例如}{,a c B D A ====φ即可。 （2）成立。(,)x y ?∈()()A B C D ?，有,x A B y C D ∈∈，即 ,,,x A x B y C y D ∈∈∈∈。所以(,),(,)x y A C x y B D ∈?∈?,因此 (,)()()x y A C B D ∈??,从而()()A B C D ??()()A C B D ??。 反之,(,)x y ?∈()()A C B D ??，有,,,x A x B y C y D ∈∈∈∈。即 (,)x y ∈()()A B C D ?，从而()()A C B D ???()()A B C D ?。
集合论与图论SG2017-期中试题-答案(1)
一、（20分）对于任意集合A和B， （1）证明：P(A)?P(B) = P(A?B)；（14分） 对任意的x∈P(A)?P(B)，有x∈P(A)且x∈P(B)。即x?A并且x?B，则x?A?B。所以x∈P(A?B)。故P(A)?P(B)?P(A?B)。（7分）对任意的x∈P(A?B)，有x?A?B，即x?A并且x?B，所以x∈P(A)且x∈P(B)。因此P(A?B)?P(A)?P(B)。（7分）综上所述，P(A)?P(B)=P(A?B) （2）举例说明P(A)?P(B) ≠ P(A?B). （6分） A={1}, B={2}, A?B={1, 2}; P(A)={?, {1}}, P(B)={?, {2}}, P(A)?P(B)= {?, {1}, {2}}, P(A?B)= {?, {1}, {2}, {1, 2}}; 所以P(A)?P(B)≠P(A?B) 二、（20分）设R, S是A上的等价关系且R?S=S?R，证明： R?S是A上的等价关系. 自反性和对称性容易证明，略。（5分） 传递性证明： 对任意a, b, c∈A，如果(a, b)∈R?S, (b, c)∈R?S，要证明(a, c)∈R?S。 因为R?S=S?R，则有(b, c)∈S?R，即存在e, f∈A，使(a, e)∈R，(e, b)∈S，(b, f)∈S，(f, c)∈R。 因为S是传递的，(e, b)∈S，(b, f)∈S，所以(e, f)∈S；因为(a, e)∈R，所以(a, f)∈R?S；R?S是对称的，则(f, a)∈R?S；因为R是对称的，(f, c)∈R，则(c, f)∈R。因为(f, a)∈R?S，则存在g∈A，使得(f, g)∈R，(g, a)∈S；因为R是传递的，
集合论与图论
《集合论与图论》课程示范性教学设计 1 本课程教学方法 （一）教学方法 在这里，仅总结一下我的教学方法，不细展开，因此不涉及专业术语和与专业有关的例子。以下仅是一些指导思想： （1 ）启发式、由浅入深、从直观到抽象。要用些生动的例子帮助学生理解抽象概念的含义，但要做到生动而有趣又不失概念的准确性和推理的严格性，使学生易于接受，又了解直观背景。 （2 ）突出基本思想及方法，强调规律性，提高学生的抽象能力。要从哲学的高度强调概念是第一位的，引导学生思考问题时必须清楚理解所涉及的概念，使问题有一个明确的提法，引导学生掌握从问题到建立数学模型这一抽象过程的方法。 （3 ）利用集合论某些概念和理论与方法总结已学过的知识（如微积分、线性代数）找出本质的规律或主线，使学生认识事物内部的深刻规律。其次，随时指出在后继课如何应用这些知识、在科技论文中将怎样出现这些知识的应用。这不仅提高了学习的积极性，也使学生增强了学习的目的性。 （4 ）只要有可能就要以建立数学模型组织教学，讲习题也不例外。这样，能使学生加深印象—任何时候都要抓住事物的本质与事物之间的联系。 （5 ）鼓励学生多问为什么，为什么会是这样子而不是那个样子。不是教会学生怎样去使用工具、去模仿或复制，而是要教会学生独立思考，发现问题，提出问题和解决问题的思考，否则思维会退化。 （5 ）适当地提出一些未解决的问题。尚无答案的问题是摆在我们及学生面前的有无限价值的东西，因为支持大学的最高准则是探究未知领域。事实上，在每年教此课时，提一些问题确实有学生在思考。 （6 ）注意每个学科（内部）的美。如果某部分很丑或太复杂，人们倾向于认为是不清楚的和暂时的，它没有真正反映客观规律，因为我们相信，越接近终极真理，我们的解释中的不自然的东西就越少。科学是以越来越完美、有力的理论向终极真理发展的。 （二）关于素质教育、培养创新精神的人才的思考 素质教育应该是各类教育的核心，而培养创新人才则是高等教育的任务（见高等教育法，第五条）。在这里讨论这个题目不太合适，因为题太大。其实，在（五）中就本课的特点贯穿了素质教育和培养创新人才的思想。以下只扼要地总结一下。 1 ）教会学生如何进行逻辑推理，如何进行正确地思维，如何在纷繁的事物中抓住主要的联
哈工大结构力学期末试卷.
