哈工大集合论习题
哈工大集合论习题课第六章树及割集习题课(学生)
第六章树及割集习题课 1讲堂例题例1 设 T 是一棵树， T 有 3 个度为 3 极点， 1 个 2 度极点，其余均是 1 度极点。
则（ 1）求 T 有几个 1 度极点？（ 2）画出知足上述要求的不一样构的两棵树。
剖析：关于任一棵树 T ，其极点数 p 和边数 q 的关系是：q p 1且pdeg(v i )2q ，依据这些性质简单求解。
i 1解：（1）设该树T的极点数为p，边数为q，并设树T中有x个 1 度极点。
于是pdeg(v i ) 3 3 1 2 x 2q 且 p 3 1 x， q p 1，得x 5 。
i 1（ 2）知足上述要求的两棵不一样构的无向树，如图 1 所示。
图1例 2 设 G 是一棵树且(G ) k ，证明G中起码有k个度为1极点。
证：设T 中有 p 个极点，s个树叶，则 T 中其余 p s 个极点的度数均大于等于 2，且起码有一个极点的度大于等于k 。
由握手定理可得：ps ，有s k 。
2q 2 p 2deg( v i ) 2( p s 1) ki 1所以 T 中起码有 k 个树叶。
习题例1 若无向图G中有p个极点，p 1条边，则G为树。
这个命题正确吗？为何？解：不正确。
K 3与平庸图构成的非连通图中有四个极点三条边，明显它不是树。
例2 设树T中有2n个度为 1 的极点，有3n个度为 2 的极点，有n个度为 3 的极点，则这棵树有多少个极点和多少条边？解：设 T 有 p 个极点， q 条边，则q p 12n 3n n 1 6n 1。
由deg(v) 2q 有： 1 2n 2 3n 3 n 2q 2(6n 1)12n 2 ，解得： n =2。
v V故 q 11, p12 。
例 3 证明恰有两个极点度数为 1 的树必为一条通路。
证：设 T 是一棵拥有两个极点度数为 1 的( p,q)树，则q p 1且p2( p 1) 。
deg(v i ) 2qi 1又 T 除两个极点度数为 1 外，其余极点度均大于等于 2，故p p 22( p 1) ，即deg(v i )2deg(v i )i 1i 1p22) 。
集合论试题
一、 填空 20% （每空 2分）1、 如果有限集合A 有n 个元素，则|2A |= 。
某集合有101个元素，则有 个子集的元素为奇数。
2、设A={<1,2>,<2 , 4 >,<3 , 3 >} , B={<1,3>,<2,4>,<4,2>},则B A ⋃= 。
B A = 。
3、 设|A|=3，则A 上有 个二元关系。
4、 A={1，2，3}上关系R= 时，R 既是对称的又是反对称的。
5、 偏序集><≤R A ,的哈斯图为，则≤R = 。
6、某人有三个儿子，组成集合A={S 1,S 2,S 3}，在A 上的兄弟关系具有 性质。
7、设}1,0{=A ，N 为自然数集，⎩⎨⎧=是偶数。
，是奇数，，x x x f 10)(若A A f →：，则f 是 射的，若A N f →：，则f 是 射的。
二、选择 20% （每小题 2分）1、 集合}}}{,{},{,{ΦΦΦΦ=B 的幂集为（ ）。
A 、}},},{{},{{ΦΦΦΦ；B 、}}}},{,{},{{}}},{,{,{}},{,{}}},{,{{}},{{},{,{B ΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦ；C 、}}}},{,{},{{}}},{,{,{}},{,{}},{,{}},{{},{,{B ΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦ；D 、},}}},{,{},{{}}},{{,{}},{,}{{{B ΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦ，2、下列结果正确的是（ ）。
A 、B A B A =-⋃)(；B 、Φ=-⋂A B A )(；C 、A B B A =⋃-)(；D 、Φ=Φ⋃Φ}{3、下面函数（ B ）是单射而非满射。