哈工大 2001 年春季学期 结构力学试卷 (请考生注意:本试卷共5页 一.是非题(将判断结果填入括弧:以O 表示正确,X 表示错误(本大题分4小题,共11分 1 . (本小题 3分 图示结构中DE 杆的轴力F NDE =F P /3。( . 2 . (本小题 4分 用力法解超静定结构时,只能采用多余约束力作为基本未知量。 ( 3 . (本小题 2分 力矩分配中的传递系数等于传递弯矩与分配弯矩之比,它与外因无关。( 4 . (本小题 2分 用位移法解超静定结构时,基本结构超静定次数一定比原结构高。 ( 二.选择题(将选中答案的字母填入括弧内(本大题分5小题,共 21分
1 (本小题6分 图示结构EI=常数,截面A 右侧的弯矩为:( A .2/M ; B .M ; C .0; D. 2/(EI M 。 2. (本小题4分 2 图示桁架下弦承载,下面画出的杆件内力影响线,此杆件是:( A .ch ; B.ci; C.dj; D .cj . 3. (本小题 4分 图a 结构的最后弯矩图为:
A. 图b; B. 图c; C. 图d; D.都不对。( ( a (b (c (d 4. (本小题 4分用图乘法求位移的必要条件之一是: A.单位荷载下的弯矩图为一直线; B.结构可分为等截面直杆段; C.所有杆件EI 为常数且相同; D.结构必须是静定的。 ( 5. (本小题3分 图示梁A 点的竖向位移为(向下为正:( A.F P l 3/(24EI ; B . F P l 3/(!6EI ; C . 5F P l 3/(96EI ; D. 5F P l 3/(48EI . 三(本大题 5分对图示体系进行几何组成分析。
答案08秋季集合论与图论试题A
哈工大 2008 年 秋季学期 题号 一 二 三 四 五 六 总分 分数 班号 姓名 本试卷满分90分 （计算机科学与技术学院07级） 一、填空（本题满分10分，每小题各1分） 1.设B A ,是集合，若B B A =?，则A 等于什么？ （ Φ=A ） 2．设X 为集合，R 为X 上的偏序关系，计算1i i R ∞ =U 等于什么？ （ R ） 3．把置换??? ? ??436987251123456789分解成循环置换的乘积。 （（149）（2367）（58）） 4．什么是无穷集合？ （凡能与自身的一个真子集对等的集称为无穷集合） 5．设T 是一棵树，2p ≥，则p 个顶点的树T 至多有多少个割点？ （p -2 ） 6．设D 是一个有p 个顶点q 条弧的有向图，若D 是连通的，则q 至少是多大？（ p -1 ） 7．设},,2,1{n V Λ=，则以V 为顶点集的无向图共有多少个？ （2/)1(2-p p ） 8．设},,2,1{n V Λ=，则以V 为顶点集的有向图共有多少个？)1(2-p p ）
9．每个有3个支的不连通图，若每个顶点的度均大于或等于2，则该图至少有多少个圈？ （ 3 ） 10．设T 是一个正则二元树，它有0n 个叶子，则T 有多少条弧？（2（0n -1）） 二、判断对错（本题满分10分，每小题各1分） 1.设B A ,是两个集合，则A B ?且A B ∈不可能同时成立。 （ 错 ） 2．在集合}10,,2,1{Λ上可以定义102个二元运算。 （ 错 ） 3． 设:f X Y →，若 是可逆的。 （ 错 ）
4．设是一个集合，则 上的自反和反自反的二元关系个数相同。 （对）5.设∑为一个有限字母表，∑上所有字（包括空字）之集记为*∑。则*∑不是可数集。（错） 6.设G是一个(,) ≥，则G中必有圈。（对） p q图，若q p