A 、12)(,:2-+-=→x x x f R R f ； B 、x x f R Z f ln )(,:=→+； C 、的最大整数表示不大于x x x x f Z R f ][],[)(,:=→；D 、12)(,:+=→x x f R R f 。
哈工大集合与图论习题
集合与图论习题第一章习题．画出具有个顶点地所有无向图(同构地只算一个).．画出具有个顶点地所有有向图(同构地只算一个).．画出具有个、个、个顶点地三次图.．某次宴会上，许多人互相握手.证明：握过奇数次手地人数为偶数(注意，是偶数).．证明：哥尼斯堡七桥问题无解.．设与是图地两个不同顶点.若与间有两条不同地通道(迹)，则中是否有回路？．证明：一个连通地(，)图中≥.．设是一个(，)图，δ()≥[]，试证是连通地.．证明：在一个连通图中，两条最长地路有一个公共地顶点.．在一个有个人地宴会上，每个人至少有个朋友(≤≤).试证：有不少于个人，使得他们按某种方法坐在一张圆桌旁，每人地左、右均是他地朋友.b5E2R。
．一个图是连通地，当且仅当将划分成两个非空子集和时，总有一条联结地一个顶点与地一个顶点地边.．设是图.证明：若δ()≥ ，则包含长至少是δ()地回路.．设是一个(，)图，证明：()≥，则中有回路；()若≥，则包含两个边不重地回路.．证明：若图不是连通图，则是连通图.．设是个(，)图，试证：()δ()·δ()≤[()]([()])，若≡，，( )() δ()·δ()≤[()]·[()]，若≡( )．证明：每一个自补图有或个顶点.．构造一个有个顶点而没有三角形地三次图，其中≥..给出一个个顶点地非哈密顿图地例子，使得每一对不邻接地顶点和，均有≥．试求中不同地哈密顿回路地个数.．试证：图四中地图不是哈密顿图.．完全偶图，为哈密顿图地充分必要条件是什么？．菱形面体地表面上有无哈密顿回路？．设是一个(≥)个顶点地图.和是地两个不邻接地顶点，并且≥.证明：是哈密顿图当且仅当是哈密顿图.．设是一个有个顶点地图.证明：若>δ()，则有长至少为δ()地路.．证明具有奇数顶点地偶图不是哈密顿图.．证明：若为奇数，则中有()个两两无公共边地哈密顿回路.．中国邮路问题：一个邮递员从邮局出发投递信件，然后返回邮局.若他必须至少一次走过他所管辖范围内地每条街道，那么如何选择投递路线，以便走尽可能少地路程.这个问题是我国数学家管梅谷于年首先提出地，国外称之为中国邮路问题.p1Ean。
哈工大2005年秋季学期《集合论与图论》试题答案
[证] 因 g o f
则 y ∈ Y 且g ( y ) = g ( f ( x ) ) = Σ 。因此， g 是一个满射。 四、 1.设 X = {1, 2,3} ， y {1, 2} ， Y X = { f f : X → Y } 在 Y X 上害义二无关系 ≅ ： ∀f , g ∈ Y X ， f ≅ g 当且仅当 f (1) + f ( 2 ) + f ( 3) = g (1) + g ( 2 ) + g ( 3) （1）证明 ≅ 是等价关系。 （2）求等价类的个数。
[证] Ⅰ（1）Q f (1) + f ( 2 ) + f ( 3) = f (1) + f ( 2 ) + f ( 3) ，故 ≅ 是自反的。
（2）若 f ≅ g , 则 f (i ) =
i=1
3 2
3 g (i), 但 3 g (i) = 3 f (i), 故 g ≅ 2 2 2
i=1 i=1 i=1
故当 p ≥ 11 时 qc > 3 p − 6 ， Gc 不是平面图。 八、1.用数学归纳法证明每个比赛图中必有有向哈密顿路。 [证]设 D 是 p 个顶点的比赛图。施归纳于 p： 当 p=1，2 时结论显然成立。假设 当 p ≥ 2 时结论成立，往证对 p+1 个顶点的比赛图 D 也成立。从 D 中去掉一个顶点
6
i=1 3
有四个等价类。 2.设 R 为 X 上的二元关系，试证： R 是传递的当且仅当 R o R ⊆ R 。
哈工大集合论习题
第一章 习题1.写出方程2210x x ++=的根所构成的集合。
2.下列命题中哪些是真的，哪些为假3设有n 个集合12,,,n A A A 且121n A A A A ⊆⊆⊆⊆，试证： 12n A A A === 4.设{,{}}S φφ=，试求2S5.设S 恰有n 个元素，证明2S 有2n 个元素。
6.设A 、B 是集合，证明:(\)()\A B B A B B B φ=⇔=7.设A 、B 是集合，试证A B A B φ=⇔=∆8. 设A 、B 、C 是集合，证明：()()A B C A B C ∆∆=∆∆9.设A 、B 、C 为集合，证明\()(\)\A B C A B C =10.设A ，B ，C 为集合，证明：()\(\)(\)A B C A C B C =11.设A,B,C 为集合，证明： ()\(\)(\)A B C A C B C =12.设A,B,C 都是集合，若A B A C =且A B B C =，试证B=C 。
13.设A,B,C 为集合，试证：(\)\(\)\(\)A B C A B C B =14.设X Y Z ⊆⊆，证明\(\)(\)Z Y X X Z Y =15.下列命题是否成立（1）(\)\(\)A B C A B C =（2）(\)()\A B C A B C =（3）\()()\A B C A B B =16．下列命题哪个为真a)对任何集合A,B,C ，若A B B C =，则A=C 。
b)设A,B,C 为任何集合，若A B A C =，则B=C 。
c)对任何集合A,B ，222A B A B =。
d)对任何集合A,B ，222A BA B =。
e)对任何集合A,B ，\22\2A B A B =。
f)对任何集合A,B ，222A B A B ∆=∆。
17．设R,S,T 是任何三个集合，试证：（1）()()S T S T S T ∆=∆；（2）()()()R S T R S R T ∆⊇∆∆；（3）()()()()()R S R T R S T R S R T ∆∆⊆∆⊆∆∆；（4）()()()R S T R S R T ∆⊇∆18．设A 为任一集，{}I B ξξ∈为任一集族（I φ≠），证明：()()I I A B A B ξξξξ∈∈= 19．填空：设A,B 是两个集合。
哈工大离散数学期末
《集合论与图论》计算机学院03年秋季（本试题满分90分）一、（10分，每小题1分）计算：1．设X 和Y 是集合且X m =，Y n =。
计算从X 到Y 的映射的个数。
（答案： ）2．设X 和Y 是集合且X m =，Y n =。
若m ≤n，计算从X 到Y 的单射的个数。
（答案： ）3.设X 为集合且X n =。
计算X 到X 的双射的个数。
（答案： ）4.设X 为集合且X n =。
计算X 上有多少个不同的自反的二元关系。
（答案： ）5.设X 为集合且X n =。
计算X 上有多少个二元运算。
（答案： ）6.设V＝{}12,p u u u L 。
计算以V 为顶点集无向图的个数。
（答案： ） 7.设V＝{}12,p u u u L 。
计算以V 为顶点集的有向图的个数。
（答案： ）8.设V＝{}12,p u u u L 。
计算以V 为顶点集的比赛图的个数。
（答案： ）9.（P，P）连通图中有多少个圈？（答案： ）10. n 个叶子的正则二元树中有多少条有向弧？（答案： ）二、（10分，每小题1分）以下每小题中给出了四个答案，其中仅有一个是正确的。
请找出正确的答案并将其号码添在括号中。
11. Km,n 是哈密顿图当且仅当。