集合论与图论期中考试
《集合论与图论》期中考试 （2007年4月30日复旦大学计算机科学与工程系06级） 学号姓名成绩 一、是非判断题 3．非空集合A上不存在二元关系R，使得R既是A上的等价关系，又是A上的偏序关系。（假） 反例：恒等关系。 4．设（A，≤）是偏序集，?≠B?A，若B有上界，则B必有上确界。 （假） 反例：（{2，3，24，36}，/）。 二、综合题 设R是集合A上的二元关系 1）求A上包含R的最小等价关系E的表达式; 2）证明E的最小性; 3）以A={1, 2, 3, 4, 5, 6}, R={(1, 2), (1, 3), (4, 4), (4, 5)}为例验证你的结果. （建议评分：15分，每小题5分） /* 解题分析： 求A上包含R的最小等价关系，就是求R的自反、对称和传递闭包。 因为，所以E的表达式应该是E=tsr(R)=rts(R)，而E=str(R)=rst(R)是不成立的。 最小性结合闭包的定义进行证明。*/ 解： 1）E=tsr(R)=rts(R) 证明： 2）假设P是集合A上包含R的任一等价关系。 因为P是自反的，所以r(R)?P； 因为P是对称的，所以sr(R) ?P； 因为P是传递的，所以tsr(R) ?P； 所以E?P，从而保证了E的最小性。 3) E=tsr(R)=rts(R)=rt({(1, 2), (2, 1), (1, 3), (3, 1), (4, 4), (4, 5), (5, 4)})=r({(1, 2), (2, 1), (1, 3), (3, 1), (2, 3), (3, 2), (4, 5), (5, 4), (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5)})= {(1, 2), (2, 1), (1, 3), (3, 1), (2, 3), (3, 2), (4, 5), (5, 4), (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6,
哈工大结构力学题库七章
哈工大结构力学题库七章 部门： xxx 时间： xxx 整理范文，仅供参考，可下载自行编辑
第七章影响线 一判断题 1. 图示梁AB与A0B0，其截面C与C0弯矩影响线和剪力影响线完全相同。 6. 图示结构MB影响线的AB段纵标为零。 7. 图示梁跨中C截面弯矩影响线的物理意义是荷载P=1作用在截面C的弯矩图形。 18. 图示结构QC影响线的CD段为斜直线。 19. 图示结构K断面的剪力影响线如图b所示。<√） 题19图 20. 用机动法作得图a所示QB左结构影响线如图b。 题20图题21图 21. 图示结构a杆的内力影响线如图b所示 22. 荷载处于某一最不利位置时，按梁内各截面得弯矩值竖标画出 得图形，称为简支梁的弯矩包络图。 北京大学信息科学技术学院期末试卷考试科目：集合论与图论姓名：学号： 考试时间：2018 年 1 月 2 日任课教师: 参考答案 以下为试题和答题纸，共 5 大题。 一、（20分）设n是某个自然数，N是自然数集，回答下列 问题并给出证明： (1) P(n)是否传递集？ 证明：n为传递集，A为传递集当且仅当P(A)为传递集 所以P(n)为传递集 (2) P(N)是否归纳集？ P(N)不是归纳集，N+=N?{N}?P(N)，因为P(N)的任意元素A都是N的子集，所以A的元素都是自然数。