（ ）（a）m≤n （b）m≥n （c）m＝n（d）（m<n 或m>n） 12. 下面哪个条件是Km,n 有哈密顿路的充要条件？（ ）（a）m<n （b）m>n （c）m＝n（d）m＝n 或m＝n+1 13. 设r≥2，G 是r-正则图且1)(=G χ，则（ ）14. 把平面分为α个区域，使任两个区域相邻，则α的最大值为（ ） （a）x(G)＝r （b）x(G)<r （c）x（G）≤〔2r 〕 （d）x(G)＝〔2r 〕 （a）5 （b）3 （c）2 （d）415. 4个顶点的二元树（顶点无标号）共有（ ）（a）3个 （b）4 （c）7 （d）816. 设f：,X Y A X →⊆，则（ ）（a）1(())f f A A −⊆ （c）-1f A A f ⊇))((（b）1(())f f A A −= （d）（a）或（b）17. :,f X Y B Y →⊆，则（ ）（a）1(())f fB B −⊇ （c）1(())f f B B −⊆ （b）1(())f f B B −= （d）（b）或（c）18.设,R X X X ⊆×为集合。
大学集合论试题及答案
大学集合论试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 集合论的创始人是（）。
A. 康托尔B. 罗素C. 希尔伯特D. 哥德尔2. 集合A和集合B的并集表示为（）。
A. A∩BB. A∪BC. A-BD. A∩B'3. 若集合A是集合B的子集，则表示为（）。
A. A⊆BB. A⊇BC. A⊂BD. A⊃B4. 空集是所有集合的（）。
A. 子集B. 真子集C. 并集D. 交集5. 集合A和集合B的交集表示为（）。
A. A∩BB. A∪BC. A-BD. A∩B'6. 若集合A和集合B的交集为空集，则A和B是（）。
A. 子集B. 真子集C. 互斥的D. 相等的7. 集合的幂集是指（）。
A. 集合的所有子集的集合B. 集合的所有元素的集合C. 集合的所有真子集的集合D. 集合的所有非空子集的集合8. 集合A和集合B的差集表示为（）。
A. A∩BB. A∪BC. A-BD. A∩B'9. 集合的元素个数称为集合的（）。
A. 基数B. 序数C. 秩D. 维数10. 集合论中，无限集合的基数可以是（）。
A. 有限的B. 可数的C. 不可数的D. 以上都是二、填空题（每题2分，共20分）1. 集合{1, 2, 3}的幂集有个元素。
2. 集合{a, b, c}和集合{a, b}的交集是。
3. 集合{1, 2, 3}和集合{2, 3, 4}的并集是。
4. 集合{1, 2, 3}和集合{2, 3, 4}的差集是。
5. 集合{1, 2, 3}的补集在全集U={1, 2, 3, 4, 5}中是。
6. 若集合A={1, 2, 3}，集合B={2, 3, 4}，则A∪B= 。
7. 集合{1, 2, 3}的子集个数是。
8. 集合{1, 2, 3}的真子集个数是。
9. 集合{1, 2, 3}的非空真子集个数是。
10. 若集合A={1, 2, 3}，集合B={2, 3, 4}，则A∩B= 。
三、解答题（每题10分，共50分）1. 证明：若集合A是集合B的子集，且集合B是集合C的子集，则集合A是集合C的子集。
集合论与图论2009f
哈工大 2009 年 秋季学期 集合论与图论试题题号一 二 三 四 五 总分 分数学号 姓名本试卷满分90分-参考答案（计算机科学与技术学院08级）一、填空（本题满分20分，每空各1分）1．设B A ,为集合，若B B A B B A \)()\( =，则B 等于什么？ （B φ= ）2．设X A Y X f ⊆→,:，则))((1A f f -与A 有何关系？ ())((1A f f -A ⊇ )3．给定集合{}12345S =，，，，，找出S 上的等价的关系R ，此关系R 能产生划分{}{}{}{}12345，，，，。
（)}4,5(),5,4(),5,5(),4,4(),3,3(),1,2(),2,1(),2,2(),1,1{(） 4．设,,R I N 分别表示实数，整数，自然数集（包括0），定义映射321,,f f f ， 试确定它们的性质（单射、满射、双射）。
（1）11:,()2x f R R f x →=； （1f 是单射 ）（2）22:,()f I N f x x →= ； （2f 是满射 ）（3）2)(,:33+=→x x f R R f 。