因此是有限集，所以P(N)对后继运算不封闭，故P(N)不是归纳集 二、（20分）对于无向图G1=(V1,E1)和G2=(V2,E2)，如果有 函数f:V1→V2满足以下性质：对于任意的u,v∈ V1， (u,v) ∈ E1 ? ( f(u), f(v) ) ∈ E2， 则说f是从G1到G2的同态。把同态看作全体无向图上的二元关系，试回答下列问题并给出证明。 (1) 同态关系是否自反的？ 是，恒等映射 (2) 同态关系是否反自反的？ 不是，实际是自反的 (3) 同态关系是否对称的？ 不是，K1同态到K2，反之不然。 (4) 同态关系是否反对称的？ 不是，K2和K1,2互相同态 (5) 同态关系是否传递的？ 是，由定义可知同态的合成还是同态 (6) 证明：图G可以k-着色当且仅当G可以同态到k个顶点的完全图。（?）设颜色集为{1,2,…,k}，设完全图的顶点集为{u1,u2,…,u k}，设k-着色为g: V→{1,2,…,k}，则同态为f:V→{u1,u2,…,u k}， f(v)=u g(v)，即着g(v)色的同色顶点都对应到完全图同一个点u g(v)上。（?）设完全图的顶点集为{u1,u2,…,u k}，设同态为f:V→{u1,u2,…,u k}，则给f-1(u i)中的顶点都着颜色i。 第六章图的基本概念 P习题 206 1．画出具有4个顶点的所有无向图(同构的只算一个)。 11个 2．画出具有3个顶点的所有有向图(同构的只算一个)。 16个 3．画出具有4个、6个、8个顶点的三次图。 略 4．某次宴会上，许多人互相握手。证明：握过奇数次手的人数为偶数(注意，0是偶数)。 把实际问题转化为图论问题，然后用握手定理的推论。 P习题 209 1．设u与v是图G的两个不同顶点。若u与v间有两条不同的通道(迹)，则G 中是否有圈？ 若u与v间有两条不同的通道，G中无圈 若u与v间有两条不同的迹，G中有圈 2．证明：一个连通的(p，q)图中q≥p-1。 数学归纳法 3．设G是一个（p，q）图，且2/)2 >p - q，则G是连通的。 p )( 1 (- 6．在一个有n个人的宴会上，每个人至少有m个朋友(2≤m≤n)。试证：有不少于m+1个人，使得他们按某种方法坐在一张圆桌旁，每人的左、右均是他的朋友。证明：把实际问题转化为图论问题，就和下面的题一样了。 8．设G是图。证明：若δ(G)≥2，则G包含长至少是δ(G)+1的圈。 这两个题和这个题一样的证明方法。 P习题 216 1．证明：若图G不是连通图，则G c 是连通图。 2．证明：每一个自补图有4n或4n+1个顶点。 P习题 228 1.给出一个10个顶点的非哈密顿图的例子，使得每一对不邻接的顶点u和v，均有：degu+degv≥9。 下图中任意一对不邻接的顶点u和v，均有：degu+degv≥9。 2．试求Kp中不同的哈密顿圈的个数。 (p-1)!/2 4．完全偶图Km，n为哈密顿图的充分必要条件是什么？ 10．证明具有奇数顶点的偶图不是哈密顿图。 离散数学教程 （集合论与图论） 离散数学：计算机科学与技术的数学基础课内容：集合论，图论，组合数学，代数结构，数 理逻辑 集合论:（第1-4章） 组合数学初步:（第5-7章） 图论:（第8-11章） 教师介绍 ?教师：吴永辉博士副教授 ?简历： ?1984-1988 上海科技大学计算机系本科?1988-1991 复旦大学计算机系硕士?1991-2003 华东师范大学计算机系工作?1998-2001 复旦大学计算机系博士?2003-复旦大学计算机系工作 ?