（3f 是双射 ）5．在集合}12,11,,2,1{ =A 上定义的整除关系“|” 是A 上的偏序关系，则 极大元有几个？（ 6个 ）6．设X 是一个集合，X ＝n ，求X 上对称的二元关系有多少？（222n n + ）7．设R 是集合X 上的一个二元关系，则（1）R 是传递的充分必要条件是什么？ （R R ⊆2 ）（2）R 是对称的充分必要条件是什么？ （1-=R R ）8．设G 是有p 个顶点的K -正则偶图，则p 至少是多少？ （2p K ≥ ）9．有n 个药箱，若每两个药箱里有一种相同的药，而每种药恰好放在两个药 箱中，则（1）每个药箱里有多少种药？ （ 1-n ）（2）n 个药箱里共有多少种药？ （ 2/)1(-n n ）10. 设G 是无向图，有12条边，6个3度顶点，其余顶点的度数均小于3，则G 至少有多少个顶点？ （ 9 ）11．设T 是有p )3(≥p 个顶点的无向树且T 的最大度为)(T ∆，则（1）)(T ∆的范围为多少？ （1)(2-≤∆≤p T ）（2）若2)(=∆T ，则T 中最长路的长度为多少？ （ 1-p ）12．设G 是有8个顶点的极大平面图，则G 的面数f 为多少？ （ 12 ）13．设G 是),(q p 图，若1-<p q ，则G 的顶点连通度)(G k 为多少？（ 0 ）14．设T 为任一棵正则二元树，q 为边数，)2(≥t t 为树叶数，则q 等于什么？（)1(2-=t q ）15．设,p q 为正整数，则,p q 为何值时q p K ,为欧拉图？ （,p q 为偶数）二、简答下列各题（本题满分10分）1．设C B A ,,是三个任意集合，且)()(C B A C B A =，则A 与C 应满足什么关系？说明理由。
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第一章 习题1.写出方程2210x x ++=的根所构成的集合。
2.下列命题中哪些是真的，哪些为假 3设有n 个集合12,,,n A A A 且121n A A A A ⊆⊆⊆⊆，试证：12n A A A ===4.设{,{}}S φφ=，试求2S？5.设S 恰有n 个元素，证明2S有2n个元素。
6.设A 、B 是集合，证明:(\)()\A B B A B B B φ=⇔=7.设A 、B 是集合，试证A B A B φ=⇔=∆8. 设A 、B 、C 是集合，证明：()()A B C A B C ∆∆=∆∆9.设A 、B 、C 为集合，证明\()(\)\A B C A B C =10.设A ，B ，C 为集合，证明： ()\(\)(\)A B C A C B C =11.设A,B,C 为集合，证明：()\(\)(\)A B C A C B C =12.设A,B,C 都是集合，若A B A C =且A B B C =，试证B=C 。
13.设A,B,C 为集合，试证：(\)\(\)\(\)A B C A B C B =14.设X Y Z ⊆⊆，证明\(\)(\)Z Y X X Z Y =15.下列命题是否成立？ （1）(\)\(\)A B C A B C =（2）(\)()\AB C A B C =（3）\()()\A B C A B B = 16．下列命题哪个为真？ a)对任何集合A,B,C ，若AB BC =，则A=C 。
b)设A,B,C 为任何集合，若A B A C =，则B=C 。
c)对任何集合A,B ，222A BA B =。
d)对任何集合A,B ，222A B AB =。
e)对任何集合A,B ，\22\2A BA B =。
f)对任何集合A,B ，222A BAB∆=∆。
17．设R,S,T 是任何三个集合，试证：（1）()()S T S T ST ∆=∆；（2）()()()R S T R S R T ∆⊇∆∆； （3）()()()()()R S R T R ST R S R T ∆∆⊆∆⊆∆∆；（4）()()()RS T RS R T ∆⊇∆ 18．设A 为任一集，{}IB ξξ∈为任一集族（I φ≠），证明：()()IIA B A B ξξξξ∈∈=19．填空：设A,B 是两个集合。
(a)x A B ∈⇔__________________； (b)x AB ∈⇔__________________；(c)\x A B ∈⇔___________________； (d)x A B ∈∆⇔___________________；20．设A ，B ，C 为三个集合，下列集合表达式哪一个等于\()A B C ？（a ）(\)(\)A B A C ；（b ）()\()A B A C（c ）(\)(\)A B A C ；（d ）()\()A B A C（e ）()()AB A C21.．设A,B,C 为集合，并且AB AC =，则下列断言哪个成立？ （1）B C = （2）A B A C =（3）CCA B A C = （4）CCA B A C =〕22．设A,B,C 为任意集合，化简()()()()()()()C C C CCC C C C A B C A B C A B C A B C A B C A B C A B C23．证明：（1）()()C C A B A B A B ∆=；（2）()()()C CC A B A B A B ∆=；（3）()()()C CC A B AB AB ∆=24．设12,,M M 和12,,N N 是集合S 的子集的两个序列，对,,1,2,i j i j ≠=，有i j N N φ=。
令1111,(),2,3,n C n nk k Q M Q M M n -====。
试证： 1()nn n i i i N Q N M =∆⊆∆。
25．设X 是一个非空集合，1,,1,2,3,n n n A X A A n +⊆⊆=试证：n ∀，有1()c n mm mm nm nA A AA ∞∞+===。
6．设V 是任一集合，证明：,,2VS T W ∀∈有S T W ⊆⊆当且仅且S T S W ∆⊆∆且S W ⊆。
27．设12,,A A 为一集序列，记A 为这样的元素的全体形成的集合：x A ∈当且仅当在序列12,,A A 中有无穷多项n A 含有x 。
集合A 称为集序列12,,A A 的上极限，记为lim nn A →∞，即lim n n A A→∞=。
又记A 为这样的元素全体形成的集合；序列12,,A A 中只有有限项不含有这样的元素。
称A 为序列12,,A A 的下极限，并记lim n n A A→∞=。
证明；（1）1lim n kn k nn A A ∞∞==→∞=；（2）1lim n kn n k nA A ∞∞→∞===。
28．证明：lim lim n nn n A A →∞→∞⊆lim lim n nn n A A →∞→∞⊆。
29．设{,,},{,,,},{,,}A a b c B e f g h C x y z ===。
求2,,,A B B A A C A B ⨯⨯⨯⨯。
30．设A,B 为集合，试证：A×B ＝B×A 的充要条件是下列三个条件至少一个成立： （1）A φ=；（2）B φ=；（3）A B =。
31．设A,B,C,D 为任四个集合，证明：()()()()A B CD A C B D ⨯=⨯⨯32．设1234,,,E E E E 为任意集合，试证：1234132124()\()((\))((\))E E E E E E E E E E ⨯⨯=⨯⨯33．设,A X B Y ⊆⊆，试证：()()()()C C C C CA B A B A B A B ⨯=⨯⨯⨯ 34．设A,B,C 为集合，证明：()()()A B C A B A C ⨯∆=⨯∆⨯35．设A,B 为集合，下列命题哪些为真？ （1）(,)x y A B x A ∈⨯⇔∈且y B ∈ （2）(,)x y A B x A ∈⨯⇔∈或y B ∈（3）222A BA B ⨯=⨯（4）若A C B C ⨯=⨯，则A B =。
（5）若,A C B C C φ⨯=⨯≠，则A B =。
36．设A 有m 个元素，B 有n 个元素，则A×B 是多少个序对组成的？A×B 有多少个不同的子集？37．设A,B 为集合，B φ≠，试证：若A×B ＝B×B ，则A=B 。
38.某班学生中有45％正在学德文，65％正在学法文。