答疑E-mail: yhwu@https://www.360docs.net/doc/29288689.html, 《集合论与图论》课件制作软件?Microsoft PowerPoint ?MathType Equation 《集合论与图论》课程大纲?课程性质与目的 ?教学内容与要求 ?使用教材、参考书籍 ?命题说明和题型 课程性质、目的与基本要求 ?课程性质 本课程讲授计算机科学与技术的数学基础 课《离散数学》的部分主要内容：集合论、图 论与组合数学初步，是计算机专业的主干课程 之一。 本课程前行课程为线性代数，数学分析(上)。 ?课程目的 使学生掌握集合论、图论与组合数学初步的基本内容，并对证明的思想和方法深入理 解和体会，初步培养学生的思维过程的数学化。 ?基本要求： ?掌握集合论、组合学和图论的基本概 念，清楚了解引入基本概念的实际背景、各概念间相互关系；掌握基本定理以及有关理论题的证明技巧；掌握解决计数问题的基本方法和技巧；掌握图论中各算法设计的思想、正确性证明以及算法的应用。为进一步学习计算机其他课程打下坚实的基础。 《集合论与图论》课程教学大纲 一、课程基本信息 课程编号：CS31111 课程名称：集合论与图论 英文名称：SET THEORY AND GRAPH THEORY 课程学时：64；讲课学时： 48；实验学时：上机学时：习题学时：16; 课程学分：4.0 开课单位：计算机科学与技术学院 授课对象：计算机大类专业（包括计算机科学与技术、物联网工程、生物信息学、信息安全）、软件工程大类专业 开课学期： 1春 先修课程：工科数学分析、线性代数 二、课程目标 《集合论与图论》是计算机大类/软件工程大类专业的一门专业基础课程。本课程为后继的专业基础课及专业课提供必要的数学工具，为描述离散模型提供数学语言。该课程的设置主要是为了培养学生的抽象思维和逻辑推理能力，提高学生分析问题和解决问题的能力，提高学生的数学修养及计算机科学素质。 要想用计算机解决问题就要为它建立数学模型，即描述研究对象及对象与对象之间的联系，并通过事物之间的联系找出事物的运动规律。集合论与图论为此提供了强有力的描述工具与推理理论。 本课程的目标是通过理论学习，为计算机科学与技术专业的后继课及将来的科学研究提供必要的相关数学知识，提供建立离散系统的数学模型的数学描述工具；使学生正确地理解概念，正确地使用概念进行推理，养成一个好的思维习惯，理解理论与实践的关系；引导学生观察生活、社会和大自然，分析事物间的联系，建立系统的模型，提出和解决其中的复杂工程问题。 课程具体目标如下： 课程目标1：掌握集合论与图论的基本概念、基本原理、基本方法等基本知识，培养形式化、模型化的抽象思维能力，使学生能够利用集合论与图论的概念、理论与方法识别、表达计算相关的复杂工程问题，逐步学会为计算类复杂工程问题建立数学模型； 课程目标2：掌握直接证明法、反证法、数学归纳法、构造法等常用的证明方法，培养机械化、自动化的逻辑推理能力，使学生能够利用集合论与图论的概念、理论与方法并通过文献研究分析复杂工程问题，并能获得有效的结论，理解并逐步设计求解这些问题的算法基本思想； 课程目标3：掌握资料查阅方法，学会对课堂所学理论知识进行扩展，培养自学能力。 课程目标4：能够利用本课所学知识分析工程实际问题或针对某些应用背景探讨所学知识的局北京大学集合论与图论SG2017-期末考试题试题-final-答案
哈工大集合论与图论第六章作业题答案
离散数学教程(集合论与图论)-FudanUniversity
《集合论与图论》课程教学大纲