问此班中至少有百分之几的学生正同时学德文和法文？39．求1到250之间不能被2，3，5，7中任一数整除的数的个数。
40．设A,B 是两个有限集，试求22?A B⨯=41．马大哈写n 封信，n 个信封，把n 封信放入到n 个信封中，求全部装错的概率是多少？42．毕业舞会上，小伙子与姑娘跳舞，已知每个小伙子至少与一个姑娘跳过舞，但未能与所有姑娘跳过。
同样地，每个姑娘也至少与一个小伙子跳舞，但也未能与所有的小伙子跳过舞。
证明：在所有参加舞会的小伙与姑娘中，必可找到两个小伙子和两个姑娘，这两个小伙子中的每一个只与这两个姑娘中的一个跳过舞，而这两个姑娘中的每一个也只与这两个小伙中的一个跳过舞。
第二章 习 题1.设A ，B 是有穷集，,A m B n ==（1）计算BA（2）从A 到A 有多少个双射？2.设X 是一个有穷集合，证明：从X 到X 的部分映射共有(1)XX +个。
3..证明：从一个边长为1的等边三角形中任意选5个点，那么这5个点中必有2个点，它们之间的距离至多为1/2，而任意10个点中必有2个点其距离至多是1/3。
4.证明在52个整数中，必有两个整数，使这两个整数之和或差能被100整除。
5.设:f X Y →，,C D Y ⊆，证明11(\)()f C D f D --= 6. 设:, A,B X f X Y →⊆，证明（1）()()()f A B f A f B = （2）()()()f AB f A f B ⊆（3）()\()(\)f A f B f A B ⊆7.设:,,f X Y A X B Y →⊆⊆。
以下四个小题中，每个小题均有四个命题，这四个命题有且仅有一个正确，请找出正确的那个。
（1）（a ）若()()f x f A ∈，则x 未必在A 中 （b ）若()()f x f A ∈，则x A ∈ （c ）若()()f x f A ∈，则x A ∈（d ）若()()f x f A ∈，则c x A ∈（2）（a ）1(())f f B B -= （b ）1(())f f B B -⊆ （c ）1(())f f B B -⊇ （d ）1(())c f f B B -= （3）（a ）1(())f f A A -= （b ）1(())f f A A -⊆ （c ）1(())f f A A -⊇ （d ）上面三个均不对 （4）（a ）()f A ≠∅ （b ）()f B ≠∅（c ）若1,()y Y f y x -∈∈则 （d ）若1,()y Y fy x -∈⊆则8.设:,,f X Y A X →⊆则(())()ccf A f A ⊆成立吗？9.设X 是一个无穷集合，:f X Y →。
证明：存在X 的一个真子集E 使得()f E E =。
10.设:f A B →，证明2BT ∀∈，都有1(())()f fT Tf A -=11..设{,,},{0,1},{2,3},:,()()0X a b c Y Z f X Y f a f b ===→==，()1;:f c g Y =→Z ，(0)2,(1)3g g ==，试求g f 。
12.设1212345123454321532514σσ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，＝，求11122112,,,σσσσσσ--。
13.将置换123456789791652348⎛⎫⎪⎝⎭分解成对换的乘积。
14.设σ是任一n 次置换，试证：σ与1σ-的奇偶性相同。
第三章 习 题1.给出一个既不是自反的又不是反自反的二元关系？2.是否存在一个同时不满足自反性，对称性，反对称性，传递性和反自反性的二元关系？3.设R ，S 是X 上的二元关系，下列命题哪些成立： a )若R 与S 是自反的，则,R S R S 分别也是自反的。
b ) 若R 与S 是对称的，则,R S RS 分别对称的c ) 若R 与S 是传递的，则RS 也是传递的d ) 若R 与S 不是自反的，则R S 也不是自反的e ) 若R 与S 是反自反的，则,R S R S 也是反自反的f ) 若R 是自反的，则cR 也是反自反的。